高等数学中不等式证明的方法示例

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高等数学中不等式证明的方法示例

杨　雪

吉林工商学院基础部　吉林长春　１３０５０７

摘　要：不等式证明问题是高等数学中的重要内容，针对不等式的证明问题，本文分析并总结了高等数学中证明不等式的主

要方法及其解题思路，并辅以典型例题，使学生能够系统地掌握不等式的证明方法。

关键词：高等数学；不等式；证明

不等式是研究数学问题的重要工具，也是高等数学中的重

要内容。不等式的证明也是考研试题中的重要考点，也是难

点。很多学生对不等式问题缺乏系统的思考和总结。本文举

例说明了不等式证明的常用方法及适用情况，使学生更好地掌

握不等式的证明技巧。

１利用函数的单调性

利用函数的单调性证明不等式，常将不等式进行恒等变形

以便于构造辅助函数ｆ（ｘ），在判断辅助函数ｆ（ｘ）的单调性时，

若判断ｆ′（ｘ）的符号困难，则可考虑求ｆ″（ｘ）甚至ｆ（ｘ）来递推

确定。当然，若此时无法确定导数符号，则说明此方法失效，应

改用其他方法。

例１证明：当０＜ｘ＜π２时，ｔａｎｘｘ＞ｘｓｉｎｘ。

证明：显然，ｔａｎｘｘ＞ｘｓｉｎｘｓｉｎｘ·ｔａｎｘ－ｘ２＞０。于是，令ｆ（ｘ）＝

ｓｉｎｘ·ｔａｎｘ－ｘ２，则ｆ′（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｔａｎｘ·ｓｅｃｘ－２ｘ，ｆ″（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｓｅｃ３ｘ

＋ｔａｎ２ｘ·ｓｅｃｘ－２，ｆ（ｘ）＝－ｓｉｎｘ＋５ｓｅｃ３ｘ·ｔａｎｘ＋ｔａｎ３ｘ·ｓｅｃｘ＝ｓｉｎｘ

（５ｓｅｃ４ｘ－１）＋ｔａｎ３ｘ·ｓｅｃｘ＞０，ｘ∈（０，π２）。

因此，当０＜ｘ＜π２时，ｆ″（ｘ）单调增加，ｆ″（ｘ）＞ｆ″（０）＝０，故

ｆ′（ｘ）单调增加，于是ｆ′（ｘ）＞ｆ′（０）＝０，即ｆ（ｘ）单调增加，ｆ（ｘ）＞

ｆ（０）＝０，所以，当０＜ｘ＜π２时，ｔａｎｘｘ＞ｘｓｉｎｘ。

２利用函数的（极值）最值

设函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内有唯一的极值点ｘ０，当ｘ０为极大值

点时，必为最大值点，从而ｆ（ｘ）󰀢ｆ（ｘ０）；当ｘ０为极小值点时，必

为最小值点，从而ｆ（ｘ）ｆ（ｘ０）。

例２设ｘ＜１且ｘ≠０，证明１ｘ＋１ｌｎ（１－ｘ）＜１。

分析：当ｘ＜１且ｘ≠０时，ｘｌｎ（１－ｘ）＜０，对原不等式等价

变形。

证明：原不等式等价于ｌｎ（１－ｘ）＋ｘ＞ｘｌｎ（１－ｘ）。令ｆ（ｘ）＝

ｌｎ（１－ｘ）＋ｘ－ｘｌｎ（１－ｘ），求导得ｆ′（ｘ）＝１ｘ－１＋１－［ｌｎ（１－ｘ）＋ｘｘ－１］＝

－ｌｎ（１－ｘ）＝０，ｘ＝０。当ｘ＜０时，ｆ′（ｘ）＜０，当０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＞０。

所以，ｆ（ｘ）在ｘ＝０处取到最小值，所以ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，即１ｘ＋

１ｌｎ（１－ｘ）＜１。３利用拉格朗日中值定理

利用拉格朗日中值定理证明不等式的关键在于满足定理

的两个条件，通过观察不等式经过恒等变形可以化成函数值之

差的形式，可考虑用拉格朗日中值定理，并合理设定ｆ（ｘ），再根

据ξ的取值范围对ｆ′（ξ）进行估计，进而推导出所证不等式。

例３设ｅ＜ａ＜ｂ＜ｅ２，证明ｌｎ２ｂ－ｌｎ２ａ＞４

ｅ２（ｂ－ａ）。

证明：令ｆ（ｘ）＝ｌｎ２ｘ，在区间ａ，ｂ[]上用拉格朗日中值定理，

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｌｎ２ｂ－ｌｎ２ａ＝（ｌｎ２ｘ）′ｘ＝ξ（ｂ－ａ）＝２ｌｎξξ（ｂ－ａ），ａ＜ξ＜ｂ。

因此，为证ｌｎ２ｂ－ｌｎ２ａ＞４

ｅ２（ｂ－ａ），只要证明：当ａ＜ξ＜ｂ时，

２ｌｎξξ＞４

ｅ２。

因此，只要证明：当ａ＜ｘ＜ｂ时，２ｌｎｘｘ＞４

ｅ２。令φ（ｘ）＝２ｌｎｘｘ－４

ｅ２，

有φ（ｅ２）＝０，φ′（ｘ）＝２×１－ｌｎｘ

ｘ２＜０，（当ｘ＞ｅ），于是推知，当ｅ＜ｘ＜ｅ２

时，φ（ｘ）＞０，从而２ｌｎξξ＞４

ｅ２成立，这就证得ｌｎ２ｂ－ｌｎ２ａ＞４

ｅ２（ｂ－ａ），当

ｅ＜ａ＜ｂ＜ｅ２。

本题实际上用了两种方法，先用拉格朗日中值定理，为了

证ｆ′（ξ）＞Ａ，再用单调性证明。

例４设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝

０，且ｆ′（ｘ）在（ａ，ｂ）内严格单调增加，证明在（ａ，ｂ）内ｆ（ｘ）＜０。

分析：条件为ｆ′（ｘ）的某性质，结论为ｆ（ｘ）＜０。由于题中并

未假设ｆ′（ｘ）的符号，所以直接用单调性看来不一定可行。由

ｆ′（ｘ）推出ｆ（ｘ），于是想到用拉格朗日中值定理。

证明：对（ａ，ｂ）内的任意ｘ，由拉格朗日中值定理：

ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ１）（ｘ－ａ），ａ＜ξ１＜ｘ，ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｂ）＝ｆ′（ξ２）（ｘ－ｂ），ｘ＜ξ２＜ｂ。

所以，ｆ（ｘ）ｘ－ａ＝ｆ′（ξ１），ｆ（ｘ）ｘ－ｂ＝ｆ′（ξ２），ａ＜ξ１＜ξ２＜ｂ。因为ｆ′（ｘ）

严格单调增加，所以ｆ′（ξ１）＜ｆ′（ξ２），从而ｆ（ｘ）ｘ－ｂ＞ｆ（ｘ）ｘ－ａ。因为ｘ－ｂ

＜０，ｘ－ａ＞０，由上式推知（ｘ－ａ）ｆ（ｘ）＜（ｘ－ｂ）ｆ（ｘ），即（ｂ－ａ）ｆ（ｘ）＜

０，从而知ｆ（ｘ）＜０。

４利用泰勒公式

这种方法适合于题中所给（或能推导出）条件ｆ″（ｘ）存在且

＞０（或＜０）的命题，此时只能利用带拉格朗日余项的泰勒公式

证明不等式，关键是在哪一个点将函数用泰勒公式展开，通常

展开点一般选取已知导数信息最多的点。然后根据题设对展

开式的余项进行适当的放缩，导出所证不等式。

例５设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］内（ａｂ＜０）有ｆ″（ｘ）＜０，且ｌｉｍｘ→０ｆ（ｘ）－ｃｏｓｘ

ｓｉｎｘ２

＝１４，证明ｆ（ｘ）󰀢１。

５０１　科技风２０２０年６月科教论坛证明：由ｌｉｍｘ→０ｆ（ｘ）－ｃｏｓｘ

ｓｉｎｘ２＝１４，得ｆ（０）＝１，ｆ′（０）＝０。用泰勒公

式ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｆ′（０）ｘ＋１２！ｆ″（ξ）ｘ２＝１＋１２ｆ″（ξ）ｘ２，因为ｆ″（ξ）＜０，

所以ｆ（ｘ）󰀢１。

５利用函数的凹凸性

当证明的不等式的两边或一边是同一函数在不同点处的

函数值的叠加，则一般需要通过将不等式适当变形构造辅助函

数ｆ（ｘ），并讨论ｆ（ｘ）在所给区间上的凸凹性，从而得证。

例６　设ａ＞０，ｂ＞０，证明不等式ａｌｎａ＋ｂｌｎｂ（ａ＋ｂ）［ｌｎ（ａ＋

ｂ）－ｌｎ２］。

证明：令ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，则ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋１，ｆ″（ｘ）＝１ｘ＞０（ｘ＞０），

即曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在区间（０，＋󰀡）内是凹的，故对任意ａ＞０，ｂ＞０，有

ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２ｆ（ａ＋ｂ２），代入得ａｌｎａ＋ｂｌｎｂ２ａ＋ｂ２ｌｎａ＋ｂ２，即ａｌｎａ＋ｂｌｎｂ（ａ＋ｂ）［ｌｎ（ａ＋ｂ）－ｌｎ２］。

以上几种方法是高等数学中证明不等式的常用方法，不等

式的证法因题而异，灵活多变，我们应该具体问题具体分析。

要想熟练掌握其中的技巧，我们要多思考多总结，才能快捷地

解决不等式的证明问题。

参考文献：

［１］同济大学数学教研室．高等数学（第七版）［Ｍ］．北京：

高等教育出版社，２０１４．

［２］夏静．高等数学中不等式证明的常用方法［Ｊ］．赤峰学

院学报（自然科学版），２０１５（１０）：１９２０．

［３］李永乐，王式安，武忠祥，季文铎．２０１９考研数学复习

全书［Ｍ］．北京：国家行政学院出版社，２０１７．１２．

作者简介：杨雪（１９８２），女，吉林长春人，长春工业大学硕

士研究生，吉林工商学院助教，研究方向：最优化理论与应用。

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（上接第１００页）然后由其他学生对此进行口译并录音，最后由

教师随机选取几名学生的口译录音进行现场点评。当然，这里

的点评需要教师和学生的共同参与，需要师生就用词、句型、上

下文衔接等问题进行共同探讨。这样一来不仅课堂氛围有所

活跃，而且学生也能充分参与进来，真正认识到自身的优缺点。

（四）加强对口译教师的培训，提高师资投入力度

面对高校口译教师缺乏的现状，需要加强对现有英语教师

的口译理论和实践教学技能的培训，提高教师的综合素养，可

以通过开展培训班或者让教师参与社会实践的方式不断提高

其综合能力，例如聘请职业口译人才进入高校开展教师培训，

他们具有口译实战经验和扎实的基础知识，帮助教师提高自身

素质，传授先进的口译理念。另外也需要引进专业的口译人才

充实教师队伍，提高师资水平。

（五）引导学生开展自主学习

帮助学生真正掌握口译知识、提高口译实战经验，需要大

量的练习，因此提高学生的自主学习能力至关重要。首先教师

可以给学生创造轻松的学习环境，让课外练习成为课堂学习最

好的补充，比如选择轻松愉快、贴近生活实际的话题开展课外

练习，用有趣的知识内容吸引同学的注意力，提高他们的学习

兴趣，然后让学生自我结成组合，两三个人一组开展练习，并对

练习内容进行总结，在老师的引导、监督和协助下开展自主学

习。其次还可以借助先进的教学设备或者丰富的网络资源开

展自主学习，比如有的学校有专门的语言实验室和同声传译设

备，这些都为学生的自主学习提供了极大的便利，还可以借助互联网资源，教师帮助学生制定阶段性的学习目标，学生利用

互联网设备按照目标一步步开展自主学习，并不断调整学习计

划，弥补自身学习的不足，不断提高口译水平。

四、结语

高校英语专业口译教学的最终目的是培养社会所需的高

素质口译人才，而要完成这一目的就需要高校和教师认真审视

当前口译教学存在的问题，并据此进行相应的改革，探索有效

的提高口译教学水平的途径，实现教学实效性和实用性的

提升。

参考文献：

［１］李倩．应用型人才培养模式下的英语专业口译教学改

革［Ｊ］．课程教育研究，２０１９（４４）：４２．

［２］崔澍．普通高校本科英语专业口译教学面临的问题及

对策思考［Ｊ］．中国轻工教育，２０１５（０２）：２４２８．

［３］高巍．高校英语专业口译教学改革研究［Ｊ］．剑南文学

（经典教苑），２０１２（０１）：１９９＋２０１．

［４］王建丽．面向就业市场的高校英语专业职业化口译教

学改革研究［Ｊ］．安阳工学院学报，２０１３，１２（０２）：１２６１２８．

［５］张艳艳．高校外语专业英语口译教学分析研究［Ｊ］．山

东农业工程学院学报，２０１５，３２（０９）：６３６４．

作者简介：朱琳（１９７４），女，汉族，云南镇雄人，本科，副教

授，研究方向：语言学；张力（１９７３），男，汉族，湖南洞口人，硕

士研究生，副教授，研究方向：翻译理论与实践。

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１科教论坛科技风２０２０年６月