板块
考试要求
A 级要求
B 级要求
C 级要求
全等三角形的性质及判
定
会识别全等三角形
掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题
会运用全等三角形的性
质和判定解决有关问题
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，
知识点睛
中考要求
第三讲 全等三角形中的角
平分线
注意有时会添加辅助线．
奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，
A
B O
P
P
O
B A A B O
P
【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，
求ABC ∆的面积．
例题精讲
重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后
证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点
重、难点
【解析】 ∵O 点为ABC △中角平分线的交点，
∴O 点到三边距离相等．
∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1
()331.52
AB BC AC =⨯++⨯=
【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．
A
B
C
D
E
O
【解析】 利用SAS 证得ABE ∆≌ACD ∆，∴E D ∠=∠，
根据已知可得BD CE =，利用AAS 证得BOD ∆≌COE ∆， ∴OD OE =，利用SAS 证得AOD ∆≌AOE ∆， ∴OAD OAE ∠=∠，∴OA 平分DAE ∠
【例3】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．
E
D C
B A
【解析】 ∵AB AC =
∴ABC ACB ∠=∠
∵CD 平分ACB ∠，∴1
2
DCB ACB ∠=∠．
同理1
2
EBC ABC ∠=∠．
在DCB ∆与EBC ∆中，ABC ACB ∠=∠，DCB EBC ∠=∠，BC CB = ∴DCB EBC ∆∆≌，∴CD BE =．
点评：其实就是等腰三角形底角平分线相等．
【例4】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．
A
D
O
C
B
D C
B
A
E
D C
B
A
【解析】 延长AD 到E ，使ED AD =，连结BE ，
在ADC ∆和EDB ∆中 AD ED
ADC EDB DC DB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADC EDB ∆∆≌
∴AC EB =，CAD BED ∠=∠ 又∵BAD CAD ∠=∠ ∴BAD BED ∠=∠ ∴AB EB = ∴AB AC =．
【例5】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、
CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
O
E
D C
B
A
43
21F
O D
E
C
B
A
【解析】 BE CD BC +=
理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆ ∴12∠=∠ ∵60A ∠=︒
∴1
901202
BOC A ∠=︒+∠=︒
∴120DOE ∠=︒ ∴180A DOE ∠+∠=︒ ∴180AEO ADO ∠+∠=︒ ∴13180∠+∠=︒ ∵24180∠+∠=︒ ∴12∠=∠ ∴34∠=∠
利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆
∴CD CF =
∴BC BF CF BE CD =+=+
【点评】此题老师在证明角度相等的时候，可以不用讲义给的方法，而是根据60BOC ∠=︒来证明
【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．
E D
C B A
4
32
1
【解析】 ∵12∠=∠，34∠=∠，AC AC =
∴ACD ACB ∆∆≌ ∴AB AD =
∴12∠=∠，AE AE = ∴AED AEB ∆∆≌ ∴ED EB =
【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．
P
D
B
O
C
A
【解析】 ∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的角平分线
∴AOP COP ∠=∠，BOP DOP ∠=∠
∴AOB COD ∠=∠ 在AOB ∆和COD ∆中 OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴AOB COD ∆∆≌(SAS )，∴AB CD =．
【例8】 如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求
证：FE FD =．
F
B
E
D
C
A
【解析】 在AC 上截取AG AE =，连结FG ，AEF AGF ∆∆≌，
AFE AFG ∠=∠，FE FG =，可推出60CFG CFD ∠=︒=∠，
进而证明CFG CFD ∆∆≌，FG FD =，进而得FE FD =．
【例9】 长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则
EF =__________．
F
E
D
C
B
A
【解析】 由AB =4，AE 平分∠BAD 可知BE =AB =CD =4． 由基本图可知△BEF ≌△CDE ，故EF =DE
又BC =7，BE =4，故CE =3． 由勾股定理可知，DE =5． 从而可知EF =5．
【例10】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求
证：EF ∥AB
F
A C
D E B 321
M
F A
C
D E B
【解析】 延长AD 到M ，使DM AD =，连结EM ，利用SAS 证明ADC ∆≌MDE ∆，
∴3M ∠=∠，AC EM =，又AC EF =，∴EM EF =，∴1M ∠=∠，∴13∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴23∠=∠，∴12∠=∠，∴EF ∥AB ．
【补充】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB
于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．
F G
E D
C
B
A
H
A
F G
B
E D
C
【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．
在CEF ∆和BEH ∆中 CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴CEF BEH ∆∆≌
∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥
∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠
∴AD 为ABC ∆的角平分线．
【例11】 如图，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB =6，AC =3，∠BAC =120°．求AD 的长．
D
C
B
A
F
M
E
P
D C
B
A
【解析】 在AB 上取点E ，使得AE =AC =3，连接CE ，过点B 作CE 的平行线，交AC 的延长线于点F ，延
长AD 交BF 于点M ． ∵∠CAD =∠EAD ，AC =AE ∴点C 、E 关于AD 对称 ∴AD ⊥CE ，EP =CP ∵CE ∥BF
∴AM ⊥BF ，BM =FM
∵∠BAC =120°，AD 平分∠BAC ∴∠BAD =60°
∴AM =1
2
AB =3
∵CE BF ∥
∴1123
PD PC PC PD PM DM BM FM ===⇒= ∴AD =2
3AM
∴AD =2
【例12】 如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较
PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．
D
P
C B A
E
D
P
C B A
【解析】 PB PC AB AC +>+，理由如下．
如图所示，在AB 的延长线上截取AE AC =，连接PE ．
因为AD 是BAC ∠的外角平分线， 故CAP EAP ∠=∠．
在ACP ∆和AEP ∆中，AC AE =，CAP EAP ∠=∠，AP 公用， 因此ACP AEP ∆∆≌， 从而PC PE =．
在BPE ∆中，PB PE BE +>， 而BE BA AE AB AC =+=+， 故PB PC AB AC +>+．
【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．
C D B P
A
E
C
D B P
A
【解析】 在AB 上截取AE AC =，连结EP ，根据SAS 证得AEP ∆≌ACP ∆，∴PE PC =，AE AC =
又BEP ∆中，BE PB PE >-，BE AB AC =-，∴AB AC PB PC ->-
【例13】 如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，20DEF ∠=︒，则BAC
∠等于________．
F
E
D
C B
A
【解析】 方法一：易证AED ADC ∆∆≌，△DEF 为等腰三角形．又由0DEF 20∠=，则∠EDF ＝180－40＝140
度，则∠BAC ＝360－90－90－140＝40度．
方法二：在三角形AEC 中，70AEC ACE ∠=∠=︒，180707040BAC ∠=∠︒-︒-︒=︒
【点评】此题老师可以采用第二种方法，但是第一种方法旨在让学生更加熟悉角平分线的性质
【例14】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．
D C B A
E
D C B
A
A
B
C
D
E
【解析】 方法一：在AC 上取一点E ，使得AB AE =
连结DE ．
在ABD ∆和AED ∆中
AB AE =，BAD EAD ∠=∠
AD AD =
∴ABD AED ∆∆≌
∴BD ED =，B AED ∠=∠
又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠
EDC C ∠=∠，ED EC =∴AB BD AC +=．
方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC AE =，连结DE ． 在AED ∆和ACD ∆中，AE AC =
EAD CAD ∠=∠，AD AD =
∴AED ACD ∆∆≌，∴C E ∠=∠
又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=． 方法三：延长DB 到点E
使得AB BE =，连结MCE M ∠=∠ 则有EAB E ∠=∠
2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴AE AC =
又∵EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠ C DAC ADE =∠+∠=∠
∴DF EF =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+===
A
B
C
D
E
E
D
C
B A F
M
方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点 延长BF 到M ，使FM FA =，连结AM
∴ABF FBC ∠=∠
∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB FC = ∵AF FM =，∴M FAM ∠=∠
∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠ ∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB AM = ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且DEB EBA BAE ∠=∠+∠
∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD BE = 同理MA ME =
∵AF FM =，FB FC =，∴AC BM =．∴AC AB BD =+
【补充】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．
A
B C D
E D
C
B A
【解析】 方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．
∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD ∆与EBD ∆中
∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠
∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒． 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒ ∴72CDE ∠=︒
∴CDE DEC ∠=∠ ∴CD CE =
∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+
方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒． ∵CB CF =， ∴F FBC ∠=∠． ∴FAB C ABC ∠=∠+∠． ∴72FAB ∠=︒．
∵1
2
ADB C ABC ∠=∠+∠，
∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒ ∴BF AB AC FD ===． ∴AF CD =．∴BC AC CD =+．
F
D
C
B A
【补充】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．
B
A
F E
D
C
3
2
1
【解析】 解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，
过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠． 又∵12∠=∠，
∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形．
∴BF DC =，DF DC =．
∵()111
218010020222
ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，
()1
1802802
BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，
∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =． 又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．
解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =． ∵12∠=∠，BD 为公共边，∴BAD BFD ∆≌，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．
∵()111
118010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，
∴()()18011801002060ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒． ∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒．
∵DF DE =，∴DFC DEC ∆∆≌．∴E DFC ∠=∠，34∠=∠． ∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴80E ∠=︒．
∵440∠=︒，∴340∠=︒，故3480ECB ∠=∠+∠=︒． ∴ECB E ∠=∠，故BC BE =． ∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+．
解法三：如图，延长BD 到E ，使BE BC =．延长BA 到F ，使BF BC =．连接CE 、EF 、DF ． ∵12∠=∠，BD 公共， ∴BDC BDF ∆∆≌．
∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠．
又∵120100120BDC BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，40BCD ∠=︒，
B
A
D
C
2
1F
E
4
3A
F
E
∴40BFD ∠=︒． ∵BE BF =，120∠=︒． ∴80BEF BFE ∠=∠=︒， ∴804040DFE ∠=︒-︒=︒．
而180********FAD BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒． ∴FAD DEF ∠=∠．
又FD 公共，∴FAD FED ∆∆≌．∴ED AD =． ∴BC BE BD AD ==+
【例15】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD
的延长线于F ，求证()1
2
MF AC AB =-．
M
F
D C
B A
E
M
F
D C
B A
【解析】 题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰AEC ∆，之后再证明MF 是CBE
∆的中位线即可．
如图所示，延长AB 、CF 相交于点E ，
在AFE ∆和AFC ∆中，EAF CAF ∠=∠，AF AF =，AFE AFC ∠=∠， 故AFE AFC ∆∆≌， 从而AE AC =，EF FC =． 而CM MB =，
故MF 是CBE ∆的中位线，
从而()()111
222
MF BE AE AB AC AB ==-=-．
【补充】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥
且1
()2
DE AB AC =+．
E D
C B A
F
E D
C
B A
【解析】 如图所示，延长BA 到F ，使AF AC =，连接DF ．
在ADC ∆和ADF ∆中，AC AF =，FAD CAD ∠=∠，AD AD =，故ADC ADF ∆∆≌，
从而C 、D 、F 三点共线，且D 是CF 的中点，DE 是CFB ∆的中位线，
故DE AB ∥，且11
()22
DE FB AB AC ==+
【补充】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．
M
D C
B
A
N P
M
D C
B A
【解析】 如图所示，延长AB 、CM 相交于P ．
取PB 的中点N ，连接MN ，则NM BD ∥， 故ANM ABD ADB AMN ∠=∠=∠=∠，则AM AN =． 容易证明APM ACM ∆∆≌，故AP AC =．
因此22AB AC AB AP AB AN NP AB AN BN AN AM +=+=++=++==．
【例16】 如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，ME AD ⊥且交AC 的延长线
于E ，1
2
CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．
E
M
D
C
B
A
E
M
D
C
B
A
P
【解析】 如图所示，延长CE 到P ，使EP CE =，连接DP 、BP ．
因为2CD CE =，故CD CP =，则CDP CPD ∠=∠． 因为ACB CDP CPD ∠=∠+∠，故2ACB CPD ∠=∠． 因为BM MC =，CE EP =，故ME BP ∥． 因为AD ME ⊥，故AD BP ⊥． 因为AD 平分BAP ∠，故AB AP =．
在ABD ∆和APD ∆中，AB AP =，BAD PAD ∠=∠，AD AD =， 故ABD APD ∆∆≌，从而ABD APD ∠=∠，因此2ACB ABC ∠=∠．
点评：实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．
【例17】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于
E ．求证：AD AE =．
H
G D A
B C E
【解析】 ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠
∵180ABG ABC ∠+∠=︒，180ACH ACB ∠+∠=︒ ∴90D E ∠=∠=︒，∴ABG ACH ∠=∠． ∵BD 、CE 是角平分线 ∴DBA ECA ∠=∠．
在ABD ∆与ACE ∆中，AD BD ⊥，AE CE ⊥
AB AC =，DBA ECA ∠=∠，D E ∠=∠，
∴ABD ACE ∆∆≌，∴AD AE =．
【补充】已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求证：
⑴ DE AB ∥；⑵ ()1
2
DE AB BC CA =++．
E B A D C
N
M E
B A D C
【解析】 大凡涉及角平分线的问题，常常隐含着全等三角形的问题，从而获得等边、等角，以助证题．
如图所示，延长CD 、CE 分别交直线MN 于M 、N 两点， 则易证得ADC ADM △≌△，BEC BEN △≌△．
于是可得D 、E 分别为CM 、CN 的中点．至此，命题容易获证．
【例18】 在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN
⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()1
2
MN AB AC BC =++
F
E
N M C
B
A
F
E
N
M
C B A
【解析】 延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证
Rt Rt AMB EMB ∆∆≌，Rt Rt ANC FNC ∆∆≌，
∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =
∴MN BC ∥，且()()11
22
MN EB BC CF AB BC AC =
++=++．
【补充】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN
⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()1
2
MN AB AC BC =+-
F
E
N
M
C
B A
【解析】 延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，
易证Rt Rt AMB EMB ∆∆≌，Rt Rt ANC FNC ∆∆≌， ∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC = ∴MN BC ∥
且()()11
22
MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．
【例19】 在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =o ∠，求证：1
2
DE AC =
． C E D
B A M C
N E D B A
【解析】 取AB 、BC 的中点，连结MN ，∵60B =︒∠，∴30BAE BCD ==︒∠∠．
从而得12BE BM AB ==，1
2
BD BN BC ==，BDE BNM △≌△，MN DE =．
又因12MN AC =，故1
2
DE AC =．
【补充】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1
()2
AE AB AD =+，则
ABC ADC ∠+∠等于多少？
E
D
C
B
A
【解析】 作CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，可推出DF BE =，易证△CEB ≌△CFD ，
∴ABC ADC ∠+∠180=︒
【例20】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．
① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．
E
D
C
B A
F
E
A
B
C
D
【解析】 ① AB CD BC +=；② BE CE ⊥
在线段BC 上取点F ，使FB AB =，连结EF ． 在ABE ∆和FBE ∆中 AB FB
ABE FBE BE BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE FBE ∆∆≌
∴AEB FEB ∠=∠，BAE BFE ∠=∠ ∵180A D ∠+∠=︒ 而180BFE CFE ∠+∠=︒ ∴CDE CFE ∠=∠ 在CDE ∆和CFE ∆中 CDE CFE DCE FCE CE CE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴CDE CFE ∆∆≌
∴DEC FEC ∠=∠，CD CF =
∴AB CD BC +=，90BEC BEF CEF ∠=∠+∠=︒
【例21】 如图所示，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于
E ，FG 平行于BC 交AB 于G ． AE =4，AB =14，则BG =______．
H A
B C
D
E
F G
G
F
E D C
B A
【解析】 角平分线、直角．
过E 作EH 垂直BC 交BC 于H 点，易证△AEC ≌△EHC ；
由角度分析易知∠AEF =∠AFE ，即AE ＝AF ；则有EH ＝EA ＝AF ； 又可证△AGF ≌△BHE ，则AG ＝EB ＝14－4＝10，则BG ＝10－6＝4．
【补充】如图所示，在Rt 三角形ABC 中，90,C CH AB ∠=︒⊥于H ，AG 平分BAC ∠，交CH 于D ，交BC
于G ，在BC 上取BE =CG ，连接ED ，证明：CDE ∆是直角三角形．
F A
B
C
D G E
H
H
E
G D
C
B
A
【解析】 直角三角形、角平分线
过G 做GF 垂直AB 于F ；由角的关系易得∠CDG =∠CGD ，即CG ＝CD ； 易证△ACG ≌△AFG ；CG ＝GF ＝CD ；CE ＝GB ，∠HCB =∠FGB ；
综合得到，△CGE ≌△GFB ，得证． 【例22】 在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ．自C 作CG AB ⊥交AD 于E ，交AB
于G ．自D 作DF AB ⊥于F ，求证：CF DE ⊥．
G
A
B
C D
E
F
1
2
2
1
F
E D C
B
A
G Q
G
A
B
C D E
F
1
2
【解析】 解法一：如图．90ACD AFD ∠=∠=︒∵，∴CDE CED ∠=∠4点共圆，ACF ADF ∠=∠∴．
又12∠=∠∵，290ADF ∠+∠=︒，190ACF ∠+∠=︒∴，故CF DE ⊥．
解法二：如图，连接EF
AD ∵是BAC ∠的平分线，DC AC ⊥，DF AB ⊥， CD DF =∴，ADC ADF ∠=∠．
CG AB ⊥∵，DF AB ⊥，
CE DF ∴∥，CED FDE ∠=∠，CDE CED ∠=∠， CD CE DF ==∴，四边形CEFD 是菱形． CF DE ⊥∴．
解法三：如图．
12∠=∠∵，90ACD AFD ∠=∠=︒，AD 公共， ACD AFD ∴△≌△．AC AF =∴，CD DF =．
AD ∴是CF 的中垂线，故CF DE ⊥．
解法四：如图，延长FD AC 、交于Q ，连接BQ ．
12∠=∠∵，DC AC ⊥，DF AB ⊥， CD FD =∴．
显然Rt Rt DCQ DFB △≌△，CQ BF =∴．
又90QFB BCQ ∠=∠=︒∵，C F B Q ∴、、、4点共圆， CFBQ ∴为等腰梯形，ABQ △为等腰三角形．
12∠=∠∵，AD BQ ⊥∴．
而CF BQ ∥，AD CF ⊥∴．
【例23】 如图所示，90BAC DAE ︒∠=∠=，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．
M
E
C
B
A
N
O F H M
E
C
B
A
【解析】 如图所示，设AM 交DC 于H ，要证明AM CD ⊥，实际上就是证明90AHD ︒
∠=，而条件BM ME
=不好运用，我们可以倍长中线AM 到F ，连接BF 交AD 于点N ，交CD 于点O ．容易证明
AM E FM B ∆∆≌，则AE FB =，EAF F ∠=∠，从而AE FB ∥，90ANF ︒∠=．
而90CAD DAB ︒∠+∠=，90DAB ABN ︒∠+∠=，故CAD ABN ∠=∠， 从而CAD ABF ∆∆≌，故D F ∠=∠．
而90D DON FOH F ︒∠+∠=∠+∠=，故90AHD ︒∠=，亦即AM CD ⊥．
【补充】⑴在ABC ∆中，96A ∠=o ，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠ 的角平分线相交于点1A ，1A BC ∠与
1
ACD ∠的角平分线交于2A ，…，依次类推4A BC ∠与4A CD ∠的角平分线交于5A ，求5A ∠大小． A 2
A 1
A
B
C D A B C
D
E
F
G
⑵(初二第5届希望杯1试)如右上图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=o ，110BGC ∠=o ，求A ∠的度数．
【解析】 ⑴在此教师帮助学生回忆补充第2讲的几个重要结论．
根据结论易得：112A A ∠=∠，同理2112A A ∠=∠，3212A A ∠=∠，4312
A A ∠=∠，541
32A A ∠=∠=o
G F E
D
C
B A H
⑵延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠ ∵DHC A ABH ∠=∠+∠
∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①
∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠ ∴211014080A ∠=⨯-=o o o
【例24】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 、AM 分别是ABC ∠、
BAC ∠的平分线，DN BC ⊥，GF BD ⊥．求证：1
4
MN BF =．
F N
M G D
C
B A
R
H
F N
M G
D C
B A
【解析】 如图，作DH BC ∥，交AB 于H ，交AM 于R ．
∵ABC ∆为等腰三角形，且AM 平分BAC ∠ ∴M 为BC 中点，且AM BC ⊥ ∵BD 平分ABC ∠，且GF BD ⊥
∴FGB ∆为等腰三角形，且D 为FG 的中点 又∵HD BF ∥
∴1
2
HD BF =，且R 为HD 中点，即2HD RD =
可以发现四边形RMND 为矩形，于是RD MN =
∴11
24
MN RD HD BF ===
【习题1】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．
家庭作业
C E D
B A
C F
E G
D
B A
【解析】 延长AC 交BE 的延长线于F ，过E 作EG BC ∥交CF 于G ，容易证得3AF AB AC ==，且E 为BF
之中点，故易得AC CG GF ==．
【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．
D C B A
E
D
C B
A
【解析】 方法一：在AC 上取一点E ，
使得AB AE =， 连结DE ．
在ABD ∆和AED ∆中，
AB AE =，BAD EAD ∠=∠， AD AD =．
∴ABD AED ∆∆≌， ∴BD ED =，B AED ∠=∠
又∵AB BD AC +=，∴EC BD ED ==
2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠．
其他方法参考例题．
【习题3】AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．
D
E
C
F
B
A
D
E O
C
F
B A
【解析】 由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，故恢复等腰三角形．
延长AC 交BE 的延长线于点O ，易证得ABE AOE ∆∆≌，
所以E 为BO 的中点，又EF AC ∥，所以EF 为ABC ∆的中位线，故AF FB =． 这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件．
【习题4】如图所示，AD 平行于BC ，DAE EAB ∠=∠，ABE EBC ∠=∠，AD =4，BC =2，那么AB =________．
考点08 全等三角形 全等三角形主要包括全等图形、全等三角形的概念与性质，全等三角形的判定和角平分线的性质。在中考中，全等三角形的直接考查主要以选择和填空为主，有时也会以证明的形式考查，难度一般较小；但大多数情况下，全等三角形的知识多作为工具性质与其他几何知识结合，用于辅助证明线段相等、角相等，考查面较广，难度较大，需要考生能够熟练运用全等三角形的性质和判定定理。 一、全等三角形的性质； 二、全等三角形的判定； 三、角平分线的线的性质。
考向一：全等三角形的性质 1.全等三角形的对应边相等，对应角相等； 2.全等三角形的周长相等，面积相等； 3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 1．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ） A ．③和④ B ．②和③ C ．①和③ D ．①和② 2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ） A ．102︒ B ．92︒ C ．100︒ D ．98︒ 4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（ ）2cm ．
A．40B．24C．48D．64 5．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（） A．80°B．35°C．70°D．30° 考向二：全等三角形的判定 （一）三角形全等的判定定理： 1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． （二）灵活运用定理 三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来． 应用三角形全等的判别方法注意以下几点： 1. 条件充足时直接应用判定定理 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 2. 条件不足，会增加条件用判定定理 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 全等三角形的性质及判 定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中， 知识点睛 中考要求 第三讲 全等三角形中的角 平分线
注意有时会添加辅助线． 奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质： ⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性． 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍， A B O P P O B A A B O P 【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =， 求ABC ∆的面积． 例题精讲 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后 证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点 重、难点
2020年中考数学全等三角形专题复习讲义 一、基础达标训练 1. 下列说法正确的是() A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形 2. 如图，在△AB C和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后， 能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF() 第2题图 A. ∠A＝∠D B. ∠ACB＝∠DFE C. AC＝DF D. BE＝CF 3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠F AB ＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，其中正确结论的个数是() 第3题图第4题图 4.如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的
周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为() A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 5.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件________使得△ABC≌△DEF. 第5题图第6题图 6. 如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC＝3，那么OD的长为________． 7.△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________． 第8题图 8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分 四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝1 2AC·BD. 正确的是 __________．(填写所有正确结论的序号) 9.如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF. 求证：∠ABC＝∠DEF.
21.三角形全等 ➢知识过关 1.全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2.全等三角形的性质：全等三角形的_________相等,________相等. 3.全等三角形的判定定理： (1)一般三角形有________,_________,________,_________ (2)直角三角形还有___________ 4.角平分线的性质及判定 (1)角平分线上的点到角两边的______相等. (2)角的内部到角两边的________相等的点在角的平分线上. ➢考点分类 考点1探究三角形的全等条件 例1如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（） A．AD＝DC B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 考点2全等三角形的性质与判定 例2如图，∠1＝∠2，AB＝AE，添加一个条件，使得△ABC≌△AED． 考点3角平分线的性质及判定 例3如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D． （1）求证：CE⊥AB； （2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
➢真题演练 1．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（） A．AD＝DC B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 2．如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝75°，则∠BCE的度数为（） A．30°B．35°C．40°D．45° 3．如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM的度数等于（） A．10°B．20°C．30°D．40° 4．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为边BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于点E．有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF ＝EF；③F为EG的中点；④∠ADC＝∠BDF；⑤G为CF的中点．其中正确的结论有（）个． A．4B．3C．2D．1
第三章.三角形 模型（十）——双角平分线模型 【结论1】如图BI ，CI 是∠ABC 与∠ACB 的平分线，∠BIC=90º＋ 2 1 ∠ A 【结论2】如图BP ，CP 是∠DBC 与∠ECB 的平分线，∠BPC=90º-2 1∠A 典例秒杀 口诀 内内90加一半
【结论3】如图BP，CP是∠ABC与∠ACD的平分线，∠BPC= 2 1∠A 口诀外外90减一半 口诀内外就一半
典例1 ☆☆☆☆☆ 1.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，若∠BAC=80°，则∠BOC 的度数是（ ） A.130° B.120° C.100° D. 90° 【答案】A 【解析】∵BO ，CO 是△ABC 的内角平分线，由“内内 90°加一半”得， ∠BOC=90°+2 1 ∠BAC=90°+2 1×80°=130°. 故选 A. 典例2 ☆☆☆☆☆ 如图，BA 1和 CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 1是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，……以此类推，若∠A=α，则∠ A 2020=__________。 典例秒杀
【答案】 α•⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛2020 21 【解析】∵BA 1，为△ABC 的内角平分线，CA 1为△ABC 的外角平分线， 由“内外就一半”得，∠A ₁ =21∠A=2 1 ·α 同理，∠A ₂= 21∠A ₁=2 21⎪⎭⎫ ⎝⎛·α ∠A ₃=21∠A ₂=3 21⎪⎭ ⎫ ⎝⎛·α …… ∠ A 2020=α•⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛2020 21 典例3 ☆☆☆☆☆ 【问题】如图1，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，若∠A=80°， 则∠BEC=________；若∠A= n °，则∠BEC=___________。 【探究】（1）如图 2，在△ABC 中，BD ，BE 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分 ∠ACB ，若∠A=n º，则∠BEC=_________。 ⑵如图3，O 是∠ABC 的平分线 BO 与∠ACD 的平分线 CO 的交点，试 分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系，并说明理由； ⑶如图4，O 是△ ABC 的外角∠DBC 与∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系?（只写结论不需要证明）
三角形综合讲义 全等综合 知识精讲 一．全等三角形的断定方法： 边角边定理() SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 角边角定理() ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 边边边定理() SSS：三边对应相等的两个三角形全等． 角角边定理() AAS：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．斜边、直角边定理() HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 二．全等三角形的应用： 1．运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线； 2．能通过断定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的根底． 1.三．全等三角形辅助线的作法 2.1．中点类辅助线作法 见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如以下图〔AD是∆底边的中线)． ABC 2．角平分线类辅助线作法 有以下三种作辅助线的方式： 〔1〕由角平分线上的一点向角的两边作垂线； 〔2〕过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形； 〔3〕OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍． 3．截长补短类辅助线作法 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所
谓“截长〞，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与的另一条线段相等；所谓“补短〞，就是将一个的较短的线段延长至与另一个的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进展求解． 三点剖析 一．考点： 1．全等三角形的断定 2．全等三角形辅助线的作法 二．重难点： 1．全等三角形的断定 2．全等三角形辅助线的作法 三．易错点： 1．在使用断定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和断定定理要求的一样，对应顶点要对应． 2．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目； 3．辅助线不是随意都可以作的，比方“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度〞这种辅助线就不一定能作出来． 1．全等三角形的断定 2．全等三角形辅助线的作法 例题讲解 一：全等与三角形综合 例1.1.1把两个全等的Rt ABC ∆和Rt EFG ∆〔其直角边长均为4〕叠放在一起〔如图①〕，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，现将三角板EFG 绕O 点顺时针旋转〔旋转角α满足条件：090α︒<<︒〕，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠局部〔如图②〕 〔1〕在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系，四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论； 〔2〕连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=X ，GKH ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 〔3〕在〔2〕的前提下，是否存在某一位置，使GKH ∆的面积恰好等于ABC ∆面积的5 16 ？假设存 在，求出此时x 的值；假设不存在，说明理由． 【答案】〔1〕面积是4，是一个定值，在旋转中没有变化；理由见解析；〔2〕04x <<；〔3〕存在． 【解析】〔1〕在上述旋转过程中，BH =CK ，四边形CHGK 的面积不变 证明：连接CG 、KH ，ABC ∆为等腰直角三角形，()O G 为其斜边中点，CG BG ∴=，CG AB ⊥ 45ACG B ∴∠=∠=︒ BGH ∠与CGK ∠均为旋转角，BGH CGK ∴∠=∠
专题18 全等三角形 【专题目录】 技巧1：全等三角形判定的三种类型 技巧2：构造全等三角形的六种常用方法 技巧3：证明三角形全等的四种思路 【题型】一、全等三角形的性质 【题型】二、全等三角形的判定（SSS） 【题型】三、全等三角形的判定（SAS） 【题型】四、全等三角形的判定（AAS） 【题型】五、全等三角形的判定（ASA） 【题型】六、全等三角形的判定（HL） 【题型】七、全等三角形综合问题 【题型】八、角平分线的判定定理 【考纲要求】 1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素 2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等【考点总结】一、全等三角形及其性质 全等三角形及其性质全等图形概念 能完全重合的图形叫做全等图形. 特征：①形状相同。①大小相等。①对应边相等、对应角相等。 全等三角形概 念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 表示方法：全等用符号“①”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字 母要写在对应位置上。 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。 变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
【考点总结】二、全等三角形的判定 【技巧归纳】 技巧1：全等三角形判定的三种类型 【类型】一、已知一边一角型 题型1：一次全等型 1．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，且BE ＝CF. 求证：AD 是△ABC 的中线． 题型2：两次全等型 2．如图，∠C ＝∠D ，AC ＝AD. 求证：BC ＝BD. 【类型】二、已知两边型 全等三 角形的 性质与 判定 概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 性质 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 判定 (1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)． 角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边 距离相等。
专题16 全等三角形判定与性质定理 1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 一、基本概念 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等. 特别提醒：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等. 3.全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 例1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE 上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP△AQ． 【答案】 证明：
（1）△BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高， △△1+△CAE=90°，△2+△CAE=90°． △△1=△2, △在△AQC和△PAB中， △△AQC△△PAB． △ AP=AQ. (2)△ AP=AQ，△QAC=△P， △△PAD+△P=90°， △△PAD+△QAC=90°，即△PAQ=90°． △AP△AQ． 二、灵活运用定理 三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来． 应用三角形全等的判别方法注意以下几点： 1. 条件充足时直接应用判定定理 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 2. 条件不足，会增加条件用判定定理 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案． 3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理 在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．
2023年中考数学复习讲义三角形及其全等 第一部分：知识点精准记忆 一、三角形的基础知识 1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形． 2.三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系． 3.三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 4.三角形中的重要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线． （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． （4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半． 二、全等三角形 1.三角形全等的判定定理： （1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； （3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）； （5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）． 2.全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 三、线段垂直平分线与角平分线 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴． 2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． 4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 第二部分：考点典例剖析 考点一： 三角形的三边关系 【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可） 【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___． 考点二： 三角形的内角和外角 【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．
全等三角形 1已知：AB=4, AC=2, D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 3 已知：Z1=Z2, CD=DE, EF//AB,求证：EF=AC 4 已知：AD 平分ZBAC, AC=AB+BD,求证：ZB=2ZC 5 已知：AC 平分ZBAD, CE 丄AB, ZB+ZD=180° ,求证：AE=AD+BE ZC=ZD, F 是 CD 中点，求证：Z1=Z2 2 已知：BC=DE, ZB=ZE,
6如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE、CE分别平分ZABC、ZBCD,且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 7 已知：AB=CD, ZA=ZD,求证：ZB=ZC &P 是ZBAC 平分线AD 上一点，AC>AB,求证：PC-PB 13已知：如 BD1AC , 分别为D、E, BD、CE相交于点F。 求证：BE=CD. 图，AB=AC, CEXAB,垂足 10.如图，已知AD/7BC, ZPAB的平分线与ZCBA的平分线相交于E, CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB. 11如图，AABC中，AD是ZCAB的平分线，且AB=AC+CD,求证：ZC=2ZB 12 如图：AE、BC 交于点M, F 点在AM 上，BE/7CF, BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。 14 在AABC 中，ZACB = 90°, AC = BC ,直线MV 经过点C ,且AD 丄MZV 于D , BE L MN 于E . (1) 当直 线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：① ^ADC竺ACEB；② DE = AD + BE ； (2)当直线MV绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明; 若不 成立，说明理由. 15如图所示，已知AE丄AB, AF丄AC, AE=AB, AF=AC。求证: 16.如图，已知AC〃BD, EA、EB分别平分ZCAB和Z E,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 DBA, CD过点 (1) EC=BF； (2) EC丄BF B C 第7讲 全等三角形的综合、角平分线 ⑴ 平移全等型 ⑵ 对称全等型 ⑶ 旋转全等型 ⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性． 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍， A B O P P O B A A B O P 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． 考点1、三角形全等综合 1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ） A．PO B．PQ C．MO D．MQ （1）（2） 3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？ 4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问： 【中考考点梳理】 考点一全等三角形的概念与性质 1．概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形． 温馨提示： 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如右图，△ABC 和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作△ABC≌△DB C．2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等； (2)全等三角形的对应线段(包括角平分线、中线、高线)相等、周长相等、面积相等． 3．常见全等三角形的基本图形 (1)平移全等型 (2)翻折全等型 (3)旋转全等型 考点二全等三角形的判定 1．全等三角形的判定方法 温馨提示： 1．方法2是两边和它们的夹角，如果说“两边及其中一边的对角对应相等”，则不能判定两个三角形全等． 2．三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 2．全等三角形的判定思路 说明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行． 考点三角平分线的性质定理及其逆定理) 1．性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 即如图，∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE. 2．性质定理的逆定理：角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．即如上图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP是∠AOB的平分线． 温馨提示： 应用角平分线的性质定理就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化，所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用角平分线的性质定理解决问题． 考点四线段垂直平分线的性质与判定 1．定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．2．性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 3．性质定理的逆定理：与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 【例1】(2015·温州)如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB ∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D． (1)求证：AB＝CD； (2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数． 【思路点拨】(1)由AB∥CD，可得∠B＝∠C，再有AE＝DF，∠A＝∠D，可得△ABE ≌△DCF，由全等三角形的性质可证；(2)通过等量代换得到△DCF为等腰三角形，且∠C ＝∠B＝30°，再通过三角形内角和求得∠D的度数． 【自主解答】 (1)证明：∵AB∥CD, ∴∠B＝∠C．∵AE＝DF， ∠A＝∠D, ∴△ABE≌△DCF(AAS)．∴AB＝CD． (2)解：∵AB＝CF，AB＝CD，∴CD＝CF， ∴∠D＝∠CFD． ∵∠B＝∠C＝30°，∴∠D＝75°. 方法总结： 判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等． 【变式训练】 1、如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM 交BN于点P. (1)求证：△ABM≌△BCN； (2)求∠APN的度数． (1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN. 又BM＝CN，∴△ABM≌△BCN. (2)解：∵∠APN是△ABP的一个外角， 中考专题复习全等三角形(含答案) 中考专题复：全等三角形 知识点总结： 一、全等图形和全等三角形 1.全等图形：两个图形完全相同即为全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的对应边和对应角分别相等。 3.全等三角形：对应边和对应角分别相等的三角形为全等三角形。全等三角形对应边上的高、中线相等，对应角的平分线也相等。全等三角形的周长和面积也相等。 注意：周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。 二、全等三角形的判定 1.一般三角形全等的判定： 三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“BBB”）。 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“BAB”）。 两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“AAS”）。 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“ASA”）。 2.直角三角形全等的判定：利用一般三角形全等的判定可以证明直角三角形全等。 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）。 注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。 三、全等三角形的性质 1.对应角相等，对应边相等。 2.对应边上的高相等。 3.对应角的平分线相等。 4.对应中线相等。 5.面积相等。 6.周长相等。 四、角平分线的性质及判定 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 五、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对 顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； • • 《角平分线的性质 》专题复习 本节主要通过介绍画角的平分线，引导学生发现问题：角的平分线有什么性质？通过将 一个角对折的方法学习对角线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．利 用三角形全等来说明角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分 线上．接着引导学生试做一个三角形内的三个内角的角平分线，看看有什么特点，特点是： 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这个点到三角形三边的距离相等．角的平 分线的性质一课占有很重要的地位，它是证明线段相等、角相等的有利工具。 一．角的平分线的性质 这是本节的重点知识，但在以后的习题中很少会单独的出现只考查角平分线的性质的题 目，一般会综合的考查三角形全等、平行线等有关知识，故在【知识点击】、【典例引路】、 【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。 二．性质运用 在【备选题目】中，设置了角平分线与方程解决问题的题目，以提高学生的综合解题能 力。 三．易错点 本节知识的易错点是，把角平分线的性质及角平分线的判断混淆了，所以在【典例引路】 例 3 题及【基础训练】第 3 题设置了相应的题目。 【知识点击】 点击一: 角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等． 如图：AB 是∠CAD 的平分线，则有：CB=BD 。 点击二: 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上． 如图：如果有 CB=BD ，则有 AB 是∠CAD 的平分线。 点击三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这 个点到三角形三边的距离相等． 如图：在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC ，BE 是∠ABC 的角平 A 分线，则有 IH=IG=IF 。 H G I E 【典例引路】 类型之一:求证角平分线的性质定理 B D F C 例 1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什 么吗？ 【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办 法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点． H I A G E 【答案】已知：如图，△ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点 I ，求证：点 I 在∠ACB 的平分线上． B D F C 2020-2021中考专题复习：全等三角形 一、选择题 1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，所需的条件是() A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 2. 如图所示，AC，BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则图中与△ABC全等的三角形共有() A．1个B．2个C．3个D．4个 3. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是() A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 4. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是() A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等 C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D.AD∥BC，AD=BC 5. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为() 图12-1-10 A.2 B.3 C.5 D.2.5 6. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是() A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D 7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6， 将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于() A. 2 B. 3 C. 2 D. 6 8. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为() A．40°B．50°C．55°D．60° 二、填空题 9. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________. 中考数学一轮复习全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)及解析 一、全等三角形角平分线辅助 1．已知点C 是∠MAN 平分线上一点，∠BCD 的两边CB 、CD 分别与射线AM 、AN 相交于B ，D 两点，且∠ABC +∠ADC ＝180°．过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ． （1）如图1，当点E 在线段AB 上时，求证：BC ＝DC ； （2）如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，探究线段AB 、AD 与BE 之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN ＝60°，连接BD ，作∠ABD 的平分线BF 交AD 于点F ，交AC 于点O ，连接DO 并延长交AB 于点G ．若BG ＝1，DF ＝2，求线段DB 的长． 2．在ABC 中，60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，且BD ，CE 交于点F ． （1）如图1，用等式表示BE ，BC ，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 小东通过观察、实验，提出猜想：BE CD BC +=．他发现先在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，再利用三角形全等的判定和性质证明CM CD =即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整： ⅰ）在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，则可以证明BEF 与 全等，判定它们全等的依据是 ； ⅱ）由60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，可以得出EFB ∠= °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE CD BC +=的过程． （2）如图2，若40ABC ∠=︒ ，求证：BF CA =． 专题02 全等三角形专题详解 专题02 全等三角形专题详解 (1) 12.1 全等三角形 (2) 知识框架 (2) 一、基础知识点 (2) 知识点1 全等形的概念及性质 (2) 知识点2 全等形的定义和表示方法 (2) 知识点3 全等三角形的性质与拓展 (2) 知识点4 全等变换的保形性 (2) 12.2三角形全等的判定 (3) 知识框架 (3) 一、基础知识点 (3) 知识点1 全等三角形判定条件 (3) 二、典型题型 (4) 题型1 全等三角形的判定 (4) 三、添加辅助线方法 (5) 方法1 关于中点的辅助线 (5) 方法2 作垂线构造全等求点的坐标 (12) 方法3 截长补短法（往往需证2次全等） (14) 12.3角平分线的性质 (17) 知识框架 (17) 一、基础知识点 (17) 知识点1 角平分线的性质 (17) 知识点2 角平分线的判定 (17) 知识点3 三角形的内心和旁心 (17) 二、典型题型 (17) 题型1 角平分线的性质和定义的应用 (17) 题型2 三角形内心的应用 (18) 三、添加辅助线方法 (20) 方法1 角平分线上的点向两边作垂线 (20) 方法2 过边上的点向两边作垂线 (22) 方法3 过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (24) 方法4 利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (25) 12.1 全等三角形 知识框架 一、基础知识点 知识点1 全等形的概念及性质 1）全等形：能够完全重合的两个图形 2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同 注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。对称图形要求更苛刻些。 ②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角 度等皆相等） 知识点2 全等形的定义和表示方法 1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形） 2）表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF） ②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位） ③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得： a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点； b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角； c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。 3）找对应角对应边的方法 ①图形特征法 ②字母顺序确定法 知识点3 全等三角形的性质与拓展 1）全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形 a.对应边、对应角相等人版八年级数学[上册]第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(有答案解析)
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