1. 全等三角形 教案
【教学目标】
1.了解全等形、全等三角形的概念，会用符号语言表示两个三角形全等；
2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质 ，并能用其解决简单的问题； 【教学重难点】
重点：探究全等三角形的性质；
难点：理解两个全等三角形的对应元素，并会找对应元素。 【教学过程】 一、新知引入
活动一
在PPT 上展示各种由同一张底片洗出的两张照片，让同学们观察。
问题：这些图片有什么特点？能否完全重合？（用PPT 演示重合的过程）
发现：它们的形状、大小相同，能够完全重合．
二、新知讲解
(一)全等形
全等形：能够 完全重合 的两个图形叫做全等形． 全等形的特点： 形状 相同 ，大小 相等 ．
问题：你还能说出生活中全等图形的例子吗?（学生举例）
(二)全等三角形
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点. 如：A 的对应顶点是D 重合的边叫做对应边. 如：AB 与DE 对应
重合的角叫做对应角. 如：∠A 的对应角是∠D
全等的符号：≌ 读作：全等于
如：△ABC ≌△DEF 读作: △ABC 全等于△DEF
注意：写全等式时要求把 对应顶点字母 写在 对应的位置 上。
A
B C D
E
F
（三）全等三角形的性质
活动二
(1)请大家用自己手中的三角尺在纸上画一个和它形状、大小完全相同的三角形，然后将他们重合在一起。
(2)在重合的过程中，你能发现它们的对应边有什么关系吗？对应角呢？
(引导学生从“全等三角形可以完全重合”出发找等量关系)
全等三角形的性质：全等三角形的 对应边相等 ， 对应角相等 。
数学语言表示：
∵ △ABC ≌△DEF ∴AB=DE ，BC=EF ，AC=DF （全等三角形对应边相等）
∠A= ∠D ，∠B=∠E ，∠C= ∠F （全等三角形对应角相等）
活动三
下面各组两个三角形全等吗？若全等，请写出全等式。 (1)将△ABC 沿直线AB 平移得△DEF ； (2)将△ABC 沿AB 翻折180°得到△ABD ；
(3)将△OAC 旋转180°得△OBD ．
总结：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改
变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
三、例题讲解
例1.如图所示，若△ABC ≌ △ADC ，则
对应边有： 对应角有：
C A
B F D E
C
A
B
D
O A
C D A
B
C
例2.如图，△ABO≌△CDO,点A与点C是对应顶点，点B与点D是对应顶点。
(1)请说出这两个三角形中相等的边和相等的角。
(2)若AB=3,∠B=50 °,∠BOA=60 °,求CD的长及∠C的度数。
找两个全等三角形的对应元素的规律：
①公共边是对应边；公共角是对应角。
②最长(短)边是对应边，最大(小)角是对应角。
③对顶角一定是对应角。
④对应边所对的角是对应角；对应角所对的边是对应边。
四、巩固练习
1．判断题
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（）
（2）全等三角形的周长相等，面积也相等。（）
（3）面积相等的三角形是全等三角形。（）
（4）周长相等的三角形是全等三角形。（）
2．如图1，若△AOB≌△COD，对应边是________________________________，对应角是_________________________________ ．
3．如图2，若△ABC≌△CDA，对应边是_________________________ ____，对应角是_________________________________．
A
B
O
C
D
1 2
(图1) (图2)
A
B
O
C
D
4．如图，已知△ABN ≌△ACM ，且∠1＝∠2，∠B= ∠C ，写出其他的对应边和 对应角．
5. 如图，已知△CAB ≌△CDE ，∠ACB 与∠DCF 是对应角，CA 与CD 是对应边，写出其它对应边和对应角．
6 如图，已知△ABC ≌△ADE ，AC 与AE ，AB 与AD 是对应边，写出其它对应边和对应角．
四、课堂小结
(1) 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； (2) 全等三角形的对应边相等、对应角相等；
(3) 全等三角形用符号“≌”表示，且一般对应顶点写在对应位置上.
五、课堂作业 课本P 33 1、4
M N
A
B C
D E
A
C
B
E
D
1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 3. 全等三角形的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）； （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）； （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）； （4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。 4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。 （1）平移 （2）翻折 （3）旋转 5. 判定两个三角形全等所需条件： （1）需要三个条件； （2）至少有一个条件为边。 注意：“边边角”不一定成立。 反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。
【解题方法指导】 例1. （2005年安徽） 如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。 分析：由AB∥DE，可以得到∠A＝∠D； 由AF＝DC，可以得到AC＝DF； 由AB＝DE，由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC，及△BAC≌△EDF 由此又可以得到BF＝EC，BC＝EF，FC又是公共边，可证△BFC≌△EFC 证明：在△BAF与△EDC中， ∵AB∥DE ∴∠A＝∠D 又AB＝DE，AF＝DC ∴△BAF≌△EDC（SAS） 评析：判断两个三角形全等，设法找齐三个条件，至少有一个条件是边，因此先找出给出的条件（如AB＝DE，AF＝DC）；然后发展条件，继续得到有关信息（如由AB∥DE?∠A＝∠D；由AF＝DC?AC＝DF） 例2. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。问：在条件中再补充一个什么等量关系，可以得到△DAB≌△BCE，并加以证明。 分析：题目中已给出∠A＝∠C＝90°，DB＝BE，欲使△DAB≌△BCE，可再给出一对相等的锐角（∠D＝∠EBC，或∠ABD＝∠E），便可利用“AAS”，证出两个三角形全等。 也可再给出一组直角边相等，便可利用“HL”，证出两个直角三角形全等。 解：在条件中再给出∠D＝∠EBC或∠ABD＝∠E或AD＝CB或AB＝CE，都可证出△DAB≌△BCE。 证明：在Rt△DAB和Rt△BCE中 ∵∠A＝∠C＝90° DB＝BE AD＝CB ∴△DAB≌△BCE（HL） 评析：此题属于开放性试题，需要再补充一个适当的条件，从而得到两个全等三角形，但它的结果不唯一。需要对全等三角形的判定很熟悉，才会正确解答此题。
全等三角形知识点总结及复习[全文5篇] 第一篇：全等三角形知识点总结及复习 全等三角形知识点总结及复习一、知识网络二、基础知识梳理（一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形； （2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题例1.已知：如图所示，AB=AC，求证：.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF 与DE交于点B。求证：。 例3.如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。 例4.如图所示，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且求证：BD=CE。 例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°。 求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADC≌DAFC，问题就可以得到解决。 证明（一）： 在AE上截取AF=AD，连结FC。 在DAFC和DADC中∴DAFC≌DADC（边角边）∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）∵∠B+∠D=180°（已知）∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）在DCEB和DCEF中∴DCEB≌DCEF（角角边）∴BE=EF ∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE（等量代换）证明（二）： 在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。
全等三角形的性质和判定 要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点二、对应顶点,对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF,AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角. 要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点四、全等三角形的判定 （SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ） 全等三角形判定一（SSS ，SAS) 全等三角形判定1-—“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。 要点诠释:如图，如果''A B ＝AB,''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2-—“边角边" 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边"或“SAS ”).
要点诠释：如图,如果AB ＝ ''A B ,∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2。 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点． 求证：RM 平分∠PRQ ． 证明:∵M 为PQ 的中点（已知）, ∴PM ＝QM 在△RPM 和△RQM 中, ()(),, RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM(SSS ）． ∴∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）． 即RM 平分∠PRQ. 举一反三： 【变式】已知:如图，AD ＝BC ，AC ＝BD 。试证明:∠CAD ＝∠DBC 。
确定全等三角形对应边或对应角方法 山东于秀坤 知道了两个三角形全等，如何确定对应边或对应角呢？下面介绍几种方法： 一、根据对应顶点来找对应边和对应角 如果已知两个三角形的顶点是对应点，则以对应点为顶点的角是对应角，对应角的对边就是对应边 例1 如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出两 个三角形中相等的边和角 分析：全等的三角形是全等多边形的特殊形式，所以全等三角 形的对应边相等，对应角相等要说出两个全等三角形中相等的边和 角，只要找到对应边和对应角即可解决问题 因为C和B，A和D是对应顶点，所以∠ACO和∠DBO是对应角，图1 ∠CAO和∠BDO是对应角，∠COA和∠BOD是对应角，根据对应角的对边是对应边，所以∠ACO的对边AO和∠DBO的对边DO是对应边，∠CAO的对边OC和∠BDO的对边OB是对应边，∠COA的对边AC和∠BOD的对边DB是对应边， 解：相等的边有：OA=OD，OC=OB，AC=DB；相等的角有：∠ACO=∠DBO，∠CAO=∠BD0，∠COA=∠BOD 评注：在确定对应边和对应角时，对应顶点的字母一般放在对应的位置 二、对应角和对应边确定法 已知两个全等三角形的一组对应角和一组对应边已知，则可根据对应边的对角 是对应角，对应角的对边是对应边来确定对应元素 例2 如图3，△ACB≌△BDA，AC和BD对应，BC和AD对应，写出其他的 对应边及对应角. 图2 分析：因为已经知道了两组对应边，剩下的一组边是对应边，根据对应边所对的角是对应角，所以比较容易发现AC的对应角是∠CBA，BD的对应角是∠DAB，BC的对应角是∠CAB，AD的对应角是∠DBA，剩下的一组∠ACB和∠BDA是对应角. 解：对应边是AB和BA，对应角是∠CBA和∠DAB、∠CAB和∠DBA、∠ACB和∠BDA. 评注：当全等三角形的两组对应边(角)已确定，剩下的一组边(角)是对应边(角) 三、特征确定法 两个全等三角形中的一组最长边(或最大角)是对应边(或对应角);有公共边的, 公共边是对应边;有公共角的,公共角是对应角，有对顶角的，对顶角是对应角 例3 如图3，已知△ABD≌△CDB，∠ABD=∠CDB，写出其它的对应边， 对应角 分析：在△ABD和△CDB中，∠ABD=∠CDB，则∠ABD、∠CDB所对应的 边AD与CB是，公共边BD与DB是对应边，余下的一对边AB与CD是对 应边，有对应边所对的角是对应角可确定其它两组对应角 解：BD与DB、AD与CB、AB与CD是对应边；∠A与∠C、∠ABD与∠CDB、图3 ∠ADB与∠CBD是对应角 评注：确定全等三角形的对应边的方法比较多，只要抓住全等三角形的之间的特征，确定对应边和对应角
全等三角形 第1节全等三角形的性质和判定 【知识梳理】 1、全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 2、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 4、全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 【诊断自测】 1、如果ΔABC≌ΔDBC，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____， ∠DCB的对应角是_____． 2、如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝ _____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°． 3、如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．
【考点突破】 类型一：全等形 例1、由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案_____全等图案，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片____全等图形。（填“是”或者“不是”） 类型二：全三角形的定义和性质 例2、如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（） A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB 例3、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC：∠ABC：∠BCA=28：5：3，则∠α的度数为（） A．90°B．85°C．80°D．75° 类型三：全等三角形的判定（SSS） 例4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 例5、已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点． 求证：RM平分∠PRQ． 分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，
全等三角形知识点 1、全等形 （1）概念：能够完全重合的两个图形叫全等形。（2）性质：○1形状相同. ○2大小相等。（3）○3一个图形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等形三角形 （1）概念：能够完全重合的两个三角形形叫全等三角形。 （2）符号：“≌”读作“全等于”。 （3）表示：△ABC≌△A/B/C/，读作△ABC全等于△A/B/C/。 注意：○1表示两个全等三角形时，要把“对应顶点的大写字母”写在“对应的位置上”。○2两个全 等三角形重合在一起时，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 （4）性质：○1对应边相等，对应角相等。○2边长相等，面积相等。○3对应的中线、角平 分线、高线都分别相等。 注意：周长或面积相等的两个三角形不一定全等。 3、三角形全等的判定方法 （一）三边对应相等的两个三角形全等。（简写为“边边边”或“SSS”） 如图，在△ABC和△DEF中 ∵ ∴△ABC≌△DEF（SSS） （二）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（简写为“边角边”或“SAS”） 如图，在△ABC和△DEF中 ∵ ∴△ABC≌△DEF（SAS）（三）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（简称为“角边角”或“ASA”） 如图，在△ABC和△DEF中 ∵ ∴△ABC≌△DEF（ASA （四）有两角和其中一个角的对边对应相等的两个 三角形全等。（简称为“角角边”或“AAS”） 如图，在△ABC和△DEF中 ∵ ∴△ABC≌△DEF（AAS） （五）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等。（简称为“斜边、直角边”或“HL”） 如图，在Rt△GIH和Rt△JLK中 ∵ ∴ Rt△GIH≌Rt△JLK （HL） 注意：（1）一般三角形全等的判定方法只有四种。 即，SSS，SAS，ASA，AAS。（2 ）Rt△全等的判 定方法有五种。即，SSS，SAS，ASA，AAS，HL。 事实上，在证明两个三角形全等时，只需考虑○1两 条直角边相等。○2一个锐角和一条边相等。○3HL。 （3） “边边角”和“角角角”不能判定两个三角形 全等。如图1，图2 图1 ，在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠ 但△ABC和△DEF不全等。 图2，在△ABC和△ABD中 AB=AB，AC=AD，∠B=∠B 但△ABC和△ABD不全等。 B C F E ? ? ? ? ? = = = DF AC EF BC DE AB B C F E ? ? ? ? ? = ∠ = ∠ = EF BC E B DE AB F E ? ? ? ? ? ∠ = ∠ = ∠ = ∠ E B DE AB D A ? ? ? ? ? ∠ = ∠ = ∠ = ∠ E B DE AB D A B C F E ? ? ? = = JL GI JK GH B B C A E F D 图1 图2
全等三角形 全等三角形 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆ （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 全等三角形的判定1：SSS 三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩ ⎪ ⎨⎧===DF AC EF BC DE AB ABC ∆∴≌DEF ∆ 【典型例题】 例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点， ︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求 A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积． A B C D E F A B D C
例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求ED F ∠的度数及CF 的长． 例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EF A B E C F D A B E C D A B C D F E
全等三角形的知识点总结 全等三角形的知识点总结 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况) 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的，公共边一定是对应边; (4)有公共角的，角一定是对应角; (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角; 表示：全等用≌表示，读作全等于。 判定公理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或边边边)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或边角边)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或角边角)。 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或角角边) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或斜边，直角边) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的`判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。
H是英文斜边的缩写(Hypotenuse)，L是英文直角边的缩写(leg)。 6.三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。 性质 三角形全等的条件： 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 6、全等三角形的对应中线相等。 7、全等三角形面积相等。 8、全等三角形周长相等。 9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等的方法： 1、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 推论 要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定： S.S.S. (Side-Side-Side)(边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 S.A.S. (Side-Angle-Side)(边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 A.S.A. (Angle-Side-Angle)(角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角
全等三角形知识点总结 全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。当两个三角形的对 应边长、对应角度均相等时，它们就是全等三角形。全等三角形的性 质和应用十分重要，在几何学和实际问题的解决中都有广泛的应用。 本文将对全等三角形的知识点进行总结，旨在帮助读者系统地了解和 掌握全等三角形的相关概念、性质和应用。 一、全等三角形的定义及判定 全等三角形的定义：当两个三角形的对应边长、对应角度均相等时，它们就是全等三角形。 全等三角形的判定： 1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形 全等。 2. SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个 三角形全等。 3. ASA判定法：如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则这两个 三角形全等。 4. AAS判定法：如果两个三角形的两角和对边分别相等，则这两个 三角形全等。 二、全等三角形的性质
1. 对应边相等性质：全等三角形的对应边相等，即对应边的长度相等。 2. 对应角相等性质：全等三角形的对应角相等，即对应角的度数相等。 3. 对称性质：全等三角形是对称的，即一个全等三角形的三个顶点可以与另一个全等三角形的三个顶点按照一定的顺序对应。 4. 任意两边夹角相等性质：全等三角形的任意两边夹角相等。 5. 垂直角性质：两个全等三角形的对应边相等，对应边落在同一直线上，对应边相互垂直。 三、全等三角形的应用 1. 相似三角形的判定：如果两个三角形的对应角度相等，但对应边长不全等，则这两个三角形是相似的，我们可以通过全等三角形的判定法来判断两个三角形是否相似。 2. 数学问题中的运用：全等三角形的性质可以应用于解决各种数学问题，例如计算直角三角形的边长、解决三角恒等式等。 3. 工程测量与建模：全等三角形的性质在测量和建模中有广泛的应用，可以通过已知的全等三角形关系来计算未知的长度或角度。 4. 图形的构造：全等三角形的判定法可以用于图形的构造，例如根据给定的边长和角度构造相应的全等三角形。 总结：
全等三角形 经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形[1] ，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。全等三角形是几何中全等之一。[2] 根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。正常来说，验证两个全等三角形一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、和直角三角形的斜边，直角边（HL）来判定。 中文名 全等三角形证明方法 SSS，SAS，ASA，AAS，HL 1．全等三角形的对应角相等。 2．全等三角形的对应边相等。 3. 能够完全重合的顶点叫对应顶点。 4．全等三角形的对应边上的高对应相等。 5．全等三角形的对应角的角平分线相等。 6．全等三角形的对应边上的中线相等。
7．全等三角形面积和周长相等。 8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。 判定过程： 在第一行写要进行判定全等的两个三角形； 第二行画大括号，分别写判定的三个条件，并注明理由； 在第三行写出结论，并说明理由。 五种理由： 1.公共边； 2.已知； 3.已证； 4.公共角； 5.由定义推到的角，如“对顶角相等”。 最后一行，写两个三角形全等并注明理由.（如图） 四种理由 （若为直角三角形，在第二行须先写明两个直角相等并为90度，再写两个斜边、直角边分别相等）。 （例：Rt△xxx与Rt△xxx） （提示：线段的垂直平分线上的一点到线段的两个端点的距离相等） 温馨提示：
三个角对应相等的两个三角形不一定全等，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等。 判定 SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。 SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。 ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。 AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。 RHS（Right angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。 下列两种方法不能验证为全等三角形： AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。 SSA（Angle-Side-Side）（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。 不能验证全等三角形的判定
全等三角形的概念和性质（基础） 【学习目标】 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 【要点梳理】 【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质基本概念梳理回顾】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【典型例题】 类型一、全等形和全等三角形的概念
三角形全等角角边的顺序 三角形共有三个角，任意两个相等，第三个也必定相等，因此判断全等三角形用角角边时，俩个角没有先后顺序。全等三角形的判定方法：“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”、“直角、斜边、边”。 1、SSS（Side-Side-Side）（边边边），当三角形的三边对应相等时那么这两个三角形是全等三角形。 2、SAS（Side-Angle-Side）（边角边），两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。 3、ASA（Angle-Side-Angle）（角边角），两角及其夹边对应相等的三角形全等。 4、AAS（Angle-Angle-Side）（角角边），两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。 5、RHS（Right angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理(斜边、直角边)），在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
扩展资料： 全等三角形的性质： 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等。 3、能够完全重合的顶点叫对应顶点。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角的角平分线相等。 6、全等三角形的对应边上的中线相等。 7、全等三角形面积和周长相等。 8、全等三角形的对应角的三角函数值相等。判断三角形全等的注意：
三个角对应相等的两个三角形不一定全等，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等。 全等三角形的运用： 1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。 2、当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS 找全等三角形。
1. 全等三角形 教案 【教学目标】 1.了解全等形、全等三角形的概念，会用符号语言表示两个三角形全等； 2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质 ，并能用其解决简单的问题； 【教学重难点】 重点：探究全等三角形的性质； 难点：理解两个全等三角形的对应元素，并会找对应元素。 【教学过程】 一、新知引入 活动一 在PPT 上展示各种由同一张底片洗出的两张照片，让同学们观察。 问题：这些图片有什么特点？能否完全重合？（用PPT 演示重合的过程） 发现：它们的形状、大小相同，能够完全重合． 二、新知讲解 (一)全等形 全等形：能够 完全重合 的两个图形叫做全等形． 全等形的特点： 形状 相同 ，大小 相等 ． 问题：你还能说出生活中全等图形的例子吗?（学生举例） (二)全等三角形 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 重合的顶点叫做对应顶点. 如：A 的对应顶点是D 重合的边叫做对应边. 如：AB 与DE 对应 重合的角叫做对应角. 如：∠A 的对应角是∠D 全等的符号：≌ 读作：全等于 如：△ABC ≌△DEF 读作: △ABC 全等于△DEF 注意：写全等式时要求把 对应顶点字母 写在 对应的位置 上。 A B C D E F
（三）全等三角形的性质 活动二 (1)请大家用自己手中的三角尺在纸上画一个和它形状、大小完全相同的三角形，然后将他们重合在一起。 (2)在重合的过程中，你能发现它们的对应边有什么关系吗？对应角呢？ (引导学生从“全等三角形可以完全重合”出发找等量关系) 全等三角形的性质：全等三角形的 对应边相等 ， 对应角相等 。 数学语言表示： ∵ △ABC ≌△DEF ∴AB=DE ，BC=EF ，AC=DF （全等三角形对应边相等） ∠A= ∠D ，∠B=∠E ，∠C= ∠F （全等三角形对应角相等） 活动三 下面各组两个三角形全等吗？若全等，请写出全等式。 (1)将△ABC 沿直线AB 平移得△DEF ； (2)将△ABC 沿AB 翻折180°得到△ABD ； (3)将△OAC 旋转180°得△OBD ． 总结：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改 变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 三、例题讲解 例1.如图所示，若△ABC ≌ △ADC ，则 对应边有： 对应角有： C A B F D E C A B D O A C D A B C
―人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点…… ________ ___ _________ 定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3) 有公共边的，公共边一定是对应边； (4) 有公共角的，角一定是对应角； (5) 有对顶角的，对顶角一定是对应角； 表示：全等用“望”表示，读作“全等于”。 判定公理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL 或“斜边，直角边”)所以，SSS,SAS,ASA,AAS,H均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA特例：直角三角形为HL， 属于SSA边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写(angle) ，S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写(Hypotenuse)，L是英文直角边的缩写(leg )。 6•三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。性质 三角形全等的条件： 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 &全等三角形的对应中线相等。 7、全等三角形面积相等。
第一单元知识点 1.1 认识三角形（1） 1.三角形的概念： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形的三边关系： （1）三角形任何两边的和大于第三边 （2）三角形任何两边的差小于第三边 1.1 认识三角形（2） 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180０ 2. 三角形的角平分线： 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 3. 三角形的中线： 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线4. 三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的高线 三角形的角平分线，中线，高线都是线段 1.2 定义与命题（1） 1、能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2、判断某一件事情正确或不正确的句子叫做命题。 3、我们在数学上学习的命题一般由条件和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项。这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论 1.2 定义与命题（2） 1、正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题 2、人们经过长期实践后公认为正确的命题称为基本事实 3、用推理的方法判断为正确命题叫做定理 1.3 证明（1） 要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。 1.3证明（2） 三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫做该三角形的外角。 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
确定全等三角形对应边（角）三法 在说明三角形全等时，需要找出它们的对应边或对应角，那么，如何正确地找到全等三角形的对应边或角呢？下面介绍三种方法．希望对你有所帮助． 一、字母顺序确定法 由于在表示两个全等三角形时，通常是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（同学们在证明三角形全等时也要注意应这样写），所以可以利用字母的顺序确定对应元素． 例1 已知△ABC≌△ADE，指出△ABC和△ADE的对应边、对应角． 分析：先把两个三角形顶点的字母按照同样的顺序排成一排：A→B→C，A→D→E，然后按同样的顺序找出对应元素：（1）点A、A；B、D；C、E分别是对应点；（2）线段AB、AD；BC、DE；AC、AE分别是对应线段；（3）∠ABC、∠ADE；∠ACB、∠AED；∠CAB、∠EAD分别是对应角． 二、图形特征确定法 （1）有公共边的，公共部分一定是对应边． 如图1，△ADB和△ADC全等，则AD一定是两个三角形的对应边． （2）有公共角的，公共角一定是对应角． 如图2中，△ABD和△ACE全等，∠DAB和∠EAC是对应角． （3）有对顶角的，对顶角一定是对应角．
如图3中，∠1和∠2 是对应角． （4）两个全等三角形的最大边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）． 三、图形分解法 从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分比较困难，这时可把要证全等的两个三角形从复杂图形中分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单了就容易找出对应元素． 如图4，点C是线段AB上一点，AC=MC=AM，BC=NC=BN，请说明：BM=AN． 此题若作如图5的分离，则容易找出对应部分：AC、MC；NC、BC；∠ACN、∠MCB 分别是△ACN和△MCB中的对应边和对应角．
本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲 解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单． 一、全等形、全等三角形及其相关的概念 （1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形. （2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶 点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边． 如下图所示： 已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ． 对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与． 全等三角形的概念性质和判定 内容分析 知识结构 模块一 全等三角形的概念和性质 知识精讲 A B C D E F
- 2 - 二、全等三角形的数学语言： 三角形ABC 与三角形A′B′C′全等，记作△ABC ≌△A′B′C′，读作“三角形ABC 全等于三角形A′B′C′ ”． 三、全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的面积相等，周长相等； （3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等． 四、全等三角形中应注意的问题： （1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； 五、画三角形： 确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素： ①两角及其夹边； ②两边及其夹角； ③三边. 【例1】 下列说法正确的是（ ） A ．全等三角形是指形状相同的三角形 B ．全等三角形是指面积相等的三角形 C ．全等三角形的周长和面积都相等 D ．所有的等边三角形都全等 【例2】 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ） A ．形状相同 B ．周长相等 C ．面积相等 D ．全等 【例3】 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC 例题解析 2 1A B C D