矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学位论文

矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系摘要：矩阵的特征值、特征向量以及它们的求解问题在代数学中具有重要的意义.本文通过对其定义和性质的深入了解，总结出了三种求解方法，分别是特征方程法、初等变换法以及只对矩阵进行行列互逆变换即可同时求出矩阵的特征值与特征向量的行列互逆变换法.这三种方法由浅入深，计算过程由繁到简，最后把求矩阵特征特征值问题转化为数的四则运算问题，避免了求高次方程根的难题,显示了其优越性.关键词：特征值；特征向量；初等变换；互逆变换.目录1 引言 (1)2 特征值与特征向量的定义及其性质 (1)2.1定义 (1)2.2性质 (1)3 特征值与特征向量的求法 (2)3.1特征方程法 (2)3.2初等变换法 (3)3.2.1 初等行变换法 (4)3.2.2 初等列变换法 (7)3.3行列互逆变换法 (9)4 总结 (13)参考文献 (14)1 引言物理学、力学、工程技术学中的许多问题在数学上都归结为求矩阵特征值和特征向量问题，由特征方程求特征值（尤其是对阶较大的矩阵）是比较困难的，而我们所掌握的由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求特征值方可由方程组求特征向量.本文给出了只通过行变换和列变换即可同时求出特征值和特征向量的方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题.最后通过对矩阵特征值和特征向量进行系统归纳，给出一种只需进行行列互逆变换即可同时求出特征值与特征向量的结论，简单快捷. 2 特征值与特征向量的定义及其性质 2.1 定义设A 是n 阶方阵，如果存在实数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ为A 的特征值，x 是A 的对应特征值λ的特征向量. 2.2性质（1） 若i λ是A 的i r 重特征值，A 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量.（2） 若12,x x 都是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量，则当12,k k 不全为零时，1122k x k x +仍是A 的属于特征值0λ的特征向量.（3） 若n λλλ,,,21 是矩阵A 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是,,,,21n x x x 则n x x x ,,,21 线性无关. （4） 若()nn ija A ⨯=的特征值为n λλλ,,,21 则A a a a n nn n =+++=+++λλλλλλ 21221121,.（5） 实对称矩阵A 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交.（6） 若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰好有i r 个线性无关的特征向量.（7） 设λ为矩阵A 的特征值，)(x P 为多项式函数，则)(λP 为矩阵多项式)(A P 的特征值（8） 设λ为方阵A 的一个特征值，且x 为对应的特征向量，则对任何正整数k ，k λ为为k A 的一个特征值且x 为对应的特征向量.一般地对于任何多项式()01a x a x a x f m m +++= ，则()λf 为方阵()E a A a A a A f m m 01+++= 的一个特征值，且x 为对应的特征向量.3 特征值与特征向量的求法 3.1特征方程法用特征方程法求解的步骤为：（1） 求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ（2） 再求出特征方程()A E f -=λλ0=在数域P 中的全部根，即A 在数域P 中的全部特征值.（3） 把所求的的每个特征值i λ逐个地带入齐次线性方程组0=-x A E i λ中，求出齐次线性方程组0=-x A E i λ的全部非零解，即一个基础解系ir i i a a a ,,,21 便是A 的属于()n i i ≤≤1λ的线性无关的特征向量.则A 的属于i λ的全部特征向量是这个解系的非零线性组合ir r i i a k a k a k +++ 2211，其中r k k k ,,,21 是不全为零的数.例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A 的特征值和特征向量 解：先求A 的特征多项式A E -λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------122212221λλλ()()512-+=λλ 故A 得特征值为5,1321=-==λλλ把1-=λ代入A E -λx 0=中得：⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---022202220222321321321x x x x x x x x x即0321=++x x x它的一个基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110,101.故矩阵A 属于1-的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11010121k k （21,k k 不全为零）. 同理将5=λ代入得：⎪⎩⎪⎨⎧==--=-+-=--042202420224321321321x x x x x x x x x它的一个基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 故属于5=λ的全部特征向量是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111k . 这种求矩阵A 的特征值的方法是通过求矩阵A 的特征方程A E -λ0=的根来实现的，而在求特征方程A E -λ0=的根的时候往往有一定的难度，特别是当矩阵A 的阶数较高的时候难度更大.以下给出一种新方法，只用一种运算——矩阵运算，即在求A 的特征值时，特征矩阵()λE A -进行λ——矩阵的初等变换，这种方法计算量少，且运算规范，不易出错. 3.2 初等变换法定义2数域P 上矩阵的初等变换是指下列3种变换：第一种，以P 中一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）. 第二种，把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）.第三种，互换矩阵中两行（列）的位置.(a) 3.2.1 初等行变换法定理1 对于齐次线性方程组11m n mn O X A = （1） 其中()nm ija A ⨯=，()T i x X =，若()r A R mn =，并且 ()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−→−-n r n mn TP E A r -n rmO*D 一系列初等行变换（2）其中rm D 为上三角矩阵，并且()r D R rm =，则()n r n P -中的行向量()r n i i -=,,2,1 ξ是方程组（1）的一组基础解系（T A 表示A 的转置，()A R 表示A 的秩，n E 表示n 阶单位矩阵）.证明 对矩阵()n TE A 施行一系列初等行变换相当于左乘以一个可逆矩阵C ，由已知可得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-m r n rm TO D CA （3）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n r n n P CE * （4）由（4）可知，()n r n P -是行满秩，及其行向量i ξ()r n i -=,,2,1 线性无关，将（4）带入（3）得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--m r n rm T n n r n O D A E P * 即()()m r n T n r n O A P --=两边同时进行转置得0=T AP由此可知P 的行向量是方程组（1）的解，且i ξ()r n i -=,,2,1 是线性无关的，所以即为方程组（1）的基础解系，证毕.定理2 对任意方阵A ，特征矩阵()()T A E F -=λλ经过行变换，可以化为上三角矩阵()λG ，且()λG 的主对角线上元素的乘积的λ多项式的根即为A 的特征值证明 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=nn n n n na a a a a a a a a F λλλλ212222111211，显然()()n F R =λ. 首先考察()λF 的第1列，若1i a ()n i ,,2,1 =不全为零，任取其一，记为()λ1d 通过行变换，将()λF 化为如下形式：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλH d 0*1；若1i a 0=()n i ,,2,1 =，则()λF 本身即具有这种形式.齐次再考察()λH 的第一列，若不全为零（若全为零，则()()n E R <λ）则可选λ次数最低的元素，记为()λ2f ，如上实施初等行变换，循环往复，()λ1f 的次数有限，最后()λH 必将化为如下形式：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλJ d 0*2，继续对()λJ 进行如上变换，则最终()λF 可化为()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλn d d d G 0*21（5）由以上可知，()λF 和()λG 等价，则()λF 和()λG 有相同的初等因子，于是该定义成立.定理1给出求解齐次线性方程组基础解系的一种方法，而定理2实际上给出了利用初等行变换求矩阵特征值的方法.下面具体给出利用初等行变换求解矩阵特征值和特征向量的一般步骤：第一步：对方阵A ，设对()()E F λ做行变换，化成()()()λλP D （6）其中()λD 为上三角矩阵，则()λD 主对角线上的元素乘积的λ多项的根即为A 的特征值i λ.第二步：对矩阵A 的任一特征值i λ代入（6），若()i D λ中非零行向量构成满秩矩阵则()i D λ 行向量中零向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向量；否则，继续进行行变换()()i i P D λλ,−−−→−行初等变换()()[]i i P D λλ**,，使得()iD λ*中非零行向量构成满秩矩阵，则()i D λ*中零行向量所对应的()i P λ*中的行向量i ξ即为i λ的特征向量.例2 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1111111111111111的特征值与特征向量 解：()[]4,E F λ=⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤----------10000100001000011111111111111111λλλλ−−→−↔41r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------00010100001010001111111111111111λλλλ()−−−→−-+--1413121r r r r r r λ ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------10011100101010002220220020201111λλλλλλλλλλ−−→−-24r r ()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--------λλλλλλλλλ01111001010100012200220020201111−−→−-34r r()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤+----⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-------111111001010100022000220020201111λλλλλλλλ 由()()0223=+--λλ得特征值.2,24321-====λλλλ 当2321===λλλ时()()[]2,2P D =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000000000001111⎥⎥⎥⎥⎦⎤----3111110010101000 因()2D 的非零向量的行构成行满秩矩阵，且其最后的三个行向量是零向量，故()2P 中的最后三个行向量()T1,0,1,01-=ξ，()T1,1,0,02-=ξ ，()T 3,1,1,13--=ξ.是1λ=232==λλ的线性无关的特征向量.同理24-=λ的线性无关的特征向量是()2-P 中的最后一个向量()T 3,1,1,1--与初等行变换类似，通过对矩阵进行初等列变换也可求得其特征值和特征向量.(b) 3.2.2 初等列变换法定理3 设A 是秩为r 的m n ⨯阶矩阵，且()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯⨯⨯r m m r m r n rn m m n P O B E A *列初等变换其中B 是秩为r 的列满秩矩阵，则矩阵P 所含的r m -个列向量就是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系（证明略）.定理 4 矩阵A 的特征矩阵())(A E F -=λλ经列的初等变换可化为下三角的λ矩阵)(λB ，且)(λB 的主对角线上的元素乘积的λ多项式的根恰为A 的所有特征值（证明略）用这两个定理可以同步求解矩阵的特征值和特征向量基本步骤如下： 第一步：作如下初等变换()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-λλλP L E A E 列初等变换 （7）其中()λL 为下三角矩阵，则()λL 的主对角线上元素的乘积的λ多项式的全部根恰为A 的所有特征值i λ.第二步：将i λ代入（7）中，若()i L λ中非零列向量构成列满秩矩阵，则()i P λ中和()i L λ中零向量所对应的列向量是属于特征值i λ的特征向量；否则，继续进行变换.其过程完全类似于行变换，这里不再赘述.例3 求矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0111101111011110的特征值与特征向量 解：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4E A E λ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------1000010000100001111111111111λλλλ−−→−-41c c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------00010100001010001111111111110λλλλ−−→−-++141213c c c c c c λ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------λλλλλλλλλ1110100001010001111101101100012−−→−-24c c ()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+--------11110100101010002111110100110001λλλλλλλλλ−−→−-34c c ()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+-------21111100101010003111010100110001λλλλλλλλ由()()()03112=+--λλλ得特征值1,34321===-=λλλλ（三重）. 当31-=λ时()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--33P B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------11111100101010000443040100410001因()()31-=B B λ的非零向量的列构成列满秩矩阵，且其最后的一个向量零向量，故()()31-=P P λ中的最后一个列向量()T1,1,1,1--是31-=λ的线性无关的特征向量.同理32λλ=14==λ的特征量是()1P 中的最后三个列向量(),1,0,1,01T =ξ()().3,1,1,1,1,1,0,032T T ---==ξξ用定理3和定理4可以同步求解矩阵的特征值和特征向量研究了初等行变换和初等列变换求解特征值后，我们发现其过程比特征方程法简便了许多，但其求解过程中仍要解带参数的行列式.那么还有没有更简洁的方法呢？下面继续探讨. 3.3 行列互逆变换法定义3 把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换：1． 互换j i ,两行，同时互换j i ,两列； 2． 第i 行乘非零数k ，同时第i 列乘k /1；3．第i 行k 倍加入第j 行，同时第j 列k -倍加入第i 列.定理5 A 为n 阶可对角化矩阵，并且 ()n T E A −−−−−→−一系列行列互逆变换()T P D 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n D λλ 1，,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T P ββ()in i i b b 1=β(),,,1n i =则n λλ,,1 为A 的全部特征值，T i i βα=为A 的对应i λ的特征向量.证明 由行初等变换等价于左乘初等阵，列变等价于右乘初等阵地性质及行列互逆变换的定义知，T P 为若干初等阵乘积，当然可逆，且()D P A P T T =-1， 即D D AP P T ==-1所以.PD AP = 因为,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n D λλ []n P αα 1=所以[][]n n A αααα 11=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ 1， 则[]n A A αα 1[]n n αλαλ 11=， 所以i i i A αλα= ()0≠i α， .,,1n i =因此，该方法求出的i λ为A 的特征值，i α为A 的对应特征值i λ的特征向量为了运算上的方便，这里约定： 1．ji kr r + 表示矩阵的第j 行k 倍加入第i 行；2．ji kr r - 表示矩阵的第j 列k -倍加入第i 列例4 求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0111101111011110A 的特征值与特征向量 解： ()=4E A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10000111010010110010110100011110 43213412r r r r r r r r ++--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11001020010011100010201000011011 2442r r r r +-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11001020010001101111003000010011 −−→−-+-423212214141r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11001023001000143011110030000100431 −−→−+-+242321214141r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------2121212110041434141010011110030414141430001−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1111300111101001311001011130001 所以，特征值分别为3,14321-====λλλλ；特征向量分别为()T 1,1,1,31-=α，()T 1,3,1,12-=α，()T 1,1,1,13--=α，().1,1,1,14T --=α下面给出定理5的推广定理 定理6 A 为任意n 阶方阵，若()()T n TP JE A −−−−−→−一系列行列互逆变换，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=r J J J 1()n r ≤为约当矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i ii J λλ11()r i ,,1 =为约当标准形.,1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r TP P P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t ir i i P ββ 1 ()r i ,,1 =；n r r r r =+++ 21，则iλ为A 的特征值；Tir i iβα=为A 的对应特征值i λ的特征向量 证明 由一般代数书中定理可知A 必相似于一约当矩阵，按定理4中化简方法，则有()J P A P Tt T =-1，即T T PJ AP J AP P ==-,1，其中()r T r T P αβαβ 1111=，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T r TTJ J J 1， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i iTi J λλ11()r i ,,1 =.所以A ()r T r T αβαβ 1111=()rT r Tαβαβ 1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T r TJ J 1，故有i i i A αλα= ()r i ,,1 =.所以i λ为A 的特征值，i α为A 的对应i λ的特征向量.例5 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312130112A 的特征值与特征向量解： ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1003110101310012023E A T1331r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1004110100311010112112r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10041011102010101232232121r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212140011102010101233212r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111400111020101012， 所以特征值为221==λλ，43=λ，对应特征值221==λλ的特征向量()T 1,1,11-=α，()T 1,0,12-=α对应43=λ的特征向量().1,1,13T -=α行列互逆变换法求解矩阵特征值时只需对矩阵做行列互逆变换即可同步求出矩阵特征值和特征向量的方法，而且不需要考虑带参数的特征矩阵，简洁实用，能收到事半功倍的效果. 4 总结通过运用以上三种方法求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以看出，用行列互逆变换的方法求矩阵的特征值相对时比较简单的，它把求把求特征值的问题转化为数的四则运算问题，避免了求矩阵特征值时求高次方程根的难题，特别是对于求阶数较高的矩阵的特征值，更能显示其优越性.参考文献：[1]李浩，孙建东.高等代数习题与解析[M].北京：兵器工业出版社，2008.9[2]姚慕生，吴泉水.高等代数学（第二版）[M].上海：复旦大学出版社，2008.6[3]同济大学.方程数学——线性代数[M].北京：高等教育出版社，1980.[4]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.[5]文香丹.矩阵的特征值与特征向量的同步求解方法[J].边延大学农学学报，1998.[6]汪庆丽.矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量[J].岳阳师范学院学报（自然科学版），2001[7]张贺，岳崇山.初等变换求矩阵的特征值问题[J].河北北方学院学报[8]陈泽安.矩阵特征值与特征向量的新方法[J].长沙通信职业技术学院学报，2003.[9]杨廷俊.阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报，2006.[10][英]J.R.布伦菲尔德.矩阵[M].北京：科学出版社，1986.[11]Bondy.J A,USA Murty.Graph Theroy with Applications[J].New York:Academic Press,1976.The Solutions of the Matrix Eigenvalue and Eigenvector and TheirRelationshipsAbstract: To study the matrix eigenvalue and eigenvector and the problem of its solution are very significant in algebra. This paper analysizes deeply the defination and nature of the matrix eigenvalue and eigenvector. The author gets three kings of solutions , including characteristic equation, elementary transformation, and reversible transform that only does reversible transform to the matrix can also find the matrix eigenvalue and eigenvector. These three methods implemented progressively from the complexity to the simple calculation, and finally convert matrix eigenvalue problems into the numberable arithmetic problems and avoid the problems on solving the root of high equation which shows its advantages.Keywords:eigenvalue; eigenvector; elementary transformation; reversible transform;。

河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书编号： 2013230论文（设计）题目；特征值和特征向量的应用学部：信息工程学部专业：数学与用用数学班级： 2009级2班学生姓名：学号：指导教师：职称：副教授1、论文（设计）研究目标及主要任务通过对特征向量与特征值的应用的研究，来充分利用的特征向量与特征值计算的简便解决相关问题，应用于数学解题计算中和生活实际的应用中。

主要是归纳研究出特征向量和特征值在不同类形的矩阵中，怎样帮助解决相关试题。

同时将特征值和特征向量应用到生活中的应用，如经济应用，环境污染的增长类型，莱斯利种群的相关问题。

2、论文（设计）的主要内容特征值和特征向量的相关概念，性质。

在数学中，按照分类矩阵来应用特征值与特征向量来解题。

在生活中的几个方面的应用。

3、论文（设计）的基础条件及研究路线首先，明白相关的定义，如特征值、特征向量、特征多项式、对角矩阵等相关的概念。

其次，了解他的相关性质，并应用到解题和相关的生活中。

4、主要参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究[J].山东行政学院山东省经济管理干部学院学报，2008，（91）:46—48.[3] 向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院学报，2009,25（117）：135—138.[4] 吴春生.浅议线性变换与矩阵的特征值与特征向量的关系[J].连云港师范高等专科学校学报，2004,（4）：75—76.[5] 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院学报，2009,11（3）：139—140.[6] 杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2006,20（3）：20—22.[7] 李延敏.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题[J].大学数学，2004,20（4）：92—95.[8] 姚幕生.高等代数[M].上海:复旦大学出版社,2002[9]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报，2006，（5）：20—23.[10]奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用[J].枣庄师专学报，1991,（2）：26—30[11]郭华，刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用[J].渝州大学学报（自然科学版），2000,17（2）：72—75.[12]同济大学数学教研室.线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1993,115—137[13]矩阵的特征值、特征向量和应用[J].临沂师专学报，1994，（5）：1—7.教研室主任:年月日河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）开题报告书矩阵是数学领域中的一个重要的基本概念之一,是高等代数的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，还有在力学、信息、科技等方面都有十分广泛的应用.目前关于已经有很多专家学者在此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中，从线性空间V中的线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发，引入矩阵的特征值与特征向量的概念.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中，从方阵的特征值与特征向量的性质着手，结合具体的例题阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶。

毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、前言部分数学作为一种研究问题的工具，大部分同学并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题．许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获[]1。

矩阵就是数学中的一小部分，英文名Matrix（SAMND矩阵）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。

这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。

在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。

矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。

本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用[]2。

那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设A是N阶矩阵，如果数X和N维非零列向量x，使关系式Ax=Xx成立，那么，这样的数X就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值X的特征向量。

求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于λ) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解 (一个特征向量)，因说线性系统 (A –iλ)=0。

此等价于行列式 det(A –i第一：运用MATLAB求解矩阵特征值、特征向量。

首先，我用下面的例子，来引导我们认识MATLAB在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。

例1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解[]5。

A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。

[VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。

矩阵多项式的性质讨论摘要：本文系统总结了矩阵多项式的一些性质，且主要针对矩阵多项式的特征值、秩、逆矩阵求法和可逆性判别、迹的性质的探讨以及矩阵多项式在代数学中的应用。

其中对于已有的结论则不予证明，同时本文也给出了一些重要的结论。

关键词：矩阵多项式特征多项式最小多项式特征值秩迹Matrix to discuss the nature of polynomialAbstract: This article summarizes the matrix system polynomial some properties, mainly against Matrix and the characteristics of polynomials, rank, the matrix inverse discrimination law and reversible, track and investigate the nature of the matrix in polynomial The application of algebra. For the conclusions of which have not proved it, and this also gives a number of important conclusions.Key words: Matrix polynomial characteristic polynomial smallest trace polynomial characteristics rank envalue.目录1 引言 (3)2 矩阵多项式的基本性质 (3)2.1矩阵多项式的特征值 (3)2.2矩阵多项式的秩 (5)2.3矩阵多项式可逆判定与求法总结 (7)2.4矩阵多项式的迹 (10)3 矩阵多项式性质的应用 (13)3.1矩阵多项式成为恒等式的应用 (13)3.2矩阵多项式在求变换矩阵中的应用 (14)参考文献 (17)谢辞.................................................................................................. 错误！未定义书签。

矩阵的特征值\特征向量和特征多项式研究作者：赵璐来源：《读写算》2011年第12期【摘要】探究了通过对矩阵进行初等变换，同步求出矩阵特征值和特征向量的问题，并从相似矩阵具有相同的特征多项式出发，逐步改变和减弱命题中相关条件，得到几个关于矩阵特征多项式的结论。

【关键词】矩阵特征值特征向量特征多项式同步求解特征方程中有很多的学问对于解决很多自然科学，诸如物理、力学、工程技术中的许多问题都有着很大的功用，也因此矩阵的特征值才显得尤为的具有普适性和广泛性。

但是现有的高校教材和参考我资料中对于特征方程的求解还是老方法。

只是先求出特征值，然后再由方程组来求特征向量。

但是这种特征解法并不是最好的方法，有一些不科学之处，首先就是没有能够摆脱带参数行列式的计算问题．本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，并且针对这种解答的新方法进行了一系列的分析。

一、特征值所谓设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值（characeristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

矩阵特征值的求解方法就是Ax=mx，等价于求m，使得(mI-A)x=0，其中I是单位矩阵，0为零矩阵。

|mI-A|=0，求得的m值即为A的特征值。

如果n阶矩阵A的全部特征值为m1m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn。

数学上的线性变化有特征向量，这种特征向量是一个非退化的向量，所以其方向改变不会影响到特征的解法，所以特征向量可以按照比例进行缩放，这种缩放以后的特征就是特征值。

变换通常可以带来的结果是，特征值和特征向量之间完全的吻合，也就是解答的时候可以不再顾及向量的问题，这样对于解答的时候更加的能够得到特征值这一向量。

二、矩阵的特征值、特征向量和特征多项式的思路分析数学上，一个线性变换的一个特征向量（本征向量）是一个非退化向量，其方向在该线性变换[2]的作用下仍保持与原方向保持在同一条线上（即可能会反向，如果特征值为负），而长度则可能改变。

矩阵的特征值与特征向量摘摘 要要本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。

接下来还介绍了一类特殊矩阵——实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。

最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。

这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。

让我们的社会得到更快的发展。

让我们的社会得到更快的发展。

通过阅读这篇文章，通过阅读这篇文章，通过阅读这篇文章，可以使读者在以后可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。

的学习中对矩阵的求解更容易掌握。

关键词： 矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式Matrix eigenvalue and eigenvectorZhong Y ueyuan(Science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)AbstractThis paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, through the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extendsto some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix -- the real symmetric matrix value and the characteristic vector,the reader of matrices have further understanding and feature vector. Finallygives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actualexample.Let us understand this study them not only because they are theacademic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practicalproblems, to make our society develop quickly. By reading this article,readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.Key word : Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial录目 录中文摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)引言 (1)1 矩阵的特征值与特征向量 (1)1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论 (1)1.2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 (4)2 实对称矩阵的特征值与特征向量 (7)2.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化 (7)2.2 求实对称矩阵的特征值与特征向量 (9)3 矩阵的特征值与特征向量的举例应用 (10)3.1 用特征值理论求解Fibonacci数列通项 (11)3.2 在研究经济发展与环境污染中的应用 (12)4 结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。

矩阵特征多项式及特征值的一些应用xxx（xxxx大学 xx xx xxxxx）摘要在高等代数中我们学习了许多与矩阵特征多项式及特征值相关的知识，并且可以利用特征多项式及特征值来解决许多问题，而这篇论文的核心思想就是总结它在解题中的具体运用. 这篇论文中借助矩阵特征多项式及特征值详细叙述了有关矩阵零化、矩阵指数、基解矩阵以及矩阵的对角化，其中矩阵的对角化包括相似对角形与合同对角形，同时说明了实对称矩阵相似与合同之间的关系，从而形成一个与之相关的知识系统并且能够在解题中熟练地加以运用.关键词矩阵零化；基解矩阵；合同；相似；对角化；若尔当标准形The Application of Characteristic Polynomial and Characteristic Value of Matrix when Solving Mathematical Problemsxxx（xxxxuniversity xxx xxxx）Abstract: We have studied so much knowledge about characteristic polynomial and eigenvalue of matrix in the advanced algebra teaching material that we can use such knowledge to save great numbers of mathematical problems. But how to use this knowledge when saving problems? Now, let us summarize its specific use about this knowledge, which are the core ideas of this paper. In this paper，with the help of characteristic polynomial and eigenvalue of matrix，a lot of knowledgeabout zeroize matrix, the matrix index, the base solution matrix and matrix diagonalization is described in detail. Diagonalization of matrix, which includes similar diagonal form and contract diagonal form, is a very important point. So we specially illustrate the relationship between similar diagonal form and contract diagonal form of real symmetric matrix. Of course, how to form a knowledge system which involves characteristic polynomial and characteristic value of matrixand can use these knowledge skillfully when solve problems is theultimate goal of this paper.Keywords: Zeroize matrix; The base solution matrix; Similar; Jordan normal forms.目录前言 11 概念引入 12 矩阵的零化 33 矩阵指数及基解矩阵 74 对角矩阵及矩阵的对角化 104.1 矩阵的相似对角形 104.2 实对称矩阵的合同对角形 134.3 实对称矩阵合同与相似之间的关系 174.4 矩阵的若尔当标准形 19参考文献 21致谢 22前言矩阵特征多项式及其特征值可谓是高等代数的骨干级内容，在理论和应用方面都具有重要意义，大多数重要的代数知识几乎都利用到了矩阵特征多项式及其特征值中的知识和方法.在本篇论文中，首先以高等代数教材上有关矩阵特征多项式及特征值的基本定义出发来引入，然后在论文的第一部分介绍了一个有关矩阵零化的定理，哈密顿—凯莱（Hamilton—Cayley）定理，然后从这个定理出发，得到它的两个推论，其中一个涉及到矩阵指数，以此为出发点，介绍了利用矩阵特征多项式及其特征值来求线性常微分方程组基解矩阵的基本方法.论文的第二部分的主要内容是利用矩阵特征多项式及其特征值来化矩阵为对角形矩阵，包括相似对角形矩阵和与实对称矩阵合同的对角形矩阵，然后有介绍了二者的区别和联系.在这一部分的最后，又简单地说明了并不是所有的矩阵都能对角化，但可以利用特征值来化为它的若尔当标准形.本论文的主要目的是把涉及到矩阵特征多项式及特征值的众多知识联系起来，形成一个系统，从而有利于更好地学习并利用它.1 概念引入矩阵的特征多项式与特征根矩阵是高等代数中非常基本的概念，有关它的定义和一些简单的性质在许多高等代数的教材中都有所叙述，在本文的开始，我们就来先了解一下矩阵及其简单性质，详见参考文献[1]和[2].定义1.1 设是域F上的一个n阶矩阵，是一个文字，矩阵的行列式叫矩阵A的特征多项式．在内的根叫做矩阵A的特征根．的特征多项式为，它有以下性质：（1）是的阶主子式之和，特别地;（2）若有个根（例如复数根），则是的次初等对称多项式，特别地;（3）若，则，其中为的特征多项式;（4）若为上三角阵，则为的特征值;（5）若为复数域，则当且仅当其特征值（复数值）均非零.设是矩阵A的特征根，而是一个非零的列向量，使,就是说，是齐次线性方程组的一个非零解．我们称是矩阵的属于特征根的特征向量.例1 设线性变换在一组基下的矩阵为求线性变换的特征根和相应的特征向量．解：矩阵A的特征多项式为所以矩阵A的特征值为（二重）和把特征值代入齐次方程组得到它的基础解系是，因此属于的两个线性无关的特征向量就是和而属于的全部特征向量就是，，取遍数域P中不全为零的全部数对.再用特征值代入，得到它的基础解系是因此，属于的一个线性无关的特征向量就是而属于特征值的全部特征向量就是，为数域中任意不等于零的数. ▍2 矩阵的零化有关矩阵零化，最重要的一个知识就是哈密顿—凯莱定理，它利用了矩阵的特征多项式把矩阵化成一个零矩阵，下面就作一个简单地叙述，可见参考文献[1].定理2.1 哈密顿—凯莱（Hamilton—Cayley）定理设是数域上的一个阶矩阵，是的特征多项式，则=证明：设是的伴随矩阵，由行列式的性质，有（1）因为矩阵的元素是的各个代数余子式，都是的多项式，其次数不超过，因此根据矩阵的运算性质，可以写成（2）其中，，，都是数字矩阵。

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文摘要特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.关键词：矩阵特征值特征向量1AbstractEigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebrawhich laid the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrixeigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples. Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector目录引言第一章、本征值和本征向量的关系1.1 本征值与本征向量的定义1.2 求解本征值与本征向量的方法探索第二章、矩阵的特征多项式和特征根2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义2.2 求解特征根和特征向量的方法2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的应用3.1 经济发展与环境污染的增长模型3.2 莱斯利（Leslie）种群模型四、结论引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.。

ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY本科毕业设计（论文）（2015 届）题目:矩阵的特征值与特征向量的相关研究____________学院：数理与信息工程学院__________________________ 专业:数学与应用数学_______________________________ 学生姓名: ________________ 学号: __________________ 指导教师: ________________ 职称: ____________________ 合作导师: ________________ 职称: ____________________ 完成时间: __________ 201 年月日__________________ 成绩: _____________________________________________浙江师范大学本科毕业设计（论文）正文目录摘要 (1)英文摘要 (1)1引言 (1)2选题背景以及特征值与特征向量的定义与性质 (2)2.1选题背景 (2)2.2 特征值与特征向量的定义 (2)2.3 特征值与特征向量的性质 (2)3矩阵的特征值与特征向量的求解方法 (3)3.1求解数字方阵的特征值与特征向量 (3)3.2已知矩阵A的特征值与特征向量,求与A相关的矩阵的特征值 (7)4矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解 (7)4.1矩阵的全部特征值与全部特征向量,反求解矩阵A的方法 (7)4.2已知实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量，反求矩阵A的方法 (9)5矩阵的特征值与特征向量的应用 (9)5.1矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用 (9)5.2经济发展和环境污染的增长模型 (14)6结论 (16)参考文献 (16)矩阵的特征值与特征向量的相关研究摘要：矩阵的特征值与特征向量占据了高等数学中的一小块，但是其重要性无可比拟，它可以应用在数学和生活上，尤其是对现在的科学技术领域，有着至关重要的作用•本篇论文主要阐述并归纳了矩阵的特征值与特征向量的概念，性质，解法以及应用，通过具体的例子，来体现了矩阵的特征值与特征向量的广泛性和实用性，深刻研究了矩阵的特征值与特征向量和它相关的应用•正文总共分为四个大部分•第一部分：阐述了它的概念和性质；第二部分：对于它的求解方法，本篇论文叙述了几种不同的方法，并且有相关例题的作法；第三部分：关于它的反问题，本篇论文也有相对应的几种不同的求解方法；第四部分：关于它在数学领域和生活上的应用•矩阵；特征值；特征向量；反问题；应用关键词：Correlati on matrix eige nvalues and eige nvecto -rs Mathematical and Information Engineering Mathematics and Applied Mathematics Che n Do ng( 11170126)In structor: Lvjia Feng (Associate Professor)Abstract: Eigenvalues and eigenvectors occupy the higher mathematics in a small, but its importa nee is un paralleled, it can be used in mathematics and life, especially in the field of scie nee and tech no logy right now， has a vital role. This paper describes and summarizes the main characteristics and eige nvector matrix con cept，n ature，soluti on and applicati ons，through specific examples，to reflect the breadth and practicality matrix eigenvalues and eigenvectors，profound study of matrix eige nvalues and special Eige nvectors and its related applicati ons.Total body is divided into four parts. The first part： it describes the con cept and n ature； Part II：For its soluti on method，this paper describes several differe nt methods，and releva nt examples of practice；Part III： Anti question about it，this papers are also several different corresponding method for solvi ng; part IV： on its applicati on in the field of mathematics and life.Key Words: Matrix； eige nvalues; feature vector； in verse problem； Applicati on1引言在已经有相关深刻探讨的前提下，本篇论文给出了它的的概念以及它的性质，掌握它的性质是研究其求解方法的前提，所以要先熟悉它的性质，再对它的求解方法作详细的步骤和说明.本篇论文重点介绍了它的求解方法和特它的反问题以及相关应用，展现了它在矩阵运算中的重大作用，在例题的求解过程中充分运用某些性质，使得问题变得简单，运算方面上也更简洁，是简化一些有关矩阵的比较繁琐问题的一种快捷并且有效的途径.本篇论文通过一些具体的例题详细说明它的求解方法以及其反问题的求解方法，并且在数学领域以及生活方面的应用也有其相关的例题来说明矩阵的特征值与特征向量的广泛性以及实用性. 2特征值与特征向量的选题背景以及其定义与性质2. 1选题背景随着科技的迅猛发展，现在的社会发展的速度日益增加，高等代数作为一门大学数学的基础学科已经向所有的领域渗透，它在所有领域内表现出来的作用已经越来越明显..物理、化学、经济等的许多问题在数学上都可以看作是求它的问题.但是通过特征方程求解它是有一点难度的，而且在现在的高等数学的教材中用特征方程求它总是要求解带含有参数的行列式，而且只有先求解出它才能用方程组求解之后的问题•本篇论文将对它的求解方法、反问题以及相关的应用进行系统性的归纳，并且有相关的例题给予帮助理解•2.2特征值与特征向量的定义它在《高等代数》和《线性代数》课程中占据了一席之地，在大多数的《高等代数》教材中，把它拉进来就是为了解析线性空间中线性变换/ A的，它的定义如下：定义1设/ A是数域P上的线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P 中的数■,存在一个不是零的向量V,使得/A=-那么■是矩阵A的一个特征值，向量x称作矩阵A关于特征值•的特征向量.在大多数的《线性代数》的教材中，它的探讨作为矩阵探讨的一个至关重要的组成部分，它的定义如下所述：定义2设A是n阶的方阵，如果存在数字•和n维不是零的向量x,使得Ax = x那么就称■是A的特征值,x是A的对应特征值•的特征向量.2. 3特征值与特征向量的性质(1)如果-i是A的r i重的特征值,A所对应的特征值'i就会有S i个线性无关的特征向量.(2)如果x「X2都是矩阵A的属于特征值0的特征向量,那么当Kh不全都是零时,kN，k2X2依然是A的属于特征值'o的特征向量.(3)如果’1, '2,…，’n是矩阵A的互相不一样的特征值，而且它所对应的特征向量分别是x1, x2,...,x n,那么x n x2,...,x n线性无关.⑷女口果A二a j nn的特征值是-1, '2, ；n.,.，那么為 + 再+...打=a^ +a22 +•••+ a nn,打花…扎n = A .(5)实对称矩阵A的特征值都是实数，属于不同的特征值的特征向量正交.(6)如果i是实对称矩阵A的r i重的特征值，那么所对应特征值i刚好有r i 个线性无关的特征向量.(7)假设入是矩阵A的特征值,P(x)是多项式的函数,那么P(・)是矩阵多项式P(A)的特征值.3.矩阵的特征值与特征向量的求解方法3.1求解数字方阵的特征值与特征向量(1)求解特征多项式fA '二’E-A.(2)特征方程’E-A=O,它的全部根mJ,…，’n就是A的全部的特征值.(3)对于任何一个特征值二1_i _ n ,求解出齐次的方程组H i E-Ax = O的一个基础解系a i1,a i2,...,a ir就是A的属于二1叮乞n的线性无关的特征向量•那么A的属于入的全部的特征向量是+k2a2+ •••+吊"，其中k1, k2,..., k是不全都是零的数.求解特征多项式是解决问题的难度所在，方法一：观察特征矩阵的每一行之和，如果相等而且都是a,那么将第2列及以后各列都加到第1列，提取公因子, 再作化简,而且a就是其中的一个特征值,1,1,…,1T是A的属于特征值a的特征向量.方法二：将特征矩阵的的两个不是零的常数(不含参数■)之一化为零，如果有公因子，提取出来再作化简.从上述可以知道，求解它是相当繁琐的.这里将阐述一个有效的方法，只是需要对原来的矩阵作行列互逆变换就可以同时求解出它，所以给出如下定义：定义：称矩阵的下列三种变换为行列的互逆变换：(1)互相更换矩阵的i,j两列，同时互相更换矩阵的i,j两行；(2)矩阵的第i行乘以不是零的数字k,同时矩阵的第i列乘以丄；k(3)矩阵的第i行乘以k倍加到矩阵的第j行，同时第j列乘以-k倍加到矩阵的第i列.定理：A为n阶的可以对角化的矩阵，而且(A T En 1 -系列亍列互逆变竺T (DP T),其中，-N D = +P T =■V n丿r b in i =1, . . n ,,那么‘1, ‘2,…，’n是A的全部特征值，：\ = 7是A的属于-的特征向量.证明：因为P A （P ） = D即 P 」AP = D T =D 从而AP=PD 因为人1D = 匕 P =匕… a n ]所以A （C （1…£ ）=（H …J ） 匕 则] 九jAl j ， -：：n L I h -可…’n -：：n 丨所以A ： i - ■ ■■ i（： i= 0）, i =1, , n为了运算的简洁，约定：（1） a j ka i 表示为矩阵的第i 行乘以k 倍加到第j 行. （2） a j -ka i 表示为矩阵的第i 列乘以-k 倍加到第j 列. 因为用定理求解题目时，总是会遇到一些类似B 」|a 0I 或者Cl（ a^b ）形式的矩阵的化对角阵的问题，所以给出对 ]c b 」 [0 b 一应的求解方法：其中,k c,所以1,k T ,心二0,1T 是B 的分别属于特征值c 和b （a —b ）的特征向量.l=1,0T ,^-：-k,1T 是C 的分别属于特征值a 和b 的特征向量.下面将有3道例题来说明其求解方法，第一道例题不使用刚才描述的方法 则后面两道例题运用，以此来说明这个方法的可操作性以及简便性.- XJra a_k 11 OOb ao_或C TE 2 二 1第一行 r 2-kr 1,第二行 r , kr 2、 0 1 ' c 01 0 ]o b -k I. 第一行片“也，第二行$ -朗o 11 o cb例1: 求解矩阵-2<6-r-1的特征值与特征向量. 4」-6 1 0 0 -31■一41■ -432]>-----?-31-61 1■ -4■ -1-■ 1-1-%：；；■12 -■3-21-4 0 0 1'■■■■■「11 -■11 211—扎一2所以，矩阵A的特征值是’1 = ' 2 = ' 3 = 1 当，=1时(13 = P1 1—3111 1 -1 —3丿于是,可以知道属于特征值■ =1的特征向量是1二0,1,-1丁，2 = 1,1,-3丁.3 11-1 1-13 1-11-11.0 0 0 —3 —111 -1所以特征值分别是‘1 = ' =2 ' 3 = = -3；特征向量分别是：1 = 3,1,1,-1T , ：2 = 1,T,3,1T , ：3=IT ,1,T ,1T , m1,-1T . F 面给出上述定理的推广定理：定理：A 是任意n 阶的矩阵，如果例2:求解 ■1 1 -1 0 -1 -1 0 11 的特征值与特征向量(B TE4) 01 -110 0 0 -1 1 0 10 0 0 10 0 101 0 0 0 0 1「2 4j 1 0 -1「1十2「3十4 0 -1 0 20 -1 1 1-1 1J3 2 0 -110 0 0-110 0 0 0 10 0 0-11110 0 1 熒-0-3 0 0 -1—0-1100 J3 20 1 01 1 -1 34 0 0 1 0 0 0 1-3 0 0 -1 1 1 -1-34 1 0 0 0 1 032 0 1 0 0 -1 10 0 0 3/4 1/4 1/4 -1/41 -3 0 0 _111 _ 1 0 10 1/4 -1/4341/40 0 1 -1/2 1/2 -12 12 一0 -1 110 0 0 |0 1 0 00 0 10J 1j_ 一系列行列互逆变巴-(J P T ),其中J =所以特征值是八1 = ' ~2~ 2,八3 = 4, ■■■-1= 1 -1 1T.3. 2已知矩阵A 的特征值与特征向量，求与A 相关的矩阵的特征值 此种题目可以运用性质7来求解计算，用定义就可以求解算得.4矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解4. 1矩阵的全部特征值与全部特征向量，反过来求解矩阵A 的方法 方法一：用对角化法求解可逆矩阵P,使得P ‘AP =B,那么A = PBP = 方法二：用对角化法求解正交的矩阵T 仃，二T T)使得T'AT 二B,所以A =TBT 〜TBT T .方法三：特定元素法设n 阶矩阵A = (a j j 场的全部特征值是 W 入,相应的n 个线性无关的 特征向量是玄“？， ,a n ,所以有■i i =1,…,r)是约当标准形,R T(i ", ,r)； r-i r 2征向量. 例3:求解B 2 0 〕2-1 3 1 J r■p i J:,P =:.P Jr r 二n 所以i 是A 的特征值,二育T 是A 的特征值的特1-1 3的特征值与特征向量. ■2解(A TE3)= -1 'J 0 3-1010 1■1 -1 L 11 3 -1 -10 1 再作一系列变换1 -1 10 1 -1 -11 1 1(r 兰n)是约当矩阵， =2 =2的特征向量 ％=(-1 1 1『，嘉=4的特征向量从这里可以得到以A 的第1行，第2行,...,第n 行的元素a il®?,…，am (i =1,2,…，n)当作未知数的n 个非齐次的线性方程组,求解每个方程 组求出A 中的元素a j ,那么就能得到A= a j . 例4:设三阶方阵A 的特征值是i =1,・2 =0,七=-1,对应的特征向量分别是X i 二 1,2,2T,X 2 二 2,-2,1T,X 3 =：一2,-1,2丁，求解 A.解：因为X i (i =1,2,3)是矩阵A 对应于特征值i(i =1,2,3)的特征向量,所以有AX j V Xj ,令就是问题所要求得的答案• 例5:设三阶的实对称矩阵A 的特征值是6、3、3,与特征值6对应的特征向量 是 5 =(1,1,1 T ,求解 A.解:设对应于3的特征向量是X = X 1,X 2,X 3T .因为实对称矩阵的不同特征值下 的特征向量正交，也就是X 的分量满足x-i x 2 x^ 0,又因为特征值3的重数是 2,所以对应于3刚好有2个线性无关的特征向量，明显X 1 X 2 X ^ 0的基础解 系就是对应于3的2个线性无关的特征向量.从x 1 x 2 x^ 0得到它的一个基础解系是 0 = (-1,1,0 A , P3 = ( -1,0,1 ),令q-1 -rP =(P 1,P 2, P 3 )= 11 0<1 0 1丿所以可以得到Aa 1=，i a i, Aa2 =，2a 2； ,Aan(1 P = (X1 , X2 , X3 ) = 22-21、1 ,那么1 2-2 2 -2-1(1所以有AP 二PB, 其中,就从上述式子可以得到A 二 PBP 」J 3-12■60 O'P」AP = B = 0 3 00 3>‘4 1 1 '所以,A-PBP"1- 1 4 1J 1 4>就是问题所要求得的答案•4.2已经知道实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量，反过来求解矩阵A的方法从实对称矩阵属于不同的矩阵的特征值的特征向量正交求解出其余的特征向量，可以运用上述各种的方法求解.5矩阵的特征值与特征向量的应用5.1矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用求解常系数齐次递推关系的方法多种多样，这里将说明一下如何利用它来求解线性齐次递推关系的一种方法•设k阶线性循环数列风?满足递推关系：X n =G X n d QX nd C k X nA,(门=k 1,k 2/ )其中C i(i =1,2, ,k)是常数,并且C k 7.方程组Xn =GXn』+gXn,十八+CkX^^Xn』=x n」丿X2 =X2那么(1)可以写作:C k4 0 0 C kX ndC kUC k [<n0 0 1X n斗0 0 ,Ct n==X n,1 0 一(1X n* 一(1)C2 0 110 X n* C21_Xz:nr A ：g （2）由（2）式子递推可以得到 宀…心―八=A —1. 其中宀=k,X k 」,…X 2,X i T所以求解通项X n 就可以归结为求解:njs 1，也就是求解A nJ\如果A 可以对角化,那么存在可逆矩阵P,使得P 」AP=A,所以AZ-PA^P-1, 因为- ck0 0第一列开始每一列乘以■加到后一列上，就得到如下的矩阵：—1 … 0 0…如果X 是’A 的特征值，明显有R®E -A ）=k-1, •所以线性齐次方程组I-E^-AX =0°1 勺基础解系中仅含有一个解向量，因此当A 有k 个特征值'1,'2,…J3时，这k 个特征值对应的特征向量分别是 P 1,P 2/ ,P k ,由这k 个特征 向量为列构成的方阵记作 P,那么P 是可逆的，并且P 」AP 二A . 其中「人 0…0 ■ 0 妇…A =I ■.■■ ■ ■■ <■.■ ■ cB <■I]o 0…打一例6设数列乂 ？满足递推关系：X n = 2X n 4 Xn^ -2Xn^（n 一 4），并且人=1, X ? = -2, X 3 = 3,求解通项 X .. 解：&n [是三阶循环数列，将方程组Xn- 2X n 」X n _2 -2Xn _3Xn _4 = Xn凶 _2 = Xn _2用矩阵表示:kJ -C i 02k k_1 ... 二，—c 〔・__ C k _1' _~2\Xnj I0 Xz■2 令A= 1■0-21 0 0那么由上式可以递推得到其中 x 1 =1, X 2 - -2, x 3 = 3 因为九E —A =0,即丸-2 -1 232-1 九 0 =九3 —2X 2+2—九=0 ,-1入得到A 的特征值："・1 = 1,九2 - - 1,九3 = 2再从特征方程［E —AX =0i =1,2,3解得对应A 的特征值'3的特征向量分 别是：一1] 一1]-41R = 1 巳— -1P3 =2 A1 1 1i 1所以j 0 0存A n ，=P 0 -1 0 P 」0 0 2 一6+2(_1 厂-2n 1 6+2(-1严-2心6+2(_1 厂-2心代入（1）式子可以得到:心匕一宀2"—1、‘6 2-宀2川=訂9 11 * 2"兮彳卄討例 7 数列 F 0 =1,F 1 =3,F 2 =4,F 3 = 7,F 4 =11,F 5 =18,F 6 =29,「-3+(-1 厂+2nP,巳,巳 1 -1 21 1 1一■1 411P ■-3 3 6 1 [ 1 0 01 1 -3 2 A= P 0 —1 0 P 〕2 0 一2一0 0 2j1 -j6■Xn-% J-Xn/X njL =A X n/=A 2 X n 」 =••• =A n 」 X 2• Xn — 1 1 X n 亠1X n”1 1人一(1)3-3 -1 2 3-3 -1 z 3-3-1心F 7 =47,求解这个数列的通项F n . 解：通过分析这个数列满足条件F n 2]=F n 1 F n (n =0,1,2,)根据戶卄2厂(计小叫= 0,1,2,…F( n+1)=F( n+1 )an 1= Aa n(n= 0,1,2,)其中从（2）式子递推可以得到：=A na 0( n=0,1,2,)因为得到A 的特征值是1.5.■■■1二对应于■仆’2的特征向量分别是X 2那么所以有于是-3 + (-1 尸 +2心 •_3+(_1厂+22午(n +2)1a n午(n +1)'l F (n )」,a0 =F (0)丿(1)(2)(3)■ -1 -1 -12- 一1 =0(4)X 1,所以P厂1‘-1A n=P<0P JF(n 1) I F(n)丿=an二 A n a ° =1F n3 ； -3'；，1，2 — '21打一'-2把（4）式子代入到（5）式子得到就是题目所要求解的通项. 例8计算D 1 = 1, D 2 =0把(1)变成 D n ・2 =D n 1 -D n n =1,2,3, 因为D n42 = Dn 卅一 D n D n^ = D n ■+从（2）这个式子递推可以得到a n = A n」a i n =1,2,3,因为 得到A 的特征值是对应于\,鼻的特征向量分别是1 -1A =,an =,a 1 =l Dn 卅丿J °」1 Dn 」◎其中an 1 =a n 1 = Aa n n =1,2,3,X iX 2i 2(5)1 1 0 0 … 0 01 1 1 0 … 0 00 1 1 1 … 0 0D n =9 99 - -0 0 0 0 ・・I.1 10 0 0 0 ・・■ 1 1D n : 二Dn 」 =D n_2 (n >3)(1)(2)(3)n ；iF n 二解：按照矩阵的第一行展开那么所以就有于是5. 2经济发展和环境污染的增长模型为了研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系 ，可以建立如下数学模型：设x o , y o 分别是这个地区目前的环境污染水平和经济发展水平 ,X 1,y 1分别是这个 地区若干年后的水平，而且有下述的关系：X = 3x o + y o y =2x o +2y ° 令所以上面描述的关系的矩阵形式是：r 二A 0. 那么经济发展与环境污染的增长模式是所以上面描述关系的矩阵形式是:-二A 〉」t=1,2，…,k 所以从上述这个形式可以得到：,那么P-1厂1'-iJA n A 0 、/ nnnn 、P 」1—人2 加丸2 —氐2几3n Am n 二 ?n 」” nA $ - n A卜2丿旳一畑 0 —人2 MS —扎2几A n±-P■'D( n +1)\D(n)=ann n1 2 _，2 " 1--r n 4_ r n」I 'F _ 穴f y X ogfX 1 ‘3 <2 12>X =3x 「yi4 y =2人4+2丫匚4(i =1,2, ,k)D n2 2/. 1 /. 2~\2/. 1■2'1：1 = A : 05= A o^ = A a 03-^3 = A-； 2 = A 0_：订=A 二i 訂= A 用0下面我们将进行更深一步的讨论： 从矩阵A 的多项式得到A 的特征值是-^4, .2 =1对于・1=4,可以求解方程4E-AX=0得到特征向量1 对于2 =1,可以求解方程E-AX=0得到特征向量2二明显，1, 2线性无关 下面分作三种情况分解析：(* )以及它的性质可以知道上面描述的式子表示：在当前的环境污染水平和经济发展水平的条件下下 ,i 年后，当经济发展水平达到相当高的程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势•因为y 。

矩阵的特征多项式与特征值矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用。

在矩阵理论中，矩阵的特征多项式与特征值是两个重要的概念，它们之间有着密切的联系。

一、特征多项式在讨论矩阵的特征多项式之前，首先要了解什么是特征向量。

对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为常数，那么X就是A的一个特征向量，k就是该特征向量所对应的特征值。

特征向量反映了矩阵A的某种变化规律，而特征值则表示了这种变化的幅度大小。

根据特征向量的定义，我们可以得到特征方程AX=kX，将特征方程改写为(λI-A)X=0，其中I是单位矩阵，λ是一个特征值。

进一步推导可得到特征多项式的定义：特征多项式是一个关于λ的多项式，它是由矩阵A的特征值所确定的，记作|λI-A|。

特征多项式可以表示为P(λ)=|λI-A|=λ^n+c_1λ^(n-1)+...+c_(n-1)λ+c_n，其中c_1，c_2，...，c_n为常数。

特征多项式的次数为n，与矩阵A的阶数相同。

二、特征值与特征多项式的关系特征值与特征多项式之间存在着紧密的联系。

我们通过特征多项式可以求解矩阵A的特征值，而矩阵A的特征值则是特征多项式的根。

设λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根，即P(λ)=0，则有(λI-A)X=0，其中X为非零向量。

这意味着(λI-A)是一个奇异矩阵，即它的行列式为0，因此得到|λI-A|=0。

所以特征值λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根。

特征值与特征多项式之间的关系在实际问题中起到了重要的作用。

通过求解特征多项式，我们可以得到矩阵A的全部特征值，进而进一步分析矩阵A的性质和特点。

三、应用举例矩阵的特征多项式与特征值在多个领域都有广泛的应用，下面以线性代数和物理学领域为例进行说明。

1. 线性代数中的应用特征多项式和特征值是线性代数中一个重要的概念。

在解线性方程组、矩阵相似问题以及求矩阵的幂等等问题时，特征多项式和特征值的计算都是十分有用的工具。

矩阵的特征值与特征向量的若干应用Several applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix专业：数学与应用数学作者：指导老师：学校二o一本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论，在此理论基础上做了一定的推广,并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用•关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系AbstractThis article describes some theories of eige nv alues and eige nv ectors of the matrix , based on these theories we do some promoti ons, and discusses the applicati ons of eige nv alues and eige nv ectors of the matrix through their propositi ons and n ature.Keywords：eige nv alue; eige nv ector; matrix; recursi on relati ons摘要 (I)ABSTRAC工 (II)0引言 (1)1关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 (1)2矩阵特征值与特征向量的几个应用 (5)2.1特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 (5)2.1.1 命题的证明 (5)2.1.2命题的应用 (7)2.2线性递推关系中特征值与特征向量的应用 (7)2.2.1 命题的证明 (7)2.2.2命题的应用 (9)2.3特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (11)2.3.1 特征值与特征向量的基本性质 (11)2.3.2性质的应用 (12)3小结 (15)参考文献 (16)0引言为了利用矩阵研究线性变换，希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式，因此我们引进了特征值与特征向量•特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用，充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助，能使复杂的问题变的简单，化简为易，化繁为简.本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.（见参考文献[1] [2] [4]）1关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.从现在开始，我们主要的来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念，它们对于线性变化的研究具有基本的重要性.定义1.1设A是数域P上的一个n阶方阵,若存在一个数…P以及一个非零n维列向量X，使得Ax = x则称■是矩阵A的一个特征值,向量x称为矩阵A关于特征值■的特征向量.现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法，设V是数域P上n维线性空间，1, 2,…，n是它们的一组基,线性变换I二就是在这组基下的矩阵是A.设o是特征值，它的一个特征向量在1, 2，…—下的坐标是X o1,X o2，…，X°n.则由AX Y x ,这说明特征向量■的坐标X o1,X°2，…，心满足齐次次方程组冷1必+a12X2 +…+a1nXn =丸0捲,a21X1 a22X2 a2n X n 二'Q X2,I ..............a n1X1 - a n2X2 •…■ ann X n 二'Q X..即(7一0 — a ii % — a12x 2 —…一a 1n x n =0, 一 a 21 x 1 —■ a 22 x 2 -…-a 2n X n - 0, 一 a n1x 1 - a n2 x 2 V ；；']..'% - a nn xn 二 0. 由于."，所以它的坐标心山02,…，X on 不全为零,即齐次线性方程组有非零解.从而，齐次线性方程组（1.1）式，有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零，即上面的分析说明，如果o 是线性变换的特征值，那么o 一定是矩阵A 的特征多项式的一个根；反过来，如果o 是矩阵A 的特征多项式在数域 P 中的一个根，即 打E-A=0,那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解.这时，如果（心,心，…，心）是方程组（1.1）式的一个非零解，那么非零解向量=x01 1 x 02 2 x 0n n . 满足（1.1）式，即’0是线性变换/-二的一个特征值，就是属于特征值'0的一个特征向量.*-0 — a 11_a 12 …—a 1n — A =一 a 21 丸0 — a 22—a 2n9 a —an1-a n2 … 丸0 — 日nn 我们引入以下定义.定义1.2设A 是数域P 上一 n 级矩阵，九是- 一个文字.人一a 〔1 -a 12 … —a1n|hE - A =_a 21 \ - a 22 … —a 2n 9 9 3 5一 a n1 _a n2 … 丸 _ann =0・称为A 的特征多项式，这是数域P 上的一个次多项式.矩阵^-A 的行列式(1.1)因此，确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：1、在线性空间V中取一组基1, , n,写出I二在这组基下的矩阵A；2、求出A的特征多项式九E - A在数域P中全部的根，它们也就是线性变换/直的全部特征值；3、把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式，对于每一个特征值，解方程组（1.1）式，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在 基1,2,…，n 下的坐标，这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征 向量.矩阵A 的特征多项式的根有时也称为 A 的特征值，而相应的线性方程组（1.1）式的 解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量.例1设线性变换/.-.在基1, ； , 3下的矩阵是1 2 2A = 2 1 2]2 2 1一求/.-.的特征值与特征向量.解因为特征多项式为所以特征值-1 （二重）和5.把特征值-1代入齐次方程组'-1 x<i - 2x 2 - 2x 3 = 0-2x 1 亠[；■ 1 X ? - 2X 3 = 0、、-2 X"| —2x ? +（丸一1）2x 3 = 0 -2x 1 - 2x ? - 2X 3 = 0-2x 1 - 2x 2 - 2X 3 = 0_2x^ _ 2x^ _ 2x^ - 0它的基础解系是31L-d因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是Z-1 -2 -2-2 丸—1 -2-2 -2 二一入 E — A = 2 二’1 川-5 得到2 = 2一 3而属于一1的全部特征向量就是k ! \ k 2 2 , K , k 2取遍数域P 中不全为零的全部数对 再用特征值5代入，得到4% _2x 2 _2x 3 二 0* -2x 1 + 4x 2 - 2x 3 = 0一2捲 一 2x 2 + 4x 3 = 0它的基础解系是因此，属于5的一个线性无关的特征向量就是而属于5的全部特征向量就是k 3, k 是数域P 中任意不等于零的数. 例2在空间P lx 〕n 中,线性变换2 n /在基「呛「’商下的矩阵是_0 1 0 (01)0 0 1 013 3 3 a a a a D = ・ ・ ・・0 0 0 (1)0 0 0 …0 一D 的特征多项式是-1的特征向量组只能是任一非零常数 •这表明微商为零的多项式只能是零或非零常 数.（见参考文献［1］）因此D 的特征值只有0, 通过解相应的齐次线性方程组知道 属于特征值0的线性无关 Jj .2矩阵特征值与特征向量的几个应用2.1特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用已知矩阵的特征值与特征向量确定3阶对称矩阵的公式.设3阶对称矩阵A的特征值为,「「2 = '3,且i对应的特征向量为p,则本文给出推广到n阶对称矩阵的一类计算公式.2.1.1命题的证明命题1设n阶对称矩阵A的特征值为「宀，…,'k其中k乞n「工打i,j = 1,2/ ,k , ■i对应的特征向量为P i , i=1,2，…，k-1 .则可取2 'i - ’k TA T P i P i ' k E n ,7 P i P i且为A的n -k 1重特征值.证明不妨设二1入-打T r 匸九j - X k TB T P i P i ，k E n ,C T P i P i，i^ P i P i y P i P iT 扎i一扎kP i = a i1 , a i2, , a in ,m i T i - 1,2, ,k - 1•P i P i因为》, P2,…,P k4两两正交，_ 扎TBP j “ 'P i P i T P j「k E n P j =('j - ’k)P j「k P j *j P ji^ P i P i所以■ j为B的特征向量，P j为B的对应于'j的特征向量，且j=1,2，…，k-1 .因为y P i P iT P i P iT P i P i P i P i = mi i卩山不耳？，…，^) =(m i a1 口口恥“…口无pj, Tk -4 ,k二,, 丁 「k 」 k」k_J \C+ kP i P i T= ' m i a ii P i ,' m i a i2P i ,mi% 口i 4P i P i J=1i =1i 4即矩阵C 的列向量组可由向量组P 1, p 2,…,P kA 线性表示,故矩阵C 的秩R(C )兰 k-iv n, |C| = B -》k E n =0所以打为B 的特征值.k A又可证打为B 的n -k +1重特征值,设送ma j P i=aj( j =1,2,…,n ),即i z 4印=g a ii P i m 2a 2i P 2m k 」a k 」i P k 」， a 2=m i a i2P i 口2玄22卩2m k 」a k/2P k 」，a n = gam P im 2a 2n P 2m^a k 」n P k 』・-"m i-a ii a i2…a in,a2,…，a n)=(P i , P 2,…,P k4 )m 2a2ia22a2n+aiIm k 亠 -a k 」iak」2ak」n因为 m 芒 0(i =i,2，…，k —i ),秩 R(P i , P 2,…,P k 」)=k -1,故R(a i ,a 2,…a )=k _i .不妨设c,a 2,…,a k 是向量组a i ,a 2/ ,a n 的极大线性无关组,则有aj二 b ji a i b j2a 2 b j,k 」a k 」 j = k, k , n .若E n mee ，…，e n ,则有k 4 k 4 kJ B —丸 E n=(》mQ i P i + (入k — k )e ,£ m i a 2P i + (九k —九)62,・・•，区 口匚為 P +(如—^)e n )i ii =ii =i(\- )e i ,a 2 (\ -)色,・・・，可(k 一 )e n )做第三种初等变换将第j 列a 」叫i ej 化为—b ji (兀一几)e — b j 2 (人一九 & - — b j,k 二(人一九)e kj + (兀一几冏=k」；汕怡-b j2q "-b j,k <e u 勺 j=k,k i, ,n令a ik - 'e 「i i =i,2, ,k-i—bjQ —bj2d —…—乞心鮎+勺》j,( j =k,k + i,…,n)B -扎E n = ai *（》k 一 ^e i ,a 2 *（'-k —丸宅2, , a n + （盒k 一 丸咼|=（九k —人严］P l , L …，卩…人丸屮,…J n而行列式I 优，爲,…，久丄％,丫心,…，Y n 是九的最高次幕为k —1的多项式.釦，丸2,…A k _1为B 的特征值，B -ZE nn_k卅 k，=（打—扎jn二综上可知命题成立.（参考文献［2］ ［4］） 2.1.2命题的应用例3设3阶对称矩阵的特征值■ 1= 1,- -1,几3二0 ,对应于的■ 1, ■ 2的特征向量依次为 P 1 =(1,2,2 y , P 2 =(2,1, -2 T,求矩阵 A .解由公式T5二1,1,1求矩阵A .解由公式A =」^P 1P T2E 3 二P 1 P 1综上，运用该命题根据已知条件，可简捷快速地求出矩阵2.2线性递推关系中特征值与特征向量的应用用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论. （见参考文献［14］ ［15］）2.2.1命题的证明命题2设k 阶线性循环数列｛ x n ｝满足递推关系X n 二 aX nj a z X nm 宀」S k X n^ ,1 _ ' 3T ，2 _，3A= 丁P 1P1 + TPl P 1 P 2 P 2■-1 0 P 2P 2 +'-3E 3=-3.22〔2 0例4设3阶对称矩阵A 的特征值r=6 ,2对应于的'1特征向量为,给我们带来极大的方便.n -k 1,k 2,则（2.1 ）式可写成由（2.2 ）式递推得a n _k + — A a n_kJ —八n —k—Aa1 ，其中a =（兀，兀」,…T,也就是求A n」. ,X 2 , X 1 于足求通项X n , 就归结为求Xz出，如果A 可对角化，即存在可逆矩阵 P ,使得 P 」AP=B ,贝U A n » = PBf,由于丸一a 1 _a 2 … — az - a k-1k …0 0kE - A — 0a-1…a0 0aa0 …—1丸从第一列开始每一列乘以入加到后一列上可得n,2-a 〔，- a ?“ k_1 “2■ ■ a 1 ■ -… k_ k_| -a k 1'- a〔.-1 0 ... 0 0 0 3 -1 - 00 - 0 0「1= (-1)k (k-a 1 ■k J-a k)若■是A 的一重特征值,显然有R - A 二k -1,则线性齐次方程，E - A A = 0的基 础解系中只X n/1 0 … 0 0 a n A =X n 」 a ,A = 0 a 1 ・・4 0 - 0 a - X n 土 一i0 0 … 1 0 一 a 2 a ka k 」 其线性方程组为X n ^a 1X n j a 2Xn^- a k X nj,, X n J - Xn J,X n = Xn _2 , xn _k 1 = x n_k 1.可表为矩阵形式-X n 1 X n_1 X n/- Xn _k 卅ia k J0 0a k 0 0 X n 」 Xn/X(2.1 )an_k 1=Aan±(2.2 )i 1 a 20 1含有一个解向量•因此当A有个特征值-!, '2^' ,'k时，这k个特征值对应的特征向量分别R,F2L,P k,以这个k特征向量为列构成的方阵记为P,则P是可逆的,并且P A AP二B,其中「鮎0 00九2 0B =:: :.「0 0 …—2.2.2命题的应用例6计算n阶行列式2—1-200 (00)12—1-20 (00)012-1_2 (00)D =a a a a a00000 …2-100000 (22)解将D n按第一行展开得，D n =2D n4 -2皿!3，其中M^与M^分别是元素：'!2与:'13的余子式，再将它们分别按第一列展开得Dn =2D n j D n/ -2。

矩阵的特征值与特征向量的研究
首先，本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的定义，并解释了它们的物理意义。

接着，对于矩阵特征值与特征向量的几何解释做了详细说明。

其次，本文讨论了矩阵特征值与特征向量的性质，包括特征值的性质和特征向量的性质，并给出了相关证明。

其中，本文介绍了矩阵特征值与特征向量的重要性质——特征值分解和谱定理定理。

最后，本文介绍了矩阵特征值与特征向量在数学和工程领域中的应用。

在数学领域中，矩阵特征值与特征向量可以用于矩阵相似性的刻画、矩阵特征值的计算、线性代数方程组的求解等问题。

在工程领域中，矩阵特征值和特征向量的应用更为广泛，例如在电力系统、信号处理、图像处理等领域中都有重要的应用。

总之，本文系统地介绍了矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及其在数学和工程领域中的应用，有利于读者深入理解和应用矩阵特征值与特征向量的相关知识。

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摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving.Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix淮阴师范学院毕业论文(设计)目录1 前言 (4)2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4)2.1 矩阵的初等变换法 (4)2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6)3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7)3.1 矩阵之间的关系 (7)3.1.1 矩阵的相似 (7)3.1.2 矩阵的合同 (7)3.2 逆矩阵的求解 (8)3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8)3.4 矩阵的求解 (9)3.5 矩阵特征值的简单应用 (10)结论 (11)参考文献 (12)致谢 (13)030 1 前言矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.2 特征值和特征向量的求解方法求n 阶矩阵A 的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根,然后对每个特征根 ()n i i ,,2,1 =λ求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ的一个基础解系,即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量.现再此基础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.2.1 矩阵的初等变换法这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.定理[]11设齐次线性方程组0m n A X ⨯=的系数矩阵A 的秩数n r <,000rE PAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭的非奇异矩阵n n Q ⨯ 的后n r - 列便构成线性方程组的一个基础解系.在运用传统方法求解矩阵A 的特征值时,我们求()A E f -=λλ的全部特征根时是通过将矩阵()A E -λ经过一系列的初等变换化成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它变换成下三角矩阵()λG .由定理1知,当矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E λ经过一系列的初等列变换变换成()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G 时,求 ()0=λG 得的i λ就是矩阵A 的特征值,然后将i λ代入()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G ,()i G λ中的0列所对应的列就是所对应i λ的特征向量()i Q λ.例1 已知矩阵211031213A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵A 的特征值和特征向量.淮阴师范学院毕业论文(设计)05解2221120103102121324310010001001000101100110022112254433454100001010010211112E A E λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪-+-----+→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭()()21001203468001011113.G Q λλλλλλλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪---+→ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭由()()2240λλ--=知A 的特征根122λλ==,43=λ.当122λλ==时,()()1010021202001011111G Q -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,特征向量1111ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 当34λ=时,()()10012041004001011111G Q -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,特征向量3111ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.0 2.2 矩阵的行列互逆变换法定理[]22 对于任意的矩阵A ,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A 都能经过一系列的行列互逆变换变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P J T .其中()()(){}()()()r i P P P P P J J J J Ti i i i r r k k k ik r ,,2,1,,,,,,,,,,,,21212121 ====βββλλλ.因为若尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根（重根按重数计算）.因此在求解矩阵A 的特征值时我们又可以通过将矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A 进行行列互逆变换,从而得到A 特征值i λ,以及它对应的特征向量ik i i βξ=.例2 求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.解.111110111400021002211121102111400021002111010011400121002101010001400131111100010001312130112333223211213312122121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-r c r r c c r r c c r r cc E A淮阴师范学院毕业论文(设计)07所以特征值4,2321===λλλ,对应特征值43=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1113ξ,对应的特征值221==λλ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111ξ.3 矩阵特征值的一些性质及应用3.1 矩阵之间的关系 3.1.1 矩阵的相似性质1 如果存在n 阶可逆矩阵X ,使得n 阶矩阵A 和B 满足AX X B 1-=,即矩阵A与矩阵B 相似,i λ为矩阵A 的特征值,i ξ为i λ所对应的特征向量,则i λ也为矩阵B 的特征值,且B 对应于i λ的特征向量为i X ξ1-.注 反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似.性质2 矩阵A 与B 都是n 阶矩阵,乘积矩阵BA 与AB 不一定相似,但却有相同的特征值.证明 若0是AB 的特征值,则0,0≠⋅=ξξξAB 故AB 不可逆,于是A 与B 中至少有一个不可逆,从而BA 不可逆,故有非零向量ξ使0=ξBA ,即0是BA 的特征值. 设()0≠λλ是AB 的特征值,即存在()0≠ξξ使得λξξ=AB .令ξηB =,则0≠==λξξηAB A ,因此0≠η于是ληξλλξξη==⋅==B B BAB BA ,即η是属于BA 的特征向量,λ是BA 的特征值,同理可证BA 的任何特征值也是AB 的特征值.例如矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A 和矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201B ,BA 与AB 不相似却有相同的特征值1=λ. 例3 设n 阶矩阵B A ,,则矩阵A BA +与A AB +,B BA +与B AB +分别都有相同的特征值.证明 由于()()E B A A AB A E B A BA +=++=+,,由性质2知B AB A BA ++,有相同的特征值,同理B AB B BA ++,也有相同的特征值.得证.3.1.2 矩阵的合同性质3 n 阶对称矩阵A 与B 合同,即存在n 阶可逆矩阵C ,使得AC C B T =,其充要条0件是A 与B 的正负惯性指数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等.这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径.例4 判断矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111111111111A 与矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000000004B 是否合同. 解 因为矩阵A 是实对称矩阵,可以求得()()34det λλλ--=-E A ,即A 的特征值为0321===λλλ,44=λ,矩阵B 的特征值为41=λ,0432===λλλ,由性质知矩阵A 和矩阵B 合同.3.2 逆矩阵的求解性质[]34对于n 阶矩阵A ,由哈密顿―凯莱定理可以知道()0=A f ,即00111=++++--E a A a A a A a n n n n .所以()E Ea A a a A n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⋅-1101,从而()E a A a a An n 11011++-=-- . 故已知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到1-A .例5 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101001321b b b A ,的特征多项式是()()31-=λλf ,求1-A . 解 因为()()1331233++-=-=λλλλλf ,所以E A A A 3321+-=-, 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=-10100130003000333303300312201200132311321331211b b b b b b b b b b b b b A . 由本例可见,任何一个可逆矩阵A 的逆矩阵必是A 的一个多项式,这样又多了一种求逆矩阵的方法.3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件性质[]35 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值0λ在A E -λ中的重数等于A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数. 由此可见例1和例2中的矩阵不能相似于对角矩阵.淮阴师范学院毕业论文(设计)09例6 矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100100λλλA 能否与对角矩阵相似?为什么? 解 不能.因为0λ是()030=-=-λλλA E 的三重根,且秩()2=-A E λ,于是A 的属于0λ的线性无关向量的个数为123=-,由性质8知,A 不能相似于对角矩阵.3.4矩阵的求解我们知道如果设1λ和2λ是2阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值,1ξ和2ξ是对应于它们的特征向量,则1ξ和2ξ正交.且设()n i i ,,2,1 =λ是n 阶实对称矩阵A 的互不相同的特征值,()n i i ,,2,1 =ξ是对应于特征值的特征向量,则()n i i ,,2,1 =ξ两两正交.这样,如果对于n 阶实对称矩阵A ,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应的特征向量,也能求解出矩阵A .例7 设3阶对称矩阵A 的特征多项式是()()215+-λλ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111ξ是对应于5=λ的特征向量,求矩阵A .解 由上面的性质我们知道1-=λ对应的特征向量和1ξ正交,因此设1-=λ所对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,对应于1-=λ的两个线性无关的向量可取0321=++x x x 的基础解系,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012ξ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ,将正交向量组321,,ξξξ单位化得到正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0213121031212131Q ,正交矩阵Q 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=100010005AQ Q T ,0所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=456546663TQ Q A .补充:同时还能求出kA () ,2,1=k 的值,()T k T T T kT k Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A Λ=ΛΛ⨯Λ=Λ= )(.3.5 矩阵特征值的简单应用性质[]46 n 阶实对称矩阵的特征值都是实数.性质[]57 n 阶矩阵A 与其转置矩阵TA 有相同的特征值.性质8 已知n 阶矩阵A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则n A λλλ 21⋅=. 例8 设n 阶矩阵A 有n 个特征值n ,,2,1 ,且矩阵B 与A 相似,求B E +的值. 解 因为A 的特征值为n ,,2,1 ,矩阵B 与A 相似. 所以B 的特征值也为n ,,2,1 ,令()1+=λλf ,则()B f 的n 个特征值为()()()1,,32,21+===n n f f f , 因为!21n n A =⋅⋅⋅= ,所以()()()()!121+=⋅⋅⋅=+n n f f f B E .淮阴师范学院毕业论文(设计)011总结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分。

0 引言为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.1. 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变换的研究具有基本的重要性．定义 1.1 设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,若存在一个数P λ∈以及一个非零n 维列向量n x P ∈,使得Ax x λ=则称λ是矩阵A 的一个特征值,向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量． 定义1.2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211，称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个次多项式.设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，求解T 的特征值与特征向量的方法可以分成一下三几步：1) 在线性空间V 中取一组基12,,,nξξξ, 写出/A 在这组基下的矩阵A ;2) 求出A 的特征多项式E Aλ-在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换/A 的全部特征值;3) 对于A 的每个特征值,j λ求其次线性方程组()0jI A X λ-=的一组基础解系：12,,,.t ηηη于是A 的属于jλ的全部特征值组成的集合是}{1122,0,1,2,,t t i i k k k k K k i t ηηη+++∈≠=例1 设V 是数域K 上3维线性空间，T 是V 上的一个线性变换，它在在V 的一个基1α，2α，3α下的矩阵A 是222214241A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭，求A 的全部特征值与特征向量. 解: 因为特征多项式为2222214(3)(6)241I A λλλλλλ--⎛⎫ ⎪-=+-=-+ ⎪⎪+⎝⎭所以A 的全部特征值3（二重），-6．对于特征值3，解齐次线性方程组(3)0I A X -=，12312312322024402440x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩得到一个基础解系：210-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A 的属于3的两个线性无关的特征向量就是1122ζαα=-+，2132ζαα=+ 而A 的属于3的全部特征向量就是 .{}11221212,,,0k k k k K k k ζζ+∈且不全为对于特征值-6代入, 求出(6)0I A X --=的一个基础解系：122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.因此, A 的属于特征值-6的一个线性无关的特征向量就是312322ζααα=+-，而A 的属于特征值-6的全部特征向量是{}3,0k k K k ζ∈≠且.例2 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,求T 的特征值和特征向量. 解 ：1012201221100001000100001000010000100001n n n n I A λλλλααααλαλαλαλαλαλα-------=-+--=--+令01221000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+下面用数学归纳法求解()2n D n ≥当2n =时，22101.1D λαλαλαλα==++-+假设对于上述形式的1n -阶行列式，有012-132000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+n-1n-2n-210=+++λαλαλα，对于n 阶行列式，把它第1行展开，得12102112111210121210000100010010(1)001000100101()(1)(1).n n n n n n n n n n n n D xλαλαλλαλαλαλλλλαλαλααλαλαλαλα+----+----=---+----+-=+++++--=++++根据数学归纳法原理，此命题对一切自然数2n ≥都成立. 故121210.n n n I A λλαλαλαλα---=++++即为T 的特征多项式.设12,,n λλλ 是I A λ-的全部复根. 对于1i n ≤≤，有111122201111,n n n n i i i i i i i ii i i n i A λλλλλλλλλλααλαλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此12'(1,,,,)n i i i λλλ-(1i n ≤≤)是A 的属于特征值i λ的一个特征向量. 由于()()11,2,,110,2,3,,n i n I A n λ--⎛⎫-=-≠⎪⎝⎭而i I A λ-=，因此()1i rank I A n λ-=-. 从而齐次线性方程组()0i I A X λ-=的解空间的维数为(1)1n n --=. 于是A 的属于特征值i λ的所有特征向量组成的集合是{}21'(1,,,,)|,0.n i i i k k C k λλλ-∈≠从而T 的属于特征值i λ的全部特征向量是{}21'123()|,0.n i i i k k C k αλαλαλ-++++∈≠(1i n ≤≤)例2 在空间[]nP x （n>1)中(P 为实数域), 求微分运算D'()()f x f x ∂= 的 特征多项式，并证明：D 在任何一组基下的矩阵不可能是对角矩阵. 证：在[]nP x 中取一组基()211,,,,2!1!n x x x n --微分运算D 在此基下的矩阵为.0000100001000010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=DD 的特征多项式是.01000010001n D E λλλλλ=---=-从而D 的特征多项式为nλ. 因此D 的特征值为210n λλλ====.又D 的对应特征值0的奇次线性方程组()0A X -=的系数矩阵的秩为n-1,从而基础解系只含一个向量.它小于[]nP x 的维数n(n>1),故D 不可能同任何对角矩阵相似.所以微分运算D 在任何基下的矩阵都不可能是对角形. 2矩阵特征值与特征向量的五个应用2.1特征值与特征向量判断线性变换可对角化的应用定义2.1.1如果V 中存在一个基，使得线性变换A 在这个基下的的矩阵是对角矩阵，那么A 可对角化.由于线性变换A 在V 的不同基下的矩阵是相似的，因此线性变换A 可对角化当且仅当A 在V 的基下的矩阵A 可对角.定理2.1.1域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量12,,,nξξξ，此时A 在基12,,,nξξξ下的矩阵A 为1000,00n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中i λ是i ξ所属的特征值（即i i i A ξλξ=），1,2,,.i n = 矩阵A 称为线性变换A 的标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A 的标准形是有A 唯一决定的.推论2.1.1 域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当V 中存在由A的特征向量组成的一个基.定义2.1.2设A 是域F 上线性空间V 上的一个线性变换，0λ是A 的一个特征值，令 {}00|,defV A V λααλαα==∈ .易验证V λ 是V 的一个子空间，称0V λ是A 的属于特征值0λ的特征子空间. 0V λ中全部非零向量就是A 的属于特征值0λ的全部特征向量. 由于()00000().V A I A Ker I A λααλαλααλ∈⇔=⇔-=⇔∈-因此 00().V Ker I A λλ=-即线性变换A 的属于特征值0λ的特征子空间等于线性变换0I A λ- 的核.设V 是域F 上n 维线性空间，V 上线性变换A 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵为A,λ是A 的一个特征值. 设σ是V 到nF 的一个同构映射，它把V 中向量对应于它在基12,,,nααα下的坐标，则()0V λσ等于n 元齐次线性方程组()00I A X λ-=的解空间，即矩阵A 的属于特征值0λ的特征子空间. 于是()()00dim V n rank I A λλ=-- .定理2.1.2设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，则A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔V 中存在由A 的特征向量组成的一个基⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 12,s V V V V λλλ⇔=⊕⊕⊕其中12,,,sλλλ 是A 的所有不同的特征值.例 3 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,称它是Frobennis 矩阵. 求T 的特征多项式和属于特征值i λ的全部特征向量(1,2,3,,)i n =；T 是否可对角化？令122221211112111n n n n n n P λλλλλλλλλ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭情形112,,n λλλ两两不等. 此时0.p ≠从而P 的列向量组线性无关. 于是A 有n 个线性无关的特征向量，因此A 可对角化.此时{}112,,n p AP diag λλλ-=从而T 可对角化.情形 212,,n λλλ中有相等的. 此时0.p = 从而P 线性相关. 这时A 没有n 个线性无关的特征向量，因此A 不可对角化, 从而T 不可对角化.例4 设T 是数域K 上n 维线性空间V 上的对合变换（即T 满足2T I =），(1)证明T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)判断T 是否可对角化；若可以对角化，请写出它的标准形. 解：设T 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵是A ，由2T I =，可得2A I =. 即A 是数域K 上的对合矩阵，设0λ是对合矩阵A 的一个特征值，则有0,α≠使0.A αλα=从而2200.A A αλαλα== 由于2A I =，因此20αλα=，即20(1)0.λα-=由于0,α≠因此2010.λ-= 即01.λ=± 当A I =时，1是A 的特征值，-1不是；当A I =-时，-1是A 的特征值，1不是； 当A I ≠±时，0.I A ±≠由于()()rank I A rank I A n -++=因此 ()().rank I A n rank I A n -=-+< 从而0.I A -=从而1是A 的一个特征值.同理可证，-1是A 的一个特征值.(1)从而，T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)设().rank I A r +=由于()()rank I A rank I A n -++=，因此().rank I A n r -=- 属于特征值1的特征子空间1W 的维数为1dim ()();W n rank I A n n r r =--=--=属于特征值-1的特征子空间1W -的维数为1dim ()();W n rank I A n rank I A n r -=---=-+=-由于11dim dim (),W W r n r n -+=+-=因此A 可对角化.A 的相似标准形为{},.r n r diag I I --从而T 可对角化，且它的相似标准形为0,0rn r I I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭其中().r rank I A =+2.2 特征值与特征向量在确定可对角化矩阵的应用当矩阵A 可对角化时，可根据A 的特征值和特征向量来确定它的元素.例 5 设3阶方阵A 的特征值1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量分别是1231222,2,1.211ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求A .分析：此题给了3阶矩阵A 的3个不相同的特征值及其对应的特征向量，那么矩阵A 可对角化，显然可用A 的特征值和特征向量来确定它的元素.解：由i ξ是方阵A 对应于特征值i λ 的特征向量，于是i i i A ξλξ=()1,2,3.i =令()123122221212P ξξξ-⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭， ,PA PD =其中100000,001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由上式可得：11021012,3220A PDP --⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ 即为所求.2.3特征值与特征向量在n 阶矩阵的高次幂的求解中的应用当n 阶矩阵A 可对角化时，即矩阵A 可与对角阵相似时，可应用矩阵的特征值与特征向量计算其高次幂()k A k N *∈，且比较简单.当n 阶矩阵A 满足下面的四个条件之一时，即可对角化,即1.A PDP -=n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量. n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值.n 阶矩阵A 的每个特征值的几何重数等于其代数重数. A 为是对称矩阵. 对于(){}11212,,,,,,,,n n A PDP P D diag ξξξλλλ-===其中12,,,nλλλ是A 的n 个互不相等的特征值，i ξ是A 的属于特征值i λ的特征向量()1,2,,.i n =例6 已知矩阵122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求k A （其中k N *∈）. 分析：矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因为矩阵A 为实对称矩阵，故可对角化. 可按上面讨论的方法求之.解 因为,T A A =所以矩阵A 为实对称矩阵，故A 可对角化为D .()()212221251221I A λλλλλλ----=---=-+---故A 的特征值为1231,5,λλλ==-=当1λ=-时，解齐次线性方程()0,I A X --=求出一个基础解系：12111,001ηη--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当5λ=时，可求()50A X λ-=的一个基础解系：311,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 令111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1001,1,5010005D diag -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪⎪⎝⎭ 则()11,1,5P AP D diag -==--则1A PDP -=于是()()()()()()()()1111111111111()()1001112111101010121301100511121515151152153k kkkkk k k k k k k k k k k A PP APP PP APP PP APP P P AP P AP PAP P -------------==⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-+-+=-+-+-()()()()111151515215k kk k k k k k---⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭2.4 特征值与特征向量在求一些特殊数列通项公式的应用由一些特殊数列的递推公式，构造关系矩阵A ，并列出递推关系，当关系矩阵A 可对角化时，可利用A 的特征值与特征向量求解这些数列的通项公式.例7 斐波那契（Fibonacci ）数列是0,1,1,2,3,5,8,13,它满足下列递推公式：21,n n n ααα++=+ 0,1,2,n=以及初始条件010, 1.αα== 求Fibonacci 数列的通项公式，并且求1lim.nn n αα→∞+解 由2111,,n n n n n ααααα++++=+⎧⎨=⎩ 可得21111.,10n n n n αααα+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令11,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1,0,1,2,n n n D n αα+⎛⎫== ⎪⎝⎭上式可写成1,n n D AD +=又由1001,0D αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0,.n n D A D n N *=∈于是求Fibonacci 数列的通项公式就只要去计算nA .可利用A 的相似标准形来求简化nA 的计算.211111122I A λλλλλλλ⎛⎫⎛---==--=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是A的特征值为12λλ==从而A 可对角化.对于特征值1λ，解奇次线性方程组()10,I A X λ-=求出一个基础解系：11,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值2λ，可求出()20I A X λ-=的一个基础解系：22,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则1120,0P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭从而12121121211212112010011101.1nn nn n n n n A P P λλλλλλλλλλλλλλ-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭⎝-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎭由于110n n n A αα+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此))2121211110.n nn n n n nλαλλλλλ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即为Fibonacci 数列的通项公式. 于是211211112212111lim lim lim112nn nnnn nn n nnλλαλλαλλλλλλλ++→∞→∞→∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭==例8已知()11,1,2i ii i ib cc b c--=⎧⎪⎨=+⎪⎩其中2,3,.i =设11,b c已知，求,.n nb c解由题可得1101,2,3,1122i ii ib bic c--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令01,1122B⎛⎫⎪=⎪⎝⎭则111,n nnb bBc c-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面求1n B-.()111.11222I Bλλλλλ-⎛⎫-==-+⎪--⎝⎭因此B的全部特征值是11,.2-从而B可对角化.对于特征值1，解奇次线性方程组()0,I B X-=得到它的一个基础解系：11,1ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值1,2-解齐次线性方程组10,2I B X ⎛⎫--= ⎪⎝⎭得到它的一个基础解系：22.1ξ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则110.102P BP -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭ 从而1111122111010210121211111130211122213111222n n n n n n n n B P P ---------⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此22111111111112,3232111112.3232n n n n n n b b c c b c ----⎧⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎪⎛⎫⎛⎫=--++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩2.5特征值与特征向量行列式计算中的应用用矩阵的特征值和特征向量计算三对角形的方法如下:设00000000000n a b c a b c a D a b ca =按第一行展开，得：12,n n n D aD cbD --=- 3,4,n =上式可写成21,n n n D aD cbD ++=- n N +∈由于2111,,n n n n n D aD cbD D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111,,,10n n n n n n D D a cb d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中2211D a cb d D a ⎛⎫-⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 这样求nD 的问题就转化为nd 的问题，因而转化为求1,n A -即存在可逆矩阵P 使得 1P AP D -=（对角形），就可以算出1.n A -由201a cbI A a cb λλλλλ--==-+=-得A 的特征值12λλ==1) 若24a cb ≠① 若240,a cb -<则A 有两个不相等的复特征值12,,λλ在复数域上对应于12,λλ的特征向量分别为12,.ξξ取()12,P ξξ=则P 可逆 于是就有11111200n n n AP P λλ----⎛⎫=⎪⎝⎭所以111n n n n D d A d D+-⎛⎫== ⎪⎝⎭从而可求出nD .如果A 限制在实数域上，A 有复特征值，这时A 不可对角化.② 若240,a cb ->则A 有两个不同的特征值，则A 可对角化，按在复数域上的情况可求出nD2) 若24,a cb =这时A 有重根.若A 有两个线性无关的特征向量，则A 可对角化；若A 只有一个特征向量，这时可利用相似变换，把A 化若当标准形1100λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可以算出1n A -，即可求出n D .例9 计算n 阶行列式：950004950004900.9500049n D =解：按第一行展开，得：12920,n n n D D D --=-()3,4,n =上式可写成21920,n n n D D D ++=-()n N +∈ 由2111920,,n n n n n D D D D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111920,,,10n n n n n n D D d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中211619D d D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由于()()2920920451I A λλλλλλλ--==-+=---因此A 的特征值是124, 5.λλ==对于特征值14,λ=解其次线性方程组()40,I A X -=求出一个基础解系：14,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值25,λ=解其次线性方程组()50,I A X -=求出一个基础解系：25,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭令45,11P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则140,05P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 从而14005A P P-⎛⎫= ⎪⎝⎭111111111400545154011140554 5.4 4.554 5.4 4.5n n n n n n n n n n n n A P P---------⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--= ⎪--⎝⎭由于11619n n n D A D +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()11111161545.44.5549n n n n n n n D ----++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭例10 计算n 阶行列式：2120000121200012120000000210022n D ------=.解：将nD 按第一列展开得：1231232(2)22,n n n n n n n D D D D D D D ------=--+=+- ()4,5,6,n =上式可写成32122,n n n n D D D D +++=+-()n N *∈ 根据321221122,,,n n n n n n n n D D D D D D D D +++++++=+-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令323121*********,,100,5,0102n n n n n n n n D D D D D A D D D D ααα++++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得1,n n A αα+=11,n n A αα-=由于()()()2121011201I A λλλλλλλ---=-=-+-- 因此A 的特征值是1231,1, 2.λλλ==-= 对于特征值11,λ= 解其次线性方程组()0,I A X -=得到一个基础解系;111,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 同理，分别可求231, 2.λλ=-=的一个特征向量23141,2,11ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令114112,111P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1100010002P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 于是1100010002A P P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭从而()()()()11111111111000100021001143361112010132611100220211233611121326202112n n n n n n n n n n n A P P -------+--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭于是()()()1121111123361011121325,62022112n n n n n n n n n D D D -+++--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭从而()()()()()121013123 3.16 2.12562112263n n n nn n n n D -+⎛⎫ ⎪=-+-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-++3.小结本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.参考文献[1] 大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2] 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4版) [M] . 北京:高等教育出版社,2003.[3] 奚传志. 矩阵的特征值与特征向量在行列式计算中的应用枣庄师专学报，1992年2期[4] 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法[J]. 高等数学研究.[5] 谢国瑞. 线性代数及应用[M]. 北京:高等教育出版社,1999.[6] 戴华. 矩阵特征值反问题的若干进展[J]. 南京航空航天大学学报,1995.[7] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社.[8]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的研究.菏泽学院.计算机与信息工程系.山东菏泽（274015）[9] 朱凤娟．特征值与特征向量逆问题的研究[J]．滨州学院学报2007.6 .[10] [英]S.巴比特. 科技工作者用矩阵方法[M] .北京：化学工业出版社.1984.126-137.[11]丘维声，高等代数（第二版）下册.北京：高等教育出版社[12] tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) [M].Prentice Hall/Pearson，1998.[13] Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975.[14]丘维声，高等代数（第二版）上册.北京：高等教育出版社[15] 熊全淹，线性代数[M].北京；高等教育出版社，1987.4.[16]丘维声，高等代数学习指导（下册）.北京：清华大学出版社，2009[17]杨子胥，高等代数习题解（下册）.济南:科学技术出版社，2009[18]丘维声，高等代数学习指导（上册）.北京：清华大学出版社，2009致谢本学位论文是在我的指导老师张宝环老师的亲切关怀与细心指导下完成的.由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周到的地方，从论文的选题、资料的搜集到论文的撰写编排整个过程中，张老师始终都给予了悉心的指导和不懈的支持，并为我指点迷津，帮助我开拓思路，精心点拨，热忱鼓励.张老师的一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人,给我以终生受益无穷之道.感谢老师们对我的教育培养.他们细心指导我的学习与研究.在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬.同时我要感谢同组的同学们，是我们相互的鼓励和支持才使得做论文的过程充满着快乐和感动.在此，我对所有帮助我的老师和同学们表达我衷心的感谢!。

矩阵特征值的性质与计算方法学院数学科学学院专业信息与计算科学姓名王小雪学号 20081464指导老师冯立新一、背景与意义：由于矩阵特征值在物理学，经济学的领域的广泛应用，关于矩阵特征值尤其是矩阵最大特征值的性质及其计算方法的研究引起了人们的关注，随着计算机的发展，各种关于矩阵特征值的计算方法应运而生，而关于矩阵特征值范围的估计及其算法在数学上也取得了，一定的成果，为了方便叙述一同引进特征向量的概念一同阐述矩阵特征值范围的估计，性质及其算法。

二、内容：在有限维线性空间V 中，取定一个基n ααα 21后线性变换f 与矩阵A 之间存在着一一对应关系，即可用矩阵来表示线性变换，也就是说，对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基，使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单.因此特征值，特征向量的引入对利用矩阵研究线性变换具有基本重要性.首先了解特征值和特征向量的概念.（1）定义：设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 一数0λ存在一个非零向量α，使得αλα0=A ，那么0λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量.（2）特征值相关的性质： 1 、任一n 阶方阵A 必有n 个复的特征值.2 、若α是A 的关于特征值0λ的特征向量，则对任意非零常数k ，αk 也是A 的关于0λ的特征向量 .3、 A 与它的转置矩阵T A 有相同的特征值.4 、设A 是线性空间V 上的可逆变换，则①A 的特征值一定不为0； ②1-λ为A 的逆矩阵1-A 的特征值. 5、 n 阶实对称矩阵A 有n 个实的特征值. 6、 属于不同的特征值的特征向量是线性无关的.7 、属于同一个特征值的特征向量不一定线性相关. 8、 A 可逆，nλλλ 21,为A 的全部特征值，则①11211,---nλλλ 为1-A 全部特征值。

②11211,---n A A A λλλ 为*A 的全部特征值9、设A 为一n n ⨯降秩复矩阵，则A 的伴随矩阵*A 的n 个特征值至少有1-n 个为0.若它存在非零的特征值，则必为nn A A A +++ 221110 、λ为A 的一个特征值，则m k λλ,分别为m A kA ,的特征值（k 为常数，+∈z m ） 11 、若n n C A ⨯∈,则2A 的特征值是A 的特征值的平方（要计重数）. 12 、设A ，B ，AB 均为n 级实对称阵，λ是AB 的一个特征值，则存在A 的一个特征值s ，B 的一个特征值t ，使得.st =λ13 、n 阶矩阵所有特征值之和为矩阵的迹即trA ni i =∑=1λ14 、n 阶矩阵特征值之积为矩阵行列式之值即A n =⋅⋅⋅⋅λλλ21 （3）矩阵特征值的估计1 、Gerschgorin 第一圆盘定理：设()n n ij C a A ⨯∈=，则A 的特征值落在复平面的n 个圆盘⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑≠=ni j j ij ij i a a v v K ,1| ()n i 、、、、、21=的并集上。

引言在有限维线性空间中，取了一组基后，线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每一个给定的线性变换，希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.本文主要地就来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念，它们对于线性变换的研究具有基本的重要意义.本文通过自己四年来的理论学习，通过认真分析查阅资料，归纳总结了几种求特征值和特征向量的求法的，以期对矩阵的进一步研究有一定的参考价值．1 特征值与特征向量的理论1.1特征值与特征向量的定义定义1 设ψ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ,存在一个非零向量ξ，使得ξλξ0=ψ （1-1）那么0λ成为ψ的一个特征值,而ξ称为ψ的属于特征值0λ的一个特征向量.从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变（0λ>0）,或者方向相反(0λ<0),至于λ=0时,特征向量就被线性变换变成0.如果ξ是线性变换ψ的属于特征值0λ的特征向量,那么ξ的任何一个非零倍数ξk 也是ψ的属于0λ的特征向量.因为从(1-1)式可以推出()ξk ψ=0λ(k ξ)这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.现在来给出寻找特征值和特征向量的方法.设V 是数域P 上n 维线性空间，n εεε .,21是它的一组基，线性变换ψ在这组基下的矩阵是A .设0λ是特征值，它的一个特征向量ξ在n εεε .,21下的坐标是n x x x 00201,,, .则ξψ的坐标是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x A 00201 ξλ0的坐标是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 002010 λ 因此（1-1）式相当于坐标之间的等式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x A 00201 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 002010 λ （1-2）或()A -E 0λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 00201 =0 这说明特征向量ξ的坐标()n x x x 00201,,, 满足齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,02211202222121,101212111n n nn n n n n n n x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a λλλ 即()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+---=---+-=----.0,0,002211222201211212110n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a a λλλ （1-3） 由于≠ξ0，所以它的坐标n x x x 00201,,, 不全为零，即齐次方程组有非零解.我们知道，齐次方程组（1-3）有非零节的充分必要条件是它的系数行列式为零，即A E -0λ=nnn n n n a a a a a a a a a ---------021222021112110λλλ=0我们引入以下的定义.定义2 （ⅰ）设A 是数域P 上一n 阶矩阵，λ是一个文字.矩阵A -E λ的行列式A E -λ=nnn n nna a a a a a a a a ---------λλλ212222111211称为A 的特征多项式，这是数域P 上的一个n 次多项式.上面的分析说明，如果0λ是线性变换ψ的特征值，那么0λ 一定是矩阵A 的特征多项式的一个根；反过来，如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根，即A -E λ=0，那么齐次线性方程组（1-3）就有非零解.这时，如果()n x x x 00201,,, 是方程组（1-3）的一个非零解，那么非零向量ξ=n n x x x x x 0202101+++ ε满足（1-1），即0λ是线性变换ψ的一个特征值，ξ就是属于特征值0λ的一个特征向量.1.2特征值与特征向量的性质性质1 若λ为A 的特征值，且A 可逆、0≠λ,则1-λ 为1-A 的特征值. 证明 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠∴i λ≠0(i=1、2…n)设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =⋅A 则λ1-A =ξ即有 1-A ξ=1-λξ∴1-λ为1-A 的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1-λ为1-Aξ的特征值性质2 若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值()λf =n n a λ+001111λλλa a a n n +++--证明 设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 0111+++-- )ξ= n n A a ξ+ 11--n n A a ξ +… +E a 0ξ =n n a λξ+11--n n a λξ+…+0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0∴ ()λf 是()A f 的特征值性质3 n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值证明 设A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n ααααααααα 212222111211 则由题设条件知：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n ααααααααα 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 a ∴a 是A 的特征值推论 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则λA为*A 的特征值(*A 为A 的伴随矩阵).证明 因为 *A =1-A A 而1-A 的特征值为1-λ. 再由性质2知λA是*A 的特征值.性质4 如果λ是正交矩阵A 的特征值，那么1-λ也是A 的特征值. 证明 设λ是A 的特征值，那么存在非零向量ξ使得A ξ=λξ 用1-A 作用之后得ξ=λ1-A ξ. 又A 的特征值一定不为零 ，所以λ≠ 0∴1-λ是1-A 的特征值， A 是正交矩阵 *A =1-A ∴1-λ为*A 的特征值又A 与*A 相似，*A 与A 有相同的特征根∴1-λ也是A 特征根.性质5设i x 是A 对应于特征值i λ的特征向量，i y 是'A 的对应与j λ的特征向量.证明 若A i x =i λi x 则'A =i λ'i x 'i x (1)并有 'A i y =i λi y (2) 给(1)右乘以i y ，(2)左乘以'i x 相减得, 0=i λ'i x i y -j λ'i x i y 则'i x i y =0.性质6设A 、B 均为n 阶矩阵,则AB 与BA 有相同的特征值.证明 设x ABx λ=，即λ是AB 的特征值，x 是对应λ的特征向量.用B 左乘之得()()Bx Bx BA λ=.（1）若0≠λ ，则0≠Bx .否则，若x x 00λ===AB Bx ，则，这与0≠λ和0x ≠矛盾.可见λ也是BA 的特征值(此时，对应的特征向量是x B ) .（2）若0=λ，即BA 有零特征值，则0=E BA BA A B B A E AB 00-====-即0也是BA 特征值.综合（1）与（2）得证AB 与BA 有相同的特征值.性质7相似的矩阵有相同的特征多项式.证明 设A ~B ，即有可逆矩阵X ，使B =AX X 1-.于是AX X E B E 1--=-λλ=()X A E X --λ1=A E X A E X -=--λλ1.性质7正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.1.3特征值、特征向量常用的结论1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的；即如果s ααα，，， 21分别是属于不同特征值s λλλ，，， 21的特征向量，则s ααα，，， 21线性无关. 只证明两个向量的情形：假设()00022112211==+⇒=+A k k A k k αααα002221112211=+⇒=+⇒αλαλααk k A k A k另一方面，由条件可得：()002212221111=-⇒=+αλλαλαλk k k . 由于00012122==⇒≠≠k k ，从而，λλα，故结论成立. 对于多个向量，同理可证.2. 设个特征值，则的阶方阵是，，，n A n n λλλ 21： 和；的主对角线上的元素的A a a a nn n =+++=+++ 221121λλλA n =⋅⋅⋅λλλ 21证明 由条件可得：()()()n A E λλλλλλλ---=- 21；这是一个关于的系数边次多项式，比较左右两的1-n n λλ，便得到上面的第一个等式；然后再令0=λ，便得到第二个等式.3.由上面第二个等式可以得到：；的特征值均不为可逆的充要条件是0A A4.若 ,-2121λλλλλλλλk k kA E A n ，的特征值为的特征值，则是，，，--，()()()n n k k k kA E k λλλλλλλλλ---=-⇒- 21；例 4,1,12)2(13---的特征值为，则，，征值为是一个三阶矩阵，其特A E A ,且441)1(2-=⋅⋅-=-A E ;5.关注秩为1 的方阵的特征值、特征向量A 此时[]T n n b b b a a a A αβ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2121若γλγγλ00=A 则是其对应的特征向量，是其特征值，,即γλγαβ0=T两边用)()(00γβλγβαβγβλγαβββT T T T T T =⇒=）（去左乘，可得. 若αβλαβγβγβT T T T =≠00均是一个数，因而，，注意到 若000000=⇒===≠λαγαβγλγβT T 则由当A A A r n ⇒=⇒=≥01)(2时，由于必有一个0特征值.由上讨论可得：n T b a b a b a A n 22110+++= αβ或者为的特征值为，再由前面特征值的性质：nn n a a a +++=+++ 221121λλλ从而可得：n T b a b a b a n 2211+++= αβ是A 的特征值，重数是1，而0特征值其重数为1-n ；特征值n T b a b a b a n 2211+++= αβ对应的特征向量是；αγk =0特征值对应的特征向量是方程组：0111111=+++x b x b x b的非0的解向量，求出其方程组的一个基础解系，就找出了属于0特征值的全部特征向量.2 特征值与特征向特量的求法2.1矩阵的特征值与特征向量的求法(1)利用定义设A 是数域P 上n 级方阵若存在P ∈0λ及αλααα0n 0=A ≠P ∈使，则称0λ是A 的特征值，α称为A 属于0λ的特征向量 由定义不难得出以下结论1）设λ是A 的特征值，则当A 可逆时，的是且1-10A λλ≠特征值2） 设λ是A 的特征值，则当A 可逆时，A A 是λ1的伴随矩阵的特征值，且当λαα=A 时，有αλαAA =*例 已知三级矩阵A 的特征值为1，-1,0，对应特征向量分别为321P P P ，，,E A A B 322+-=，求1-B 的特征值和特征向量.解 首先，要求1-B 的特征值，必须证明B 可逆并且求出1-B . 设λ是A 的任一特征值，()0≠=αλααA 则()ααE A A B 322+-=故B 可逆.由上述证明及题目所给条件112p Bp =，226p Bp =，333p Bp =.于是11121p p B =-，2261p Bp =，3331p Bp =，即1-B 的特征值为21，61，31，对应的特征向量分别为1p ，2p ，3p .(1)基本计算法1）求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=A λλ 2）求出A E -λ的全部根3）把特征值i λ 逐个代入齐次线性方程组()0=-E x A i λ 并求它的基础解系，即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量例 设4321εεεε，，， 是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在这组基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=711310252921323133425A求A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+----=-21125002327004505602λλλλλλλλB E所以A 的特征值为：021==λλ 13=λ 214=λ 所以A 的属于特征值0 的线性无关特征向量为321132εεεξ++=，4212εεεξ+--=.属于1的特征向量为：4321323εεεεξ-++=，属于21 的特征向量为：43214624εεεεξ++--=.例 求矩阵A 的特征值与特征向量：A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----284014013解 A 的特征多项式为A -E λ=28414013+-+--λλλ=()()212+-λλ所以A 的特征值为1（2重），-2. 把1=λ代入齐次线性方程组（1-3），得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+=--0384024023212121x x x x x x x 其基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2063； 把2-=λ代入（1-3），得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=--0840405212121x x x x x x 其基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100. 所以，A 的特征值为1，-2.属于1的特征向量为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2063k ()0≠k ； 属于-2的特征向量为：()0100≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡l l .因为凡是A 的属于0λ的特征向量都是齐次线性方程组（1-3）的解；反过来，凡是方程组（1-3）的非零解一定都是A 的属于0λ的特征向量，所以，为了求A 的属于0λ的全部特征向量，只需找出方程组（1-3）的一个基础解系，设为1α，2α，…s α，那么A 的属于0λ的全部的特征向量就是s s k k k ααα+++ 2211其中1k ，2k ，…，s k 可以取数域P 中任意的数.需要注意的是：因为特征向量是非零向量，所以1k ，2k ，…，s k 必须不全为零. (2) 用初等变换法利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中.引理 矩阵A 左乘或右乘一个可逆矩阵,其秩不变. 即若A 为n m ⨯矩阵, P 、Q 分别是m 和n 阶可逆矩阵,则()()A r PA r =,()()()()[]1r r A PAQ A r AQ r ==且.由此可知,若()r r =A n , 且E 为n 阶单位矩阵,则形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A 的()n n m ⨯+矩阵必可经过一系列初等列变换化成⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B0的形式，其中B 为r m ⨯矩阵且()r B r =, C , D 分别为r n ⨯和()r n n -⨯矩阵, 0 为()r n m -⨯零矩阵.定理1 设A 为n m ⨯矩阵,其秩()n r A r =, ()Tx x n ,21x x ，，， =,则必存在n 阶可逆矩阵Q ,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B Q E A 0.， 且D 的r n -个列向量就是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系.证明 此处只需证明D 的列向量是0=Ax 的基础解系即可.事实上,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B Q E A 0. ()()⎩⎨⎧==D C Q B AQ ，，0 即()()0，，B D C A =，从而B AC =,0=AD . 这说明,D 的r n -个列向量r -n 21D D D ，，， 是齐次线性方程组0=Ax 的解向量.另设矩阵r n ⨯C 的列向量为r 21C C C ，，， 则由Q =(C ,D )知向量组}{r -n 21r 21D D D C C C ，，，，，，， 即为Q的列向量,因Q 可逆,所以向量组{}r -n 21D D D ，，， 线性无关,因此D 的列向量就是0=Ax 的基础解系.例 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-++=++=-++0x 2x 5x 50x 20x -x x 2x 3032321432143214321，，，x x x x x x x 解 利用初等列变换,得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10000100001013215135514222843000110000100001000010255122211231321E A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→6410510070005111075500120023000124100100100001115255001200230001. 从而, ()3=A r ,所求基础解系为()T6575，，，=α. 定理2 设齐次线性方程组X A ⨯n m =0的系数矩阵A 的秩n r ，PAQ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡000rE的非奇异n n Q ⨯的后r n -列便构成线性方程组的一个基础解系.证明 PAQ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡000rE∴AQ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001rE P =[]21,P P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000rE =[]0,1P . 又 AQ =[]21,Q Q A =[]21AQ AQ ，∴[]21AQ AQ ，=[]0,1P .从而2Q A =0，即Q 的r n -列，即2Q 的诸列为方程组χA =0的列向量.因为Q 为非奇异矩阵，所以2Q 的r n -列线性无关，故它们构成方程组χA =0的一个基础解系.如何求矩阵Q ，从而得到2Q ，从上面的证明过程可以看出，需要进行如下计算： 因矩阵A 的秩为r ,A 有r 列线性无关向量组，于是矩阵[]n E A ,经一系列的初等变换成为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯210Q Q Prm ,其中()r P r =，由此便得到2Q . 定理3 n 阶矩阵A 的特征矩阵()λ-AE 经列的初等变换可成为下三角矩阵：[]A =E λ～()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡*** 00021λλd d =G(λ) 其中()λ1d 、()λ2d 、……、()λn d 的根就是A 的特征多项式()λf =A -E λ的根由定理 2 知：当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-E A E λ列出等变换 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλQ G 时，对矩阵A 的每个特征根i λ，如果秩()i G λ=n -i r ，则在矩阵()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλQ G 中，如果()i G λ中恰有i r 个0列，则()i G λ中与这i r 个0列相应的列便是方程组()χλA -E i =0的基础解系，即为A 的属于特征根i r 的线性无关的特征向量；如果()i G λ中0列少于i r 个，则对()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλQ G 继续作列的初等变换，知道()i G λ中的列的个数为i r ，然后再同上取()i Q λ中与这个0列对应的列.例 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100112001A 的特征根与特征向量.解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101000011100120010101000010101120011000100011001120012λλλλλλλλλλλE A E = ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλQ G . 由()()112--λλ=()()112+-λλ=0知A 的特征根121==λλ，13-=λ当11=λ时，()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11Q G ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-210100001000012000→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-212100001000010000， 特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2101α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2012α. 当1-=λ时，()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--01010000102001200211Q G ， 特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0103α， 这里用初等列变换的方法同时求出了矩阵的特征值与特征向量,完全类似地,利用初等行变换也可以实现这一过程,其方法如下:（1）对矩阵[]E A E -λ施行初等行变换将其化为矩阵()()[]λλQ P ，如果()i P λ中有i r 个0行，则 ()i P λ中与i r 个0行相应的行便是方程组()0=-x E i λ的基础解系，即为A 的属于特征根i r 的线性无关的特征向量；（2）如果()i P λ中0行少于i r个，则对()()[]λλQ P 继续作行的初等变换，直到()i P λ中的行的个数为i r，然后再同上取()i Q λ中与这个0行对应的行.例 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=466353331A的特征值与特征向量.解 因为特征矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+---=-433653631λλλλA E所以[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+---=-100433010653001631λλλλE A E⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+---→001631010653100433λλλ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----++---→31013145201102201004332λλλλλλλ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--++---→3211382001102201004332λλλλλλ=()()[]λλQ P . 由()()08222=--+λλλ知A 的特征根为221-==λλ，43=λ 当2-=λ时，()()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=--01100011000010063322Q P特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0112α. 当4=λ时，()()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21100011066010003344Q P ，特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α. 2.2 线性变换的特征值与特征向量的求法2.2.1 利用定义求解：1）在线性空间V 中取一组基 n εεε .,21，写出ψ在这组基下的矩阵A ；2）求出A 的特征多项式A E -λ在数域P 中全部的根，它们也就是线性变换ψ的全部的特征值；3）把所求得的特征值逐个代入方程组（1-3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基n εεε .,21下的坐标，这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值，而相应的线性方程（1-3）的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量.注：（ⅰ）如果x 是A 的属于特征值λ的特征向量，则x 一定是非零向量，且对任意的非零常数0≠k ,kx 也是A 的属于特征值λ的特征向量.（ⅱ）如果1x ，2x 都是A 的属于特征值λ的特征向量且当02211≠+x k x k 时2211x k x k +也是A 的属于λ的特征项量.例 已知[]3t P 的线性变换()()()()22635364t c b a t b a b a ct bt a +--+--++=++ψ求ψ的特征值与特征向量.解 取[]3t P 的基1，t ，2t ，可求得ψ在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A 因为()()212+-=-E λλλA ，所以A 的特征值为121==λλ，23-=λ.可求得A对应特征向量121==λλ的特征向量为()'-0,1,2，()'1,0,0；而对应特征值23-=λ的特征向量为()'-1,1,1.故ψ的特征值为121==λλ，23-=λ；对应特征值121==λλ的线性无关特征向量为()t t f +-=21，()22t t f =，全部特征向量为()()t f k t f k 2211+，()不全为零，21k k ；ψ对应线性无关特征向量为231t t f ++-=，全部特征向量为()()03≠k t kf结束语由线性变换的特征值，特征向量的概念不难推出，求线性变换的特征值与特征向量可以转化为求矩阵的特征值与特征向量．线性变换的特征值实质上就是其对应矩阵的特征值，线性变换的特征向量实质上就是以对应矩阵的特征向量为坐标与以上的基进行组合．本文首先介绍了特征值与特征向量的概念及性质，接着介绍了特征值与特征向量的有关性质，并且特征值与特征向量的常用结论作了详细的介绍，重点介绍了利用矩阵的初等变矩阵换不仅给出了求齐次线性方程组基础解系的方法,同时给出了一种同步求解n阶方阵A的特征值与特征向量的方法.把一些比较复杂的问题转化到初等变换的问题上来解决，这种方法既直接又简便；特征值与特征向量是线性变换的重要知识点，可以利用它来证明矩阵是否可对角化，它们不仅在数学的各分支，如微分方程，差分方程中有重要应用，而且在其他科学领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用参考文献[1]北京大学数学系，高等代数（第三版）[M].北京：高教出版社，2003.7.[2]孙东升.《矩阵与变换》模块训练学生思维能力的几点做法[J].数学通报，2009，（10）：25-36.[3]冯天祥.再谈初等变换法在矩阵计算中的应用[J].重庆三峡学院学报，2008,5（03）：36-40.[4]刘国琪.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解[J]. 数学通报，1996，（2）：40-42.[5]徐仲.高等代数考研教案 [M].西安：西北工业大学出版社，2006.6.[6]罗家洪.矩阵分析引论（第二版）[M].广州：华南理工大学出版社，2000.5.[7]王向东，周士谨.高等代数的常用方法（第二版）[M].科学出版社，1989.5.[8]威尔.代数特征值问题（第三版）[M].北京：科学出版社，2001.4.[9]张贤科，许莆华. 高等代数学（第二版）[M].北京：清华出版社，1998.2.[10]张禾瑞,郝鈵新.高等代数(第四版) [M]. 北京:高等教育出版社,1999.3.[11]张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版，1998.6 .[12]赵树源.线性代数 [M].北京：中国人民大学出版社，1980.5.[13]北京大学数力系编.高等代数（第一版）[M].北京：高等教育出版社，1978.3.[14]刘先忠,杨明.线性代数(第2版) 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