关于正交矩阵特征值与行列式的两个定理

矩阵论五矩阵分析矩阵论作为数学中的一个重要分支，研究的是矩阵的性质、运算和应用。

在实际应用中，矩阵论广泛应用于线性代数、计算机科学、物理学、经济学等领域，起到了重要的作用。

本文将介绍矩阵分析这一矩阵论的重要内容。

矩阵分析是矩阵论中的一个重要分支，它研究的是矩阵的各种性质和内在结构。

矩阵分析包括矩阵的行列式、特征值、特征向量、正交变换、相似矩阵等概念和定理。

首先，矩阵的行列式是一个非常重要的概念。

行列式是一个把方阵映射到实数的函数，用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等问题。

行列式的计算可以通过对矩阵进行列展开、代数余子式等方法来进行。

同时，行列式还具有一系列重要的性质，如行列式的线性性、行列式的性质、Cramer法则等，这些性质为行列式的计算和应用提供了便利。

其次，矩阵的特征值和特征向量也是矩阵分析的重要内容。

特征值和特征向量描述了矩阵在线性变换下的性质，是矩阵的本征特性。

通过求解特征方程，可以得到矩阵的特征值，通过求解对应的特征向量，可以得到矩阵的特征向量。

特征值和特征向量在很多应用中起着重要的作用，如在物理学中用于描述物理量在变换下的特性，亦或者在图像处理中用于图像压缩和分解等。

此外，矩阵的正交变换也是矩阵分析中的一个重要概念。

正交变换是指保持向量长度和夹角不变的线性变换，可以通过一个正交矩阵来实现。

正交变换在几何学中起到了非常重要的作用，如在三维空间中的旋转变换、投影变换等。

正交矩阵具有很多重要的性质，如正交矩阵的逆等于其转置、正交矩阵的行列式为1或-1等。

最后，相似矩阵也是矩阵分析中的一个重要概念。

相似矩阵是指可以通过一个可逆矩阵相似变换得到的矩阵。

相似矩阵具有相同的特征值，特征向量和行列式。

相似矩阵在矩阵的相似性和等价性判断、矩阵的对角化等问题中起到了重要的作用。

总之，矩阵分析作为矩阵论的重要分支，研究的是矩阵的各种性质和内在结构，是矩阵论的重要内容之一、矩阵分析包括矩阵的行列式、特征值、特征向量、正交变换和相似矩阵等概念和定理。

线性代数必考知识点一、行列式1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。

一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质(1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A(2) 行列式两行或两列互换，其值反号。

(3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。

(4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。

(5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。

(6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。

(7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。

(8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理(1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式332112322311312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵1、矩阵运算(1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。

(2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。

(3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。

(4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。

(5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式(1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置(1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A4、伴随矩阵(1) *1*****11*2****1*)(,)(,)()(,)(,,A k kA A B AB A A A AA E A A A AA A A A n n(2) 1)(0)(1)(1)()()(*** n A r A r n A r A r nA r n A r5、逆矩阵 (1) 1111*111111*1)(,1)(,,)(,,1A B AB A AA A A A A E A A AA A A A (2) 分块矩阵的逆矩阵① 111A O A O OB OB （主对角分块）② 111O A O B B O AO（副对角分块） ③ 11111A C A A CB O B OB（拉普拉斯）④ 11111A O A O C B B CA B（拉普拉斯） 6、矩阵初等变换(1) 交换矩阵两行或两列 (2) 矩阵某行或某列乘以k(3) 矩阵某行或某列乘以k 并加到另一行或列 (4) 矩阵初等变换的实质是矩阵与初等矩阵相乘 ① 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 ② 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵 7、矩阵其他考点(1) 行列矩阵相乘： 为行矩阵),,(21n a a a ， 为列矩阵),,(21n b b b ， 则 1)()()()())(()( k k(2) 矩阵n A 的求法：若A 可对角化，则有 AP P 1，于是1 P P A n n (3) 若n B r m A r )(,)(，则有m A r B A r )()(且n B r B A r )()(三、向量1、向量运算： k k k )(),()(,2、线性表示对于向量组s ,,21和向量 ，若存在一组数s k k k ,,21使得s s k k k 2211 (1) 若s s k k k 2211有唯一解，则 能由向量组s ,,21唯一线性表示。

本科毕业论文（ 2010 届）题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学摘要矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.关键词特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵AbstractThe problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.Keywordscharacteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices目录1.引言 (5)1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。

线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是一门研究向量空间及其运算规律的数学学科，正交变换和正交矩阵是其中重要的概念之一。

本文将介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质以及其在线性代数中的应用。

一、正交变换的定义与性质正交变换是指一种保持向量内积不变的线性变换。

设V是一个n维向量空间，线性变换A:V→V是一个正交变换，当且仅当满足以下条件：1. 对于V中任意两个向量u、v，有(Au)·(Av) = u·v，其中·表示两个向量的内积；2. A是一个满秩的矩阵，即A的行与列都线性无关。

正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于任意向量v，有||Av|| = ||v||，其中||v||表示向量的长度；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即对于任意向量u、v，有夹角(Au, Av) = 夹角(u, v)，其中夹角(u, v)表示向量u和v之间的夹角；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即如果A是一个正交变换，则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵；4. 正交变换的矩阵表示是一个正交矩阵。

二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是指行列式的值为1或-1的实矩阵。

设A是一个n×n的矩阵，如果A满足以下条件，则称A是一个正交矩阵：1. A的转置矩阵A^T与A的乘积等于单位矩阵，即A^T × A = I；2. A的行（或列）向量构成一组标准正交基。

正交矩阵具有以下重要性质：1. 正交矩阵乘积依然是一个正交矩阵，即如果A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；2. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即如果A是一个正交矩阵，则A^T是其逆矩阵；3. 正交矩阵的行（或列）向量是一组标准正交基，即正交矩阵的行（或列）向量互相正交且长度为1；4. 正交矩阵的行列式的值为1或-1，即|A| = 1或|A| = -1。

三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在线性代数中有着广泛的应用。

目录摘要（关键词） (1)Abstract（Key words） (1)1前言 (1)2正交矩阵的性质 (1)3正交矩阵的相关命题 (3)4 正交矩阵的应用 (5)4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6)4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7)4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9)5后记 (10)参考文献 (10)致谢 (11)关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。

线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。

在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。

本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。

首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。

这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。

这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。

这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。

其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。

标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。

正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。

这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。

此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。

当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。

这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。

然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。

首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。

因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。

其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。

例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。

最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。

这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。

然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。

判断正定矩阵的方法正定矩阵，顾名思义，是指矩阵的性质满足“正定”的条件。

在线性代数中，正定矩阵是非常重要的概念。

正定矩阵是一种定义良好的矩阵，它的主要性质有：所有特征值为正数，行列式为正数，且所有主子矩阵的行列式都为正数。

在实际应用中，正定矩阵常常用在优化问题、最小二乘问题、信号处理、加密等领域。

在进行正定矩阵的判断时，我们通常有以下几种方法，分别从不同的角度出发进行判断。

方法一：主元素主子式判定法主元素主子式判定法(Leading Principal Minor Test)是最常用和最简单的方法之一。

正定矩阵要求每个n个阶层次的主子式大于0，即主子矩阵行列式大于0。

如果所有的主子式都大于0，则该矩阵为正定矩阵。

证明：假设矩阵A为n阶正定矩阵，根据特征值定理，A的所有特征值必须为正数。

因此，其所有的主元素主子矩阵行列式均为正数。

反之，如果所有的主元素主子式都大于0，则矩阵A的所有特征值均大于0，从而A为正定矩阵。

举例：设矩阵A = [1 2; 2 5]，则一、二阶主子式分别为1，(1×5-2×2) = 1，因为所有的主子式均大于0，所以矩阵A是正定矩阵。

方法二：特征值判定法特征值判定法(Eigenvalue Test)是另一种常用的方法。

如果一个n阶的矩阵A有n个线性无关的特征向量，且这些特征值都为正数，则矩阵A为正定矩阵。

证明：根据特征值定理，如果A为n阶的对称矩阵，则A可以分解为A = VλV’，其中V是n阶正交矩阵，λ是n阶对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值。

如果A为正定矩阵，则λ的对角线上所有元素都为正数。

因为V为正交矩阵，所以V的所有列向量线性无关。

因此，矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中每个特征值都大于0。

反之，如果A有n个线性无关的特征向量，且所有特征值都大于0，则A为正定矩阵。

方法三：Sylvester判定法Sylvester判定法(Sylvester Criterion)是一种基于奇异值分解的方法。

线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。

在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。

在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。

下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。

一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。

2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。

（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。

（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。

（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。

（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。

（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。

3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。

（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。

（3）行列式的转置等于行列式的值不变。

二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。

线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是数学的一个重要分支，其中的正交变换与正交矩阵是其核心概念之一。

本文将详细探讨正交变换与正交矩阵的定义、性质以及应用。

一、正交变换的定义和性质在线性代数中，正交变换指的是在向量空间中保持向量长度和夹角不变的线性变换。

具体而言，给定一个向量空间V和其上的内积，一个线性变换T称为正交变换，如果对于任意的向量x和y，其满足内积不变性：⟨Tx, Ty⟩ = ⟨x, y⟩正交变换具有以下性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于向量x，有∥Tx∥ =∥x∥。

2. 正交变换保持向量之间的夹角，即对于向量x和y，有⟨Tx, Ty⟩= ⟨x, y⟩。

3. 若正交变换T将向量x映射为零向量，则原向量x也为零向量。

二、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是一个满足以下条件的方阵：1. 矩阵的每一列都是单位向量。

2. 任意两列之间的内积等于零，即矩阵的列向量两两正交。

3. 矩阵的每一行都是单位向量。

4. 矩阵的转置等于其逆矩阵，即A^T A = AA^T = I。

正交矩阵具有以下性质：1. 正交矩阵的行向量组也为正交向量组。

2. 正交矩阵的列向量组也为正交向量组。

3. 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。

4. 正交矩阵的行列式的值为±1。

三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在许多领域中都有广泛的应用，以下列举其中的几个重要应用：1. 几何变换：正交变换可以用来进行平移、旋转和镜像等几何变换操作。

例如，二维平面上的旋转可以通过乘以一个旋转矩阵实现。

2. 物体建模：在计算机图形学中，正交矩阵常用于表示物体的旋转和缩放变换，用来实现物体模型的变换和渲染。

3. 信号处理：正交矩阵可以用来对信号进行变换和分析，如傅里叶变换和卡拉OK变换。

4. 数据压缩：正交矩阵可以用于数据压缩领域，例如JPEG图像压缩中的离散余弦变换。

5. 特征值问题：正交变换与正交矩阵在求解特征值问题中起到关键作用，例如用于主成分分析和奇异值分解等。

关于正交矩阵性质的讨论尽管正交矩阵有着简单的结构，但它却具有复杂且深远的内涵。

正交矩阵是一类特殊的矩阵，具有独特的性质和性能，影响着众多数学问题的求解与计算。

因此，研究正交矩阵的性质具有极为重要的意义。

正交矩阵的结构是以变换的概念为基础的，因此它的性质更加特殊。

根据簇伦思特定理，一个任意的矩阵与它的转置矩阵的乘积称为它的伴随矩阵。

此外，如果一个矩阵和它的逆矩阵的乘积等于单位矩阵，则此矩阵称为可逆矩阵。

而正交矩阵既是它自身的伴随矩阵，又是可逆矩阵，并且它的行列式（determinant）总是非零值，因此它具有非常出色的矩阵性质。

另外，正交矩阵也可以保证它矩阵元素之间的相互独立性，也就是说每一个矩阵元素都与其他矩阵元素不相关。

此外，正交矩阵还斌扶与推广四元数的概念，四元数可以使用四元组的方式表示，该表达式可以用以描述三维空间中的三维向量，这些空间向量唯一由其矩阵表示而不会被改变。

此外，正交矩阵上的元素可以表示投影，如y=Ax和y=Bx（其中A和B分别是常数），可以分析出两组变量之间的关系，这充分体现了正交矩阵的强大功能。

另外，正交矩阵是一类特殊的方阵，它是满足不等式的一种阵列，可以在正交空间中对向量作线性转换。

它还具有一些特殊的性质，如其非零的特征值，可以被看作是正交矩阵的稳定性量度；另外，正交矩阵的特征向量也是相互正交的，可以揭示出矩阵变换带来的变形，因而深入了解了矩阵变换引入的各种解。

综上所述，正交矩阵具有复杂且深远的内涵，其性质对于深入理解数学方面的问题至关重要，它不仅可以贯彻变换概念，还可以保证变量元素相互独立，推动四元数概念的推广，甚至可以保持矩阵元素之间的稳定性。

因此，正交矩阵是数学研究中不可忽视的重要主题之一。

矩阵论1．行列式的相关知识：1.1定义：由2n 个数ij a (,1,2,...,)i j n =组成的一个n 阶行列式为1212121112121222(...)12 (12)(1)...n j j jnnn n j j j n j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑即所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212...j j j n n a a a 的代数和，其中每一项的符合由排列12...n j j j 的奇偶性决定。

n 阶行列式的展开原理：定义1.1.2在n 阶行列式D 中，任选k 行和 k 列（k n ≤），将其交叉点上的2k 个元素按原来位置排成一个k 阶行列式M ，称为D 的一个k 阶子式。

在D 中划去M 所在之k 行k 列后余下的2()n k -个元素按照原来位置排成的n-k 阶行列式M '，称为M 的余子式。

定义1.1.3设D 的k 阶子式M 在D 中所在行列指标分别是12,,...,k i i i和12,,...,k j j j ，则称1212()()(1)k k i i i j j j A M ++++++'=-•为M 的代数余子式，其中M '为M 的余子式。

定理1.1.1（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定k 行(11)k n ≤≤-，则由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D 。

定理1.1.4（克莱姆法则）：若线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.1.7）的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠则方程组（1.1.7）有唯一解，且/(1,2,)i i x D D i n ==，其中i D 是将D 中第i 列换成（1.1.7）式右端的常数项12,,,n b b b 所得的行列式，即1,11,111112,12,22122,1,1i i n i i n i n i n i nn nnna a ab a a a a b a D a a a b a -+-+-+=(1,2,,)i n =该定理通常称为克莱姆法则。

正交矩阵性质
1、逆也是正交阵
对于一个正交矩阵来说，它的逆矩阵同样也是正交矩阵。

2、积也是正交阵
如果两个矩阵均为正交矩阵，那么它们的乘积也是正交矩阵。

3、行列式的值为正1或负1
任何正交矩阵的行列式是+1或−1对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

4、在复数上可以对角化
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来
展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。

5、群性质
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。

事实上，所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。

它是n(n−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。

行列式为+1的正交矩阵形成了路径连通的子群指标为2的O(n)正规子群，叫做旋转的特殊正交群SO(n)。

商群O(n)/SO(n)同构于
O(1)，带有依据行列式选择[+1]或[−1]的投影映射。

在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义：设A 是欧几里得空间的线性变换，如果A保持内积，也就是说，对任意的，有A A ＝。

正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等。

●定义一：正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。

根据规范正交基的性质，我们可证得：矩阵是正交变换A关于规范正交基得矩阵得充分必要条件是。

由此可得：●定义二：满足的方阵为正交矩阵。

现在探讨正交矩阵的性质：一、正交矩阵与矩阵运算的关系：设，即有。

1)正交矩阵的和：令则，不是正交矩阵。

2)正交矩阵的积：∴为正交矩阵。

3)正交矩阵的逆和转置：由,故均为正交矩阵。

4)正交矩阵的伴随:，，∴为正交矩阵。

二、正交矩阵的特征：行列式：由。

其中行列式等于的称为第一类正交变换，行列式等于的称为第二类正交变换。

正交变换的特征值：欧几里得空间里正交变换的特征值为，证明如下：设A( )＝，则(A( ),A( ))且奇数维欧几里得空间的第一类正交变换，必以为特征值，偶数维欧几里得空间的第二类正交变换，必以为特征值。

正交矩阵显然是可逆的。

三、正交矩阵与特殊矩阵的关系：特征值全是实数的的正交矩阵必是对称矩阵。

证明如下：设是阶正交矩阵，且其特征值都是实数。

那么就可以看作是某个欧几里得空间上的正交变换A关于某个规范正交基的矩阵。

设是的任一特征值，是相应的特征向量。

令。

则是A的不变子空间：任取，则。

所以A＝( A＝(A A)＝( )=0。

因A是正交变换，所以特征值是非零实数，从而A＝0，即是A不变的。

A 仍是正交变换，且A 的特征值就是A的特征值，因此其特征值也都是实数。

对A 重复上述步骤的话，就能得到A的个实特征值以及相对应的个两两正交的特征向量。

将单位化即得得一个新的规范正交基。

而A在这一基下的矩阵实对角阵。

设是从旧的规范正交基到新的规范正交基的过渡矩阵，则。

由于也是正交矩阵，所以是对称矩阵。

任意阶实可逆方阵均可分解为，其中是正交矩阵，是下三角矩阵。

毕业论文正交矩阵及其应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（毕业论文正交矩阵及其应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为毕业论文正交矩阵及其应用的全部内容。

正交矩阵及其应用The orthogonal matrix and its applicalion专业：数学与应用数学作者：指导老师：学校二○一摘要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具, 它的应用非常广泛. 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.关键词: 矩阵; 正交矩阵; 标准正交基; 集合; 特征根；行列式AbstractOrthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is widely used。

This article cites the following main four orthogonal matrix applications ：orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the application of physics.Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis； a collection of eigenvalues; determinant目录摘要 (I)Abstract ...................................................... I I0 引言 (1)1 正交矩阵的定义及其简单性质 (1)1.1 正交矩阵的定义及其判定 (1)1.2 正交矩阵的性质 (1)2 正交矩阵的应用 (2)2。

线性代数中的正交矩阵与特征分解的讲解线性代数中的正交矩阵与特征分解线性代数作为数学的分支学科，涉及到向量、矩阵、行列式、线性变换等基础概念和理论。

其中，正交矩阵和特征分解是线性代数中比较重要的两个概念，它们有着广泛的应用，具有非常重要的意义。

本文将从理论和实际角度出发，对正交矩阵和特征分解进行详细的讲解。

正交矩阵在数学中，正交矩阵是指其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。

也就是说，如果矩阵A的转置矩阵等于其逆矩阵，即$A^T \cdotA=AA^T =I$，其中$I$为单位矩阵，则矩阵A就是正交矩阵。

正交矩阵具有许多良好的性质。

例如，正交矩阵的列向量是彼此正交的，即它们的点积为0；正交矩阵的行向量也是彼此正交的；每个行向量和列向量的模长都是1。

正交矩阵在实际应用中有广泛的应用。

它们可以用来表示旋转、镜像等变换。

例如，当我们需要对一个向量进行旋转变换时，只需将这个向量与一个正交矩阵相乘即可。

特征分解特征分解是指将一个矩阵分解成若干个特征向量和特征值的线性组合的形式。

如果一个$n*n$的矩阵A有$n$个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵$Q$，并将这些特征向量所对应的特征值按照相应的顺序排列成一个对角矩阵$\Lambda$。

那么，$A$可以表示为$A=Q\Lambda Q^{-1}$。

其中，矩阵$Q$是正交矩阵，即$QQ^T=Q^TQ=I$，而$\Lambda$ 是对角矩阵，其对角线上的元素即为特征值。

特征分解可以看做是一种矩阵的分解方法，具体可以分解出矩阵的特征向量和特征值。

特征分解在实际应用中也有许多的应用。

例如，可以用特征分解的方式来进行图像压缩和降维。

另外，特征分解还可以被用来求解大规模矩阵的特征值和特征向量，对于高维的数据处理非常有用。

总结在线性代数中，正交矩阵和特征分解是两个非常重要的概念，它们具有许多的应用。

正交矩阵可以用来表示旋转、镜像等变换，而特征分解则可以被用来进行图像压缩和降维等高维数据处理。

正交矩阵及其特征值
杨吉会;鲁春铭;张冰;张冬梅
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】正交矩阵是一类重要的矩阵，鉴于国内多数线性代数教材对该问题讨论得不够全面，本文对其内容[1-2]进行系统的梳理。

1正交矩阵及正交变换定义1设U是n阶实方块矩阵，若UU^T=E，则称U是n阶正交矩阵。

【总页数】1页(P15-15)
【作者】杨吉会;鲁春铭;张冰;张冬梅
【作者单位】沈阳农业大学理学院，辽宁沈阳 110866;沈阳农业大学理学院，辽宁沈阳 110866;沈阳农业大学理学院，辽宁沈阳 110866;沈阳农业大学理学院，辽宁沈阳 110866
【正文语种】中文
【相关文献】
1.辨析正交矩阵的特征值
2.对称自正交相似矩阵的左右逆特征值问题
3.不同数域上正交矩阵的特征值
4.用重正交化Lanczos法求解大型非正交归一基稀疏矩阵的特征值问题
5.关于正交矩阵特征值与行列式的两个定理
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。