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矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
求矩阵特征值的简便方法矩阵的特征值是一个非常重要的数学概念，在很多领域都有广泛的应用。
求矩阵特征值的传统方法包括求解特征多项式或者使用迭代法等。
但是这些方法都要求对矩阵进行复杂的运算，计算量很大，效率不高。
本文介绍一种简便而有效的方法，能够快速求解矩阵的特征值。
首先，我们可以使用矩阵的迹和行列式来求解特征值。
具体来说，对于一个n阶方阵A，它的特征值可以表示为：λ1, λ2, …, λn其中，λi是矩阵A与单位矩阵I的差的行列式的第i个根。
也就是说，我们可以通过下面的公式来求解每个特征值：det(A - λi*I) = 0其中，I是n阶单位矩阵。
这个公式是求解特征值的传统方法之一，但是计算复杂度很高，在实际应用中并不实用。
我们可以利用矩阵的迹和行列式来简化这个公式，具体来说，我们可以将公式改写为：det((A - λ*I) * (A - λ*I)) = 0其中，I是n阶单位矩阵。
这个公式比较简单，而且可以用矩阵乘法来计算，效率比传统方法要高。
我们可以将上述公式展开，得到：(λ1 - λ) * (λ2 - λ) * … * (λn - λ) = 0其中，λ1, λ2, …, λn是矩阵A的特征值，而λ是我们要求解的特征值。
这个公式可以通过求解一个n次方程来求解特征值。
除了上述方法，我们还可以使用雅可比迭代法来求解矩阵的特征值。
这个方法比较复杂，需要对矩阵进行多次迭代，但是计算效率比传统方法要高。
综上所述，求解矩阵特征值的方法有很多种，我们可以根据实际情况选择最适合的方法。
如果矩阵较小，我们可以使用传统的方法来求解特征值；如果矩阵较大，我们可以使用更快速的方法来提高计算效率。
矩阵特征值的求法
矩阵特征值是矩阵在线性代数中的重要概念，它可以帮助我们解决许多实际问题。
矩阵的特征值表示的是在矩阵作用下，某个向量方向不发生改变的情况下，对应的缩放比例。
特征值可以用于求解线性方程组、矩阵对角化等问题
求矩阵特征值的方法有多种，其中较为常见的是使用特征方程的方法。
即根据矩阵的定义，暴力枚举每个特征值，然后求解对应的特征向量，最后将所有特征向量拼成一个矩阵，这个矩阵就是矩阵A的特征向量矩阵。
另外，还可以使用雅可比迭代法、QR分解等方法来求解矩阵的特征值。
这些方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，QR分解被用于矩阵对角化、奇异值分解、线性最小二乘问题等领域。
总之，求解矩阵的特征值是在线性代数中十分重要的问题。
不同的求解方法有着各自的优缺点，根据实际需求选择合适的方法可以提高计算效率和准确度。
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矩阵特征值快速求法矩阵特征值是矩阵分析中十分重要的概念。
它在物理、工程、数学等许多领域都有着广泛的应用。
矩阵特征值是指矩阵运动时特殊的运动状态，是一种宏观量度矩阵运动的指标。
求解矩阵特征值是一项复杂的任务，通常需要使用高级算法来完成。
本文将介绍几种常用的求解矩阵特征值的算法，其中包括幂法、反幂法、QR算法、分裂Broyden算法等。
一、幂法幂法是求解矩阵特征值的一种基础算法，其基本思想是通过迭代来逐步逼近矩阵的最大特征值。
幂法的核心公式如下：x_(k+1)=A*x_k/||A*x_k||其中，x_k表示第k次迭代中得到的特征向量，A表示原始矩阵。
幂法通过不断的迭代来逼近A的最大特征值，当迭代次数趋近于无限大时，得到的特征向量就是A的最大特征值所对应的特征向量。
幂法的运算量较小，适用于比较简单的矩阵。
反幂法与幂法类似，不同之处在于每次迭代时采用的是A的逆矩阵来进行计算。
其核心公式如下：x_(k+1)=(A-λI)^(-1)*x_k其中，λ表示要求解的特征值。
反幂法能够求解非常接近于特征值λ的特征向量，并且对于奇异矩阵同样适用。
需要注意的是，在实际计算中，如果A-λI的秩不满，那么反幂法就无法使用。
三、QR算法1. 将原矩阵A进行QR分解，得到A=Q*R。
2. 计算A的近似特征矩阵A1=R*Q。
5. 重复步骤3-4，直到A的对角线元素全部趋近于所求特征值为止。
QR算法的计算量较大，但其具有收敛速度快、精度高等优点，广泛应用于科学计算中。
四、分裂Broyden算法分裂Broyden算法是QR算法的一种改进算法，其基本思想是将矩阵分解成上下三角形式，然后再对其进行QR分解，以减少QR算法中的乘法运算量。
具体实现过程如下：2. 构造一个倒数矩阵B=U^(-1)*L^(-1)。
4. 计算A的近似特征矩阵A1=Q^(-1)*L^(-1)*A*R^(-1)*U^(-1)*Q。
分裂Broyden算法的计算量较小，能够有效地解决QR算法中的乘法运算量过大的问题。
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。
一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。
它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。
然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。
具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。
2. 求解矩阵B的行列式det(B)。
3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。
二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。
它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。
具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。
2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。
3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。
三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。
它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。
2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。
在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。
矩阵特征值的数值解法矩阵的特征值是在矩阵与其特征向量之间的关系中的数值解。
特征值在各个领域中都有广泛应用，包括物理、工程、金融等。
在解决实际问题时，我们经常需要计算矩阵的特征值，因此研究如何求解矩阵特征值的数值方法是非常重要的。
1. 幂迭代法（Power Iteration）幂迭代法是求解矩阵特征值的一种简单而常用的数值方法。
它的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量趋近于该矩阵的一个特征向量。
具体步骤如下：（1）初始化一个非零的初始向量x。
（2）进行迭代计算，即$x^{(k+1)}=Ax^{(k)}/，Ax^{(k)}，$。
（3）当向量x的相对误差小于一些预设的精度要求时，停止迭代，此时的x即为矩阵A的一个特征向量。
（4）将x带入特征值的定义式$\frac{Ax}{x}$，计算出特征值。
幂迭代法的优点是简单易实现，计算速度较快，缺点是只能求解特征值模最大的特征向量，而且对于存在特征值模相近的情况，容易收敛到错误的特征值上。
2. QR迭代法（QR Iteration）QR迭代法是一种较为稳定的求解矩阵特征值的数值方法。
它的基本思想是通过不断进行QR分解，使得矩阵的特征值逐渐收敛。
具体步骤如下：（1）将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R，令$A_1=RQ$。
（2）将$A_1$再次进行QR分解，得到新的矩阵$A_2=R_1Q_1$。
（3）重复步骤（2），直到得到收敛的矩阵$A_k$，此时$A_k$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
QR迭代法的优点是对于特征值模相近的情况仍然能够收敛到正确的特征值上。
缺点是每次QR分解都需要消耗大量的计算量，迭代次数较多时计算速度较慢。
3. Jacobi迭代法（Jacobi's Method）Jacobi迭代法是一种通过对称矩阵的对角线元素进行迭代操作，逐步将非对角元素变为零的求解特征值的方法。
具体步骤如下：（1）初始化一个对称矩阵A。
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)以下是矩阵特征值求法的十种经典求法：1. 幂法（Power Method）幂法（Power Method）幂法是求解特征值的常用方法之一。
它基于一个重要的数学原理：对于一个非零向量$x$，当它连续乘以矩阵$A$的$k$次幂后，$Ax$的方向将趋于特征向量相应的特征值。
这种方法通常需要进行归一化，以防止向量过度增长。
2. 反幂法（Inverse Power Method）反幂法（Inverse Power Method）反幂法是幂法的一种变体。
它通过计算矩阵$A$的逆来求解最小的特征值。
使用反幂法时，我们需要对矩阵$A$进行LU分解，以便更高效地求解线性方程组。
3. QR方法QR方法QR方法是一种迭代方法，可以通过将矩阵$A$分解为$QR$形式来逐步逼近特征值。
这种方法是通过多次应用正交变换来实现的，直到收敛为止。
QR方法不仅可以求解特征值，还可以求解特征向量。
4. Jacobi方法Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法，通过施加正交相似变换将矩阵逐步变为对角矩阵。
在每个迭代步骤中，Jacobi方法通过旋转矩阵的特定元素来逼近特征值。
这种方法适用于对称矩阵。
5. Givens旋转法Givens旋转法Givens旋转法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Givens旋转矩阵将矩阵逐步变为对角矩阵。
这种方法是通过旋转矩阵的特定元素来实现的。
6. Householder变换法Householder变换法Householder变换法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Householder变换将矩阵逐步变为Hessenberg形式，然后再进一步将其变为上三角形式。
这种方法是通过对矩阵的列向量进行反射来实现的。
7. Lanczos方法Lanczos方法Lanczos方法是一种迭代方法，用于对称矩阵的特征值求解。
该方法创建一个Krylov子空间，并使用正交投影找到最接近特征值的Krylov子空间中的特征值。
矩阵特征值的求法举例矩阵的特征值是矩阵在特征向量上的变化率，可以用于矩阵的分析和求解问题。
在数学中，特征值的求法有不同的方法，下面举例介绍其中几种常用的方法。
1. 幂迭代法幂迭代法是求解矩阵最大特征值的一种常用方法。
假设A是一个n阶方阵，且有一个特征值λ1使得|λ1|>|λ2|≥|λ3|≥...≥|λn|，那么在随机选取的一个m维向量x0上进行迭代操作，可以得到一个序列x1、x2、…、xm，最终收敛到特征值为λ1的特征向量。
具体迭代过程如下：(1) 选取一个初始向量x0，进行归一化处理： x0 = x0 / ||x0||(2) 迭代计算xm的值： xm = Axm-1(3) 对xm进行归一化处理： xm = xm / ||xm||(4) 判断结束条件：判断向量xm与xm-1的差别是否小于一个给定的阈值，如果是则结束迭代，返回最终结果。
2. Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法，用于求解对称矩阵的全部特征值和特征向量。
假设有一个n阶实对称矩阵A，那么Jacobi方法的步骤如下：(1) 将A初始化为对角矩阵，即通过旋转操作将非对角元素都变为0： A' = R^TAR(2) 计算A'的非对角线元素的绝对值之和，如果小于一个给定的阈值，则结束迭代，返回矩阵A'的对角线元素作为矩阵A的特征值的近似解。
(3) 否则，选择一个非对角元素a_ij的绝对值最大的位置(i,j)，对矩阵A'进行旋转操作，使a_ij=0。
(4) 返回步骤(2)。
(1) 初始化矩阵A： A0 = A(2) 对矩阵A0进行QR分解，得到A0=Q1R1。
(3) 计算A0的近似第一特征值λ1的估计值：λ1 = R1(n,n)。
(4) 将A0更新为A1： A1 = R1Q1。
(5) 判断矩阵A1是否满足结束条件，如果是则迭代结束，返回A1的对角线元素作为矩阵A的特征值的近似解。
(6) 否则，返回步骤(2)。
矩阵的特征值求解技巧矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，对于解决矩阵的性质和应用问题有着重要的作用。
特征值求解是矩阵特征值问题的核心内容，本文将介绍特征值求解的技巧和方法。
一、特征值和特征向量的定义首先，我们需要理解特征值和特征向量的概念。
给定一个n阶矩阵A，如果存在数λ和非零向量X使得AX=λX，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
二、特征值的求解1. 利用特征多项式对于n阶矩阵A，我们可以定义其特征多项式p(λ)=|A-λI|，其中I是n阶单位矩阵。
求解特征多项式的根即为矩阵的特征值。
2. 利用特征值的性质特征值的性质有助于我们求解特征值。
下面列举一些常见的性质：- 特征值与矩阵的行列式相等。
即det(A-λI)=0。
- 矩阵的特征值个数等于其矩阵的阶数。
- 如果矩阵A是n阶矩阵，那么矩阵A的特征值之和等于A的主对角线元素之和。
- 特征值互不相等，特征向量也互不相等。
即不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
3. 利用特殊矩阵的性质对于特殊的矩阵，我们可以利用其性质来求解特征值。
例如，对于对称矩阵，其特征值一定是实数；对于三角矩阵，其特征值等于主对角线元素。
三、特征向量的求解特征向量的求解是在已知特征值的情况下进行的。
对于给定的特征值λ，我们可以利用矩阵特征方程(A-λI)X=0，利用高斯消元法或其他行列运算方法求解出特征向量。
四、实际问题中的应用特征值和特征向量在实际问题中有着广泛的应用，如：- 在物理学中，特征值和特征向量可以用来描述量子力学中的量子态和量子力学运算符的本征态和本征值。
- 在工程中，特征值和特征向量可以用来描述系统的振动模态和固有频率。
- 在数据分析中，特征值和特征向量可以用来进行降维处理和特征选取。
总结：特征值和特征向量是矩阵的重要性质，通过求解特征值和特征向量，我们可以了解矩阵的本质、性质和应用。
特征值的求解可以利用特征多项式、特征值的性质和特殊矩阵的性质等方法，特征向量的求解可以通过矩阵特征方程进行求解。
矩阵特征值求解的分值算法12组1. 1矩阵计算的基本问题(1) 求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求 一个n 维向量X,使得Ax =b (1.1.1 )(2) 线性最小二乘问题，即给定一个mx n 阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量使得 |A X -b | =min{ |Ay -比严 R n }(3) 矩阵的特征问题，即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特 征值以及对应的特征向量，也就是求解方程Ax = Z xA 的属于特征值A 的特征向量。
在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的振动问题： 机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题 ；无线电电子学及光学系统的电磁 振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题 .又如天文、地 震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。
在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马 尔可夫链模拟等实际问题，最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问 题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用，因此对矩阵的特征值问题的求解理 论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的 重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。
1.2矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个nxn 阶实(复)矩阵A,它的特征值问题，即求方程(I.1.3)式的非平凡 解,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来 许多计算问题.为了求(1.1.3)式中的A , —个简单的想法就是显式地求解特征方 程det(A —几I) = 0除非对于个别的特殊矩阵，由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由 行列式的计算来求得，既使能精确计算出特征方程的系数，在有限精度下，其特征 多项式f ") =det(A-ZJ)的根可能对多项式的系数非常敏感 能在理论上是有意义的，实际计算中对一般矩阵是不可行的 数较大，则行列式det(A -几I)的计算量将非常大；其次，根据 数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法 ，基于上述原因，人们只能寻求其 它途径.因此,如何有效地！精确地求解矩阵特征值问题，就成为数值线性代数领 域的一个中心问题.目前,求解矩阵特征值问题的方法有两大类：一类称为变换方法，另一类称为 向X,(1.1.2 )(1.1.3 ) 一对解(4 X),其中R(C),x- R n (C n ),即A 为矩阵A 的特征值，X 为矩阵(121 ).因此，这个方法只 .首先,若矩阵A 的阶 Galois 理论,对于次量迭代方法.变换方法是直接对原矩阵进行处理，通过一系列相似变换，使之变换成一个易于求解特征值的形式，如Jacobi算法,Givens算法,QR算法等。
变换方法由于要存储矩阵元素，因而它只适用于求解中小型矩阵，它一般和向量迭代方法结合起来使用.向量迭代方法是通过一系列矩阵向量乘积而求得特征值和特征向量的.由于向量迭代方法可采用压缩存储技术，因而它适合于求大规模矩阵的特征值问题，尤其是大型稀疏矩阵的部分特征值和特征向量问题，如Lanczos 方法,Amoldi方法Qavidson方法等，现在这类问题仍是比较热的研究课题。
2分治方法的基础及理论研究2.1分治方法的概述考虑对称三对角矩阵T n的特征值问题TnX = Z X(2.1.1 ) 其中(2.1.2 )P n.1981年Cuppen提出一种求上述对称三对角矩阵T n所有特征值和特征向量的分而治之方法(divide 一and —conquer method).其基本思想是先将对称三对角矩阵T n分割为两个分别为k X k阶和(n - kp<(n - k)阶低阶对称三对角子矩阵T⑼和T⑴.T (0)和T⑴)可以用同样的方法也分别分割为两个更低阶的子矩阵，递归的采用这种分割技术可以把矩阵分割为一些能直接求出特征值的足够小的子矩阵(比如2阶或1阶矩阵),或者按照某种标准分割到适当阶数(如小于等于25 阶)后，结合其它求矩阵特征值的方法，如QR算法，求出其特征值。
在求出低阶矩阵特征值的基础上，开始胶合过程。
在胶合阶段，分割前的矩阵T1的特征值的求出(所谓的“治之”)是建立在其两个子矩阵T(0)和T(1)的特征值的基础上的，其中T(0)和T⑴.是在分割阶段由T1分割出的低阶子矩阵.随后的数值分析表明，Cuppen的方法存在着数值不稳定的危险，特别是当存在特征值束时，计算出的特征向量可能不正交。
Gu和Eisenstat对Cuppen的方法作了改进，极大地降低了数值不稳定的危险性。
Cuppen的方法在计算T n的特征值的同时也需要计算对应的特征向量，并且是在T ⑼和T ⑴的特征值和特征向量的基础上进行计算的 .根据文中，当用残量|TnX -A X |和正交性|x T X -ln |作为检验准确性的标准时,的标准时，二分法或多分法精确些.此外Cuppen 的分而治之方法要求矩阵乘积， 存储量为0(n 2),而二分法或多分法的存储量仅为 0(n),比前者少.应此,当只需 计算特征值时,通常选用后者.1987年Dongarra 和Sorensen 把分治思想应用到 求对称三对角矩阵特征值的并行计算，取得了不错的效果，再次引起了人们对分 治方法的极大关注。
分割胶合方法(split-merge method )是后来提出用分治方式求对称三对 角矩阵特征值T n 的方法,不同于分而治之方法在分割过程中采用矩阵的秩 1扰动, 它采用矩阵的秩2扰动.与二分法和多分法相似，在分割胶合方法中，特征值的计 算独立于特征向量的计算.如果需要计算特征向量，可采用反幕法。
由于分割胶 合方法计算特征值时采用具有三次收敛的Laguerre 迭代,数值试验表明，其计算速度和精度都明显优于二分法和多分法.并且文中给出的用于计算 Laguerre 迭代的非线性三项递归式可以避免上溢和下溢问题。
2.1.1分割策略分治方法的第一步就是把原来高阶的对称三对角矩阵特征值问题转化为两 个低阶对称三对角矩阵特征值问题 示如下(2.1.1.1 )不妨假设P j HO(j =1,2,…，n-1),即称T n 为不可约矩阵。
否则,若存在某些P j =0, 则T n 就可以约化为若干个低阶主子矩阵特征值问题，T n 的特征值就由这若干个低阶主子矩阵的特征值构成.当T n 为不可约对称三对角矩阵时，对其作如下分割Cuppen 的方法比二分法或多分法精确的多。
但文［3中，，如果用扎-kT n 作为衡量特征值准确性,即所谓的分割阶段.设对称三对角矩阵T n 表P n Jan丿fr (0))Tnd T ⑴丿(2.1.1.2)记T n =T n+E ,其中T （0）和T ⑴）分别为k 沢k 阶和（n —k ）" n-k ）或(n - k -1)x( n - k -1)阶对称三对角矩阵,通常k =[ n/2]。
（0扰动矩阵.此时有名1 p 1、、宀P 1+ J ■+J ■,T ⑴=+ J ■+ J ■Lk』 Ln』P k 4 叫丿P n 4 J 丿f oP knJan/p 1Q k卄用2P k卅、P 1+ ■T ")=P k H 4a k * -+ J+ J P k .+ +JJP n」P k A叫-p 」J 丿1扰动矩阵.此时有 T （0）P peP0 pe 2Pvv T时，其中 v =（o ；•-，T,…，0）且称此为秩(2)当Pe k eJ^称此为秩2(3)P k时，称此为秩3扰动矩阵.此时有务1 P 1g 七 P k 七P k七 叭七人们关注的问题是：对于上述三种分治策略T n 与T n 的特征值之间的关系.利用Hoffman-Wielandt 定理的结论，我们可以得到如下定理：定理2.1设A 和B 是两个n 阶Hermite 矩阵,它们的特征值分别是几’> 沁才，心 和已>^2 A" >巴，则其中H F 为Frobenius 范数。
根据上述定理,设T n 与T n 的特征值分别为Uh "和A 4 > A 2 A"工扎n，则有下面关系成立(2.1.1.4 )因此,只要(2.1.1.4)式右端越小,k j 就越接近A j ,即T n与T n 的特征值就越接近。
对于秩1和秩2扰动,T n 与T n 的特征值之间关系更详细的描述,将在后文 给出。
2.1.2胶合在矩阵T n 分割后,先求出矩阵T n 的特征值,即求出T ⑼和T ⑴的特征值。
剩下的工作就是如何由T n 的特征值出发求出T n的特征值，这就是胶合阶段主要任务。
在这个阶段可以采用不同的迭代方法,如割线法!Newton 迭代、Laguerre 迭 代以及路径跟踪等，以T n 的某个特征值或T n 的特征值构成的区间内的点为初 始点经过若千步迭代，最后收敛到T n 的某个特征值.本文中采用Laguerre 迭代从 特征区间提取特征值。
2.2 Laguerre 迭代2.2.1 Laguerre 迭代及其计算根据文中，对于不可约对称三对角矩阵 T n ,它的特征值或特征多项式f a ) =detT n -M n)的根全为互不相同的实数.因此,适合求多项式的根都是实n[J仏j -P j) ]2 < A -B |F (2.1.1.3)单根的具有三次收敛的Laguerre迭代L』x) = X +---------- 「…(2.2.1.1)-「罟卯V需j需)]非常适合用来从特征区间提取出T n 的特征值.这个方法早在13世纪就已经提出, 为了避免上述(2.2.1.3)式、(2.2.1.4)式和(221.5)式在计算中可能出现的上 溢或下溢问题，文中给出如下的改进的非线性三项递归式：令2治/2…,n,(2 . 2. 1.3)式两边都除以得fi^GJ 得近年来结合分治策略又重新焕发出生机 .文中首次对用Laguerre 迭代求不可约对称三对角矩阵的特征值的实用性进行了研究 题。
,而后又被用于求矩阵的奇异值问为了利用Laguerre 迭代求T n 的特征值,我们需要计算T n 的特征多项式f 仏）=det （T n -讥）以及其一阶导数f ‘仏）、 二阶导数f "仏）.由文中知，计算这 些值的有效的方法是三项递归式.众所周知，当矩阵阶数比较大时，三项递归式 可能出现上溢或下溢问题.文中给出了一种改进的非线性的三项递归式 ，数值试 验表明，除极其个别的情形，改进的三项递归式可以避免上溢或下溢问题。
对称三对角矩阵T n 的特征多项式及其一、二阶倒数的计算公式设对称三对角矩阵T n 如 （221.1 ）式所示,T k 表示其k 阶顺序主子式,表 示如下P 1匕P k j P k 4 «k >(2.2.1.2)f k （Q = det （T k -）・l k ）为T k 的特征多项式,则特征多项式及其导数计算公式如下（三项递归式）：rfo G ） =1,f 1（Q=% 八t f i 仏）=（% -Q f i 4仏）—P i !仁⑷,i =2,3，…,n(221.3r f 。
