高数第一章题目 (1)

《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

高等数学第一章测试题1. 请问函数的定义是什么？函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的关系。

具体来说，如果有两个集合A和B，函数f可以将A中的每个元素映射到B中的唯一元素。

函数通常以以下形式表示：f: A → B，其中A为函数的定义域，B为函数的值域。

2. 简述函数的性质和特点。

函数具有以下几个性质和特点：- 映射关系：函数中的每个输入元素都对应着唯一的输出元素，不存在多对一的情况。

- 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能作为输入的元素的集合，值域是指函数的输出元素的集合。

- 单调性：函数可以是单调递增的（当输入增加时，输出也增加），也可以是单调递减的（当输入增加时，输出减少）。

- 奇偶性：函数可以是奇函数（满足f(-x) = -f(x)）或偶函数（满足f(-x) = f(x)）。

- 周期性：函数可以是周期函数，具有以某个常数为周期的特点。

- 极限性质：函数在某些点或无穷远处可能存在极限值，可以用来描述函数的增长趋势。

3. 简述极限的定义和性质。

极限是描述函数在某一点上的趋势和变化的概念。

数学中，当自变量逐渐接近某个特定值时，函数的极限描述了因变量的变化趋势。

具体来说，对于函数f(x)，当x趋近于某个常数a时，如果存在一个常数L，使得当x足够接近a时，f(x)无论是大于L还是小于L，那么我们就称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限具有以下几个性质：- 唯一性：如果函数在某一点上存在极限，那么极限值是唯一确定的。

- 局部性：函数的极限只与函数在某一点附近的取值有关，与函数在其他点的取值无关。

- 保序性：如果函数在某一点的左侧和右侧存在极限，且左极限小于右极限，那么函数在该点的极限存在。

- 代数运算性质：极限运算可以与基本的代数运算（如加法、减法、乘法、除法等）进行组合，具体规则可根据各种运算法则进行推导。

4. 列举几个常见的初等函数，并简要介绍它们的性质和特点。

第一章 函数、极限与连续1.下列各极限正确的是( ) A.e xx x =+→)11(lim 0B.e xx x =-→)11(lim 0C.11sin lim =∞→x x x D.11sin lim 0=→xx x 2.下列极限中，正确的是（ ） A.cot 0lim(1tan )x x x e →+= B.01lim sin 1x x x→= C.sec 0lim(1cos )xx x e →+= D.1lim(1)nn n e →∞+=3.若1112()1xxe f x e-=+，则0x =是()f x 的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D. 连续点 4.下列极限中，正确的是( )A.22sin lim =∞→x x xB.1arctan lim =∞→xx x C.∞=--→24lim22x x x D.1lim 0=+→x x x 5.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(1020sin )(x x bx x x x axx f 为连续函数，则,a b 满足( )A.2,a b =为任何实数B.21=+b aC.32,2a b ==- D.1==b a6.当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的 （ ） A.高阶无穷小 B.同阶但不是等价无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小7.若21)2(lim 0=→x xf x ，则=→)3(lim0x f xx ( ) A.21B.2C.3D.318.若2)2(lim0=→x x f x ，则=∞→)21(lim xxf x ( ) A.41 B.21C.2D.4 9.0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶无穷小，则（ ） A. 1,12a b == B. 1,1a b == C. 1,12a b =-= D. 1,1a b =-=10.设12a ≠，则21lim ln _______(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦11.若0sin lim(cos )5xx xx b e a→-=-，则_______,______.a b == 12.已知当0x →时，123(1)1ax +-与cos 1x -时等价无穷小，则常数___.a =13.已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等价无穷小，则=a .14.设3214lim1x x ax x b x →---+=+，则______,______.a b == 15.设2lim()3xx x c x c→∞+=-，则________c =. 16.求下列函数的极限（1）lim x →-∞（2）01cos3limtan x xx x→- （3）201lim 1cos x x →- （4）3lim()1x x x x +→∞+ 17.求极限20lim(13)x xx x -→-18.判断函数21arctan 0()0,00ln(1)x x f x x x x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪>+⎪⎪⎩是否在0x =处连续?19.设函数10sin(),0x x x f x x x e αβ⎧>⎪=⎨≤⎪+⎩，根据α和β不同取值，讨论()f x 在0x =处的连续性？20.求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.21.求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型. 22.已知02x →=，求0lim ()x f x →. 23.设()f x 在[],a b 上连续，()()f a f b =，证明：至少存在[]0,x a b ∈，使00()()2b af x f x -=+. 24.证明：方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +.。

第一章函数、极限、连续一、单项选择题1.区间[a,+∞)，表示不等式（）2.若3.函数是（）。

（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。

5.函数6.函数7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于a（B）数列{ x n }极限存在且一定等于a（C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ（B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε（D）ε与δ无关11.任意给定12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值13.如果14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量（B）无穷大量一定不是有界量（C）有界量可能是无穷大量（D）不是有界量就一定是无穷大量16.指出下列函数中当X→0+ 时，（）为无穷大量。

17.若18.设19.求20.求21.求22.求23.求24.无穷多个无穷小量之和（）（A）必是无穷小量（B）必是无穷大量（C）必是有界量（D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量25.两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（）。

高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（ ）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。

故选B 。

3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量 答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。

高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。

二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。

第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

习 题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =-；解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -=解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．（6）1arctan y x =解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-； 当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+； 当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫= ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4．设1||1,()0||1,()21|| 1.x x f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证．6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？（1）))()ln,()ln3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）()()f x g x == 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞．解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x -=-是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性．（1）lg(y x =；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-==-=-，所以lg(y x =是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数．（3）22cos sin 1y x x x =++-； 解：因为2()2c o s s i n 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22c o s s i n 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数． 9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； （2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则 ()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）|sin |y x =； 周期函数，周期为π． （2）1sin πy x =+； 周期函数，周期为2． （3）tan y x x =； 不是周期函数． （4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1yx y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax by ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dxf x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．解：依题意，arccos32yx =，所以反函数1arccos 3(),[0,3]2x f x x -=∈．13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-． 解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πVh V r H r=∈．15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习 题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+ ， （1） 求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2） 求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3） 求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=． （2） 要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1）， 则只要9997,9n > 取N ＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立． （3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-< 成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=； （2）1n →∞=． 解：（1）0ε∀>， 要使111|0|!!n n n ε-<<＝， 只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使2212)nε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|ε<, 则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0,由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-, ||1n x =，显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤， 又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>, 存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<, 同理,0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时,||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习 题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<，只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=； （2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim 42x x x →--=-+； （4）lim0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|xx --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时, 对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+.(4) 由于0|-=<,任给0ε>,要使0|ε-<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有|0|ε<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义： （1）lim ()1x f x →-∞=； （2）lim ()x f x a →∞=； （3）lim ()x af x b +→=； （4）3lim ()8x f x -→=-． 解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于0lim ||lim 0x x x x ++→→==, 0lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=. 6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则l i m ()x f x A →∞=．证明: 由于li m ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习 题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x =为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim 01x x x →-=+．(2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x x x x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x →∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M x x x +=+>->,所以 013lim x x x→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数 sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+且()n x n →+∞→∞, πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y x x=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习 题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ ； （3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ；（4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-； （5）2211lim 54x x x x →--+；（6）3221lim 53x x x x →+-+；（7）limx →+∞；（8）2221lim 53x x x x →∞+++；（9）330()lim h x h x h→+-；（10）22131lim 41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （12）23lim 531x x xx x →∞+-+；（13）x →（14）3lim 21x x x →∞+；（15）3lim(236)x x x →∞-+；（16）323327lim 3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ = 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦ = 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅． (5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--．(6) 3221lim 53x x x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx=limx=111lim2x -=． (8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)lim h x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim 11x xx x →+=++． (11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=x →(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim 12x x x→∞=+∞+．(14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim(327)lim 3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0lim ()lim 1,lim ()lim(2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在．3．求当x 1→时，函数12111x x e x ---的极限． 解：因为11211111limlim(1)0,1x x x x x e x e x ----→→-=+=- 11211111lim lim(1),1x x x x x e x e x ++--→→-=+=+∞- 所以12111lim1x x x e x -→--不存在。

第一章函数与极限第一节映射与函数习题1.11.设),4()6,( A ，)4,9[ B ，写出B A ，B A ，B A \，)\(\B A A 。

2.设A 、B 、C 是任意三个集合，证明对偶律：cc c B A B A )(。

3.求下列函数的自然定义域：（1）x y cos；（2）)1tan(x y ；（3）)2arcsin( x y ；（4）xx y 1arctan5 ；4.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）)(x f =2lg x ，)(x g =x lg 2；（2）)(x f =334x x ，)(x g =x x x 1 ；5.设3,03,sin )( x x x x ，求6( ，4( ，)4( ，)2( ，并作出函数)(x y 的图形.6.试证下列函数在指定区间内的单调性：（1）xxy1，)1,( ；（2）x x y ln ，),0( 7.设)(x f 为定义在),(l l 内的奇函数，若)(x f 在),0(l 内单调增加，证明)(x f 在)0,(l 内也单调增加。

8.设下面所考虑的函数都是定义在区间),(l l 上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

9.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？（1）)1(24x x y ；（2）323x x y ；（3）)1ln(2 x x y .10.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2sin( x y ；（2）x y 4sin ；（3）x y 2cos .11.求下列函数的反函数：（1）y 35 x ；（2）xxy22；（3）)3ln(1 x y .12.设函数)(x f 在数集X 上有定义，试证：函数)(x f 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界。

普通班高数作业（上）第一章 函数1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题） （2）)sin(arcsin x y =与x y =； （4）x y =与2x y =；（6）)arctan(tan x y =与x y =； （8）)(x f y =与)(y f x =。

2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2）（2）xx x y -+=2； （3）x y x -+=1ln arcsin 21；（7）xey xln 111-+=。

3、设⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,10,1)(22x x x x x f ，求)()(x f x f -+。

（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第三版P12:1） （2）24x x y -=； （4）x x y -=。

5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2）（2）x x x x f tan 1)(2+-=； （3）)1ln()(2x x x f -+=；（6）x x f ln cos )(=； （7）⎩⎨⎧≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。

6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1）（1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ； （6）⎩⎨⎧≤<--≤<-=21,)2(210,12)(2x x x x x f 。

7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ；（2）已知2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ求)(x ϕ。

（第二版P23:19；第三版P16:3）8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7）（2）21,arccos )(xxu u u f +==； （4）x u u u f sin ),1ln()(=-=。

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有〔A 〕 F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. 〔B 〕 F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. 〔C 〕 F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. 〔D 〕 F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x xe xf 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A 〕 1－xB 〕 x-11C 〕 X1 D 〕 x4．以下各式正确的选项是 ( )A 〕 lim 0+→x )x1 +1(x=1 B 〕 lim 0+→x )x1+1(x=eC 〕 lim ∞→x )x11－(x=-e D 〕 lim ∞→x )x1+1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。

A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→x x x x )11(lim( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e7．极限：∞→xlim 332xx +=〔 〕A.1；B.∞．8．极限：xx x 11lim-+→=〔 〕 A.0； B.∞； C21．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=〔 〕 A.0； B.∞； C.2； D.21．10．极限: xx x x 2sin sin tan lim 30-→=〔 〕 A.0； B.∞； C.161； ．二. 填空题11．极限12sin lim 2+∞→x xx x = . 12. lim→x xarctanx =_______________.13. 假设)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f xx =_______________； 14. =→xxxx 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n)21(lim _________________； 16. 假设函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合19. 无穷小量是 20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数yf (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0x ex xx --+-→22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2　x →(3－x)25--x x ;24.求lim ∞→　x (11-+x x )x ; 25.求lim 0　x →)3(2tan sin 22x x x x +26. 已知9)(lim=-+∞→x x a x a x ，求a 的值； 27. 计算极限n n n n 1)321(lim ++∞→()()x x x x f 25lg 12-+-+=28.求它的定义域。

《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

第一章 函数与极限第一节 函数教材习题1-1答案（上册P17） 1. 解:（1）(]2,6x ∈.（2）911,21010x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (3). (,100)(100,)x ∈-∞-⋃+∞.(4). (0.99,1)(1,1.01)x ∈⋃.2.解:由2212x x εε-<⇒-<.又因(1,)x U δ∈,即该邻域以1为中心, δ为半径,所以2εδ=.当0.1ε=时, 0.05δ=;当0.01ε=时, 0.005δ=.3.解: (1)不同. ()f x 的定义域为0x ≠,而()g x 的定义域为0x >. (2) 不同.对应法则不同: ()f x x =,而()g x x =. (3)相同. ()()f x g x ==.(4)不同.对应法则不同: ()sin f x x ∈而()sin g x x =.4.解(1) {}110x x x -≤≤≠且 . (2) {}12x x ≠≠且 . (3) {}24x x ≤≤ . (4) {}30x x x ≤≠且. (5) {}1x x >- . (6) {}0x x ≠.5.解: (0)2f ==,(1)f ==(1)f -==1()f a ==0()f x =0()f x h +=6.解: ()sin 66ππϕ==12,()()sin4442πππϕϕ=-==, (2)0ϕ-=.7.证: 2211251()2()5()()11()()f f t ttt tt=+++=.# 8.证：(1)左边=()()()xyx yF x F y e e eF x y +=⋅==+=右边(2)左边= ()()()x x yyF x e e f x y F y e-==-=右边.#9. 证：(1)左边=()()ln ln ln()()G x G y x y xy G xy +=+===右边(2)左边= ()()ln ln ln()()x xG x G y x y G y y-==-===右边.#10.解(1)偶函数 . (2) 既非奇函数又非偶函数 . (3) 奇函数. (4) 偶函数.(5) 既非奇函数又非偶函数. (6) 既非奇函数又非偶函数. 11.证:(1)设12(),()f x f x 都是偶函数, 12(),()g x g x 都是奇函数.令12()()(),F x f x f x =+12()()(),G x g x g x =+则12()()()F x f x f x -=-+-=12()()()f x f x F x +=,所以()F x 为偶函数.12()()()G x g x g x -=-+-=12()(())g x g x -+-=12(()())g x g x -+=()G x -,所以()G x为奇函数. #12.证: ()12,,0,x x l ∀∈- 不妨设12x x <,,则()12,0,,x x l --∈且12x x ->-,因为()()0,f x l 在内单调更加,所以12()()f x f x ->-.又因为()f x 为奇函数,所以12()()f x f x ->-,即12()()f x f x <.所以()(),0f x l -在内单调更加. #13.解:(1) 周期2T π= . (2) 22T ππ== . (3)不是周期函数 . (4) 21cos 2sin 2xy x -==,22T ππ∴==.14.解(1)由11x y x-=+得11y x y-=+,则11x y x -=+的反函数为11x y x-=+.(2) 由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =,则2sin 3y x =的反函数为1arcsin 32x y =.(3) 由1ln(2)y x =++得2yex e =-,则所求的反函数为12x y e-=-.(4) 由221xxy =+得2log 1yx y=-,则所求的反函数为2log 1x y x=-.15.解(1)复合函数为2()sin y f x x ==,则1()6y f π=2sin 6π==14,2()3y f π=23sin34π== (2) 复合函数为()y f x ==,则1(1)y f ===,2(2)y f ===(3) 复合函数为2()xy f x e ==,则01(0)1y f e ===,12(1)y f e e ===.(4) 复合函数为22()()x x y f x e e ===,则21(1)y f e ==,22(1)y f e -=-=.16.解:此函数为分段函数: 10.15(50)()0.1550(50)(50)x x y x x x ⎧≤⎪=⎨⨯+->⎪⎩为正整数.图形略.17.解:总数为一年期存款为A 时：一年后连本带息共有0.042(10.042)A A A +=+;将(10.042)A +再存一年即两年后连本带息共有2(10.042)(10.042)(10.042)A A ++=+;半年期存款时：半年后连本带息共有(10.02),A +一年后连本带息共有2(10.02)(10.02)(10.02)A A ++=+，一年半后可取出3(10.02)(10.02)(10.0A A +++=+，两年后可取出4(10.02)(10.02)(10.2)A A ++++=+，所以存一年期的定期收益较多，多了24(10.042)(10.02)0.0033A A A +-+=.第二节 数列的极限教材习题1-2答案（上册P27） 1. 解(1)收敛, 1lim lim02n nn n x →∞→∞==. (2) 收敛, 1lim lim (1)0nn n n x n →∞→∞=-=. (3) 收敛, 21lim lim (2)2n n n x n→∞→∞=+=.(4) 收敛, 12lim limlim (1)111n n n n n x n n →∞→∞→∞-==-=++.(5)发散,因为当n 为偶数时, n x =n ,n →∞时, n x →+∞;当n 为奇数时, n x =-n ,n →∞ 时, n x →-∞. 2. 解:1lim limcos 02n n n n x nπ→∞→∞==. 对0,ε∀>要使11cos02n nnπε-≤<,只需使1n ε>,即取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,有0n x ε-<.所以当0.001ε=时, 110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 3.证:(1) 对0,ε∀>要使221100n a nnε-=-=<,只需使21n ε>,即n >.于是对0,ε∀>取N=,当n N >时,都有2100n a n ε-=-<.由数列极限的定义21lim0n n→∞=.#(2)331311221221n n a n n n+-=-<<++ ,要使313212n n ε+-<+,只需1nε<,即1n ε>.于是对0,ε∀>取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,都有313212n n ε+-<+, 由313lim212n n n →∞+∴=+.#(3) 2211n aa nn-==<<故对0,ε∀>1ε<,只需2anε<,即2an ε>.于是对0,ε∀>取2a n ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<,.lim1n n→∞∴=.#(4) 110.9999110n na -=⋅⋅⋅-=n 个,故对0,ε∀>要使1n a ε-<,只需110nε<,即1lgn ε>.于是对0ε∀>(1)ε<,取 1lg n ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,都有,10.99991,n a ε-=⋅⋅⋅-<lim 0.99991n →∞∴⋅⋅⋅=n 个. # 4. 证:lim n n u a →∞= ,∴对0ε∀>,,N Z +∃∈当n N >时, n n u a u a ε-≤-<,∴lim n n u a →∞=.#例如: 若()1nn u =-,则1n u =,lim 1n n u →∞=,而数列{}n u 没有极限.第三节 函数的极限教材习题1-3答案（上册P36）1. 证:(1) ()(31)833f x A x x -=--=- ,要想使33x ε-<,即33x ε-<, 0ε∴∀>,取03εδ=>,当03x δ<-<时, 总有(31)8333,x x δε--=-<=由函数极限的定义3lim (31)8x x →-=.#(2)24()(4)24(2)2x f x A x x x --=--=-+=--+ ,要想使24(4)2x x ε---<+,即(2)x ε--<,0ε∴∀>,取0δε=>,当0(2)x δ<--<时, 总有24(4)24(2)2x x x x ε---=-+=--<+,由函数极限的定义224lim42x x x →--=-+. #2. 证:(1) 333111()222x f x A xx+-=-=,要想使331122x xε+-<,即312xε<,亦即 x >0ε∴∀>,取0M =>,当x M >时,总有333311112222x xMxε+-=<=,由函数极限的定义,3311lim22x x x→∞+=. #(2) ()0f x A-=-≤,0ε-<,ε<,亦即21x ε>,0ε∴∀>,取210M ε=>,当x M >时,0ε<,∴sin limx x →+∞=.#3. 解: 222lim 4422x x x x x →=⇔-=+⋅- ,要想使24x ε-<,即2222221144lim11333x x x x x x x→∞--=⇔-=<+++ 22x x ε+⋅-<,(此时13x <<),亦即52x ε-<25x ε⇒-<,0ε∴∀>,取m in(1,)5εδ=,当02x δ<-<时, 总有24225x x x δε-=+⋅-<=.#若取0001ε=⋅,则0001m in(1,)000025δ⋅==⋅.4. 解: 2222221144lim11333x x x x x x x→∞--=⇔-=<+++ ,要想使22113x x ε--<+,即24xε<⇒x >,0ε∴∀>,取X =,当x X >时,222221444133x x x xXε--=<<=++. # 若取001ε=⋅,则20,X ==即当20x >时,就有22110.013x x --<+.5. 证: ()0,f x A x x -=-= 要想使0,x ε-<即,x ε<0ε∴∀>,取0δε=>,当00x δ<-<时,()()00,f x A f x x x δε-=-=-=<=由函数极限的定义 0lim 0x x →=.#6.解: 0lim ()limlim 11x x x x f x x+++→→→=== ,0lim ()lim lim 11x x x x f x x---→→→===,0lim ()1x f x →∴=.而0lim ()lim lim 11,x x x x x xϕ+++→→→===0lim ()lim lim lim (1)1,x x x x x x x xxϕ----→→→→-===-=-由于lim ()lim ()x x x x ϕϕ-+→→≠,所以0lim ()x x ϕ→不存在.。