人教A版北京初升高衔接课程C专题二次函数的简单应用4星

二次函数的一些应用名师导学典例分析例1 在以x 为自变量的二次函数y=－x2+(2m+2)x －(m2+4m －3)中，m 为非负整数，它的图象与x 轴交于A 和B 两点(A 在原点左边，B 在原点右边)，求此二次函数的表达式.思路分析:求此表达式关键是确定m 的值，若设图象与x 轴两交点的横坐标分别为x1和x2(不妨设x1<x2)，则x1、x2是方程－x2+(2m+2)x －(m2+4m －3)=0的两个根，x1<0，x2>0⎩⎨⎧<>-⇒,0,04212x x ac b 从而确定m 的值.解：根据题意可知方程－x2+(2m+2)x －(m2+4m －3)=0有两个异号实数根.∴⎩⎨⎧<>-,0,04212x x ac b 即⎩⎨⎧<-+>-+-+.034,0)34(4)22(222m m m m m ②①由①解得m<2.又∵m 是非负整数∴m=0或1，分别代入②验证.∵当m=0时，m2+4m －3=－3<0，适合；当m=1时，m2+4m －3=2>0，不适合，应舍去.∴m=0，所求二次函数表达式为y=－x2+2x+3. 例2 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量100万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x(10万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且1531012++-=x x y ，如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费，(1)试写出年利润S(10万元)与广告费x(10万元)的函数关系式.(2)如果投入广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？(3)在(2)中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大？是多少？思路分析：(1)由于原年销售量为100万件，即10个10万件，故当投入x(10万元)的广告费时，年销售量将为y×10=)153101(102++-x x 十万件，从而年利润S 应为)23()153101(102-⨯++-x x ，再减去广告费x ，即为公司所获利润，从而能得到S 与x 的关系式；(2)由投入广告费为10～30万元，可知1<x<3，并借助S 与x 的图象即可得到结论；(3)可利用二次函数的最值问题得到结论.解：(1)∵年销售量为100万件，即10个10万件，当投入x(10万元)广告费后，年销售应为y×l0，即)153101(102++-x x (10万件)，从而有x x x S --⨯++-=)23()153101(102 1052++-=x x .(2)∵465)25(10522+--=++-=x x x S ，故可画出如图20－5－2所示的草图.由于年广告费在10万元到30万元之间，所以1≤x≤3，借助图象和表达式可知，当x=25时，S 能取得最大值，故当广告费在10万元至25万元之间时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大.(3)当x=25时，S 的最大值为465(10万元)，即当投入的广告费为25万元时，该公司的年利润的最大值为162.5万元。

第13讲二次函数的应用
一、知识清单梳理
【素材积累】
1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。

预测未来的醉好方法，旧是创造未来。

坚志而勇为，谓之刚。

刚，生人之德也。

美好的生命应该充满期待、惊喜和感激。

人生的胜者决不会摘挫折面前失去勇气。

2、我一直知道，漫长人生中总有一段泥泞不得不走，总有一个寒冬不得不过。

感谢摘这样的时候，我遇见的世界上最美的心灵，我接受的最温暖的帮助。

经历
过这些，我将带着一颗感恩和勇敢的心继续走上梦想的道路，无论是风雨还是荆棘。

本教案, 是在“双减〞正在如火如萘进行以及推行学科核心素养的大背景下, 进行的一项有效的课程改革尝试, 在教育部根底教育司组织下, 全国数千名教师进行了有益的尝试, 并经过专家近三年来的论证, 形成近两万字的总结报告和一批教案、学案资源, 指导和借鉴意义非常强, 今天推荐给大家, 可以提高课堂效率, 有效将学科核心素养与日常教学进行融合, 继而提高教师的教学效率.二次函数的一些应用教学目标：利用数形结合的数学思想分析问题解决问题.利用已有二次函数的知识经验, 自主进行探究和合作学习, 解决情境中的数学问题, 初步形成数学建模能力, 解决一些简单的实际问题.在探索中体验数学来源于生活并运用于生活, 感悟二次函数中数形结合的美, 激发学生学习数学的兴趣, 通过合作学习获得成功, 树立自信心. 教学重点和难点：运用数形结合的思想方法进行解二次函数, 这是重点也是难点. 教学过程： 〔一〕引入：分组复习旧知.探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中, 你能得到哪些信息？ 可引导学生从几个方面进行讨论： 〔1〕如何画图〔2〕顶点、图象与坐标轴的交点〔3〕所形成的三角形以及四边形的面积〔4〕对称轴从上面的问题导入今天的课题——二次函数中的图象与性质. 〔二〕新授：1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点, 使形成的图形面积与图形面积有数量关系. 例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点A, 且与x 轴交于点B 、C ；在抛物线上求一点E 使S ∆BCE=21S ∆ABC.再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点F, 使∆BCE 与∆BCD 全等. 再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点M, 使∆BOM 与∆ABC 相似. 2、让同学讨论：从条件如何求二次函数的解析式.例如：一抛物线的顶点坐标是C(2,1)且与x 轴交于点A 、点B,S ∆ABC=3, 求抛物线的解析式.〔三〕提高练习根据我们学校人人皆知的船模特色工程设计了这样一个情境：让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况, 再出题：船身的龙骨是近似抛物线型, 船身的最大长度为48cm, 且高度为12cm. 求此船龙骨的抛物线的解析式.让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用. 〔四〕让学生讨论小结〔略〕 〔五〕作业布置1、在直角坐标平面内, 点O 为坐标原点, 二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x 轴于点A(x1,0)、B(x2,0)且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数的解析式；(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位, 设平移后的图象与y 轴的交点为C, 顶点为P, 求∆ POC 的面积.2、如图, 一个二次函数的图象与直线y=21x-1的交点A 、B 分别在x 、y 轴上, 点C在二次函数图象上, 且CB ⊥AB, CB=AB, 求这个二次函数的解析式.3、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一局部, 在大桥截面1:11000的比例图上, 跨度AB=5cm, 拱高OC=, 线段DE 表示大桥拱内桥长, DE ∥AB, 如图1, 在比例图上, 以直线AB 为x 轴, 抛物线的对称轴为y 轴, 以1cm 作为数轴的单位长度, 建立平面直角坐标系, 如图2.〔1〕求出图2上以这一局部抛物线为图象的函数解析式, 写出函数定义域；〔2〕如果DE 与AB 的距离OM=, 求卢浦大桥拱内实际桥长〔备用数据：4.1≈2, 计算结果精确到1米〕学 科 数 学班级初二任课教师课 题11.2分式的根本性质〔二〕课型新授日期学习目标： 1、 通过类比分数的变号法那么和分数的约分, 学习分式的变号法那么及分式的约分 2、 能说出约分和最简分式的意义能运用分式的根本性质和符号法那么对分式进行变形和约分 学习重点运用分式的根本性质和符号法那么对分式进行变形和约分图2图1Bx Oy CA 第二题第三题教学过程例２．用分式表示以下各式的商, 并约分〔1〕4a2b÷〔6ab2〕〔2〕-4m3n2÷2〔m3n4〕〔3〕2xy〔x-y〕2÷4x2 (y-x)〔4〕 ( a2 -2a+1)÷〔2-2a2〕板演展示学生的解题过程, 评价方式以学生为主, 尤其做错的, 应该让学生知道错在哪里, 及时改正.三、小结：学生总结约分的步骤1.把分式的分子、分母按某一字母降幂排列, 且使最高此项系数为正；2.分式的分子、分母分别因式分解；3.分式的分子、分母都除以它们的公因式.〔注意：分式约分后的结果不一定是分式〕独立完成学生口答。

热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。

此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。

只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。

考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。

1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。

专题：二次函数的简单应用(★★★★)教学目标灵活应用二次函数解决动点问题、最值问题、面积问题。

知识梳理10min.动点题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X 、Y 的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

利用二次函数解决最值问题,的一般步骤： 第一步设自变量； 第二步建立函数的解析式； 第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。

利用二次函数解决面积问题：通过观察、分析、概括、总结的方法了解二次函数面积问题的基本类型，并力争熟练掌握二次函数中面积问题的相关计算.在二次函数的综合题目中常常涉及到与面积相关的问题，研究思路为：（1）分析图形的成因 （2）识别图形的形状 （3）找出图形的计算方法（4）在求图形的面积时常常使用到以下公式：抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a ≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=a∆抛物线顶点坐标（-ab 2,ab ac 442-）典例精讲18min.(★★★★) 例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B ， 且OA =3，AB = 5．点P 从点O 出发沿OA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AO 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB －BO －OP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）求直线AB 的解析式；（2）在点P 从O 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 之间的函数关系式（不必写出t 的取值范围）；【答案】解：（1）在Rt △AOB 中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得 224OB AB OA =-=.∴A （3，0），B （0，4）． 设直线AB 的解析式为y kx b +=.∴30,4.k b b +=⎧⎨=⎩ 解得 4,34.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为443y x +=-．…………2分 （2）如图，过点Q 作QF ⊥AO 于点F. ∵ AQ = OP= t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABO ，得QF AQBO AB=． ∴45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅， ∴22655S t t =-+．(★★★★) 例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x mx m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

初升高衔接课四（二次函数的应用、分段函数）2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：2．对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． 例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线x ＝－1； （2）直线y ＝1． 解：（1）如图2．2－7，xy O x ＝－1 A (1,－1) A 1(－3,－1) 图2.2－7（2）如图2．2－8，二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）． 解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x 的函数．这个函数的解析式为80,(0,20]160(20,40]240,940,80]320(60,80]400,(80,100]x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩ 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．xyOy ＝1A (1,－1)B (1，3)图2.2－8例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔP AC 的面积为y ．（1）求函数y 的解析式； （2）画出函数y 的图像； （3）求函数y 的取值范围．分析：要对点P 所在的位置进行分类讨论． 解：三、二次函数的最值问题【知识点】1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论：A CBD P图2.2－10[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

2021年北京中考二轮复习之二次函数1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax+a-2(a＞0)，分别过点M(t，0)和点N(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．①当a=2时，若图形G为轴对称图形，求m的值；①若存在实数t，使得m=2，直接写出a的取值范围．2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2a2x+1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B.（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若AB=4，求抛物线所对应的函数解析式；（3）点P(a+4,1)，Q(0,a+1)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+a-4(a≠0)的对称轴是直线x=1.（1）求抛物线y=ax2+bx+a-4(a≠0)的顶点坐标；（2）当-2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在(2)的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m-n=3，求t的值.4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-(a+1)x.（1）若抛物线过点(2,0)，求抛物线的对称轴；（2）若M(x1,y1)，N(x2,y2)为抛物线上两个不同的点，①当x1+x2=-4时，y1=y2，求a的值；①若对于x1+x2≥-2，都有y1＜y2，求a的取值范围.5、在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y=-x2+2mx-m2+2m+1的顶点，（1）求点A的坐标；（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；（3）点P(0,1)向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围.6、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2bx+b2-2(b＞0)经过点A(m,n)．（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点B(0,2)，且满足0＜m＜3，求n的取值范围；（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．7、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)被x轴截得的线段长度为4．（1）求抛物线的对称轴；（2）求c的值（用含a的式子表示）；（3）若点M(x1,3)，N(x2,3)为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1(x2-5)≤0，求a的取值范围．8、已知二次函数y=ax2-2ax+1(a≠0).（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M(x1，0)N(x2,0)(其中x1＜x2),且满足x1＜6-2x2,求a的取值范围.9、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a(a＞0)与y轴交于点A．（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；（2）直线y=-ax+3a与抛物线y=ax2-4ax+3a(a＞0)围成的区域（不包括边界）记作G，横、纵坐标都为整数的点叫做整点.①当a=1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；①当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．10、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2mx+m2-1.（1）当m=2时，求抛物线的顶点坐标；（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；①若点(m-1,y1)，(m,y2)，(m+3,y3)都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上，则y1，y2，y3的大小关系为_______；（3）直线y=x+b与x轴交于点A(-3,0，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2-2mx+m2-1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当ΔOAP为钝角三角形时，求m的取值范围.11、在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=-2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；（1）求点C的坐标；（2）对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若参考答案1、【解析】：（1）抛物线的解析式为()222212y ax ax a a x =-+-=--， ① 抛物线的顶点坐标为（1，2-）． （2）① 当2a =时，抛物线为()2212y x =--，其对称轴为1x =． ① 图象G 为轴对称图形，① 点A ，B 必关于对称轴1x =对称． ① 点A 的横坐标为t ，点B 的横坐标为2t +， ① AB =2，① 0t =，点A 为（0，0），点B 为（2，0）．① 当01x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ① 图象G 上任意一点的纵坐标最大值为0，最小值为2-． ① 2m =． ① 02a <≤2、【解析】：（1）x=α；（2）①抛物线22y=x -2x+10ααα（≠）与y 轴的交点为A.∴点A 的坐标为A （0，1）.∵过A 所作x 轴的平行线与抛物线的交点为B ，4AB =， ∴点B 的坐标为（4，1）或（-4，1）. ∴抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2. ∴=2α或=-2α.∴抛物线所对应的函数解析式为2y=2x -8x+1或2y=-2x -8x+1.（3）∵过A 所作x 轴的平行线与抛物线22y=x -2x+10ααα（≠）的交点为B ，∴点B 的纵坐标为1.∵点B 的横坐标是关于x 的方程22x -2x+1=1αα的解.解得12x =0x =2α， ∴点B 的坐标为B （2a ，1）. 又∵点P 的坐标为P （a+4，1），∴点P 在直线AB 上.①如图4.当a 0＞时，2a 0a+11a+4a ＞，＞，＞∴B （2a ，1）在A （0，1）右侧，且Q （0，a+1）在y 轴上N （0，1）的上方，P （a+4，1）在抛物线的对称轴右侧.∵抛物线22y=x -2x+10ααα（≠）与线段PQ 恰有一个公共点，∴结合图象可得，点P ，点B 的横坐标x 满足x p ， x B 满足p x x B ≥ ① a 0＞a+42a ≥解得0a 4＜≤②如图5，当0a <时，20a+11a <，＜a+4a ＞∴B （2a ，1）在A （0，1）左侧，且Q （0，a+ 1）在y 轴上A （0，1）的下方，P （a+4，1）在抛物线的对称轴右侧.∵抛物线22y=x -2x+10ααα（≠）与线段PQ 恰有一个公共点，∴结合图象可得，点P ，点A 的横坐标x p X A 满足x x P A ≥ ①a 0＜a+40≥解得-4a 0≤＜综上所述，-4a 0≤＜或0a ≤＜4 3、【解析】：4、【解析】（1）①函数图象过点（2，0）， ①042(+1)a a =-，①1a =， ······················································································· 1分 ①22y x x =-，①二次函数的对称轴为直线1x =.·································································································· 2分 （2）①由题意可知，二次函数的对称轴为直线x =-2，①(1)22a a -+-=-， ①15a =-. ······················································································ 4分①由题意可知，对于任意的x ≥-2，y 随x 的增大而减小，从而： 0(1)22a a a <⎧⎪-+⎨-≤-⎪⎩， 解得：105a -≤<. ··········································································· 6分5、【解析】：（1）22221y x mx m m =-+-++2()21x m m =--++．①顶点A 的坐标为(,21)m m +． …………………………………………2分 （2）①射线OA 与x 轴所成的锐角为45︒， ①21m m =+．①1m =-或13m =-．…………………………………………4分（3）08m ≤≤且2m ≠. …………………………………………6分 6、【解析】：（1）①2)(22222--=-+-=b x b bx x y ①顶点坐标为)2(-，b .…………………………1分 （2）把)20(，代入2222y x bx b =-+-， 得:b =2或b =-2， ①0>b ，①2=b .①解析式为242y x x =-+，对称轴为2=x . …………2分 ①30<<m ，且顶点坐标为)22(-，，①结合函数图象可得22<≤-n . ……………………4分 （3）结合函数图象，b 的取值范围53≤≤b .…………6分7、【解析】（1）解：①22y ax ax c =-+2(1)a x c a =-+-①抛物线22y ax ax c =-+的对称轴为:直线1x =. ……..……….1分 （2）解：①抛物线22y ax ax c =-+被x 轴截得的线段长度为4 , ①抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交点为()03，.①960a a c -+=.①3c a =-. ………..……….3分 （3）解：①3c a =-, ①223y ax ax a =--.①抛物线223y ax ax a =--的顶点坐标为()4a -1，.①12(5)0x x -≤，①12050x x -≥，≤或12050x x -≤，≥. ①1205x x ≥，≤或1205x x ≤，≥. ①当0a >时，①12(5)0x x -≤，图象过()0-1，，()03，.①1205x x <，≥. 将53x y ==，代入223y ax ax a =--得，14a =. ①104a <≤.①当0a <时，①12(5)0x x -≤，图象过()0-1，，()03，.①1205x x ≥，≤ 将03x y ==，代入223y ax ax a =--得，1a =-. 当抛物线的顶点()4a -1，在MN 上时， ①34a =-. ①34a <--1≤. ①104a <≤或34a <--1≤. .………..……….6分 8、【解析】（1）(2)12a x a --==……………………………………………………2分 （2）1212262x x x x +<⋅+=24x ∴<………………………………………………………3分若0a >时，当1x =时，210,1a a a -+<>……………………………………5分 若0a <时，当4x =时，116810,8a a a -+<<-…………………………………7分 所以1a >或18a <-9、【解析】（1）A (0，3a ) …………………………………………………………… 1分 由抛物线243(0)y ax ax a a =-+> 得422aa--=， 222243(4)12164444a a a a a a a a a a⋅----===-，所以顶点坐标为（2，-a ） ……………………………………………… 3分 （2）①当a =1时，直线3y x =-+与抛物线243y x x =-+的图象如下： 当x =1时，代入得M (1，2)，A (1，0)，符合题意得整点有(1，1)； 当x =2时，代入得N (2，1)，P (2，-1)，符合题意得整点有(2，0)；所以区域G 中的整点有2个 ……………………………………………… 4分………………………………5分………………………………6分①322a <≤．…………………………………………………………… 6分10、【解析】（1）①抛物线为2221y x mx m =-+-,①当m =2时，1)2(3422--=+-=x x x y ①抛物线的顶点坐标是（2，-1） （2）①抛物线的对称轴 是x =m① 则y 1， y 2 ，y 3的大小关系为 y 3 > y 1 > y 2 ； ……………… …4分 （3）①当①OAP =90°，抛物线经过点P （-3，3）， ①)(5,121舍-=-=m m①当①AOP =90°，抛物线经过点P （0，3）， ①2)(,2-21==m m 舍①若①OAP 为钝角三角形,m 的取值范围21>-<m m 或11、【解析】（1））（0 ，5C 或）（0 ，1C …………2分 （2）①①任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），当221>>x x 时，总有y 1＞y 2 ①二次函数经过）（0 ，1C 设二次函数解析式为)3)(1(--=x x a y ①经过），（60A ①2=a …………3分 ①二次函数表达式为6822+-=x x y ………4分。

20.5二次函数的一些应用教学目标：利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。

利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。

在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。

教学重点和难点：运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。

教学过程：（一）引入：分组复习旧知。

探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？可引导学生从几个方面进行讨论：（1）如何画图（2）顶点、图象与坐标轴的交点（3）所形成的三角形以及四边形的面积（4）对称轴 从上面的问题导入今天的课题——二次函数中的图象与性质。

（二）新授：1、再探索：二次函数y=x 2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。

例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点A ，且与x 轴交于点B 、C ；在抛物线上求一点E 使S ∆BCE=21S ∆ABC 。

再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点F ，使∆BCE 与∆BCD 全等。

再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点M ，使∆BOM 与∆ABC 相似。

2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。

例如：已知一抛物线的顶点坐标是C(2,1)且与x 轴交于点A 、点B,已知S ∆ABC=3，求抛物线的解析式.（三）提高练习 根据我们学校人人皆知的船模特色项目设计了这样一个情境： 让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm ，且高度为12cm 。

求此船龙骨的抛物线的解析式。

让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。

（四）让学生讨论小结（略）（五）作业布置1、在直角坐标平面内，点O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x 轴于点A(x1,0)、B(x2,0)且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数的解析式；(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求∆ POC 的面积。

代数几何综合一、二次函数压轴题类类型解析在北京中考中二次函数的重要性不言而喻，稳坐压轴题倒数第三题，数学想上90分的学生，这道题严格意义上来说必须拿下的，基本的布置有三问，前两问比较简单，基本一半以上的学生都能拿下，但最后一问涉及临界点问题，有的题目甚至需要将图像想象成会动的函数来讲，对学生的分析能力来说是一个比较大的挑战。

在二次函数前两问中，通常考查函数的对称轴，与x轴的交点坐标，顶点坐标，求函数解析式，或者带点计算的基本能力。

常见考点：1．顶点（-b2a ，4ac−b24a），对称轴是直线x=-b2a2．与x轴交点坐标（−b+√b2−4ac2a ，0）（−b−√b2−4ac2a，0）3．顶点式求函数解析式4．函数图像平移以及翻折问题，平移规律左加右减，上加下减，函数图像关于x轴翻折图像类似M或W。

5．抛物线中对称性与距离问题6．抛物线常见的定点函数。

最后一问的解答过程中，一般情况从六个方面确定函数的图像的基本性质。

1.分析开口方向和大小，有的函数需要分类讨论2.分析抛物线的对称轴3. 分析定点坐标4. 分析抛物线与x 轴的交点坐标5. 分析抛物线与y 轴的交点坐标6. 分析抛物线的其它定点总的来说，给定的条件中，一定能确定二次函数某些性质，例如：开口大小固定，过固定点，与x 轴交点固定，截x 轴的线段长度固定等，具体情况还是要具体分析，但基本上都离不开对图像的分析。

一、公共点类型线段或直线与抛物线有交点时，考察类型较多，也是模拟考试中的重点内容，根据函数图像的性质，分析临界点，代数即可。

易（房山）26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点 A (−1，a )，B (3，a )，且顶点的纵坐标为 -4． （1）求 m ，n 和 a 的值；（2）记二次函数图象在点 A ，B 间的部分为 G (含 点A 和点B )，若直线 2y kx =+与 图象G 有公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围．易（延庆）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2432y ax ax a =-+-（0a ≠）的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B ． （1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．易（顺义）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2(3)3y mx m x =+--（0m >）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C , 4=AB ，点D 为抛物线的顶点. （1）求点A 和顶点D 的坐标；（2）将点D 向左平移4个单位长度，得到点E ,求直线BE 的表达式；（3）若抛物线26=-y ax 与线段DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.中（平谷）26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线3222-+-=m mx x y 与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G （包含A ，B 两点），点P （m ,0）是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图象G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围．中（石景山）26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m . （1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．中（西城）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+．（1）当2m 时， ①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点1(2,)A y ，22(,)B x y 都在抛物线上，且21y y ，则2x 的取值范围是_______；（2）已知点P (－1,2)，将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q ．当n ＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求m 的取值范围．中（东城）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2691(0)y mx mx m m =-++≠（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B （点A 在点B 的左侧），且AB =4，求m 的值；（3）已知四个点C （2,2），D （2,0），E （5,-2），F （5,6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．中（大兴）26. 在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A （-1，6），求二次函数的表达式；（3）将点A （-1，6）沿x 轴向右平移7个单位得到点B ，若抛物线与线段AB 始终有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.中（密云）26．已知抛物线2224y x mx m =-+-，抛物线的顶点为P . （1）求点P 的纵坐标．（2）设抛物线x 轴交于A 、B 两点，1122(,),(,)A x y B x y ，21x x >. ①判断AB 长是否为定值，并证明．②已知点M （0，-4），且MA ≥5，求21-x x m +的取值范围．2-41y ax ax =+难（门头沟）26．在平面直角坐标系xOy中，一次函数4=+的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）y x平行于x轴的直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C．（1）求点B和点C坐标；（2）已知某抛物线的表达式为22=-+-．2y x mx m m①如果该抛物线顶点在直线4=+上，求m的值；y x②如果该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．难（朝阳）26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x+a-3，当a=0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4 个单位长度，得到点B.（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.二、对称性对称性考察比较灵活，两点纵坐标相同时，说明两点关于对称轴对称。