2015年人教版中考数学总复习：二次函数的应用全面版

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）=【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a=++≠中，,,a b c的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式． 【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2(3)2y a x =--，也就是2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即2692y ax ax a =-+-，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则212364(92)||6a a a x x ---==，解得29a =．∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为2(3)2y a x =--．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得29a =，∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--， 即22493y x x =-．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得29a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =-，即22493y x x =-．【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单． 举一反三：【高清课程名称：二次函数复习高清ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】 【变式】已知抛物线2442y mx mx m =-+-（m 是常数）．（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mma b x ，m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-． （2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴24164(42)2222m m m m m x m±--==±． ∵0m >，∴22x m =±是整数．∴2m是完全平方数．∵155m <<， ∴22105m <<，∴2m取1，4，9， 24164(42)2222m m m m mx m±--==±． 当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29．∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. （2016•鄂州）如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C；【解析】解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA=OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac﹣b+1=0，两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，即方程有一个根为x=﹣c，由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．类型三、数形结合3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数334y x=+的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数32y x=的图象上，且MO＝MA，二次函数2y x bx c=++的图象经过点A、M．(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+ 的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标． 【答案与解析】(1)一次函数334y x =+，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)， 又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M 的纵坐标为32，又M 在32y x =上，当32y =时，x ＝1，∴ 点M 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 如图所示，2231312AM ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．(2)将点A(0，3)，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2y x bx c =++中，得3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ 5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即这个二次函数的解析式为：2532y x x =-+． (3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，25(,3)2C n n n -+，3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．则|AB|＝3-m ，213||4D C DC y y n n =-=-，5||4AD n =． 因为四边形ABCD 是菱形，所以||||||AB DC AD ==．所以2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得113,0;m n =⎧⎨=⎩（舍去）221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩将n ＝2代入2532y x x =-+，得2C y =，所以点C 的坐标为（2，2）． 【点评】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的．类型四、函数与方程4.（2015•本溪模拟）某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≧60）元，销售量为y 套． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案与解析】解：（1）销售单价为x 元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x ≥60）；（2）根据题意可得，x （﹣4x+480）=14000， 解得x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元； （3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得： w=（x ﹣40）（﹣4x+480） =﹣4x2+640x ﹣19200 =﹣4（x ﹣80）2+6400．当x=80时，w 的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解. 举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．【答案】由题意得把②代入①得.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴方程必有两个相等的实数根，∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2).(3).(4)方法1：方程的解，即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵ 二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，∴ ∴∴ ，即，∴.∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ ，∴.类型五、分类讨论5．若函数22(2)2(2)x x y xx ⎧+≤=⎨>⎩，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．6±B ．4C ．6±或4D ．4或6-【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论. 【答案】D ； 【解析】由题意知，当228x +=时，6x =±．而62>，∴ 6x =-．6x =(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．类型六、与二次函数有关的动点问题6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2-（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M （p ，q ）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．【思路点拨】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【答案与解析】解：（1）令mx2-（m+n）x+n=0，则△=（m+n）2-4mn=（m-n）2，∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A（0，n），且n＞0，又∵m＜0，∴m-n＜0，∴△=（m-n）2＞0，∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；（2）令mx2-（m+n）x+n=0，解得：x1=1，x2= nm，由（1）得nm＜0，故B的坐标为（1，0），又因为∠ABO=45°，所以A（0，1），即n=1，则可求得直线AB的解析式为：y=-x+1．再向下平移2个单位可得到直线l：y=-x-1；（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2-（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，解得：m≥- 12，∴m的取值范围为：-12≤m＜0．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360lS rlππ=扇n=，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=23AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）．A．33B．32C．πD．32π图（1）【答案】A. C BO【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF 的面积是：28028=.3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形EAF 的面积=84-9π． 图（2） 故选B ．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm ，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比； （2）圆锥的全面积．A EB C F P【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

二次函数综合复习形如y=ax 2+bx+c(a ≠0，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数．其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

例1.如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k是二次函数,则k 的值是______。

变式练习1.若y =(m −1)x m2+1是二次函数，则m 的值为。

2.函数y = a −5 x a2+4a +5+2x −1, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数。

3.当m 为何值时，y =(m +1)x m2−3m−2是二次函数1. 一般式：y =ax 2+bx +c 已经抛物线任意三点求解析式2. 顶点式：y =a (x −ℎ)2+k 已知抛物线顶点和一点或已知对称轴和另外两点求解析式3. 交点式：y =a (x −x 1)(x −x 2)已知抛物线与x 轴的两交点和另一点1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0),x 1，x 2分别是抛物线与x 轴两个交点的横坐标。

已知抛物线与x 轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。

①典型例题一：告诉抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。

例1：已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。

②典型例题二：告诉抛物线与x 轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。

例2：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。

当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。

在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。

人教版初中数学二次函数知识点总复习附分析一、选择题1．抛物线y1=ax2 +bx+c 与直线y2=mx+n 的图象以下图，以下判断中：① abc＜ 0；② a+b+c＞ 0；③5 a-c=0；④ 当x＜或x＞6 时， y1＞ y2，此中正确的个数有（）A．1B． 2C． 3D． 4【答案】 C【分析】【剖析】【详解】解：依据函数的张口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知： a 0， b 0， c 0，则abc 0，则①正确；依据图形可得：当 x=1 时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；依据函数对称轴可得： - b=3，则 b=-6a，依据 a+b+c=0 可知： a-6a+c=0，-5a+c=0，则 5a-2ac=0，则③正确；依据函数的交点以及函数图像的地点可得④正确.点睛：本题主要考察的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,假如函数张口向上，则 a 大于零，假如函数张口向下，则 a 小于零；假如函数的对称轴在y 轴左边，则 b 的符号与 a 相同，假如函数的对称轴在y 轴右边，则 b 的符号与 a 相反；假如函数与 x 轴交于正半轴，则 c 大于零，假如函数与x 轴交于负半轴，则 c 小于零；对于出现 a+b+c、 a-b+c、 4a+2b+c、 4a-2b+c 等状况时，我们需要找详细的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界限，而后进行分状况议论.2．二次函数y ＝ax2bx c （a≠0）图象以下图，以下结论：① abc ＞ 0；②2a b ＝0；③当m ≠1时，a b＞am2bm ；④a b c ＞0；⑤若 ax12bx1＝ ax22bx2，且 x1≠x2，则x1x2＝2．此中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤【答案】 D【分析】【剖析】由抛物线的张口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，而后依据对称轴及抛物线与 x 轴交点状况进行推理，从而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的张口向下，则a＜ 0；抛物线的对称轴为x=1，则 - b=1， b=-2a2a∴b>0， 2a+b=0 ②抛物线交 y 轴于正半轴，则c＞ 0；由图像知 x=1 时 y=a+b+c 是抛物线极点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=am2bm +c不是极点纵坐标，不是最大值∴ a b＞am2bm （故③正确）：b ＞0， b+2a=0；（故② 正确）又由①②③得： abc＜ 0（故① 错误）由图知：当 x=-1时， y＜ 0；即 a-b+c＜ 0，b ＞a+c；（故④错误）⑤若 ax12bx1＝ ax22bx2得 ax12bx1-( ax22bx2)= ax12bx1-ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(x1+x2)（x1-x2） +b(x1-x2 )= （ x1 -x2） [a(x1+x2)+b]= 0∵x1≠x2∴a(x1+x2)+b=0∴x1+x2=应选 D．b2a=2 （故⑤正确）a a考点：二次函数图像与系数的关系.3．已知抛物线y ax2bx c 与 x 轴的一个交点坐标为(4,0) ，其部分图象以下图，下列结论：① 抛物线必定过原点；②方程 ax2bx c0 a 0 的解为 x 0 或4；③ a b c 0 ；④当0x 4 时，ax2bx c0；⑤当 x 2 时， y 随x增大而增大．此中结论正确的个数有（）A．1B． 2C． 3D． 4【答案】 D【分析】【剖析】依据题意，求得a, b, c ，依据二次函数的图像和性质，联合选项进行逐个剖析，即可判断.【详解】b2 ，与 x 轴的一个交点坐标为(4,0) ，则另一个交点坐标为0,0 ，由题可知2a故可得故可得16a 4b c0 ，c = 0，4a b,c0①因为 c = 0 ，故①正确；②因为二次函数过点0,0 , 4,0 ，故②正确；③当 x 1 时，函数值为 a b c0，故③正确；④ 由图可知，当0x 4 时，y0，故④正确；⑤ 由图可知，当x 2 时， y 随x增大而减小，故⑤错误；应选： D.【点睛】本题考察二次函数的图像和性质，波及二次函数的增减性，属综合中档题.4．二次函数y ax2bx c(a 0) 的图象以下图，以下结论① b24ac ，②abc 0 ，③ 2a b c 0 ，④ a b c 0 ．此中正确的选项是（）A．①④B．②④C．②③D．①②③④【答案】 A【分析】【剖析】①抛物线与 x 轴由两个交点，则 b 24ac0 ，即b24ac ，所以①正确；②由二次函数图象可知， a 0 ， b0 ，c0 ，所以 abc0，故②错误；③对称轴：直线 x b2a，所以2a b c4a c ，1， b2a2a b c 4a c0，故③ 错误；④对称轴为直线 x1，抛物线与x轴一个交点3x1 2 ，则抛物线与x 轴另一个交点 0 x2 1 ，当x1时， y a b c0，故④正确．【详解】解：① ∵抛物线与x 轴由两个交点，∴ b 24ac0 ，即 b24ac ，所以① 正确；② 由二次函数图象可知，a 0 ， b0 ，c0，∴ abc 0 ，故② 错误；③ ∵对称轴：直线 x b 1，2a∴ b2a ，∴ 2a b c4a c ，∵ a0 ，4a0 ，c 0， a0 ，∴ 2a b c4a c 0，故③ 错误；④ ∵对称轴为直线x 1 ，抛物线与x轴一个交点 3 x1 2 ，∴抛物线与 x 轴另一个交点0x2 1 ，当 x 1 时，y a b c0，故④ 正确．应选： A．【点睛】本题考察了二次函数图象与系数的关系，娴熟掌握二次函数图象的性质是解题的重点．5．如图，二次函数 y＝ax2＋ bx＋c 的图象过点 (－1,0)和点 (3,0)，有以下说法：① bc＜ 0；② a＋ b＋ c＞0 ；③2a＋ b＝ 0；④4ac＞ b2．此中错误的选项是 ()A．②④B．①③④C．①②④D．②③④【答案】 C【分析】【剖析】利用抛物线张口方向获得a0 ，利用对称轴在y 轴的右边获得 b 0，利用抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方获得 c0，则可对 A进行判断；利用当x 1 时，y 0可对B进行判断；利用抛物线的对称性获得抛物线的对称轴为直线xb1，则可对 C 进行判断；2a依据抛物线与 x 轴的交点个数对 D 进行判断．【详解】解： Q 抛物线张口向上，a0，Q 对称轴在y轴的右边，a 和b异号，b0 ，Q 抛物线与y轴的交点在 x 轴下方，c0 ，bc0，所以① 错误；Q 当x 1 时，y 0，a b c 0 ，所以②错误；Q 抛物线经过点( 1,0) 和点 (3,0) ，抛物线的对称轴为直线x 1 ，b即1，2a2a b 0 ，所以③正确；Q 抛物线与 x 轴有2个交点，△ b24ac 0 ，即4ac b2，所以④错误．综上所述：③ 正确；①②④错误．应选： C．【点睛】本题考察了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ax2bx c(a 0) ，二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地点（左同右异）．常数项 c 决定抛物线与y 轴交点(0, c)．抛物线与x 轴交点个数由△决定．6．如图，抛物线 y＝ ax2+bx+c（ a≠0）与 x 轴交于点 A（ 1， 0），对称轴为直线 x＝﹣ 1，当y ＞0 时， x 的取值范围是（）A．﹣ 1＜ x＜ 1B．﹣ 3＜ x＜﹣ 1C． x＜ 1D．﹣ 3＜ x＜1【答案】 D【分析】【剖析】依据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可获得答案.【详解】解：∵抛物线y＝ ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（ 1， 0），对称轴为直线x＝﹣ 1，∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（﹣ 3，0），∴当 y＞ 0 时， x 的取值范围是﹣ 3＜x＜ 1．所以答案为： D．【点睛】本题考察抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标 .7．二次函数y ax2bx c(a, b, c 为常数，且a0 )中的x与 y 的部分对应值如表：x·y·10131353··以下结论错误的选项是()A．ac02B．3是对于x的方程axb 1 x c 0的一个根；C．当x1时， y 的值随x值的增大而减小；D．当- 1 < x < 3时，ax2b 1 x c0.【答案】C【分析】【剖析】依据函数中的x 与 y 的部分表，能够求得a、 b、c 的而后在依据函数分析式及其象即可各个做出判断．【解】解：依据二次函数的x 与 y 的部分可知：当 x 1 ，y1，即a b c1，当 x0 ，y 3 ，即c 3 ，当 x 1 ，y 5 ，即a b c 5 ，a b c1立以上方程：c3，a b c5a1解得： b 3 ，c3∴ y x23x 3 ；A、ac1330，故本正确；B、方程ax2b 1 x c0可化x22x 3 0 ，将 x3代入得：322339630 ，∴ 3是对于 x 的方程ax2b 1 x c0 的一个根,故本正确；C、y x23x 3 化点式得： y( x 3 )221，24∵ a10 ，抛物的张口向下，∴当 x 3x 的增大而减小；当x3， y 的随， y 的随x的增大而增大；22故本；D、不等式ax2 b 1 x c0 可化x22x 3 0，令 y x22x 3 ，由二次函数的象可得：当y0 ，- 1 < x < 3，故本正确；故： C．【点睛】本考了待定系数法求二次函数分析式、二次函数的性、二次函数与不等式的关系，依据表中数据求出二次函数分析式是解的关．8．一列自然数0， 1，2 ，3，⋯， 100．挨次将列数中的每一个数平方后除以100，获得一列新数．以下正确的选项是（）A．原数与新数的差不行能等于零B．原数与新数的差，跟着原数的增大而增大C．当原数与新数的差等于21 ，原数等于30D ．当原数取 50 时，原数与对应新数的差最大 【答案】 D【分析】【剖析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为 m ，则新数为1m 2 ，100设新数与原数的差为 y则 y m1 m2 1 m 2 m ，100100易得，当 m ＝ 0 时， y ＝0，则 A 错误∵1100m ﹣ b﹣ 1150时， y 有最大值．则 B 错误， D 正确．当 2a 2 ﹣100 当 y ＝ 21 时，1 m2 m ＝ 21100解得 m 1 ＝30， m 2 ＝ 70，则 C 错误．故答案选： D ．【点睛】本题以规律研究为背景，综合考察二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转变为数学符号．9．已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象以下图，有以下结论：① a+b+c ＜ 0；② a ﹣b+c ＞ 1； ③ abc ＞ 0；④9a ﹣ 3b+c ＜ 0； ⑤ c ﹣a ＞ 1．此中全部正确结论的序号是 ()A ．①②B ． ①③④C ． ①②③④D ． ①②③④⑤【答案】 D【分析】【剖析】依据抛物线的张口方向可得出a 的符号，再由抛物线与 y 轴的交点可得出 c 的值，而后进一步依据对称轴以及抛物线得出当 x 1、 x1、 x3 时的状况进一步综合判断即可． 【详解】由图象可知， a ＜ 0， c=1，b 1，对称轴： x=2a∴b=2a ，① 由图可知：当x=1 时， y ＜ 0，∴ a+b+c ＜ 0，正确；② 由图可知：当 x=-1 时， y ＞ 1，∴ a- b+c ＞1，正确； ③ abc=2a 2 ＞0，正确；④ 由图可知：当 x=-3 时， y ＜ 0，∴ 9a- 3b+c ＜0，正确；⑤ c-a=1-a ＞ 1，正确；∴①②③④⑤ 正确．应选： D ．【点睛】本题主要考察了抛物线的函数图像性质的综合运用，娴熟掌握有关观点是解题重点．10． 函数 yax b 和 y ax 2 bx c 在同向来角坐标系内的图象大概是（）A ．B ．C ．D ．【答案】 C【分析】【剖析】依据 a 、 b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象地点，张口方向，分类议论，逐个排除．【详解】当 a ＞ 0 时，二次函数的图象张口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故 A 、 D 不正确；由 B 、 C 中二次函数的图象可知，对称轴x=- b＞ 0，且 a ＞ 0，则 b ＜ 0，2a但 B 中，一次函数 a ＞ 0，b ＞ 0，清除 B ．应选 C ．11． 如图是二次函数yax 2bxc 的图象，有下边四个结论：① abc0；② ab c0 ；③2a3b0 ；④c4b0 ，此中正确的结论是()A．①②B．①②③C．①③④D．①②④【答案】 D【分析】【剖析】依据抛物线张口方向获得a0 ，依据对称轴xb0获得b 0，依据抛物线与y轴2a的交点在 x 轴下方获得 c 0，所以 abc0 ； x 1 时，由图像可知此时y 0，所以a b c0 ；由对称轴x b12a 3b0；当 x 2 时，由图像可知此时2a，可得3y0，即 4a 2b c0 ，将 2a3b 代入可得 c4b0 .【详解】① 依据抛物线张口方向获得a0，依据对称轴x b0 获得b0，依据抛物线与y 2a轴的交点在 x 轴下方获得c0 ，所以 abc0，故①正确.②x1时，由图像可知此时y0，即a b c0，故②正确 .b12a3b02a3b 0 错误，故③错误；③由对称轴 x，可得，所以2a3④当 x 2 时，由图像可知此时y0，即4a 2b c0，将③中2a3b 0 变形为2a3b，代入可得 c4b0，故④正确.故答案选 D.【点睛】本题考察了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形联合的思想解决问题。

中考数学人教版专题复习：二次函数的综合应用一、考点突破1. 了解二次函数的概念和表示方法。

2. 会画二次函数的图象，从图象上直观地认识二次函数的性质，会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴、最大（小）值。

3. 能够用函数的观点看一元二次方程，了解求一元二次方程近似解的基本思想方法。

4. 掌握建立二次函数模型的方法，培养解决实际问题的能力。

二、重难点提示重点：二次函数的图象和性质。

难点：二次函数的综合运用。

考点精讲函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）图象xy Ox ＝－b2axyOx ＝－b 2a开口 向上 向下对称轴 x ＝－2b a顶点（－2ba，244ac b a -）增减性 当x ＜－2ba时，y 随x 的增大而减小， 当x ＞－2b a时，y 随x 的增大而增大。

当x ＜－2ba时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－2b a时，y 随x 的增大而减小。

最值当x ＝－2b a时，y最小＝244ac b a-。

当x ＝－2b a 时，y最大＝244ac b a-。

2＋k的图象。

平移规律是：（1）把抛物线y ＝ax 2向右（h ＞0）或向左（h <0）平移︱h ︱个单位，得到y ＝a （x －h ）2的图象；（2）再把抛物线y ＝a （x －h ）2向上（k ＞0）或向下（k <0）平移︱k ︱个单位，便得到y ＝a （x －h ）2＋k 的图象。

【难点剖析】二次函数与一元二次方程的关系【重要提示】（1）由抛物线的对称性易求对称轴为直线x ＝122x x ，且对称轴与x 轴交点恰为两交点间线段的中点。

（2）求两个函数的交点坐标，就是求出两个函数解析式组成的方程组的解。

二、二次函数的应用在利用二次函数的图象和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大（或最小）值时，可以采取如下的方法：（1）画出函数的图象，观察图象的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值。