吉林省长春外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷(理科)

长春外国语学校2015届高三上学期期中考试理综考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共7页。

满分300分，考试用时150分钟。

考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。

2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。

3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．如图甲、乙、丙表示某动物细胞中的不同化合物，下列叙述正确的是．b图细胞将出现细胞板，并缢裂成两个子细胞．c图细胞核中染色体数和DNA数相等．d图细胞中同源染色体联会，形成四分体．上述细胞在细胞周期中出现的顺序是a→c→d→e→b．下图为人体细胞的分裂、分化、衰老和死亡过程的示意图，图中①～⑥为各个时期的细～c表示细胞所进行的生理过程。

据图分析，下列叙述正确的是()第II卷三、非选择题：第22题~第32题为必考题，每个试题考生都必须做答。

共174分30.（6分）下图1中A-G为细胞器或细胞的某一结构，图2表示各种膜结构上发生的化学反应。

请据图回答有关问题（括号中填序号或字母，横线上填文字）(1)衣藻细胞质中的细胞器除图1所示外，还应有＿＿＿。

研究表明，结构G的功能越复杂，其上的＿＿＿种类和数量就越多。

(2)图2乙反应中产生的「H］作用是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，乙反应产生的O2参加相邻细胞丙反应至少需穿过＿＿＿＿层磷脂双分子层。

(3)图1中与图2甲反应有关的单膜细胞器是[］，该细胞器进行甲反应的作用是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿31 、（14分）下图是光合作用和细胞呼吸过程示意图。

据图回答下列问题：（1）过程①被称为，④是在真核细胞的（具体场所）进行。

吉林省长春市2015届高三数学上学期第一次模拟考试理（扫描版）长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学（理科）试题答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. A3. D4. B5. C6. D7. B8. B9. C 10. B 11. D 12. B 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.【试题解析】C 由题可得216x =或24x x =，则4,0,4x =-，又当4x =时，A 集合出现重复元素，因此0x =或4-. 故选C.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数模的概念，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.【试题解析】A 由图可知：1z i =，22z i =-，，则122z i z i =-故选A.3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查. 【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.【试题解析】B由||-=m n 2222||||2226-++=+=m n m n m n 可知，||3+=m n . 故选B.5. 【命题意图】本题考查了回归直线的特征，对解释变量的运算也有提及.【试题解析】C 将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值为1.7. 故选C. 6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算.【试题解析】D 如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D. 7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.【试题解析】B 由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=， 作差可得816d =，即2d =. 故选B.8. 【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.【试题解析】B 由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.9. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.【试题解析】C 由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.10. 【命题意图】本题考查指对幂三种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.【试题解析】B 如右图可知，“1x >”⇒“a b c >>”，但“a b c >>” /⇒“1x >”，即“a b c >>”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B.11. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.【试题解析】D 由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤u u u r u u u r，此时B y ≤≤，故直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围是[-U . 故选D.12. 【命题意图】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数等问题. 【试题解析】B 根据①可知()f x 图像的对称中心为(1,0)，根据②可知()f x 图像的对称轴为1x =-，结合③画出()f x 和()g x 的部分图像，如图所示，据此可知()f x 与()g x 的图像在[3,3]-上有6个交点. 故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 212e +14. 12-15. 1[,25]216. 3R简答与提示：13. 【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识.【试题解析】计算可得221111()(ln )22ee x e x dx x x ++=+=⎰.14. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】在42()(1)x x x+-的展开式中，2x 项是1332442()()12x C x C x x x⋅-+-=-，故2x 的系数为12-.15. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点距离的平方，故z的取值范围是1[,25]2.16. 【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题.【试题解析】设三棱柱的高为2t，由题意可得，正三棱柱的体积为23)V R t t =-，求导可得当t =时，V 取得最大值为3R .三、解答题17. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =- 即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin C B C =，即1cos 2B =，3B π=. （5分）(2) 由△ABC 的面积1sin 2S ac B ==，可知3ac =，而4a c +=由余弦定理得b ===（10分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】解：(1) 当1n =时，11122a S a ==-，解得12a =当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，有12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，有2n n a =. （6分）(2) 由（1）知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n ⋅=⋅ 212222n n T n =⨯+⨯++⨯L ①①2⨯，231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯L ② ①-②，得212222n n n T n +-=+++-⨯L整理得1(1)22n n T n +=-⋅+. （12分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=.（4分） (2) 由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.111(400)8864P X ==⋅=12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅=12118(700)8264P X C ==⋅⋅=121324(800)2864P X C ==⋅⋅= 1116(1000)2264P X ==⋅=（8分）综上可得X（10分）X 的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间平面的垂直关系，以及二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】(1) 证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得，11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭I 平面平面平面平面.（6分） (2) 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =， 依题意知，11(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A B C ， 有111(0,1,1),(1,1,0)A B A C =-=-u u u r u u u u r设平面11A BC 的一个法向量(,,)n x y z =r，有11100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 代入得00y z x y -=⎧⎨-+=⎩， 设1x =，有(1,1,1)n =r ，平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =u r，设平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角大小为α，有cos ||||n m n m α⋅==r u r r u r ，所以平面11A BC 与平面ABCD . （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =， 因此椭圆的离心率为12c e a ==.（4分）(2) 由(1)可知2a c =，b ==，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）所以22243(,)4343ck ckG k k -++. 因为DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （10分）令12St S =，则9t >，从而 1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41. （12分）22. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+（2分）因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=， 即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得1x =±，而12x ≠±. 所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是22(22()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,1)22--，(1)2++∞； （9分） (3) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+，令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得12x x ==. ()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值1()f x ，极小值2()f x ，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x →+∞时，2()1xe f x ax=→+∞+，当x →-∞时，2()01xe f x ax =→+. 因此当21()()f x m f x <<时，关于x 的方程()f x m =一定总有三个实数根，结论成立；当01a <≤时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无论m 取何值，方程()f x m =最多有一个实数根，结论不成立.因此所求a 的取值范围是(1,)+∞.（12分）。

2014-2015学年吉林省长春外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2]2．（5分）“a=0”是“f（x）=为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（）A．B．y=x﹣1C．y=x3 D．y=2x5．（5分）已知a=30.5，b=log3，c=log32，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c6．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不对7．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．2 C．4 D．88．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，3） B．（0，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞）9．（5分）设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，则（）A．n=8，p=0.2 B．n=4，p=0.4 C．n=5，p=0.32 D．n=7，p=0.4510．（5分）函数y=4x+2x+1+1的值域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，+∞）11．（5分）若f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2+1，则当x∈[3，5]时，f（x）=（）A．（x+3）2+1 B．（x﹣3）2+1 C．（x﹣4）2+1 D．（x﹣5）2+112．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|，若方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（0，1） D．（0，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.13．（5分）袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为．14．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，4），若p（ξ＞4）=a，则p（﹣2≤ξ≤4）=．15．（5分）直线ρcosθ﹣ρsinθ+a=0与圆（θ为参数）有公共点，则实数a的取值范围是．16．（5分）函数f（x）=的零点个数为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，S n是数列{b n}的前n项和，求证：S n＜．18．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值；（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从这7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列并计算E（X），D（X）．19．（12分）如图，在几何体ABCD﹣A1D1C1中，四边形ABCD，A1ADD1，DCC1D1均为边长为1的正方形．（1）求证：BD1⊥A1C1．（2）求二面角D1﹣A1C1﹣B的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2，F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若直线l过F2，且倾斜角为45°，交椭圆于A，B 两点．（1）求椭圆C的标准方程．（2）求△ABF1的周长与面积．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[，2]上是增函数，求实数a的取值范围．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，直线l的参数方程（t 为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）求曲线C与直线l的直角坐标方程．（2）若M、N分别为曲线C与直线l上的两个动点，求|MN|的最小值．2014-2015学年吉林省长春外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2]【解答】解：∵集合B={x|1≤2x＜4}，∴B={x|0≤x＜2}，∵集合A={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故选：C．2．（5分）“a=0”是“f（x）=为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠±1}，若a=0，f（x）=；∴f（﹣x）=；∴f（x）是奇函数；a=0是f（x）=为奇函数的充分条件；（2）若f（x）=是奇函数，则：f（﹣x）==；∴a=﹣a；∴a=0；∴“a=0”是“f（x）=为奇函数”的必要条件；综合（1）（2）得“a=0“是“f（x）=为奇函数“的充要条件．故选：C．3．（5分）命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）【解答】解：命题p：∀x∈R，log2x＞0，是假命题；￢p是真命题；命题q：∃x0∈R，2x0＜0，是假命题；￢q是真命题；所以p∨q是假命题；p∧q是假命题；（￢p）∧q是假命题；p∨（￢q）是真命题．故选：D．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（）A．B．y=x﹣1C．y=x3 D．y=2x【解答】解：定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性；y=x﹣1为（0，+∞）上减函数；对于y=2x，是指数函数，不具有奇偶性；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数；又f（﹣x）=f（x）所以是奇函数．故选：C．5．（5分）已知a=30.5，b=log3，c=log32，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c【解答】解：∵a=30.5＞1，b=log3＜0，0＜c=log32＜1，∴a＞c＞b．故选：A．6．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不对【解答】解：因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac＞0，则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4ac=﹣3ac＜0，所以此方程没有实数根，即函数y=ax2+bx+c的零点个数为0个，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．2 C．4 D．8【解答】解：由题意可得：函数f（x）=，所以f（）=log2=﹣1∴f（﹣1）=2﹣1=，故选：A．8．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，3） B．（0，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞）【解答】解：由于函数f（x）=，可得log3x﹣1＞0，即log3x＞log33，解得x，故选：C．9．（5分）设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，则（）A．n=8，p=0.2 B．n=4，p=0.4 C．n=5，p=0.32 D．n=7，p=0.45【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，∴np=1.6，①np（1﹣p）=1.28 ②把①代入②得1﹣p==0.8，∴p=0.2∵np=1.6∴n=8，故选：A．10．（5分）函数y=4x+2x+1+1的值域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：令t=2x＞0，可得y=t2+2t+1=（t+1）2，根据t+1∈（1，+∞），可得（t+1）2＞1，即y＞1，故选：B．11．（5分）若f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2+1，则当x∈[3，5]时，f（x）=（）A．（x+3）2+1 B．（x﹣3）2+1 C．（x﹣4）2+1 D．（x﹣5）2+1【解答】解：由题意知，函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）∵当x∈[0，1]时，f（x）=x2+1，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2+1）=x2+1，∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，当x∈[3，5]时，x﹣4∈[﹣1，1]∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+1，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|，若方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（0，1） D．（0，2）【解答】解：f（1）=f（3）=0，f（2）=1，f（x）≥0，∵若方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，∴t2+bt+c=0，其中一个根为1，另一个根在（0，1）内，∴g（t）=t2+bt+c，g（1）=1+b+c=0，g（﹣）＜0，0＜1，g（0）=c＞0方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根∴c=﹣1﹣b＞0，b≠﹣2，﹣2＜b＜0，即b的范围为：（﹣2，﹣1）故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.13．（5分）袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为．【解答】解：记事件A为“第一次取到黑球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“第一次取到黑球、第二次取到白球”，依题意知P（A）=，P（AB）=×，∴在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A）=．故答案为：．14．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，4），若p（ξ＞4）=a，则p（﹣2≤ξ≤4）=1﹣2a．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），∴μ=1，∵p（ξ＞4）=a，∴p（﹣2≤ξ≤4）=1﹣2a．故答案为：1﹣2a．15．（5分）直线ρcosθ﹣ρsinθ+a=0与圆（θ为参数）有公共点，则实数a的取值范围是[3﹣3，3+3] ．【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ+a=0，即x﹣y+a=0，圆（θ为参数）化为直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由直线和圆相交可得圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤3，求得3﹣3a≤3+3，故答案为：．16．（5分）函数f（x）=的零点个数为2．【解答】解：令f（x）=0，得到解得x=﹣1；和，令y=2﹣x和y=lnx，在同一个坐标系中画出它们的图象，观察交点个数，如图函数y=2﹣x和y=lnx，x＞0时，在同一个坐标系中交点个数是1个，所以函数f （x）的零点在x＜0时的零点有一个，在x＞0时零点有一个，所以f（x）的零点个数为2；故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，S n是数列{b n}的前n项和，求证：S n＜．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，且d≠0，∵a1，a2，a5成等比数列，a1=1∴（1+d）2=1×（1+4d）解得d=2，∴a n=2n﹣1．（2）b n===（﹣）∴S n=b1+b2+…+b n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）＜18．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值；（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从这7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列并计算E（X），D（X）．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴，解得n=40，（2）X=0，1，2∴E（X）=1×+2×=，D（X）==．19．（12分）如图，在几何体ABCD﹣A1D1C1中，四边形ABCD，A1ADD1，DCC1D1均为边长为1的正方形．（1）求证：BD1⊥A1C1．（2）求二面角D1﹣A1C1﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：连结AC、BD交于O，在几何体ABCD﹣A1D1C1中，四边形ABCD，A1ADD1，DCC1D1均为边长为1的正方形．A1D1∥AD D1C1∥DC∠ADC和∠A1D1C1方向相同所以：平面ACD∥平面A1D1C1AA1∥CC1且AA1=CC1四边形A1ACC1是平行四边形由四边形ABCD是正方形得到：AC⊥BD所以：BD⊥A1C1DD1⊥A1C1所以：A1C1⊥平面BDD1BD1⊥A1C1（2）解：取A1C1的中点E，根据A1D1=C1D1根据正方形的性质：A1B=BC1BE⊥A1C1所以：∠D1EB是二面角D1﹣A1C1﹣B的平面角所以：求出：，，在△BD1E中，利用余弦定理：=所以：二面角D1﹣A1C1﹣B的余弦值20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2，F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若直线l过F2，且倾斜角为45°，交椭圆于A，B 两点．（1）求椭圆C的标准方程．（2）求△ABF1的周长与面积．【解答】解：（1）∵离心率为，且短轴长为2，∴，解得：，∴椭圆C的标准方程为；（2）设△ABF1的周长为l，则l=|AB|+||BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8，F2（1，0），又∵倾斜角为45°，∴l的方程为：x﹣y﹣1=0，∴，消x得7y2+6y﹣9=0，∴，∴=，∴设△ABF1的面积为S，∴S=．∴△ABF1的周长与面积分别为8；．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[，2]上是增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）∵当a=0时，f（x）=2x﹣lnx，则∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表∴当时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．（2）由已知，得若a=0，由f'（x）＞0得，显然不合题意若a≠0∵函数f（x）区间是增函数∴f'（x）≥0对恒成立，即不等式ax2+2x﹣1≥0对恒成立即恒成立故而当，函数，∴实数a的取值范围为a≥3．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，直线l的参数方程（t为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）求曲线C与直线l的直角坐标方程．（2）若M、N分别为曲线C与直线l上的两个动点，求|MN|的最小值．【解答】解：（1）直线l 的参数方程（t为参数），化为普通方程为：x﹣y﹣3=0；曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，化为直角坐标方程为：x2+y2=2y，即圆C：x2+（y﹣1）2=1．（2）圆C的圆心为（0，1），半径r=1，圆心到直线的距离d==2，则d＞r，直线和圆相离，则|MN|的最小值为．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2015—2016学年吉林省长春外国语学校高二（下)期中数学试卷（理科）一、选择题：（四个选项中只有一个正确答案，每小题5分,共计60分）1．已知集合A=｛1，2，3,4｝，B={x｜x=2n﹣1,n∈A}，则A∩B=（)A．{1，3｝B．｛2，4} C．{1，4} D．｛2，3｝2．极坐标方程（ρ﹣3）（θ﹣）=0(ρ≥0)表示的图形是（）A．两个圆B．一条直线和一条射线C．两条直线 D．一个圆和一条射线3．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．联欢会有歌曲节目4个，舞蹈节目2个，小品节目2个,其中小品节目不能连着演出，舞蹈必须在开头和结尾，有多少种不同的出场顺序（）A．480 B．960 C．720 D．1805．已知a=50.2，b=（）3,c=log3，试比较大小（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b 6．函数f（x）=的定义域（）A．(﹣4，1）B．（﹣1,1）C．（﹣∞,﹣4)∪（1，+∞）D．（﹣4,﹣1)∪（﹣1，1）7．求函数f(x）=﹣x2+4x﹣6,x∈[0，5］的值域（）A．[﹣6，﹣2] B．[﹣11，﹣2] C．［﹣11，﹣6］D．[﹣11，﹣1]8．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1）)=（）A．B． C．D．49．已知f（3x+2)=9x2+3x﹣1，求f（x）（）A．f（x）=3x2﹣x﹣1 B．f（x）=81x2+127x+53C．f（x)=x2﹣3x+1 D．f（x）=6x2+2x+110．下列哪个函数是奇函数（）A．f（x)=3x3+2x2+1 B．f（x）=C．f（x）=3x D．f(x）=11．已知函数f(x）=在［2，6］上单调，则a 的取值范围为（）A．（﹣∞，1］∪[3，+∞）B．(﹣∞，1］C．［3，+∞）D．[，］12．已知函数f（x)满足f（1+x）+f(1﹣x）=0，且f（﹣x）=f（x），当1≤x≤2时，f（x）=2x﹣1，求fA．﹣1 B．0 C．1 D．2二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分）13．已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（1﹣x）（1+2）5展开式中x2的系数为．15．已知数列{a n}，a1=2，a n=2a n﹣1﹣1（n≥2），求a n= ．16．已知函数f（x)=,则函数y=f（1﹣x）的最大值为．三、解答题：17．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x+a｜（1）当a=3时，解不等式f(x)≤；（2)若关于x的不等式f（x）≤a解集为R，求a的取值范围．18．为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取80名市民，得到数据如下表：患心肺疾不患心肺合计病疾病大于40岁16小于或等于40岁12合计80已知在全部的80人中随机抽取1人,抽到不患心肺疾病的概率为（1）请将2×2列联表补充完整；(2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：P(K2≥k）0.150。

2014-2015学年吉林省长春十一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x＜1}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）已知b＜a＜0＜＜1，则（）A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b4．（5分）已知sin2α=，则=（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=f（x）在区间（﹣2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上仅有一个实根x=0，则f（﹣1）f（1）的值（）A．大于0 B．小于0C．等于0 D．与0的大小关系无法确定6．（5分）设P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y的最小值为（）A．3 B．2 C．﹣ln2 D．3+ln27．（5分）在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．1或﹣28．（5分）能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是（）A．f（x）=x3+x2 B．f（x）=ln C．f（x）=sinx+cosx D．f（x）=e x+e﹣x 9．（5分）若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．C．2 D．10．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）是单调递增的，若则下列不等式中一定成立的是（）A．f（S1）＜f（S2）＜f（S3）B．f（S3）＜f（S2）＜f（S1）C．f（S2）＜f （S1）＜f（S3）D．f（S3）＜f（S1）＜f（S2）11．（5分）关于方程|log2x|=lg（x+1）的两个根x1，x2（x1＜x2）以下说法正确的是（）A．x1+x2＞2 B．x1x2＞2 C．0＜x1x2＜1 D．1＜x1+x2＜212．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当+ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（）A．B．C．+1 D．2二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知定义在R上的连续函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为，则f（1）+f′（1）=．14．（5分）设t＞0，函数f（x）=的值域为M，若4∉M，则t 的取值范围是．15．（5分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=．16．（5分）某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：①函数f（x）在[﹣π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．其中正确的结论是．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分）17．（10分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ax3e x﹣1+bx3+c在x=1处取得极值2b+c+7，a，b，c 为常数，（1）试确定a，b的值；（2）当x∈[﹣4，+∞）时，讨论函数f（x）的单调区间；（3）若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c2﹣2c﹣1成立，求c的取值范围．21．（12分）设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：=1（a＞1）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且•的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年吉林省长春十一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x＜1}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合M={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，N={x|log2（x﹣1）＜1}={x|0＜x ﹣1＜2}={x|1＜x＜3}，故M∩N={x|2＜x＜3}，故选：A．2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：===﹣故复数（i为虚数单位）的虚部是故选：B．3．（5分）已知b＜a＜0＜＜1，则（）A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b【解答】解：∵b＜a＜0，∴b＞a＞1，又∵＜1，∴0＜c＜1．∴c＜1＜a＜b．则2c＜2a＜2b．故选：A．4．（5分）已知sin2α=，则=（）A．B．C．D．【解答】解：===∵sin2α=，∴==．故选：B．5．（5分）函数y=f（x）在区间（﹣2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上仅有一个实根x=0，则f（﹣1）f（1）的值（）A．大于0 B．小于0C．等于0 D．与0的大小关系无法确定【解答】解：由于函数y=f（x）在区间（﹣2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上仅有一个实根x=0，可得图象：因此f（﹣1）f（1）的值与0的大小关系不正确．故选：D．6．（5分）设P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y的最小值为（）A．3 B．2 C．﹣ln2 D．3+ln2【解答】解：∵P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．f′（x）=1﹣+=，令f′（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x ＜1，此时函数f（x）单调递减．且f′（1）=0．∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=3．故选：A．7．（5分）在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2【解答】解：∵等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=﹣2，∵△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∴=（1，q﹣1），∵∠A为锐角，∴﹣1×1﹣q+1＞0，∴q=﹣2，故选：C．8．（5分）能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是（）A．f（x）=x3+x2 B．f（x）=ln C．f（x）=sinx+cosx D．f（x）=e x+e﹣x【解答】解：∵f（x）=x3+x2不是奇函数，∴f（x）=x3+x2的图象不关于原点对称，∴f（x）=x3+x2不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=ln是奇函数，∴f（x）=ln的图象关于原点对称，∴f（x）=ln是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=sinx+cosx不是奇函数，∴f（x）=sinx+cosx的图象不关于原点对称，∴f（x）=sinx+cosx不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=e x+e﹣x不是奇函数，∴f（x）=e x+e﹣x的图象关于原点不对称，∴f（x）=e x+e﹣x不是椭圆的“亲和函数”．故选：B．9．（5分）若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：求导数，可得令x=0，则又f（0）=，则切线方程为，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴∴a+b的最大值是故选：D．10．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）是单调递增的，若则下列不等式中一定成立的是（）A．f（S1）＜f（S2）＜f（S3）B．f（S3）＜f（S2）＜f（S1）C．f（S2）＜f （S1）＜f（S3）D．f（S3）＜f（S1）＜f（S2）【解答】解：根据积分公式可知，，，∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）是单调递增，∴在区间（0，+∞）是单调递减，∵e2﹣e＞＞0，∴f（S3）＜f（S1）＜f（S2），故选：D．11．（5分）关于方程|log2x|=lg（x+1）的两个根x1，x2（x1＜x2）以下说法正确的是（）A．x1+x2＞2 B．x1x2＞2 C．0＜x1x2＜1 D．1＜x1+x2＜2【解答】解：在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg（x+1）的图象，如图：由图可知：0.5＜x1＜1，1＜x2＜1.5，﹣log2x1=lg（1+x1），log2x2=lg（1+x2），可得log2（x1x2）=lg∈（0，1），即有1＜x1x2＜2，x1+x2=2+2＞2＞2，所以x1+x2＞2．故选：A．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当+ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（）A．B．C．+1 D．2【解答】解：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线﹣=1的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），，，∴k1k2==，∵点A，C都在双曲线上，∴，，两式相减，得：，∴k1k2==＞0，∴+ln|k1|+ln|k2|=，对于函数y=，由=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2时，＞0，0＜x＜2时，＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴当+ln|k1|+ln|k2|最小时，，∴e==．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知定义在R上的连续函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为，则f（1）+f′（1）=1．【解答】解：据题意知f′（1）=f（1）=∴故答案为：114．（5分）设t＞0，函数f（x）=的值域为M，若4∉M，则t 的取值范围是（] ．【解答】解：∵函数f（x）=可得0＜y＜2t，或y≤log，∴值域为：{y|0＜y＜2t，或y≤log}∵域为M，若4∉M，∴2t≤4，且log，＜4，可解得：＜y≤2故答案为：15．（5分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=﹣．【解答】解：+++=（+）+（+）=+==﹣故答案为﹣16．（5分）某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：①函数f（x）在[﹣π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．其中正确的结论是④．【解答】解：f（x）=2x•cosx为奇函数，则函数f（x）在[﹣π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错．由于f（0）=0，f（π）=﹣2π，所以②错．再由f（0）=0，f（2π）=4π，所以③错．|f（x）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以④对．故答案为：④．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分）17．（10分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，∴3sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin （B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．（2）由•=4，b=4，可得，a•c•cosB=4，即ac=12．…①．再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣，即a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或．18．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）∵对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，即．∴当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣=﹣2a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵对任意n∈N*，a n＞0．∴a n+a n﹣1＞0．∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）由（1），a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴=4n（n+1），∴==，n∈N*；∴T n=．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设BD∩OC=F，连接EF，∵E、F分别是PC、OC的中点，则EF∥PO，…（1分）∵CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，∵平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴AB⊥EF，…（3分）在△ABD中，AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，又EF∩BD=F，∴AB⊥平面BED，又DE⊂平面BED，∴AB⊥DE．…（6分）（Ⅱ）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，∵PO⊥平面ABCD，∴POC⊥平面ABCD，平面POC∩平面ABCD=AH，∴AH⊥平面POC，PC⊂平面POC，∴AH⊥PC．在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴AE⊥PC，∴PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．∴∠AEH是二面角A﹣PC﹣O的平面角．…（10分）设PO=AD=2BC=2CD=2，而AE2=AC2﹣EC2，AE=，AH=，则sin∠AEH=，∴二面角A﹣PC﹣O的余弦值为．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=ax3e x﹣1+bx3+c在x=1处取得极值2b+c+7，a，b，c 为常数，（1）试确定a，b的值；（2）当x∈[﹣4，+∞）时，讨论函数f（x）的单调区间；（3）若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c2﹣2c﹣1成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2e x﹣1+ax3e x﹣1+3bx2，∵f（x）=ax3e x﹣1+bx3+c在x=1处取得极值2b+c+7，∴即解得a=3，b=﹣4．（2）由（1）得f（x）=3x3e x﹣1﹣4x3+c，f′（x）=9x2e x﹣1+3x3e x﹣1﹣12x2=3x2[（3+x）e x﹣1﹣4]，∴当﹣4≤x≤1时，f′（x）≤0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在[﹣4，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（3）由（2）可知，当x=1时，f（x）min=﹣1+c，∴若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c2﹣2c﹣1成立，则有，﹣1+c≤c2﹣2c﹣1，解得c≤0或c≥3．21．（12分）设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：=1（a＞1）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且•的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（1）设P（x，y），则=（x+c，y），=（x﹣c，y），∴•=x2+y2﹣c2=x2+1﹣c2，x∈[﹣a，a]，由题意得，1﹣c2=0⇒c=1⇒a2=2，∴椭圆C的方程为；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x2+2y2=2中，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）=0，化简得：m2=2k2+1．设d1=|F1M|=，d2=|F2N|=，当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，∴|MN|=•|d1﹣d2|，∴S=••d1﹣d2|•（d1+d2）===，∵m2=2k2+1，∴当k≠0时，|m|＞1，|m|+＞2，∴S＜2．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣ay=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k=k，即a=1，…（2分）∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2 …（3分）（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，…（4分）令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e …（5分）u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上①当u=≤0即t 时，y 最小=t 2﹣t …（6分）②当u=≥e 即t 时，y 最小=e 2+（2t ﹣1）e +t 2﹣t …（7分）③当0＜＜e 即时，y 最小=y=﹣ …（8分）（3）F （x ）=g （x ）+g′（x ）=lnx +，F′（x ）=所以F （x ）在区间（1，+∞）上单调递增 …（9分） ∴当x ≥1时，F （x ）≥F （1）＞0 ①当m ∈（0，1）时，有α=mx 1+（1﹣m ）x 2＞mx 1+（1﹣m ）x 1=x 1， α=mx 1+（1﹣m ）x 2＜mx 2+（1﹣m ）x 2=x 2， 得α∈（x 1，x 2），同理β∈（x 1，x 2），…（10分）∴由f （x ）的单调性知 0＜F （x 1）＜F （α）、f （β）＜f （x 2） 从而有|F （α）﹣F （β）|＜|F （x 1）﹣F （x 2）|，符合题设．…（11分） ②当m ≤0时，，α=mx 1+（1﹣m ）x 2≥mx 2+（1﹣m ）x 2=x 2， β=mx 2+（1﹣m ）x 1≤mx 1+（1﹣m ）x 1=x 1， 由f （x ）的单调性知，F （β）≤F （x 1）＜f （x 2）≤F （α）∴|F （α）﹣F （β）|≥|F （x 1）﹣F （x 2）|，与题设不符 …（12分） ③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，得|F （α）﹣F （β）|≥|F （x 1）﹣F （x 2）|，与题设不符．…（13分） ∴综合①、②、③得 m ∈（0，1）…（14分） 说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

长春外国语学校2015届高三年级第一次诊断考试文科数学试卷出题人：王先师 审题人：杨柳考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共4页 满分150分，考试用时120分钟。

考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。

2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。

3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确. 1. 已知集合}4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，若=B A },{b a ，则b a +=（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 92. 已知集合}076|{2<--=x x x A ，}082|{2≥-+=x x x B ，则B C A R =( ) A . }71|{<<-x x B .}42|{-<>x x x 或 C .}21|{<<-x x D .}74|{<<-x x 3. 若命题p ：0122>+-x x ，命题q ：0342≤+-x x ，则p 是q 的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知命题p ：R x ∈∀，0422>+-x x ，则命题p 的否定形式为（ ）A . R x ∈∀，0422≤+-x xB . R x ∈∀，0422<+-x xC . R x ∈∃，0422≤+-x xD . R x ∈∃，0422<+-x x5. 已知命题p ：012=-x ，命题q ：a x <||，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1≤aB. 1<aC. 1≥aD. 1>a6. 已知函数1||4)(2--=x x x f ，则其定义域为（ ）A.[2-，2]B.[2-，11() ，2]C.]2,1()1,1()1,2[ ---D. )2,1()1,1()1,2( ---7. 已知函数⎩⎨⎧<+≥=)0)(2()0()(2x x f x x x f ，则=-)7(f （ ）A. 1B. 4C. 16D. 498. 若函数)(x f 对任意的R x ∈满足)()(x f x f -=-，当0≥x 时，x x x f 2)(2-= 则不等式0)(>x xf 的解集是（ ）A. ),2(+∞B. )0,2(-),2(+∞C. )2,(--∞),2(+∞D. )2,0()0,2( - 9. 在复平面内，复数i z -=1对应于点P ，则该点在以原点为极点，实轴的正半轴为极轴的极坐标系中所对应的极坐标是（ ） A. )47,2(π B. )45,2(π C. )43,2(πD. )43,2(π10. 已知圆的极坐标方程为θρcos 2=，则它所对应的参数方程为（ ）A ．)(sin 1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+==y x B. )(sin -1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C. )(sin cos 1为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x D. )(sin cos 1-为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x11.已知圆C ：θρsin 4=与直线)(423为参数t t y t x ⎩⎨⎧-==交于B A ,两点，则=||AB （ ）A. 2B. 4C. 6D. 812.已知函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足0)()(=+-x f x f ,)()2(x f x f =-,且当]1,0[∈x 时,ax x f =)(,若方程0lg )(=-x x f 恰有五个实根,则实数a 的取值范围是（ ）A. )13lg ,3lg 2()7lg ,11lg ( -- B. )13lg ,11(lg )7lg ,3lg 2( -- C. )3lg 2,7(lg )11lg ,13lg ( -- D. )11lg ,7(lg )3lg 2,13lg ( --第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置. 13.曲线122=+y x 经过⎩⎨⎧='='yy xx 43:ϕ变换后，得到的新曲线的方程为________________.14.定义}|{B x A x x B A ∉∈=*且，若}51|{<<=x x M ，}086|{2≥+-=x x x N ,则N M *=______________________.15.若函数)(x f 对任意的R y x ∈,满足)()()(y f x f y x f +=+且4)2(=f ,则=-)1(f ____.1B甲班乙班2 18 19 9 1 0 17 0 2 6 8 98 8 3 2 16 2 5 88 15 916. 对于函数xx eexf--=)(的叙述正确的是_____________.(填正确序号) （1）)(xf为奇函数（2）)(xf为增函数（3）)(xf在0=x处取极值（4）)(xf的图象关于点（0,1）对称三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(12分) 已知数列}{na满足231+=+nnaa，*∈Nn，11=a，1+=nnab(1)证明数列}{nb为等比数列.(2)求数列}{na的通项公式na与前n项和nS.18.（12分）最近我校对高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取10名男生的身高（单位cm）,绘制身高的茎叶图如右图：（1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？（2）计算甲班的样本方差.（3）现从乙班样本身高不低于172cm的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.19.（12分）在三棱柱111CBAABC-中，侧棱1AA⊥底面ABC，1==ACAB,∠0120=BAC,异面直线CB1与1AA成060角，ED,分别是BC,1AB的中点.(1)求证：DE∥平面CCAA11.(2)求三棱锥ABCB-1的体积.20.（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+babyaxC，椭圆上一点23,1(--A到其两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆C的标准方程.（2）如果斜率为21的直线与椭圆交于FE,两点，试判断直线AFAE,的斜率之和是否为定值？若是，求出其定值.若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数2ln)(2++=xaxxf.（1）若)(xf在1=x处的切线与直线13-=xy平行，求实数a的值.（2）若)(xf在),2(+∞上单调递增，求实数a的取值范围.22.（10分）已知曲线1C ：)(sin 3cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，直线2C )(221为参数t t y tx ⎩⎨⎧=-=（1）将曲线21C C 与的参数方程化为普通方程. （2）若曲线21C C 与交于B A ,两点，求AB 的长长春外国语学校2015届高三年级第一次诊断考试文科数学试卷出题人：王先师 审题人：杨柳13._____________.14.____________.15.____. 16.______. 三、解答题：写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.姓名：____________班级：____________学号：____________考号第一次诊断考试数学答案（文科） 一 选择题1B 2D 3D 4C 5D 6C 7A 8C 9A 10C 11B 12A 二 填空题13116922=+y x 14 }{42<<x x15 -2 16 ①②三 解答题 17（1）31111=++=++n n n n a a b b （2）13--=n S n n 18 （1）170=甲x ，170=乙x（2）57.2 （3）5219（1）略 （2）123 20 （1）13422=+y x （2）是常数021 （1）1=a （2）8-≥a22 （1）134:221=+y x C 01:2=-+y x C （2）724。

2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知椭圆的方程为+=1，则该椭圆的焦点坐标为（）A．（0，﹣5），（0，5）B．（0，﹣7），（0，7）C．（﹣2，0），（2，0）D．（0，﹣2），（0，2）2．（5分）某企业有职150人，其中高级职员15人，中级职员45人，一般职员90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（）A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，163．（5分）与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2） C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）4．（5分）设命题p：x2+2x﹣3＜0 q：﹣5≤x＜1，则命题p成立是命题q成立的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要5．（5分）已知向量，则与的夹角为（）A．0°B．45°C．90°D．180°6．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．5 B．﹣38 C．10 D．387．（5分）为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度（单位长度：cm），其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（）A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐8．（5分）下边程序执行后输出的结果是（）A．19 B．28 C．10 D．379．（5分）从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A．1 B．C．D．10．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．411．（5分）在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°12．（5分）若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A．2 B．1 C．D．二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）对于下列语句：①∃x∈Z，x2=3；②∃x∈R，x2=2；③∀x∈R，x2+2x+3＞0；④∀x∈R，x2+x﹣5＞0，其中正确的命题序号是．14．（5分）到两个定点（0，﹣8），（0，8）的距离之和等于24的点的轨迹方程为．15．（5分）椭圆+=1的右顶点到它的左焦点的距离为．16．（5分）向平面区域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}内随机投入一点，则该点落在区域{（x，y）|x2+y2≤1}内的概率等于．三、解答题（本题共6题，共70分，解答就写出文字说明）17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=，短轴长为6，求椭圆的标准方程．18．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求在这60名学生中分数在[60，90）的人数．19．（12分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．（1）求证：四边形AEC1F为平行四边形；（2）求直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值．20．（12分）某种产品的广告费用支出x（千元）与销售额y（10万元）之间有如下的对应数据：（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出销售额y关于费用支出x的线性回归方程．（III）当广告费用支出1万元时，预测一下该商品的销售额为多少万元？（参考值：2×3+4×4+5×6+6×5+8×7=138，22+42+52+62+82=145）21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．22．（12分）已知椭圆的一个顶点为A1（0，﹣），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离3（1）求椭圆的标准方程；（2）过点M（1，1）的直线与椭圆交于A、B两点，且M点为线段AB的中点，求直线AB的方程及|AB|的值．2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知椭圆的方程为+=1，则该椭圆的焦点坐标为（）A．（0，﹣5），（0，5）B．（0，﹣7），（0，7）C．（﹣2，0），（2，0）D．（0，﹣2），（0，2）【解答】解：由椭圆的方程为+=1，∴a=7，b=5，∴c===2，则该椭圆的焦点坐标为．故选：C．2．（5分）某企业有职150人，其中高级职员15人，中级职员45人，一般职员90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（）A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16【解答】解：抽取的比例为，15×=3，45×=9，90×=18．故选：B．3．（5分）与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2） C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）【解答】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C．4．（5分）设命题p：x2+2x﹣3＜0 q：﹣5≤x＜1，则命题p成立是命题q成立的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：命题p：x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1．又q：﹣5≤x＜1，则命题p成立是命题q成立的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）已知向量，则与的夹角为（）A．0°B．45°C．90°D．180°【解答】解：设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得，∵0°≤θ≤180°∴θ=90°故选：C．6．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．5 B．﹣38 C．10 D．38【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（3，8），此时z=2×3+4×8=6+32=38，故选：D．7．（5分）为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度（单位长度：cm），其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（）A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：==27==30S甲2＜S乙2故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．8．（5分）下边程序执行后输出的结果是（）A．19 B．28 C．10 D．37【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，S=1不满足条件a＞3，S=10，a=2不满足条件a＞3，S=19，a=3不满足条件a＞3，S=28，a=4满足条件a＞3，退出循环，输出S的值为28．故选：B．9．（5分）从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A．1 B．C．D．【解答】解：由于产品中共有5件正品，一件次品，故共有6件产品从中取出两件产品共有：C62==15种其中恰好是一件正品，一件次品的情况共有：C51=5种故出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率P==故选：C．10．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选：A．11．（5分）在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°【解答】解：不妨设BB1=1，则AB=，•=（）•（）=+++=0+cos60°﹣12+0=0∴直线AB1与C1B所成角为90°故选：B．12．（5分）若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由椭圆的方程可得a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m•n=2，∴△F1PF2的面积是m•n=1，故选：B．二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）对于下列语句：①∃x∈Z，x2=3；②∃x∈R，x2=2；③∀x∈R，x2+2x+3＞0；④∀x∈R，x2+x﹣5＞0，其中正确的命题序号是②③．【解答】解：对于①，若x2=3，x的取值只有±，说明“∃x∈Z，x2=3”不成立，故①错；对于②，存在x=∈R，使x2=2成立，说明“∃x∈R，x2=2”成立，故②正确；对于③，因为x2+2x+3=（x+1）2+2≥2＞0，所以“∀x∈R，x2+2x+3＞0”成立，故③正确；对于④，当x=0时，式子x2+x﹣5=﹣5为负数，故“∀x∈R，x2+x﹣5＞0”不成立，故④错综上所述，正确的是②③两个命题故答案为：②③14．（5分）到两个定点（0，﹣8），（0，8）的距离之和等于24的点的轨迹方程为=1．【解答】解：由椭圆的定义可得，满足条件的点P的轨迹是以两定点F1（0，﹣8），F2（0，8）为焦点，半焦距等于8，长轴等于24的椭圆．故a=12，c=8，b=4，故点P的轨迹方程为=1，故答案为：=1．15．（5分）椭圆+=1的右顶点到它的左焦点的距离为20．【解答】解：椭圆+=1可得：a=12，b2=80，=8．右顶点（12，0）到它的左焦点（﹣8，0）的距离d=12﹣（﹣8）=20．故答案为：20．16．（5分）向平面区域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}内随机投入一点，则该点落在区域{（x，y）|x2+y2≤1}内的概率等于．【解答】解：平面区域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}对应的区域为正方形ABCD，对应的面积S=2×2=4，区域{（x，y）|x2+y2≤1}对应的区域为单位圆，对应的面积S=π，则对应的概率P=，故答案为：三、解答题（本题共6题，共70分，解答就写出文字说明）17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=，短轴长为6，求椭圆的标准方程．【解答】解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），可得，解得a=6，b=3，可得椭圆的标准方程为=1．当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程为=1．18．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求在这60名学生中分数在[60，90）的人数．【解答】解：（1）根据频率和为1，得；分数在[70，80）内的频率为1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，在频率分布直方图中，分数在[70，80）内的数据对应的矩形高为=0.030，补全这个频率分布直方图，如图所示；（2）这60名学生中分数在[60，90）的频率为（0.015+0.030+0.025）×10=0.7，所求的人数为60×0.7=42．19．（12分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．（1）求证：四边形AEC1F为平行四边形；（2）求直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值．【解答】解：（1）取CC1的中点H，连接BH，EH，在正方形BCC1B1中，BF∥HC1，BF=HC1，可得BFC1H为平行四边形，即有BH∥FC1，BH=FC1，又AB∥EH，AB=EH，可得四边形ABHE为平行四边形，即有AE∥BH，AE=BH，则AE=FC1，AE∥FC1，可得四边形AEC1F为平行四边形；（2）设A1到平面AEC1F的距离为d，直线AA1与平面AEC1F所成角θ的正弦值为，=a•，由=，可得d•S△AEF即为d•=a•a2，即有d==a，即有直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值为．20．（12分）某种产品的广告费用支出x（千元）与销售额y（10万元）之间有如下的对应数据：（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出销售额y关于费用支出x的线性回归方程．（III）当广告费用支出1万元时，预测一下该商品的销售额为多少万元？（参考值：2×3+4×4+5×6+6×5+8×7=138，22+42+52+62+82=145）【解答】解：（I）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图．（II）∵==5，==5，2×3+4×4+5×6+6×5+8×7=138，22+42+52+62+82=145∴b==0.65∴a=﹣b=5﹣0.65×5=1.75∴回归直线方程为y=0.65x+1.75（III）当x=10时，预报y的值为y=10×0.65+1.75=8.25．即销售额为82.5万元21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°22．（12分）已知椭圆的一个顶点为A1（0，﹣），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离3（1）求椭圆的标准方程；（2）过点M（1，1）的直线与椭圆交于A、B两点，且M点为线段AB的中点，求直线AB的方程及|AB|的值．【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为=1，则右焦点F（，0）由题设=3，解得a2=4，故所求椭圆的方程为=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，=k，可得=1，=1，相减可得：+=0，∴=0，解得k=﹣．∴直线AB的方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），化为x+2y﹣3=0，联立，化为：3x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=2，x1x2=﹣|AB|===．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2015-2016学年吉林省长春外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，2}2．（5分）已知i是虚数单位，则=（）A．B．C．3﹣i D．3+i3．（5分）已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），若∥，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）已知函数y=sin4x﹣cos4x是一个（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数5．（5分）函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）6．（5分）下列命题中正确的个数是（）①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“任意x∉（0，+∞），2x≤1；②命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题；③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p且q为真；④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）已知变量x，y满足：，则z=（）2x+y的最大值为（）A．B．2C．2D．48．（5分）若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3B．4C．5D．69．（5分）若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）10．（5分）函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．或﹣12．（5分）记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（1﹣2sin2）dx=．14．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．15．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线与圆x2+y2=50相交于A，B两点，则|AB|的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=60，a n+1﹣a n=2n，（n∈N*），则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）已知直线过定点P（2，1）．（1）求经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）若过点P的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．19．（12分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}前n项和T n．21．（12分）某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a﹣x）万元（a＞0）．（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．22．（12分）已知函数f（x）=x2+2alnx．（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年吉林省长春外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，2}【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B={0，1，2}，故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，则=（）A．B．C．3﹣i D．3+i【解答】解：．故选：A．3．（5分）已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），若∥，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），∥，∴3cosα=4sinα，则tanα=．故选：C．4．（5分）已知函数y=sin4x﹣cos4x是一个（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【解答】解：∵y=sin4x﹣cos4x=（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，∴T=，利用余弦函数的图象和性质可得此函数为偶函数．故选：B．5．（5分）函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）【解答】解：∵函数f（x）=2x+4x﹣3的图象是连续的，且在定义域R上为增函数，又∵f（）=﹣2＜0，f（）=＞0，故函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（，），故选：A．6．（5分）下列命题中正确的个数是（）①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“任意x∉（0，+∞），2x≤1；②命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题；③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p且q为真；④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“存在x∈（0，+∞），2x≤1；故①错误，②命题“若cosx=cosy，则x=y”的为假命题，则逆否命题也是假命题；故②错误，③若命题p为真，命题￢q为真，则命题q为假命题，则命题p且q为假命题；故③错误，④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．故④正确，故命题中正确的个数为1个，故选：A．7．（5分）已知变量x ，y 满足：，则z=（）2x +y 的最大值为（ ）A ．B ．2C ．2D ．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 设m=2x +y 得y=﹣2x +m ， 平移直线y=﹣2x +m ，由图象可知当直线y=﹣2x +m 经过点A 时，直线y=﹣2x +m 的截距最大， 此时m 最大． 由，解得，即A （1，2），代入目标函数m=2x +y 得z=2×1+2=4． 即目标函数z=（）2x +y 的最大值为z=（）4=4．故选：D ．8．（5分）若（x 6）n 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：由题意，（x 6）n 的展开式的项为T r +1=C n r （x 6）n ﹣r （）r=C n r =C n r令6n ﹣r=0，得n=r ，当r=4时，n 取到最小值5故选：C ．9．（5分）若两个正实数x ，y 满足+=1，且x +2y ＞m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B ．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当=即x=4且y=2时x+2y取最小值8，∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴8＞m2+2m，解关于m的不等式可得﹣4＜m＜2故选：D．10．（5分）函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=（x+2）ln|x|=0得x=﹣2或x=1或x=﹣1，∴该函数由三个零点，排除B；当x＜﹣2时，x+2＜0，|x|＞2，∴ln|x|＞ln2＞0，∴当x＜﹣2时，y=（x+2）ln|x|＜0，排除C，D．故选：A．11．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．或﹣【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．12．（5分）记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵=+1，=，=，∵e≈2.71828，＜ln2＜1，∴b＞a＞c．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（1﹣2sin2）dx=1．【解答】解：（1﹣2sin2）dx=cosxdx=sinx|=1，故答案为：1．14．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．【解答】解：因为====1．故答案为：115．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线与圆x2+y2=50相交于A，B两点，则|AB|的最小值为2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，5）．由图可知，可行域内的点中，A1到原点的距离最大，为，∴|AB|的最小值为2．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=60，a n+1﹣a n=2n，（n∈N*），则的最小值为．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=60，a n+1﹣a n=2n，（n∈N*），∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=60+2+4+…+2（n﹣1）=60+2×=n2﹣n+60，∴==n+﹣1，由n=，n∈N*，得n=8时，取最小值：8+=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）∵•=0，∴AD⊥AC，∴，∵sin∠BAC=，∴…．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，即AD2﹣8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3 …．（6分）由于AB＞AD，∴AD=3…..（7分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，又由，可知，∴=，∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=，∴．…（12分）18．（12分）已知直线过定点P（2，1）．（1）求经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）若过点P的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（1）∵直线过定点P（2，1）且在两坐标轴上的截距相等，设直线方程为：x+y=a，将P（2，1）代入得：a=3，故直线方程是：x+y﹣3=0；（2）由题意设直线的截距式方程为+=1（a，b＞0），∵直线过P（2，1），∴+=1，∴1=+≥2 ，∴ab≥8，当且仅当=即a=4且b=2时取等号，∴△AOB的面积S=ab≥4，∴△AOB面积的最小值为4，此时直线l的方程为+=1，化为一般式方程可得x+2y﹣4=0．19．（12分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，把y=sinx的图象向左平移个单位长度得到y=sin （x+）的图象；再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin （x+）的图象，故f（x）=sin（ωx+φ）=sin（x+x）x+），求得ω=，φ=，即f（x）=sin（x+）．（2）由（1）知f（x）=sin（x+），所以+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，即﹣+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，故函数f（x）的单调增区间为[﹣+4kπ，+4kπ]，k∈Z．（3）当x∈[0，3π]时，x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣1，1]．令t=x+∈[，]，方程f（x）=m有唯一实数根，即函数f（x）=g（t）=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点．结合图象可得，当﹣0.5＜m＜0.5时，g（t）=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点，故m的范围为：﹣0.5＜m＜0.5，或m=1，或m=﹣120．（12分）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0），数列{b n}的公比为q，由已知得：，解得：，∵d＞0，∴d=2，q=2，∴，即；（Ⅱ）∵c n=a n b n=（2n﹣1）2n，∴①，②，②﹣①得：=﹣2﹣23﹣24﹣…﹣2n+1+（2n﹣1）×2n+1==6+（2n﹣3）×2n+1．21．（12分）某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a﹣x）万元（a＞0）．（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，∴x2﹣300x≤0，∵x＞0，∴0＜x≤300；（Ⅱ）生产B产品创造利润12（a﹣x）x万元，设备升级后生产这批A产品的利润12（500﹣x）（1+0.5x%），∴12（a﹣x）x≤12（500﹣x）（1+0.5x%），∴a≤++．∵+≥2=4，当且仅当=，即x=250时等号成立，∴0＜a≤5.5，∴a的最大值是5.5．22．（12分）已知函数f（x）=x2+2alnx．（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f （x ）=x 2+2alnx 的导数为f′（x ）=2x +，由已知f'（2）=1，即4+a=1，解得a=﹣3．（2）f （x ）=x 2﹣6lnx 的导数为f′（x ）=2x ﹣，x ＞0． 由f′（x ）＞0，可得x ＞，f′（x ）＜0，可得0＜x ＜，即有f （x ）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；（3）由g （x ）=+x 2+2alnx ，得g′（x ）=﹣+2x +，由已知函数g （x ）为[1，2]上的单调减函数， 则g'（x ）≤0在[1，2]上恒成立， 即﹣+2x +≤0在[1，2]上恒成立．即a ≤﹣x 2在[1，2]上恒成立．令h （x ）=﹣x 2，在[1，2]上h′（x ）=﹣﹣2x ＜0，所以h （x ）在[1，2]为减函数．h （x ）min =h （2）=﹣， 所以a ≤﹣．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

长春外国语学校2018-2019学年第一学期期中考试高三年级数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“若4πα=，则tan 1α=”的否命题是（ ）A.若4πα≠，则tan 1α≠B.若4πα=，则tan 1α≠C.若tan 1α≠，则4πα≠D.若tan 1α≠，则4πα=2.下列四个方程中有实数解的是（ ）A.02=xB.131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛xC.31.0=xD.33-=-x3.下列命题中，真命题是 （ ）A.sin cos 1.5x x x ∃∈+=R ，B.(0)sin cos x x x π∀∈>，，C.21x x x ∃∈+=-R ，D.(0)e 1x x x ∀∈+∞>+，，4．函数32lg )(2+-=x x x f 的零点位于下列哪个区间（ ） A.)5,4( B.)2,1( C.)3,2( D.)4,3(5.函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是（ ）A. ]2,(-∞B.]2,0[C.]2,1[D.),1[+∞ 6.若函数()y f x =的定义域是[02]，，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 A.[01]，B..[01)，C.[01)(14]，，D.(01)，7.已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是（ ） A.1 B.15 C.35 D.758.设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )A ．73B ．53C ．5D ．3 9.某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 （ ）A.30种B.35C.42D.48种 10.(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是（ ）A.56B.84C.112D.16811.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x ='的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知函数()y f x =对任意的()22x ππ∈-，满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）()()34f ππ-<-()()34f ππ< C.(0)2()3f f π< D.(0)()4f π>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

长春外国语学校2015—2016学年上学期 高三第二次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ｉ卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，集合为（ ） A.B.C.D.2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数()2+31xf x a =+的零点为1，则实数a 的值为（ ）A.2-B.12-C.12D.24．设，则()f x （ ）A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则()2f -=（ ）()sin f x x x =-A.14B.114-C.1D.1-6．下列选项中，说法正确的是 （ ） A.命题“x ∃∈R ，20x x -≤”的否定是“x ∃∈R ，20x x ->” B.命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C.命题“若，则”是假命题D.命题“在中中，若1sin 2A <，则6<A π”的逆否命题为真命题 7．定积分的值为（ ）A. B. C. D. 8．已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=， 若()()xg x f x =，则()1g '=（ ） A.12 B.12-C.32-D.29．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),2-∞-，关于x 的不等式201ax bxx +>-的解集为（ ）A.()()2,01,-+∞B.()(),01,2-∞C.()(),20,1-∞-D.()(),12,-∞+∞10．若向量a ()cos ,sin αα=，b ()cos ,sin ββ=则a 与b 一定满足（ ）A. a 与b 的夹角等于αβ-B.（a +b ）⊥（a -b ）C. a ∥bD. a ⊥b11．将函数() =sin(2-)6f x x π的图象上所有的点向左平移3π个单位（纵坐标不变），则所得图象的解析式是（ ）A. B. C. 5 =sin(2-)6y x π D. =sin(2+)6y x π 12．函数()12sin =--f x x x π的所有零点之和等于（ ）A.4B. 5C. 6D. 7q p ∨q p ∧22bm am ≤b a ≤ABC ∆dx e x x⎰-10)2(e -2e -e e +2x y 2cos -=x y 2cos =第Ⅱ卷（共90分）二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知tan 3x =，则sin 3cos 2sin 3cos x xx x+=- ；14．如图，圆内的余弦函数的图像与轴围成的区域记为(图中阴影部分)，随机向圆内投一个点，则点落在区域内的概率是 ；15．若实数满足,则目标函数的最大值是__________；16． 已知定义在R 上的函数()f x 满足对于任意的x ∈R ，都有()()91f x f x +=+，且[)0,9x ∈时，()2f x x =+，则()2015f 的值为__________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分） 17．（本题满分10分）已知向量a ，b 满足：||1,||6,()2==⋅-=a b a b a ， （1）求向量a 与b 的夹角为； （2）求|2|-a b18. (本题满分12分)222:4O x y π+=cos y x =x M A A M设() =y f x 有是二次函数，方程()f x =0两个相等的实根，且（1）求的表达式； （2）求的图像与两坐标轴所围成图形的面积。