高中数学苏教版必修5章末综合测评1含解析

章末综合测评（一）（时间120分钟，满分160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分．请把答案填在题中的横线上）1．（2015·安徽高考）在△ABC中,AB＝错误!，∠A＝75°，∠B ＝45°,则AC＝________.【解析】∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得错误!＝错误!，即错误!＝错误!,解得AC＝2。

【答案】22．在△ABC中,已知c＝6,a＝4，B＝120°,则b＝________.【解析】由b2＝16＋36－2×4×6cos 120°，得b＝2错误!.【答案】2错误!3．在△ABC中，a＝4，b＝4错误!，A＝30°，则B＝________.【解析】sin B＝错误!＝错误!＝错误!.又a〈b，故B>A，∴B＝60°或120°。

【答案】60°或120°4．在△ABC中，化简b cos C＋c cos B＝________。

【解析】利用余弦定理，得b cos C＋c cos B＝b·错误!＋c·错误!＝a。

【答案】a5．在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,则cos C＝________。

【解析】∵sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c,∴a∶b∶c＝2∶3∶4。

设a＝2k，b＝3k，c＝4k，则cos C＝错误!＝－错误!.【答案】－错误!6．在△ABC中，若A＝60°,b＝16，S△ABC＝220错误!，则a＝________.【解析】由错误!bc sin A＝220错误!，可知c＝55。

又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2 401,∴a＝49.【答案】497．在△ABC中，若sin A＝错误!，a＝10，则边长c的取值范围是________．【解析】∵错误!＝错误!＝错误!，∴c＝错误!sin C,∴0<c≤错误!.【答案】错误!8．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是________．（填序号)【导学号：91730018】（1）a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；（2）b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；（3）a＝5，c＝2，A＝90°，无解；（4）a＝30，b＝25，A＝150°,有一解．【解析】（1）中，∵错误!＝错误!，∴sin B＝错误!＝1，∴B＝90°，即只有一解；（2)中，sin C＝错误!＝错误!,且c〉b，∴C〉B,故有两解；（3)中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝a2－c2＝错误!＝错误!，即有解，故(1）（2）(3)都不正确．所以答案为（4）．【答案】（4)9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________。

.绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．数列的一个通项公式是（ ）0,23,45,67⋯A ．B ． a n =n -1n +1（n ∈N *)a n =n -12n +1（n ∈N *)C ．D ．a n =2（n -1）2n -1（n ∈N *)a n =2n2n +1（n ∈N *)2．不等式的解集是（ ）x -12-x ≥0A ．B ．C ．D ． [1,2](-∞,1]∪[2,+∞)[1,2)(-∞,1]∪(2,+∞)3．若变量满足 ，则的最小值是（ ）x,y {x +y ≥0x -y +1≥00≤x ≤1x -3y A ．B ．C ．D ． 4-5-314．在实数等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ． 8B ． －8C ． ±8D ． 以上都不对5．己知数列为正项等比数列，且，则（ ）{a n }a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4a 2+a 6=A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．数列前项的和为（ ）11111,2,3,4,24816n A ． B ． C ．D ．2122nn n ++21122n n n +-++2122n n n +-+21122n n n +--+7．若的三边长成公差为的 等差数列，最大角的正弦值为ΔABC a,b,c 232的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．1541534213435348．在△ABC 中，已知,则B 等于( )a =2,b =2,A =450A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ． 60°或120°9．下列命题中正确的是( )A ． a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ． a ＞b ⇒a 2＞b 2C ． a ＞b ⇒a 3＞b 3D ． a 2＞b 2⇒a ＞b.10．满足条件，的的个数是 ( )a =4,b =32,A =45∘A ． 1个B ． 2个C ． 无数个D ． 不存在11．已知函数满足：则应满足（ ）f(x)=ax 2-c -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.f(3)A ．B ．C ．D ．-7≤f(3)≤26-4≤f(3)≤15-1≤f(3)≤20-283≤f(3)≤35312．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（ ）a 1,a 2,a 5a2A ． -2B ． -3C ． 2D ． 313．等差数列的前10项和，则等于（）{a n }S 10=15a 4+a 7A ． 3B ． 6C ． 9D ． 1014．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（ ）{a n },{b n }n S n ,T nS nT n=2n3n +1a 3b 3A ．B ．C ．D ． 3547581219第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差={a n }a 7a 4a3d 16．在中，，，面积为，则边长=_________.△ABC A =60∘b =13c 17．已知中，，， ，则面积为_________.ΔABC c =3a =1acosB =bcosA ΔABC 18．若数列的前n 项和，则的通项公式____________{a n }S n =23a n +13{a n }19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________．x -4y +9=020．函数的最小值是 _____________．y =x +4x -1(x >1)21．已知，且，则的最小值是______．x ，y ∈R +4x +y =11x +1y三、解答题22．解一元二次不等式（1） （2）-x 2-2x +3>0x 2-3x +5>0.（1）求边上的中线的长；BC AD （2）求△的面积。

高中数学苏教版必修5 综合练习1第 I 卷 （选择题 共60分）一、 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1.A ．22a b > B ．ac bc > C ．22ac bc > D ．a c b c ->-2. 在△ABC 中，若a = 2 ,23b =030A = , 则B 等于A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或1503. 如果数列{}n a 是等差数列，则A ．16a a +=34a a +B ．16a a +<34a a +C ．16a a + > 34a a +D ．16a a =34a a +4. 不等式21≥-xx 的解集为 A ． )0,1[- B ． ),1[∞+-C ． ]1,(--∞D ． ),0(]1,(∞+--∞5. 在⊿ABC 中，已知ba c b a 2222+=+，则C=A .300 B. 1500 C. 450 D. 13506. 已知：在⊿ABC 中，BC b c cos cos =，则此三角形为 A ． 直角三角形 B. 等腰直角三角形C ． 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形7. 若不等式022>++bx ax 的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a －b 值是 A ．－10 B.－14 C.10 D.148. 观察下面的数阵，容易看出，第n+1行最右边一个数与第n 行最右边一个数满足11n n a a n +=++，则前20行的所有数字之和为12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …A ．22155 B.2110 C.8400 D.443109. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 A. 49 B. 837 C. 1479 D. 24149 10. 若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是A ．4-<aB ．4->aC ．12->aD ．12-<a第 Ⅱ 卷 （非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分．）11. 若21<<-a ，12<<-b ，则a －b 的取值范围是 ．12. 在△ABC 中，BC=2，AC=2，C=1500，则△ABC 的面积为 .13. 设{a n }是各项均为正数的等比数列，前4项之和等于其前2项和的10倍，则该数列的公比为____ __.14. 设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .15. =⨯++⨯+⨯+⨯1091431321211 . 16. 已知奇函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，且f (2)=0，则不等式(x －1)·f (x )＜0的解集是 ．三．解答题：(本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或推证过程．)17. 求不等式组2(1)(2)(2)450x x x x x x -≥+-⎧⎨--<⎩ 的解集。

⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。

, [学生用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1，2，－3，4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n解析：选C.A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．2．有穷数列1，23，26，29，…，23n ＋6的项数是( )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2解析：选C.此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差d ＝3，设3n ＋6是第x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以x ＝n ＋3.故选C.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…， 按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个解析：选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2. 所以a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.4．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190解析：选B.设公差为d ，所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，因为d ≠0，所以d ＝2，从而S 10＝100.5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3C. 3D.32解析：选B.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)， 得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，所以a 20＝a 2＝－ 3.6．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析：选A.设y ＝kx ＋b (k ≠0)，因为f (0)＝1，所以b ＝1.又因为f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)·(13k ＋1)，所以k ＝2，所以y ＝2x＋1.所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2(2＋4＋…＋2n )＋n ＝2n 2＋2n ＋n ＝n (2n ＋3)．故选A.7．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项解析：选C.162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n }为等差数列的实数λ等于( )A ．2B ．5C ．－12 D.12解析：选C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ， 则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27， 因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12. 9．近年来，我国最大的淡水湖鄱阳湖湖区面积逐年减少，江西省政府决定将原3万亩围垦区退垦还湖，计划2013年退垦还湖面积为3 000亩，以后每年退垦还湖面积比上一年增加20%，那么从2013年起到哪一年可以基本完成退垦还湖工作(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 1.2≈0.079 2)( )A ．2015年B ．2016年C ．2017年D ．2018年解析：选D.由题意可知每年退垦还湖面积依次构成一个等比数列，记为{a n }，则首项a 1＝3 000，公比q ＝1＋20%＝1.2，前n 项和S n ＝30 000，由3 000（1－1.2n ）1－1.2＝30 000，得1.2n ＝3，所以n ＝log 1.23＝lg 3lg 1.2≈6，即到2018年可以基本完成退垦还湖工作，故选D. 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058解析：选A.由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝1·（1－28）1－2＝255. 答案：16 25512．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________．解析：因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，所以a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n （n ＋1）2＋1.答案：n （n ＋1）2＋1 13．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________． 解析：因为a n ＋1＝11－a n， 所以a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1 ＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， 所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12. 答案：1214．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，则通项为a n ＝82an 2＋bn的数列{a n }的前n 项和为________．解析：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋a ＋b ，故b ＝2a .因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a 2b ，又b ≠0，故b ＝a 2，所以a 2＝2a ，又a ≠0，所以a ＝2，b ＝4，所以a n ＝82an 2＋bn ＝84n 2＋4n ＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)， 所以{a n }的前n 项和S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1. 答案：2n n ＋115．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6<S 7，S 7>S 8，有下列四个命题：①此数列的公差d <0；②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)解析：因为S 7>S 6，即S 6<S 6＋a 7，所以a 7>0.同理可知a 8<0.所以d ＝a 8－a 7<0.又因为S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，所以S 9<S 6.因为数列{a n }为递减数列，且a 7>0，a 8<0，所以可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②④三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)一个等比数列的前三项依次是a ，2a ＋2，3a ＋3，则－1312是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：因为a ，2a ＋2，3a ＋3是等比数列的前三项，所以a (3a ＋3)＝(2a ＋2)2，解得a ＝－1或a ＝－4.当a ＝－1时，数列的前三项依次为－1，0，0，与等比数列定义矛盾，故a ＝－1舍去．当a ＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，则公比为q ＝32，所以a n ＝－4(32)n －1，令－4(32)n －1＝－1312，即(32)n －1＝278＝(32)3. 所以n －1＝3，即n ＝4，所以－1312是这个数列中的第4项． 17．(本小题满分10分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，{b n }是各项都是正数的等比数列，(1)若a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＝1，且b 2，12b 3，2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)由题意可设{a n }公差为d ，则d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由题意可设{b n }公比为q ，则q >0，由b 1＝1，且b 2，12b 3，2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1， 所以q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N ＋)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N ＋)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.19．(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少(可取1.110≈2.6)?(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ；2年后住房总面积为1.1(1.1a －x )－x ＝1.12a －1.1x －x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x )－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；…10年后住房总面积为1．110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x＝1.110a －1.110－11.1－1x ≈2.6a －16x . 由题意，得2.6a －16x ＝2a .解得x ＝380a (m 2)． (2)所求百分比为a 2－380a ×102a ＝116≈6.3%. 即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.20．(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝3（2a n －11）（2b n －1），数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k 57对一切n ∈N ＋都成立的最大正整数k 的值．解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112， 所以S n ＝12n 2＋112n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式．所以a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)知{b n }是等差数列，由{b n }的前9项和为153，可得9（b 1＋b 9）2＝9b 5＝153， 得b 5＝17，又b 3＝11，所以{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ， 所以b 1＝5，所以b n ＝3n ＋2.(2)c n ＝3（2n －1）（6n ＋3）＝12(12n －1－12n ＋1)， 所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)． 因为n 增大，T n 增大，所以{T n }是递增数列．所以T n ≥T 1＝13. T n >k 57对一切n ∈N ＋都成立，只要T 1＝13>k 57，所以k <19，则k max ＝18.。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）章末综合测评(三)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．若不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，那么a＋b＝.【解析】因为x2－2x－3<0的解集为A＝{x|－1<x<3}，不等式x2＋x－6<0的解集为B＝{x|－3<x<2}，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B＝{x|－1<x<2}，所以x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝2.由根与系数的关系，得a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.【答案】－32．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【解析】设生产产品A x件，产品B y件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．【答案】 216 0003．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是 ． ①y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0；②y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4(x 为锐角)；③已知ab ≠0，a b ＋ba ≥2a b ·ba＝2； ④y ＝3x ＋43x ≥23x ·43x ＝4.【解析】 ①错，右侧不为定值；②错，sin x ＝4sin x ，则sin x ＝2>1；③错，a b 与ba 为负时不成立．【答案】 ④4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b .这两年的平均增长率为x ，则x 与a ＋b2的大小关系为 .【导学号：92862106】【解析】 由题意可知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )≤A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a ＋b 22，∴x ≤a ＋b 2. 【答案】 x ≤a ＋b25．若0≤x ≤1,0≤y ≤2，且2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为 ． 【解析】 由已知作出可行域(如图)，由z ＝2y －2x ＋4，得y ＝x －2＋z 2， 当x ＝1，y ＝1时，z min ＝4. 【答案】 46．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝，x ∈R ，则M ，N 的大小关系为 ．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4， 此时a －2＝1，a ＝3， 而2<a <3，则M >4，∴M >N . 【答案】 M >N7．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是 ．图1【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3.【答案】 －38．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 ．(1)6.5 m ；(2)6.8 m ；(3)7 m ；(4)7.2 m.【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)．【答案】 (3)9．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是 ．【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ， 要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，－m －22>2，解得⎩⎨⎧m 2≥16，m >－5，⇒－5<m ≤－4，m <－2故答案为(－5，－4]． 【答案】 (－5，－4]10．已知等比数列{a n }各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 2＋a 92，Q ＝a 4a 7，则P 与Q 的大小关系是 ．【解析】 ∵{a n }是等比数列， ∴a 2·a 9＝a 4·a 7， ∴a 2＋a 92≥a 2a 9＝a 4a 7.又q ≠1，∴a 2≠a 9， ∴a 2＋a 92>a 4a 7，∴P >Q . 【答案】 P >Q11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是 ．【解析】 f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.【答案】 (－1,3)12．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为 ．【解析】 由题意知y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz＋32＝32＋32＝3，当且仅当x 2＝9z 2时等号成立， 所以y 2xz 的最小值为3. 【答案】 313．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么不等式f (x ＋2)<5的解集是 .【导学号：92862107】【解析】 因为f (x )为偶函数，所以f (|x ＋2|)＝f (x ＋2)， 则f (x ＋2)<5可化为f (|x ＋2|)<5， 即|x ＋2|2－4|x ＋2|<5， (|x ＋2|＋1)(|x ＋2|－5)<0，所以|x ＋2|<5，解得－7<x <3，所以不等式f (x ＋2)<5的解集是(－7,3)． 【答案】 (－7,3)14．设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为 ．【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y ＝－15x ＋z 5，显然当y ＝－15x ＋z5过点A 时取到最大值．此时z ＝4，即y ＝－15x ＋45.由⎩⎨⎧x ＋5y ＝4，y ＝x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23代入y ＝mx 得，23m ＝23，∴m ＝1. 【答案】 1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)解关于x 的不等式：x －ax －a 2<0(a ∈R )． 【解】 原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0. (1)当a ＝0时，原不等式为x 2<0， ∴x ∈∅.(2)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2<0， ∴x ∈∅.(3)当0<a <1时，a >a 2，∴原不等式的解集为{x |a 2<x <a }． (4)当a <0或a >1时，a 2>a ， ∴原不等式的解集为{x |a <x <a 2}．综上，当a ＝0或a ＝1时，不等式解集为∅； 当0<a <1时，不等式解集为{x |a 2<x <a }； 当a <0或a >1时，不等式解集为{x |a <x <a 2}．16．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．【解】 (1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎨⎧k <0，k >66或k <－66，所以k <－66.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－66.17．(本小题满分14分)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求z ＝x －2y 的最大值．【解】 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集点，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)平移直线y＝12x－z2，所以当直线过点()3，－3时z值最大．所以zmax＝3－2×(－3)＝9.18．(本小题满分16分)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，求tan A tan B tan C的最小值.【导学号：92862108】【解】在锐角三角形ABC中，∵sin A＝2sin B sin C，∴sin(B＋C)＝2sin B sin C，∴sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B sin C，等号两边同除以cos B cos C，得tan B＋tan C＝2tan B tan C.∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝2tan B tan C tan B tan C－1.①∵A，B，C均为锐角，∴tan B tan C－1>0，∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C＝tan A tan A－2.又由tan B tan C>1得tan Atan A－2>1，∴tan A>2.∴tan A tan B tan C＝tan2A tan A－2＝(tan A－2)2＋4(tan A－2)＋4tan A－2＝(tan A－2)＋4tan A－2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A－2＝4tan A－2，即tan A＝4时取得等号．故tan A tan B tan C的最小值为8.19．(本小题满分16分)规定：max(a，b，c)与min(a，b，c)分别表示a，b，c中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，试证：(1)max(a，b，c)≥49f(1)；(2)min(a ，b ，c )≤14f (1)．【证明】 由题意知a ，b ，c >0，f (1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac ≥0. (1)若b ≥49f (1)，结论显然成立； 下面证明当b <49f (1)时，结论也成立．记f (1)＝a ＋b ＋c ＝d .，由b 2－4ac ≥0，可知ac ≤b 24<481d 2，而a ＋c ＝d －b >59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac ＝a (a ＋c )>59ad ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －19d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －49d >0，解得a <19d 或 a >49d .若a <19d ，则a ＋c >59d ，c >49d . 因此，必有a >49f (1)或b ≥49f (1)或 c >49f (1)，于是max(a ，b ，c )≥49f (1)． (2)若a ≤14f (1)，结论显然成立；下面证明当a >14f (1)时，结论也成立． 因为b ＋c ＝d －a <34d 且b 2≥4ac >cd ， 所以c ＋cd <c ＋b <34d ， 整理为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －12d <0，解得c <14d .因此，必有a ≤14f (1)或c <14f (1)，于是min(a ，b ，c )≤14f (1)．20．(本小题满分16分)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2016年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2017年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2016年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由． (2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2017年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元，(n ∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最少时使用的天数？【解】 (1)设从2016年1月到2017年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13，由题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝12(a 1＋a 13)，b 7＝b 1·b 13，因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，从而a 7＝12(a 1＋a 13)>a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大． (2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P (n )＝32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4910＋2＋4910＋3＋4910＋…＋n ＋4910n＝32 000＋49n 10＋n (n ＋1)20n＝32 000n ＋n 20＋9920≥232 000n ×n 20＋9920＝1 69920(元)，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800，即日平均耗资最少时使用了800天．。

11. 45°8^3 2 ------313. 40° 14.30^217.60°专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》综合检测、选择题二、填空题三、解答题15. a=亦 + 血,A=105°, C=30°16.略专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》模拟试卷13 ・ 45°14. 5A /215. (V2,A /3)16. 9 17. (A /5, A /13) 1& 厉：3三、解答题19.468m 20 •等腰三角形或直角三角形21.Q = 6, b=5, c=4 22.-23. (I)sin6^-V3 cos^ + —A /3(2)2+-A /3944【选做题】方法1正确.专题二《等差数列、等比数列》综合检测、选择题二、填空题12.713. 1三、解答15.(1) a = 16. (1) a = 2n⑵ = 2x(1-.r")⑵ 到第6年这个县的养鸡业比第1年(3)第2年的规模最13. —14. 2n3三、解答题19. 60 20.略【选做题】(1)40220311023~T~16. ±1617.»(H+1) 11 丄2"18.1 22. 2996na aq(l — q") i_q (i-/(3)592814. h •/?= h 'b. h (n < 17,n e N*)12n1 217-n \7/(兀=1),17.⑴第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只18. 3n -n-l专题二《等差数列、等比数列》模拟试卷一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBCACCCDABD二、填空题专题三《不等关系、一元二次不等式》综合检测、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCCACDACAD二、填空题11. (-8, 8) 12. +oo| 13. -2V2 14. 1821.12 ----- n5三、解答题15. 当时解集为；当时[鯉橐扯<1}a16. 卩，19) 17.半圆直径与矩形的高的比为2 :118. [0, +8)U[-1, 0)专题三《不等关系、一元二次不等式》模拟试卷、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCCBDBACDCB二、填空题13. (-1, 3) 14.(ci,-) a 15-1<6?<116. {—2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}17[-5V2,5^2 ] 18.a {~~二解答题19. [-1, 1]2O.(-2,l)21.(-1, 3)22. 79.94km/h23.4 2 4【选做题】(1)卜 8, ⑵ - ¥，1专题四《二元一次不等式组和简单的线性规划》综合检测一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案DBACCBAAAc%1. 填空题11. -12.5 12. 3, 2, 1113.把ySxl 中的等号去掉，也可把6.r+3y<15中的等号去掉 14.2, 0三、 解答题15. 3 16. -17.派轮船7艘，不派飞机能完成运输任务218.安排中、乙二种柜的日产量分别为4台和8台可获最大利润272元{兀II <兀<a13.0, 114. 1三、解答题15. —1816. 1(Ov*l), a (a 〉l)0<^<1,17.j<2x,18. (0, 5)x < 1.519.2520.(1)⑵最大值为7+3a,最小值为 -1 一2a(° >专题四《二元一次不等式组和简单的线性规划》模拟试卷、选择题21. 每天安排I 级车工6人，II 级车工7人22. 甲、乙钢板各5张 23. 34专题五《基本不等式》综合检测一、选择题— 填空题1-x/2-11 12.360013・714.对22三、 解答题15y[ab16.略17.(1)1⑵7 718.存在，c =—、43专题五《基本不等式》模拟试卷113. A>B 14.215.— 16. -82三、解答题19. 72 20.当a>l时,1, ,^log。

章末综合测评(二）（时间120分钟,满分160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上）1．（2016·江苏高考）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a2，2＝－3，S5＝10,则a9的值是________．【解析】法一：设等差数列｛a n｝的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋错误!d＝10，得a1＋2d＝2,即a1＝2－2d。

所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a错误!＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3,a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20。

法二:设等差数列｛a n｝的公差为d，由S5＝10,知错误!＝5a3＝10，所以a3＝2。

所以由a1＋a3＝2a2,得a1＝2a2－2，代入a1＋a错误!＝－3，化简得a错误!＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1。

公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20。

【答案】202．(2016·全国卷Ⅰ改编）已知等差数列{a n｝前9项的和为27，a10＝8，则a100＝________.【解析】法一：∵{a n}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝错误!（a1＋a9)＝9a5＝27,∴a5＝3。

又∵a10＝8，∴错误!∴错误!∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.法二：∵｛a n}是等差数列，∴S9＝92（a1＋a9）＝9a5＝27,∴a5＝3。

在等差数列｛a n｝中,a5，a10,a15，…，a100成等差数列,且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.【答案】983．已知数列｛a n｝的前n项和为S n＝kn2,若对所有的n∈N＊,都有a n＋1〉a n,则实数k的取值范围是________．【解析】由S n＝kn2,得a n＝k（2n－1)．∵a n＋1>a n，∴{a n｝是递增数列，∴k>0。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝ .【导学号：92862026】【解析】 C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2.【答案】 22．在△ABC 中，已知c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b ＝ . 【解析】 由b 2＝16＋36－2×4×6cos 120°， 得b ＝219. 【答案】 2193．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B ＝ . 【解析】 sin B ＝b sin A a ＝43sin 30°4＝32.又a <b ，故B >A ，∴B ＝60°或120°. 【答案】 60°或120°4．在△ABC 中，化简b cos C ＋c cos B ＝ .【解析】 利用余弦定理，得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a .【答案】 a5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝ . 【解析】 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4. 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，则 cos C ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k ＝－14.【答案】 －146．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，S △ABC ＝2203，则a ＝ . 【解析】 由12bc sin A ＝2203，可知c ＝55.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401， ∴a ＝49. 【答案】 497．在△ABC 中，若sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ． 【解析】 ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ，∴0<c ≤403. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，4038．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是 ．(填序号)【导学号：92862027】(1)a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； (2)b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； (3)a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解； (4)a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解． 【解析】 (1)中，∵a sin A ＝bsin B ， ∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解； (2)中，sin C ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；(3)中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故(1)(2)(3)都不正确．所以答案为(4)．【答案】 (4)9．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝ .【解析】 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解方程，得b ＝5.【答案】 5 10．在△ABC 中，若acos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，那么△ABC 是 三角形． 【解析】 由正弦定理得，sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，即A ＝B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形． 【答案】 等边11．如图1所示，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为．图1【解析】 由三角形内角平分线的性质得|AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|， 故|DB →|＝32. 【答案】 3212．如图2所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为m.图2【解析】 由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000.由正弦定理可知BS sin 15°＝1 000sin 30°，∴BS ＝2 000sin 15°，∴BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°cos 15°＝1 000sin 30°＝500，且DC ＝1 000sin 30°＝500，∴BC ＝DC ＋BD ＝1 000 m.【答案】 1 00013．已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，m ⊥n ，且a ＝2，cos B ＝33，则b ＝ .【解析】 ∵m·n ＝0，∴23sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝0，∵cos A2≠0， ∴tan A 2＝33，∴A2＝30°，∴A ＝60°， ∵a sin A ＝bsin B ，sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63， ∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝43 2.【答案】 43 214．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是 ．【解析】 ∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， 即a 2＋b 2＝32c 2， ∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc .【解】 由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa .又∵b 2＝ac ，A ＝60°， ∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.16．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 17．(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1， 因此b ＝2.18．(本小题满分16分)在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状.【导学号：92862028】【解】 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴2bc cos A ＝－bc ，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)， ∴A ＝2π3.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12. 又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰三角形．19．(本小题满分16分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影．【解】 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. 又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ， 所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.20．(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.图3(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sin[]π－(A＋C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B×sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t＝3537min时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BCsin A＝ACsin B，得BC＝ACsin B×sin A＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。