人教A版高中数学必修四《平面向量的数量积》学案

2.4 向量的数量积1. 预习目标(1)理解两个向量的数量积的概念及其几何意义，掌握两个向量夹角的概念，通过数量积的概念和运算解决有关的几何问题；(2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式；通过平面向量数量积的坐标表示，推出平面上两点之间的距离公式并解决一些问题．2. 预习提纲(1)复习平面向量的加法、减法和数乘运算．(2)阅读课本P76-80，弄清以下内容：①向量的数量积定义；②向量的夹角；③向量的数量积满足下列运算律；④a b ⋅的几何意义；⑤平面向量数量积的坐标表示；⑥平面向量的模及平方的坐标表示；⑦两点间的距离公式；⑧向量的夹角公式；⑨向量垂直的等价条件.(3)阅读课本P76-80例题.例1讲了数量积的计算，直接利用数量积公式a b ⋅=cos a b θ⋅．例2讲了数量积的坐标表示，除了书上的解法，还可以先计算出b a -3、b a 2-这两个向量的坐标表示，在计算它们的数量积． 例3在直线上任取两个，构成一个向量，称为直线的方向向量，本例就是利用求两条直线的方向向量的夹角，间接求直线的夹角．例4用到了分类讨论的数学思想方法．3. 典型例题(1) 平面向量数量积的概念及几何意义向量的数量积是一个数量而不是一个向量.向量夹角的定义强调共起点,对数量积的运算律要熟练掌握. 例1 已知||a =3，||4b =，a 与b 的夹角为32π，求： (1)a ·b ；(2))2()23(+⋅-；(3)22a b -；(4) ||-；(5) |3|a b -. 分析：由条件可获得以下信息：已知向量的模及夹角，所求的问题涉及a b ⋅，22,a b ，还涉及平方差公式、多项式与多项式乘法法则. 解：(1) a b ⋅=6)21(43cos ||||-=-⨯⨯=⋅θ； 2222(2)(32)(2)3443||44||a b a b a a b b a a b b -⋅+=+⋅-=+⋅- 394(6)41661=⨯+⨯--⨯=-；(3)22229167a b a b -=-=-=-；(4)222||()292a b a b a a b b -=-=-⋅+=-=；(5)|3|a b -229681a a b b =-⋅+=+=点评：此类题目要充分利用有关的运算法则转化为数量积的问题，特别灵活运用22a a =.尤其是求解模问题是一般利用2a a =转化为求模的平方. 例2 (1)设|a |=12，|b |=9 ，a ⋅b =-542 求a 与b 的夹角θ；(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝4，||＝2．如果向量＋k 与5＋垂直，求实数k 的值；(3)已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求,a b 的夹角的大小．分析：考查向量数量积公式的逆用及向量垂直的条件.解：(1)cos θ=||||a b a b ⋅⋅=22912254-=⨯- ∵0︒＜θ＜180︒ ∴θ=1350．(2)由题意a b ⋅=|a |⋅|b |cos120°=4×2×(-21)=-4， ∵(＋k )⊥(5＋)，∴(＋k b )⋅(5＋)=0，即 52＋(5k ＋1) a b ⋅＋k 2＝０，∴5||2＋(5k ＋1)⋅(-4)＋k ||2＝0， ∴5×16-(20k ＋4)＋4k =0，∴k =419． (3)因为3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，(3)(75)0(4)(72)0a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎪∴⎨-⋅-=⎪⎩，2222716150(1)73080(2)a ab b a a b b ⎧+⋅-=⎪⎨⎪+⋅+=⎩ (1)-(2)得：22a b b ⋅=(3)将(3)代入(1)得22a b =即a b =． 22112cos 2b a b a b bθ⋅∴=== 又∵0︒＜θ＜180︒ ， ∴θ=600．点评：求向量夹角的问题应用数量积的变形公式cos a ba b θ⋅=，故应求两个整体a b ⋅与a b ⋅；(2)转化垂直条件建立参数k 的方程，此题中利用例1数量积计算公式及重要性质22a a =；本题(3)中为求两整体或寻求两者关系，转化条件解方程组，特别注意向量夹角范围．例3 已知向量a =(4，-2)，b ＝(6，-3)，记a 与b 的夹角为θ．求：(1)a b ⋅；(2)θ的大小；(3)|2a -3b |；(4)(2a -3b )⋅(a ＋2b )．分析：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+，cos θ222221212121y x y x y y x x +⋅++解：(1)a b ⋅＝4×6＋(-2)×(-3)＝30；(2)cos θ||||b a ⋅1=，又因为[]0,θπ∈，所以θ=0；(3)方法一：|2a －3b |=＝])3(6[9)]3)(2(64[12])2(4[42222-++--+⨯--+＝5512540536080==+-；方法二：232(4,2)3(6,3)(8,4)(18,9)(10,5)a b -=---=---=-|23a b -==(4)方法一：(2－3)⋅(＋2)=22＋⋅－62=2×[42＋(-2)2]＋[4×6＋(-2)(-3)]-6[62＋(-3)2]=40＋30-270＝-200． 方法二：23a b -=(-10，5)，a ＋2b =(4，-2)+2(6，-3)=(16，-8) (23a b -)⋅(＋2)=(-10，5)⋅(16，-8)= -160-40= -200．点评：此类问题是有关向量数量积的坐标运算，在灵活应用基本公式的前提下要认真细心，特别注意向量夹角的范围．例4 在ABC ∆中,120,2,1,BAC AB AC ︒∠===D 是边BC 边上一点,DC =2DB ,求AD BC ⋅． 分析：若由定义求解则要求解三角形，计算比较复杂，所以，思路一：转化为AB 与AC 的内积计算．思路二：建系利用坐标运算．解：方法一：1()()()()3AD BC AB BD AC AB AB BC AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- =22118[2][121cos12024]333AC AB AC AB ο+⋅-=+⨯⨯-⨯=- 方法二：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则(0,0)A ,(1,0)C ,(B -,(2,BC =,由13BD BC =,设(,)D x y ,则2133x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得D (13-) 28233AD BC ⋅=--=-． 4. 自我检测(1)已知63a =,1b =,9a b ⋅=-,则向量a 与向量b 的夹角θ＝ ．(2)已知4a =,5b =,当(1)//a b ；(2)a b ⊥；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．(3)已知(1,)a m =与(,4)b n =-共线，且(2,3)c =与b 垂直，则m +n 值为 ．(4)已知(3,2)a =--,(4,3)b =--,则3a 2－2a b ⋅等于 ． (5)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的 心．三、 课后巩固练习A 组 1．已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅= ．2．已知|a |＝|b |＝1，且(2a -b )⋅(3a －2b )＝8，则a 与b 的夹角为 ．3．在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅= ．4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则有下列命题： ①(a ⋅b )c －(c ⋅b )a ＝0 ； ②|a |－|b | < |a －b |； ③(b ⋅)a －(c ⋅a )b 与不垂直； ④(3a ＋2b )⋅(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． 这些命题中，是真命题的有 ．5．在△ABC 中，若AB ⋅AC <0，则△ABC 的形状一定是_________三角形．6．已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则b = ． 7．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3, ||BC =4, |CA |=5，则A B B C B CC A C A A B ⋅+⋅+⋅的值等于________． 8．在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于________．9．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA⋅=⋅=⋅,则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 ．(选用重心、外心、垂心、内心填空 ) 10．已知向量OA =(－1，2)，OB =(3，m)，且OA ⊥AB ，则m 的值为__ __．11．已知a +b =(2，-8)，a -b =(-8，16)，则a b ⋅＝______，a 与b 的夹角的余弦值是_______．12．已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b =_______． 13．已知向量(1,2)a =，(2,3)b =-．若向量c 满足()c a +∥b ，()c a b ⊥+，则c =______．14．已知点A (-2，-3)，B (19，4)，C (-1，-6)，则△ABC 的形状是是 ．15．设a ＝(x ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角是钝角，则x 的取值范围是 ．16．已知a =(-3，2)，b =(1，2)，c =a +k b ，d =3a －b ，若c //d ，则k =_____；若c ⊥d ，则k =__________．B 组17．已知1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且a ＝31e ＋22e ，b ＝－31e ＋42e ，求a b ⋅． 18．设|a |=2，|b |=1，且a 与b 的夹角为45︒，向量x =a +b ，y =a -b ，试求x 与y 的夹角的余弦值．19．已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋2b |的值．20．已知向量,的夹角为60°,且(＋3)⊥(7－5)，求证：(－4)⋅(7－2)＝0．21．设向量＝(3，1)，向量＝(－1，2)，向量⊥，向量//，若＋＝，求D 的坐标(其中O 为坐标原点)．D C A B22．如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=， 4AB BD BD DC ⋅+⋅=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，则()AB DC AC +⋅的值为__________． 23．在平面四边形ABCD 中，若6AC =，4BD =，则()()A B D C A C B D +⋅+的值为 ．24. 如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是__ __.25．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA =6，MD NC ⋅的值是____________． 26．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,090ADC ∠=,2,AD =上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.27.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________;DE DC ⋅的最大值为________.C 组28．直角坐标系xOy 中，i,j 分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若2,3AB AC k =+=+i j i j ，则k 的可能值个数是 ．29．设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ⋅b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ．30．设a ，b ，c 是单位向量，且a b ⋅＝0，则()()a c b c -⋅-的最小值为 ．31．(1)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是 ．(2).在平行四边形ABCD 中,3A π∠=, 边,AB AD 的长分别为2、1. 若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN ⋅的取值范围是_________ .32. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则a b = .33．如图，设向量a 与b 的夹角为60°，且|a |>|b |．是否存在满足条件的a ，b ，使|a +|＝2|a -b |？请说明理由．34．在直角ABC ∆中，已知BC =a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ 与BC 的夹角取何值时，BP CQ ⋅的取值最大？并求出这个最大值．。

§2.4平面向量的数量积教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量错误！嵌入对象无效。

与非零向量错误！嵌入对象无效。

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使错误！嵌入对象无效。

=λ错误！嵌入对象无效。

.2．平面向量基本定理：如果错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量错误！嵌入对象无效。

，有且只有一对实数λ1，λ2使错误！嵌入对象无效。

=λ1错误！嵌入对象无效。

+λ2错误！嵌入对象无效。

3．平面向量的坐标表示分别取与错误！嵌入对象无效。

轴、错误！嵌入对象无效。

轴方向相同的两个单位向量错误！嵌入对象无效。

、错误！嵌入对象无效。

作为基底.任作一个向量错误！嵌入对象无效。

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数错误！嵌入对象无效。

、错误！嵌入对象无效。

，使得错误！嵌入对象无效。

把错误！嵌入对象无效。

叫做向量错误！嵌入对象无效。

的（直角）坐标，记作错误！嵌入对象无效。

4．平面向量的坐标运算若错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

，则错误！嵌入对象无效。

错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

.若错误！嵌入对象无效。

，错误！嵌入对象无效。

向量的数量积教材分析：本节课是高中数学必修4第二章第四节内容，是在学习向量的加法、减法、数乘运算基础上介绍的另一种重要的运算。

平面向量的数量积是平面向量这一章的核心内容，是解决代数与几何问题的一个重要工具，同时也为空间向量数量积的学习奠定基础。

教学目标：知识与技能：（1）理解向量数量积的定义；（2）掌握向量数量积的性质和运算律；.（3）会应用数量积解决向量的模、夹角、垂直、共线等问题。

过程与方法：通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；情感与态度：通过数量积的性质及运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

教学重难点：重点：向量数量积的定义及运算律.难点：向量数量积运算律的理解；向量数量积在解决向量模、夹角等问题的应用.教学方法：小组讨论，学生成果展示教学用品: 三角板，多媒体，粉笔教学过程：（一）课前自主学习1. 向量夹角的概念：__________________________________2. 向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ规定：0与任一向量的数量积为0，即0=⋅a练习:判断正误，并简要说明理由：（1）a ⋅b 是向量吗？ （ ）（2）a ⋅b 一定是非负实数吗？ （ ）（3）00=⋅a ,00=a . ( )（4）若a =0或b = 0，有a ⋅b = 0 ( )（5）若a ⋅b = 0，则a = 0或b = 0 ( )（6）若a ≠ 0且b ≠ 0，则a ⋅b ≠ 0 ( )3.向量数量积的性质：小组讨论：向量的数量积有哪些性质？利用这些性质可以解决哪些问题?（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；（3）cos θ =||||a b a b ⋅； （4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |. 4.向量数量积的运算律： （１）交换律：_________________________________________（２）对实数的结合律：__________________________________（３）分配律：__________________________________________思考：)()(c b a c b a ⋅=⋅对吗？（二）课堂讲练互动例1.已知向量a 与b 的夹角为θ，（132== ，分别在下列条件下求a ⋅b ：① θ=135° ② b a ⊥ ③ a ∥b(2) 2||=a ，3||=b , 3=⋅b a , 求θ.(3) 3||=b , 3-=⋅b a , θ=120°,求||a .思考:如何由数量积求夹角及模? cos θ =||||a b a b ⋅ , a b a b cos ⋅=θ.例2.32== ，a 与b 的夹角为π32，求： （1）)3()2(b a b a +⋅- (2) |a +b | (3) |a -b |.例3.△ABC 中， ||3AB =，||4BC = ，||5AC =，求：(1) BC BA ⋅ (2) ()AB BC CA +⋅ (3) AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅.变：△ABC 中，若0>⋅CA AB ，判断三角形的形状.（三）反馈练习 1设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝2.若||||a b a b +=-，则a b ⋅=_____________.3. 2145=+==，求向量a 与b 的夹角.（四）课堂小结问题一：向量数量积的概念包括哪些主要内容？问题二：说出向量数量积的性质及运算律。

复习课:平面向量的数量积一、教学分析向量是近代数学基本和重要的数学概念之一，有着极其丰富的实际背景，它具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁。

它能与中学数学中许多教学内容许多主干知识相结合，形成知识交汇点。

而且初中课本里已经对平面向量做了简单的介绍，再次将平面向量坐标表示引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。

本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量数量积的应用；课堂中也很好的融入了数形结合的数学思想和化归思想。

二、教学目标1.掌握平面向量数量积的概念，回顾梳理与平面向量数量积相关的知识点。

2.通过体验、归纳，总结求解平面数量积的方法，同时提高对题目的反思重解能力。

3.通过平面向量数量积的应用，提高分析问题解决问题的能力。

三、教学重点平面向量数量积概念的掌握。

四、教学难点应用数量积解决问题。

五、学生学情分析1．知识方面：学生已完成了平面向量这一章知识内容的学习，并已能运用平面向量的知识解决一些简单的向量几何问题，但是还不能融会贯通地综合理解运用知识，尤其知识的迁移能力还不够。

同时整章的知识脉络还没完全成型。

因此，本节复习课对现阶段的学生来说尤为重要。

2．能力方面：因为刚刚完成向量部分的学习，对于向量的相关知识内化的还不够完善。

部分学生解题时数形结合能力弱，但是由于学生的基础较好，所以大部分学生的求知欲和学习主动性较高。

3．心理方面：学生已具备了一定的归纳知识的意识和能力，而且现阶段学生表现欲也很强，本节课的教学设计正好符合高一学生的这个心理特征。

六、教学过程1、知识回顾1．完成以下问题（1）已知等边△ABC 的边长为3，则=⋅AC AB .(29) （2）已知向量(1,2),(,1),a b x ==且a b ⊥,则x = -2（3）判断下列说法正确的是①22a a = （ √ ） ②若0a b ⋅=则00a b ==或 （ X ） ③若0,,b a b c b a c ≠⋅=⋅=则 （ X ） ④若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，对任意向量,,a b c 都成立 （ X ）2.通过以上问题的解决，引出课题，并对以下知识进行回顾梳理。

平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。

掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。

2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。

3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。

4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。

三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。

2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。

b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。

c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。

3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。

b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。

c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。

4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。

b. a · b = |a| * |b| * cosθ。

5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。

b. |a| = √(a · a)。

四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。

名师精编 优秀教案高中数学人教版必修4： 2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1、知道平面向量数量积的含义及其物理意义；2﹑知道平面向量数量积积与投影的关系；3、会运用平面向量的数量积及其运算律.【重点难点】▲重点：向量数量积的定义及运算律▲难点：数量积的应用【知识链接】1、 向量的线性运算；2、向量),(11y x a =，),(22y x b =共线01221=-⇔y x y x .【学习过程】阅读课本第103页到第105页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:平面向量数量积的物理背景及其含义问题1﹑物体在力F 作用下产生位移S ，那么力F 所做的功_________=W .力和位移是矢量，功是标量，类比我们引入两个向量的数量积的概念： 已知两个非零向量a 与b ，我们把___________叫做a 与b 的数量积,记作a b ∙，即________ _________,其中θ是与的夹角.问题2、请叙述投影的定义.问题3、由投影的定义，你能叙述∙的几何意义吗？问题4﹑设与是非零向量则：（1）______⇔⊥；（2）当a 与b 同向时，b a ∙=_____________；当a 与b 反向时，b a ∙=_______________.特别地∙=_____________;名师精编 优秀教案（3； （4）=θcos.问题6、尝试用数量积的运算律证明下列等式：（1）()2222a ba ab b +=+∙+；（2）()()22a b a b a b +∙-=-；例15=2=，与的夹角为 120，求()()23a b a b +∙-的值.知识点2: 平面向量数量积的坐标表示，模，夹角阅读课本第106页到107页的内容，尝试回答以下问题：问题1、已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 与b 的坐标表示b a ∙呢？（提示：j y i x a 11+=，j y i x b 22+=）问题2﹑由问题1，若),(y x a ==____=_________.问题3、如果),(11y x =，),(22y x =，θ是与的夹角，则_____cos =θ.例2、在ABC ∆中，已知)2,1(-A ，)1,3(-B ，)2,5(C ，求BAC ∠∙cos ,.名师精编 优秀教案【基础达标】A1、已知8,6,p q ==p 和q 的夹角是60︒，求p q ∙.A26=，为单位向量，当与之间夹角θ分别为 135,90,45时，分别求出在方向上的投影.B3、已知）（3,2a =，）（4,2b -=，）（2,1c --=，求b a ∙，）（）（b a b a -∙+，)(c b a +∙，2)(+.B44=3=，61)2)(32(=+-，求∙的夹角θ.C5、在ABC ∆中，设b CA a BC c AB ===,,，且a c c b b a ∙=∙=∙，试判断ABC ∆的形状.名师精编 优秀教案D6、已知∙-==，求与+的夹角【小结】【当堂检测】A1、已知∆ABC 中，5,8,60BC AC C ︒===,求BC CA ∙.B2、求证：A(1，0)，B(5，-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是名师精编优秀教案。

⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案 ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼀】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ， 则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼆】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学⼯具 投影仪 教学过程 ⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。

第3课时平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和b，过O点作＝，＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与b的．当θ＝0°时，与b；当θ＝180°时，与b；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与b，它们的夹角为θ，则数量叫做与b的数量积（或内积），记作·b，即·b＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，b＝(x2, y2)，则·b＝．3．向量的数量积的几何意义：|b|cosθ叫做向量b在方向上的投影(θ是向量与b的夹角)．·b的几何意义是，数量·b等于．4．向量数量积的性质：设、b都是非零向量，是单位向量，θ是与b的夹角．⑴·＝·＝⑵⊥b⑶当与b同向时，·b＝；当与b反向时，·b＝．⑷cosθ＝．⑸ |·b|≤5．向量数量积的运算律：⑴·b＝；⑵(λ)·b＝＝·(λb)⑶ (＋)·c＝例1. 已知||＝4，|b|＝5，且与b的夹角为60°，求：(2＋3b)·(3－2b)．解:(2＋3b)(3－2b)＝－4变式训练1.已知|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝5，求|2a－3b|的值．解:56例2. 已知向量＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<． (1) 若a ⊥b ，求θ；(2) 求|＋b |的最大值．解：(1)若⊥，则0cos sin =+θθ即1tan -=θ 而)2,2(ππθ-∈，所以4πθ-= (2))4sin(223)cos (sin 23πθθθ++=++=+ 当4πθ=时，+的最大值为12+变式训练2：已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．证明：222222()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+⋅-=-=+-+=a b ∴+ 与a b -互相垂直（2）k a →+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=++,a k →-(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=--, 21k a b k →+=+21a kb k →-=+,=cos()0βα-=，2πβα-= 例3. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC 是哪类三角形．解:设BC 的中点为D ，则(-)(2-+)＝0⇒2·＝0⇒BC ⊥AD ⇒△ABC 是等腰三角形.变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，则△ABC 的形状是 . 解: 直角三角形.提示：(1,1),(3,3),0,AB AC AB AC AB AC ==-⋅=⊥例4. 已知向量m ＝(cosθ, sinθ)和n ＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|＝528，求cos(82πθ+)的值.解:+＝(cos θ－sin θ＋2, cos θ＋sin θ)由已知(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝25128 化简：cos 257)4(=+πθ 又cos 225162)4cos(1)82(=++=+πθπθ ∵θ∈(π, 2π) ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ<0 ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ＝－54 变式训练4.平面向量13(3,1),(,22a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3)x a t b =+-,,y ka tb =-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =.解：由13(3,1),(,22a b =-=得0,||2,||1a b a b ⋅=== 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +-⋅-+=-+⋅--⋅+-=33311(3),()(3)44k t t f t t t =-=- 角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意a ·b 与ab 的区别．a ·b ＝0≠＞a ＝，或b ＝．3．应根据定义找两个向量的夹角。

一：学习目标1．理解平面向量数量积的概念、两向量夹角的概念及其取值范围，学会运用概念求两个向量的数量积。

2．会解有关两向量平行及垂直的问题；3．学会运用向量数量积的性质解决有关问题。

二、学习重点、难点重点：平面向量数量积的概念，性质及运算律。

难点：平面向量数量积的重要性质及运算律的理解和运用三：学习过程问题1：我们已经学过了向量的哪些运算？运算的结果有什么特点？向量与向量之间有没有乘法运算呢？运算的结果有什么特点？问题2：物理课中，物体所做的功的计算方法：||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）从求功的运算中，你能抽象出什么样的数学运算？问题3：如何定义两向量的数量积？零向量有没有数量积？应该如何定义？问题4：对于公式中的两个非零向量的夹角θ是如何规定的？思考：若两个向量的起点不同呢？问题5：根据向量的数量积的定义你还能得出它有哪些性质？（1）⇔⊥→→b a（2）当→a 与→b 同向时，→→⋅b a = 当→a 与→b 反向时，→→⋅b a = 特别地，⋅→a →a = 或→a =（3）=θcos（4）当→a 与→b 夹角为锐角时，满足什么条件？（5）当→a 与→b 夹角为钝角时，满足什么条件？练习 1、判断下列说法是否正确：（1）向量的数量积可以是任意实数（2）若→a =0，则对任意向量→b ，有→→⋅b a =0（3）若0≠→a ，则对任意非零向量→b ，有0≠⋅→→b a（4）如果0>⋅→→b a ，那么→a 和→b 的夹角为锐角（5）若0≠→a ，0=⋅→→b a 则0=→b（6）若0≠→b →→⋅b a =→→⋅c b 则=→a →c2、已知向量→a 和→b 的夹角为θ，→a =2，→b =3，分别在下列条件下求→→⋅b a（1）0135=θ （2）→a ||→b （3）→→⊥b a问题6：两个实数的运算满足哪些运算律？类比到向量，两个向量的数量积满足怎样的运算律？问题7：三个不共线的向量的数量积是否满足结合律？你能说明理由吗？四、阅读课本77页链接了解→→⋅b a 的几何意义。