【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：11.4 离散型随机变量及分布列

数列（二）(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )．A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1±2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2(a 7＋a 8)a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案 C2．设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则 ( )．A.a 4S 4＝a 6S 6 B.a 4S 4>a 6S 6C.a 4S 4<a 6S 6D.a 4S 4≤a 6S 6解析 由题意得q >0，当q ＝1时， 有a 4S 4－a 6S 6＝14－16>0，即a 4S 4>a 6S 6； 当q ≠1时，有a 4S 4－a 6S 6＝a 1q 3(1－q )a 1(1－q 4)－a 1q 5(1－q )a 1(1－q 6)＝q 3(1－q )·1－q 2(1－q 4)(1－q 6)＝q 31＋q 2·1－q1－q 6>0，所以a 4S 4>a 6S 6.综上所述，应选B.答案 B3．(2013·广东六校联考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )．A ．2B ．4C ．8D ．16解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.答案 D4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的取值为( )．A ．5B ．6C ．4D ．7解析 由S 10>0，S 11<0，知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5，选A. 答案 A5．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是( )．A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 13解析 若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .由a 2＋a 6＋a 10＝3a 6为常数，则a 6为常数，∴S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11a 6为常数．答案 B6．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项等于( )．A ．145B ．203C ．109D ．29解析 因为等差数列共有奇数项，项数为2n ＋1，所以S 奇＝(n ＋1)a 中，S 偶＝na 中，中间项a 中＝S 奇－S 偶＝319－290＝29. 答案 D7．已知数列{a n }的首项a 1＝1，并且对任意n ∈N *都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N *)为坐标的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( )．A ．a n ＝n 2＋1B ．a n ＝n 2C ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n解析 由题意，得S n ＝12a n (a n ＋1)， ∴S n －1＝12a n －1(a n －1＋1)(n ≥2)． 作差，得a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1)， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0. ∵a n >0(n ∈N *)，∴a n －a n －1－1＝0， 即a n －a n －1＝1(n ≥2)．∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝n (n ∈N *)． 答案 D8．在等差数列{a n }中，若3a 5＝8a 12>0，S n 是等差数列{a n }的前n 项之和，则S n取得最大值时，n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析 因为在等差数列中，3a 5＝8a 12，所以5a 5＋56d ＝0，又因为a 5>0，所以a 1>0，d <0且d ＝－576a 1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝a 1152(157n －5n 2)，当n ＝15.7时，S n 取得最大值，因为n ∈N *，所以S n 取得最大值时n ＝16. 答案 C9．如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝( )．A ．4 016B ．1 004C ．2 008D ．2 012解析 由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，所以f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝2×1 006＝2 012. 答案 D10．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n *0，则数列{a n }为 ( )．A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列解析 由题意知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0]n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，显然数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列；又函数y ＝x ＋1x 在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n }为递增数列． 答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 即3q 2－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13. 答案 1312．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析 由a n ＝2n －7≤0，得n ≤72，即a i ≤0(i ＝1,2,3)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，易得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n －7n ＝n 2－6n .所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝－2S 3＋S 15＝－2×(－9)＋135＝153. 答案 153 13．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________． 解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9. 答案 －914．在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________. 解析 ∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2)．两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒a n ＋1a n ＝43(n ≥2)⇒n ≥2时，数列{a n }是以43为公比，以a 2为首项的等比数列，∴n ≥2时，a n ＝a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2. 令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝13， ∴a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2(n ≥2)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝113⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥215．(2013·南通模拟)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②{(－1)n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①正确，因为a 2n －a 2n ＋1＝p ，所以a 2n ＋1－a 2n ＝－p ，于是数列{a 2n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2kn －a 2kn ＋k ＝(a 2kn －a 2kn ＋1)＋(a 2kn ＋1－a 2kn ＋2)＋(a 2kn ＋2－a 2kn ＋3)＋…＋(a 2kn ＋k －1－a 2kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．答案 ①②③。

弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(四) 立体几何综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考新课标全国卷)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD . (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．2．(2014·成都市诊断检测)如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点，EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线． (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)当平面DAB 与平面CA 1B 1所成锐二面角的余弦值为2626时，求DC 1的长．3．(2013·高考辽宁卷)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB ⊥BC，O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．5．(2014·南昌市模拟)如图是多面体ABC－A1B1C1和它的三视图．(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1，若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．6．(2014·郑州市质量检测)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E 分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′－BCDE.(1)在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；(2)当四棱锥A′－BCDE的体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．大题规范练(四)1．解：(1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(4分) (2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1，1，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)．(6分) 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.(8分)可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0，可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.(12分) 2．解：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1. 又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ， ∴EF ∥AB .(2分)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C . ∴EF ⊥A 1C .(6分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 设C 1D ＝t (t ＞0)．则B (1，0，0)，C (0，2，0)，D (0，2，2＋t )，A 1(0，0，2)，B 1(1，0，2)．∴A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1C →＝(0，2，－2)． 设平面CA 1B 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0n ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝1，∴n ＝(0，1，1)．同理，可求得平面DAB 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－2t ＋2.(9分) 由|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－2t ＋22× 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋22＝2626，得t ＝1或t ＝－23(舍去)． ∴DC 1＝1.(12分)3．解：(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC .所以平面PBC ⊥平面PAC .(4分)(2)解法一：过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图(1)，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(6分) 在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为PA ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)．(8分) 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0.所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)．因为AP →＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，(10分)不妨令x 2＝1，则n 2＝(1，3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图(1)知二面角C －PB －A 为锐角，故二面角C －PB －A 的余弦值为64.(12分) 解法二：如图(2)，过C 作CM ⊥AB 于M ，因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA ⊥CM .(6分)又因为PA ∩AB ＝A ，且PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CM ⊥平面PAB . 过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ，由三垂线定理得CN ⊥PB ，所以∠CNM 为二面角C －PB －A 的平面角．(8分) 在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32.在Rt △PAB 中，由AB ＝2，PA ＝1，得PB ＝ 5.因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，所以MN1＝325，所以MN ＝3510.所以在Rt △CNM 中，CN ＝305，所以cos ∠CNM ＝64，所以二面角C －PB －A 的余弦值为64.(12分) 4．解：(1)∵AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，且O 为AC 中点，∴A 1O ⊥AC . 又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，A 1O ⊂平面A 1AC ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(4分)(2)连接OB ，如图，以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B (1，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，0, 3)，A (0，－1，0)．∴A 1C →＝(0，1，－3)，令平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AA 1→＝n ·AB →＝0.而AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(1，1，0)，可求得一个法向量n ＝(3，－3，3)，∴|cos 〈A 1C →，n 〉|＝|n ·A 1C →||n |·|A 1C →|＝62×21＝217，故直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值为217.(8分) (3)存在点E ，且E 为线段BC 1的中点． 取B 1C 的中点M ，从而OM 是△CAB 1的一条中位线，OM ∥AB 1，又AB 1⊂平面A 1AB ，OM ⊄平面A 1AB ，∴OM ∥平面A 1AB ，故BC 1的中点M 即为所求的E 点．(12分)5．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (－2，0，0)，C (0，－2，0)，C 1(－1，－1，2)，则CC 1→＝(－1，1，2)，A 1C 1→＝(－1，－1，0)，A 1C →＝(0，－2，－2)．(1分)设E (x ，y ，z )，则CE →＝(x ，y ＋2，z )，EC 1→＝(－1－x ，－1－y ，2－z )．(3分)设CE →＝λEC 1→，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－λx y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz则E ⎝⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·A 1C 1→＝0BE →·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE →＝2EC 1→，使BE ⊥平面A 1CC 1.(6分) (2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0m ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0－2y －2z ＝0， 取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1，1)，(8分)而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，(11分)故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.(12分) 6．解：(1)点F 为棱A ′B 的中点．证明如下：取A ′C 的中点G ，连接DG ，EF ，GF ，则由中位线定理得DE ∥BC ，DE ＝12BC ，且GF ∥BC ，GF ＝12BC .(3分)所以DE ∥GF ，DE ＝GF ，从而四边形DEFG 是平行四边形，EF ∥DG . 又EF ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，故点F 为棱A ′B 的中点时，EF ∥平面A ′CD .(5分) (2)在平面A ′CD 内作A ′H ⊥CD 于点H ，⎭⎪⎬⎪⎫DE ⊥A ′DDE ⊥CD A ′D ∩CD ＝D ⇒DE ⊥平面A ′CD ⇒DE ⊥A ′H ， 又DE ∩CD ＝D ，故A ′H ⊥底面BCDE ，即A ′H 就是四棱锥A ′－BCDE 的高． 由A ′H ≤AD 知，点H 和D 重合时，四棱锥A ′－BCDE 的体积取最大值．(7分) 分别以DC ，DE ，DA ′所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A ′(0，0，a )，B (a ，2a ，0)，E (0，a ，0)，A ′B →＝(a ，2a ，－a )，A ′E →＝(0，a ，－a )．(9分)设平面A ′BE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′B →＝0m ·A ′E →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2ay －az ＝0ay －az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －z ＝0y ＝z ， 可取m ＝(－1，1，1)．同理可以求得平面A ′CD 的一个法向量n ＝(0，1，0)． 故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－1×0＋1×1＋1×03×1＝33，故平面A ′CD 与平面A ′BE 夹角的余弦值为33.(12分)。

弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(三) 数列综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .2．已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、32a 2、a 2成等差数列．(1)求a n ；(2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求不等式T n －b n ＞0的解集．3．(2014·济南市模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝(3n－1)n2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)nλ＜T n对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．5．(2014·辽宁省五校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n (其中p为非零常数，n ∈N *)． (1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n ；(3)当a ＝1时，令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .6．(2013·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n＜74.大题规范练(三)1．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1.① 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.②(4分) (2)由题意知T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n ∈N *.(6分)所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .(8分)两式相减得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n， 整理得R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n ＋1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.(12分)2．解：(1)∵4a 1、32a 2、a 2成等差数列，∴4a 1＋a 2＝3a 2，即4a 1＝2a 2，∴q ＝2.(2分) 则S 6＝a 1（1－26）1－2＝21，解得a 1＝13，∴a n ＝2n －13.(5分)(2)由(1)得－a 1＝－13，∴b n ＝2＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝7－n 3，T n ＝2n ＋n2(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13n －n 26，(9分)∴T n －b n ＞0，即－（n －1）（n －14）6＞0，解得1＜n ＜14(n ∈N *)，故不等式T n －b n ＞0的解集为{n ∈N *|1＜n ＜14}．(12分) 3．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)， 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1.(4分)∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(6分) (2)∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，(8分)∴c n ＝3n 3n ＋1＝n3n ，(9分) ∴c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1＜0，(10分) ∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，(11分)即c n ＋1＜c n ≤13.(12分)4．解：(1)由题知，1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝3a n＋1， ∴1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，∴1a n ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12·3n －1＝3n2， ∴a n ＝23n－1.(4分) (2)由(1)知，b n ＝(3n－1)·n2n ·23n －1＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，T n ＝1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋()n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，(6分) 两式相减得，12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.(8分) ∵T n ＋1－T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋32n －⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1＝n ＋12n ＞0，∴{T n }为递增数列．①当n 为正奇数时，－λ＜T n 对一切正奇数成立， ∵(T n )min ＝T 1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1； ②当n 为正偶数时，λ＜T n 对一切正偶数成立， ∵(T n )min ＝T 2＝2，∴λ＜2. 综合①②知，－1＜λ＜2.(12分)5．解：(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n.(1分)令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列．(3分) (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列， ∴c n ＝c 1·pn －1＝a ·pn －1，即a n ＋1a n＝ap n －1.(4分) 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(ap n －2)×(aq n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1p n 2－3n ＋22，(6分)∵a 1满足上式，∴a n ＝a n －1pn 2－3n ＋22，n ∈N *.(7分)(3)∵a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝(ap n )×(ap n －1)＝a 2p 2n －1， ∴当a ＝1时，b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.(8分) ∴S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋np2n －1，①p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)p 2n －1＋np 2n ＋1.②∴当p 2≠1时，即p ≠±1时，①－②得：(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p2n －1－np2n ＋1＝p （1－p 2n ）1－p－np 2n ＋1， 即S n ＝p （1－p 2n ）（1－p 2）2－np 2n ＋11－p2；(11分)当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(12分)当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n （n ＋1）2.(13分)综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，p ＝1，－n （n ＋1）2，p ＝－1，p （1－p 2n）（1－p 2）2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1.6．解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2分)(2)解法一：由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，(4分)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得na n ＋1－(n ＋1)a n ＝n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1.(6分) 又当n ＝1时，a 22－a 11＝42－11＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(8分) 解法二：因为2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，所以2S n n ＝S n ＋1－S n －13n 2－n －23.(4分)整理得n ＋2n S n ＝S n ＋1－13(n ＋1)(n ＋2)， 所以S n ＋1（n ＋1）（n ＋2）－S n n （n ＋1）＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n （n ＋1）是首项为S 12，公差为13的等差数列，(6分)所以S n n （n ＋1）＝S 12＋13(n －1)＝2n ＋16，所以S n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）6，所以S n －1＝（n －1）n （2n －1）6(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2(n ≥2)． 因为a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(8分) (3)证明：设T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n.当n ＝1时，T 1＝1a 1＝1＜74；当n ＝2时，T 2＝1a 1＋1a 2＝1＋14＝54＜74；当n ≥3时，1a n ＝1n2＜1（n －1）n ＝1n －1－1n，(10分)此时T n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(12分)。

第4讲数学归纳法基础巩固1.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式( )A.1+<2B.1++<2C.1++<3D.1+++<3【答案】B【解析】∵n∈N*,n>1,∴n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为=.故选B.2.如果命题p(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是( )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立【答案】B【解析】若n=2时,p(n)成立,则n=4,6,8,…,时p(n)成立.3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= 2n×1×3×…×(2n-1)时,从“k到k+1”,左边需增乘的代数式是( ) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D.【答案】C【解析】当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时,左边=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1).故增乘的代数式应为2(2k+1).4.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【答案】C【解析】“若n=5时命题不成立,则n=4时命题也不成立”的逆否命题为“若n=4时命题成立,则n=5时命题也成立”.而它的逆否命题为真命题.故结合题意可知应选C.5.已知f(n)=+++…+,则( )A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++【答案】D【解析】总项数为n2-n+1.6.若k棱柱过侧棱有f(k)个对角面,则k+1棱柱过侧棱的对角面的个数f(k+1)为( )A.f(k)+k-1B.f(k)+kC.f(k)+k+1D.f(k)+k-2【答案】A【解析】∵由k棱柱到k+1棱柱,底面对角线增加了k-2+1=k-1条,∴增加了k-1个对角面.7.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)【答案】D【解析】(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36,这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,3(2+7n)能被9整除对任何k∈N*都成立.8.设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的自然数n都有:(S n-1)2=a n S n.通过计算S1, S2,S3,猜想S n= .【答案】【解析】由(S1-1)2=,得S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得S3=.猜想:S n=.9.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示).【答案】5 (n+1)(n-2)【解析】结合题意分析可知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.由于f(3)=2,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…f(n)-f(n-1)=n-1.累加,得f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n-2).故f(n)=(n+1)(n-2).10.是否存在常数a,b使等式++…+=对于一切n∈N*都成立.【解】若存在常数a,b使等式成立,将n=1,n=2代入上式,有即有++…+=.对于n为所有正整数是否成立,再用数学归纳法证明.证明:(1)当n=1时,左边==,右边==,此时等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时成立,即++…+=,则当n=k+1时,++…++=+=·=·=·==,这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N*都成立.11.已知函数f(x)=x3-x,数列{a n}满足条件:a1≥1,a n+1≥f'(a n+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.【解】∵f'(x)=x2-1,a n+1≥f'(a n+1),∴a n+1≥(a n+1)2-1.∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[-1,+∞)上单调递增,∴由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1.由此猜想:a n≥2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即a k≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[-1,+∞)上单调递增知a k+1≥(a k+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由①②知对任意n∈N*,都有a n≥2n-1.即1+a n≥2n.因此.故+++…++++…+=1-<1.12.已知数列{a n},其中a2=6且=n.(1)求a1,a3,a4;(2)求数列{a n}的通项公式.【解】(1)∵a2=6,∴=1,=2,=3,解得a1=1,a3=15,a4=28.(2)由上面的a1,a2,a3,a4的值可以猜想a n=n(2n-1).下面用数学归纳法加以证明:①当n=1时,a1=1×(2-1)=1,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论正确,即a k=k(2k-1),则当n=k+1时,有=k,于是(k-1)a k+1= (k+1)a k-(k+1)=(k+1)·k(2k-1)-(k+1)=(k+1)(2k2-k-1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-1≠0).因此a k+1=(k+1)[2(k+1)-1],即当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,数列{a n}的通项公式a n=n(2n-1).拓展延伸13.(2012·天津卷,18)已知{a n}是等差数列,其前n项和为S n,{b n}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)记T n=a n b1+a n-1b2+…+a1b n,n∈N*,证明T n+12=-2a n+10b n(n∈N*).【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组解得故a n=3n-1,b n=2n,n∈N*.(2)证法一:由(1)得T n=2a n+22a n-1+23a n-2+…+2n a1,①2T n=22a n+23a n-1+…+2n a2+2n+1a1.②由②-①,得T n=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10.而-2a n+10b n-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10,故T n+12=-2a n+10b n,n∈N*.证法二(数学归纳法):①当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,此时等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即T k+12=-2a k+10b k,则当n=k+1时有:T k+1=a k+1b1+a k b2+a k-1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q(a k b1+a k-1b2+…+a1b k)=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q(-2a k+10b k-12)=2a k+1-4(a k+1-3)+10b k+1-24=-2a k+1+10b k+1-12,即T k+1+12=-2a k+1+10b k+1,因此n=k+1时等式也成立.由①和②可知对任意n∈N*,T n+12=-2a n+10b n成立.。

2013-2014学年度下学期高三二轮复习数学（理）综合验收试题（2）【新课标】本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 集合{||1|2}A x x =-<，1{|39}3x B x =<<，则A B = A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．设S n 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“d < 0”是“数列{}n S 有最大项”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．ΔABC 中，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为 A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π4．已知11ea dx x =⎰，则61()x ax-展开式中的常数项为 A ．20B ．-20C ．-15D ．155．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为A ．12B ．14C ．23D ．46．已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的 外接球半径为A ．12 BC ．174D ．48．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的摄影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．2y =9．阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为A ．12 B C ．116D ．1810．在平行四边形ABCD 中，AE EB =，2CF FB =， 连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+，则实数 λ与μ的乘积为A ．14B ．38C ．34D ．4311．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞12．设点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，则||PQ 的最小值为 A．1)2e - B1)e -C．2D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

弋阳一中2014届高考二轮复习大题规范练(一) 三角函数、三角形、平面向量综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．2．(2013·高考四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B2cos B－sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －4π3＋2cos 2x . (1)求f (x )的最大值，并写出使f (x )取最大值时x 的集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B ＋C )＝32，b ＋c ＝2，求a的最小值．4．(2014·南昌市模拟)设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角．(1)设f (A )＝sin A ＋2sin A2，当A 取A 0时，f (A )取极大值f (A 0)，试求A 0和f (A 0)的值；(2)当A 取A 0时，AB →·AC →＝－1，求BC 边长的最小值．5．(2013·高考山东卷)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．6．如图，我国的海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东142海里处．(1)求此时该外国船只与D 岛的距离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8)大题规范练(一)1．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.(2分) 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(4分) (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；(8分) 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．(10分) 2．解：(1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )·sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，(2分)即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(4分)(2)由cos A ＝－35，0＜A ＜π，得sin A ＝45.(6分)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.(8分) 由题意知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.(12分)3．解：(1)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －4π3＋2cos 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1， ∴f (x )的最大值为2.(3分)f (x )取最大值时，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，2x ＋π3＝2k π(k ∈Z)，故x 的集合为{x |x ＝k π－π6，k ∈Z}．(5分)(2)由f (B ＋C )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（B ＋C ）＋π3＋1＝32， 可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3＝12， 由A ∈(0，π)，可得A ＝π3.(8分)在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosπ3＝(b ＋c )2－3bc ， 由b ＋c ＝2知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，当b ＝c ＝1时bc 取最大值，此时a 取最小值1.(12分) 4．解：(1)f ′(A )＝cos A ＋cos A2＝2cos 2A 2＋cos A2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2＋1.(2分) 因为0＜A ＜π，所以cos A2＋1＞0.由f ′(A )＞0，得cos A 2＞12，所以0＜A 2＜π3，即0＜A ＜2π3.(4分)所以当A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3时，f (A )为增函数；当A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π时，f (A )为减函数．故A 0＝2π3时，f (A )取极大值f (A 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝332.(6分)(2)设a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边．由AB →·AC →＝－1知bc ＝2，(8分) 而a ＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，(10分)当且仅当b ＝c ＝2时，BC 边长的最小值为 6.(12分) 5．解：(1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.(2分) 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(4分)(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.(6分)因此－1≤f (x )≤32.(8分) 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.(10分) 6．解：(1)依题意，在△ABD 中，∠DAB ＝45°，由余弦定理得，DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos ∠DAB ＝(142)2＋162－2×142×16×22＝200，(4分) 所以DB ＝10 2.即此时该外国船只与D 岛的距离为102海里．(5分) (2)过点B 作BC ⊥AD 于点C .因为在Rt △BAC 中，AC ＝AB ·cos ∠BAD ＝16×22＝82， BC ＝AB ·sin ∠BAD ＝16×22＝82， 所以CD ＝AD －AC ＝142－82＝6 2. (7分)以D 为圆心，12为半径作圆交BC 于点E ，连接AE ，DE .在Rt △CED 中，CE ＝ED 2－CD 2＝62，则BE ＝82－62＝2 2.在Rt△AEC中，AE＝AC2＋CE2＝102，sin∠EAC＝CEAE ＝35，所以∠EAC≈36°52′.(9分)又外国船只到达点E的时间t＝BE4＝224＝22(小时)，(10分)所以海监船速度v≥AEt＝10222＝20(海里/小时)．故海监船的航向为北偏东约90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为每小时20海里．(13分)。

姓名 班级 时间 11-61．在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，那么a 2+a 8=( C )A ．45B ．75C ．180D ．3002．已知等比数列的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学计算得到S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( C ) A ．S 1 B ．S 2 C ． S 3 D ．S 4 3．已知{ a n }是公差不为0的等差数列，且a n ≥ 0；又定义b n =n a +2004n a - ( 1 ≤ n ≤ 2003 )，则{ b n }的最大项是( B ) A ．b 1001 B ．b 1002 C ．b 2003 D ．不能确定的4．在数列}{n a ，11=a ，221+=+n nn a a a （*N n ∈），则5a =( A ) A ． 31 B ． 52 C ． 21 D ． 325．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1 = l ，a n+1 = 2S n +1(n ≥1) (I)求{ a n }的通项公式；(Ⅱ)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，切T 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3，成等比数列，求T n .【答案】 (I)由可得两式相减得又，故{}是首项为1，公比3的等比数列(Ⅱ)设{}的公差为d ，由T 3 = 15得，可得b l +b 2+b 3 = 15，可得b 2 = 5，故可设b l = 5 - d ，b 3 =5+d 又a 1 =1，a 2 =3，a 3 = 9由题意可得(5 - d+1)(5+d+9) = (5+3)2解得d l = 2 ，d 2 = -10等差数列{}的各项为正，d > 0，d = 2姓名 班级 时间 11-81．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则 91113a a -的值为( C )A ．14B ．15C ．16D ．17 2．设函数f(x)=(x-1)2+n (x ∈[-1,3],n ∈N *)的最小值为a n ,最大值为b n ,记c n =b 2n -a n b n ,则{c n }是( C )A ．常数数列B ．公比不为1的等比数列C ．公差不为0的等差数列D ．非等差数列也非等比数列3．等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项的和S 9=( B )A ．66B ．99C ．144D ．2974．观察数列：,7,3,1--( ),.63,31- 括号中的数字应为( B ) A ．33 B ．15C ．-21D ．-37 5．数列{}n a 满足121,2a a ==，且*21()2n n n a a a n N +++=∈(1）求{}n a 的通项公式； (2）数列{}n b 满足*11()n n n b n N a a +=∈+，求数列{}n b 的前n 项和nS . 【答案】（1）根据条件可知．数列{}n a 是等差数列，由121,2a a ==，公差1d = 则n a n =； (2）12231111n n n S a a a a a a +=++++++11112231n n =+++++++ 21321n n =-+-+++-11n =+-姓名 班级 时间 11-101．已知数列{}n a 为等差数列，且1234562,13,a a a a a a =+=++则等于( B )A ．40B ．42C ．43D ．452．等差数列{}n a 中，前n 项和n n S m =，前m 项和,(),m m n mS m n S n+=≠则( C ) A ．小于4B ．等于4C ．大于4D ．大于2且小于43．在等差数列{}n a 中，设n S 为其前n 项和，已知2313a a =，则45SS 等于( A ) A ．815B ．40121C ．1625D ．574．设 表示等差数列的前项和，已知，那么( B )A ．B ．C ．D ． 5．已知数列满足（）.(1）求的值；(2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；(3）若数列满足（），求数列的前项和.(2）由（）可得又，所以数列是首项为，且公比为3的等比数列∴ 数列的通项公式为，（）(3）由，得∴姓名 班级 时间 11-131．通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 11(,)917--2．已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n na a a +=+-，则4a = -0.4 .3．已知为等差数列,若,则的值为_-0.5___________.4．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若729=S ，则=++942a a a 24 。

直通车2014届高三数学(理)2014年3月专题1集合、基本初等函的图象与性质1．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是()．A．f(x)＝－x|x|B．f(x)＝x3C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ln xx2.（2012湖北）函数在区间上的零点个数为()．A．4B．5C．6D．73．函数f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x2＋2，则f(x)·g(x)的图象只可能是()．4．（2013浙江）已知为正实数,则()．A. B.C. D.5．（2012山东）定义在上的函数满足.当时，，当时，。

则（）A335B338C1678D20126.（2011湖北）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则()．A. B. C. D.7.（2011湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则()．A.5太贝克B.太贝克C.太贝克D.150太贝克8．（2013重庆）已知全集,集合,,则()A. B. C. D.9．（2013湖北）已知全集为,集合,,则()A. B.C. D.0．（2013重庆）命题“对任意,都有”的否定为（）A．对任意,都有B．不存在,都有C．存在,使得D．存在,使得11．（2013四川）设,集合是奇数集,是偶数集.若命题,则（）A．B．C．D．12．（2013湖北）在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．B．C．D．13．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N＝________.14.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．15．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有f x1－f x2x1－x2<0，给出下列命题：①f(2)＝0；②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；④f(2014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．16．（2013江苏）已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.17.（2011四川）计算_______．18．已知函数f(x)＝log a(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f (x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．专题2函数与方程及函数的应用1．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件２.（2012天津）函数在区间(0,1)内的零点个数是()．A0B1C2D3３．（2013天津）函数的零点个数为（）A1B2C3D4４．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝ln x－2x 的零点，则[x0]＝________.5.（2011福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．6.（2011湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）专题3不等式及线性规划问题1．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()．A.14B．4 C.12D．22．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b23.（2012重庆）不等式的解集为（）A. B. C. D.对4.（2012四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品。

第十一章单元测试一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是A．2 010 B．－1C.错误!D．2答案D解析由题可知执行如图的程序框图可知S＝－1，错误!，2，－1,错误!，2,…所以当k＝2 009时S＝2，当k＝2 010时输出S＝2，故选D.2．（2012·安徽)如下图所示，程序框图(算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4C．5 D．6答案B解析第一步:x＝2，y＝2，第二步：x＝4，y＝3,第三步：x＝8,y ＝4，此时x≤4不成立,所以输出y＝4.3．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列｛a n｝，若a3＝8,且a1,a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A．13，12 B．13，13C．12，13 D．13,14答案B解析因为10个样本数据组成一组公差不为0的等差数列｛a n}且a3＝8，a1，a3，a7成等比数列，设公差为d.∴a1＝a3－2d,a7＝a3＋4d,∴a错误!＝(a3－2d)(a3＋4d)即64＝（8－2d）(8＋4d），∴d＝2.∴a1＝4，a2＝6，a3＝8，a4＝10,a5＝12，a6＝14，a7＝16,a8＝18，a9＝20，a10＝22.故平均数错误!＝错误!(a1＋a2＋…＋a10）＝13.中位数为13。

4．(2012·湖北文)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表:( A．0。

35 B．0。

45C．0.55 D．0.65答案B解析求出样本数据落在区间[10,40)中的频数，再除以样本容量得频率．求得该频数为2＋3＋4＝9,样本容量是20,所以频率为9 20＝0。

455．某学校在校学生2 000人，为了迎接“2013年天津东亚运动",学校举行了“迎亚运”跑步和登山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表:其中ab:c＝错误!。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.设集合M={0，1，2}，N={x|x2-3x+2≤0}，则M∩N=( )A.{1}B. {2}C. {0，1}D. {1，2}解析：∵N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，答案：D.2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=( )A.-5B. 5C. -4+iD. -4-i解析：z1=2+i对应的点的坐标为(2，1)，∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴(2，1)关于虚轴对称的点的坐标为(-2，1)，则对应的复数，z2=-2+i，则z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-1-4=-5，答案：A3.设向量，满足|+|=，|-|=，则•=( )A. 1B. 2C. 3D. 5解析：∵|+|=，|-|=，∴分别平方得+2•+=10，-2•+=6，两式相减得4•=10-6=4，即•=1，答案：A.4.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )A.5B.C. 2D. 1解析：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=-=-，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=1+2-2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=.答案：B.5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45解析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，答案：A.6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.B.C.D.解析：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π.底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π.切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=.答案：C.7.执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=( )A.4B. 5C. 6D. 7解析：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，答案：D.8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x，则a=( )A. 0B. 1C. 2D. 3解析：，∴y′(0)=a-1=2，∴a=3.答案：D.9.设x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为( )A.10B.8C. 3D. 2解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）.由z=2x-y得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点C时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大.由，解得，即C(5，2)代入目标函数z=2x-y，得z=2×5-2=8.答案：B.10.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.B.C.D.解析：由y2=3x，得2p=3，p=，则F().∴过A，B的直线方程为y=，即.联立，得.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，.∴==.答案：D.11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM 与AN所成角的余弦值为( )A.B.C.D.解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===.答案：C.12.设函数f(x)=sin，若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是( )A. (-∞，-6)∪(6，+∞)B.(-∞，-4)∪(4，+∞)C. (-∞，-2)∪(2，+∞)D. (-∞，-1)∪(1，+∞)解析：由题意可得，f(x0)=±，且=kπ+，k∈z，即 x0=m.再由x02+[f(x0)]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4. 求得 m＞2，或m＜-2，答案：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答)13. (x+a)10的展开式中，x7的系数为15，则a= .解析：(x+a)10的展开式的通项公式为 T r+1=•x10-r•a r，令10-r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，答案：.14.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.解析：函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sin[(x+φ)-φ]=sinx，故函数f(x)的最大值为1，答案：1.15.已知偶函数f(x)在[0，+∞)单调递减，f(2)=0，若f(x-1)＞0，则x的取值范围是. 解析：∵偶函数f(x)在[0，+∞)单调递减，f(2)=0，∴不等式f(x-1)＞0等价为f(x-1)＞f(2)，即f(|x-1|)＞f(2)，∴|x-1|＜2，解得-1＜x ＜3，答案：(-1，3)16.设点M(x0，1)，若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是.解析：由题意画出图形如图：∵点M(x0，1)，若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[-1，1].答案：[-1，1].三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17.(12分)已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1.(Ⅰ)证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；(Ⅱ)证明：++…+＜.解析：(Ⅰ)根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；(Ⅱ)将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式. 答案：(Ⅰ)==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当n≥2时，＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+1+…+==＜.∴对n∈N+时，++…+＜.18.(12分)如图，四棱柱P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.解析：(Ⅰ)连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；(Ⅱ)延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积.答案：(Ⅰ)连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，(2分)EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；(6分)(Ⅱ)延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱柱P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，二面角D-AE-C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点.AF=1，∴DM=，CD==.三棱锥E-ACD的体积为：==.19.(12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程；(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-.解析：(Ⅰ)根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程.(Ⅱ)根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值.答案：(Ⅰ)由题意，=(1+2+3+4+5+6+7)=4，=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3，∴===0.5，=-=4.3-0.5×4=2.3.∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.20.(12分)设F1，F2分别是C：+=1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x 轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b.解析：(1)根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；(2)根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论.答案：(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M(c，)，若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2-c2，即c2--a2=0，则，解得e=.(Ⅱ)由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=.21.(12分)已知函数f(x)=e x-e-x-2x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值；(Ⅲ)已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值(精确到0.001).解析：对第(Ⅰ)问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第(Ⅱ)问，先验证g(0)=0，只需说明g(x)在[0+∞)上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'(x)＞0是否成立”的问题；对第(Ⅲ)问，根据第(Ⅱ)问的结论，设法寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值.答案：(Ⅰ)由f(x)得f'(x)=e x+e-x-2，即f'(x)≥0，当且仅当e x=e-x即x=0时，f'(x)=0，∴函数f(x)在R上为增函数.(Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(e x-e-x)+(8b-4)x，则g'(x)=2[e2x+e-2x-2b(e x+e-x)+(4b-2)]=2[(e x+e-x)2-2b(e x+e-x)+(4b-4)]=2(e x+e-x-2)(e x+e-x-2b+2).①∵e x+e-x≥2，e x+e-x+2≥4，∴当2b≤4，即b≤2时，g'(x)≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g(x)在R上为增函数，而g(0)=0，∴x＞0时，g(x)＞0，符合题意.②当b＞2时，若x满足2＜e x+e-x＜2b-2即时，g'(x)＜0，又由g(0)=0知，当时，g(x)＜0，不符合题意.综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2.(Ⅲ)由(Ⅱ)知，.当b=2时，由，得；当时，有，由，得.所以ln2的近似值为0.693.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22.(10分)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：(Ⅰ)BE=EC；(Ⅱ)AD·DE=2PB2.解析：(Ⅰ)连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；(Ⅱ)利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD·DE=2PB2.答案：(Ⅰ)连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；(Ⅱ)∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB·PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD·DC=PB·2PB，∵AD·DE=BD·DC，∴AD·DE=2PB2.【选修4-4：坐标系与参数方程】23.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，].(Ⅰ)求C的参数方程；(Ⅱ)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D的坐标.解析：(Ⅰ)半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1，令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程.(Ⅱ)由题意可得直线CD和直线l平行.设点D的坐标为(1+cosα，sinα)，根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα 的值，可得α 的值，从而得到点D的坐标.答案：(Ⅰ)半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1].令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，α∈[0，π].故半圆C的参数方程为，α∈[0，π].(Ⅱ)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等.设点D的坐标为(1+cosα，sinα)，∵C(1，0)，∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为(，).24.设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a＞0).(Ⅰ)证明：f(x)≥2；(Ⅱ)若f(3)＜5，求a的取值范围.解析：(Ⅰ)由a＞0，f(x)=|x+|+|x-a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x)≥2成立.(Ⅱ)由f(3)=|3+|+|3-a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求.答案：(Ⅰ)∵a＞0，f(x)=|x+|+|x-a|≥|(x+)-(x-a)|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f(x)≥2成立.(Ⅱ)∵f(3)=|3+|+|3-a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2-5a+1＜0，解得3＜a＜. 当0＜a≤3时，不等式即 6-a+＜5，即 a2-a-1＞0，求得＜≤3.综上可得，a的取值范围(，).。