易拉罐下料问题

摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。

将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。

也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。

通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。

本文还对模型进行了推广。

关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。

但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。

为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。

需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。

(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。

（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。

(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。

进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。

最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

水泥罐下料慢解决方案
水泥罐下料慢是生产过程中常见的问题，影响了生产效率和产量。

针对这一问题，我们可以采取一些解决方案来提高下料速度，提高生产效率。

首先，我们可以考虑优化水泥罐的结构设计。

通过对水泥罐的内部结构进行调整，可以使水泥颗粒更顺畅地流动，从而提高下料速度。

同时，还可以考虑增加下料口的数量，分散下料流量，减少堵塞的可能性，进一步提高下料效率。

其次，我们可以对下料设备进行升级和改进。

选择更高效的下料设备，如振动给料机或螺旋给料机，可以大大提高下料速度。

此外，定期对下料设备进行检查和维护，保持设备的良好状态，也能有效地提高下料效率。

另外，我们还可以优化下料操作流程。

合理安排生产计划，避免同时对多个水泥罐进行下料，以免造成下料口堵塞和混料现象。

同时，对操作人员进行培训，提高其对下料设备和流程的操作熟练度，减少操作失误，也可以有效提高下料效率。

除此之外，定期清理水泥罐和下料设备的积料，保持设备清洁，可以有效减少下料堵塞的情况，提高下料速度。

总的来说，针对水泥罐下料慢的问题，我们可以从优化水泥罐结构设计、升级下料设备、优化操作流程和定期清理设备等方面入手，采取一系列的解决方案来提高下料速度，提高生产效率。

通过这些措施的实施，相信可以有效解决水泥罐下料慢的问题，提升生产效率，增加产量，为企业创造更大的价值。

【初中物理】初中物理知识之用易拉罐做实验【—知识之用易拉罐做实验】对于物理中用易拉罐做实验的内容学习，希望同学们认真看看下面老师讲解的内容。

用易拉罐做实验1．在易拉罐中分别放入相同体积的水，依次用金属棒敲打听到声，需用去研究音调的多寡与空气柱长短是不是关系。

2．将两个易拉罐用棉线相连做成一个“土电话”，用来说明固体可以传声。

3．将三个易拉罐放入质量相同的沙，用天平分别测到其质量，用弹簧测力计测到罐和沙所受到的重力，用以研究物体的质量与难以承受重力的关系。

4．将易拉罐放在倾斜的木板表面，使其从同一位置由静止分别滑下和滚下，观察两种情况下运动的快慢。

比较相同情况下滑动摩擦和滚动摩擦的大小。

5．用铁钉在易拉罐相同的高度上显眼，装水后比较其喷气的距离。

研究液体内部应力与深度的关系。

6．将空易拉罐口向下在酒精灯火焰上方烤一烤，罐冷却后能听到声音且看到罐变瘪了。

用来说明大气压强的存在。

7．将觑易拉罐放到盛有水的盆中沉在水面，而将其卷曲一团下陷。

表明将密度大于水的材料制成空心物体可以沉在水面上。

8．用白纸和黑纸包住两个装满水的易拉罐，在太阳下晒相同时间，看谁的温度升高得多。

研究相同条件下的白色物体和黑色物体的吸热能力是否相同。

9．用导线及导线缠将电源、控制器、灯泡和易拉罐共同组成串联电路，滑动控制器，看看灯泡与否闪烁。

研究易拉罐的材料就是导体还是绝缘体。

四.气球在物理演示实验中的妙用(1)声音在液体中传播材料：手机、气球、细线、水槽、水。

方法：先将手机放入气球内，用一根长线密封不好。

然后把它慢慢浸于水槽中，并使手机的屏幕正对着学生。

用另外一个手机对其展开鼠标，手机已经开始振铃。

这样，学生既可以看见手机屏幕的亮光，又可以听见从手机收到的声音。

例如图1右图。

这就证明了声音可以在液体中传播。

(2)水凸透镜材料：气球、细线、水。

方法：用一个透明的气球，在里面充入一部分水，用细线扎紧，让太阳光照射气球，可以观察到在气球后面出现了一个很亮的光斑。

易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。

问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。

问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。

问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。

模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。

结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。

问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。

对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。

另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。

最后写出了我们对数学建模的体会文章。

关键词：易拉罐 最优设计 数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

易拉罐下料问题摘要：本文对规定容量的易拉罐的下料问题进行了分析，利用线性规划分析的方法以找出最佳生产方式，减少生产成本。

关键词：易拉罐 利润最大 生产最多 底盖与侧面配套 线性规划一．问题重述某公司采用一套柔性制造系统生产一种容量为255毫升的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的。

易拉罐为圆柱形，罐身高13厘米，上盖和下底直径为5厘米。

加工原料为60厘米⨯50厘米的镀锡板.（1）200张镀锡板最多可以生产多少只易拉罐？怎样安排生产？（2） 现在可以每张1元的市场价格购得最多2万张镀锡板，每种不同的加工模式需要付出100元生产准备费。

每张镀锡板加工费0.1元，而加工余料可以1元/米2价格出售。

每只易拉罐加工费0.02元，收益为0.20元。

产量至少达到怎样规模公司才可以盈利？怎样安排生产，可以使总利润达到最大？（3）如果允许改变易拉罐的形状，怎样可以进一步节省材料和提高利润？对于变形后的易拉罐回答(1)(2)中的问题。

二．问题分析1.加工原料为矩形镀锡板，加工成的盖与底是圆形，显然正方形切割掉圆后的余料无法再用，所以可以把盖与底合成为10厘米⨯5厘米的矩形。

2.计算得易拉罐的侧面为15.7厘米⨯13厘米的矩形。

3.综上所述，问题等效为把60厘米⨯50厘米的矩形镀锡板切割为10厘米⨯5厘米和15.7厘米⨯13厘米的两类矩形。

三．模型的建立及求解（1）一张完整的镀锡板可以有多种切割方式切割成以上两种矩形。

经过分析，1.一张完整的镀锡板可以完全利用切割成60个10厘米⨯5厘米的矩形，实际废料为22645cm 1205.214.3-3000=⨯⨯。

2.一张完整的镀锡板尽可能多的切割为15.7厘米⨯13厘米的矩形可以切割12个，余料还可以切割5个10厘米⨯5厘米的矩形，剩余为废料。

实际浪费为2255.3542.53.14101315.712-3000cm =⨯⨯+⨯⨯。

以上两种切割方式的组合可以满足底盖和侧面的配套。

易拉罐的形状和尺寸的最优设计一旅五队赵久国（ 40）摘要现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355 毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355 毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。

带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。

本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355 毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。

我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化））；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。

关键词： 355 毫升易拉罐简化条件模型设计导数求极值对比分析优化设计第一步：对于体积恒定的355 毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。

第二步：假设：1.易拉罐设计的形状为圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样 .2.易拉罐的体积一定 .3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为 r, 高度为 h，厚度为 a，体积为 v，表面积为 s。

其中 r 和 h 是自变量，易拉罐面积 s 是因变量，而体积 v 是固定参数，则 s 和 v 分别为：s 2 (r a)2 a (r a)2 h r 2h2 ar 2 4 a2r 2 a3 2 hra ha3v r 2h, h vr 2第三步：根据前两步建立模型：设g( r , h) r 2h v目标函数min s(r , h)其中 r 0, h 0, 且 g (r , h) 0g(r,h) 是约束条件，目标函数s 就是要求在体积V 一定V是已知的，的条件下求 S 的最小值，此时r 和 s 的比值。

平顶山学院数学与信息科学学院数学与应用数学专业数学建模论文文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.论文名称易拉罐下料问题2011年12月15日易拉罐下料问题摘要数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。

其中，线性规划方法是数学建模方法中的一种，它是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。

主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。

在建立模型时，考虑到实际题目的要求，我们对易拉罐的生产模式进行了合理的设计并约定特定的公式符号以及对问题进行进一步分析。

对几种易拉罐的生产模式进行定量描述，采用线性规划方法建立线性规划模型，并通过LINGO软件对模型进行求解，以确定最佳的生产方式。

对于问题（3）我们用求极值的方法确定易拉罐高h与底面半径r之间关系，进而根据体积求出h和r的值，再用类似于上述的方法求解。

最后，本文对模型进行评价，指出了模型的科学性跟合理性。

关键词：最大生产量 盈利 形状与尺寸一、问题重述易拉罐生产企业采用一套柔性制造系统生产一种容量为255毫升的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的。

易拉罐为圆柱，罐高13cm ，上盖和下底直径为5cm 。

加工原料为50cm ×60cm 的镀锡板。

（1）200张镀锡板最多可以生产多少只易拉罐？怎样安排生产？（2）现在可以每一张1元的市场价购买最多2万张镀锡板，每种不同的加工模式需要付出100元生产准备费。

每张镀锡板加工费0.1元，而加工余料可以1元/平方米的价格出售。

每只易拉罐加工费0.02元，收益为0.2元。

产量至少达到怎样的规模公司才可以盈利？怎样安排生产，可以使总利润达到最大？（3）如果允许改变易拉罐的形状，怎样可以进一步节省材料和提高利润？对于变形后的易拉罐回答（1）（2）中的问题。

A题易拉罐下料问题易拉罐下料的最优方案摘要：本文讨论的是在生产中通过冲压手段，将原料加工成所需大小。

按照进一步的工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省或利润最大，是典型的优化问题。

问题一：在材料一定的情况下安排生产方式，使生产的易拉罐最多。

问题二：在市场上购得的材料（镀锌板）是有限的，即为原料约束条件。

建立以利润最大化为目标函数，原料和配套为约束条件的线性规划模型，用LINDO 编程求得结果。

问题三：类似于问题一和问题二，改变易拉罐的形状，用Matlab 6.5编程求得进一步节省材料提高利润的结果。

问题四：根据数学建模的经历阐述了数学建模的含义、关键之处和难点。

本文应用线性代数方法对易拉罐的下料问题进行了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。

关键词：线性规划、优化问题、LINDO编程、Matlab6.5编程一、问题重述生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需尺寸。

按照进一步的工艺要求，确定下料方案，使用料最省，或利润最大。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种下料方案可以节省的材料和钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节省的物和钱就很乐观了。

1、取一张60厘米*50厘米的镀锌板，规划冲压模式，生产一种容量为255毫升的圆柱形易拉罐（罐身高13厘米，上盖和下底直径为5厘米），并计算各种模式下的余料。

将数据列表加以分析，解答以下各问题。

2、由于采用不同冲压模式太多，会增加生产和管理成本，所以冲压模式不能太多。

3、在材料一定即200张镀锌板的情况下，最多可以生产多少只易拉罐？4、由于在市场上一1元购买得到的镀锌板是有限的，最多2万张。

并且有加工费的制约，所以怎样安排生产，可以使总利润达到最大？5、如若改变易拉罐的形状，怎样可以进一步节省材料和提高利润？6、用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述什么是数学建模及其关键步骤以及难点。

二、模型假设目标：易拉罐利润扣除原料余料损失后的净利润最大注意：不能装配的罐身、上下底也是余料约束：原料数量：镀锌板60厘米*50厘米（模式1、2）2万张；罐身和底、盖的配套组装；三、符号说明决策变量M~规划目标函数xi ~ 按照第i 种模式的生产张数(i=1,2)；y1 ~ 生产的易拉罐个数；y2 ~ 不配套的罐身个数y3 ~ 不配套的底、盖个数S~易拉罐的表面积；d~ 上盖、下底直径r~正圆柱体形易拉罐底面的半径；r1~圆台上表面的半径；2r~圆台下表面的半径；h~易拉罐侧面的高度l~圆台的母线长度；V~易拉罐体积四、模型的建立及求解1、模型的分析模式一、 模式二、 生产的易拉罐是罐身高h=13厘米，上盖和下底为d=5厘米的圆柱形，则罐身面积πdh=204.1cm2 底盖面积πd 2/4=19.6 cm2于是模式1下的余料为50*60-120*19.6=648cm2，同理计算其它模式下的余料，并将各种模式下的特征归纳如下表：2、问题二求解由上面的模型分析可知：采用模型二可使200张镀锌板生产的易拉罐最多。