不等式恒成立的参数的取值范围

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

专题——求参数取值范围一般方法概念与用法恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点;题型特点大多以已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现;这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里;就常考题型的一般题型以及解题方法,我在这里做了个小结;题型以及解题方法一,分离参数在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即：若()a f x ≥恒成立,只须求出()max f x ,则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转化为函数求最值;例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围; 解：根据题意得：21a x x +->在[)2,x ∈+∞上恒成立, 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立,设()23f x x x =-+,则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时,()max 2f x = 所以2a >例2．已知当x ∈R 时,不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立,求实数a 的取值范围;分析：在不等式中含有两个变量a 及x,其中x 的范围已知x ∈R,另一变量a 的范围即为所求,故可考虑将a 及x 分离; 解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5要使上式恒成立,只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值,故上述问题转化成求fx=4sinx+cos2x 的最值问题; fx= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2sinx -12+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ,解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x,而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型;二,变主换元在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量x 看成是主元未知数,而把另一个变量a 看成参数,在有些问题中这样的解题过程繁琐;如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程; 例3．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围;分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数;显然可将p 视作自变量,则上述问题即可转化为在-2,2内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题;解：不等式即x -1p+x 2-2x+1>0,设fp= x -1p+x 2-2x+1,则fp 在-2,2上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立,求x 的取值范围;解：设()()()2121f m m x x =---,对满足2m ≤的m ,()0f m <恒成立,()()()()()()2221210202021210x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩解得：1122x -++<< 三,利用二次函数根的分布例5.设fx=x 2-2ax+2,当x ∈-1,+∞时,都有fx ≥a 恒成立,求a 的取值范围;分析：题目中要证明fx ≥a 恒成立,若把a 移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间-1,+∞时恒大于0的问题;解：设Fx= fx -a=x 2-2ax+2-a.ⅰ当∆=4a -1a+2<0时,即-2<a<1时,对一切x ∈-1,+∞,Fx ≥0恒成立；ⅱ当∆=4a -1a+2 ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0a f 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;综合可得a 的取值范围为-3,1四,利用集合与几何之间的关系 在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含关系来求解,即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦,则()f a m ≤且()g a n ≥,不等式的解即为实数a 的取值范围;例6、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,log 1a x <恒成立,求实数a 的取值范围;解：1log 1a x -<<（1） 当1a >时,1x a a <<,则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥ （2） 当01a <<时,1a x a <<,则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103a <≤或3a ≥ 五,几何中的求参 要确定变量k 的范围,可先建立以k 为函数的目标函数)(t f k =,从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解;的范围。

不等式恒成立问题不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型，涉及数学中各部分知识，但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题，最常考的一种题型是：已知不等式恒成立，求参数的取值范围，解决这类问题的基本方法是相同的，首选方法是利用分离参数转化为求新函数、新数列的最值问题，如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时，一般选择函数的方法，通常利用函数的最值解决。

在正式求解之前先解决两个问题： 1、怎么判断是恒成立问题？恒成立问题一般都有很明显的关键词，比如任意、所有、全、都、总、恒、均等。

2、如何区分主元和参数？恒成立问题一般会出现这样一句话：“对某个未知数在某个区间范围内恒成立”，那么这个未知数就是主元，剩下的未知数就是参数。

函数性质法 1、一次函数型给定一次函数()y f x kx b ==+(0≠k ),若()y f x =在[,]m n 内恒有0)(>x f ，则根据函可得上述结论等价于⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[,]m n 内恒有()0f x <，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 。

例 对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为： 当时，恒成立，求的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．解：设函数，显然，则是的一次函数，40≤≤p 342-+>+p x px x x x p x p x y -+-+=3)4(2[]4,0∈p 0>y x )34()1()(2+-+-=x x p x p f 1≠x )(p f p要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是．点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．例 设函数3)(x x f =，若20πθ<<时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围 答案：]1,(-∞变式练习1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

微课2 不等式恒成立或有解问题题型一 分离法求参数的取值范围【例1】(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x . (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性； (2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ， f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0，①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R . ②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝⎛⎭⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x －12x 2－x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1， H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减. 因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫7－e 24，＋∞. 感悟升华 分离参数法来确定不等式f (x ，λ)≥0(x ∈D ，λ为实数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤(1)将参数与变量分离，化为f 1(λ)≥f 2(x )或f 1(λ)≤f 2(x )的形式. (2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值.(3)解不等式f 1(λ)≥f 2(x )max 或f 1(λ)≤f 2(x )min ，得到λ的取值范围. 【训练1】已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ). (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(0， ＋∞)上没有极值点.当a ＞0时，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1a ，由f ′(x )＞0得x ＞1a ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值.∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点，当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点. (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值， ∴a ＝1，∴f (x )≥bx －2⇒1＋1x －ln xx≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝ln x －2x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝e 2.则g (x )在(0，e 2)上递减，在(e 2，＋∞)上递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2，故实数b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e 2. 题型二 等价转化法求参数范围 【例2】函数f (x )＝x 2－2ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2a ＋1x ，f ′(1)＝3－2a ，由题意f ′(1)·12＝(3－2a )·12＝－1，解得a ＝52.(2)不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立等价于2ln x ≥－x ＋a －3x ，令g (x )＝2ln x ＋x －a ＋3x，则g ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2，则在区间(0，1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数； 在区间(1，e]上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数. 由题意知g (x )min ＝g (1)＝1－a ＋3≥0，得a ≤4， 所以实数a 的取值范围是(－∞，4].感悟升华 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f (x )≥a 恒成立，则f (x )min ≥a ，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围. 【训练2】已知f (x )＝e x －ax 2，若f (x )≥x ＋(1－x ) e x 在[0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围. 解 f (x )≥x ＋(1－x )e x ，即e x －ax 2≥x ＋e x －x e x ，即e x －ax －1≥0，x ≥0.令h (x )＝e x －ax －1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x －a (x ≥0)， 当a ≤1时，由x ≥0知h ′(x )≥0，∴在[0，＋∞)上h (x )≥h (0)＝0，原不等式恒成立. 当a >1时，令h ′(x )>0，得x >ln a ； 令h ′(x )<0，得0≤x <ln a . ∴h (x )在[0，ln a )上单调递减， 又∵h (0)＝0，∴h (x )≥0不恒成立， ∴a >1不合题意.综上，实数a 的取值范围为(－∞，1].题型三 可化为不等式恒成立求参数的取值范围(含有解问题) 【例3】已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的最小值；(2)若函数g (x )＝xe x ，对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，2，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，求实数a 的取值范围.解 (1)由题设知f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立， 而函数y ＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减， 则y max ＝－3，所以a ≥－3，所以a 的最小值为－3. (2)“对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，2，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2， 使f ′(x 1)≤g (x 2)成立”等价于“当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f ′(x )max ≤g (x )max ”.因为f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，所以f ′(x )max ＝f ′(2)＝8＋a . 而g ′(x )＝1－xe x，由g ′(x )>0，得x <1，由g ′(x )<0，得x >1， 所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g (x )max ＝g (1)＝1e . 由8＋a ≤1e ，得a ≤1e－8，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，1e －8. 感悟升华 含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有： (1)∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)min . (2)∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)max . (3)∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)min . (4)∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)max . 【训练3】已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln xx .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围. 解 (1)因为f ′(x )＝a －e x ，x ∈R .当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在R 上单调递减； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a .由f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )； 由f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为(ln a ，＋∞).综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间； 当a >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )，单调递减区间为(ln a ，＋∞).(2)因为∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x ， 则ax ≤ln x x ，即a ≤ln x x2.设h (x )＝ln xx 2，则问题转化为a ≤⎝⎛⎭⎫ln x x 2max . 由h ′(x )＝1－2ln xx 3，令h ′(x )＝0，得x ＝ e. 当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )，h (x )随x 的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )极大值12e由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值为12e ，所以a ≤12e .故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12e .1.已知函数f (x )＝ax －1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( )A.a >2B.a <3C.a ≤1D.a ≥3答案 C解析 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式ax －1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解.令h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝－ln x . 由h ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0. 故当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1， 所以要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解， 只要a ≤h (x )max 即可，即a ≤1.2.已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[0，1] B.[0，2]C.[0，e]D.[1，e]答案 C解析 当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ， 所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立， 当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. 综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立， 即a ≤xln x恒成立.设g (x )＝xln x (x >1)，则g ′(x )＝ln x －1（ln x ）2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0， ∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e. 综上，a 的取值范围是[0，e].3.已知函数f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－mx ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，求实数m 的取值范围. 解 依题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解， ∴mx <2ln x 在区间[1，e]上有解，即m 2<ln xx 能成立.令h (x )＝ln xx ，x ∈[1，e]，则h ′(x )＝1－ln x x 2.当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，h (x )在[1，e]上是增函数，∴h (x )的最大值为h (e)＝1e.由题意m 2<1e ，即m <2e 时，f (x )<g (x )在[1，e]上有解.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，2e . 4.设f (x )＝x e x ，g (x )＝12x 2＋x .(1)令F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的最小值；(2)若任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)，且x 1>x 2，有m [f (x 1)－f (x 2)]>g (x 1)－g (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x ＋12x 2＋x ，所以F ′(x )＝(x ＋1)(e x ＋1)， 令F ′(x )>0，解得x >－1， 令F ′(x )<0，解得x <－1，所以F (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增. 故F (x )min ＝F (－1)＝－12－1e.(2)因为任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)，且x 1>x 2，有m [f (x 1)－f (x 2)]>g (x 1)－g (x 2)恒成立， 所以mf (x 1)－g (x 1)>mf (x 2)－g (x 2)恒成立.令h (x )＝mf (x )－g (x )＝mx e x －12x 2－x ，x ∈[－1，＋∞)，即只需h (x )在[－1，＋∞)上单调递增即可.故h ′(x )＝(x ＋1)(m e x －1)≥0在[－1，＋∞)上恒成立，故m ≥1e x ，而1e x ≤e ，故m ≥e ，即实数m 的取值范围是[e ，＋∞). 5.已知函数f (x )＝m e x －x 2.(1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程；(2)若关于x 的不等式f (x )≥x (4－m e x )在[0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝e x －x 2，则f ′(x )＝e x －2x . 所以f (0)＝1，且斜率k ＝f ′(0)＝1.故所求切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. (2)由m e x －x 2≥x (4－m e x )得m e x (x ＋1)≥x 2＋4x . 故问题转化为当x ≥0时，m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x e x （x ＋1）max . 令g (x )＝x 2＋4xe x （x ＋1），x ≥0，则g ′(x )＝－（x ＋2）（x 2＋2x －2）（x ＋1）2e x .由g ′(x )＝0及x ≥0，得x ＝3－1.当x ∈(0，3－1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(3－1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减. 所以当x ＝3－1时，g (x )max ＝g (3－1)＝2e 1－3.所以m ≥2e 1－3.即实数m 的取值范围为[2e 1－3，＋∞).。

不等式恒成立求参数的取值范围武汉市第四十九中学 李清华邮政编码；430080一、 教学目标1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力3、情感目标；优化学生的思维品质二、 教学重难点1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。

我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。

引入课题2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成）由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x又因为x∈[-1，1]，所以a<1.解法二；分类讨论、解不等式（x-2）[x-(2-a)]>0当a=0时不等式恒成立当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1所以a<1时不等式恒成立解法三；构造函数求最值设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时-a2<0 不成立，舍弃；当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0a<3 不成立，舍弃；当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1综上得：a<1解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布设x2+(a-4)x+4-2a=0方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1△=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1解法五；数形结合（用动画来演示a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4分别作两函数的图象当x∈[-1，1]时，总有y=a(x-2)的图象在y=-x2+4x-4图象的上方由图象可得a<1归纳总结（由老师板书）1、如果作图较易，也可用数形结合。

浅谈恒成立不等式中的参数问题摘要：关于恒成立不等式的问题既含变量又含有参数，又有许多知识的交汇，因此与其相关的命题综合性比较强，题型也多种多样，这就需要我们在平时学习时用好转化思想，多归纳，多总结，多体会。

关键词：不等式恒成立参数恒成立不等式中的参数的取值范围问题，是近年来高考的热点之一，也是学生学习的难点之一。

它涉及的知识面比较广，并且综合性也比较强。

它往往与函数、数列、方程、立体几何、解析几何、复数以及应用型问题结合起来，题型形式灵活多变，而且语言也比较抽象。

那么哪些数学思想能解决此类问题呢？笔者下面就结合自己的教学经验，举一些具体的例子来讨论这类参数问题的处理方法。

例1.若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4∴a的取值范围为：-2说明：对于有关一元二次不等式ax2+bx+c0）的问题，可以设二次函数f（x）=ax2+bx+c，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据它的图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

例2.设对于所有的实数x，不等式x2log24（a+1）/a+2xlog22a/（a+1）+log2（a+1）2/4a2>0，都恒成立，求a的取值范围。

解法一：（利用代换，结合判别式）令u=log2（a+1）/2a，则：（3+u）x2- 2ux+2u>0∴ 3+u>0 （1）4u2-8u（u+3）0∴（a+1）/2a>1，解得：0解法二：（分离参数，利用最值法）原不等式可以化为：x2[3+log2（a+1）/2a]-2xlog2（a+1）/2a+2log2（a+1）/2a>0 即：（x2-2x+2）*log2（a+1）/2a+3x2>0∵ x2-2x+2=（x+1）2+1>0∴原不等式可化为：log2（a+1）/2a>（-3x2）/[（x-1）2+1]要使原不等式恒成立，当且仅当log2（a+1）/2a>0解得：0评述：涉及恒成立不等式中变量的取值范围问题，可以根据a>f（x）恒成立等价于a>f（x）max， a（-1+■）/2解（2）得，（1-■）/2<x<（1+■）/2由（1）（2）得：（-1+■）/2<x<（1+■）/2∴ x的取值范围为（-1+■）/2<x<（1+■）/2说明：利用转换思想解决恒成立问题，一定要搞清楚谁是自变量，谁是参数。

不等式恒成立求参数的范围一、最值的直接应用例1、已知函数f(X)= (x-k)29⑴求/(x)的单调区间；⑵若对于任意的都有/求k的取值范围.例久已知函数f(x)=x + - + b(x^0)9其中a^beR.x⑴若曲线y = /(Q在点P(2,/⑵)处切线方程为＞'=3x +1,求函数/⑴的解析式;(2)讨论函数/⑴的单调性；⑶若对于任意的占訶，不等式几讥1°在刖上恒成立，求b的取值范围.例3、已知函数f(x) = (x 2-a)e\⑴若“ =3,求/W 的单调区间；⑵已知X p X 2是/(A)的两个不同的极值点， 33/(") <(e+-a 2-3a + b 恒成立，求实数的取值范围。

二、恒成立之分离常数例4.已知函数/(x) = - + lnx-l,« e R ・ x(1)若.v = fW 在P(l,儿)处的切线平行于直线y = -x + \ 间； ⑵ 若G>0,且对.2 (0,2刃时，/(A ) > 0恒成立，求实数"的取值范围.且 1召 +x 21>1^%21 ,若 求函数y = /(X )的单调区Y"例5、已知函数f(x ) = e x - — -ax-i,(其中"ER,为自然对数的底数).⑴当« = 0时,求曲线y = /(劝在(0,/(0))处的切线方程；(2)当x Ml 时,若关于x 的不等式/(A ) M0恒成立，求实数Q 的取值范围.(1) 求/(x)的单调区间；(2) 求/(x)的取值范围；(3) 已知2占＞仁+ 1)川对任意"(7°)恒成立，求实数加的取值范围。

例人已知函数/(劝=匕旦.(I )若函数在区间(G4 + 】)其中">0,上存在极值，求实数&的取值范围;2(H)如果当x>\时，不等式fM>^-恒成立，求实数励取值范围；例6. 设函数/(A)=(x + l)ln(x + l) 2—1且心0)x + 1例&已知函数f(x) = x2+bx + c(b,ceR).对任意的xeR.恒有广(x)W/(x).⑴证明：当/(x)^(x + c)2;(2)若对满足题设条件的任意从6不等式f(c)-/0)WM(c2-庆)恒成立，求确最小值。

高三数学一元二次不等式试题答案及解析1.不等式≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)【答案】B【解析】①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.2.已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为()A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1,3)【答案】C【解析】把原不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0①，且f(1)＝x2－3x＋2>0②即可，联立①②解得x<1或x>3.故选C.3.若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为－<x<，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集是________．【答案】(－2,3)【解析】由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a<0，所以，解得.则不等式2x2＋bx＋a<0即2x2－2x－12<0，其解集为{x|－2<x<3}．4. [2014·皖南八校联考]不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1,4]B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D．[－2,5]【答案】A【解析】x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.5.已知f(x)＝，则不等式x＋xf(x)≤2的解集是________．【答案】(－∞，1]【解析】(1)当x≥0时，原不等式可化为x2＋x－2≤0，解得－2≤x≤1，即0≤x≤1；(2)当x<0时，原不等式可化为x2－x＋2≥0，得≥0恒成立，即x<0．综合(1)(2)知x≤1，所以解集为(－∞，1]．6.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .【答案】【解析】由题设得，且，所以不等式可变为，解这得.【考点】一元二次不等式的解法.7.若不等式对满足的所有都成立，则x的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x的范围是，选D.8.不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.【答案】【解析】由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.9.关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是________．【解析】方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故填0.10.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根,所以x1+x2=2a,x1x2=-8a2,则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又x2-x1=15,可得36a2=152,又a>0,则a=.故选A.11.不等式2x2-x-1>0的解集是()A．（-,1）B．(1,+∞)C．(-∞,1)∪(2,+∞)D．（-∞,-）∪(1,+∞)【答案】D【解析】由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-,∴2x2-x-1>0的解集为(-∞,- )∪(1,+∞).故选D.12.关于的不等式的解集为．【答案】；【解析】由得（x-6）（x+1），解得.【考点】一元二次不等式的解法.13.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是。

不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。

恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。

其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。

本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。

变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。

①当m=0时，3>0，显然成立。

②当m>0时，则△<0。

③当m<0时，显然不等式不恒成立。

由①②③知。

关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。

例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。

①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。

</k<1<>②当图象与x轴有交点，且在时，只需由①②知关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。

恒成立，即大于时大于函数值域的上界。