不等式恒成立求参数的范围
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用函数最值法处理_恒成立_不等式中的参数范围
/ 故实数 ! 的取值范围为6 4 ’$4 T 3 U% / $& ’( ) 求字母取值范围 V 以平面向量为依托 $ 年湖北高考文科卷 ( 已知向 例V 6 3 5 5 W
3 量 X0 6 若函数 Y $ Y& / ( $ Z0 6 /4 Y $ R ( ) 在区间 6 上是增函数 $ 求 L 6 Y ( 0X B Z 4/ $ / (
解
由题意 当 ": ’ 时不等 # 5$ B
" " 式 $9 & 9 3)! , G恒 成 立 6 化 简 后 得> 3 . $" $" 对 恒成 ,# ’ ( 9’ ( ": ’ # 5$ B ! & 立6
<
B
令/ ’ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ" (+#
利 用 指 数 函 数 的 单 调 性 可 知> :’ # 5$ B . 所以 . 当 "+ $ 时/ ’ " ( 3 ,# 0H I +# ! ! . 即实数 3的取值范围为 # -9 5 6 ! 万方数据
’ 3 (# 8 ’ M ( 数所以 8 即8 在< ,G ’ " ( #$ 3# M 上是增函数 6 所以 8 在< 上的最 $ B ’ " ( #$ $ B
故当 ": < 大 值为 8 ’ " ( ’ $ ( +$ #$ 0H I+ 8
时即& $ B O& # & 3 O9 $ ,$ 3 O4 O&’ #$ 讨论如下 > 4 34 $ ( 6 显然 O N G 否 则 上 述 不 等 式 变 为 G4 这是不可能的 6 故分两种情形 > G 时对于 # $ P 当 O, G O, & 3 43 4 故 O% & $恒成立 Q 时对于 # $ R 当 O4 G O4 & 3 43 4 故 O =# & 6 $恒成立 #& BS < & -9 5( 6 以 一 元 高 次 函 数 为 依 托求字母取值范 T 围 $ & . 例 T 设函数 8 ’ " ( +" # " #& "9 & 当 ": ’ 时不等式 8 #$ & ( ’ " ( 4 O恒成 U 立求实数 O 的取值范围 6 解
不等式恒成立中参数范围的确定
数知识 紧密 结 合 ， 有 一 定 的综 合 性 和 思 维 含 量 。 具 近
年来成 为高考命 题 的热 点． 文 以不 等式 恒 成立 问题 本
为例探 讨这 一 问 题 ， 结 其 常 见类 型 与解 法 ， 望 对 总 希
同学 们 提 供 有 益 的 帮 助 和 启 发 ．
１ 分 离 参 数 法
３ 最 值 转 化 法
善
由 ＿ １ 一 ｎ １ ｅ １ 得 到 ａ ｅ 从 而 避 免 了对 ｎ进 厂 ） 一 ≥ 一 ， （ ≥ ， 在 ∈ ［ ＋ 一 ） 恒 成 立 ，即 ３ 上
，
一
４ ≤ 一 ｍ２ ３一 ２＋ １
一
由上 面 ２种 方 法 已经 可 以 发 现 ， 成 立 问 题 和 函 恒 数 的 最 值 密 切 相 关 ． 实 ， 多 问 题 都 可 以 等 价 转 化 其 很 为最值 问题进 行解 决． ： 例 ３ 已 知 函 数 ｆ（ ） ８ 。 １ｘ一 ， ｚ）＝ ｘ 一 ｘ＋ ６ ｇ（ ： ＝
争
思想 和方 法解 决 问题 ． 于参 数 不 好 分 离 的 问 题 ， 对 可 一 尝试 这一 策略 ．
◇ 辽 宁 侯 绪 刚 北 京 重 嘉 森 特 级 教 师 ） （
∞ 一．
例 ２ （ ０ １ 浙江 卷 ） 函数 厂（ 一ａ Ｉ ｚ～ ２１ 年 设 ） ｎ ≤
◇ （ 因 （ 一２ｘ ｚ｝ｘ其 ａ Ｏ 解析 １ 为厂 ） ａｎ— ａ， 中 ＞ ， ） ｚ ｌ － －
所 以
厂（ ， ｚ）一 一 ２ 十 ｎ： 一 — － ａ） ２ （ ｘ－ （ ｘ＋ ａ）
— ．
又 因为 ｘ Ｏ所 以 由 ｆ ＞ ， ） ０得 ∈ （ ， ） 由 ＞ ０ａ ， 若 不 等 式 能 化 为 ｇ ｍ） ， ）（ （ ） － ） 恒 （ ≤ （ ｇ ≥ ， ’ ） （
如何求不等式恒成立的参数的取值范围
要条件是 ：
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
不等式恒成立、能成立问题 (1)
√A.{a|－1≤a≤4}
B.{a|－1<a<4}
C.{a|a≥4，或a≤－1}
D.{a|－4≤a≤1}
解析 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0， ∴－1≤a≤4，故选A.
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结束
(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0解集为R，求实数a取值范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
微专题2
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
5 1＋ <x< 2
5
.
反思 感悟
已知参数的取值范围，求变量x的取值范围时，常常把主要变量 x和参数互换身份，构造以参数为变量的函数，根据参变量的取 值范围求解x的范围.
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结束
解：令y=－x2＋2x＋3，由题意，a2－3a≥ymax=4,
a2－3a-4≥0, (a-4)(a+1)≥0 a≤－1或a≥4，∴实数a ϵ{a|a≤－1或a≥4}.
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结束
微专题2
分离参数法
4x＋m 例 2 若存在 x∈R，使得x2－2x＋3≥2 成立，求实数 m 的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
条件
A1#2@
4&= <
( 1#2&>
条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中 可以 判断 函 数 1#2&是 周 期为 ,4的周 期
函数 的条 件是
C
D0设函 数 1#2&的 定义 域 为 E3任 取 2(F
2,F28 G3且 2(5 2,31#2&5H (3给出 下列 I
个关 系式 :
#(&1#2(@ 2,&= 1#2(&J1#2,&> #,&1#2(J2,&= 1#2(&@ 1#2,&> #’&1#2(< 2,&= (1@ #2(1&#< 2(&11##22,,&&>
每 一个 2都成 立3其 中#45 +365 +3437368
9&: #(&条件 ; 1#2&< 1#< 2&= +> 条件 ?1#4@ 2&= 1#4< 2&> 条件 A1#62@ 7&= 1#< 62< 7&> 条件 B1#2&= #2< 4&+C
其 中 判 断 函 数 1#2&是 偶 函 数 的 条 件 是
又 设 25 4 1)%则 它是 过原 点%斜 率为 1的直 线 9& 在同 一 直角 坐 标 系 下作 出
它们 的图 像-如 图 3/&依题 意%半 圆 8恒 在直 线 9上方 时%只 有 1: #时成 立%故 1
图3
不等式恒成立求参数的取值范围
不等式恒成立求参数的取值范围武汉市第四十九中学 李清华邮政编码；430080一、 教学目标1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力3、情感目标；优化学生的思维品质二、 教学重难点1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。
我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。
引入课题2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成）由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x又因为x∈[-1，1]，所以a<1.解法二；分类讨论、解不等式（x-2）[x-(2-a)]>0当a=0时不等式恒成立当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1所以a<1时不等式恒成立解法三；构造函数求最值设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时-a2<0 不成立，舍弃；当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0a<3 不成立，舍弃；当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1综上得：a<1解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布设x2+(a-4)x+4-2a=0方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1△=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1解法五；数形结合（用动画来演示a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4分别作两函数的图象当x∈[-1，1]时，总有y=a(x-2)的图象在y=-x2+4x-4图象的上方由图象可得a<1归纳总结（由老师板书）1、如果作图较易，也可用数形结合。
不等式恒成立求参数范围问题的解法初探
摘 要： 已知不等式恒成立， 求参数 范围是近几年 高考热点问题 ； 常出现填空 ， 选择和简答题 ， 难度较大； 为了对恒成立问题有一 个全 新 的 认 识 ， 面推 进 新 课 程 标 准 的发 展 ， 何 探 求 恒 成 立 问题 中参数 取 值 范 围 ， 文 对此 类 问题 的 求解 作 一 些探 讨 与研 究 ， 全 如 本 特 归纳 四 种 类 型 ， 大 家参 考 。 供 关键 词 ： 等 式 恒成 立 ； 数 范 围 ； 法 不 参 解
１一次 函数 的性 质 ３利用 函数 的最值 （ 值域 ） 或 （） （） ｍ 对任意 ｘ １ ， 都成立 甘 ， ≥ｍ ； （） （） （） ｍ对 任意 ｘ 成立 甘 ≥， 一 。 ２ ， 都 （ 简单计作 ： “ 大则大 于 最大 的 ， 则小于最小 的” 小 。本类 问题实 质上是一类 求函数 的最值 问题 ， （ 叫分 离参数 法 ） 也 ；分离 参数法 实际上是 应用 函数思想 及不等 式 的有
对于一次函数 ｆ（） ｘ＋ｂ ∈【 ｎ 有 ： ｘ ＝ｋ ， ｍ， ］
， ） 。 立§１（ ） ０ （ ＞ 恒成 Ｉ ｍ ｆ ＞
厂 ） ０ （ ＞
，
ｆ＜成甘； （０ 立｛ 恒 ）
将要求的参数分离 出来 ， 进而求出其取值范围， 它一般适用于 在给 出 的含 有两 个变量 的不 等式 中 ，学生 习惯把 变量 ｘ 看成 是主 关知识， 元 （ 知数 ）而把另 一个变 量 ａ 成参数 ， 未 ， 看 在有 些 问题 中这 样 的解题 过 参数 易于分离 的＇ｇ。 Ｎ Ｏ － ． 例 ４已知 函数 ｆ１ ＾（ 中 ａｂ 常量 ， ａＯａ ） 图像经 ： ｆ＿ ａ 其 ｘｂ ｘ ，为 切 ＞ ，≠１的 程繁琐。 如果把已知取值范围的变量作为主元， 把要求取值范围的变量 看作 参数 ， 可简化解 题过程 。（ 主换元 ） 则 变 过点 Ａ １ ） （， ） （， ， ３ ４． ６Ｂ ２ （） １试确定 ｆ ） （ ｘ 例１ ：若不 等式 ２ ～ ＞ａ １对 满足 一 ａ １ ｘ １ （ 一） ｘ １ 的所有 ａ 都成 立 ， 求 ｘ 范围 。 的 （） 不等 式（ ＋１ ｆ ￣ｍ在 ｘ 一 １ ２若 １ （ｂｘ ／ ＞ （ ，时恒 成立 ， 数 ｍ 的 １ 求实 解 ： 们可 以用 改变 主元 的办法 ， ａ 为主 变元 ， 元不 等 式 取值范 围。 我 将 视 即将 解 ： １ｂ ａ６ ＊ ＾ ２ － ａ ２ ＝ 所 以 ｆ）３ ２ｘ （ ） ＊＿ ， ａ３ ４ ＝ ， ３ － ｂ ＝ ￣＞ ｂ － （－ ＊ ＾ ｘ 化 为 ：（ 一） （ｘ １ ０； ， ＝ａ １ （ 一）贝 — ａ １ ，由 ０ ａ １ ２一） ， ） （ 一） ２ １ ０ １ 时 ， ＜ ｘ 一 ＜ 令 ｘ ｘ ， （ （）＾３ 在 （ ，） ２２ｘ ＾ ，ｘ 一 １上单 调递增且 匣正 ， 以 ｆ）１ ｌ ＾ 所 （＝／ ｘ ／ ｘ ｘ ２＋３ 在（ｏ，） 一。１上单诃 递减 ， ｆ） ／，趋于＋ 时 ，＾３ 都趋于 ０ 又 （＝ ６ｘ １５ ２ｘ ＾ ，ｘ ， ｆ） （趋于＋ ｘ ∞。ｆ） 域为［６ ＋。， 以 ｍ ＝／ （的值 ｘ ５ ， 。） ／ 所 ＜５ ６ ∈ （ 掣 ， ３ ） 例 ５ （）求使 不等 式 ａ ｓ ｘ ＣＳ， ［７ 恒成立 的实数 ａ ：１ ＞ ｉ — ＯＸ ０ ｒ ｎ ∈ ，］ 的范 ２利用 一元二 次 函数 的判别式 围。 ， 解： 于函 。 一 。 。“－ ’一 卜 ， ， 然函 由 ｍ ｃ ＿ （ ， ； ｏ √ｉ ｘ 显 数有 ２１对于一 元二次 函数 ， ） ａ ｘ ｃ ０ Ｒ ． （ ＝ ｘ＋ｂ＋ （ ， ）有 ： ａ ∈ （） （） 在 ∈Ｒ 上恒成 立 铮 口 且Ａ ＜０； １ 厂 ＞０ ＞０ 最 大值 、 ． ／ ＞√ 。 （） （） 在 ∈Ｒ 上恒成立 甘 ｎ ＡＡ ＜０ ２ ｆ ｘ ＜０ ＜０ 如果把 上题稍微改 一点 ， 那么答案 又如何 呢？请看 下题 ： 例２ ：若 不等 式 一１ ＋（一１ ＋２ ） ａ ） ｘ ＞０的解 集是 Ｒ， ａ的范 求 围。 解析 ： 应用 上面 的结论 ， 得保证 是二 次的 ， 判别式 ， 要想 就 才有 但二 解： 我们首 先要认 真对 比上面两个 例题 的区别 ， 主要在 于 自 变量 的 次项系 数含有参 数 ａ所 以要讨 论 ａ１ ， 一 是否是 ０ 一 。 取值范 围的变化 ， 这样使得 ｙ ｉｘ ｏｘ ｓ —ｃｓ 的最大值取不到、 ， ａ ｎ ／ 即 （） ａ ｌＯ ， 不等式化 为 ２０ １当 －＝ 时 元 ＞ 恒成立 ， 满足题 意 ；
数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略
２ ／ … ＞ｍ， （ ）＜ｍ 恒 成 立 （ ） ＜ｍ 此 方 法 特 别 ） ｆ／ ２ ２ ／… ．
于 ｎ的最小值 １令＿ ＜ ， Ⅱ １ ０ ０ ÷ ． ， １解得 ＞ 或 ＜ ＜
１ 一 ｒ 上 Ｚ
适 用 于解 厂ｎ 的最 值 容 易求 出 的 数 列 不 等 式 恒 成 立 题 型 ． （） 例 １ 已 知 数 列 ｛ 满 足 ０ Ⅱ｝ Ｊ＝５ ／ ， ：＝５ ｎ ＋ ＝。 ２ ， ＋
解 由题 设 ０ ＝ｒ 一 ＝ｏ ． ＝ ｎｇ ＝ｎ ｇ ． 上× ， 。ｂ ｌａ 口 ｌａ
若 ｂ ＞ｂ ， … 则
ｂ＋ １一ｂ ＝（ 凡＋１ ｒ ｌ。一ｎ ｇ ）上 ｇ ｎ ｌｎ
【 键 词 】 等 式 恒 成 立 问题 ； 列 ； 数 范 围 问题 关 不 数 参
在 高 考 压 轴 题 中 ， 与 函 数 恒 成 立 问题 既 有 类 似 之 处 ， 有 它 又 些 差 别 ， 生容 易 出错 ， 至 不 知 所 措． 里 通 过 几 个 例 学 甚 这 子 归 纳 这 类 问题 的 几 种 常 用 解 法 和 需 要 注 意 的 问题 ．
一
的 等 比数 列 ， ｂ 令 ＝ａｌａ （ ） 若 数 列 ｛ 中 的每 一 ｎ ｎＥＮ＋ ． ｇ ｂ｝ 项 总 小 于 它后 面 的 项 ， 。的取 值 范 围． 求
解 题 技 巧 与 方 法 嚣
稻 啦
。
．～ ＿
篝 童 俦 纛 戚 篆
【 要 】 等 式 的 恒 成 立 问题 是 学 生 较 难 理 解 和 掌 握 的 摘 不
一
参 魏
７６ ０ ） ４ ００
只需 ｍ≥６ ．
鼷
曦
◎ 马 健 （ 肃 省 陇 南 市武 都 区 两水 中 学 甘
于 ｎ的最小值 １令＿ ＜ ， Ⅱ １ ０ ０ ÷ ． ， １解得 ＞ 或 ＜ ＜
１ 一 ｒ 上 Ｚ
适 用 于解 厂ｎ 的最 值 容 易求 出 的 数 列 不 等 式 恒 成 立 题 型 ． （） 例 １ 已 知 数 列 ｛ 满 足 ０ Ⅱ｝ Ｊ＝５ ／ ， ：＝５ ｎ ＋ ＝。 ２ ， ＋
解 由题 设 ０ ＝ｒ 一 ＝ｏ ． ＝ ｎｇ ＝ｎ ｇ ． 上× ， 。ｂ ｌａ 口 ｌａ
若 ｂ ＞ｂ ， … 则
ｂ＋ １一ｂ ＝（ 凡＋１ ｒ ｌ。一ｎ ｇ ）上 ｇ ｎ ｌｎ
【 键 词 】 等 式 恒 成 立 问题 ； 列 ； 数 范 围 问题 关 不 数 参
在 高 考 压 轴 题 中 ， 与 函 数 恒 成 立 问题 既 有 类 似 之 处 ， 有 它 又 些 差 别 ， 生容 易 出错 ， 至 不 知 所 措． 里 通 过 几 个 例 学 甚 这 子 归 纳 这 类 问题 的 几 种 常 用 解 法 和 需 要 注 意 的 问题 ．
一
的 等 比数 列 ， ｂ 令 ＝ａｌａ （ ） 若 数 列 ｛ 中 的每 一 ｎ ｎＥＮ＋ ． ｇ ｂ｝ 项 总 小 于 它后 面 的 项 ， 。的取 值 范 围． 求
解 题 技 巧 与 方 法 嚣
稻 啦
。
．～ ＿
篝 童 俦 纛 戚 篆
【 要 】 等 式 的 恒 成 立 问题 是 学 生 较 难 理 解 和 掌 握 的 摘 不
一
参 魏
７６ ０ ） ４ ００
只需 ｍ≥６ ．
鼷
曦
◎ 马 健 （ 肃 省 陇 南 市武 都 区 两水 中 学 甘
五种策略巧解不等式中恒成立问题的参数范围
二 、 量 分 离 策 略 变 变 量 分 离 策 略 即将 参 数 与 未 知 量 分 离 于 表 达 式 的 两 边 ．
时 【 Ｊ・ ＇
由于 原 不 等 式 在Ｘ∈［ ｌ １ 一 ，］恒 成立 ，故 以上 各 情 形取 交 集 ， 以ａ ４ 所 ＝． 五 、 造 函数 策 略 构 此 种 策 略 在 综 合题 中 很是 常见 ． 据 题 意设 出所
周 宇
（ 睢宁 县 王 集 中 学 ， 苏 睢 宁 江 ２ １０ ） ２ ２ ０
五 种 策 略 巧 解 不 等 式 中 恒 成 立 问 题 的 参 数 范 围
摘 要 ： 观 近 几 年 全 国 高 考 试 题 ， 解 不 等 式 中恒 成 纵 求 立 问题 的参 数 范 围 的题 型 经 常 出现 。本 文详 细介 绍 了五 种 行 之有 效 的 解此 类题 的 策 略 。 关 键 词 ： 等 式 恒 成 立 问题 解 题 策 略 不 不 等 式 中恒 成 立 问 题 涉 及 一 次 函数 、 次 函 数 的 性 质 、 二 图 像 ， 透着换元 、 渗 化归 、 形 结 合 、 数 函数 与 方 程 等 思 想 方 法 ． 此 类 问 题 综 合 性 强 。 辑 能 力 要 求 高 ， 法 灵 活 ， 点 考 查 学 生 逻 解 重 的 分 析 问题 、 决 问 题 能 力 ． 握 以 下 几 种 常 规 策 略 ， 实 战 解 掌 在 中定 能 收 到很 好 的效 果 ， 面一 一 介 绍 ． 下
一
进 行研 究 的方 法 ． 种 方 法 让 我 们有 “ 重 水 复 疑 无路 ， 暗 花 此 山 柳 明又 一 村 ” 的感 觉 ． 使 我们 的 思路 清 晰 化 、 捷 化 ， 效 地 提 可 简 有 高 解题 效 率 ．
恒成立不等式中参数问题
浅谈恒成立不等式中的参数问题摘要：关于恒成立不等式的问题既含变量又含有参数，又有许多知识的交汇，因此与其相关的命题综合性比较强，题型也多种多样，这就需要我们在平时学习时用好转化思想，多归纳，多总结，多体会。
关键词：不等式恒成立参数恒成立不等式中的参数的取值范围问题，是近年来高考的热点之一，也是学生学习的难点之一。
它涉及的知识面比较广，并且综合性也比较强。
它往往与函数、数列、方程、立体几何、解析几何、复数以及应用型问题结合起来，题型形式灵活多变，而且语言也比较抽象。
那么哪些数学思想能解决此类问题呢？笔者下面就结合自己的教学经验，举一些具体的例子来讨论这类参数问题的处理方法。
例1.若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4∴a的取值范围为：-2说明：对于有关一元二次不等式ax2+bx+c0）的问题，可以设二次函数f（x）=ax2+bx+c，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据它的图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。
例2.设对于所有的实数x，不等式x2log24（a+1）/a+2xlog22a/（a+1）+log2（a+1）2/4a2>0，都恒成立，求a的取值范围。
解法一：（利用代换，结合判别式）令u=log2（a+1）/2a，则：（3+u）x2- 2ux+2u>0∴ 3+u>0 （1）4u2-8u（u+3）0∴（a+1）/2a>1，解得：0解法二：（分离参数，利用最值法）原不等式可以化为：x2[3+log2（a+1）/2a]-2xlog2（a+1）/2a+2log2（a+1）/2a>0 即：（x2-2x+2）*log2（a+1）/2a+3x2>0∵ x2-2x+2=（x+1）2+1>0∴原不等式可化为：log2（a+1）/2a>（-3x2）/[（x-1）2+1]要使原不等式恒成立，当且仅当log2（a+1）/2a>0解得：0评述：涉及恒成立不等式中变量的取值范围问题，可以根据a>f（x）恒成立等价于a>f（x）max， a（-1+■）/2解（2）得，（1-■）/2<x<（1+■）/2由（1）（2）得：（-1+■）/2<x<（1+■）/2∴ x的取值范围为（-1+■）/2<x<（1+■）/2说明：利用转换思想解决恒成立问题，一定要搞清楚谁是自变量，谁是参数。
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不等式恒成立求参数的范围
一、最值的直接应用
例1、已知函数2()()x k f x x k e =-。
⑴求()f x 的单调区间；
⑵若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤
1e ，求k 的取值范围.
例2、已知函数()()0≠++=x b x
a x x f ，其中R
b a ∈,. ⑴若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处切线方程为13+=x y ,求函数()x f 的解析式； ⑵讨论函数()x f 的单调性； ⑶若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范围.
例3、已知函数2()()x f x x a e =-.
⑴若3a =，求()f x 的单调区间；
⑵已知12,x x 是()f x 的两个不同的极值点，且1212||||x x x x +≥，若
3233()32
f a a a a b <+-+恒成立，求实数b 的取值范围。
二、恒成立之分离常数
例4、已知函数()ln 1,.a f x x a R x
=+-∈ (1) 若()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+，求函数()y f x =的单调区间；
(2) 若0a >，且对(0,2]x e ∈时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.
例5、已知函数12)(2
---=ax x e x f x
,（其中∈a R ,e 为自然对数的底数）. (1)当0=a 时,求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程；
(2)当x ≥1时,若关于x 的不等式)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围.
例6、设函数1()(1(1)ln(1)
f x x x x =>-++且0x ≠） （1）求()f x 的单调区间；
（2）求()f x 的取值范围；
（3）已知1
12(1)m x x +>+对任意(1,0)x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。
例7、已知函数1ln ()x f x x
+=
． （Ⅰ）若函数在区间1(,)2
a a +其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；
例8、已知函数2()(,),f x x bx c b c =++∈R 对任意的,x ∈R 恒有()()f x f x '≤. ⑴证明：当20()();x f x x c +≥时，≤
⑵若对满足题设条件的任意b 、c ，不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，求M 的最小值。
例9、已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈.
（１）若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值．
①求t 的取值范围；②若22a c b +=，求t 的值．
（２）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式 ()f x x ≤恒成立．求正整数m 的最大值．
例10、已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数).
(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1,+∞)上是增函数；
(2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值；
(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.
例11、设函数2()ln f x a x bx =-.
⑴若函数()f x 在1x =处与直线12
y =-
相切： ①求实数,a b 的值；②求函数()f x 在1[,]e e
上的最大值； ⑵当0b =时，若不等式()f x ≥m x +对所有的23[0,],[1,]2a x e ∈∈都成立，求实数m 的取值范围.。