七年级数学有理数的加法与减法3

第二章有理数的运算一、本节学习指导有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似，运算规律都一样，不同的是有负数参与，所以相对要复杂一些，本章要多加练习。

二、知识要点1、有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③一个数与0相加，仍得这个数.（2）加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。

（3）有理数加法的运算律：①加法的交换律：a+b=b+a；②加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.（4）为了计算简便，往往会采取以下方法：①互为相反的两个数，可以先相加；②符号相同的数，可以先相加；③分母相同的数，可以先相加；④几个数相加能得到整数，可以先相加。

2、有理数的减法有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.（有理数减法运算时注意两“变”：①减法变加法；②把减数变为它的相反数.有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，即减法没有交换律。

注：有理数的减法实质就是把减法变加法。

有理数的加减法混合运算的步骤：①写成省略加号的代数和。

在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。

注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。

3、有理数的乘法（1）有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；②任何数同零相乘都得零；（2）一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。

（3）乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

若ab=1<==>a、b互为倒数。

（4）几个不是0的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。

负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。

3. 有理数的加减混合运算【知识与技能】1.正确理解加法交换律，结合律，能利用运算律简化运算.2.熟练掌握有理数的加法和减法运算法则.3.能进行有理数的加减混合运算，培养学生的计算能力，向学生渗透归纳、转化等数学思想；在合作学习解决问题的过程中，体会合作交流的重要性.【过程与方法】从学生熟悉的生活实例得出“有理数的加减混合运算”，并通过各种师生活动加深学生对“运算律”和“加减混合运算”的理解；使学生在经历有理数混合运算的过程中，体验数学中的转化思想.【情感态度】通过有理数加减的学习，让学生在学习的过程中通过观察、比较、思考等体验数学的创新思维和发散思维，学会与人交流，培养实事求是的科学态度，使学生养成认真、细致的计算习惯.【教学重点】重点是运用加法运算律简化计算，在有理数的混合运算中，将加减统一成加法的省略括号的形式.【教学难点】难点是将加减统一成加法的省略括号的形式.一、情境导入，初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：计算：（1）①5+（-13）（-13）+5；②（-4）+（-8）（-8）+（-4）；（2）①8+(-5)+(-4)8+(-5)+(-4)；②(-6)+(-12)+15(-6)+(-12)+15.思考观察第一组两题，比较它们有什么异同点？第二组两题呢？由此你能得出什么结论？【情境2】实物投影，并呈现问题：2014年北京一个冬天的早晨只有—7℃，中午气温上升了11℃，到半夜又下降了9℃，那么半夜的温度是多少？你能列出算式吗？【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生观察、比较、讨论与归纳，感受运算律的意义和作用.通过实际问题引出有理数加减混合运算，并归纳出加减混合运算的一般步骤.情境1中第一组两题的两个加数相同，加数的位置不同，结果相同.两数相加，交换加数的位置，和不变.第二组两题中三个加数相同，运算顺序不同，结果相等.三个数相加，先把前两个数相加再加第三个数或把后两个数相加再加第一个数，其和不变.情境2中算式为：（-7）+11-9.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.有理数加法的运算律问题1用语言叙述加法的交换律和结合律？问题２用字母表示加法的交换律和结合律？【教学说明】学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】加法运算律：加法的交换律：a＋b＝b＋a;加法的结合律：（a＋b）＋c ＝a＋（b＋c）.在有理数的计算中，运用运算律可以简化运算.2.加减混合运算问题1有理数加减运算的一般顺序是什么？问题2有理数加减运算的一般步骤是什么？【教学说明】学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】有理数加减法混合运算的一般步骤为：（1）减法转化成加法；（2）省略加号及括号；（3）运用加法交换律使相加可得到整数的先相加；分母相同或易于通分的分数可先相加；互为相反数的可先相加.注意：在交换加数的位置时，要连同加数的符号一起交换.三、运用新知，深化理解1.不改变原式的值，将6-（＋3）-（-7）＋（-2）中括号去掉的形式是（）A.-6-3＋7-2B.6-3-7-2C.6-3＋7-2D.6＋3-7-22.-17-8-16+7的不正确读法是（）A.负17、负8、负16、正7的和B.减17减8减16加7C.负17减8减16加7D.负17加负8加负16加73.计算：（1）3+4.4+［(+334)+(-8.4)］+(-114)+6；（2）0.5+（-32）-（+2.75）-(-134).4.计算：-24＋3.2-16-3.5+0.3.5.列式计算：(1)-0.3与-13的和减去-1310的差；(2)-313与-1.2的差与-212的和.【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对有理数的加减混合运算有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.C 2.B3.解：（1）原式=712;（2）原式=-2.4.解：原式=-24-16+3.2+0.3-3.5 =-40+3.5-3.5=-40+0=-405.解：（1）［（-0.3）+（-13)］-（-1310）=(-3310)+(-13)+(+1310)=［(-310)+(+1310)］+(-13)=1+（-13）=23.（2）［（-313）-（-1.2）］+（-212）=［（-313）+（+115）］+（-212）=-2215+（-212）=-41930四、师生互动，课堂小结1.有理数加法的运算律是什么？有理数加减混合运算的一般步骤是什么？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第25页“练习”和教材第26页“习题1.4”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.在本节的教学中，通过观察、对比、归纳得出有理数加法的运算律，过程中充分发挥了学生的主动性，培养学生的语言表达能力，让学生体会学习数学的快乐和成就感，进而增强学习数学的信心.有理数的混合运算又加强了学生的思维和运用技巧的能力.第五章相交线与平行线5.4 平移1. 知道什么叫平移.2. 会欣赏、分析较复杂的平移图案，知道平移的实质是点的平移.3. 会对一个图形按要求进行平移.1.分析平移图案是由怎样的基本图案怎样平移而成的.2.能将一个图形按要求进行简单的平移.1.探求图形的平移实质.2.运用平移知识制作美丽的平移图案.问题1 如图，可以看作是什么“基本图案”通过平移得到.问题2 如图，是小鱼平移前后的图形，指出点A、B、C的对应点，并指出AD、BE、CF间的位置关系及大小关系.【教学说明】同学们分组活动，再交流成果.思考 1.问题1的答案只有一种吗？2.图形平移的实质是什么？3.平移前后两个图形的形状和大小是怎样的情况？平移前后连结各对应点的线段的关系怎样？【归纳结论】1.问题1的答案不唯一.2.图形平移的实质是点的平移.3.平移的特征：（1）平移前后两个图形的形状和大小完全相同；（2）新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的.这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.4.图形的平移方向不一定是水平的.5.利用平移可以制作很多美丽的图案.例1如图，平移四边形ABCD，使点A移动到点A′,画出平移后的四边形A′B′C′D′.【教学说明】让学生独立思考完成，锻炼学生的作图能力.【答案】略本节课应掌握：1.平移：把一个图形整体沿某一直线方向移动，得到一个新图形，这叫平移变换，简称平移.2.平移的特征：（1）平移前后，图形的形状大小完全相同；（2）平移前后两个图形上的对应点的连线平行且相等.从教材“习题5.4”中选取.第2课时三角形的三边关系【知识与技能】掌握三角形三条边的关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题.【过程与方法】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，开展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣. 【教学重点】掌握三角形三条边的关系。

七年级数学《有理数的加减混合运算》有理数的加减混合运算是七年级数学中的重要内容，它是对有理数的加法和减法进行综合运用的一种题型。

在这个题型中，我们需要灵活运用有理数的加法和减法规则，同时注意正负数的运算法则，以便正确地解答问题。

首先，我们来回顾一下有理数的加法和减法规则。

当两个有理数同号时，可以将它们的绝对值相加，并保持它们的符号不变。

例如，对于两个正数相加，可以将它们的绝对值相加，结果仍然是正数。

当两个有理数异号时，可以将它们的绝对值相减，并将结果的符号取决于绝对值较大的那个数。

例如，对于一个正数和一个负数相减，可以将它们的绝对值相减，结果的符号取决于绝对值较大的那个数。

当我们遇到多个有理数进行加减运算时，可以先对同号的数进行合并，然后再进行计算。

接下来，我们通过一些例题来练习有理数的加减混合运算。

例题1：计算下列各式的值：(-2) + (-3) - 5 + 4解：根据加法和减法的规则，我们可以先将同号的数进行合并。

(-2) + (-3) = -5，4 - 5 = -1。

因此，原式可以化简为：-5 - 1。

接下来，我们继续计算(-5) - 1。

根据减法的规则，我们可以将减法转化为加法的形式，即(-5) + (-1)。

将同号的数进行合并，得到-6。

因此，原式的值为-6。

例题2：计算下列各式的值：(-3) - 4 + (-5) - (-2)解：根据减法的规则，将减法转化为加法的形式，即(-3) + (-4) + (-5) + 2。

将同号的数进行合并，得到：-7 + (-5) + 2。

继续合并，得到-12 + 2。

最后计算得到-10。

通过以上两个例题，我们可以看出，在有理数的加减混合运算中，我们需要注意正负号的运算法则，并且要灵活运用加法和减法的规则。

除了基本的有理数的加减混合运算外，我们还可以遇到一些复杂一点的题目，例如涉及括号的运算。

在这种情况下，我们需要先计算括号内的运算，然后再进行整体的运算。

七年级数学有理数的加减法一、有理数加法。

1. 法则。

- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

- 例如：3 + 5=8，因为3和5都是正数（同号），所以结果是正数，|3|+|5| = 3 + 5=8；-3+(-5)=-(3 + 5)=-8，-3和-5都是负数，取负号，再把绝对值相加。

- 异号两数相加，绝对值相等时和为0（即互为相反数的两数相加得0）；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

- 例如：3+(-5)=-(5 - 3)=-2，| - 5|>|3|，所以取-5的符号（负号），然后用| - 5|-|3| = 5 - 3 = 2；5+(-3)=5 - 3 = 2，这里|5|>| - 3|，取5的符号（正号），再用|5|-| - 3| = 5 - 3 = 2；3+(-3)=0，因为3和-3互为相反数。

- 一个数同0相加，仍得这个数。

例如：0+5 = 5，-3+0=-3。

2. 运算律。

- 加法交换律：a + b=b + a。

- 例如：3+5 = 5+3 = 8，-2+3=3+(-2)=1。

- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。

- 例如：(2 + 3)+4=2+(3 + 4)，先算2+3 = 5，(2 + 3)+4=5 + 4 = 9；先算3+4 = 7，2+(3 + 4)=2+7 = 9。

二、有理数减法。

1. 法则。

- 减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即a - b=a+(-b)。

- 例如：5-3 = 5+(-3)=2；3-5 = 3+(-5)=-2；-2-(-3)=-2+3 = 1。

三、有理数加减法混合运算。

1. 步骤。

- 统一成加法运算。

- 例如：3 - 5+2可以写成3+(-5)+2。

- 运用加法运算律简便运算。

- 例如：计算3+(-5)+2，根据加法交换律3+2+(-5)，先算3 + 2=5，再算5+(-5)=0。

2. 注意事项。

有理数的减法第2课时有理数的加减混合运算学习目标：1.理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算.2.通过加减法的相互转化，培养应变能力、计算能力.重点：把加减混合运算理解为加法运算.难点：把省略括号的和的形式直接按有理数加法进行计算.自主学习一、知识链接1.有理数的加法法则__________________________________________________________________________.2.有理数的加法运算律__________________________________________________________________________. 有理数的减法法则__________________________________________________________________________. 计算（1）（－7）－（+ 4）（2）0－（－5）（3）（－ 2.5）+5.9 （4）（－2）+（－1）二、新知预习一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：此时飞机比起飞点高了多少千米？方法一：4.5+（-3.2）+1.1+（-1.4）方法二：4.5-3.2+1.1-1.4=1.3+1.1+（-1.4） =1.3+1.1-1.4=2.4+ （-1.4）=2.4-1.4=1（千米）. =1（千米）.比较以上两种算法，你发现了什么？【自主归纳】加法运算中，各个加数的括号及其前面的运算符号“+”可以省略不写.例如：4.5+（-3.2）+1.1+（-1.4）可写成 4.5-3.2+1.1-1.4 .它表示4.5，-3.2，1.1与-1.4的和，读作“4.5，负3.2，”，或读作“1.4”.自学自测计算（1） 10+(+4)+(-6)-(-5)；（2）(-8)-(+4)+(-7)-(+9)．四、我的疑惑___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________课堂探究要点探究探究点1：有理数的加减混合运算问题1：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.如：a+b-c=a+b+______.将（-20）+（+3）-（-5）-（+7）转化为加法:______________________________这个算式我们可以看作是______、______ 、______、______这四个数的和.为书写简单，省略算式中的括号和加号写为____________也可简单写为：（-20）+（+3）+（+5）+（-7）在符号简写这个环节，有什么小窍门么？问题2：观察下列式子，你能发现简化符号的规律吗？(－40)－(＋27)＋19－24－(－32)＝－40－27＋19－24＋32(－9)－(－2)＋(－3)－4＝－9 ＋ 2 － 3－4规律：数字前“－”号是奇数个取“－”；数字前“－”号是偶数个取“＋”例1 计算：（－2）＋（+30）－（－15）－（＋27）例2 计算：（1） -127+116-125+115（2）(-18.25)-452+(+1841)+4.4归纳总结：有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）省略加号和括号；（3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加； （4）按有理数加法法则计算． 探究点2：加减混合运算的应用例3 动物园在检验成年麦哲伦企鹅的身体状况时，最重要的一项工作就是称体重.已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行体重检测，以4kg 为标准，超过或者不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下表所示，求这6只企鹅的总体重.可以先求出每只企鹅的体重后，再相加吗？哪种方法根简便呢？ 针对训练 1.计算(1) 0-1+2-3+4-5； (2) –4.2+5.7-8.4+10.2；（3）–30+11-(-10)+(-11)；（4)1111320.252436⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.某公路养护小组乘车沿南北方向公路巡视维护，某天从地出发，约定向南行驶为正，到收工时的行驶记录如下：（单位：千米）8，－5，7，－4，－6，13，4，12，－11 （1）问收工时，养护小组在地的哪一边？距离地多远？（2）若汽车行驶毎千米耗油0.5升，求从出发到收工共耗油多少升？二、课堂小结有理数加减法混合运算： 方法一：减法转化成加法 1.减法变加法：a+b-c=a+b+(-c) 2.运用加法交换律使同号两数分别相加； 3.按有理数加法法则计算 方法二：省略括号法 1.省略括号； 2.同号放一起； 3.进行加减运算. 当堂检测1.若a= -2，b=3，c= -4 ，则a-(b-c)的值为______ .2.计算：（1）－11－9－7＋6－8＋10 （2）－5.75－（－3） ＋（－5）－3.125（3）|-141|-（-43）+1-|21-1|3.下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ） A.1-4+5-4=1-4+4-5B.-31+43-61-41=41+43-31-61C.1-2+3-4=2-1+4-34.计算1-2+3-4+5+ …+99-100=________.5.-4，-5，+7这三个数的和比这三个数的绝对值的和小________.数轴教学目标知识与技能：1.认识数轴，会用数轴上的点表示有理数.2.了解数轴的概念，知道数轴的三要素，会画数轴.过程与方法：从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念.情感态度与价值观：通过数轴的学习，体会数形结合的数学思想方法，认识事物之间的联系，感受数学与生活的联系.教学重难点重点:数轴的概念难点:从直观认识到理性认识，建立数轴的概念，正确地画出数轴.教学过程活动1:创设情境，导入新课设计意图:直接抛出数轴的名称，对应学生小学中已经接触过的用直线上的点表示数，引起学生的学习兴趣，建立初步的数轴印象.师:提问有理数包括哪些数？0是正数还是负数？在日常生活中，你能举出一些用刻度来表示物品的数量的例子吗？让学生充分讨论，明确知识是从实践中得到的，它与我们的生活息息相关;再有，数除了可以用符号表示外，还有其他表示方法，从而引出新课:数轴.活动2:学习数轴的概念，探索数轴的画法设计意图:通过教具的使用，使学生能够直观地感受数与形之间的对应关系，渗透数形结合的数学思想，通过讨论、自主学习、合作交流等形式，使学生对数轴从感性认识上升到理性认识.1.教师出示温度计，问:你会读温度计吗？温度上的刻度与数值之间有什么关系？2.教师出示图片，提出:怎样用数简明的表示树、电线杆与汽车站的相对位置关系(方向、距离)？说明:将公路看作直线，将各个事物看作点.学生动手操作，感受画数轴的过程，之后，师让学生阅读教材15页上的三段话，正确规范地理解数轴的概念，然后师生共同总结数轴的三要素.活动3:学习有理数在数轴上的表示方法设计意图:会说出数轴上已知点所表示的数，能将已知数在数轴上表示出来，这是本节课要求学生掌握的最基本的技能，也是以后继续学习坐标系的基础.让学生通过练习感受数与形之间的对应关系，感受数学直观与抽象之间的联系.师:数轴上的点都是整数，分数或小数能用数轴上的点表示吗？生:思考后回答，然后完成教材练习.师:观察数轴，数轴上原点左边的数都是什么数，右边呢？生:讨论后进行归纳，最后师作点评.活动4:课后作业下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里.【答案】①错，没有原点;②错，没有正方向;③正确; ④错，没有单位长度;⑤错，单位不统一;⑥错，正方向标错.【板书设计】活动1:创设情境，导入新课活动2:学习数轴的概念，探索数轴的画法.活动3:学习有理数在数轴上的表示方法活动4:课后作业检测内容：5.3－5.4得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列A，B，C，D四幅“福牛乐乐”图中，能通过平移图①得到的是( C )2．(2019•湘西州)如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为( B ) A．40° B．90° C．50° D．100°第2题图第3题图3．(天门中考)如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是( D )A．25° B．35° C．45° D．50°4．(2019•甘肃)如图，将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是( D )A．48° B．78° C．92° D．102°第4题图第5题图5．(2019•泰安)如图，直线l1//l2，∠1＝30°，则∠2＋∠3＝( C )A．150° B．180° C．210° D．240°6．下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②如果x2＝4，那么x＝2；③经过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④邻补角的平分线互相垂直．其中假命题的个数有( B )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC＝120°，则∠CDF＝( A )A．60° B．120° C．150° D．180°第7题图第8题图8．(内江中考)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( D )A．31° B．28° C．62° D．56°二、填空题(每小题4分，共16分)9．如图所示，同位角一共有__6__对，内错角一共有__4__对，同旁内角一共有__4__对．第9题图第11题图10．命题“邻补角的平分线互相垂直”的题设是__两个角是邻补角__，结论是__它们的平分线互相垂直__．它是一个__真__命题(填“真”或“假”).11．(2019•郴州)如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为__100__度．12．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将三角形ABC沿CB向右平移得到三角形DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于__8__．三、解答题(共52分)13．(10分)完成下面证明．如图，∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D.证明：∵∠1＝∠2(已知)，又∵∠2＝∠3(__对顶角相等__)，∴∠1＝∠3(__等量代换__)，∴__BD__∥__CE__(_同位角相等，两直线平行_)，∴∠C＝∠ABD(__两直线平行，同位角相等__).∵∠A＝∠F(已知)，∴__AC__∥__DF__(内错角相等，两直线平行)，∴∠D＝∠ABD(__两直线平行，内错角相等__)，∴∠C＝∠D(__等量代换__).14．(10分)如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，问：直线EF 与AB有怎样的位置关系？为什么？解：EF∥AB.理由：∵CD∥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝70°，又∵∠CBF＝20°，∴∠ABF＝50°，∴∠ABF＋∠EFB＝50°＋130°＝180°，∴EF∥AB(同旁内角互补，两直线平行)15．(10分)如图所示，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，且∠1＝∠F，试猜想CE与DF的位置关系？并说明你的理由．解：CE∥DF.理由如下：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB.又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠F，∴∠2＝∠F，∴CE∥DF 16．(10分)如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AE∥DF，问∠1＝∠2吗？为什么？解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠CDA，∵AE∥DF，∴∠EAD＝∠ADF，∴∠BAD－∠EAD＝∠ADC－∠ADF，即∠1＝∠217．(12分)(许昌期中)如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在点B 的左侧，点D在点C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN ＝120°.(1)若∠ADQ＝110°，求∠BED的度数；(2)将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，求∠BED的度数(用含n的代数式表示).解：(1)如图①，延长DE交MN于点H.∵∠ADQ＝110°，ED平分∠ADP，∴∠PDH＝12∠PDA＝35°，∵PQ∥MN，∴∠EHB＝11 ∠PDH ＝35°，∵∠CBN ＝120°，EB 平分∠ABC ，∴∠EBH ＝12∠ABC ＝30°，∴∠BED ＝∠EHB ＋∠EBH ＝65°(2)有三种情形．当n °＞60°时，如图②中，延长DE 交MN 于点H .∵PQ ∥MN ，∴∠QDH ＋∠DHB ＝180°，∴∠EHB ＝180°－12 n °，∴∠BED ＝∠EHB ＋∠EBH ＝180°－12n °＋30°＝210°－12n °；当n °＜60°时，如图③中，设BE 交PQ 于点H .∵∠DHB ＝∠HBA ＝30°，∠EDH ＝12 n °，又∵∠DHB ＝∠BED ＋∠EDH ，∴∠BED ＝30°－12n °；当n °－60°时，∠BED 不存在．综上所述，∠BED ＝210°－12 n °或30°－12n °。

专题03 有理数的加减法重点突破知识点一 有理数的加法（基础）有理数的加法法则：（先确定符号,再算绝对值） 1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；2.异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数）4.一个数同0相加,仍得这个数。

有理数的加法运算律：1.两个数相加,交换加数的位置,和不变。

即a b b a +=+；2.三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。

即()()a b c a b c ++=++。

知识点二 有理数的减法（基础） 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

即()a b a b -=+-。

【注意减法运算2个要素发生变化】：减号变成加号；减数变成它的相反数。

有理数减法步骤： 1.将减号变为加号。

2.将减数变为它的相反数。

3.按照加法法则进行计算。

考查题型考查题型一 有理数加法运算典例1．（2018·广东初一期中）计算－(－1)＋|－1|,其结果为( ) A ．－2 B ．2 C ．0 D ．－1【答案】B 【解析】试题提示：由题可得：原式=1+1=2,故选B．a b的值（）变式1-1．（2019·呼伦贝尔市期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则A．大于0B．小于0C．小于a D．大于b【答案】A【提示】先根据数轴的特点判断出a,b的符号,再根据其与原点的距离判断出其绝对值的大小,然后根据有理数的加法法则得出结果．【详解】根据a,b两点在数轴上的位置可知,a＜0,b＞0,且|b|＞|a|,所以a+b＞0．故选A．【名师点拨】此题考查数轴,绝对值,有理数的加法法则．解题关键在于用几何方法借助数轴来求解,非常直观,体现了数形结合的优点．变式1-2．（2019·庆阳市期中）若a＝2,|b|＝5,则a＋b＝( )A．－3 B．7 C．－7 D．－3或7【答案】D【提示】根据|b|=5,求出b=±5,再把a与b的值代入进行计算,即可得出答案．【详解】∵|b|=5,∴b=±5,∴a+b=2+5=7或a+b=2-5=-3；故选D．【名师点拨】此题考查了有理数的加法运算和绝对值的意义,解题的关键是根据绝对值的意义求出b的值．变式1-3．（2019·扬州市期中）若|m|=3,|n|=5,且m-n＞0,则m+n的值是（）A．-2 B．-8或8 C．-8或-2 D．8或-2【答案】C【详解】∵|m|=3,|n|=5,∴m=±3,n=±5,∵m-n＞0,∴m=±3,n=-5,∴m+n=±3-5,∴m+n=-2或m+n=-8．故选C ．变式1-4．（2018·上饶市期末）若m 是有理数,则m m +的值是（ ） A ．正数 B ．负数C ．0或正数D ．0或负数【答案】C【提示】根据：如果m>0,则|m|=m; 如果m<0,则|m|=-m; 如果m=0,则|m|=0.【详解】如果m 是正数,则m m +是正数；如果m 是负数,则m m +是0；如果m 是0,则m m +是0. 故选C【名师点拨】本题考核知识点：有理数的绝对值.解题关键点：理解绝对值的意义. 考查题型二 有理数加法中的符号问题典例2．（2018·重庆市期末）将 6-(+3)+(-2) 改写成省略括号的和的形式是（ ） A ．6-3-2 B ．-6-3-2C ．6-3+2D ．6+3-2【答案】A【提示】先把加减法统一成加法,再省略括号和加号．【详解】将6﹣（+3）+（﹣2）改写成省略括号的和的形式为6﹣3﹣2． 故选A ．【名师点拨】本题考查了有理数的加减混合运算,将算式写成省略括号的形式必须统一成加法后,才能省略括号和加号．变式2-1．（2020·银川市期中）把（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）+（﹣7）写成省略括号的和的形式是（ ）． A ．﹣3﹣5+1﹣7 B ．3﹣5﹣1﹣7 C ．3﹣5+1﹣7 D ．3+5+1﹣7 【答案】C【解析】（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）+（﹣7）=（+3）+（-5）+（+1）+（﹣7）=3﹣5+1﹣7, 故选：C.变式2-2．（2020·邯郸市期末）若两个非零的有理数a,b 满足：|a|＝－a,|b|＝b,a ＋b ＜0,则在数轴上表示数a,b 的点正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【提示】根据|a|=-a 得出a 是负数,根据|b|=b 得出b 是正数,根据a+b ＜0得出a 的绝对值比b 大,在数轴上表示出来即可．【详解】解：∵a 、b 是两个非零的有理数满足：|a|=-a,|b|=b,a+b ＜0, ∴a ＜0,b ＞0, ∵a+b ＜0, ∴|a|＞|b|, ∴在数轴上表示为：故选D.【名师点拨】本题考查数轴,绝对值,有理数的加法法则等知识点,解题关键是确定出a ＜0,b ＞0,|a|＞|b|． 变式2-3．（2019·深圳市期中）如果a ＜0,b ＞0,a ＋b ＜0 ,那么下列关系式中正确的是（ ） A ．a b b a ->>-> B ．a a b b >->>- C ．a b b a >>->- D ．b a b a >>->-【答案】A【提示】由于a ＜0,b ＞0,a+b ＜0,则|a|＞b,于是有-a>b,-b>a,易得a,b,-a,-b 的大小关系． 【详解】∵a ＜0,b ＞0,a+b ＜0, ∴|a|＞b, ∴-a>b,-b>a,∴a,b,-a,-b 的大小关系为：-a>b>-b>a, 故选A ．【名师点拨】本题考查了有理数的加法法则,有理数的大小比较,异号两数的加法法则确定出|a|＞b 是解题的关键. 考查题型三 有理数加法在实际生活中的应用典例3（2018·厦门市期末）下列温度是由－3℃上升5℃的是（ ） A ．2℃ B ．－2℃ C ．8℃ D ．－8℃【答案】A【提示】物体温度升高时,用初始温度加上上升的温度就是上升之后的温度,即是所求 【详解】（－3℃）+5℃= 2℃ 故本题答案应为：A【名师点拨】此题考查了温度的有关计算,是一道基础题．熟练掌握其基础知识是解题的关键变式3-1．（2019·石家庄市期中）在学习“有理数的加法与减法运算”时,我们做过如下观察：“小亮操控遥控车模沿东西方向做定向行驶练习,规定初始位置为0,向东行驶为正,向西行驶为负．先向西行驶3m,在向东行驶lm,这时车模的位置表示什么数？”用算式表示以上过程和结果的是（ ） A ．（﹣3）﹣（+1）=﹣4 B ．（﹣3）+（+1）=﹣2C．（+3）+（﹣1）=+2 D．（+3）+（+1）=+4【答案】B【详解】由题意可得：（﹣3）+（+1）=﹣2．故选B．变式3-2．（2019·石家庄市期中）一家快餐店一周中每天的盈亏情况如下（盈利为正）：37元,-26元,-15元,27元,-7元,128元,98元,这家快餐店总的盈亏情况是（）A．盈利了290元B．亏损了48元C．盈利了242元D．盈利了-242元【答案】C【提示】利用有理数的加法求出已知各数的和即可求出一周总的盈亏情况．【详解】∵37+(−26)+(−15)+27+(−7)+128+98=242（元）,∴一周总的盈亏情况是盈利242元.故选择C.【名师点拨】本题考查正数和负数、有理数的加法,解题的关键是掌握正数和负数、有理数的加法.±kg,现随机选取10袋面粉进行质量变式3-3．（2020·沈阳市期末）面粉厂规定某种面粉每袋的标准质量为500.2检测,结果如下表所示：则不符合要求的有（）A．1袋B．2袋C．3袋D．4袋【答案】A【提示】提示表格数据,找到符合标准的质量区间即可解题.±kg,即质量在49.8kg——50.2kg之间的都符合要求,【详解】解：∵每袋的标准质量为500.2根据统计表可知第5袋49.7kg不符合要求,故选A.【名师点拨】本题考查了有理数的实际应用,属于简单题,熟悉概念是解题关键.考查题型四有理数加法运算律典例4．（2019·忠县期中）计算1﹣3+5﹣7+9=（1+5+9）+（﹣3﹣7）是应用了（）A．加法交换律 B．加法结合律C．分配律 D．加法交换律与结合律【答案】D【提示】根据加法交换律与结合律即可求解．【详解】计算1-3+5-7+9=（1+5+9）+（-3-7）是应用了加法交换律与结合律．故选：D．【名师点拨】考查了有理数的加减混合运算,方法指引：①在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式,就可以应用加法的运算律,使计算简化．变式4-1．（2018·新蔡县期中）计算()+()+()+()等于（）A．-1 B．1 C．0 D． 4【答案】A【提示】有理数的加减运算,适当运用加法交换律.【详解】解：故选：A.【名师点拨】本题考查有理数的加减运算,熟记有理数的加减运算法则,同时能够题目数字特点进行灵活计算.变式4-2．（2019淮南市期中）－1＋2－3＋4－5＋6＋…－2017＋2018的值为( )A．1 B．－1 C．2018 D．1009【答案】D【提示】从左边开始,相邻的两项分成一组,组共分成1009组,每组的和是1,据此即可求解．【详解】原式=(−1+2)+(−3+4)+(−5+6)+…(−2015+2016)+(−2017+2018),=1+1+1+…+1=1×1009,=1009.故选D.【名师点拨】属于规律型：数字的变化类,考查有理数的加减混合运算,掌握运算法则是解题的关键.变式4-3．（2019·南阳市期中）下列交换加数的位置的变形中,正确的是A．1-4+5-4=1-4+4-5 B．13111311 34644436 -+--=+--C．1-2+3-4=2-1+4-3 D．4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7 【答案】D【详解】A. 1−4+5−4=1−4−4+5,故错误；B.13111311=-34644436-+--+--,故错误；C. 1-2+3-4=-2+1-4+3,故错误；D. 4.5−1.7−2.5+1.8=4.5−2.5+1.8−1.7,故正确． 故选D.考查题型五 有理数减法运算典例5．（2020·济南市期末）﹣3﹣（﹣2）的值是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．5 D ．﹣5【答案】A【提示】利用有理数的减法的运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】﹣3﹣（﹣2）=﹣3+2=﹣1,故选A ．【名师点拨】本题主要考查了有理数的减法运算,正确掌握运算法则是解题关键． 变式5-1．（2019·郯城县期末）比﹣1小2的数是（ ） A ．3 B ．1 C ．﹣2 D ．﹣3【答案】D【提示】根据题意可得算式,再计算即可． 【详解】-1-2=-3, 故选D ．【名师点拨】此题主要考查了有理数的减法,关键是掌握减去一个数,等于加上这个数的相反数． 变式5-2．（2019·重庆市期末）若 |a |= 3, |b | =1 ,且 a > b ,那么 a -b 的值是（ ） A ．4 B ．2 C ．-4 D ．4或2【答案】D根据绝对值的性质可得a =±3,b =±1,再根据a ＞b ,可得①a =3,b =1②a =3,b =﹣1,然后计算出a －b 即可． 【详解】∵|a |=3,|b |=1,∴a =±3,b =±1． ∵a ＞b ,∴有两种情况： ①a =3,b =1,则：a －b =2； ②a =3,b =﹣1,则a －b =4． 故选D ．【名师点拨】本题考查了绝对值的性质,以及有理数的减法,关键是掌握绝对值的性质,绝对值等于一个正数的数有两个．变式5-3．（2018·自贡市期中）若x ＜0,则()x x --等于（ ） A ．－x B ．0 C ．2x D ．－2x【答案】D【提示】根据有理数的加法法则和绝对值的代数意义进行提示解答即可.【详解】()2x x x x x --=+=, ∵0x <, ∴20x <,∴原式=22x x =-. 故选D.【名师点拨】“由已知条件0x <得到20x <,进而根据绝对值的代数意义得到：22x x =-”是解答本题的关键. 考查题型六 有理数减法在实际生活中的应用典例6．（2019临河区期末）某市有一天的最高气温为2℃,最低气温为﹣8℃,则这天的最高气温比最低气温高（ ） A ．10℃ B ．6℃ C ．﹣6℃ D ．﹣10℃ 【答案】A【解析】提示：用最高温度减去最低温度,然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 详解：2-（-8） =2+8 =10（℃）． 故选：A ．名师点拨：本题考查了有理数的减法,是基础题,熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 变式6-1．（2019·长兴县月考）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表,则这四天中温差最大的是（ ）A ．星期一B ．星期二C ．星期三D ．星期四【答案】C【提示】利用每天的最高温度减去最低温度求得每一天的温差,比较即可解答. 【详解】星期一温差：10﹣3＝7℃； 星期二温差：12﹣0＝12℃； 星期三温差：11﹣（﹣2）＝13℃； 星期四温差：9﹣（﹣3）＝12℃； 综上,周三的温差最大. 故选C ．【名师点拨】本题考查了有理数的减法的应用,根据题意正确列出算式,准确计算有理数减法是解题的关键． 变式6-2．（2018·吕梁市期末）我市冬季里某一天的最低气温是-10℃,最高气温是5℃,这一天的温差为 A ．-5℃ B ．5℃C ．10℃D ．15℃【答案】D【详解】解：5−(−10) =5+10=15℃． 故选D.变式6-3．（2020·寿阳县期末）甲、乙、丙三地海拔分别为20m ,15m -,10m -,那么最高的地方比最低的地方高( ) A ．10m B ．25mC ．35mD ．5m【答案】C【提示】根据正数与负数在实际生活中的应用、有理数的减法即可得．【详解】由正数与负数的意义得：最高的地方的海拔为20m ,最低的地方的海拔为15m - 则最高的地方比最低的地方高20(15)201535()m --=+= 故选：C ．【名师点拨】本题考查了正数与负数在实际生活中的应用、有理数的减法,理解负数的意义是解题关键． 考查题型七 有理数加减混合运算典例7（2018·南阳市期中）计算：①﹣13+（﹣20）﹣（﹣33）；②（+12）﹣（﹣13）+（﹣14）﹣（+16） 【答案】①0；②512． 【解析】①﹣13+（﹣20）﹣（﹣33） =﹣33+33 =0；②（+12）﹣（﹣13）+（﹣14）﹣（+16） =12+13﹣14﹣16 =643212121212+-- =512. 变式7-1．（2019·河池市期中）计算：（1） 6789-+- （2） 2(5)(8)5---+-- 【答案】（1）-2；（2）-10-+-【详解】解：（1）6789-+-=189-=79=-2---+--（2）2(5)(8)5=-+--2585=--385=--55=-10【名师点拨】此题考查的是有理数的加减法混合运算,掌握有理数的加、减法法则是解决此题的关键．变式7-2．（2019·枣庄市期中）请根据如图所示的对话解答下列问题．求：(1)a,b,c的值；(2)8－a＋b－c的值．【答案】(1)a＝－3,b＝±7,c=-1或-15; (2)33或5.【详解】解：（1）∵a的相反数是3,b的绝对值是7,∴a=-3,b=±7；∵a=-3,b=±7,c和b的和是-8,∴当b=7时,c= -15,当b= -7时,c= -1,（2）当a=-3,b=7,c=-15时,8-a+b-c=8-（-3）+7-（-15）=33；当a=-3,b=-7,c=-1时,8-a+b-c=8-（-3）+（-7）-（-1）=5．故答案为（1）a=-3,b=±7；c=-1或-15;（2）33或5.【名师点拨】本题考查有理数的加减混合运算,掌握相反数和绝对值的概念是解题关键.。

七年级上册数学有理数的加减法主要内容：有理数是整数和分数的统称，加法和减法是有理数的两种基本运算。

本文将介绍七年级上册数学中有理数的加法和减法。

一、有理数的加法有理数的加法是指将两个有理数相加得到一个新的有理数的过程。

加法有以下几个特点：1. 正数加正数：两个正数相加，结果仍为正数。

例如，2 + 3 = 5。

2. 负数加负数：两个负数相加，结果仍为负数。

例如，-2 + (-3) = -5。

3. 正数加负数：一个正数和一个负数相加，结果的符号取决于绝对值较大的数的符号。

例如，2 + (-3) = -1。

4. 零是加法的单位元素：任何数加上零等于它本身。

例如，5 + 0 = 5。

二、有理数的减法有理数的减法是指将一个有理数减去另一个有理数得到一个新的有理数的过程。

减法有以下几个特点：1. 正数减正数：两个正数相减，结果可能是正数、零或负数，取决于被减数和减数的大小关系。

例如，5 - 2 = 3。

2. 负数减负数：两个负数相减，结果可能是正数、零或负数，取决于被减数和减数的大小关系。

例如，-5 - (-2) = -3。

3. 正数减负数：一个正数减去一个负数，可以先将减法转化为加法，即将减数的符号取相反数，然后进行加法运算。

例如，5 - (-3) 可以转化为 5 + 3，结果为 8。

4. 零减任何数等于负数：零减去任何数的结果都是该数的相反数。

例如，0 - 5 = -5。

总结：有理数的加法和减法都有一些特点和规律，掌握这些规律能够帮助我们更好地进行有理数的计算。

在解题时要注意运算顺序，合理运用加法和减法的规则，避免计算错误。

希望本文对你在七年级上册数学中学习有理数的加法和减法有所帮助！。

《有理数的加减混合运算（第3课时）》教学教案课题 2.6 有理数的加减混合运算（3）单元第二单元学科数学年级七教材分析本节设置了一个丰富的现实情境一—流花河的水文资料，并据此资料，提出相关问题，综合运用有理数及其加法、减法的有关知识对现实问题进行讨论，进一步体会数学和现实生活的联系．通过对流花河一周内的水位变化的数据信息进行分析，判断一周中每天河流水位情况，继而用折线统计图表示本周的水位情况，让学生体会用数学的方法对生活中的问题进行合理判断，并学会用数学工具直观地表示事物的变化情况。

它对学生进一步理解有理数加减运算，提高运用知识解决实际问题能力，激发学习数学的热情学情分析学生在前面已经学习了有理数加减混合运算，能够综合运用有理数的意义及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题.在相关知识的学习过程中，学生已经经历了观察、抽象、计算等活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了有理数的意义和作用，体会到数学与现实生活的联系；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

学习目标1、培养学生的动态观察、对比、分析生活问题的能力；让学生能综合运用有理数及其加、减法的有关知识灵活地解决简单的实际问题。

2、在师生、生生的交流活动中，复习巩固加减运算，逐步把学生牵引到对较复杂数据的灵活处理。

使学生感受到折线统计图确实可以直观地反映事物的变化情况。

3、让学生经历和体验用所学的知识解决实际生活中问题的乐趣，感受到有理数运算的实用性，增强学生学好数学的信心。

重点利用有理数的加、减法解决实际问题.难点实际问题数学化,将实际问题转化为数学问题．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课1、教师出示课件：算算这两道题，课前热身一下。

2、看一看：观察流花河图片：教师以雨季流花河一周内的水位变学生自主思考，计算飞流学生有理数的运算已有认识，以流化情况引入：教师引导学生观察流花河的水文资料（单位：m），取河流警戒平均水位记作:-10.8米最低水位记作:-11.9米教师引导学生思考得出今天学习内容有理数的加减混合运算的实际应用。

有理数的加法与减法（8种题型）1．理解有理数加减法的意义；2．初步掌握有理数加法与减法法则；3．能准确地进行有理数的加法与减法运算，并能运用其解决简单的实际问题．一．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．二．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．三．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．四、有理数加减法混合运算技巧（1）把算式中的减法转化为加法；（2）去括号时注意符号，能省掉的“+”号要省掉；（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．题型一：有理数的加法法则例1.计算：(1)(－0.9)＋(－0.87)；(2)(＋456)＋(－312)；(3)(－5.25)＋514；(4)(－89)＋0.解析：利用有理数加法法则，首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加，然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值．解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77；(2)(＋456)＋(－312)＝113；(3)(－5.25)＋514＝0；(4)(－89)＋0＝－89.方法总结：两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值．【变式1】计算：(1)(+20)+(+12)； (2)1223⎛⎫⎛⎫−+−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2)12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−=−+=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．【变式2】设[]x 表示不超过x 的最大整数，计算：][2.3 6.5⎡⎤−+=⎣⎦______．【答案】3【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解．【详解】解：∵[]x 表示不超过x 的最大整数，∴][2.3 6.563,⎡⎤−=−=⎣⎦， ∴][2.3 6.5363⎡⎤−+=−+=⎣⎦； 故答案为3．【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键．【答案】(1) 4.62−；(2)0.25−．【分析】（1）根据有理数的加法运算法则进行计算即可；（2）根据有理数的加法运算法则及求一个数的绝对值进行计算即可．【详解】（1）解：()() 33 2.71 1.695⎛⎫−+−++⎪⎝⎭()()3.6 2.71 1.69 =−+−+()3.6 2.71 1.69 =−++6.31 1.69=−+()6.31 1.69=−−4.62=−；（2）11 5 4.257522⎛⎫−++−+⎪⎝⎭()5.5 4.257 5.5=−++−+()1.25 1.5=−+−()1.25 1.5=+−()1.5 1.25=−−0.25=−．【点睛】本题考查了有理数的加法运算及求一个数的绝对值；解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值(2)6(3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则；（2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序；（3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题．【详解】（1）解：由题意可得，归纳※（宏)运算的运算法则：同号两数进行※（宏)运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏)运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．（2）解：()()()134+−⎡⎤⎣⎦−※※，()()33=−−※， 6=，故答案为：6；（3）解：()()231−+=−※，()()231−+=−※．∴加法交换律适用；()()()()()412321+−+=−+=−※※※，()()()()()124134−+=+−−⎡⎤+⎣⎦※※※，而13−≠−，∴加法结合律不适用．【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法．题型二：有理数加法在实际生活中的应用例2.股民默克上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：(1)星期三收盘时，每股多少元？(2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？解析：(1)用买进的价格加上周一、周二、周三的涨跌价格，然后根据有理数加法运算法则进行计算即可求解；(2)分别求出这五天的价格，然后即可得解．解：(1)67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元)，故星期三收盘时，每股74.5元；(2)周一：67＋4＝71元，周二：71＋4.5＝75.5元，周三：75.5＋(－1)＝74.5元，周四：74.5＋(－2.5)＝72元，周五：72＋(－6)＝66元，∴本周内每股最高价为75.5元，最低价66元．方法总结：股票每天的涨跌都是在前一天的基础上进行的，不要理解为每天都是在67元的基础上涨跌．另外熟记运算法则并根据题意准确列出算式也是解题的关键．假设现在北京时间是2020年11月22日上午9：00．(1)现在纽约的时间是几点？东京时间是几点？(2)如果小明在北京坐11月19日上午10：00的航班飞行约9小时到达豪尔市，那么达到豪尔市的时间是几点？【答案】(1)纽约时间是2020年11月21日晚上20：00，东京时间是2020年11月22日上午10：00 (2)11月19日下午14：00【分析】（1）（2）根据正负数的意义结合有理数加法计算法则求解即可．【详解】（1）解：()()913424420+−=−+−=，，9110+=，∴纽约时间是2020年11月21日晚上20：00，东京时间是2020年11月22日上午10：00；（2）解() 1055+−=，∴在北京坐11月19日上午10：00的航班，是豪尔市11月19日凌晨5：00，5914+=，∴到达豪尔的时间是11月19日下午14：00．【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，正确理解题意是解题的关键．题型三：与有理数性质有关的计算问题例3.已知|a|＝5，b的相反数为4，则a＋b＝________．解析：因为|a|＝5，所以a＝－5或5，因为b的相反数为4，所以b＝－4，则a＋b＝－9或1.解：－9或1方法总结：本题涉及绝对值和相反数的定义，在解决绝对值问题时要注意考虑全面，避免造成漏解． 【变式】若3,2a b ==，且a b <，那么+a b 的值是（ ）A ．5或1B ．1或1−C ．5或5−D ．5−或1−【答案】D【分析】根据绝对值的意义和a b <,求出a 、b 的值，再代入a+b 求值即可．【详解】解：∵|a|=3,|b|=2,∴a=±3，b=±2，∵a b <，∴a=-3，b=2或a=-3，b=-2，∴a+b=-3+2=-1或a+b=-3+（-2）=-5．故选：D ．【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，解题时先根据绝对值的意义，求出a 、b 的值，然后根据a 、b 的关系分类讨论求解即可．题型四：加法运算律及其应用例4.计算：(1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)；(3)(＋635)＋(－523)＋(425)＋(1＋123)． 解析：(1)把互为相反数的两数相加；(2)可把符号相同的数相加；(3)可把相加得到整数的数相加． 解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20；(3)(＋635)＋(－523)＋(425)＋(1＋123)＝(635＋425)＋(－523)＋(223)＝11＋(－3)＝8. 方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加．【变式1】绝对值小于14的所有整数的和为_________．【答案】0【分析】找出绝对值小于14的所有整数，求和即可．±，之和为0．【详解】解：绝对值小于14的所有整数有：0，1±，2±，3±，L，13故答案为：0．【点睛】此题考查了有理数的加法和绝对值的意义，确定绝对值小于14的所有整数是解本题的关键，熟练掌握互为相反数的两个数为0．【变式2】某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km)＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.(1)B地在A地何方，相距多少千米？(2)若汽车行驶1km耗油a L，求该天耗油多少L?解析：(1)首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定B地在A何方，相距多少千米；(2)首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以a即可求解．解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km)故B地在A地正北，相距1千米；(2)该天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a＝75a(L)．答：该天耗油75a L.方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义【答案】-2.【分析】读懂例题，根据例题拆项计算即可.【详解】解：原式＝[(-2018)+(56−)]＋[(－2017)＋(23−)]＋[(－1)＋(－12)]＋4036＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－56)＋(－23)＋(－12)]＝0＋[(－56)＋(－23)＋(－12)]＝－2.【点睛】本题主要考查实数的计算，必须熟练掌握，并且掌握此方法.题型五：有理数减法法则的直接运用例5、计算：(1)(－32)－(+5)；(2)(+2)－(－25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】法一：法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“符号化简进行计算.【变式】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)41373⎛⎫+−⎪⎝⎭．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2－(－3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5（3）原式=411416(3)(3)2 733721 +−=−−=−【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.题型六：加减混合运算统一成加法运算例6.将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)解析：先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；读有理式，式子中第一项的符号，要作为这一项的符号读出正负来，式子中的符号就读作加或减．解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和；读法②：负13减去负7减去21减去9加上32.方法总结：注意掌握括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号．题型七：有理数的加减混合运算例7.计算：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋(－625)＋(－4)＋|－3|； (2)－1423＋11215－(－1223)－14＋(－11215)； (3)23－18－(－13)＋(－38)． 解析：本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．解：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋(－625)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；(2)－1423＋11215－(－1223)－14＋(－11215)＝－1423＋11215＋1223－14－11215＝(－1423＋1223)＋(11215－11215)－14＝－2＋0－14＝－16；(3)23－18－(－13)＋(－38)＝23－18＋13－38＝(23＋13)＋(－18－38)＝1＋(－12)＝12. 方法总结：(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．(3)当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．【变式1】计算，能用简便方法的用简便方法计算.（1） 26－18+5－16 ； （2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）(3) ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432 (4) 113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫−−+−++−+−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）132.2532 1.87584+−+（6）1355354624618−++− 【答案与解析】（1） 26－18+5－16=(+26)+(－18)+5+(－16) →统一成加法 =(26+5)+[(－18)+(－16)] →符号相同的数先加 = 31+(－34)=－3（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）=[ (+7)+(－7) ] +[(－21)+(+21)] →互为相反数的两数先加 =0（3）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432 ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224→同分母的数先加()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34（4）113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫−−+−++−+−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++−++−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→统一成加法11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−+++−+− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→整数、小数、分数分别加312128544⎛⎫=++−= ⎪⎝⎭（5）132.2532 1.875+−+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=−++→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起 0.55 4.5=−+=（6）1355354624618−++− 1355354624618=−−++++−−1355(3546)()24618=−++−+−++−→整数，分数分别加18273010036−++−=+2936=【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 【变式2】计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；（2）11－12+13－15+16－18+17； （3）1113.7639568 4.7621362−−+−−+ （4）51133.4643.872 1.54 3.376344+−−−+++ （5）1355354624618−++−； （6）132.2532 1.87584+−+ 【答案与解析】（1）观察各个加数，可以发现－3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、－2.93与－1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便． 解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72 ＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23 ＝0+0－1.23＝－1.23（2）把正数和负数分别分为一组．解：11－12+13－15+16－18+17＝(11+13+16+17)+(－12－15－18) ＝57+(－45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是－1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组． 解：1113.7639568 4.7621362−−+−−+ 111(3.76 4.76)(521)(3968)362=−+−++−+1(6)2922=−+−+=（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；－3.87与3.37的和为－0.5，把它们分为一组；546与13− 易于通分，把它们分为一组；124−与34同分母，把它们分为一组． 解：51133.4643.872 1.54 3.376344+−−−+++ 5113(3.46 1.54)( 3.87 3.37)(4)(2)6344=++−++−+−+115(0.5)4(1) 4.537.522=+−++−=+=（5）先把整数分离后再分组．解： 1355354624618−++− 1355354624618=−−++++−−1355(3546)()24618=−++−+−++−18273010036−++−=+2936=113322−=−−．（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解：132.2532 1.87584+−+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=−++0.55 4.5=−+=【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.题型八：利用有理数加减运算解决实际问题例9.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？解析：(1)先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．理解表中的正负号表示的含义，根据条件计算出每天的水位即可求解；(2)只要观察星期日的水位是正负即可．解：(1)以警戒水位为基准，前两天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；则水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；水位最高的是第5天；(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；则本周末河流的水位是上升了0.7米．方法总结：解此题的关键是分析题意列出算式，采用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题．【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）(1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？(2)小虫离开O点最远时是多少？(3)在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小.【答案与解析】解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)=(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=00表示最后小虫又回到了出发点O答：小虫最后回到了出发地O.（2） (+5)+(－3)＝+2；(+5)+(－3)+(+10)＝+12；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm;++−+++−+−++−=（cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm，(3) 53108121054⨯=（粒）由15454答：小虫一共可以得到54粒芝麻.【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.（1）问收工时距A地多远？（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？【答案与解析】（1）求收工时距A地多远，应求出已知10个有理数的和，若和为正数，则在A地前面，若和为负数，则在A地后面；距A地的路程均为和的绝对值.解：(1) (+10)+(－3)+(+4)+(+2)+(－8)+(+13)+(－2)+(+12)+(+8)+(+5)=0+0+44+(－3)=41（千米）；（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可.(|+10|+|－3|+|+4|+|+2|+|－8|+|+13|+|－21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）.答：收工时在A地前面41千米，从A地出发到收工时共耗油13.4升.【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•如皋市期中）如图是某市去年十二月份某一天的天气预报，该天的温差是（）A．9℃B．7℃C．5℃D．2℃【分析】根据题意求出最高温度与最低温度的差即可．【解答】解：∵最高温度是﹣27℃，∴7℃﹣（﹣2℃）＝9℃．故选：A．【点评】本题考查的是有理数的加减法，熟知有理数的加减法则是解题的关键．2．（2022秋•东海县月考）若＝a+b﹣c﹣d，则的值是（）A．2 B．﹣4 C．10 D．﹣10【分析】根据“新定义”的运算进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝1+2﹣3﹣4＝﹣4，故选：B．【点评】本题考查有理数的加减法，掌握有理数加减法的计算方法是正确解答的前提，理解“新定义”的运算是解决问题的关键．3．（2022秋•工业园区校级月考）计算﹣1﹣3的结果是（）A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2【分析】根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：﹣1﹣3＝﹣1+（﹣3）＝﹣4，故选：B．【点评】本题考查了有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．4．（2022秋•东台市校级月考）规定：把四个有理数1，2，3，﹣5分成两组，每组两个，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，则A＝|1+3|+|2﹣5|．在数轴上原点右侧从左到右取两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，对于这样的四个数，其所有A的和为（）A．4m B．4m+4n C．4n D．4m﹣4n【分析】根据已知条件，列出所有情况，并求出A的值，即可求得所有A的和．【解答】解：根据题意，得m＜n，m，n的相反数为﹣m，﹣n，则有如下三种情况：①m，n为一组，﹣m，﹣n为另一组，此时有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2n；②m，﹣m为一组，n，﹣n为另一组，此时有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0；③m，﹣n为一组，n，﹣m为另一组，此时有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m．∴所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n．故选：C．【点评】本题考查有理数的混合运算、绝对值和相反数．数轴上一个数所对应的点与原点的距离就叫该数的绝对值．正数的绝对值大于0，负数的绝对值是它的相反数．5．（2022秋•如皋市校级月考）将6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的减法改写成省略加号的和的形式是（）A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣2【分析】先把有理数的减法转化为加法，然后再写成省略加号的和的形式，即可解答．【解答】解：6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）＝6+（﹣3）+7+（﹣2）＝6﹣3+7﹣2，【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，把有理数的减法转化为加法是解题的关键．二．填空题（共6小题）6．（2023•泗洪县一模）计算2+（﹣3）＝．【分析】根据异号两数相加，取绝对值大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案．【解答】解：原式＝﹣（3﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了有理数的加法，先确定符号，再进行绝对值的减法运算．7．（2022秋•盐城期中）某地一天早晨的气温是﹣2℃，中午温度上升了9℃，则中午的气温是℃．【分析】根据有理数的加法列式计算即可．【解答】解：﹣2+9＝7（℃），故答案为：7．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．8．（2022秋•海安市期末）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且a＞b，若式子|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为2，则2022+a﹣b的值为．【分析】由数轴上|x﹣a|+|x﹣b|表示的几何意义，求出a﹣b的值，即可得到答案．【解答】解：∵|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为2，且a＞b，∴a﹣b＝2，∴2022+a﹣b＝2022+2＝2024，∴2022+a﹣b的值为2024．故答案为：2024．【点评】本题考查绝对值，有理数的减法，关键是掌握：在数轴上绝对值的几何意义．9．（2022秋•南通期末）若两个有理数m，n满足m+n＝66，则称m，n互为顺利数．已知7x的顺利数是﹣18，则x的值是．【分析】根据顺利数的定义列方程求解即可．【解答】解：由顺利数的定义可知，7x﹣18＝66，故答案为：12．【点评】本题考查有理数的加法，理解顺利数的定义是正确解答的前提．10．（2022秋•江阴市期末）比﹣3大而比2小的所有整数的和为．【分析】首先找出比﹣3大而比2小的所有整数，在进行加法计算即可．【解答】解：比﹣3大而比2小的所有整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了有理数的加法，关键是找出符合条件的整数，掌握计算法则．11．（2017秋•仪征市校级月考）23﹣|﹣6|﹣（+23）＝．【分析】先计算绝对值，再根据有理数减法法则计算即可．【解答】解：23﹣|﹣6|﹣（+23）＝23﹣6﹣23＝﹣6．【点评】本题考查了有理数的减法运算法则及运算顺序．注意先计算绝对值．三．解答题（共10小题）12．（2022秋•盐都区期中）计算：（1）（﹣7）+（﹣5）；（2）﹣2.8+3.2；（3）．【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可；（2）根据有理数的加法法则计算即可；（3）根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：（1）（﹣7）+（﹣5）＝﹣（7+5）＝﹣12；（2）﹣2.8+3.2＝+（3.2﹣2.8）＝0.4；（3）＝＝﹣（）＝．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．13．（2022秋•鼓楼区校级月考）在横线上填写每一步的运算依据：22+（﹣4）+（﹣2）+4；解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）．＝26+（﹣6）．＝20【分析】应用有理数加法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）加法交换律．＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]同号结合法．＝26+（﹣6）有理数加法法则．＝20．故答案为：加法交换律，同号结合法，有理数加法法则．【点评】本题主要考查了有理数加法，熟练掌握有理数的加法法则进行求解是解决本题的关键．14．（2022秋•江阴市校级月考）已知：|a|＝4，|b|＝7，若a＞b，求a﹣b的值．【分析】根绝绝对值的意义，a＞b确定a、b的值，再计算a﹣b．【解答】解：因为|a|＝4，|b|＝7，得a＝±4，b＝±7．由a＞b，所以a＝±4，b＝﹣7，当a＝﹣4，b＝﹣7时，a﹣b＝3，当a＝4，b＝﹣7时，a﹣b＝11．所以a﹣b的值为3或11．【点评】本题考查了绝对值的化简和有理数的减法．根据绝对值的意义及a＜b确定a、b的值是解决本题的关键．15．（2022秋•宿豫区期中）计算：﹣24+14﹣15﹣（﹣23）．【分析】根据有理数的加减进行计算即可求解．【解答】解：﹣24+14﹣15﹣（﹣23）＝﹣24+14﹣15+23＝﹣24+23+14﹣15＝﹣1﹣1＝﹣2．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的运算法则是关键．16．（2022秋•镇江期中）如图是三个三角形，每个三角形的顶点处都有一个“〇”，在每个“〇”中填入一个数，满足这三个三角形的3个顶点处的“〇”中的数的和都等于2．（1）将﹣8、﹣7、﹣6、﹣4、1、3、5、9、13这9个数填入恰当的位置，使得这三个三角形的3个顶点处（2）如果将（1）中的这9个数改为﹣13、﹣9、﹣5、﹣3、﹣1、4、6、7、8，还能满足要求吗？如果满足，请填在“〇”中；如果不满足，请说明理由．【分析】（1）根据有理数的加法法则解答即可；（2）根据有理数的加法法则解答即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）不能，理由如下：∵（﹣13）+（﹣9）+（﹣5）+（﹣3）+（﹣1）+4+6+7+8＝﹣31+25＝﹣6，∴如果将（1）中的这9个数改为﹣13、﹣9、﹣5、﹣3、﹣1、4、6、7、8，不能满足要求．【点评】此题主要考查了数字的规律，注意观察数据之间的规律，得出三角形顶点和的规律，比较新颖．17．（2022秋•兴化市校级月考）已知|a|＝3，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．【分析】先确定a，b的值，再计算求解．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝7，∴a＝±3，b＝±7，∵a＜b，∴a＝﹣3，b＝7或a＝3，b＝7，当a＝﹣3，b＝7时，a+b＝﹣3+7＝4；当a＝3，b＝7时，a+b＝3+7＝10，即a+b的值是4或7．【点评】此题考查了运用绝对值的知识解决计算问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．18．（2022秋•海安市校级月考）（1）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a﹣b+c的值．（2）已知有理数a，b，c满足|a﹣1|+|b﹣3|+|3c﹣1|＝0，求a+b﹣c的值．【分析】（1）根据绝对值的性质先求出a＝±1，b＝±2，c＝±3，再根据a＞b＞c，分情况求出a﹣b+c的值；（2）根据非负数的性质求出a、b、c的值．【解答】解：（1）∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，∴a＝±1，b＝±2，c＝±3，∵a＞b＞c，∴①a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，a﹣b+c＝0，②a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，a﹣b+c＝﹣2，∴a+b﹣c的值是0或﹣2；（2）∵|a﹣1|+|b﹣3|+|3c﹣1|＝0，∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，3c﹣1＝0，∴a＝1，b＝3，c＝，∴a+b﹣c＝3．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算、非负数的性质，掌握把有理数加减法统一成加法，读懂题意是解题关键．19．（2022秋•梁溪区校级期中）应我国邀请，俄罗斯特技飞行队在黄山湖风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后的高度变化如下表：（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？（3）若某架飞机从地面起飞后先上升5km，然后再做两个表演动作，这两个动作产生的高度变化分别是0.6km 和1.8km，请你求出这两个表演动作结束后，飞机离地面的高度．【分析】（1）【解答】解：（1）5.5﹣3.2+1﹣1.5﹣0.8＝1（km）；答：此时这架飞机比起飞点高了1千米．（2）（5.5+1）×4+（3.2+1.5+0.8）×2＝6.5×4+5.5×2＝26+11＝37（升），答：一共消耗37升燃油．（3）5+0.6+1.8＝7.4km；5+0.6﹣1.8＝3.8km；5﹣0.6﹣1.8＝2.6km；5﹣0.6+1.8＝6.2km；答：飞机离地面的高度为7.4km或3.8km或2.6km或6.2km．【点评】本题考查了有理数加减运算，正负数的应用，解题的关键是熟练掌握正负数的意义．20．（2022秋•江阴市校级月考）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是．②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为．③若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|的最小值＝．④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣4|＝5，则满足条件的所有整数x的和是．⑤若x表示一个有理数，且|x﹣3|+|x+1|＝8，则满足条件的x的所有值是．【分析】①利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；②利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；③利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；④利用数形结合思想和题干中的结论将满足条件的所有整数一一列举，并把它们相加即可得出结论；⑤利用数形结合思想和题干中的结论结合绝对值的意义解答即可．【解答】解：①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是|1﹣（﹣5）|＝6，故答案为：6；②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|，数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为|a﹣7|，故答案为：|x+2|；|x﹣7|；③∵|x﹣2|+|x+4|是表示x的点到表示2，﹣4两点的距离之和，∴当x在2和﹣4之间时，|x﹣2|+|x+4|的值最小，最小值为|2﹣（﹣4）|＝6，故答案为：6；④∵|x+1|+|x﹣4|＝5是表示x的点到表示﹣1，4两点的距离之和为5，又表示﹣1，4两点的距离之和为5，∴数x在﹣1和4之间，∵x为整数，∴满足条件的所有整数x的值为：﹣1，0，1，2，3，4，∴满足条件的所有整数x的和是﹣1+0+1+2+3+4＝9，故答案为：9；⑤∵|x﹣3|+|x+1|＝8是表示x的点到表示﹣1，3两点的距离之和为8，又∵3﹣（﹣1）＝4，∴表示x的点可能在3的右侧或在﹣1的左侧，即x＞3或x＜﹣1．当x＞3时，∵|x﹣3|+|x+1|＝8，∴x﹣3+x+1＝8，解得：x＝5；当x＜﹣1时，∵|x﹣3|+|x+1|＝8．∴3﹣x﹣x﹣1＝8，解得：x＝﹣3，综上，满足条件的x的所有值是5和﹣3．故答案为：5和﹣3．【点评】本题主要考查了有理数的减法，绝对值，数轴，利用数形结合的方法解答是解题的关键．21．（2022秋•江都区校级月考）观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．给出定义如下：使等式a﹣b＝ab+1成立的对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如：数对（2，），（5，。

第一部分：引言在学习数学的过程中，有理数的加减混合运算是一个非常重要的内容。

它不仅需要我们掌握基本的加减运算规则，还需要我们能够灵活运用这些规则解决实际问题。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨七年级上册数学有理数的加减混合运算，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一知识点。

第二部分：基本概念让我们回顾一下有理数的加法和减法。

在有理数的加法中，同号为正，异号为负，我们只需要将它们的绝对值相加，并保持原来的符号不变。

而在有理数的减法中，我们可以将减法转化为加法，即将减数取相反数，再与被减数相加。

这些基本的加减法规则在混合运算中仍然适用。

第三部分：混合运算举例接下来，让我们通过一些例子来深入理解有理数的加减混合运算。

假设我们有一个混合运算的式子：2+(-5)-(-3)+7。

我们要将减法转化为加法，即将减数取相反数，得到2+(-5)+3+7。

我们按照顺序进行加法运算，得到7。

通过这个例子，我们可以看到，混合运算中的关键是要按照规定的顺序进行加减法，并且要注意负号的使用。

第四部分：实际问题解决除了简单的混合运算例子外，有理数的加减混合运算还可以帮助我们解决一些实际的问题。

在计算温度变化、海拔高度等问题时，我们经常需要进行有理数的混合运算。

通过这些实际问题的练习，我们可以更好地掌握混合运算的技巧，提高我们的解决问题的能力。

第五部分：个人观点和总结在我看来，有理数的加减混合运算是数学中的重要知识点之一。

通过深入理解和灵活运用这些规则，我们可以更好地解决实际问题，提高数学水平。

当然，要掌握混合运算并不是一件容易的事情，需要我们多加练习，多思考，才能够真正掌握其中的精髓。

七年级上册数学有理数的加减混合运算是一个需要我们认真对待的知识点。

只有深入理解其规则和原理，并不断进行练习和实际应用，我们才能真正掌握这一知识点。

希望通过本文的介绍和讨论，你能够对有理数的混合运算有更清晰的认识，并能够在以后的学习中更好地运用这些知识。

有理数的加法与减法运算一、有理数加法运算：1.定义：有理数的加法是将两个有理数相加得到一个新的有理数。

2.加法法则：a)同号相加，保留同号，并把绝对值相加。

b)异号相加，保留绝对值较大的符号，并把绝对值相减。

3.加法运算顺序：先算同号相加，再算异号相加。

4.加法运算中的特殊现象：a)两数相加等于其中一数。

b)两数相加等于0。

二、有理数减法运算：1.定义：有理数的减法是已知两个有理数，求其中一个有理数比另一个有理数少多少。

2.减法法则：a)将减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。

b)按照加法法则进行计算。

3.减法运算顺序：先算同号相减，再算异号相减。

4.减法运算中的特殊现象：a)两数相减等于其中一数。

b)两数相减等于0。

三、有理数加减混合运算：1.定义：有理数的加减混合运算是有理数加法和减法的组合。

2.运算顺序：先算加法，再算减法。

3.运算中的特殊现象：a)加减混合运算中出现0。

b)加减混合运算中出现负数。

四、有理数加减法运算的计算法则：1.先算绝对值，再确定符号。

2.异号相加，保留绝对值较大的符号。

3.同号相加，保留同号，并把绝对值相加。

4.减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。

五、有理数加减法运算的应用：1.解决实际问题：例如，计算购物后的总价，计算距离等。

2.简化表达式：例如，化简代数式，求解方程等。

3.数学证明：例如，证明恒等式，证明不等式等。

以上是对有理数的加法与减法运算的详细归纳，希望对您的学习有所帮助。

习题及方法：1.习题：计算2 + 3。

解题思路：根据加法法则，同号相加，保留同号，并把绝对值相加。

2.习题：计算-2 + 3。

解题思路：根据加法法则，异号相加，保留绝对值较大的符号，并把绝对值相减。

3.习题：计算5 - 2。

解题思路：根据减法法则，将减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数，然后按照加法法则进行计算。

4.习题：计算-5 + 3。

解题思路：根据减法法则，将减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数，然后按照加法法则进行计算。

2.5有理数的减法1.下列说法中正确的是（）A．两个数的差一定小于被减数B．若两数的差为0，则这两数必相等C．两个相反数相减必为0 D．若两数的差为正数，则此两数都是正数2.小怡家的冰箱冷藏室温度是5℃，冷冻室的温度是－2℃，则她家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高（）A．3℃B．－3℃C．7℃D．－7℃3.已知：x=3，y=2，且x＞y，则x-y的值为（）A．5 B．1 C．5或1 D．－5或－14.下列算式正确的是（）A．（－14）－5＝－9 B．0 －（－3）＝3C．（－3）－（－3）＝－6 D．∣5－3∣＝－（5－3）5.下列算式中正确的有（）0－312＝312；0－（－13）＝13；（＋15）－0＝15；（－15）＋0＝15A．1个B．2个C．3个D．4个6.（1）（—2）＋________=5；（—5）－________=2.（2）0－4－（—5）－（—6）=___________.（3) 温度3℃比-8℃高℃,温度-9℃比-1℃低℃；海拔-20m比-30m高m,从海拔22m到-10m，下降了m．（4）月球表面的温度中午是1010C，半夜是-153o C，则中午的温度比半夜高℃. （5）已知一个数加—3.6和为—0.36，则这个数为_____________.（6）已知b < 0，则a，a－b，a＋b从大到小排列________________.（7）0减去a的相反数的差为_______________.7.计算：（1）（—2）－（—5） （2）（—9.8）－（＋6）(3) 4.8－ （—2.7）（4）（—5）—5 （5）（—0.5）－（+13） (6) —)101(—52+(7)（—341）—（—821）—(—543） (8)(—5.3)—(—3.2)—(—2.5)—(—4.8)(9))81()535()872()523(+----++(10)()()()()1789614----++--(11))137()312()7()311()17()137(-+--+--++++ (12)(－323)－(－123)－(－1.75)－(－234)8.求出数轴上两点之间的距离：（1）表示数10的点与表示数4的点；（2）表示数2的点与表示数－4的点；（3）表示数－1的点与表示数－6的点.9.下表是某城市与北京的时差，正数表示比北京时间早，负数表示比北京时间迟.(1)北京上午八点时,伦敦几点?东京呢？(2)当纽约时间是星期一下午五点时,北京是什么时间?(3)李明从南京禄口机场乘下午四点的飞机飞往巴黎,请查阅此时巴黎是当地几时?参考答案1.B2.C3.C 3.B 5.B6.(1)7，-7 (2)7 (3)11，8，10，32 (4)254 (5)3.24 (6)a-b，a，a+b （7）a7.（1）3 （2）-15.8 （3）7.5 （4）-10 （5）-5/6 (6)-1/2(7)11 (8)5.2 (9)6 (10)2 (11)11 (12)5/28.(1)6 (2)6 (3)59.(1)下午4时，上午7时（2）星期二上午6时（3）上午8时初中数学试卷。

有理数的加法与减法有理数是指可以表示为两个整数的比值或者可以表示为分数的数，包括整数、分数和小数等形式。

有理数的加法与减法是数学中基础的运算，它们在我们日常生活中的计算中起着至关重要的作用。

一、有理数的加法有理数的加法是指将两个或多个有理数进行相加的数学运算。

在有理数的加法中，我们需要注意以下几个要点：1. 正数相加：当两个正数相加时，只需将它们的数值进行相加即可，同时保持它们的符号不变。

例如，2 + 3 = 5。

2. 负数相加：当两个负数相加时，同样只需将它们的绝对值相加，并在结果前加上负号。

例如，-4 + (-2) = -6。

3. 正数与负数相加：当一个正数与一个负数相加时，先取两个数的绝对值进行相减，然后将得到的差的符号取决于绝对值较大的数的符号。

例如，5 + (-3) = 2；-7 + 4 = -3。

4. 加法交换律：有理数的加法满足交换律，即a + b = b + a。

这意味着，加法的顺序可以任意调整而不影响最终结果。

5. 加法结合律：有理数的加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b +c)。

这意味着，多个有理数相加时，可以先将其中两个数相加，然后再将得到的和与剩下的数相加，结果相同。

二、有理数的减法有理数的减法是指将一个有理数减去另一个有理数的数学运算。

在有理数的减法中，我们需要注意以下几个要点：1. 正数减去正数：当从一个正数中减去另一个正数时，只需将它们的数值进行相减即可，同时保持差的符号为正。

例如，7 - 3 = 4。

2. 负数减去负数：当从一个负数中减去另一个负数时，同样只需将它们的绝对值相减，并在结果前加上负号。

例如，-5 - (-2) = -3。

3. 正数减去负数：当从一个正数中减去一个负数时，先将两个数的绝对值进行相加，然后差的符号取决于绝对值较大的数的符号。

例如，8 - (-6) = 14；5 - (-3) = 8。

4. 负数减去正数：当从一个负数中减去一个正数时，先将两个数的绝对值进行相加，然后差的符号取决于绝对值较大的数的符号。