数模作业4(讨论题)

《数学建模》期末考试试卷 班级 姓名 学号一、（15分）某厂利用甲、乙、丙三种原料生产A 、B 、C 、D 、E 五种产品，单位产品（万件）对原材料的消耗（吨）、原材料的限量（吨）以及单位问五种产品各生产多少才能使总利润达到最大？ （1）建立线性规划问题数学模型。

（2）写出用LINGO 软件求解的程序。

二、（15分）用单纯形方法求如下线性规划问题的最优解。

123123123123max 614134248..2460,,0S x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩三、（15分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，消耗两种主要原材料A 与B 。

每单位产品生产过程中需要消耗两种资源A 与B 的数量、可供使用的原材料数量以及单位产品利润如下表：设生产甲、乙、丙产品的数量分别为123,,x x x 单位，可以建立线性规划问题的数学模型：123123123123max 4003005006030504500..3040503000,,0S x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩利用LINGO10.0软件进行求解，得求解结果如下：Objective value: 35000.00 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced CostX1 50.00000 0.000000 X2 0.000000 66.66667 X3 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 35000.00 1.000000 2 0.000000 3.333333 3 0.000000 6.666667（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；（2）写出该线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解；（3）灵敏度分析结果如下：Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 400.0000 200.0000 100.0000X2 300.0000 66.66667 INFINITYX3 500.0000 166.6667 66.66667Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 4500.000 1500.000 1500.0003 3000.000 1500.000 750.0000对灵敏度分析结果进行分析四、（10分）一个公司要分派4个推销员去4个地区推销某种产品，4个推销员在各个地区推销这种产品的预期利润（万元）如下表。

问题A如果以非线性器件的输入诃)与输出y(t)的关系是y(t)=u(t)+ U (t)(其中t是时间)，那么当输入是包含频率1 , f2的信号u(t)=cos2pifl t+cos2pif2 t时，输出y(t)中不仅包含输入新婚1 , f2 ,而且还会出现2 fl, fl±f2等新的频率成分，这些新的频率称为交调,如果交频出现在原有频率fl ,f2的附近，就会形成噪声干扰，因此工程设计中队交品德出现有一定的要求现有一SCS()，输入信号为u (t) = A1 cos2pi fl t + A 2 cos2pi f2 t + A 3 cos2pi f t，其中A1 =25, A 2 = 25,A3= 45是输入信号振幅，对输入信号的频率1 , f2 , f3的设计要求为1) 36< f1 <40, 41 < f2 <50, 46< f3 <55;2)输出的交调均不得出现在'± 5的范围内(i=1,2,3),此范围称为/ i的接收带(参见附图)3)定义输出中的信噪比SNR = 10 10g l0(B i2/ C n2)(单位:分贝)其中B i是输出中对应于频率为f i的信号的振幅Cn为某一频率为f n的交调的振幅若/n出现在fn = fi± 6处(i = 1,2,3)则对应的SNR应大于10分贝(参见附图)4) f i不得出现在fj的接收带内(i, j = 1,2,3; i中j)5)为简单起见/ i只取整数值且交调只需考虑二阶类型(即{ fi±fj} i,j = 1,2,3;) 和三阶类型(即{ f i ± f j ± fk } i, j, k = 1,2,3;)试按上述要求设计输入信号频率f1 , f2, f3B倍号振幅£ -6 f-6 f. £ f +6工一_____________________ 1 _____________________ .1接收带问题B下表给出了我国12只足球队在1988—1989年全国足球甲级联赛中的成绩要求1)设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果2)把算法推广到任意N个队的情况3)讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次对下表的说明1） 12支球队依次记作T1,T2,…T122）符号X表示两队未曾比赛3）数字表示两队比赛结果如T1行与T2列交叉处的数字表示T1与T2比赛了2场T1与T2的进球数之比为0 1和3 1问题C编制油田开发规划是油田开发的核心问题，它是确定在一个时期内（三年、五年、十年等等）油田开发生产的战略决策和具体部署，直接影响到油田的开发效果和开发效益的好坏，这就要求所编制的油田开发规划要具有科学性、合理性和可行性。

2023 数学建模 b 四题的深度和广度评估1. 介绍2023年的数学建模b四题备受关注，不仅是因为它涉及了当前热门的数学建模领域，更因其所涉及的广度和深度。

本文将针对2023 数学建模 b 四题的深度和广度进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，帮助读者更深入地理解这一主题。

2. 问题一：深度评估2023年数学建模比赛b四题的第一个问题，涉及了概率统计、数值计算、图论等多个数学领域，要求选手利用数学模型解决某一实际问题。

通过对该问题的深入分析，我们可以发现它需要选手具备扎实的数学基础和丰富的实际经验，同时还需要具备创新性和逻辑思维能力。

在撰写文章时，我们可以逐步详细介绍该问题的背景、所涉及的具体数学知识和解题思路，以便读者更好地理解问题的复杂性与挑战性。

3. 问题二：广度评估第二个问题在2023 数学建模比赛b四题中，可能涉及到运筹学、优化算法、模拟仿真等多个领域，要求选手优化某一复杂系统，提出最佳方案。

在撰写文章时，我们可以通过举例分析、对比评价等方式，展示该问题在不同领域的广泛应用与挑战，以及选手需要具备的多方面能力与智慧。

4. 问题三和四：结合总结最后两个问题则可能需要选手运用数学建模方法探索某一具体领域的发展趋势和规律性，要求综合思考、创新应用。

在文章中，我们可以结合总结前面的分析与评估，对第三和第四个问题进行更深入的讨论，突出其在实际生活与科研中的重要性和价值。

5. 个人观点和理解在评估了2023 数学建模b四题的深度和广度后，我个人认为这些问题代表了当前数学建模领域的热点和前沿，对选手的综合能力提出了挑战，同时也为他们展现了无限的可能性。

在文章的结尾，我将共享我对数学建模未来发展的展望和思考，以期激发读者对数学建模的兴趣和热情。

通过以上的评估和讨论，相信本文能够全面、深刻、灵活地帮助读者理解2023 数学建模b四题的深度和广度，激发他们对数学建模领域的兴趣和热情，让他们在今后的学习和工作中受益匪浅。

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。

不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。

四、问题分析：房产开发计划问题涉及房地价、建材成本、销售计划、折旧计算等方面的问题。

综合考虑各方面的因素，为使利润最大化，必须合理安排每月的建房数目。

公司所需要考虑的各影响因素之间的关系如下图所示：观察上图分析可知：如果将大量建房放在前面的月份，会增加折旧费用；但如果将大量建房安排在后面的月份，便会因为建材价格的上涨而增加建造成本；同时，单月建房数不宜过多，否则会造成可变成本大幅增加，引起亏本（【附录1】）；但单月建房数目也不宜太少，否则预定建造计划将无法完成。

这些因素是互相影响的，即既是矛盾的又是联系的。

这些因素之间存在着一个权衡值，决定了我们所求的最大利润。

据以上分析：我们分别建立了用于确定可变成本、固定成本、销售费用和折旧费用的模型，并在此基础上建立了以最大利润为目标的单目标规划函数。

三、问题分析和基本思路2.1 问题分析和建模思路考虑问题的题设和要求，我们要解决的是出版社的资源优化配置问题。

资源优化配置问题是一类典型的规划问题。

对于规划问题的求解步骤基本是：第一步，找目标函数；第二步，找约束条件；第三步，对规划函数进行求解。

对题目仔细地分析后，我们确定当前经济效益和潜在经济效益为出版社资源配置的目标函数。

当前经济效益可以比较容易地用分配到的书号数表示出来，难点是潜在经济效益的表达。

我们分析关系，建立了顾客满意度量化描述潜在经济效益的模型。

当前经济效益和潜在效益描述好了，我们的目标函数也就形成了。

约束条件的寻找相对比较容易，不过我们能从题目中得到的明显约束条件很少，可想而知本题有隐含的约束条件需要自己去挖掘。

如果约束条件能够起到有效的约束作用，唯一剩下的就是借助计算机对规划模型进行最优求解。

此外，为了目标函数和约束条件的顺利表述。

我们在正式模型建立之前，做了大量完整而系统的模型准备工作，用量化的语言理清了各部分之间的关系。

2.2 思路流程图下面的思路流程图是我们文章结构的一个缩影，它完整而形象的反映了我们文章的建模思路。

数学建模模拟试题及答案一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是.2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的万元.3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：(1) 参加展览会的人数n； (2)气温T 超过10o C；(3)冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A长方形街路后再返回邮局 .若每个小长方形街路的边长横向均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km .二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。

为尽量图一多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。

2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈 .若 2000 年底时有1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性 .三、计算题(每题 20 分，共 40 分)1. 某工厂计划用两种原材料A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1 、1 个单位，产值为 3 (百元)；乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5： 2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：(1) 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .(2) 原材料的利用情况 .2. 两个水厂A1 , A2将自来水供应三个小区B1 , B2 , B3 , 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表 .试安排供水方案，使总供水费最小？四、 综合应用题(本题 20 分)某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入 水库.为了防洪，须调节泄洪速度 .经测算，若打开一个泄洪闸， 30 个小时水位降至安全线， 若打开两个泄洪闸， 10 个小时水位降落至安全线 .现在，抗洪指挥部要求在 3 个小时内将水 位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决 .注：本题要求按照五步建模法给出全过程 .小区 单价/元水厂A1A供应量 / t170B34B11 07 1B26数学建模 06 春试题模拟试题参考解答一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1. 奇数顶点个数是 0 或 2；2. 约 40.1876 ；3. N = Kn(T10) / p, (T > 10 0 C), K 是比例常数； 4. 42.二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点 的温度等.注：列出的因素不足四个，每缺一个扣 2.5 分。

售后服务数据的处理和预测问题假设1、轿车生产出来后，当月就开始销售2、一批轿车生产出来以后，每个月的销售量是均匀的问题分析根据题目中对于“千车故障数” 的描述，数据表中的每一行数据，表示了某批次的轿车在卖出若干个月内出现故障的比例，以第一行数据为例：使用月数 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0生产月份制表时销售量千车故障数0201 2457 4.88 4.88 4.88 4.48 4.07 4.07 3.66 2.44 2.44 1.22 1.22 0.410.41这批轿车在卖出的12个月内，每千辆车有4.88辆出现故障。

为了运算简便，我们希望求得每月故障车辆数。

这样的运算很简单，只需将相邻两个月的“千车故障数”相减，然后除以1000再乘以销售量即可，结果如下：使用月数 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0生产月份制表时销售量每月故障车辆数0201 24570 0 0.983 1.0070 1.0072.9980 2.9980 1.990 0 1.007我们发现这样一个问题：如这批轿车在第10个月的时候有0.983辆出现故障，可是，这批已销售出的2457辆轿车中应该有一部分的使用月数还不到10个月。

也就是说，这里的0.983是一个绝对量，它并不能反映全部2457辆轿车在第10个月的故障情况。

因此，我们认定这样的统计量是不合理数据，需要对这些数据进行修正，方法如下：生产月份为0201的这批轿车，截止到制表日期2004年4月1日为止，共销售出2457辆，基于我们的假设1、2，销售时间从2002年1月到2004年3月，共27个月，每月销售了2457/27=91辆。

考察使用月数为10的千车故障数4.88，计算可得，这批轿车售出后第10个月内出现故障的轿车有9828.02457100048.488.4=×−辆。

不过，销售出去的这批轿车中，很多轿车的使用月数还不到10个月，满足这个条件的轿车是在2003年6月之后售出的，它们使用时间最长的也只有9个月，一共有819919=×辆。

数学建模实验报告班级:姓名:学号:元件可靠性问题一、实验问题:给出3种不同情况的元件连接方式, 分别求解他们的正常运行概率。

其中每个元件的正常运行概率均为p。

元件数为N, 方式2与方式3用到了与A元件相同的N个B元件。

连接方式如图：方式1:方式2:方式3:二、问题分析:Ｎ个元件的连接方式, 相当于电阻的串并联, 所以可以用电阻串并联的关系去分析各无件之间的关系:对于方式一来说, 相当于电阻的串联。

所以, 他的正常运行的概率为p^n.对于方式二来说, 相当于电阻先串联再并联。

所以, 他的正常运行的概率为：1-(1-P^n)(1-P^n)=2P^n-P^2n.对于方式三来说, 相当于电阻先并联再串联。

所以, 他的正常运行的概率为:(1-(1-P^n)^2)^n=(2p-p^2)^n现在再比较三个系统正常工作概率大小P1- P2= p^n–(2p^n-p^2n )= p^2n–p^n 由于0<p<1,所以易知P^2n-P^n<０。

所以有P1< P2P2- P3=(2p^n- p^2n)- (2p-p^2)^n= p^n［(2- p^n)-(2-p)^n］因为p^n>0,所以只要比较［(2- p^n)-(2-p)^n］大小即可。

对此式求导有-n［p^(n-1)-(2-p)^n-1］可见此式恒大于零,所以函数单调递增。

当p=１时, ［(2- p^n)-(2-p)^n］=0.所以P2- P3 <0, 再由上求导可知所以P2<P3所以P3最大。

即其的可靠性最高。

理发店问题实验题目:（１）某单人理发店有４反椅子接待顾客排队理发, 当４把椅子都坐满人时, 后来的顾客就不进店而离去。

顾客平均到达速率为４人／Ｈ, 理发时间平均10min/人。

设到达过程为泊松流, 服务时间服从负指数颁布。

求：（２）顾客一到达就能理发的概率；（３）系统中顾客数的期望值和排队等待顾客数的期望值；（４）顾客在理发店内逗留的全部时间的期望值；（５）在可能到达的顾客中因客满离开的概率。

2008暑假大学生数学建模培训第四次模拟题C
防洪物资调运问题
我国地域辽阔，气候多变，各种自然灾害频频发生，特别是每年在长江、淮河、嫩江等流域经常爆发不同程度的洪涝灾害，给国家和人民财产带来重大损失，防洪抗涝成为各级政府的一项重要工作。

某地区为做好今年的防洪抗涝工作，根据气象预报及历史经验，决定提前做好某种防洪抗涝物资的储备。

已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备库两个，各库库存及需求情况见附件1，其分布情况见附件2。

经核算该物资的运输成本为高等级公路2元/公里•百件，普通公路1.2元/公里•百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运。

（1）请根据附件2提供的信息建立该地区公路交通网的数学模型。

（2）设计该物资合理的调运方案，包括调运量及调运线路，在重点保证国家级储备库的情况下，为给该地区有关部门做出科学决策提供依据。

（3）根据你的调运方案，20天后各库的库存量是多少？
（4）如果汛期下列路段因洪水交通中断，能否用问题二的模型解决紧急调运的问题，如果不能，请修改你的模型。

中断路段： ， ， ，
附件1：各库库存及需求情况（单位：百件）
14
23 11 25 26 27 9 31
附件2：生产企业，物资仓库及国家级储备库分布图
高等级公路普通公路河流
1 2 3 12 13
等表示公路交汇点；30，50，28等表示公路区间距离，单位：公里，如与
之间距离为80公里。

2021年数学建模国赛c题第4题是一个非常有趣且具有挑战性的问题，需要综合运用数学建模、统计分析和计算机编程等知识。

在这篇文章中，我将根据你提供的内容，对这个题目进行全面评估，并提供深度和广度兼具的解析思路。

我们需要明确题目的要求和条件。

该题目涉及到工业生产中的质量控制问题，需要根据给定的数据和条件，建立数学模型来预测和优化产品的质量。

在这个过程中，需要考虑的因素包括但不限于原材料的属性、生产过程中的环境影响、设备的稳定性和工艺参数等。

我们还需要利用统计分析的方法来处理大量的实验数据，并运用计算机编程技术进行模拟和优化。

在解题过程中，我会从简到繁，由浅入深地探讨主题。

我会分析题目中所涉及的工业生产背景和相关知识，介绍质量控制领域的常用方法和技术。

我会根据给定的数据和条件，建立数学模型，并通过统计分析和计算机编程来验证和优化模型。

在文章的结尾，我会总结回顾整个解题过程，并共享我对这个问题的个人观点和理解。

在这篇文章中，我将多次提及2021年数学建模国赛c题第4题的相关内容，以帮助你更深入地理解和掌握这个问题。

我会按照非Markdown格式的普通文本撰写，遵循知识文章格式，并在内容中使用序号标注，确保文章的逻辑清晰且易于理解。

本文将涉及大量的数学模型、统计分析和计算机编程知识，文章内容预计超过3000字，以确保对题目的深入探讨和详细解释。

期待你能在阅读后对这个问题有更全面、深刻和灵活的理解。

让我们来深入了解一下题目中涉及到的工业生产背景和相关知识。

在工业生产中，质量控制是非常重要的环节，它直接关系到产品的品质、安全和可靠性。

在质量控制的过程中，需要考虑的因素有很多，包括原材料的属性、生产过程中的环境影响、设备的稳定性和工艺参数等。

在实际生产中，不同的原材料可能会对产品的质量产生影响。

原材料的纯度、成分、形状等属性都会直接影响到产品的最终质量。

在建立数学模型时，我们需要考虑如何量化这些原材料属性，并将其纳入模型的考量范围内。

对于6、4节蛛网模型讨论下列问题:（1）因为一个时段上市得商品不能立即售完,其数量也会影响到下一时段得价格,所以第k+1时段得价格由第k+1与第k时段得数量与决定。

如果设仍只取决于,给出稳定平衡得条件,并与6、4得结果进行比较。

（2）若除了由与决定之外,也由前两个时段得价格与决定,试分析稳定平衡得条件就是否还会放宽。

解:(1)设由与得平均值决定,即价格函数表示为:则消去y, 得到,k=1,2,…、该方程得特征方程为与6、4节中时得特征方程一样,所以0<<2, 即为点得稳定条件。

(2)设,则有消去y,得到该方程得特征方程为令=x,=a ,即求解三次方程得根在matlab中输入以下代码求解方程得根x:syms x asolve(4*x^3+a*x^2+2*a*x+a==0,x)解得= (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3));= -(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3) - 3^(1/2)*a*24*i - 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a + 3^(1/2)*a^2*i + (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3) + a^2)/(24*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3));=-(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3) + 3^(1/2)*a*24*i + 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a - 3^(1/2)*a^2*i + (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3) + a^2)/(24*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3));其中为实根,与为一对共轭虚根。

乐山师范学院第4届数学建模竞赛试题A 题自动灌溉洒水系统的定位和移动的设计灌溉田地有多种技术，例如先进的滴水系统、周期灌溉等。

其中有一种“手动”灌溉系统可以在较小的农牧场使用。

数条装有若干个花洒莲蓬头的轻质铝管横放在田地上，它们被人手周期地移动，确保整块田地都获得数量充足的水分。

这种灌溉系统跟别的灌溉系统相比又便宜又易于维护，而且灵活地适用于各种土地和农作物。

但是缺点是它每隔一定的时间就要移动和设置，需要很多时间和人力。

现在要使用这种灌溉系统去灌溉一块80 30米2的田地。

一套水管装置包括能连成一条直线的几条水管。

每条水管的内直径为10厘米，带有若干个内直径为0.6厘米的旋转水雾喷嘴。

几条水管若连接起来，整条水管有20米长。

水源的压力是420千帕，流速为每分钟150升。

田地的任何部分都不应每小时获得超过0.75厘米的水量，又都要每四天至少获得2厘米的水量。

总水量应尽可能均匀地分布。

怎样配置它才能用最短的时间去灌溉完这块田地？为此任务你须找到一个算法，使得灌溉一块矩形田地的时间最短，以满足农场主维护灌溉系统的要求。

田地里正在使用一套水管装置。

你须确定花洒莲蓬头的数目和间距，并须制定计划，确定何时移动哪些水管，并且移动它们到哪里。

B题教学质量评价为了了解掌握学生数学学习情况，教学管理人员拟定了一份调查问卷（见附件一），分别对一年级、二年级学生进行了问卷调查。

问卷调查时，一年级学生正在学习高等数学下册，二年级学生已经学习完高等数学、线性代数、概率论与数理统计。

请根据调查数据（附件二中给出了调查统计数据），回答下面的问题：1、从总体上分析学生的学习状况；2、建立一定的数学模型标准，对调查的教学班进行分类；3、从学习态度、学习方法、师资水平等方面进行量化分析；4、撰写一份学生数学学习情况的调查报告，以便向有关教学管理部门介绍调查结果。

（800-1200字）C题服务机构劳务安排的优化设计在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。

数学建模讨论题一、某厂向用户提供发动机，合同规定：第一，第二，第三季度末分别交货40台、60台、80台。

每季度生产费用为f(x) ＝ax+bx²（元）其中x是该季度生产的发动机台数，则交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付储存费，每台每季度c元，已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度度开始无存货，设a=50 b=0.2 c=4(1)问工厂应如何安排生产计划才能既满足合同又能使总费用最低？(2)讨论a.b.c变化对计划的影响，并做出合理的解释二、需要派送5人去做5项工作，每人做各项工作能力评分见表，应如何分派，才能使总的得分最大？三、卡车送货问题一公司目前必须向五家用户送货，在用户A处卸下1个单位重量的货物，在用户B处卸下2个单位重量的货物，在用户C处卸下3个单位重量的货物，在用户D处卸下4个单位重量的货物，在用户E处卸下8个单位重量的货物。

公司有各种卡车四辆，1号车载重能力为2个单位重量，2号车重载能力为6个单位重量，,3号车重载能力为8个单位重量，4号车载重能力为11个单位重量。

卡车j的运费为Cj。

假定一辆卡车不能同时给用户A和C二者送货，同时也不能同时给用户B和D二者送货。

请列出一个整数规划模型表达式，以确定装运全部货物应如何配置卡车，使其运费为最小。

（2）如果卡车j给用户i运货时需要附加费Cij，试述应如何修改这一表达式。

（3）如果每辆卡车在一天内的送货次数不能超过两次，试说明应如何修改表达式。

（4）试说明如果在卡车的运货路线上增加一些约束条件时，对模型的表达式有何影响。

四、你所在的专业有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛，共要进行10场比赛。

如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢？下面是随便安排的一个赛程：记5支球队为A，B，C，D，E，在下表左半部分的右上角的10个空格中，随手填上1，2，…，10，就得到一个赛程，即第1场A对B，第2场B对C，…第10场C对E。

数学建模部分课后习题解答1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：模型假设（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。

这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。

因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。

生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。

于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。

把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。

为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。

建模思考练习题一、题目描述某城市的市长希望改善城市的交通拥堵问题，他雇佣了一家顾问公司来进行交通流量建模和优化分析。

作为该公司的建模师，你被委派解决以下问题：1. 城市中存在多个繁忙的交叉路口，如何选择优化方案以减少交通拥堵？2. 如何评估选择的方案在不同时间段内的效果，以便根据需求进行调整和改进？二、问题分析在解决上述问题之前，我们需要首先进行问题分析和建模。

我们可以按照以下步骤进行：1. 数据收集：收集城市各个交叉路口的交通流量数据、平均速度、交通信号灯时间等。

这些数据可以通过交通监控设备、交通调查和模拟软件等方式获取。

2. 问题抽象：将城市交通网络抽象成一个图，交叉路口表示为节点，道路表示为边。

每个节点和边都有相应的属性，如流量、速度等。

3. 建立数学模型：根据收集的数据和问题抽象，建立一个合适的数学模型来描述交通流量和拥堵程度之间的关系。

常用的数学模型包括图论、优化模型和仿真模型等。

4. 模型求解：利用建立的数学模型，进行模型求解和优化。

可以采用数值计算方法、图论算法和仿真实验等方式来求解和评估各种方案的效果。

三、建模思路基于以上问题分析，我们可以按照以下思路来解决问题：1. 选择优化方案：a. 根据城市中不同交叉路口的交通流量和拥堵程度，选择关键的交叉路口进行优化。

b. 根据已有的交通数据和模型，确定可能的优化方案，如调整交通信号灯时间、增加道路通行能力等。

c. 针对每个优化方案，利用建立的数学模型进行评估和比较，选择最佳方案。

2. 评估方案效果：a. 根据实际情况和需求，选择一段时间作为评估周期，如一天、一周或一月。

b. 收集该评估周期内的交通数据，并与之前的基准数据进行对比。

c. 利用建立的数学模型，计算和分析交通拥堵程度的变化，评估方案效果。

3. 针对评估结果进行调整和改进：a. 根据评估结果，分析方案的优点和不足之处，找出问题所在。

b. 针对问题所在，利用建立的数学模型，提出对应的改进方案。

数学建模讨论题一、某厂向用户提供发动机，合同规定：第一，第二，第三季度末分别交货40台、60台、80台。

每季度生产费用为f(x) ＝ax+bx²（元）其中x是该季度生产的发动机台数，则交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付储存费，每台每季度c元，已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度度开始无存货，设a=50 b=0.2 c=4(1)问工厂应如何安排生产计划才能既满足合同又能使总费用最低？(2)讨论a.b.c变化对计划的影响，并做出合理的解释二、需要派送5人去做5项工作，每人做各项工作能力评分见表，应如何分派，才能使总的得分最大？人员B1 B2 B3 B4 B5业务A1 1.3 0.8 0 0 1.0A2 0 1.2 1.3 1.3 0A3 1.0 0 0 1.2 0A4 0 1.05 0 0.2 1.4A5 1.0 0.9 0.6 0 1.1三、卡车送货问题一公司目前必须向五家用户送货，在用户A处卸下1个单位重量的货物，在用户B处卸下2个单位重量的货物，在用户C处卸下3个单位重量的货物，在用户D处卸下4个单位重量的货物，在用户E处卸下8个单位重量的货物。

公司有各种卡车四辆，1号车载重能力为2个单位重量，2号车重载能力为6个单位重量，,3号车重载能力为8个单位重量，4号车载重能力为11个单位重量。

卡车j的运费为Cj。

假定一辆卡车不能同时给用户A和C二者送货，同时也不能同时给用户B和D二者送货。

请列出一个整数规划模型表达式，以确定装运全部货物应如何配置卡车，使其运费为最小。

（2）如果卡车j给用户i运货时需要附加费Cij，试述应如何修改这一表达式。

（3）如果每辆卡车在一天内的送货次数不能超过两次，试说明应如何修改表达式。

（4）试说明如果在卡车的运货路线上增加一些约束条件时，对模型的表达式有何影响。

四、你所在的专业有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛，共要进行10场比赛。