数学建模第三次作业——追击问题

追及问题应用题及答案追及问题应用题及答案篇1:初三数学应用题及答案初三同学所讨论的应用题比较简单，其中包括不同的数量和不同的大事，假如想直接列方程，就简单顾此失彼。

以下是我为您整理的初三数学应用题及答案相关资料，欢迎阅读！初三数学应用题及答案延长阅读：初三数学误区对策误区1、题海战术其实不然。

每一份综合试卷，出卷人总要避开考旧题、陈题，尽量从新的角度，新的层面上设计问题。

但是考查的学问点和数学思想方法是恒久不变的。

所以多做题，不会碰巧和考题零距离亲热接触，反而会把自己陷入无边无际的题海之中。

解决问题的方法是从学问点和思想方法的角度分别对所解题目进行归类，总结解题阅历的同时，确认自己是否真正把握并确认复习的重点。

对策对策一：让自己花点时间整理最近解题的题型和思路。

对策二：这道题和以前的某一题差不多吗？对策三：此题的学问点我是否熟识了？对策四：最近有哪几题的图形相近？能否归类？对策五：这一题的解题思想在以前题目中也用到了，让我把它们找出来！误区2、钻研难题基础题就简洁了也不对，其实基础的才是最重要的。

有的同学喜爱挑战有难度的数学题，能让他从思维中得到欢乐，但数学分数却始终不高。

其实这在肯定程度上反映出我们数学学习中的浮躁状况，老师爱讲难题、综合题，同学想做综合题、难题，在忽视基础的同时，迷失了数学学习的方向。

对策对策一：告知自己数学思维不等于简单思维，数学的美往往体现在一些小题目中。

对策二：“简约而不简洁”在平常题中体会数学思维的乐趣。

对策三：“一滴朝露也能折射出太阳的光辉。

”让我从基础题中找综合题的影子。

对策四：这道题真的简洁吗？对策五：我是一名优秀的同学，我能在平凡中体现出我的优秀。

误区3、课上听得懂，课后不会解题这是许多人的误区之一。

学习过程中，经常消失这种现象，同学在课堂上听懂了，但课后解题特殊是遇到新题型时便无所适从。

这就说明上课听懂是一回事，而达到能应用学问解决问题是另一回事。

老师所举例题是范例也是思维训练的手段，作为同学不应当只学会题中的学问，更要学会领悟出解题思路与技巧，以及隐藏其中的数学思想方法。

追及与相遇问题专题追及与相遇问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个或两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同。

对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景。

（1）解决运动学中两个物体的追及、相遇问题的关键在于寻找追及过程中两物体的位移关系．．．．；．．．．、速度关系．．．．或时间关系（2）解题方法：选同一坐标原点、同一正方向、计时起点，分别列出两个物体的位移方程及速度方程。

（3）求解追及与相遇问题的常用方法：A：通过运动过程的分析，找到隐含条件，从而顺利列方程求解，例如：a)追与被追的两个物体的速度相等．．．．通常是能追上与不能追上或者两者距离有极值的临界条件。

如匀减速运动的物体追及同向匀速运动的物体，若二者速度相等了仍未追上，这时两者距离最短，以后永远也追不上了；若二者速度相等时刚好追上，则是二者避免碰撞的临界条件；若二者位移相等时，追者速度仍大于被追者速度，则被追者还有一次被追上的机会；b)初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体时，追上前两者具有最大距离的条件：追赶者的速度等于被追赶者的速度。

B：利用二次函数求极值的数学方法，根据物理现象，列方程求解。

C：在追击问题中还常常利用速度－时间图像，通过求“面积”的方法，它可以达到化繁为简，化难为易，直观形象的效果。

D.：采用相对运动方法求解。

先试做一下再看参考答案例一：汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车。

求关闭油门时汽车离自行车多远？例二：车从静正开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。

院系：数学学院专业：信息与计算科学年级：2014级学生姓名：***学号：************ 教师姓名：徐霞6.6 习题3.一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者，计算并画出狗的轨迹。

解：（1）模型分析建立:狗的轨迹：在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。

假设1：慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数X(t)和Y(t)描述。

假设2：当t=0时，狗是在点(x0,y0)处，在时刻t时，它的位置是(x(t),y(t))那么下列方程成立：(1)狗以恒定速率跑: X’2+y’2=w2(2) 狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：将上述方程带入等式：,可得：再将λ代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程：（2）程序及结果dog函数[dog.m]function [zs,isterminal,direction] = dog(t,z,flag)global w;% w=speed of the dogX=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h);if nargin<3 || isempty(flag)zs=(w/nh)*h;elseswitch(flag)case'events'zs = nh-1e-3;isterminal = 1;direction = 0;otherwiseerror(['Unknow flag:' flag]);end慢跑者的运动轨迹方程，水平向右[jogger.m]function s = jogger(t);s = [8*t;0];标记的函数[cross.m]function cross(Cx,Cy,v)Kx = [Cx Cx Cx Cx-v Cx+v];Ky = [Cy Cy+2.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v] plot(Kx,Ky);plot(Cx,Cy,'o');主程序：静态显示[main1.m]global wy0 = [60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on'); [t,Y] = ode23('dog',[0,20],y0,options);clf;hold on;axis([-10,100,-10,70]);plot(Y(:,1),Y(:,2));J=[];for h=1:length(t),w = jogger(t(h));J=[J;w'];endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;动态显示[main2.m]global w;y0=[60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on'); [t,Y]=ode23('dog',[0,20],y0,options); J=[]; for h=1:length(t);w= jogger(t(h));J=[J;w'];xmin = min(min(Y(:,1)),min(J(:,1)));xmax = max(max(Y(:,1)),max(J(:,1)));ymin = min(min(Y(:,2)),min(J(:,2)));ymax = max(max(Y(:,2)),max(J(:,2)));clf;hold on;axis([xmin-10 xmax ymin-10 ymax]);title('The jogger and the Dog');for h = 1:length(t)-1,plot([Y(h,1),Y(h+1,1)],[Y(h,2),Y(h+1,2)],'-','Color','red','EraseMode ','none');plot([J(h,1),J(h+1,1)],[J(h,2),J(h+1,2)],'-','Color','green','EraseMo de','none');drawnow;pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;结果t=12.2761812635281，在12.27秒后狗追上慢跑者。

实验追逐问题Matlab程序如下：%取v=1,t=12,A,B,C,D点的坐标分另为（0，10），（10，10），（10，0），(0, 0) v=1;dt=0.05;d=20;x=[0 0 0 10 10 10 10 0];x(9)=x(1);x(10)=x(2);holdaxis('equal')axis([0 10 0 10]);for k=1:2:7plot(x(k),x(k+1),'.' )endwhile(d>0.1)for i=1:2:7d=sqrt((x(i)-x(i+1))^2+(x(i+1)-x(i+3))^2);x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+2)-x(i))/d;x(i+1)=x(i+1)+v*dt*(x(i+3)-x(i+1))/d;plot(x(i),x(i+1),'.')endx(9)= x(1);x(10)= x(2);endhold运行结果如下：狼追击兔子的问题狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。

当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。

当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。

狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。

狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。

可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。

模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：function sim_langtu%《狼兔追击问题》%（离散模拟）%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程Q=[0 0];%兔子坐标P=[100 0];%狼坐标PQ=Q-P;%狼兔方向向量step =1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量trackP=P;trackQ=Q;for k=1:count;P = P + 2*PQ;%2倍速度Q = Q + step*[0 1];%[0 1]为兔子奔跑方向的单位方向向量PQ = Q - P;trackP(1+k,:)=P;trackQ(1+k,:)=Q;PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量dis= sqrt(sum((P-Q).^2));plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+' );pause(0.5)end%fordis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离P %兔子到达窝边时，狼的坐标Q %兔子到达窝边时，兔子的坐标（二）模拟程序运行结果dis =7.0619P =1.6805 53.1410Q =0 60注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。

小学奥数趣味学习《追及问题》典型例题及解答两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

数量关系：追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例题1：某警官发现前方100米处有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官赶紧以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上这个匪徒。

解：1、从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。

根据公式：路程差÷速度差=追及时间。

2、路程差为100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差为1米/秒。

所以追及的时间为100÷1=100（秒）。

例题2：甲乙二人同时从400米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出发。

那么甲乙二人出发后（）秒第一次相遇？解：1、由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一次相遇时，乙从后方追上甲，所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长度，即追及路程为400米。

2、由追及时间=总路程÷速度差可得：经过400÷（8-6）=200（秒）两人第一次相遇。

例题3：小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。

那么甲、乙两地相距多远？解：1、根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。

首先是小轿车和面包车的相遇问题；其次是面包车和大客车的相遇问题；然后是小轿车与大客车的追及问题。

最后通过小轿车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地距离。

数学建模实验报告一．实验题目第一题：设一个小圆在大圆内无滑动的滚动，用Matlab变编程探讨小圆上或小圆内一点的运动轨迹。

问题分析：由题目条件可知，小圆在大圆内无滑动滚动，所以对于小圆与大圆的初始接触点来说，该点滑动的弧长即为小圆滚动的路程。

由此便可以联系小圆与大圆。

首先，分析目标点。

若对小圆上一点进行观察，对于任意两点，从它不再与大圆接触到再一次与大圆接触，其运动轨迹必然是相同的（仅讨论轨迹弧线的形状，初末位置不做要求）。

所以，我们可以以初始位置时的接触点来考察运动轨迹。

若对小圆内（非圆心）一点进行考察，则其轨迹必与其在小圆上的对应点相似。

故可以先计算出小圆上对应点的轨迹，然后缩放移动即可。

若对小圆圆心进行考察，则易知其轨迹必为一圆。

分析完成后，下面开始讨论轨迹的计算方法。

由于除圆心外，轨迹是类似于摆线的一条曲线，所以用参数方程进行求解。

具体做法是以大圆圆心为原点，建立一个直角坐标系。

由于小圆的初始位置与小圆上或小圆内一点的运动轨迹无关，所以，我们不妨设小圆与大圆初始位置时的接触点在X轴正半轴上。

之后再以小圆的圆心建立一个直角坐标系。

对于这个坐标系里的任一点，可以利用向量的计算方法，由于大圆圆心和小圆圆心连线的向量是可求的，所以可将该点投影到以大圆圆心建立的坐标系中。

在计算该点的参数方程时，可使用公式l=Ra，a为圆心角。

先求出该点在以小圆圆心为原点的坐标系中的参数方程，然后投影至另一坐标系中即可。

若观察的是圆上一点，则只需将原程序中的小圆半径换成该点到小圆圆心的距离即可。

具体计算过程如下：Matlab代码：h=0.1;q=0:h:20*pi;R=5;r=3; d=2;v=-R/r;xR=R*cos(q);yR=R*sin(q);xrh=(R-r)*cos(q);yrh=(R-r)*sin(q);xr=xh+d*cos(v*q+q);yr=yh+d*sin(v*q+q);plot(xh,yh,xx,yy,xz,yz);结果截图：绿色为大圆，半径10，蓝色为小圆圆心轨迹，小圆半径为3，红色为小圆上一点轨迹。

应用题-追及问题追及问题，又称奔跑问题或者相遇问题，是数学中常见的一个应用题类型。

它以两个或多个物体（人、车、船等）的速度和相对运动关系为基础，通过推导求解，以确定它们的相遇时间或者相遇位置。

追及问题在解决实际生活中的时间、空间问题时具有重要的应用价值。

本文将从初等数学角度出发，对追及问题进行详细的探讨和解析。

一、简单追及问题简单追及问题是最基本的一种类型，也是其他复杂类型的基础。

在简单的追及问题中，通常涉及两个物体以恒定速度运动，通过已知的速度和相对运动情况，求解它们相遇的时间或者相遇的位置。

例如，【示例】甲、乙两部手机不同地点同时开始向同一方向移动，甲手机的速度为10米每秒，乙手机的速度为15米每秒，求他们相遇的时间和相遇的位置。

解：设相遇时间为t，由速度定义可知，甲手机在t秒内所走的距离为10t米，乙手机在t秒内所走的距离为15t米。

由于他们相遇，所以他们走的距离相等，即10t = 15t。

解方程可得t = 0。

即他们在0秒时相遇。

根据给定的速度，可得甲手机在0秒时已经移动了0米，乙手机在0秒时已经移动了0米。

因此，他们的相遇位置是初始位置。

二、相对速度法相对速度法是解决追及问题的一种常用方法。

它通过将两个物体的速度合并为相对速度，而将两个物体的相对运动转化为一个物体以相对速度运动的问题。

相对速度的求法有多种，具体可根据不同的情况选择适合的方法，其中一种常见的情况是追及问题中以某个物体作为参照物，将其速度减去另一个物体的速度得到相对速度。

例如，【示例】甲、乙两辆汽车分别以40千米每小时和60千米每小时的速度向同一地点开去，甲辆汽车比乙辆汽车晚10分钟出发，求他们相遇的时间和相遇的位置。

解：设相遇时间为t，由于甲辆汽车比乙辆汽车晚10分钟出发，所以乙辆汽车在t分钟内走的路程为60(t-10)千米，甲辆汽车在t分钟内走的路程为40t千米。

由于他们相遇，所以他们走的路程相等，即60(t-10) = 40t。

汽车的相遇和追及问题，甲乙两地的距离为3km，汽车A在甲地发车，汽车C在乙地发车，两车相向而行，经过一个发车时间间隔5min后，汽车B在甲地发车，汽车A的速度为50m/min，汽车B 的速度为60m/min，汽车C的速度为40m/min。

求：汽车C发车后经历多久发生第一次相遇时间，是先遇到汽车A？还先遇到是汽车B？这些貌似不相关的数量之间隐含着许多的数量关系。

1、模型准备：设：汽车A速度S1、汽车B速度S2、汽车C速度S3、汽车发车时间间隔是a、（相遇）追及事件事件间隔是T、汽车A与汽车C相遇时间是T1、汽车B与汽车C相遇的时间是T2、两地间（两辆汽车之间）的距离是d2、基本假设：（1）假设汽车A速度S1大于汽车B速度S2（2）假设汽车A速度S1小于汽车B速度S23、建立模型：这只有两种结果：第一种是：汽车C先遇到汽车A，第二种是：汽车C先遇到汽车B（1）汽车C先遇到汽车A，发生第一次相遇时间为T1=d/(S1+S3)：①当基本假设（1）成立时，汽车B追及不到汽车A的，所以，汽车C先遇到汽车A，后遇到汽车B②当基本假设（2）成立时，汽车B发车后，由于汽车B速度大于汽车A，汽车B将会追及到汽车A，汽车B追及到汽车A所经过的时间为T，即是：在追及事件前，汽车A在汽车B的前面，在追及事件后，汽车B在汽车A的前面。

所以，若汽车A与汽车C相遇的时间，在追及事件前，则汽车C先遇到汽车A（2）汽车C先遇到汽车B，发生第一次相遇的时间为T2=a+(d-aS3)/(S2+S3)：①当基本假设（1）成立时，汽车C不可能先遇到汽车B②当基本假设（2）成立时，若汽车A与汽车C相遇的时间，在追及事件后，则汽车C先遇到汽车B4、模型求解由题目可知，基本假设（2）符合该题意，汽车B发车时，A与B两车的距离为5*50=250（米）汽车B经历了t=250/(60-50)=25(分钟）追及到汽车A，则发生追及事件的时间是T=t+5=30(分钟），汽车A 与汽车C相遇的时间是T1=3000/(50+40)=33.33(分钟），即是：汽车A 与汽车C的相遇发生在追及事件之后，所以，汽车C发生第一次相遇的时间是T2=5+（3000-5*40）/(60+40)=33(分钟），且先遇到汽车B5、模型检验汽车A与汽车C的相遇时间T1=33.33min，汽车B与汽车C相遇的时间T2=33min，所以，汽车C先遇到汽车B，符合建立模型。

精品文档院系：数学学院专业：信息与计算科学年级：2014 级学生姓名：王继禹学号：201401050335教师姓名：徐霞6.6 习题3.一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者，计算并画出狗的轨迹。

解：（1）模型分析建立:狗的轨迹：在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。

假设 1：慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数 X(t)和 Y(t)描述。

假设 2：当 t=0 时，狗是在点 (x0,y0)处，在时刻 t 时，它的位置是 (x(t),y(t)) 那么下列方程成立：222(1)狗以恒定速率跑:X’+y’=w(2)狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：将上述方程带入等式：,可得：再将λ代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程：（2）程序及结果dog 函数[dog.m]function[zs,isterminal,direction] = dog(t,z,flag)global w; % w=speed of the dogX=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h);if nargin<3 || isempty(flag)zs=(w/nh)*h;elseswitch (flag)case 'events'zs = nh-1e-3;isterminal = 1;direction = 0;otherwiseerror(['Unknow flag:'flag]);endend慢跑者的运动轨迹方程，水平向右[jogger.m]function s = jogger(t);s = [8*t;0];标记的函数[cross.m]function cross(Cx,Cy,v)Kx = [Cx Cx Cx Cx-v Cx+v];Ky = [Cy Cy+2.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v]plot(Kx,Ky);plot(Cx,Cy,'o' );主程序：静态显示[main1.m]global wy0 = [60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events', 'on' ); [t,Y] = ode23('dog' ,[0,20],y0,options);clf;hold on ;axis([-10,100,-10,70]);plot(Y(:,1),Y(:,2));J=[];for h=1:length(t),w = jogger(t(h));J=[J;w'];endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off ;动态显示[main2.m]global w;y0=[60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events', 'on' ); [t,Y]=ode23('dog' ,[0,20],y0,options); J=[];for h=1:length(t);w= jogger(t(h));J=[J;w'];endxmin = min(min(Y(:,1)),min(J(:,1)));xmax = max(max(Y(:,1)),max(J(:,1)));ymin = min(min(Y(:,2)),min(J(:,2)));ymax = max(max(Y(:,2)),max(J(:,2)));clf;hold on ;axis([xmin-10 xmax ymin-10 ymax]);title('The jogger and the Dog');for h = 1:length(t)-1,plot([Y(h,1),Y(h+1,1)],[Y(h,2),Y(h+1,2)],'-', 'Color', 'red', 'EraseMode ' , 'none');plot([J(h,1),J(h+1,1)],[J(h,2),J(h+1,2)],'-', 'Color', 'green', 'EraseMo de', 'none');drawnow;pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),':' );p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;结果t=12.2761812635281，在 12.27 秒后狗追上慢跑者。

飞机追击问题飞机追击问题摘要本文讨论的是关于我方飞机追及不明敌机的问题。

其大概的思路是建立平面直角坐标系，建立微分方程模型，得到一个二阶方程, 通过降阶法化为一阶方程，使用微分思想，推导出所求的方程表达式，因而得到我方飞机追击敌机的轨迹方程。

通过分析假设敌我双方飞机形成固定夹角下在不同时刻下双方的位置，进而推导出求解公式。

关键词：追击、平面直角坐标系、微分方程、降阶法1. 问题重述：我军飞机在基地巡航飞行时，发现正北方向120 km 处有一敌机以90 km/h 的速度向正东方向行驶. 我方飞机立即追击敌机, 我方飞机速度为450 km/h ，自动导航系统使飞机在任一时刻都能对准敌机。

求出我飞机在何时何处能拦截敌机以及当敌机以135km/h 的速度与我飞机成固定夹角的方向逃逸时，我方飞机在何时何处能拦截敌机。

2. 模型假设1.假设我方飞机以及敌机的运动为质点运动。

2.假设双方飞机为匀速率运动。

3.假设飞机的运动速度跟风速和空气阻力没有关系，但是实际飞机运动过程中阻力影响和飞行速度有关系。

在运动的过程中也忽略了重力的影响。

3. 符号说明：Ve ：敌机飞行速度。

Vw ：我方飞机飞行速度。

O ：我方飞机初始位置。

A ：敌机初始位置。

B ：我方飞机机追击到敌机的位置。

S ：两机初始位置之间的距离。

4.问题的分析：我方飞机在追击的过程中始终指向敌机，即我方飞机的飞行方向随着时间的改变而改变，建立起平面直角坐标系有(图1)5．模型的建立5.1. 问题1：当t = 0时,我方飞机位于点O ,敌机位于(0，A)点。

设我方飞机在t 时刻的位置为P (x,y)。

飞机速度恒定，则有xt v y S dxdy e --=由于我方飞机飞行轨迹的切线方向必须指向敌机,即直线PM 的方向就是飞行轨迹上点P 的切线方向，故有τn T yd xd n n =),(5.2．问题2：如果敌机以135km/h 速度与我巡航飞机方向成固定夹角方向逃逸，设逃逸方向与我方飞机速度方向夹角为θ，如图2建立坐标y（0，SOx图26. 模型的求解：6.1.问题1求解过程：建立微分方程模型，通过降阶法化把推导出的二阶方程转为一阶方程，然后用分离变量法求解。

院系：数学学院专业：信息与计算科学年级： 2014级学生姓名：王继禹学号： 201401050335 教师姓名：徐霞6.6 习题3.一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者，计算并画出狗的轨迹。

解：（1）模型分析建立:狗的轨迹：在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。

假设1：慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数X(t)和Y(t)描述。

假设2：当t=0时，狗是在点(x0,y0)处，在时刻t时，它的位置是(x(t),y(t))那么下列方程成立：(1)狗以恒定速率跑: X’2+y’2=w2(2) 狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：将上述方程带入等式：,可得：再将λ代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程：（2）程序及结果dog函数[dog.m]function [zs,isterminal,direction] = dog(t,z,flag)global w;% w=speed of the dogX=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h);if nargin<3 || isempty(flag)zs=(w/nh)*h;elseswitch(flag)case'events'zs = nh-1e-3;isterminal = 1;direction = 0;otherwiseerror(['Unknow flag:' flag]);end慢跑者的运动轨迹方程，水平向右[jogger.m]function s = jogger(t);s = [8*t;0];标记的函数[cross.m]function cross(Cx,Cy,v)Kx = [Cx Cx Cx Cx-v Cx+v];Ky = [Cy Cy+2.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v] plot(Kx,Ky);plot(Cx,Cy,'o');主程序：静态显示[main1.m]global wy0 = [60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on'); [t,Y] = ode23('dog',[0,20],y0,options);clf;hold on;axis([-10,100,-10,70]);plot(Y(:,1),Y(:,2));J=[];for h=1:length(t),w = jogger(t(h));J=[J;w'];endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;动态显示[main2.m]global w;y0=[60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on'); [t,Y]=ode23('dog',[0,20],y0,options); J=[]; for h=1:length(t);w= jogger(t(h));J=[J;w'];xmin = min(min(Y(:,1)),min(J(:,1)));xmax = max(max(Y(:,1)),max(J(:,1)));ymin = min(min(Y(:,2)),min(J(:,2)));ymax = max(max(Y(:,2)),max(J(:,2)));clf;hold on;axis([xmin-10 xmax ymin-10 ymax]);title('The jogger and the Dog');for h = 1:length(t)-1,plot([Y(h,1),Y(h+1,1)],[Y(h,2),Y(h+1,2)],'-','Color','red','EraseMode','none'); plot([J(h,1),J(h+1,1)],[J(h,2),J(h+1,2)],'-','Color','green','EraseMode','none');drawnow;pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;结果t=12.2761812635281，在12.27秒后狗追上慢跑者。

模型组合讲解——追及、相遇模型孙立刚一、追及、相遇模型（同一直线上）【模型概述】追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。

可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。

若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。

二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。

若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发△t ，则运动时间关系为t t t ∆+=乙甲。

要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。

【模型讲解】1. 利用不等式求解例1：甲、乙两物体相距s ，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。

甲物体在前，初速度为v 1，加速度大小为a 1。

乙物体在后，初速度为v 2，加速度大小为a 2且知v 1<v 2，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？ 解析：若是2211a v a v ≤，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。

在运动过程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为22212122a v a v s s -+=∆ 若是2221a v a v >，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻，此时两物体相距最近，根据t a v t a v v 2211-=-=共，求得 1212a a v v t --= 在t 时间内 甲的位移t v v s 211+=共 乙的位移t v v s 222+=共代入表达式21s s s s -+=∆ 求得)(2)(1212a a v v s s ---=∆评点：本题是一个比较特殊的追及问题（减速追减速）。

求解时要对各种可能的情况进行全面分析，先要建立清晰的物理图景。

本题的特殊点在于巧妙地通过比较两物体运动时间的长短寻找两物体相距最近的临界条件。

2. 巧用图象法求解例2：如图1所示，声源S 和观察者A 都沿x 轴正方向运动，相对于地面的速率分别为S v 和A v 。

追击问题说课稿潘家湾民族中学周芬本节课是《人教板》七年级上册第三章第四节的探究问题，是在前面已经学习过列一元一次方程解实际问题的基础上进一步以"探究"的形式讨论贴进我们生活的身边问题。

随着市场经济的发展，经营活动越来越被人们重视，数学教学适当结合这方面的问题，可以使学生了解市场的运作，丰富学生的知识，激发学生学习数学的兴趣。

通过探究本节课的问题让学生经历一个从定性考虑到定量考虑的过程，有助于提高他们对数学的应用意识。

同时学习这节课，可让学生进一步体会到方程是分析和解决数学问题的一种重要的数学工具，熟练掌握思维方法可为我们以后进一步的学习利用方程解决实际问题打好基础，起着承上启下的作用。

教育教学目标：（ 1 ）知识目标：（ A ）通过教学使学生了解应用题的一个重要步骤是根据题意找出相等关系，然后列出方程，关键在于分析已知未知量之间关系及寻找相等关系。

（ B ）通过和；差；倍；分的量与量之间的分析以及公式中有一个字母表示未知数，其余字母表示已知数的情况下，列出一元一次方程解简单的应用题。

（ 2 ）能力目标：通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题，综合归纳整理的能力，以及理论联系实际的能力。

（ 3 ）思想目标：通过对一元一次方程应用题的教学，让学生初步认识体会到代数方法的优越性，同时渗透把未知转化为已知的辩证思想，介绍我国古代数学家对一元一次方程的研究成果，激发学生热爱中国共产党，热爱社会主义，决心为实现社会主义四个现代化而学好数学的思想；同时，通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，培养学生唯物主义的思想观点。

本节的重点是建立实际问题的方程模型，教学时要注意加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．本节课主要是探究相遇与追击问题，本节课学生基础较好，还可以适当补充的实际问题.教学中注意了解学生常见错误，加以强调、纠正，例如“不能找等量关系、单位不统一”等.学情分析：（说学法）1 ：学生初学列方程解应用题时，往往弄不清解题步骤，不设未知数就直接进行列方程或在设未知数时，有单位却忘记写单位等。

数学建模实验报告机械工程及自动化75班07011114丁鑫四人追击问题问题：在一个边长为1的正方形跑道的四个顶点上各站有一人，他们同时开始以等速顺时针追逐下一人，在追逐过程中，每个人时刻对准目标，试模拟追击路线。

并讨论：（1） 四个人能否追到一起？（2）若能追到一起，则每个人跑过多少路程？（3）追到一起所需要的时间（设速率为1）？（4）如果四个人追逐的速度不一样，情况又如何呢分析：先建立坐标系，设计程序使从A,B,C,D 四个点同时出发，画出图形并判断。

程序设计流程：四个人追击的速度相等，则有14321=====v v v v v 。

针对这种情形，可有以下的程序。

hold onaxis([0 2 0 2]);gridA=[0,0];B=[0,1];C=[1,1];D=[1,0];k=0;s1=0;s2=0;s3=0;s4=0; %四个人分别走过的路程t=0;v=1;dt=0.002;while k<10000k=k+1;plot(A(1),A(2),'r.','markersize',15);plot(B(1),B(2),'b.','markersize',15);plot(C(1),C(2),'m.','markersize',15);plot(D(1),D(2),'k.','markersize',15);e1=B-A;d1=norm(e1);e2=C-B;d2=norm(e2);e3=D-C;d3=norm(e3);e4=A-D;d4=norm(e4);fprintf('k=%.0f ',k)fprintf('A(%.2f,%.2f) d1=%.2f ',A(1),A(2),d1)fprintf('B(%.2f,%.2f) d2=%.2f ',B(1),B(2),d2)fprintf('C(%.2f,%.2f) d3=%.2f ',C(1),C(2),d3)fprintf('D(%.2f,%.2f) d4=%.2f\n',D(1),D(2),d4) A=A+v*dt*e1/d1;B=B+v*dt*e2/d2;C=C+v*dt*e3/d3;D=D+v*dt*e4/d4;t=t+dt;s1=s1+v*dt;s2=s2+v*dt;s3=s3+v*dt;s4=s4+v*dt;if norm(A-C)<=5.0e-3&norm(B-D)<=5.0e-3 breakendendts1s2s3s4部分运行结果：k=481 A(0.52,0.52) d1=0.04 B(0.52,0.48) d2=0.04 C(0.48,0.48) d3=0.04 D(0.48,0.52) d4=0.04 k=482 A(0.52,0.52) d1=0.04 B(0.52,0.48) d2=0.04 C(0.48,0.48) d3=0.04 D(0.48,0.52) d4=0.04 k=483 A(0.52,0.52) d1=0.04 B(0.52,0.48) d2=0.04 C(0.48,0.48) d3=0.04 D(0.48,0.52) d4=0.04k=484 A(0.52,0.51) d1=0.04 B(0.51,0.48) d2=0.04 C(0.48,0.49) d3=0.04 D(0.49,0.52) d4=0.04 k=485 A(0.52,0.51) d1=0.04 B(0.51,0.48) d2=0.04 C(0.48,0.49) d3=0.04 D(0.49,0.52) d4=0.04 k=486 A(0.52,0.51) d1=0.03 B(0.51,0.48) d2=0.03 C(0.48,0.49) d3=0.03 D(0.49,0.52) d4=0.03 k=487 A(0.52,0.51) d1=0.03 B(0.51,0.48) d2=0.03 C(0.48,0.49) d3=0.03 D(0.49,0.52) d4=0.03 k=488 A(0.52,0.51) d1=0.03 B(0.51,0.48) d2=0.03 C(0.48,0.49) d3=0.03 D(0.49,0.52) d4=0.03 k=489 A(0.52,0.51) d1=0.03 B(0.51,0.48) d2=0.03 C(0.48,0.49) d3=0.03 D(0.49,0.52) d4=0.03 k=490 A(0.52,0.50) d1=0.03 B(0.50,0.48) d2=0.03 C(0.48,0.50) d3=0.03 D(0.50,0.52) d4=0.03 k=491 A(0.52,0.50) d1=0.02 B(0.50,0.48) d2=0.02 C(0.48,0.50) d3=0.02 D(0.50,0.52) d4=0.02 k=492 A(0.52,0.50) d1=0.02 B(0.50,0.48) d2=0.02 C(0.48,0.50) d3=0.02 D(0.50,0.52) d4=0.02 k=493 A(0.51,0.50) d1=0.02 B(0.50,0.49) d2=0.02 C(0.49,0.50) d3=0.02 D(0.50,0.51) d4=0.02 k=494 A(0.51,0.50) d1=0.02 B(0.50,0.49) d2=0.02 C(0.49,0.50) d3=0.02 D(0.50,0.51) d4=0.02 k=495 A(0.51,0.50) d1=0.02 B(0.50,0.49) d2=0.02 C(0.49,0.50) d3=0.02 D(0.50,0.51) d4=0.02 k=496 A(0.51,0.50) d1=0.01 B(0.50,0.49) d2=0.01 C(0.49,0.50) d3=0.01 D(0.50,0.51) d4=0.01 k=497 A(0.51,0.49) d1=0.01 B(0.49,0.49) d2=0.01 C(0.49,0.51) d3=0.01 D(0.51,0.51) d4=0.01 k=498 A(0.51,0.49) d1=0.01 B(0.49,0.49) d2=0.01 C(0.49,0.51) d3=0.01 D(0.51,0.51) d4=0.01 k=499 A(0.50,0.49) d1=0.01 B(0.49,0.50) d2=0.01 C(0.50,0.51) d3=0.01 D(0.51,0.50) d4=0.01 k=500 A(0.50,0.50) d1=0.01 B(0.50,0.50) d2=0.01 C(0.50,0.50) d3=0.01 D(0.50,0.50) d4=0.01 k=501 A(0.50,0.50) d1=0.01 B(0.50,0.50) d2=0.01 C(0.50,0.50) d3=0.01 D(0.50,0.50) d4=0.01 k=502 A(0.50,0.50) d1=0.00 B(0.50,0.50) d2=0.00 C(0.50,0.50) d3=0.00 D(0.50,0.50) d4=0.00 t =1.0040s1 =1.0040s2 =1.0040s3 =1.0040s4 =1.0040从运行的结果来看，如果四个人的追击速度相同，均为1，可有以下的结果：（1） 四人最后可以追到一起。

院系: 数学学院专业: 信息与计算科学年级: 2014级学生姓名: 王继禹学号: 2教师姓名: 徐霞6、6 习题3、一个慢跑者在平面上沿着她喜欢的路径跑步,突然一只狗攻击她,这只狗以恒定速率跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者,计算并画出狗的轨迹。

解:(1)模型分析建立:狗的轨迹:在任意时刻,狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。

假设1:慢跑者在某路径上跑步,她的运动由两个函数X(t)与Y(t)描述。

假设2:当t=0时,狗就是在点(x0,y0)处,在时刻t时,它的位置就是(x(t),y(t))那么下列方程成立:(1)狗以恒定速率跑: X’2+y’2=w2(2) 狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量:将上述方程带入等式:,可得:再将λ代入第二个方程,可得狗的轨迹的微分方程:(2)程序及结果dog函数[dog、m]function [zs,isterminal,direction] = dog(t,z,flag) global w;% w=speed of the dogX=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h);if nargin<3 || isempty(flag)zs=(w/nh)*h;elseswitch(flag)case'events'zs = nh-1e-3;isterminal = 1;direction = 0;otherwiseerror(['Unknow flag:' flag]);endend慢跑者的运动轨迹方程,水平向右[jogger、m]function s = jogger(t);s = [8*t;0];标记的函数[cross、m]function cross(Cx,Cy,v)Kx = [Cx Cx Cx Cx-v Cx+v];Ky = [Cy Cy+2、5*v Cy+1、5*v Cy+1、5*v Cy+1、5*v] plot(Kx,Ky);plot(Cx,Cy,'o');主程序:静态显示[main1、m]global wy0 = [60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');[t,Y] = ode23('dog',[0,20],y0,options);clf;hold on;axis([-10,100,-10,70]);plot(Y(:,1),Y(:,2));J=[];for h=1:length(t),w = jogger(t(h));J=[J;w'];endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;动态显示[main2、m]global w;y0=[60;70];w=10;options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');[t,Y]=ode23('dog',[0,20],y0,options); J=[];for h=1:length(t);w= jogger(t(h));J=[J;w'];endxmin = min(min(Y(:,1)),min(J(:,1)));xmax = max(max(Y(:,1)),max(J(:,1)));ymin = min(min(Y(:,2)),min(J(:,2)));ymax = max(max(Y(:,2)),max(J(:,2)));clf;hold on;axis([xmin-10 xmax ymin-10 ymax]);title('The jogger and the Dog');for h = 1:length(t)-1,plot([Y(h,1),Y(h+1,1)],[Y(h,2),Y(h+1,2)],'-','Color','red','EraseMode ','none');plot([J(h,1),J(h+1,1)],[J(h,2),J(h+1,2)],'-','Color','green','EraseMo de','none');drawnow;pause(0、1);endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;结果t=12、2761812635281,在12、27秒后狗追上慢跑者。