平面任意力系的简化结果讨论文本.
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工程力学第二章力系简化与平衡
一、平面任意力系的平衡方程
1 平衡条件
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
2 平衡方程
Fx 0
X 0
Fy 0
或 Y 0
M o (F) 0
M o 0
M i
i1
二、 平面任意力系的简化研究
1、力的平移定理
作用在刚体上力F的作用线可等效 地平移到同一刚体上的任意一点，但 须附加一力偶，此附加力偶的矩值等 于原力F对平移点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
２ 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3、力线平移定理在简化中的应用
F F
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例6 已知：P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
（2）、求合力及其作用线位置。
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
平面任意力系的简化
附加力偶系可以合成为一个力偶，其力偶矩为
MO M1 M 2
M n MO (F1 ) MO (F2 )
MO (Fn ) MO (Fi )
称为原力系对简化中心O的主矩，主矩与简化中心的选择有关。
结论：
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这 个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O ；这力偶的矩等于该力系 对简化中心O的主矩。主矢与简化中心位置无关，而主矩一般与简化中心 位置有关。 主矢的解析表达式为
3.力的平移定理是平面任意力系简化为平面汇交力系和平面力偶系
的依据。
B
d
F
＝
F″ A
B
d
F′
F′
M
F
A
＝
A
B
2. 平面任意力系向作用面内一点简化·主矢与主矩
F1
F2
y ′ FR j O y MO i x
O
简化 中心 Fn
F1 F1
F2 F2
Fn Fn
F1′
M1
M2 O Mn
′ F2 x
F1 C O
3m
F4
30° x
( F'Rx )2 ( F'Ry )2 4.662kN FR
y
主矢方向
F'Rx cos( F'R , i ) 0.986 FR F'Ry cos( F'R , j ) 0.165 FR
2、求主矩MO
( F'R , i ) 9.5 ( F'R , i ) 80.5
M1 M O (F1 )
M 2 M O (F2 ) M n M O (Fn )
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
静力平衡方程应用—平面任意力系的简化与平衡
O
O′
O
d
d
FR″
d
MO FR '
FR O′
1.2 平面任意力系简化结果讨论
(4) FR =0，MO =0 原力系为平衡力系。
物体在此力系作用下处于平衡状态。
2.添平加面标题任意力系平衡方程
2. 平面任意力系平衡方程 2.1 基本形式平衡方程
平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。
n
M O M O (Fi ) i 1
平面任意力系向作用面内任一点O 简化，可得一个力和一个力偶。这个力 等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该力系对于点 O 的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩与简化中心的位置有关。
1.2 平面任意力系简化结果讨论
(1) 平面任意力系简化为一个力偶的情形
2. 平面任意力系平衡方程 2.3三力矩式平衡方程
M A (Fi )=0 M B (Fi )=0
MC (Fi )=0
附加条件是：A、B、C 三点不共线。 注意：
以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。
3添.平加面标题平行力系平衡方程
3. 平面平行力系平衡方程
力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。 平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平
FR 0，MOΒιβλιοθήκη 0原力系与一个力偶等效，主矩与简化中心的位置无关。 (2) 平面任意力系简化为一个合力的情形
FR 0，MO =0
原力系与一个力等效，作用线恰好通过简化中心。
1.2 平面任意力系简化结果讨论
(3) FR 0，MO 0 原力系还可进一步简化为一合力。
平面力系简化的四种结果
平面力系简化的四种结果
1. 平面力系简化为一个力
当一个平面力系的合力和力矩等于零时，可以简化为一个力。
这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。
简化为一个力后，可以用这个力来计算物体的平衡条件，减少计算的复杂性。
2. 平面力系简化为两个力
当平面力系中的合力不为零，但力矩等于零时，可以简化为两个力。
这两个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。
简化为两个力后，可以将平面力系分解为两个简单的力，便于计算物体的平衡条件。
3. 平面力系简化为一个力和一个力矩
当平面力系中的合力和力矩均不为零时，可以简化为一个力和一个力矩。
这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩不为零的条件决定。
简化为一个力和一个力矩后，可以通过力的作用点和力矩的大小和方向来计算物体的平衡条件。
4. 平面力系无法简化
当平面力系中的合力和力矩均不为零，且无法简化为一个力和一个力矩时，需要保持平面力系的复杂性进行计算。
在这种情况下，需要考虑力的合成、力矩的叠加等复杂计算方法，以求得物体的平衡
条件。
总结起来，平面力系简化的四种结果为：简化为一个力、简化为两个力、简化为一个力和一个力矩，以及无法简化。
这些简化结果的应用可以大大简化平面力系的计算过程，提高计算的效率和准确性。
在实际应用中，根据平面力系的特点和计算需求，选择合适的简化方法可以更好地解决力学问题。
工程力学第4章
（３） 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常 选未知力较多的交点为矩心。
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
平面任意力系的简化
F' F" F
作用在刚体上的力是滑移矢量。
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚 体
变 形 体
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线.
2、力的平移
F
F
A
B
A
B
F
A
B
MB
A rBA
B
力的平移定理:作用在刚体上某一点的 力F可以平移到刚体内任一点，但必须 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点的矩。
❖ 平移定理分析：平面内的一个力和一个力偶也可以合成一个 力。
2、平面任意力系向一点简化
Fn
o
据力的平移定理
An
A2
O
O
A1
F2
F1 O为简化中心
FR 为一个作用在O点上的力。 MO 为一个作用在刚体上的力偶。
•主矢
•主矩
（与简化中心O无关）
（与简化中心O有关）
结论：平面任意力系向作用面内任一点简化， 可得到一个力和一个力偶，该力的作用线通过 简化中心，其大小原力系的主矢，该力偶的力 偶矩等于原力系对简化中心的主矩。
机械设计基础
平面任意力系的简化
❖ 1、力的平移定理
加减平衡力系原理：
在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应。
加减平衡力系原理
F
A
F
B
若 {P1, P2,, Pm} {0} 则 {F1, F2,, Fn}
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
力沿作用线移动 力的可传性： F
(F2
F3 )
j
n
MO ri Fi
作用在刚体上的力是滑移矢量。
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚 体
变 形 体
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线.
2、力的平移
F
F
A
B
A
B
F
A
B
MB
A rBA
B
力的平移定理:作用在刚体上某一点的 力F可以平移到刚体内任一点，但必须 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点的矩。
❖ 平移定理分析：平面内的一个力和一个力偶也可以合成一个 力。
2、平面任意力系向一点简化
Fn
o
据力的平移定理
An
A2
O
O
A1
F2
F1 O为简化中心
FR 为一个作用在O点上的力。 MO 为一个作用在刚体上的力偶。
•主矢
•主矩
（与简化中心O无关）
（与简化中心O有关）
结论：平面任意力系向作用面内任一点简化， 可得到一个力和一个力偶，该力的作用线通过 简化中心，其大小原力系的主矢，该力偶的力 偶矩等于原力系对简化中心的主矩。
机械设计基础
平面任意力系的简化
❖ 1、力的平移定理
加减平衡力系原理：
在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应。
加减平衡力系原理
F
A
F
B
若 {P1, P2,, Pm} {0} 则 {F1, F2,, Fn}
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
力沿作用线移动 力的可传性： F
(F2
F3 )
j
n
MO ri Fi
平面力系简化
x
A
O的合力 R' ,且
R' = Fi = Yi
o
x
(2) R' = 0 , Mo 0 原力系简化为一个力偶.此力偶
即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo ,且
MO = mo(Fi) = F x
(3) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R
R = R' = Fi = Yi
y
3m
C
P1
1.5m
F1
3.9m P2
F2
O B
A
x
5.7m
22
解: (1)取O为简化中心
ACB arctan AB 16.70 CB
Fx F1 F2 cos 232.9kN Fy P1 P2 F2 sin
670.1kN
y
3m
C
P1
1.5m
原力系对于简化中心O的主矩.
Mo = m1 + m2 +...+ mn = mo(F1) + mo(F2) +...+ mo(Fn) Mo = mo(Fi)
7
结论:平面任意力系简化为主矢和主矩
力系的主矢 R'只是原力系中各力的矢量和,所以 它的大小和方向与简化中心的位置无关 .
力系对于简化中心的主矩Mo ,一般与简化中心的 位置有关.
(c) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R ,其 大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中
心点O的距离为: d M o
R
9
(d) R' = 0 , Mo = 0 原力系为平衡力系.其简化 结果与简化中心的位置无关.
9.29平面任意力系简化
（ 3 ）主矢为零，主矩不为 零：力偶系的合力偶矩； （ 4 ）主矢为零，主矩为零： 平衡力系。 最后简化结果只有三种可 能：合力、合力偶、平衡
主矢
主矩
最后结果
合力 合力 合力偶 平衡
说明
合力作用线过简化中心
合力作用线距简化中心 M O
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0 MO 0 MO 0
3．力系简化的方法：
（ 1 ）将复杂的平面力系用力向一点平移的 方法分解为平面汇交力系和平面力偶系； （ 2 ）分别按两种力系的合成方法简化得到 主矢与主矩。
4-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。 ③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, 简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） 。（此时与
力的平移定理
作用在刚体上的力F可以平行移动到任一点，但必须同 时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F 对平移点之矩。
F A
d
B
=
F A
d
B F1 F2
=
B F1 A
M
在B点加上一对平衡力 F1和F2，且F1=F2=F
F和F2组成力偶
M M B ( F ) Fd
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
4-1．平面任意力系向一点的简化
一般情况下，平面任一力系向 平面内任选的简化中心简化，可以 得到一个力和一个力偶。此力作用 在简化中心上，它的矢量等于力系 中各力的矢量和，称主矢。此力偶 的矩等于力系中各力对简化中心的 矩的代数和，称主矩。
2平面任意力系简化2-25
为机床上夹持工件的夹盘，夹盘对工件的约 束就是固定端约束；图2-6c所示为一端镶嵌 在建筑物墙内的门或窗户顶部的雨罩，墙对 于雨罩的约束也属于固定端约束。
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
图2-4 例题2-2图
Mo Mi
i 1
n
M1 M 2 M 3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 0.4m 200 N 1m 600 N 400 N 0.4m 0 sin 30 520 N m
力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力
的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试
求：螺钉作用在墙上的力F。
图2-3 例题2-1图
解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在 螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的 平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成 。但是，对于力系中力的个数比较多的情形， 这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达 式（2-6），则比较方便。 为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy ，如图2-3b所示。 先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（ 2-6），得：
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
图2-4 例题2-2图
Mo Mi
i 1
n
M1 M 2 M 3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 0.4m 200 N 1m 600 N 400 N 0.4m 0 sin 30 520 N m
力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力
的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试
求：螺钉作用在墙上的力F。
图2-3 例题2-1图
解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在 螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的 平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成 。但是，对于力系中力的个数比较多的情形， 这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达 式（2-6），则比较方便。 为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy ，如图2-3b所示。 先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（ 2-6），得：
浙江工业大学-大学物理-平面任意力系
主矩
MO = ∑ MO (F )
方向： 方向：规定 +
-
MO
α
FR
x x
简化中心： 简化中心： (与简化中心位置有关)
（转动效应 转动效应） 转动效应
理论力学
第三章 平面任意力系
3-2 平面任意力系的简化结果分析
' 1. FR ≠ 0， M O = 0 (合力FR = F' R ，主矢 就是合力)
平面任意力系
3-2 平面任意力系的简化结果分析
例3-3 已知： 已知：q,l。 求：合力及合力作用线位置。 合力及合力作用线位置。
x ⋅ qdx l
例题 3-3
解： 取微元如图
dq =
Q =
∫
0
l
x 1 ⋅ q ⋅dx = ql l 2
l l
由合力矩定理
Q ⋅h =
∫ dq ⋅x = ∫
0 0
x2 ql 2 q ⋅dx = l 3
理论力学
第三章
平面任意力系
3-1 平面任意力系向一点的简化 1、力的平移定理
F
A B
⇔ A
F
B
F
F'
B
⇔
分解
M
A
F'
B
d
F''
合成
? ⇔
A 作用点 之矩。 之矩。
理论力学
{F }A ⇔{F' , M}B
F ' = F , M = M B (F ) = − Fd
定理: 作用于 刚体上 一点的力平移到 刚体上另一点时， 另一点时，必 须 同时 附加一个力偶， 附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于 原力对新的
平面任意力系简化
第三章 平面任意力系
静力学研究的两个基本问题
1.作用于物体上的力系的简化 2.力系的平衡条件
平面任意力系：力系中各力的作用线处于同一 平面内,但即不平行也不汇交
第三章 平面任意力系
§3.1 平面任意力系的简化
刚体上平面力系 F1、F2、…、Fn O Mn F2′ F1′ M2 M1 Fn 将各力平移到O点（简化中心） 得到汇交于O点的一 个平面汇交力系 F1′=F1 F2′=F2 … Fn′=Fn
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
三、FR′≠ 0，MO≠0 此时可进一步简化为一个合力 O d O′ FR
平移 FR′到O′点
FR = FR′= ∑F MO′ = FR′.d 如果 MO′ = MO d = MO /FR′
则FR 称为原力系的合力
此时 MO（FR） = FR.d = MO = ∑MO（Fi）
Fn′
F1 F2
和一个平面力偶系 M1=MO（F1）
M2=MO（F2） … Mn=MO（Fn）
ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 平面任意力系
平面汇交力系 F1′=F1
F2′=F2 … Fn′=Fn O
Mn
M2
M1 FR′
—可合成为一个力FR′ （主矢量） FR′= F1′+ F2′+ …+ Fn′=∑F ′ = F1+ F2+ …+ Fn=∑F
= ∑MO（Fi）
平面任意力系向一平面内任一点简化，一般 可得到一个力和一个力偶。力通过简化中心， 为力系中各力的矢量和，力偶的矩等于力系 中各力对简化中心之矩的代数和。
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
静力学研究的两个基本问题
1.作用于物体上的力系的简化 2.力系的平衡条件
平面任意力系：力系中各力的作用线处于同一 平面内,但即不平行也不汇交
第三章 平面任意力系
§3.1 平面任意力系的简化
刚体上平面力系 F1、F2、…、Fn O Mn F2′ F1′ M2 M1 Fn 将各力平移到O点（简化中心） 得到汇交于O点的一 个平面汇交力系 F1′=F1 F2′=F2 … Fn′=Fn
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
三、FR′≠ 0，MO≠0 此时可进一步简化为一个合力 O d O′ FR
平移 FR′到O′点
FR = FR′= ∑F MO′ = FR′.d 如果 MO′ = MO d = MO /FR′
则FR 称为原力系的合力
此时 MO（FR） = FR.d = MO = ∑MO（Fi）
Fn′
F1 F2
和一个平面力偶系 M1=MO（F1）
M2=MO（F2） … Mn=MO（Fn）
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第三章 平面任意力系
平面汇交力系 F1′=F1
F2′=F2 … Fn′=Fn O
Mn
M2
M1 FR′
—可合成为一个力FR′ （主矢量） FR′= F1′+ F2′+ …+ Fn′=∑F ′ = F1+ F2+ …+ Fn=∑F
= ∑MO（Fi）
平面任意力系向一平面内任一点简化，一般 可得到一个力和一个力偶。力通过简化中心， 为力系中各力的矢量和，力偶的矩等于力系 中各力对简化中心之矩的代数和。
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
平面一般力系的简化
（2-14）
平面一般力系的简化
图2-9
于是得合力矩定理：平面任意力系的合力对力系所在平面内任意 点的矩等于力系中各分力对同一点的矩的代数和。根据平面任意力系 与其合力的等效关系，平面任意力系的合力矩定理很容易理解。
平面一般力系的简化
（4）当F′R=0,MO=0时，平面任意力系为 平衡力系。
由上面（2）、（3）可以看出，不论主矩是 否为零，只要主矢不等于零，力系最终简化为一 个合力，且合力的大小、方向与主矢相同，合力 的作用线与主矢间的距离
其中，主矢的大小和方向余弦可按下式求解：
（2-12）
平面一般力系的简化
1.2 平面任意力系简化结果的讨论
（1）当F′R=0,MO≠0时，简化为一个力偶。显见：作用在 简化中心O点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n是一个平衡力系， 可以减去。原力系等效为平面力偶系M1、M2、…、Mn，此时的 合力偶矩与简化中心的位置无关，主矩MO为原力系的合力偶。
（2-11b）
平面一般力系的简化
结论：平面任意力系向力系所在平面内任意一点简化，得到主 矢和主矩，如图2-8(c)所示，主矢的大小和方向只与原力系中各力 的大小和方向有关，与简化中心的位置无关，其作用线经过简化中 心；而主矩的大小和转向不仅与原力系中各力的大小和方向有关， 一般还和简化中心的位置有关面内任意一点简化：主矢与主矩
设刚体上作用有n个力F1、F2、…、Fn组成平面任意力系，如 图2-8（a）所示。在力系所在平面内任取一点O作为简化中心，根 据力的平移定理，将力系中各力向O点平移，如图2-8（b）所示。
图2-8
平面一般力系的简化
得到一个作用于O点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n， 和一个附加平面力偶系，其矩分别为M1、M2、…、Mn。显 然，力F′i和Fi大小相等，方向相同，力偶Mi的矩等于力Fi对 简化中心O点的矩为
力系的简化和平衡方程
表示，并 合成为一
个作用在点
O'
的力
v R
如图
3—2
所示。
R΄ O M O΄΄
R′ OR
R″O΄
Od R O΄
（a）
（b） 图 3-2
（c）
这个力
v R
就是原力系的合力，合力矢等于主矢，合力的作用线在
O
的哪一侧，需根
据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点 O 的距离 d，可按下式计算。
d = M0 R
必须指明是力系对哪一点的主矩。
二、简化结果的讨论
由于平面任意力系对刚体的作用决定于力系的主矢和主矩，因此，可由这两个物理
量来研（究一力）系若简主化矢的Rv最′ =后0 ，结主果矩。M 0 ≠ 0 ，则原力系与一力偶等效。此力偶称为平面任意
力系的合力偶，合力偶矩等于
M0
=
n
v
∑ m0 (Fi )
。由力偶的性质可知，力偶对任意点的力
一、平面任意力系向作用面内一点简化、主矢和主矩
设刚体上作用一平面任意力系
v F1 ,
v F2
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅Fvn
如图(3—1)。根据力的平移定理，将力
矩系Fv1'分中, Fv别诸2' ..等力....F于向vn' 力平,以面MFv及11内,=F相v任2M应⋅ ⋅一0⋅(的⋅F点⋅v1⋅附F)vnO加对点M力O平2偶点=移系M的，0M矩(OF1v,,2M)点即2称:..M..为..3M简=nM化。0这中(Fv些心3 )力。偶这作样用得在到同作一用平于面O内点,它的们力系的
θ
态。取料斗车为研究对象，对料斗车进行受力分析，所
O
受力有：重力
平面力系的简化
cos
FRy FR
式中： ， ——分别是 与x轴和y轴的夹角
固定端（插入端）约束。
它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全 固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。
例
（a）
图 2-13
（b）
固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个 分布力系。如图所示
O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则 d | MO | / | FR |。
情况（3）证明 其中 O 为合力 FR 的作用点，
（a）
（b）
（c）
FR FR FR M (FR ，FR) MO
图 2-15
另外，由图2-15（b）及证明过程知
n
MO (FR ) FR d MO MO (Fi ) i 1
注意
固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。 从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动， 而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动； 从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样， 用一对正交分力表示约束力的主矢之外， 还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。
点A处的力F就由点B处的力 F F 及附加力偶等效代替了， 而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。
意义
在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。 在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。
例
攻螺纹用的铰杠丝锥
图 2-11 （a）
图 2-11 （b）
二、平面力系的简化 主矢与主矩
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，
平面任意力系向作用面内一点简化的结果
平面任意力系向作用面内一点简化的结果
作用面内一点的平面任意力系，是指在平面中给定一点（以
0,0,z作为该点坐标），其几何形状由作用面的方程确定，使得由该点施加任意力系的受力情况可以被完全描述。
所有受力点都在z = 0的“平面”上。
首先，必须解决z=0平面上所有受力点质量、力大小和方向之间的关系。
这些关系可以通过定义力矩来解决，即对给定的力做旋转，使得力矩大小等于0。
根据力矩的定义，力矩是由质量、力大小和方向之间的关系决定的。
其次，需要解决的是力矩的大小和受力点之间的关系。
这可以通过考虑受力点距离作用面中心点距离来实现，即，如果受力点距离作用面中心点更近，则其力矩也更大；反之，则力矩也更小。
再次，需要考虑力大小和受力点之间的关系。
由于力与受力点之间的距离决定了力的大小，因此，距离越近，力越大；距离越远，力越小。
最后，需要考虑力的方向和受力点之间的关系。
由于力的方向与受力点之间的夹角决定了力的方向，因此，夹角越小，力的方向越向夹角小的方向。
总之，通过上述步骤，可以完全描述在作用面内一点施加任意力系的受力情况，即解决平面任意力系向作用面内一点的简化问题。
工程力学第三章：平面任意力系
水平尾翼的约束。
车刀
利用平面任意力系的简化讨论固定端约束（以雨搭为例）：
Fi
A
雨搭
雨搭
简化为一个平面任意力系
MA
A
FA
雨搭
FAy
MA
A
FAx
雨搭
向A处简化，简化结果是 一个主矢加一个主矩
主矢方向待定，用两正交分 量表示
例1：已知F1=150N，F2=200N，F3=300N，F=F ́=200N。求此力 系向原点O简化的结果，并求力系的合力。
2
M=0
FR′≠0
3
M=0
合力
合力
合力作用线通过简化中心
合力作用线距离简化中心距离
4
M≠0
d M O / FR
第三种和第四种结果属于同一种情形。是简化中心选择的不同 引起的。
四、合力矩定理
可以证明，M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
n
由于简化中心可任取，因此上式有普遍意义，可描述为：平 面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各分力 对于同一点之矩的代数和。
4、在列平衡方程时，最好将力矩方程的矩心取为两个未知力的 交点，而对投影方程的投影轴的选取，应尽可能使其与某些未知 力垂直，为什么？ 答：避免解联立方程，使方程尽量简单。
5、在等腰直角三角形上的A、B、C三点分别作用三个力，各力 的大小和方向如图所示。问该力系是否平衡？为什么？
问题引入：平面任意力系研究物体或物系在受到相关力系作用
下的平衡问题。
吊车：工程中吊车的
起重载荷如何进行计
算？
破碎机：鄂式破碎机是矿山机械中常见的机械设备，颚板作用 给矿石的作用力应如何进行计算？
平面任意力系
用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M =
500 N•m。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固
定铰支A 旳反力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
M
A
D
B
2m
1m
y
M
NAy
Q
A
NAx
CD
B
x
解：
ND
1、取梁AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作
用在AB旳中点C 。
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
第三章 平面任意力系
平面任意力系
各个力旳作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行旳力 系称为平面任意力系
§3–1 力对点之矩
第 §3–2 力旳平移定理 三 章 §3–3 平面任意力系旳简化•主矢与主矩
平 §3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
面 任
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y
R y
0.789
R
R , y 3754'
F1
O
3m
y A
R
O
F4 C 30° x
B
C
x
§3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
② 求主矩：
LO mo F
y
F2
阐明如下：
R
LO
O
=
R R
Lo
OR A
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平面任意力系的简化结果讨论
只要求出力系的主矢和力系对某点的主矩后，就抓住了力系的本质；由力系的主矢'R
F 和主矩M O 就可推知力系的运动效应。
（1）当0R F '= ，0O M =。
因力系主矢等于零，力系无移动效应；力系主矩等于零，力系也无转动效应。
所以，力系是平衡力系。
（2）当0R F '= ，0O M ≠。
因力系主矢等于零，力系无移动效应；力系主矩不等于零，力系有转动效应。
所以，力系是与一个力偶等效。
即此力系的合成结果是一力偶，对任一点的转动效应相同，与矩心的选择无关。
（3）当0R F '≠ 。
因力系主矢不等于零，力系有移动效应，所以，力系与一个力F R 等效，
此力作用在距简化中心O 点 d （O R
d M F '=）距离处。
显然，当主矩等于零（0O M =）时，此力F R 作用在简化中心O 处, 如图（a ）所示；当主矩大于零（0O M >）时，主矩为逆时针转向，此力F R 在简化中心点O 一侧的顺转区，如图（b ）所示；当主矩小于零（0O M <）时，主矩为顺时针转向，此力F R 在简化中心点O 一侧的逆转区, 如图（c ）所示。
由以上情况可
知，只要力系主矢'R F 不为零，则无论主矩M O 是否为零，最终可将原力系合成为一个力F R 。
综上所述，平面任意力系简化的最后结果（即力系的合成结果）：或者是一个合力，或者是一个合力偶，或者平衡。