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习 题14-1 195-2c 型柴油机连杆大头螺栓如图示，工作时所受最大拉力P max =9.58 kN ，P min＝8.71 kN ，螺栓最小直径d =8.5mm 。
试求其应力幅a σ，平均应力m σ和循环特征r ，并作出t -σ曲线。
解:()()MPaA P P A P a a67.7105.814.3412/1071.858.92//623min max =⨯⨯⨯⨯⨯-=-==-σ ()()MPaA P P A P m m161105.814.3412/1071.858.92//623min max =⨯⨯⨯⨯⨯+=+==-σ91.0maxmin ==σσr14-2 某阀门弹簧如图所示，当阀门关闭时,最小工作载荷P min ＝200N ， 当阀门顶开时最大工作载荷P max ＝500N 。
设簧丝的直径d ＝5mm ，弹簧外径mm D 361=，试求平均应力m τ，应力振幅a τ，循环特性r ，并作出t -τ曲线。
解:4.14/==d D C∴()()09.134/24=-+=C C K∴MPadD P Km m 28010514.31023625002001609.12/169333=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯==--πτMPadD P Ka a 12010514.31023622005001609.12/169333=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯==--πτ4.0/max min ==P P r14-3 阶梯轴如图所示。
材料为铬镍合金钢，MPa b 920=σ，MPa 4201=-σ，MPa 2501=-τ。
轴的尺寸d =40mm ，D ＝50mm ，r =5mm 。
试计算弯曲和 扭转时的有效应力集中系数和尺寸系数。
解: 由已知条件25.1=d D ，125.0=dr查图表14-12（c ）可得57.1=σK 由图表14-16，当d=40mm 时对MPa b 500=σ的钢材，84.0=σε 对MPa b 1200=σ的钢材，73.0=σε 对MPa b 920=σ的钢材， ()774.073.084.05001200920120073.0=-⨯--+=σε14-4 图示为一货车车轴，轴上的载荷P =110kN ，轴的材料为碳钢，MPa b 550=σ，MPa 2401=-σ，mm a 118=，mm l 1435=，mm d 133=，mm D 146=，mm r 20=，轴表面经磨削加工，规定安全系数8.1=n 。
第十二章超静定系统12-1 试问下列结构(梁或刚架)中那些是静定的?哪些是超静定的?若是超静定的,试说明它的次数。
答：a , 静定b , f , 一次超静定d ,e , 二次超静定g , h , 三次超静定c , 几何可变12-2 试求下列各超静定梁的支反力，设各梁均为等截面梁，其抗弯刚度为EI。
a)解：图a 可分解如下图0=+BR BP f f ---------（1） EIL R f EIPL L L EIPlf B BR BP 3485)23(2432=-=--=代入（1）式得 163;)(1611;)(165PL MR P R AA B =↑=↑=（ ）b)解：设支承B 反力为B R由P 和B R 共同作用下B 点的总挠度要求为零，即有 ()()↓=↑==+-⨯-=+P R P EI L R L L EIPLf f C B BR BP 43;47R 03)5.13(60B 32PL MC41=（⌫）c)解：设支承B 反力为B R ，则必定有0=+BR BP f f ---------（1）EIlR EIl R f EIb l Pb f B B BR BP 648)2(48]4)2(3[3322==--=代入(1)式 得 3222)3(lb l Pb R B -=d)解：0M MA-= （ ）)(23)(2323;23,3)(,2002032↓=↑+==-=--=-==+lM R P l M R lM P R EIl M l EIP R l EIP R f EI Mlf f f A B B B B BRP BM BRP BMe)解：e 图可由下图e ’和e ”叠加而成因为BB RB qp RB qp R EIlEIl R f qlEIl l EIl ql l EIqlEI qlf f f 383)2(4895)236(6))((68)1(033422334==-=--⋅--=-----=+代入（1）式得 )(12895↑=q l R B ； )(256`161↑=q l R A ；26433q l MA-= （ ）f)解：A , B 端转角为零，则有：0,0=+BAMAMAq θθ ----------（1） 0,0=+BAMBMBq θθ ----------（2）式中，EIlq Aq 3608300-=θ ； EIlq Bq 3607300=θEI lMEI lMBAMAMBA63,⋅+⋅=θEIlMEIlMABMBMBA63,⋅-⋅-=θ将以上θ表达式代入（1），（2）联立求解得：20201l q MA=； 20301l q MB=； l q R A 0207= ； l q R B 0203=12-3 梁AB 的一端固定，另端由拉杆拉住，梁与杆系用同一材料两成，其弹性模量为E ，梁截面惯矩为I ，拉杆的截面积为A ，梁上承受均布载荷q ，试求拉杆BC 的内力。
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录附录I 截面图形的几何性质I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。
解：（a ）)2)2((2)2(2h t h b t h ht t h bt s z ++=⋅++=hb h t h b h b t h t h b t A s y zc +++=+++==2)2()()2)2((22（b ）322332219211)}2)4()43()41()43(32(])4()43[(2{4442DD D D D D D D D D s z =--⨯-+⨯⨯-=ππDD D D D DAs y z c 1367.0])2()43[(2)44(219211223=-⨯+⨯==π（c ）]22)[(22)(2h t t b t h ht t t t b s z +⋅-=⨯+⨯⨯-=tb)(2)(2t b h h t t b A s y z c -++-==I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩zI 与I y 。
（2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩zI 与I y 。
解(a)12)2)((12)2)((123333t h t b bh t h t b bh J z ---=---=12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+=(b) cmy c 643.9)520515(2)515(552522=⨯+⨯-⨯+⨯=(b433423231615121551252010186520)643.91025(12205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =⨯+⨯==⨯⨯--+⨯+⨯⋅-+⨯=I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。
解：θθcos ,sin ⋅=⋅=a z b yθθd b dy cos = ⎰⎰--⋅==∴b bbbz zdyy dA y J 222322223224cos sin 2cos cos sin 2ab d abd b a b J bb z πθθθθθθθππ==⋅=⎰⎰--)(4)(42422333b a ab b a ab J J J b ab ab AJ i y z p zz +=+=+====ππππI-4 试求图示的41的圆面积（半径a ）对于z ，yyy 轴的惯性积zyI 。
第一章 绪论1-1 求图示杆在各截面（I ）、（II ）、（III ）上的力，并说明它的性质．解：（a ）I-I 截面： N = 20KN (拉)II-II 截面： N = -10KN （压）III-III 截面： N = -50KN (压)（b ）I-I 截面： N = 40KN （拉）II-II 截面： N = 10KN (拉)III-III 截面： N = 20KN （拉）1-2 已知P 、M 0、l 、a ，分别求山下列图示各杆指定截面（I ）、(II)上的力解：（a ）：（I ）截面：力为零。
（II ）截面：M = Pa （弯矩）Q = -P （剪力）（b ）：（I ）截面：θsin 31P Q =θsin 61PL M = （II ）截面：θsin 32P Q = θsin 92PL M =（c ）：（I ）截面：L M Q 0-= 021M M = （II ）截面：L M Q 0-= 031M M =1-3 图示AB 梁之左端固定在墙，试求（1）支座反力，（2）1-1、2-２、3-3各横截面上的力（1-1，2-2是无限接近集中力偶作用点．）解：10110=⨯=A Y （KN ）1055.110-=+⨯-=A M （KN-M ）（1-1） 截面：10110=⨯=Q （KN ）521110-=⨯⨯-=M （KN-M ） （2-2）截面：10=Q （KN ）055=-=M （KN-M ）（2-3）截面：10=Q （KN ）551110-=+⨯⨯-=M （KN-M ）1-4 求图示挂钩AB 在截面 1-1、2-2上的力．解：（1-1）截面：P N 32=a P M ⋅=43 （2-2）截面：P Q 32=a P M ⋅=321-5 水平横梁AB 在A 端为固定铰支座，B 端用拉杆约束住，求拉杆的力和在梁1-1截面上的力．解：（1）拉杆力T ：1230sin 0⨯=⨯⋅=∑P T M A ο 10030sin 2100=⨯=οT （KN ）（拉） （2）（1-1）截面力：Q 、N 、M ：5030sin -=-=οT Q （KN ）6.8630cos -=-=οT N （KN ）（压）()2550.030sin =⨯=οT M （KN-M ）1-6 一重物 P ＝10 kN 由均质杆 AB 及绳索 CD 支持如图示，杆的自重不计。
材料力学(金忠谋)第六版答案第14章第十三章 动载荷13－1 铸铁杆AB 长m l 8.1=，以等角速度绕垂直轴O －O 旋转如图示。
已知铸铁的比重3/74m kN =γ，许用拉应力[]MPa 40=σ，材料的弹性模量E ＝160 Gpa 。
试求此杆的极限转速，并计算此杆在转速m r n /100=时的绝对伸长。
解： （1） 极限转速m rn s s l g l g A A Ndl gA dr r qd r Nd x r gAdr ma r qd x r a jx dl n n 1092260137.114175.130799.010*******.92)2(][2][)2(21][)2(21)()()()()(235222222222====⨯⨯⨯⨯⨯=≤≤≤======⎰πωωγσωσωγσσωγωγω（2） 当n ＝1000m rcm m Eg l r EA r Nd l s n l 0252.01052.28.91016039.072.104107423)2(2)(2172.1046010002602492233220=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===∆=⨯==-⎰ωππω（2）吊索： MPa A P d d 55.2105276.14max=⨯==-σ13－3 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。
若轴与盘以s140=ω的匀角速度旋转，论求轴内由这一圆孔引起的最大正应力。
解：23max max 22225.1212.021*********.01060041411060064003.03.047800640404.0mMN W M mN L P N Na gA ma P s m r a z d d d d n n d n =⨯⨯==⋅=⨯⋅===⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯==πσπδγω13－4 飞轮轮缘的平均直径D ＝1.2m ，材料比重3/72m kN =γ，弹性模量GPa E 200=，轮缘与轮幅装配时的过盈量mmD2.0=∆，若不计轮相的影响，求飞轮允许的最大转速。
8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。
(2) 取1-1(3) 取2-2(4) 轴力最大值： (b)(1) 求固定端的约束反力； (2) 取1-1(3) 取2-2(4) (c)(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；(2) 取1-1(3) 取2-2 (4) 取3-3截面的右段；(5) 轴力最大值： (d)(1) 用截面法求内力，取1-1、(2) 取1-1(2) 取2-2(5) 轴力最大值： 8-2 试画出8-1解：(a) (b) (c) (d) 8-5与BC 段的直径分别为(c) (d)F RN 2F N 3 F N 1F F Fd 1=20 mm 和d 2=30 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求载荷F 2之值。
解：(1) 用截面法求出(2) 求1-1、2-28-6 题8-5段的直径d 1=40 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求BC 段的直径。
解：(1)用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；8-7 图示木杆，承受轴向载荷F =10 kN 作用，杆的横截面面积A =1000 mm 2，粘接面的方位角θ= 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。
解：(1) (2) 8-14 2=20 mm ，两杆F =80 kN 作用，试校核桁架的强度。
解：(1) 对节点A(2) 列平衡方程 解得： (2) 8-15 图示桁架，杆1A 处承受铅直方向的载荷F 作用，F =50 kN ，钢的许用应力[σS ] =160 MPa ，木的许用应力[σW ] =10 MPa 。
解：(1) 对节点A (2) 84 mm 。
8-16 题8-14解：(1) 由8-14得到的关系；(2) 取[F ]=97.1 kN 。
8-18 图示阶梯形杆A 2=100 mm 2，E =200GPa ，试计算杆AC 的轴向变形 解：(1) (2) AC 8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A 处承受载荷F 作用。
材料力学(金忠谋)第六版答案第16章15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯==相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.l m μ=⨯= (c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.l m μ=⨯= (d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.l m μ=⨯= (e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.l m μ=⨯= 由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22crEJ P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EJP l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯ ()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EJP l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材Pσ=230MPa ，sσ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr，试计算该材料压杆的P λ及Sλ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：92.633827452.51.22p s s a b λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，Pσ=288MPa ，试求此挺杆的临界力crP 。
若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数Wn =2~5。
试校核此挺杆的稳定性。
解：(1)()()()444422222284.336411641210 3.90544413839884.833.905p p J D d D d J i D d mm AD d liλππππμλλ====--===+=+=-⨯===>=该压杆属大柔度杆()()2229222223210100.0120.019847.4610cr EJ E P A l Nππππλμ⨯⨯===⨯+=⨯ （2）7.463.22.33cr w P n n ===>工作P该杆的稳定性足够。
15-5 设图示千斤顶的最大承载压力为P ＝150kN ，螺杆内径d＝52mm ，l =50cm ．材料为A 3钢，E =200GPa 。
稳定安全系数规定为3=Wn 。
试校核其稳定性。
解：千斤顶螺杆简化为一端固定一端自由的压杆，故2μ=。
柔度应为：2500771001524pl i μλλ⨯===<=⨯应采用经验公式计算其临界力：由表中查出：304a MPa = 1.12b M P a =。
则：32304 1.1277218218100.05246244623.083150ej ej ej ej w a b MPaP A KNP n n P σλπσ=-=-⨯===⨯⨯⨯====>=工作所以满足稳定性要求。
15-6 10t 船用轻型吊货杆AB ，长为16cm ，截面为空心圆管，壁厚35Dt =，轴向压缩力P =222kN ，规定稳定安全系数5.5=Wn ，材料为A 3钢，E =210GPa ，吊杆两端均为铰支座。
试确定用杆的截面尺寸。
解：先按大柔度杆解()()4292222722101064351168.345810cr D D D EJ P l Nπππμ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⨯=⨯7438.3458105.5 5.522210cr w P D n ⨯⨯>==⨯P347350D mmmm==1035Dt mm == 330d mm ∴=校核应用的公式是否对：22221350330120.264116000133120.26pD d i mmul i λλ-==-=⨯===>所以上面的计算有效。
15-7 图示托架中的AB 杆，直径d ＝40mm ，长l ＝800mm ，两端铰支，材料为A 3钢，试求 (a )托架的权限载荷maxQ ；(b )若工作载荷Q ＝70kN ，稳定安全系数Wn ＝2.0，问此托架是否安全？ 解： （1）AB 杆1,10480018008010di mm l mmul i μλ====⨯===3A 钢100pλ=pλλ∴< 属于等杆2304 1.1280214.4214.440269.44cr cr cr ABa b MPaP A KN N σλπσ=-=-⨯===⨯⨯== 22900sin 600800600600800118.8900cr cr Q P P Q KN θ⨯=⨯-⨯==极限极限（2）118.8 1.70 2.070w Q n Q η===<=极限工作工作所以托架不安全。
15-8 两端固支的A 3钢管，长6m ，内径为60mm ，外径为70mm ，在C T20=时安装，此时管子不受力。
已知钢的线膨胀系数C/1105.126-⨯=α，弹性模量E =206GPa ．当温度升高到多少度时，管子将失稳？ 解:2222117060 2.3440.5600130.51002.3p J i D d cm A l i μλλ==-=-=⨯===>=属大柔度杆设温度t C ∆;则管子变形tl δα=∆ 伸长管子受压力crP P = 变形crP lEA∆=缩短 变形协调条件0δ+∆=或者δ=∆()222222646.4130.512.510cr P l El tl AEA EAt παλππλα-∆==∴∆===⨯⨯即升至2046.466.4T C =+=的管子失稳.15-9 有一结构ABCD ，由3根直径均为d 的圆截面钢杆组成如图，在B 点铰支，而在C 点和D 点固定，A 点为铰接。
π10=d L。
若此结构由于杆件在ABCD 平面内弹性失稳而丧失承载能力。
试确定作用于节点A 处的载荷P 的临界值。
解：AB 杆为铰支1μ=AC ，AD 杆为一端铰支一端固定0.7μ=AB 失稳此结构仍能继续承载，直到AC,AD 杆也失稳，此时整个结构才丧失承载能力。
由于对称()()cr cr AC ADP P =()()222220:2cos3036.12cos300.7cos30crcr cr ABAC y P P P EJEJEJll l ππ==+=+⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∑15-10 铰接杆系ABC 如图示，是由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成，若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起毁坏。
试确定载荷P 为最大时的θ角。
⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ。
解：当AB,BC 杆的轴力同时达到临界力时，P 最大。
两杆的临界力为：()()2222c o s s i n AB ACcr AB cr AC EJP P l EJP P l πθπθ====设BC 间距为L ，则cos ,sin ABAC lL l L ββ==代入上式222222cos sin sin sin A EJ P L EJP L πθβπθβ⎫=⎪⎪⎬⎪=⎪⎭ 消去P 得222222cos cos sin sin EJ EJL L ππβθβθ=即：2tg ctg θβ= ()2a r c t g c t gθβ∴= 15-11 某快锻水压机工作台油缸柱塞如图示。
已知油压力p =32 MPa ，柱塞直径d =120mm ，伸入油缸的最大行程l ＝1600mm ，材料为45钢，E ＝210Gpa 。
试求柱塞的工作安全系数。
解：工作压力()()2632100.12361.734P pA KN π==⨯⨯⨯=工作2.0μ= 1.6l m =()10.120.03442 1.6106.70.03J i d m A l i μλ====⨯∴===45钢96210108628010p p pEλπσλλ⨯===⨯∴>属细长杆2222922621010 5.7106.73210cr cr cr EE P P πσλσσππησλ∴=⨯⨯=====⨯⨯工作工作15-12蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为A3钢，连杆所受最大输向压力为465kN。
连杆在摆动平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为是固定支座，试确定其安全系数。
解：（1）xy平面内：()()()337421,3100119614096148512121.77551014096859614647052.391310059.252.39z l mmi J mm A mm i mml i μμλ===⎡⎤=⨯--⨯⎣⎦=⨯=⨯-⨯-=∴=⨯∴===3A 钢：100,106psλλ== xy ∴ 面内属短杆pλλ<()6623510647010152015203.27465cr s cr xyP A KN P mm P ση-∴==⨯⨯⨯=∴===工作（2）xz 面内：()33640.5,31001185142140859612124.0741025.102310024725.10y pl mmE i A J mm i mm liμμλλ===⎡⎤=⨯⨯+⨯-⨯⎣⎦=⨯∴=⨯∴===>所以属细长杆。
()229622200106470102472092091465cr cr xy E P A KN P P ππλη-⨯⨯∴==⨯⨯=∴==<工作所以不安全。
15-13钢结构压杆由两个85656⨯⨯等边铰钢组成，杆长1.5m ，两端铰支，P =150kN ，铰钢为A 3钢，计算临界应力的公式有：（1）欧拉公式。
（2）抛物线公式。
试确定压杆的临界应力及工作安全系数。
解：1, 1.5,150l m P KN μ===工作查表：56568⨯⨯角钢：244min 28.367223.63247.24223.63 1.6828.3671 1.589.30.0168z y z A cm J cm J cm J i cm A l i μλ=⨯=⨯=⨯⨯∴===⨯⨯∴===3A 钢：123eλλ=>所以采用抛物线公式计算：226432400.006822400.0068289.3185.6185.61028.36710 2.0715010cr cr a MPa b MPaa b MPaP P σλη-===-=-⨯=⨯⨯⨯⨯∴===⨯工作工作15-14 图示结构，用A 3钢制成，E ＝200GPa ，Pσ＝200MPa ，试问当q ＝20N/mm 和q =40N/mm时，横梁截面B 的挠度分别为多少？BD 杆长2m ，截面为圆形，直径d =40mm 。
