求解第一类Fredholm积分方程的多层迭代算法术

反演第一类fredholm积分问题反演第一类Fredholm积分问题是数学领域中经常遇到的问题，它可以用于求解许多实际问题，例如声波传播、物理学中的分布分析等等。

在这篇文章中，我们将详细介绍反演第一类Fredholm积分问题及其求解方法，希望能对读者有所帮助。

一、反演第一类Fredholm积分问题概述反演第一类Fredholm积分问题是指一个特定形式的积分方程，它的解可以用其核函数和边界条件表示。

具体而言，假设有一个函数f(x)未知，且已知另一个函数K(x,y)，满足如下积分方程：f(x) = ∫[a,b] K(x,y)g(y)dy其中，g(y)为已知函数，K(x,y)为积分核函数，a、b表示积分区间。

该积分方程我们称之为反演第一类Fredholm积分问题。

二、反演第一类Fredholm积分问题的求解方法为了求解反演第一类Fredholm积分问题，我们可以采用以下两种方法：1. 特征值法这种方法首先对核函数进行特征值分解，然后对于每个特征值作出一组正交函数，并将它们扩展到整个积分区间。

接着，我们使用这组正交函数来表示未知函数，并将其代入积分方程中，从而得到系数，最终求出未知函数。

2. 傅里叶变换法这种方法利用函数的傅里叶变换和逆变换，将积分方程转化为代数方程，从而得出未知函数。

具体而言，我们首先对积分方程进行傅里叶变换，将其转化为一个代数方程组。

接着，将方程组解出来，并进行逆傅里叶变换，最终得到未知函数。

三、结论反演第一类Fredholm积分问题是一类重要的数学问题，它的求解方法有很多种。

本文主要介绍了特征值法和傅里叶变换法两种方法，希望能对读者有所启发。

同时，我们也希望更多的研究者加入到此领域，为该问题的研究做出更多的贡献。

第一类弗雷德霍姆积分方程弗雷德霍姆积分方程是一类常微分方程的特殊形式，它具有以下形式：y(x) = f(x) + λ∫[a, x] K(x, t) y(t) dt.其中，y(x)是未知函数，f(x)是已知函数，K(x, t)是已知的核函数，λ是常数，∫[a, x]表示从a到x的积分。

这类积分方程的求解通常需要使用弗雷德霍姆积分变换或其他适当的数值方法。

对于第一类弗雷德霍姆积分方程，我们可以从多个角度来回答你的问题：1. 求解方法，对于第一类弗雷德霍姆积分方程，常用的求解方法包括数值方法和解析方法。

数值方法可以通过离散化积分方程，将其转化为代数方程组进行求解，如欧拉方法、龙格-库塔方法等。

解析方法则通过变换、代换等手段，将积分方程转化为常微分方程或其他形式的方程进行求解。

2. 特殊形式，第一类弗雷德霍姆积分方程在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

它常常出现在动力学、电路理论、弹性力学等问题的建模过程中。

特殊形式的第一类弗雷德霍姆积分方程可以根据具体问题的特点进行分类和求解。

3. 解的存在性和唯一性，对于第一类弗雷德霍姆积分方程，解的存在性和唯一性是一个重要的问题。

根据弗雷德霍姆积分方程的性质和条件，可以通过适当的数学分析方法来研究解的存在性和唯一性。

4. 应用领域，第一类弗雷德霍姆积分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，它可以用于描述弹性体的变形、电路中的电流分布等问题；在经济学中，它可以用于描述市场供求关系、经济增长模型等问题；在生物学中，它可以用于描述种群动力学、生态系统的演化等问题。

总结起来，第一类弗雷德霍姆积分方程是一类重要的积分方程，在数学和应用领域都具有广泛的研究和应用价值。

通过合适的求解方法，我们可以求得其解，并应用于各种实际问题的建模和分析中。

1 第一类Fredholm 积分方程，具有形式如下：⎰=bax f ds s y s x k )()(),(,b x a ≤≤ (1)其中核函数),(s x K 和自由项)(x f 为已知函数，)(s y 是未知函数。

此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍。

2 第二类Fredholm 积分方程，具有如下的形式：⎰+=ba x f ds s y s x k x y )()(),()(λ,b x a ≤≤ (2)离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。

一、复化梯形公式离散过程如下：)]()(2)([2)(1b f x f a f hdx x f nk k b a++≈∑⎰=下面具体给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。

],[)()(),(12)()](),(21)(),()(),()(),(21[)(),(12)()](),()(),([2)](),()(),([2)](),()(),([2)(),()(),()(),()(),()(),(211002*********12110b a x g f x k a b h s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h f x k a b h s y s x k s y s x k h s y s x k s y s x k hs y s x k s y s x k h dss y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k n n i i n n n n i i i i s s s s s s s s bann i i ∈=-+++++=--+++++++=+++++=----⎰⎰⎰⎰⎰--ηηηηη－最后对变量x 进行离散，将区间],[b a 等分为n 份，步长为nab h -=，同时忽略积分公式误差项：)](),(21)(),()(),()(),(21[)()(1100n n i i i i i i i i s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h x y x g +++++-=其中n i ,2,1,0= 得到线性方程组n n g Af =其中)](),(),(),([210n n s y s y s y s y f =，)](,),(),(),([210n n x g x g x g x g g =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=),(211),(),(21),(21),(1),(21),(21),(),(211101110101000n n n n n n y x hk y x hk y x k h y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk A再对上述方程进行数值求解，即可。

Science &Technology Vision 科技视界0引言Volterr 型积分不等式在微分方程,积分方程的定性研究中有着非常重要的作用。

2004年Pachpatte [1]研究了一类线性Volterra -Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +h (t )h (α)∫a (t,s )[f (s )u (s )+sh (α)∫c (s,σ)u (σ)dσ]ds+h (β)h (α)∫b (t,s )u(s )ds (1)解的估计。

2008年Ma [2]研究了一类非线性Volterra-Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +α(t )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )w (u (s ))+sα(t 0)∫σ2(τ)w (u (τ))dτ]ds+α(T )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )w (u (s ))+s α(t 0)∫σ2(τ)w (u (τ))dτ]ds ,t ∈[t 0,T ](2)解的估计。

本文研究了一类幂形式的非线性Volterra-Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +α(t )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )u 12(s )+s α(t 0)∫σ2(τ)u 12(τ)dτ]ds+α(T )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )u 12(s )+sα(t 0)∫σ2(τ)u 12(τ)dτ]ds ,t ∈[t 0,T ](3)解的估计。

1主要结果本文中R +=[0,+∞],I ∈[t 0,T ];C i (M ,S )为定义在(M ,S )上的i 次连续可微的函数集,其中i =1,2,…;令C 0(M ,S )=C (M ,S )。

定理令u (t ),f (t ),σ1(t ),σ2(t )∈C (I,R +),α∈C 1(I ,I ),α(t )是定义在[t 0,T ]上的连续单调不减函数且α(t )≤t 。

求第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法【摘要】基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法，本文给出了第一类Fredholm积分方程的求解方法。

并通过算例验证了此算法的可行性。

【关键词】第一类Fredholm积分方程；矩阵奇异值；正则化方法0 引言在实际问题中，有很多数学物理方程反问题的求解最后总要归结为一个第一类算子方程：Kx=y（1）的求解问题，其中K是从Hilbert空间X到Hilbert空间Y一个有界线性算子，x∈X，y∈Y。

通常右端项y是观测数据，因而不可避免的带有一定的误差δ。

文中假设方程（1）的右端的扰动数据yδ∈Y满足条件：yδ-y≤δ（C1）。

我们需要求解扰动方程Kx=yδ∈Y。

（2）通常境况下，当K为紧算子时，方程（1）的求解时不适定的[1]。

即右端数据的小扰动可导致解的巨大变化。

消除不稳定性的一个自然的方式是用一族接近适定问题的模型去逼近原问题，比如最著名的Tikhonov正则化方法，用如下适定的算子方程：去逼近原问题Kx=yδ，其中α>0为一正的“正则参数”，K*表示K的伴随算子。

正则化[2-3]是近似求解方程（1）的一种有效方法。

Krish应用奇异系统理论提出的正则化子的概念，这给正则化方法的建立提供了新的理论依据。

本文利用基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法，通过适当选取正则化参数进行不适定问题的求解。

1 基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法矩阵的奇异值分解（SVD）是现代数值线性代数中最重要的基本计算分析工具之一，它具有优良的数值稳定性。

其重要应用领域包括矩阵理论以及自动控制理论，力学和物理学等，还有更多的应用方面尚在继续探索中。

对于一般算子方程Kx=y，利用高斯-勒让德求积公式、复化梯形公式或者复化辛普森求积公式等的数值方法将它离散得到一个矩阵方程Ax=y，这样，算子方程Kx=y的求解就转化为矩阵方程：的求解。

定义设A是m×n实矩阵（m≥n），称n阶方阵ATA的非零特征值的算术平方根为A的奇异值。

第一类fredholm积分方程最小模解的逼近序列在数学中，Fredholm积分方程是一种常见的函数方程类型，其
中含有一个已知的核函数。

对于第一类Fredholm积分方程，我们可
以通过最小模解的逼近序列来求解其解析解。

首先，我们考虑一个一般形式的第一类Fredholm积分方程：
$$int_a^bK(x,s)u(s)ds=f(x)$$
其中，$K(x,s)$是已知的核函数，$f(x)$是已知的函数，$u(x)$是我们需要求解的未知函数。

为了求解这个方程的解析解，我们需要构造一个最小模解的逼近序列。

具体来说，我们定义序列${u_n(x)}$如下：
$$u_0(x)=0$$
$$u_n(x)=int_a^bK(x,s)u_{n-1}(s)ds$$
然后，我们将这个序列代入原方程中，得到：
$$int_a^bK(x,s)u_n(s)ds=f(x)-sum_{i=0}^{n-1}int_a^bK(x,s)u_
i(s)ds$$
我们发现，随着$n$的增加，${u_n(x)}$逐渐逼近未知函数$u(x)$。

因此，我们可以使用这个序列来逐步求解方程，直到得到最终的解析解。

需要注意的是，这个逼近序列的收敛性需要满足一定的条件。

一般来说，我们需要保证核函数$K(x,s)$是连续的，并且在方程的定义域内有界。

此外，我们还需要保证$f(x)$是连续的。

如果这些条件得
到满足，那么最小模解的逼近序列可以成功地求解第一类Fredholm 积分方程的解析解。

Ξ　收稿日期:2008-10-24基金项目:教育部科学技术研究重点项目(207124);宁夏自然科学基金资助项目(NZ 0722);宁夏高等学校科学研究基金资助项目.作者简介:王延新(1979—),男,山东滕州人,硕士研究生,主要从事复变函数论研究.第一类Fredholm 积分方程的CAS 小波解法Ξ王延新,韩惠丽(宁夏大学数学计算机学院,银川　750021)摘要:介绍了C AS 小波的性质,利用C AS 小波的配置方法将积分方程转化为代数方程组,然后利用T ikhonov 正则化方法求解代数方程组,数值结果表明:这种方法非常有效,并有较高的代数精确度.关键词:C AS 小波;第一类Fredholm 积分方程;配置法;T ikhonov 正则化中图分类号:O175.5文献标识码:A 文章编号:1006-0707(2009)02-0127-02 在实际问题中,有很多数学物理反问题的求解最后总要归结为一个第一类Fredholm 积分方程的求解问题,如∫bak (x ,t )y (t )d t =f (x ),x ∈[a ,b ]其中核函数k (x ,t )∈L 2([a ,b ]×[a ,b ]),通常可以写成算子形式κy =f 其中κ:X →Y ,κ(y (t ))=∫ba k (x ,t )y (t )d t 是一个有界线性算子,X ,Y 是Hilbert 空间.通常情况下,算子κ的逆是有界的,这时方程的求解是病态的,或者说方程是不适定的,即解的存在性、唯一性、稳定性遭到破坏.许多文献利用投影方法,正则化方法[1-4]求解此类方程.本文中我们则用C AS 小波的配置方法对积分方程离散后通过T ikhonov 正则化方法求解.数值算例表明:我们的方法是可行和有效的.1　CAS 小波及性质 小波函数是由一个母小波函数ψ经过伸缩和平移变换构成的函数族.当伸缩因子a 和平移因子b 在R 上连续取值时,则有ψa ,b (t )=a -12ψ(t -ba),a ,b ∈R ,a ≠0如果伸缩因子a 和平移因子b 均取离散值,即a =a -k 0,b =nb 0a -k0,a 0>1,b 0>0且n 和k 为正整数,则有相应的离散小波变换(详情见参考文献[5])ψk ,n (t )=a 0k2ψ(a k0t -nb 0),其中ψk ,n (t )构成了空间L 2(R )上的一组小波基.特别地,当取a 0=2,b 0=1时,ψk ,n (t )构成了空间L 2(R )上的一组标准正交基.C AS 小波ψnm (t )=ψ(k ,n ,m ,t )有4个参数k ,n ,m 和t ,其中n =0,1,2, (2)-1,k 取非负整数,m为任意整数.C AS 小波定义在区间[0,1)上,表达式为[6-7]ψnm (t )2k 2CAS m (2k t -n ),n 2k ≤t <n +12k 0,其他(1)其中C AS m (t )=cos (2πt )+sin (2πt ).容易验证C AS 小波构成了空间L 2(R )上的一组标准正交基.因此任意一个定义在[0,1]上的平方可积函数f (t )可以用C AS 小波展开为f (t )=∑∞n =0∑m ∈zc nm ψnm(t )(2)其中c nm =(f (t )・ψnm (t )),其中(・)表示内积.如果式(2)是可截断的,则式(2)可以表示为f (t )∆∑2k-1n =0∑Mm =-Mcnm ψnm(t )=C T Ψ(t )(3)其中C 和Ψ(t )分别是2k (2M +1)×1维的系数向量和基向量函数,表达式为C =[c 0(-M ),c 0(-M +1),…,c 0M ,c 1(-M ),…,c 1M ,…,c (2k -1)(-M ),…,c (2k -1)M ]T Ψ=[ψ0(-M ),ψ0(-M +1),…,ψ0M ,ψ1(-M ),…,ψ1M ,…,ψ(2k -1)(-M ),…,ψ(2k -1)M ]T2　配置法 不失一般性,考虑第一类Fredholm 积分方程第30卷　第2期四川兵工学报2009年2月∫1k (x ,t )y (t )d t =f (x ),x ∈[0,1](4)为求方程的数值解,我们用有限维空间的函数族逼近精确解.由于原方程的解可以用有限维空间上的解近似,我们称这种策略方法为投影法.其中非常重要的方法之一是配置法.首先将式(3)写成算子形式κy =f (5)选择有限维空间序列X n ∈L 2(R ),n ≥1,且X n 的维数为d.X n 是由ψ1,ψ2,…,ψn 张成的d 维子空间.对任意函数y n ∈X n ,则y n (t )=∑dj =1c j ψj (t ).将其代入式(3),有r n (x )=∫10k (x ,t )y n(t )d t -f (x )=∫10k (x ,t )∑dj =1c j ψj(t )d t -f (x ),0≤x <1其中r n 为参差函数,写成算子形式为r n =κy n -f为求未知函数展开式的系数,要求参差函数在d 个孤立点x i 处满足r n (x i )=0,i =1,2,…,d 其中x i 为配置点.本文中我们选用C AS 小波为正交小波,因此y n (t )=∑dj =1c j ψj (t )是唯一确定的.3　方程组的T ikhonov 正则化 用上面的方法结合C AS 小波将积分方程离散后得到线性方程组AC =F(6)其中F =[f (x i )]2k(2M+1)i =1,A =[∫xik (x i ,t )∑2k-1n =0∑Mm =-Mc nm ψnm(t )d t ]2k(2M+1)i =1,n =0,1, (2)-1,m =-M ,…,M.为稳定求解方程(5),利用T ikhonov 正则化的思想,方程(5)可转化为下面的方程组(A T A +αH )C =A TF(7)其中α为正则参数,H =h1+1h2-1h20…00-1h21+2h2-1h2 (000)-1h21+2h2………………000…1+2h2-1h200…-1h21+1h2称为稳定矩阵,h =12k(2M +1)为离散网格大小.由于稳定矩阵H 的引入,方程组(6)是良态的,可按常规的线性方程组求解方法求解.通过不断的调整正则参数α的值,可以使误差水平更低.4　数值算例 例1　考虑下面积分方程∫10e xt y (t )d t =ex +1-1x +1,方程的精确解为y (x )=e x .选择小波参数k =3,M =1.表1给出了方程解的数值结果.表1　例1精确解与数值解的比较x i精确解数值解误差0.1 1.10517092 1.10499502 1.75893779e -30.2 1.22140276 1.228708637.30587281e -30.3 1.34985881 1.32848826 2.13705437e -20.4 1.49182470 1.49053680 1.28790184e -30.5 1.64872127 1.66151839 1.12797135e -20.6 1.82211880 1.822935418.16611907e -40.7 2.01375271 2.02952784 1.57751346e -20.8 2.22554093 2.19667932 2.88616125e -20.92.459603112.468785599.18247650e -3 例2　考虑积分方程∫x0sin (xt )y (t )d t =sin x -x cos xx 2,方程的精确解为y =x.选择小波参数k =3,M =1.表2给出了方程解的数值结果.表2　例2精确解与数值解的比较x i 精确解数值解误差0.10.100000000.100027297 2.72965105e -50.20.200000000.2095499969.54999564e -30.30.300000000.287336992 1.26630083e -20.40.400000000.3992108187.89181982e -40.50.500000000.563967355 6.39673552e -20.60.600000000.600573275 5.73274900e -40.70.700000000.7094883949.48839431e -30.80.800000000.788317476 1.16825244e -20.90.900000000.9037034513.70345075e -3 本文中运用C AS 小波函数逼近的方法求解了第一类Fredholm 积分方程,将方程变成代数方程组,然后利用T ikhonov 正则化方法求解.数值算例表明我们的方法是切实可行的,并且具有良好的精确度.(下转第135页)821四川兵工学报4.4　“助管”人员待遇的问题[4]津贴制度的制定有多种,例如:山东大学采用的是固定津贴制度,即200元/月,但每周工作量不少于12学时;华东交通大学采用的是灵活津贴制度,即按照助管岗位的主要工作内容要求,依据相关计酬标准,由用人单位根据研究生完成的实际工作量确定.但制定津贴制度的时候一定要遵循“多劳多得,按劳取酬”的分配原则,尽可能的使“助管”人员的待遇与实际付出相当.在津贴制度以外还应有相应的奖惩措施相匹配.对工作做得好的“助管”人员要给予一定的精神和物质奖励,以增强其工作的信心和积极性.对工作没有做好或犯错误的“助管”人员在提出批评的同时,也可以采用扣除部分津贴的形式令其引起重视.研究生兼任“助管”工作,不仅仅为学校、单位分担了一些管理工作任务,更重要的是通过这项工作,可以充分利用人力资源、知识资源的优势,这对于学校的深化改革,对于研究生的全面成才和综合素质的提高都具有非常重要的意义.但是我们也应当看到,研究生兼任“助管”工作就高等教育而言还是一个比较新的事物,没有多少成型的经验可寻,需要广大教育工作者们结合自己的工作实际,在摸索中积累经验,寻找规律,完善制度.随着高等教育体制的进一步改革,我们相信研究生兼任“助管”工作将在高等教育管理中发挥更为积极的作用.参考文献:[1]　金健美.研究生教三助工作的现状与展望[J].学位与研究生教育,2006(9):40-43.[2]　李达丽.“三助”工作与研究生创新能力的培养[J].衡阳师范学院学报,2006(1):149-152.[3]　史广玉.我校研究生兼任“三助”工作可行性的调查与分析[J].河北医科大学学报,2005(6):668-669. [4]　裴庆祺.研究生教育成本分担与资助体系的完善[J].学位与研究生教育,2006(4):74-77.(上接第128页)参考文献:[1]　Maleknejad K,Lotfi T,Mahdiani K.Numerical s olution ofFredholm integral equations of the first kindintegral equationwith wavelets2G alerkin method(WG M)and wavelets pre2 condition[J].Appl Math C om p,2007,186:794-800. [2]　凌捷.求解第一类积分方程的正则化-小波方法及数值试验[J].高等学校计算数学学报,1998(3):215-231.[3]　Maleknejad K,Aghazadeh N,M ollapourasl R.Numericals olution of Fredholm integral equation of the first kind withcollocation method and estimation of erro bound[J].ApplMath C om p,2006,179:352-359.[4]　Rabbani N,Maleknejad K,Aghazadeh N,et al.C om puta2tional projection method for s olving Fredholm integral equa2 tion[J].Appl Math C om p,2007,191:140-143.[5]　Daubechies I.T en Lectures on Wavelets[M].SI AM:Philadelphia,PA,1992,179:352-359.[6]　Y ousefi S,Banifatemi A.Numerical s olution of Fredholmintegral equations by using C AS wavelets[J].Appl MathC om p,2006,183:458-463.[7]　Han Dan fa,Shang Xu feng.Numerical s olution of integro2differential equations by using C AS wavelet operational ma2 trix of integration[J].Appl Math C om p,2007,194:460-466.531李　川:关于研究生兼任“助管”工作的思考。

求解第一类fredholm积分方程的一种新的正则化算法本文将介绍一种新的正则化算法，用于求解第一类Fredholm积分方程。

Fredholm积分方程作为数学中的一个极为重要的分支，广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。

然而，其解法一直以来都是一个难点，难以找到一种完美的方法去求解。

在过去的几十年中，人们一直在致力于解决这一难题，并尝试了几乎所有可行的方法。

这些方法包括数值逼近、级数展开、Fourier变换等等，但每种方法都有其自身的缺陷和限制。

同时，由于Fredholm积分方程的求解本质上是一个反问题，这给求解带来了一定的困难。

因此，研究Fredholm积分方程的求解一直是数学领域中的热点问题。

近年来，一种新的正则化算法应运而生，被广泛应用于求解第一类Fredholm积分方程。

这种算法可以有效地解决Fredholm积分方程的求解问题，具有较高的精度和稳定性。

这种新的正则化算法基于问题的分析性质，通过引入惩罚项来减小Fredholm积分方程求解的过程中的过渡误差。

其具体实现方法如下：1.进行Tikhonov正则化处理。

Tikhonov正则化处理是实现该算法的关键步骤。

通过引入一个惩罚项，该算法可以降低特征值中的高频成份，从而减少过渡误差，提高结果准确性。

2.解决惩罚项中的超参数。

惩罚项中的超参数非常重要，它直接影响算法的精度和鲁棒性。

在实现中，我们通过测试不同的超参数，找到最合适的值，从而得到最佳的计算结果。

3.进行数值求解。

一旦获得了惩罚项中的超参数，我们就可以将其应用于Fredholm积分方程的求解中。

我们使用数值求解方法来求解级数展开，因此，该算法可以适用于所有类型的Fredholm积分方程。

通过该算法，我们能够快速、准确地求解第一类Fredholm积分方程，因此它在工程学和科学领域中具有重要的应用价值。

同时，这种方法可以扩展到其他类型的Fredholm积分方程，为数学领域中的研究者提供更多的解题工具和思路。

一类函数积分方程的fredholm和非
fredholm定理
Fredholm和非Fredholm定理是定义在一类函数积分方程上的重要定理。

它们是由20世纪初著名的瑞典数学家阿尔维斯·弗雷德霍姆所发明的。

Fredholm定理指出，一类函数积分方程可以表示为linear integral equation。

在这种情况下， Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel K是要求的积分方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才能解决来。

常见的核函数类型包括简单对称structured，fualt-trigger symmettrical，特征向量对称和非对称。

而非Fredholm定理则指出，一类函数积分方程可以表示为非线性积分方程。

在这种情况下，非Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel F是函数方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才会有解。

例如，多项式形式积分方程的 method of variation of parameters (MVP)，椭圆形式函数积分方程的Chebychev分析和拉格朗日形式的函数积分方程的 Legendre 分析。

在拉格朗日形式函数积分方程中，还有一种特殊情况：由拉格朗日定理推出的非Fredholm定理，也称为Fourier-Stieltjes定理。

整体来看，Fredholm定理和非Fredholm定理是理解函数积分方程类型的重要工具，它们提供了一种有用的方法，可从积分方程中获得解。

因此，在计算函数积分方程时，Fredholm和非Fredholm定理都很有用。

《Block Pulse函数法求解一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程》篇一一、引言非线性Fredholm-Volterra积分微分方程是一类重要的数学模型，广泛应用于物理、工程、生物和金融等多个领域。

然而，由于这类方程的复杂性，传统方法往往难以解决。

本文提出一种新的求解方法——Block Pulse函数法，以求解一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程。

二、问题描述考虑一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程，其一般形式为：其中，F为非线性函数，g(t)和h(t)为已知函数。

本文的目标是利用Block Pulse函数法求解该类方程。

三、Block Pulse函数法Block Pulse函数法是一种基于离散化思想的数值求解方法。

该方法将连续的积分区间划分为若干个离散的子区间，每个子区间内采用Block Pulse函数进行逼近。

通过离散化处理，将连续的积分微分方程转化为离散的线性方程组，从而简化求解过程。

四、求解过程1. 将积分区间划分为N个等距的子区间，每个子区间内采用Block Pulse函数进行逼近。

2. 将非线性Fredholm-Volterra积分微分方程转化为离散的线性方程组。

3. 利用适当的数值方法（如高斯消元法、迭代法等）求解离散的线性方程组，得到解的近似值。

4. 对得到的近似解进行后处理，如误差分析、收敛性检验等。

五、实例分析以一个具体的非线性Fredholm-Volterra积分微分方程为例，采用Block Pulse函数法进行求解。

通过对比求解结果与实际解，验证了该方法的有效性和准确性。

同时，对不同离散化程度下的求解结果进行了分析，探讨了离散化程度对求解精度和计算效率的影响。

六、结论本文提出了一种基于Block Pulse函数法的非线性Fredholm-Volterra积分微分方程求解方法。

该方法通过将连续的积分区间离散化，将复杂的非线性问题转化为简单的线性问题，从而简化了求解过程。

预共轭梯度法求解第一类积分方程摘要：在本文中，我们通过使用预共轭梯度法（PCG ）研究了带卷积核的第一类Fredholm 积分方程的数值解。

然后又通过求积法使得积分方程降为Toeplitz 体系。

因上述体系中的系数矩阵是对称正定的，所以可以使用共轭梯度法来解决。

在一般情况下，该体系包含在不聚于1附近的恰当特征值之中。

带有恰当预条件的共轭梯度法产生了1附近体系中的聚类特征值。

因此，稳定性和收敛速率都得到了保证。

关键词：Tpolitz 体系，循环矩阵，预共轭梯度法，特征值，积分方程 简介在科学与工程上的许多逆问题催生了第一类积分方程解法的发展，即b x a x g dt t y t x k ba≤≤=-⎰;)()()( (1)其中)(x g 与)(t x k -是已知函数，)(t y 是未知待定函数。

尽管若方程的一个解存在，则在)(x g 中响应比gy ∂∂的微小波动将可能变得任意大（Rashed ，2003），但这一类形式的积分方程是病态的，因为对一给定的)(t x k -、)(x g ，方程(1)可能无解。

有几个逼近于第一类积分方程的数值解法也是我们都知道的。

令ih a t ih a x j i +=+=,且nab h -=，假设i i t x =，n i ,,3,2,1,0∙∙∙=，然后就有了如下的线性体系：)()()()(,0i i j i j nij j j ijt g t t k w t y t tk w =-+-∑≠= (2)该体系的系数矩阵是一个Toeplitz 矩阵，其中的条件数很大。

在诸多的迭代法之中，误差界是由条件数所确定。

比如，在共轭梯度法中的误差界是由tk k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-11和minmaxλλ=k 所定。

其中，t 是迭代次数，min λ、max λ分别为算子谱特征值绝对值的最小与最大值（Maleknejad ，2003）。

定义1：若 1,0;)(mod -≤≤=-n j i c C n j i ij ，则[]1,-==n j i ijn c C 就叫做循环矩阵。

第一类弱奇异 Fredholm 积分方程的配置解法曾慧波;吕晓亚;罗卫华【摘要】对于具有弱奇异性的第一类 Fredholm 积分方程提出了配置法,该方法的关键思想在于将积分算子的弱奇异核分裂成有限项,使得弱奇异性能够用分部积分加以克服。

理论分析和实验显示,该方法的精度可以达到 O (hm+1),这里 h 为步长,m 为所用基函数的最高次。

%A collocation method is introduced for a class of Fredholm integral equation of its first kind with weakly singular kernels.The key idea of this method is splitting the weakly singular kernel of the integral operator into finite parts so that the weak singularity is concentrated on one which can be analytically solved using integration by parts.Theoretical analysis and numerical examples show this method can achieve accuracy O(hm+1 ),with h being the step size,and the highest order of the basis function.【期刊名称】《内江师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)010【总页数】4页(P10-13)【关键词】第一类 Fredholm 积分方程;配置法;Lagrange 插值多项式【作者】曾慧波;吕晓亚;罗卫华【作者单位】四川省内江市第六中学，四川内江 641199;内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江 641199;内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江641199【正文语种】中文【中图分类】O172.2许多科学工程中的逆问题求解都将导致弱奇异的第一类Fredholm积分方程这里0＜α＜1,a(x,y),b(x,y),f(x)为已知的连续函数,u(y)为待求解函数.对方程(1)的数值求解一直是工程计算中的一个热点和难点问题.在此方面的研究方法主要包括传统的直接求积法[1-4]、有限元方法[5]、配置法[6-12]、有限差分法[13-14]及其他方法[15-18]等,而对于配置法,其精度和计算量大小主要取决于所选基函数.迄今为止,使用配置法求解(1)时,用得最多的基函数包括三角函数,样条函数, B-样条函数Legendre小波函数等[6-9].这些方法在一定的条件下,能够达到高阶精度.然而,这些数值方法的精度一般都与α有关.当α→1时,其精度一般会越来越低,直至0阶精度. 本文利用Lagrange插值多项式作为基函数,提出一种配置解法,该配置解法利用分部积分公式成功地处理了弱奇异性,而且所涉及的精度与α无关.对于给定的正整数N,设h=为步长,记为区间[0,1]的网格剖分,当所选基函数为分片线性多项式函数时,这些点也是配置点.令和其中m≥1,Pm表示最高次数为m的多项式集合.在每一个子区间en,n=1,2,…,N上,给定m+1个配置点取一致插值点下的Lagrange插值多项式作为基函数,则要求解s(x)∈S(JN)使得引理1[5,8]记T为算子其中c为与f,λ0,λ1,μ0,μ1,R无关的常数,而λ0+ α＜1,λ1+α＜1,μ0＜1,μ1＜1,则T:C[0,1]→C[0,1]为紧算子.设α(x,y)∈C1([0,1]×[0,1]),b(x,y)∈C([0,1)×[0,1]),对于方程(3),其中的积分项不含任何奇异性当sy被Lagrange插值多项式代替后,该积分可以由一些近似积分公式在给定的精度内计算出来,比如,Gauss求积公式.对于积分项(y)d y,可做如下处理.在每一个子区间en,n=1,2,…,N上,用m次Lagrange插值多项式代替s(y).在每一个配置点xtp(t=1,2,…,N,p=0,1,…,m)处有从(5)的右端看出,只有两项含有弱奇异性,即而对于(6)和(7),经过一些简单的代数计算,可知它们分别等价于等式这里…表示那些积分核具有|xt,p―y|1―αB(y)形式的积分,其中B(y)为关于y的多项式函数,从而不具有任何奇异性.此外,由于0＜α＜1,利用分部积分公式,分别可得而(10)(11)可以由近似积分公式求得.综合起来,在逐个代入配置点xtp(t=1,2,…,N,p =0,1,…,m)后,可以由(8)―(11)来计算积分项(y)d y,再联立的近似积分公式,即可得到方程(1)的配置方程,从而求解出Lagrange插值多项式中的待定系数.设Pm表示Lagrange插值算子,则由插值理论[19],有|u―Pmu|=O(hm+1),又因为弱奇异积分算子是紧算子,因此,结合引理1,立刻可得定理1假设引理1的条件成立,且为可逆算子,则(3)中的近似解s(x)对于所有的0＜α＜1必然满足|u―s|=O(hm+1).取不同α的以检验该方法的精度随着α→1而变化的情况.取最常用的分片线性Lagrange插值多项式作为基函数,测试模型为该方程具有解析解u=x2.我们分别取α=0.1,α=0.5,α=0.9,α=0.99.表1给出了各种情况下配置点处的误差,这里采用L2范数,图1-4给出了精确解和数值解在点yi=xi+,i=1,2,…,M处的误差,其中步长h=0.01,α=0.1,0.5,0.9,0.99.从图1-4以及表1中可见,实验结果与理论分析是相吻合的,都达到了O(hm+1)阶精度.对第一类弱奇异的Fredholm积分方程提出了一种配置法.利用紧算子理论,证明了该算法具有O(hm+1)阶的精度,实验结果进一步显示了理论分析的正确性和该算法的高效性.【相关文献】[1]Schneider C.Product integration for weakly singular integral equations[J].Mathematics of Computation, 1981,36(2):207-213.[2]Wei J,Minggen C.The exact solution and stability analysis for integral equation of third or first kind with singular kernel[J].Applied Mathematics&Computation,2008,202(4):666-674.[3]Ioakimidis N I,Patras.On the natural interpolation formula for Cauchy type singular integral equations of the first kind[J].Computing,1981,26(4):73-77.[4]施云惠,王子才.第一类Fredholm积分方程的解析解[J].黑龙江大学自然科学学报,2000,17(1):16-21.[5]Babolian E,Delves L M.An augmented Galerkin method for first kind Fredholm equations[J].Ima Journal of Applied Mathematics Institute of Mathematics&Its Applications,1979,12(5):154-174.[6]Xufeng S,Danfu H.Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using linear Legendre multi-wavelets[J].AppliedMathematics&Computation,2007,191(1):440-444.[7]Maleknejad K,Sohrabi S.Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using Legendre wavelets[J].Applied Mathematics&Computation,2007,186(2):836-843.[8]Pedas A,Vainikko G.Integral equations with diagonal and boundary singularities of the kernel[J].Zeitschrift Für Analysis Und Ihre Anwendungen,2006,25: 487-516.[9]贾红艳.第二类Fredholm积分方程的小波解法[J].安阳师范学院学报,2010:15-17.[10]Lin Fu-rong1,Wu Jing.An interpolation-based adaptive solution method for Fredholm integral equations of the second kind[J].黑龙江大学(自然科学学报), 2004,21(4):17-21. [11]Vainikko E,Vainikko G.A spline product quasi-interpolation method for weakly singular Fredholm integral equations[J].Siam Journal on Numerical Analysis, 2008,46:1799-1820. [12]韩国强,张丽清.二维Fredholm积分方程Nystrom方法的渐近展开及其外推[J].应用数学学报,1995,18 (2):218-224.[13]黄秋梅,杨一都.Fredholm积分方程特征值问题配置法外推的M atlab实验[J].数学的实践与认识, 2007,37(11):163-168.[14]吴静,林福荣.某第二类Fredholm积分方程的一种数值解法[J].汕头大学学报(自然科学版),2003,18 (1):11-18.[15]陆征一.Lotka-Volterra系统的计算机辅助分析[J].四川师范大学学报(自然科学版),2013,36(1): 138-146.[16]徐艳艳,任静静,陈广贵,等.带二阶Hermite插值条件的最小二乘估计[J].西华大学学报,2014,33(1): 56-59.[17]张明会,高婷婷.一个数值积分公式的推广[J].四川文理学院学报,2011,21(2):17-19.[18]韩建玲.无穷限广义积分求值的几种方法[J].内江师范学院学报,2012,27(2):67-69.[19]王能超.计算方法[M].2版.武汉:华中科技大学出版社,2010.。

[摘记]数值⽅法14——积分⽅程和反演理论注：以下来⾃《C++数值算法⼀书》，仅对章节内容做摘要，为的是给⾃⼰扫盲，不涉及算法。

Fredholm⽅程涉及具有固定上、下限的定积分。

第⼀类⾮齐次Fredholm⽅程形式如下：K(t,s)称为核，上式对应的矩阵⽅程为Kf=g。

第⼀类⽅程是病态的，核作⽤到⼀个函数通常起到光滑的作⽤，会丢失信息，这类问题专门的处理⽅法是反演问题。

第⼆类Fredholm⽅程写为：没有特别的病态。

Volterra⽅程是Fredholm的⼀种特殊形式，去除不必要的积分部分，将积分上限改为⾃变量t的形式。

第⼀类Volterra⽅程：第⼆类Volterra⽅程写为1. 第⼆类Fredholm⽅程要求f(t)使⽤的⽅法称为Nystrom⽅法，这是⼀个⾮常基本的⽅法：w j是积分法则的权，N点s j集是横坐标。

这⾥倾向于⽤⾼阶积分法以保持N尽可能⼩。

对于光滑、⾮奇异问题，最好的是⾼斯积分。

2. Volterra⽅程Volterra⽅程的⼤部分算法从t=a开始，随着不断地迭代逐渐求出解。

最简单的⽅法是在均匀步长的⽹格上⽤梯形法则。

对于⾼阶⽅法，⽬前认为最好的是逐块法。

3. 具有奇异核的积分⽅程深⼊讨论略4. 反演问题与先验信息的利⽤我完全看不懂= =，甚⾄提到了哲学思想0 05. 线性正则化⽅法⼜称为Phillips-Twomey⽅法、约束线性反演⽅法等。

对之前的反演⽅法做了些改进，是本书推荐的⽅法。

6. Backus-Gilbert⽅法与上⼀个⽅法相⽐，致⼒于提⾼稳定性⽽不是注重光滑性。

7. 最⼤熵图像恢复反演问题涉及到的概率问题在这⾥发挥到了极致，还有哲学思想、历史性。

请恕我理解⽆能这章可以说完全看不懂，慎⼊= =本⽂原创，转载请注明出处。

无穷限第一类Fredholm方程的正则化方法
杨平;伍继梅;吴开谡
【期刊名称】《北京化工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(040)0z1
【摘要】研究了无穷限第一类Fredholm积分方程的求解问题.第一类Fredholm 方程是不适定问题,解不稳定,必须采用正则化方法处理.为此,利用Tikhonov正则化方法研究这类问题,其中,展平泛函按标准的Sobolev空间范数来构造,正则化参数则通过Morozov偏差原理来选取.最后,证明了由此获得的正则化解存在唯一性.并讨论了求解正则化解的变分方法.
【总页数】5页(P117-121)
【作者】杨平;伍继梅;吴开谡
【作者单位】北京化工大学理学院,北京100029;北京化工大学理学院,北京100029;北京化工大学理学院,北京100029
【正文语种】中文
【中图分类】O175.5;O241.83
【相关文献】
1.求解第一类Fredholm积分方程的一种新的正则化算法 [J], 李功胜;刘岩
2.求解第一类Fredholm积分方程的小波-正则化方法及外推 [J], 张建平;韩惠丽;潘学锋
3.求第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法 [J], 殷凤兰
4.基于改进正则化蝙蝠算法求解第一类Fredholm积分方程 [J], 张新明;刘一博
5.带复数核的第一类Fredholm积分方程的正则化方法及其应用 [J], 尤云祥;缪国平
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1 第一类Fredholm 积分方程，具有形式如下：⎰=bax f ds s y s x k )()(),(,b x a ≤≤ (1)其中核函数),(s x K 和自由项)(x f 为已知函数，)(s y 是未知函数。

此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍。

2 第二类Fredholm 积分方程，具有如下的形式：⎰+=ba x f ds s y s x k x y )()(),()(λ,b x a ≤≤ (2)离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。

一、复化梯形公式离散过程如下：)]()(2)([2)(1b f x f a f hdx x f nk k b a++≈∑⎰=下面具体给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。

],[)()(),(12)()](),(21)(),()(),()(),(21[)(),(12)()](),()(),([2)](),()(),([2)](),()(),([2)(),()(),()(),()(),()(),(211002*********12110b a x g f x k a b h s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h f x k a b h s y s x k s y s x k h s y s x k s y s x k hs y s x k s y s x k h dss y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k n n i i n n n n i i i i s s s s s s s s bann i i ∈=-+++++=--+++++++=+++++=----⎰⎰⎰⎰⎰--ηηηηη－最后对变量x 进行离散，将区间],[b a 等分为n 份，步长为nab h -=，同时忽略积分公式误差项：)](),(21)(),()(),()(),(21[)()(1100n n i i i i i i i i s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h x y x g +++++-=其中n i ,2,1,0= 得到线性方程组n n g Af =其中)](),(),(),([210n n s y s y s y s y f =，)](,),(),(),([210n n x g x g x g x g g =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=),(211),(),(21),(21),(1),(21),(21),(),(211101110101000n n n n n n y x hk y x hk y x k h y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk A再对上述方程进行数值求解，即可。