量子力学思考题

i Jˆ 任何满足此式的算符所代表的力学 量子力学中，角动量是按下式定义 Jˆ × Jˆ =
ˆ r = ˆ× p ˆ 更具普遍性。 量，都可以认为是角动量。此定义较之角动量的仿佛经典定义 L
后者只能适用于轨道角动量而不能适用于自旋。 3.试比较经典角动量的相加与量子角动量的耦合，二者有什么区别？ 经典力学中，两角动量可按矢量相加法则简单地相加。它们相加的角度可以是任何的 （取决于体系的性质） ，因此得到的合动量其数值与取向也是连续变化的。 量子力学中，角动量总是一个量子化的量。不仅两个任意角动量的大小与取向是量子 化的，如果它们相互耦合。则合角动量的大小和与取向也是量子化的，因此两角动量 的耦合方式要受到限制，不能是任意的。例如，在量子力学中，两角动量的耦合满足 三角形关系，而按照经典方式描述，这种耦合的限制就相当于两角动量的夹角不能是 任意的，而是量子化的。 4.斯特恩-盖拉赫实验中，只有使用处于 s 态的中性原子，而不能使用电子，为什么？
2 围内的几率是 | cλ | dλ 。
3. 比较“粒子”和“波”这两个概念在经典物理和量子力学中的异同点？ 在经典物理和量子力学中“粒子”概念的共同点在于“原子性”或“颗粒性” ， 不同点在于经典物理中的“粒子”同时有确切的轨道和动量，而在量子力学中轨道概 念不再适用，粒子的位置和动量具有本质的不确定性； “波”概念的共同点在于波动 最本质的东西——波的叠加性，不同点在于经典物理中的“波”总意味着某种实在的 物理量的空间分布作周期性的变化，而在量子力学中并不一定与某种实在的物理量在 空间的波动联系在一起。 4. 什么是态叠加原理？ 如果ψ 1 ，ψ 2 ，…，ψ n ，…是体系的可能状态，则ψ = 6. 一个量子体系处于定态的条件是什么？ 哈密顿算符不显含时间或能量具有确定的值。 7. 什么是定态？定态有什么性质？
5. 如果算符 F 表示力学量 F，那么当体系处于算符 F 的本征态是，力学量 F 是否有确 定值？（华科大 03 考研）
ˆ 在本征态 ψ 的本征值 是，其确定值就是 F
6.如果一组算符有共同的本征函数，且这些函数组成完全系，问这组算符中的一个是 否与其余的算符对易（华科大 03 考研）
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 是 ， 设 这 组 算 符 为 A, B, C ， 完 全 系 为 {ψ n } ， 依 题 意 Aψ n = A n ψ n ， Bψ n = Bn ψ n ， ˆψ = C ψ C n n n ，………。则对任意波函数 ψ ，
cnψ n 也是体系的可能状态。 ∑ n
− iE t ψ r e 所描写的状态 答：定态是指体系的势能不显含时间；处于 Ψ r ,t =
( )

()
时，能量具有确定值的状态。定态的性质： （1）粒子在空间中的概率密度及概率流密 度不随时间变化； （2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化； （3）任何 力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。
C nφn ( x ) 所描写的状态时，测量 ∑ n
2
力学量 F 所得的数值必定是算符 Fˆ 的本征值之一，测得 λn 的概率是 C n 3.为什么会有测不准关系？来源于力学量的不完全测量。 4.写出测不准原理，并简要说明其物理意义（浙大 05、07 考研）
。
( )( )
∆Fˆ
2
∆GˆBiblioteka Baidu
2
≥
k
2
4
；物理意义：如果两个力学量不对易，则它们不能同时具有确定值。
∗
(Fˆφ ) dx = ∫ (Fˆψ )
∗
φdx 则称算符 Fˆ 为厄
米算符。厄米算符属于两个不同本征值的本征函数相互正交，这就是厄密算符的正交 性。实验上客观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实 数的算符必为厄米算符，所以表示力学量的算符必须是厄米算符。 2.关于算符及其力学量的基本假定是什么？ 量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符，它们的本征函数组成正交归一 的完全系。当体系处于任一归一化的波函数ψ ( x ) =
ˆ ,B ˆB ˆ ) ψ = (A ˆ )ψ = (A B − B A )ψ = 0 ˆ ]ψ = (A ˆ −B ˆA ˆ −B ˆA [A ∑ n ∑ ˆB ∑ n n n n n n
n n n
8. 以能量算符为例简要说明能量算符和能量之间的关系（华科大 02 考研） 在量子力学中，能量算符用表示 Hˆ ,当体系处于某个能量的本征态时，算符 Hˆ 对本征 态 φn 的作用是得到这一本征值，即 Hˆφn = E nφn ，若体系处于任意态ψ 时， Hˆ 作用于ψ
ˆ∑ C φ 时得到体系一系列可能本征值及相应的概率，即 = Hˆψ H = n n
n
C n E nφn 。 ∑ n
四、五、 七、 1.自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？ （1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。 （2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子 数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋 函数需用多分量波函数表示。此外，二者的旋磁比不同。 2.量子力学中，角动量是如何定义的？
σ ˆx
0 1 = ˆy ,σ 1 0 0 −i ˆz = ,σ i 0 1 0 0 −1
10. 请用泡利矩阵定义电子自旋算符，并验证对易关系（06 考研）
= Sˆ x
η 0 1 ˆ η 0 −i ˆ η 1 0 = ,S y = ,S z 2 1 0 2 i 0 2 0 −1
E = hν = ω
h p = n = κ
（1） （2）
i p ⋅ r − Et /

λ
描写自由粒子的平面波ψ =Αe (
) ，这种波称为德布罗意波。
5. 验证德布罗意假说的是哪两个实验？ 戴维孙和革末的电子衍射实验，以及电子双狭缝衍射实验。 二、 1.微观粒子的状态用波函数完全描述，这里的“完全”的含义是什么？ 如已知单粒子ψ r ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量 等其他力学量的概率分布也均可通过ψ r 而完全确定。由于量子理论和经典理论不 同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体
一、 1. 什么是黑体？什么是黑体辐射？ 一个物体能全部吸收投射到它上面的辐射而无反射，这种物体称为黑体。 黑体辐射指黑体发出的电磁辐射，它研究的问题是辐射处于平衡状态时的能量按波 长的分布。 2. 什么是光电效应？什么是光子？什么是光电子？ 当满足一定频率的光照射在金属上，有电子从金属上逸出的现象，称为光电效应。 金属中逸出的电子称为光电子。电磁辐射不仅在被发射和吸收时以能量为 hv 的微 粒形式出现，而且以这种形式以速 c 在真空中运动，这种粒子叫做光量子或光子。 3. 什么是波粒二象性？有否确切轨道？是否空间波？ 物质同时具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为波粒二象性。其中，微粒性仅 指粒子的质量、电荷等固有属性，波动性仅指可叠加。波粒二象性没有确切轨道， 是平面波，而不是空间波。 4. 什么是德布罗意关系？什么是德布罗意波？
( )

2

12. 解释量子力学中的简并和简并度？（南航 02 考研）
简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并。 非简并：把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。 13.量子特有的现象：能量量子化；零点能；隧道效应；自旋。 三、 1.什么是厄米算符？什么是厄米算符的正交性？为什么量子力学中的可观测量算符必 为厄米算符？ 如果对于两任意函数 ψ 和 φ ，算符 Fˆ 满足 ∫ ψ
ˆΦ = λ Φ , F ˆΦ = λΦ ˆ 的本征函数 Φ 展开（ F n n n λ λ） 微观粒子的状态波函数 Ψ 用算符 F ：
Ψ = ∑ c n Φ n + ∫ c λ Φ λ dλ
n
，
2
则在 Ψ 态中测量粒子的力学量 F 得到结果为 λ n 的几率是 | c n | ，得到结果在 λ → λ + dλ 范
6. 波函数是用来描述什么的？应该满足什么样的自然条件，波函数模方的物理含义是 什么？ 波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还 应该是单值、有限和连续的。 ψ r ,t 表示在 t 时刻 r 附近d τ 体积元中粒子出现的几 率密度。 7.试简述波函数 Ψ 的标准条件。 答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。 8. 量子力学中能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的物理状态？（湖南 大学 07） 不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有 确定值。 9.什么是束缚态？它有何特性？束缚态是否必为定态？定态是否为束缚态？ 当粒子被外力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函数等于零的态 叫做束缚态。它的能级是分立的。束缚态不一定是定态。例如限制在一维箱子中的粒 子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包。这种叠加是没有确定值 的非定态。一般情况下定态多属束缚态，例如弹性散射，粒子被散射之后不在局限于 有限区域，但粒子还处于能量本征态，此时非束缚态也可称为散射定态。 10. 放射性指的是束缚在原子核中的某些粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什 么量子效应有关？（浙大 05,07 考研） 答：势垒贯穿效应 11. 什么是隧道效应，请举例说明？（天大 04 考研） 答：粒子在其能量 E 小于势垒高度 U0 时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫隧道 效应，又叫隧穿效应。如α衰变现象。
虑，导致能级分裂为偶数(2j+1)条，而不再是三条，这就造成反常塞曼效应。 把原子置于外电场中，则它发出的谱线会发生分裂，此即斯塔克效应。 12.反常塞曼效应的特点？引起的原因（某著名高校期末考试） 碱金属原子能级偶数分裂，光谱线偶数条，分裂能级间距与能级有关；由于电子具有 自旋 13. 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简 并度是多少？ 答：由于电子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能级分裂成几条差别很小的能 级，称为光谱的精细结构；当 n 和 给定后，j 可以取 j = ±
2 0 1 0 −i 0 −i 0 1 − 4 1 0 i 0 i 0 1 0
ˆ = ˆ S = S Sˆ Sˆ − Sˆ Sˆ y x y y x x, =
0 2 2i = i Sˆ i 4 0 −2i
9.写出由两个 1/2 自旋态矢构成的总自旋为 0 和 1 的态矢（06 考研） 10.两电子体系中，总自旋为 S=s1+s2，写出 S2 和 Sz 的归一化本征态（03 考研） 11.何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？试简述其原因（03 考 研，某校期末考试） 把原子置于强磁场中，原子发出的每条谱线都分裂为三条，此即正常塞曼效应。 当所加外磁场很弱时，自旋轨道耦合作用和内禀磁矩与外磁场的作用项应一并考
答：电子具有自旋的实验证据： （1） 斯特恩-盖拉赫实验； （2） 光谱精细结 构； （3） 反常塞曼效应 以上实验事实，只有引入自旋概念才能得到解释。 理论依据：从相对论量子力学的狄拉克方程出发，可以证明轨道角动量不是运动积 分，必须引入补充项构成总角动量，才能满足角动量守恒定律。引入的补充项就是自 旋。 5. SG 实验证明了什么（09 考研） 证明了原子具有磁矩和电子自旋的存在。 6.名词解释：电子自旋（05、07 考研） 是电子的内禀自由度，并无经典对应力学量。 9. 写出泡利矩阵（03、05、07 考研）

()
()

系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数 中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数 2. 简述波函数和它所描写粒子之间的关系（华科大 03 考研）波函数和测量假设 微观粒子的状态被一个波函数完全描述， 从这个波函数可以得出体系的所有性质。 波函 数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。