高考文科数学总复习课件抛物线及其性质

02
抛物线的几何特征
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点： 抛物线与x轴的
交点
焦点到准线的距 离：p（抛物线
的参数）
准线：抛物线与 y轴的交点
抛物线的标准 方程：
y^2=2px （p>0）
抛物线的开口方向和大小
开口方向：抛物线开口方向由其系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。 开口大小：抛物线开口大小由其系数b决定，b>0时开口较大，b<0时开口较小。 抛物线顶点：抛物线顶点是抛物线与x轴的交点，其横坐标为-b/2a。 抛物线对称性：抛物线关于其顶点对称，顶点将抛物线分为对称的两部分。
抛物线的顶点和离心率
顶点：抛物线的最高点或最低点，决定了抛物线的位置和形状 离心率：抛物线开口的大小，决定了抛物线的扁平程度 顶点的坐标：可以通过二次公式求解得到 离心率的计算：可以通过二次公式求解得到，也可以根据顶点和焦点的位置关系求解得到
03
抛物线与坐标轴的 交点
抛物线与x轴的交点
抛物线与x轴的交点称为x轴的交点，是抛物线与x轴的公共点。 x轴的交点决定了抛物线的开口方向和大小。 x轴的交点可以通过求解二次方程得到。 x轴的交点在图形上表现为抛物线与x轴的交点，是抛物0时， 抛物线与y轴的 交点为(0,y1)和 (0,y2)，其中y1 和y2是抛物线 与y轴的交点坐 标。
0 2
抛物线与坐标轴 的交点个数：抛 物线与x轴和y轴 的交点个数等于 抛物线的解数， 即抛物线与x轴 和y轴的交点坐 标的个数。
0 3
抛物线与坐标轴 的交点性质：抛 物线与x轴和y轴 的交点坐标决定 了抛物线的开口 方向、对称轴位 置和顶点位置等 几何性质。
抛物线与直线垂直 ：当直线与抛物线 相交，且交点在抛 物线上时，这两个 直线在抛物线上垂 直。

A. y 2 4x 或 y 2 8x
B. y 2 2x 或 y 2 8x
C. y 2 4x 或 y 2 16 x D. y 2 2x 或 y 2 16 x
解析：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋ p ＝5，则 x0＝5－ p .又
2
2
点
F
的坐标为
p 2
如图：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥ 2 x1x2 ＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p.
（3） 1 ＋ 1 为定值2.
|AF| |BF|
p
（4）弦长 AB＝ 2p (α为 AB 的倾斜角)． sin2α
（5）以 AB 为直径的圆与准线相切。 （6）以 AF 为直径的圆与 y 轴相切．
【解析】由题意得
F(
3 4
,
0)
，l
的方程为
y
3 2
x
m
．设
A( x1 ,
y1 ),
B( x2
,
y2
)
，
由焦半径公式知
|Leabharlann AF||BF
|
x1
x2
3 2
4, 所以x1
x2
=
5 2
由
y
3 2
x+m,
得9x2
(12m 12)x
4m2
0
．
y2 3x
12m
122
144m2
0, 所以m
1 2
，故 x1
x2
| AB | 4 2，
| DE | 2 5 ，可取 A( 4 , 2 2) ，D( p , 5) ，设O 为坐标原点，

B．x2＝43y
C．y2＝92x
D．x2＝－43y
答案：AB
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1
＋x2＝6，则|PQ|＝
()
A．9 B．8 C．7 D．6
答案：B
4．(人教A版选择性必修第一册P133·T3改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等 于6的点的坐标是_________．
1．(北师大版选择性必修第一册P69·T1改编)若抛物线的焦点坐标为(0，－3)，
则抛物线的标准方程是
()
A．y2＝－6x B．y2＝－12x C．x2＝－6y
D．x2＝－12y
答案：D
2．(人教A版选择性必修第一册P135思考改编)(多选)过点P(－2，3)的抛物线的
标准方程为
()
A．y2＝－92x
()ห้องสมุดไป่ตู้
A．3 B.32 C．5 D.52
解析：由题意知抛物线的准线方程为 x＝－1，分别过点 M，N 作准线的垂线，
垂足为 M′，N′，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所
抛物线
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质.
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 距离相等 的点的轨迹叫 做抛物线．点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的 准线 ．
2．抛物线的标准方程和几何性质
点 P，|PM|＋|PF|的最小值为 41，则 p 的值等于________．
[解析] (1)由题意，抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1，0)， 设抛物线 y2＝4x 的准线与 x 轴的交点为 D，则|DF|＝2， 又直线 AF 的斜率为－ 3，所以∠AFD＝60°，因此|AF| ＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由抛物线的定义可得：|PA|＝ |PF|，所以△PAF 是边长为 4 的等边三角形，所以△PAF 的面积为12×4×4×sin 60°＝4 3.故选 B.

准线上的点到抛物线焦点的距离相等 。
抛物线的离心率与焦距的关系
01
02
03
04
离心率
抛物线的离心率等于1。
焦距
抛物线的焦距等于2p，其中p 是抛物线的准线到焦点的距离
。
关系
离心率与焦距之间存在直接关 系，离心率越大，焦距越小；
离心率越小，焦距越大。
应用
了解离心率与焦距的关系有助 于解决一些与抛物线相关的几
将直线方程代入抛物线方 程，得到一元二次方程， 利用判别式非负求出交点 。
参数方程法
设定参数表示交点的坐标 ，代入抛物线方程和直线 方程，解出参数。
交点的性质
对称性
抛物线与直线交点的对称 性取决于抛物线的对称性 和直线的斜率。
唯一性
当直线与抛物线相切时， 交点唯一；当直线与抛物 线相交时，交点可能有两 个。
02
抛物线的几何性质
抛物线的对称性
总结词
抛物线具有对称性，其对称轴是 抛物线的准线。
详细描述
抛物线关于其准线对称，这意味着 对于抛物线上的任意一点P，其关 于准线的对称点也在抛物线上。
数学表达
如果点P(x,y)在抛物线上，那么点 P'(-x,-y)也在抛物线上。
抛物线的范围
01
总结词
抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的。
何问题。
THANK YOU
感谢各位观看
02 03
详细描述
对于开口向上的抛物线，其顶点是最低点，对于开口向下的抛物线，其 顶点是最高点。抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的，形成一个完 整的图形。
数学表达
对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，当a>0时，顶点为最低点；当 a<0时，顶点为最高点。

抛物线在几何作图中的应用
绘制图形
在几何作图中，抛物线被用来绘制各种曲线和图形，如椭圆 和双曲线。
设计艺术
艺术家和设计师利用抛物线的形状和性质来创造各种艺术作 品和设计。
抛物线在其他领域的应用
经济预测
在经济学中，抛物线可以用来拟合数 据并预测未来的趋势，例如通过建立 抛物线模型来预测股票价格或销售量。
信号处理
在信号处理中，抛物线被用来进行滤 波和降噪处理，以提取信号中的有用 信息。
THANKS
线的交点。
抛物线的焦距等于顶点到焦点 的距离。
抛物线上的任意一点到焦点的 距离等于该点到准线的距离。
02 抛物线的焦点与准线
抛物线的焦点
01
抛物线的焦点是固定的 点，位于抛物线的对称 轴上。
02
对于开口向右或向左的 抛物线，焦点位于其对 称轴上，距离顶点一定 距离的位置。
03
对于开口向上的抛物线， 焦点位于其顶点的上方。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。

2．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点， 若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：因为抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1,0)． 显然，当 AB 垂直于 x 轴时，|AF|≠3， 所以 AB 的斜率 k 存在， 设 AB 的方程为 y＝k(x－1)，与抛物线 y2＝4x 联立， 消去 y 得 k2x2－2k2x－4x＋k2＝0， 即 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
(4)求定值．可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻 找待定式子的表达式，化简即可得到．
已知过点 A(－4,0)的动直线 l 与抛物线 G：x2＝
2py(p>0)相交于
B，C
两点．当直线
l
的斜率是1时， 2
。
(1)求抛物线 G 的方程； (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围．
半轴上，所以焦点坐标为0，18.
4．抛物线的焦点为椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的左焦点，
顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．
解析：由c2＝9－4＝5，得F(－ 5，0)， 则抛物线方程为y2＝－4 5x. 答案：y2＝－4 5x
5．设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 A(0,2)．若线
则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝4x
解析：选C 由抛物线准线方程为x＝－2知p＝ 4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.
2．抛物线 y＝1x2 的准线方程是( ) 4
A．y＝－1
B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2

方法二 将 y＝2 2(x－1)代入 y2＝4x， 得 2x2－5x＋2＝0，
∴x1＋x2＝25，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝92，
O 到 PQ 的距离 d＝2 3 2，
∴S△OPQ＝12×|PQ|×d
＝21×92×2 3 2＝23 2.
【答案】 (1)B
3 (2)2 2
题型三 直线与抛物线的综合问题
设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－21的距离为 d， 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴点 P 的坐标为(2，2)． 【答案】 (1)9 (2)(2，2)
【思维升华】 与抛物线有关的最值问题，一般情况下 都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较 大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线 想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关 问题的重要途径．
跟踪训练 2 (1)(2016·全国乙卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆
交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝4 2，
|DE|＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
(2)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长 PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝________．
【思维升华】 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、 双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物 线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2 ＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

目录
高中总复习·数学
2

（1） y 1 y 2＝－ p 2， x 1 x 2＝ ；
4
2
（2）焦点弦长：｜ AB ｜＝ x 1＋ x 2＋ p ＝ 2 ；
si
（3）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2 p ；


1
（4）焦半径：｜ AF ｜＝
，｜ BF ｜＝
，
＋
1−cos
1+cos
｜｜
解析：由题意可知通径 MN ＝2 p ，所以圆

3
2
的半径是 p ，在Rt△ COF 中，（ ） ＋（ ）2
2
2
＝ p 2， p ＞0，解得 p ＝ 3 ，所以抛物线方程为
y 2＝2 3 x ，故选B.
目录
高中总复习·数学
（2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y 2＝2
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹是
抛物线.
（
× ）
（2）方程 y ＝4 x 2表示焦点在 x 轴上的抛物线，焦点坐标是（1，
0）.
（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.
（
× ）
（
× ）
（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.
目录
高中总复习·数学
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】
（1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（

(2016·商丘二模)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2， 3)，
且双曲线的一个焦点在抛物线 y2＝4 7x 的准线上，则双曲线的标准方程为
．
解：由题意，得ba＝ 23．因为抛物线 y2＝4 7x 的准线方程为 x＝－ 7，所
以 c＝ 7，则 a2＋b2＝c2＝7，得 a＝2，b＝ 3，所以双曲线的标准方程为x42－y32
(1)求直线 AB 的斜率； (2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM， 求直线 AB 的方程．
解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1≠x2，y1＝x421，y2＝x422，x1＋x2＝4，
于是直线 AB 的斜率 k＝yx11－－yx22＝x1＋4 x2＝1．
所以|BF|＝3，|BC|＝9，所以 λ＝3．故选 D．
(2)已知点 P 是抛物线 y2＝4x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A 的坐标 是(4，a)，则当|a|＞4 时，|PA|＋|PM|的最小值是____________．
解：将 x＝4 代入抛物线方程 y2＝4x，得 y＝±4，因为|a|＞4，所以 A 在抛物
解：因为ax22－by22＝1 的离心率为 2，
所以ac＝2，即ac22＝a2＋a2 b2＝4，所以ba22＝3，ba＝ 3．
x2＝2py(p>0)的焦点坐标为0，p2，ax22－by22＝1 的渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3x．
p
由题意得
2 1＋（
＝2，所以 3）2
p＝8．故
C2
的方程为
线 C2：x32－y2＝1 的右焦点的连线交 C1 于点 M(M 在第一象限)，若 C1 在