小学数学奥林匹克讲义第十六讲

第一讲 圆柱和圆锥的表面积一、知识要点表面积是指物体各个面的面积之和。

在解答有关圆柱、圆锥的表面积问题时，要注意以下几点：1．借助图形仔细辨别表面积包含了哪些具体的面，增加了哪些面，减少了哪些面，要正确运用公式进行解答。

2．把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。

3．有时解决问题过程中，题中一个关键的数量未知时，可借助字母做中介，从而解题。

4．解组合图形表面积时，要整体考虑，仔细观察组合图形各个面之间是否有某种联系，是否可将一些面变形为其他的面。

需要记住的公式：圆柱体的侧面积=2πRh 圆柱体的表面积=2πRh+2πR 2=2πR （h+R ）二、精选例题：例1:有一块方木，横截面为正方形，边长4分米，相当于长的101，根据现有木料要加工成最大的圆柱体，则此圆柱体的表面积是多少？【思路点拨】例2:用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米? （3π=）【思路点拨】例3: 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？【思路点拨】例4:将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。

求这个物体的表面积。

【思路点拨】例5:一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．【思路点拨】例6:一段圆柱体木料，如果截成两段，其表面积增加6.28平方厘米，如果沿着直径劈成两个半圆柱体，其表面积增加40平方厘米。

求此圆柱体的表面积。

【思路点拨】例7:从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体。

求这个几何体的表面积。

【思路点拨】例8:如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积．【思路点拨】练习：1、一个长方形的长8厘米，宽4厘米，以长方形的长为轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的表面积是多少？2、有一个底面直径6厘米，高5厘米的圆柱体，沿着上下底面的圆心的连线切开后，它的表面积增加了多少平方厘米？3、如图是一顶帽子。

六年级数学-奥数精品讲义16讲目 录第1讲 定义新运算第2讲 简单的二元一次不定方程第3讲 分数乘除法计算第4讲 分数四则混合运算第5讲 估算第6讲 分数乘除法的计算技巧第7讲 简单的分数应用题【1】第8讲 较复杂的分数应用题【2】第9讲 阶段复习与测试【略】第10讲 简单的工程问题第11讲 圆和扇形第12讲 简单的百分数应用题第13讲 分数应用题复习第14讲 综合复习【略】第15讲 测试【略】第16讲 复杂的利润问题【2】第一讲 定义新运算在加，减，乘，除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。

在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。

例1；如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？例2；如果A#B 表示3B A + 照这样的规定，6#【8#5】的结果是多少？例3；规定YX XY Y X +=∆ 求2Δ10Δ10的值。

例4；设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N【1】计算【14 *10】*6【2】计算 【58*43】 *【1 *21】例5；如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-【A+B 】求【1】10¤7【2】【5¤3】¤4【3】假设2¤X=1求X例6；设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞【X ∞ 1/4】的值是多少？例7；规定X*Y=XY Y AX +，且5*6=6*5则【3*2】*【1*10】的值是多少？例8；▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++=∇11 已知3211212112=+++=∇））（（A 那么20088▽2009=？巩固练习1·已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推【1】3▽2 【2】5▽3【3】1▽X=123，求X的值2·已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7计算【1】【4△2】+【5△3】【2】【3△5】÷【4△4】3·如果A*B=3A+2B，那么【1】7*5的值是多少？【2】【4*5】*6 【3】【1*5】*【2*4】4·如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A<B，那么｛A，B｝=B；试求【1】｛8，0，8｝【2】｛｛1，9，1，901｝1，19｝5·N为自然数，规定F【N】=3N-2 例如F【4】=3×4-2=10试求；F【1】+F【2】+F【3】+F【4】+F【5】+……+F【100】的值6·如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……1×2×3×4×……×100=100!那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几？【第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题】7·若“+·-·×·÷·=·【】”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。

小学数学奥数基础教程(五年级) --第16讲本教程共30讲巧算24同学们可能都玩过“数学24”的游戏，它把枯燥的基本数字计算变得趣味盎然，能大大提高计算能力和速度，使得思维灵活敏捷，是一种寓教于乐的智力竞赛游戏。

游戏规则：给定四个自然数，通过+，-，×，÷四则运算，可以交换数的位置，可以随意地添括号，但规定每个数恰好使用一次，连起来组成一个混合运算的算式，使最后得数是24。

“数学24”游戏通常是用扑克牌进行的，此时，给定的四个自然数就被限定在1～13范围内了。

“数学24”游戏可以1个人玩，也可以多个人玩，比如四个人玩，把扑克牌中的大、小王拿掉，剩下的52张牌洗好后，每人分13张，然后每人出一张牌，每张牌的点数代表一个自然数，其中J，Q，K分别代表11，12和13，四张牌表示四个自然数。

谁最先按游戏规则算出24，就把这四张牌赢走。

然后继续进行。

最后谁的牌最多谁获胜。

要想算得又快又准，这就要靠平时的基本功了。

最重要的有两条：一是熟悉加法口诀和乘法口诀，二是利用括号。

括号既能改变运算顺序，也可以改变运算符号。

请用下面例题中给出的四个数，按规则算出24。

例1 3，3，5，6。

解一：根据3×8=24，3已有，将另三个数凑成8，得3×（5+6-3）=24。

解二：根据6×4=24，6已有，将另三个数凑成4，得6×（5-3÷3）=24或6×（3×3-5）=24。

解三：还是根据3×8=24，把3和8各分成两数，得（6-3）×（3+5）=24。

解四：先把其中两数相乘，积不足24的用另两数补足，得3×5+3+6=24。

解五：先把其中两数相乘，积超过24的用另两数割去，得5×6-3-3=24。

例2 2，2，4，8。

解一：根据8×3=24，得8×[（2+4）÷2]=24或8×（4-2÷2）=24。

知识要点：小朋友,你知道吗?一些物体分成同样多的两份，其中一份就是总数的一半。

已知一半求总数，只要用一半数再加一半数就是总数。

当出现连续几次一半，要仔细分辨，正确计算总数。

[ 例 1 ] 爸爸买了一些草莓，小明吃了一半后，还剩下 6 个，爸爸买了多少个草莓？
分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下 6 个与吃了的同样多，说明吃了的一半也是 6 个。

因而原来一共有
6+6=12（个）。

所以，爸爸买了 12 个草莓。

[ 例 2] 妈妈有 14 颗奶糖，分给小星和小丹各一半，他们各得
分析：根据题意，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，说明妈妈和爸爸分的一样多，妈妈得了3 个，爸爸也就得3 个，妈妈和爸爸一共6 个。

又因为小明拿走一半，妈妈和爸爸拿走另一半，说明妈妈和爸爸拿走的与小明拿走的一样多。

所以小明拿走的是6 个苹果，小明拿走的与妈妈和爸爸拿走的和起来就是篮里原来一共有的苹果，6+6=12（个），篮里原来有12个苹果。

五年级奥数第16课教案授课时间：2016 年2 月27 日时段10:00 －12:00 第（16）次课授课地点：任课教师上课学生课程名称列方程解应用题（一）教学目的掌握用字母来代替未知数，根据等量关系，列出含有未知数的等式教学重点未知数直接参加运算的技巧教学难点教学过程列方程解应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程。

而找出等量关系，又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。

掌握了这两点，就能正确地列出方程。

列方程解应用题的一般步骤是：1．弄清题材意，找出未知数，并用x表示；2．找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；3．解方程；4．检验，写出答案。

例题与方法例1．一个数的5倍加上10等于它的7倍减去6，求这个数。

例2．两块地一共100公顷，第一块地的4们比第二块地的3倍多120公顷。

这两块地各有多少公顷？例3．琅琊路小学少年数学爱好者俱乐部五年级有三个班，一班人数是三班人数的1.12倍，二班比三班少3人，三个班共有153人。

三个班各有多少人？例4．被除数与除数的和是98，如果被除数与除数都减去9，那么，被除数是除数的4倍。

求原来的被除数和除数。

练习与思考1．列方程解应用题，有时要求的未知数有两个或两个以上，我们必须视具体情况，设对解题有利的未知数为x，根据数量关系用含有x的式子来表示另一个未知数。

2．篮球、足球、排球各1个，平均每个36元。

篮球比排球贵10元，足球比排球贵8元。

每个排球多少元？3.一次数学竞赛有10道题，评分规定对一道题得10分，错一题倒扣2分。

小明回答了全部10道题，结果只得了76分，他答对了几道题？4．将自然数1—100排列如下表：在这个表里，用长方形框出的二行六个数（图中长方形框仅为示意），如果框起来的六个数的和为432，问：这六个数中最小的数是几？5．拉萨路小学图书馆一个书架上有上、下两层，一共有245本书。

上层每天借出15本，下层每天借出10本，3天后，上、下两层剩下图书的本数一样多。

一年级奥数讲座（一）目录第一讲速算与巧算（一）第二讲速算与巧算（二）第三讲数数与计数（一）第四讲数数与计数（二）第五讲数数与计数（三）第六讲数数与计数（四）第七讲填图与拆数（一）第八讲填图与拆数（二）第九讲分组与组式第十讲自然数串趣题第十一讲不等与排序第十二讲奇与偶第十三讲是与非第十四讲火柴棍游戏（一）第十五讲火柴棍游戏（二）第十六讲火柴棍游戏（三）附录一点、线、角附录二长方形、正方形、三角形和圆附录三多边形和扇形附录四立体图形的认识第一讲速算与巧算（一）一、凑十法：同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用这些结果，可以使计算又快又准。

例1 计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加：1+2=3 3+3=66+4=10 10+5=1515+6=21 21+7=2828+8=36 36+9=4545+10=55这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。

若是利用凑十法，就能克服这种缺点。

二、凑整法同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如：1+19=20 11+9=302+18=20 12+28=403+17=20 13+37=504+16=20 14+46=605+15=20 15+55=706+14=20 16+64=807+13=20 17+73=908+12=20 18+82=1009+11=20又如：15+85=100 14+86=10025+75=100 24+76=10035+65=100 34+66=10045+55=100 44+56=100等等巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。

像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。

例2 计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：例3 计算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做：例4 计算2+13+25+44+18+37+56+75解：用凑整法：三、用已知求未知利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。

第十六讲数论综合提高二本讲知识点汇总：一、约数、倍数1．基本概念(1)如果a能被b整除(也就是b|a),贝U b是a的约数(因数)，a是b的倍数；(2 )约数具有“配对”性质：大约数对应小约数．2．约数个数( 1 ) 分解质因数，指数加1 再相乘；( 2 ) 平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数．3．约数和公式(1 ) 如果一个数的质因数分解式为a2 b3，贝约数和为1 a a2 1 b b2b3；( 2 ) 如果一个数的质因数分解式为a b c2，贝约数和为1 a 1 b 1 c c2；二、公约数、公倍数1．基本概念(1)如果a是若干个数公有的约数，则称a是它们的公约数，其中最大的叫做最大公约数；(2)如果b是若干个数公有的倍数，则称b是它们的公倍数，其中最小的叫做最小公倍数；(3)公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数．2．计算方法( 1 ) 短除法；(2)分解质因数法；(3)辗转相除法(只用于计算两个数的最大公约数) ．3．基本性质(1) a b a,b a, b ；(2)两个数的最大公约数是它们和或差的约数；(3)已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来：例如，甲、乙的最大公约数是5,则可以把甲乙分别设为5a和5b,其中a、b 互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab．4．两个最简分数的最大公约数、最小公倍数：a c a,c ；a c a,c—, - ---------- > —5 ------------b d b,d b d b,dI经典题型一、约数、倍数1. 约数的配对思想；2. 约数个数与完全平方数的关系；3. 求约数个数；4. 求约数的和；5. 利用约数个数反推原数的质因数分解形式.二、公约数、公倍数1. 基本计算；2. 带有应用题背景的公约数公倍数计算；3. 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题;4. 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配.例1.庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律.练习1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关.现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关.已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……,依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数•如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的?例2．一个数有15 个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」根据约数个数公式分析出含有15 个约数的数的分解质因数形式．练习2、有10个约数的自然数最小是多少？有8 个约数的最小的奇数是多少？例3．在35 的倍数中，恰有35 个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式）「分析」所求数一定含有35 的质因数，再结合含有35 个约数的数的分解质因数形式即可找到解题的突破口．练习3、42的倍数中，恰好有42 个约数的数有多少个？例4．三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10 个．那么这三个自然数分别是多少？「分析」把含有8、9、10 个约数的数的分解质因数形式及86400 中个质因数的个数结合在一起进行分析．练习4、三个自然数乘积为5184，且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个、A+2个．那么这三个自然数分别是多少？例5．两个整数的差为7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？「分析」列不定方程求解．例6．大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72 厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60 个脚印．问：这个花圃的周长是多少米？「分析」这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思考一下题中各数据之间的关系．亲和数(Amicable Pair)亲和数是一种古老的数.遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a，b是一对亲和数.相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密•什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我. ”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”•从此，把220和284叫做“亲和数”(也叫“朋友数”或叫“相亲数”)•这就是“亲和数”这个名称的来源.毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获.公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境•数学家们仍然没有找到第二对亲和数.距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数17296和18416,这个发现也重新点燃寻找亲和数的火炬•两年之后，“解析几何之父” 一一法国数学家笛卡尔于1638年3月31日宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584.费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛.在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆. 可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了.正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷. 1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程.时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏一一让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了•这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹.在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数•到了1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位.同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数.电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史，人们利用计算机，可以更有效率的寻找和分析亲和数，但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜，等待着数学家和计算机专家来解决.作业1. 300 共多少个约数？其中有多少个是6 的倍数？有多少个不是4的倍数？2. 把一张长108 厘米,宽84 厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形,且纸无剩余,至少能裁成多少个正方形？3. 一个小于200 的自然数,其最小的三个约数之和是31,那么这个自然数是多少？(请写出所有答案)4. 已知两个三位数M 和N 互为反序数( M>N) ,且它们的最大公约数是6,那么N 最小值是多少？5. 两个自然数的差是5,它们的最小公倍数与最大公约数的差是203,则这两个数的和是多少？第十六讲数论综合提高二例7.答案：5详解：从向东转向南方，可以转3次、7次、11次、15次等，即约数个数是3、7、11、…….100 之内的数的约数个数最多的只有12个（有5个）.有3个约数的是4、9、25、49 ;有7 个约数的是64；有11个约数的数最小是1024 •所以有5名小朋友最后是面朝南方.例&答案：144、324详解：有15个约数的数，质因数分解式为匚14或匚|2口4 .前者最小是214，次小的是3 ,都很大；后者最小的是2 3 ,次小的是3 2 ,这个数最小是144,次小是324.例9.答案：56 74详解：因为35含有质因数5、乙恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这个数最小是5674.例10 . 答案：30 , 36, 80详解：86 4 0 0 2 7 33 5 2, 8 2 2 2 , 9 3 3 , 10 2 5易知所求三个数为30,36, 80.例11 . 答案：23和30详解：两数之差为7,则他们的最大公约数可能为7或1，而689也可被最大公约数整除，所以两数的最大公约数为1,即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为690,易知相差7且乘积为690的两个数为23和30.例12 . 答案：21.6米练习：练习1、答案：1968简答：易知第n号灯被按的次数等于n的约数的个数，如果n号灯被按灭则灯被按了奇数次，即n有奇数个约数，也就是n每个质因子的质数为偶数，即n为完全平方数.易知小于2012的完全平方数有44 个, 所以还有1968 盏灯亮着．练习2、答案：48；105练习3、答案：4032 个简答：因为42含有质因数2、3、7，恰有42个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个数最小是26 32 7 4032练习4、答案：12、16、2764简答：把5184 分解质因数得：5184 2 3，可凑出三个数是12、16、27，质数个数分别是 6 个、5 个、4个作业6. 答案：18, 6, 12简答：通过分解质因数可得答案为18, 6, 12.7. 答案：63简答：正方形边长为108和84的最大公约数12,所以可裁成63个正方形.8. 答案：25, 125, 161简答：首先最小的约数可知为1,则另外两个较小的约数之和为30,可知另外两个较小约数可以是5和25,则答案为25和125; 7和23,则答案为161 ; 11和19,则答案为209; 13和17,则答案为221 .其中小于200的为25, 125, 161.9. 答案：204简答：设这M abc, N cba，则由M和N是6的倍数，可知M N 99(a c)是6的倍数，则a c是2的倍数，又由M是偶数可知，c可能取2、4、6或8,带入尝试可求得N 可以为204, 228, 246, 258, 294, 426, 438, 456, 498, 618, 678,最小的是204.10. 答案：29简答：两数相差5,所以它们的最大公约数为5或1,所以分类讨论可得这两个数为12与17,其和为29.。

昆明五华鹏程培训学校小学奥林匹克数学专用教材初级（上册）第一讲 数字与成语例1 小明在公园里看到一尊石雕像。

小华说：“我能用带数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的成语来描绘这座雕像。

”不妨请你先试试？ 分析 小华说：一声不吭，二目无光，三餐不食，四体不勤，五谷不分，六亲不认，七窍不通，八面威风，久（九）坐不动，十分无用。

例2 举出五个含有数字1的成语。

分析 一穷二白，一贫如洗，一毛不拔，一见如故，一步登天。

练习11、举出含有1，3，5，7，9的成语。

2、中国的诗词歌赋中，有许多与数字有关的名句，你能说出一些吗？3、举出含有十、百、千的成语。

成语是中国语言中常用的词，经过了提炼加工。

成语多数都有一定背景，以四字成语为多，而且有许多与数字相关。

第二讲认识罗马数字现在有一些钟表的盘面上经常出现罗马数字。

例1 用罗马数字写出5，10。

分析阿拉伯数字：5，10；罗马数字：V，X。

例2 用罗马数字写出：12，13。

分析Ⅻ表示X＋Ⅱ，即10＋2=12，所以Ⅻ表示12。

表示X＋Ⅲ，即10＋3=13，所以表示13。

练习21、用罗马数字写出：2，4，6，8，10。

2、计算下列各题：（1）Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（2）Ⅵ-Ⅵ-Ⅱ3、用罗马数字表示8，你有几种不同的方法？第三讲直接数数例如：例1手机号码前7位都相同：1362110，后4位不同的号码共有多少个？分析手机号码共11位，前7位相同，后4位不同，后四位是从0000开始，到9999结束，共有10000个不同的号码。

所以符合题目要求的手相号码共有10000个。

例2数一数，中央电视台有多少个频道？分析到目前为止，带有编号的中央电视台频道有12个，它们分别是：CCTV1、CCTV2……CCTV12，共12个。

共12个。

还有CCTV 新闻、CCTV音乐、CCTV少儿，所以一共是15个频道，以后还会有新的频道出现。

练习31、北京汽车的牌号格式为京A12345，小华看见一辆别致的车，她只记下了前几位是“京A666**”，最后两个数字没有看清楚，请数一数这个车牌号码有多少种可能？2、数一数，你的学校每个年级各有多少个班级？全校一共有多少班？第四讲凑整做加法例1计算：35+16+25分析35+16+25=35+25+16=60+16=76例2计算：36+25+24分析36+25+24=36+24+25=60+25=85练习41、计算：27+28+33 23+29+11+27 28+22+28+52 ２、计算：12+23+31+25 36+27+43+54+20第五讲凑整做减法例1计算：36+45－16－25分析36+45－16－25=36－16＋45－25=20＋20=40例２计算：96－30－26分析 96－30－26=96－26－30=70－30=40练习5１、计算：37－12＋62－17 66-26-22 75-26 ２、计算：80－28－37 96-30-26 38-18-6第六讲 间接数数例1 如果有3个铁环，只许断开其中一个，就可将这3个铁环连成一串，你能办到吗？分析第一步第二步第三步例2 小明班里有30名同学，学号顺序为：1，2，3，4……，29，30。

小学奥数创新体系6年级（上册授课课本） 最新讲义小学奥数第十六讲 数论综合提高二本讲知识点汇总：一、约数、倍数1． 基本概念（1） 如果a 能被b 整除（也就是），则b 是a 的约数（因数），a 是b 的倍数； （2）约数具有“配对”性质：大约数对应小约数． 2． 约数个数（1）分解质因数，指数加1再相乘； （2）平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数． 3． 约数和公式（1） 如果一个数的质因数分解式为，则约数和为； （2）如果一个数的质因数分解式为，则约数和为；二、公约数、公倍数1． 基本概念（1）如果a 是若干个数公有的约数，则称a 是它们的公约数，其中最大的叫做最大公约数；（2）如果b 是若干个数公有的倍数，则称b 是它们的公倍数，其中最小的叫做最小公倍数；（3）公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数． 2． 计算方法（1）短除法； （2）分解质因数法； （3）辗转相除法（只用于计算两个数的最大公约数）． 3． 基本性质（1） ； （2）两个数的最大公约数是它们和或差的约数； （3）已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来： 例如，甲、乙的最大公约数是5，则可以把甲乙分别设为5a 和5b ，其中a 、b互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab ．4． 两个最简分数的最大公约数、最小公倍数：()[],,a b a b a b ⨯=⨯()()()2111a b c c +⨯+⨯++ 2a b c ⨯⨯ ()()22311a a b b b ++⨯+++23a b ⨯ |b a；一、约数、倍数 1． 约数的配对思想；2． 约数个数与完全平方数的关系；3． 求约数个数；4． 求约数的和；5． 利用约数个数反推原数的质因数分解形式．二、公约数、公倍数 1． 基本计算；2． 带有应用题背景的公约数公倍数计算；3． 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题；4． 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配．例1． 庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律．练习1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关．现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……，依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数．如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？经典题型 []()a c a c b d b d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,,, ()[]a c a c b d b d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,例2．一个数有15个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」根据约数个数公式分析出含有15个约数的数的分解质因数形式．练习2、有10个约数的自然数最小是多少？有8个约数的最小的奇数是多少？例3．在35的倍数中，恰有35个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式）「分析」所求数一定含有35的质因数，再结合含有35个约数的数的分解质因数形式即可找到解题的突破口．练习3、42的倍数中，恰好有42个约数的数有多少个？例4．三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10个．那么这三个自然数分别是多少？「分析」把含有8、9、10个约数的数的分解质因数形式及86400中个质因数的个数结合在一起进行分析．练习4、三个自然数乘积为5184，且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个、A+2个．那么这三个自然数分别是多少？例5．两个整数的差为7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？「分析」列不定方程求解．例6．大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印．问：这个花圃的周长是多少米？「分析」这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思考一下题中各数据之间的关系．亲和数（Amicable Pair）亲和数是一种古老的数．遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a，b是一对亲和数．相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密．什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我．”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”．从此，把220和284叫做“亲和数”（也叫“朋友数”或叫“相亲数”）．这就是“亲和数”这个名称的来源．毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获．公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境．数学家们仍然没有找到第二对亲和数．距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数17296和18416，这个发现也重新点燃寻找亲和数的火炬．两年之后，“解析几何之父”——法国数学家笛卡尔于1638年3月31日宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584．费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛．在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆．可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了．正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷．1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程．时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏——让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了．这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹．在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数．到了1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位．同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数．电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史，人们利用计算机，可以更有效率的寻找和分析亲和数，但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜，等待着数学家和计算机专家来解决．作业1.300共多少个约数？其中有多少个是6的倍数？有多少个不是4的倍数？2.把一张长108厘米，宽84厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且纸无剩余，至少能裁成多少个正方形？3.一个小于200的自然数，其最小的三个约数之和是31，那么这个自然数是多少？（请写出所有答案）4.已知两个三位数M和N互为反序数（M>N），且它们的最大公约数是6，那么N最小值是多少？5.两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？。