插值与多项式逼近的数组计算方法实验讲解

实验报告：函数逼近&插值多项式补充1 2k 1问题1 :对于给函数f (x) 2，取点X k cos , k取0, 1,…，n。

n取101+25x 2n 2或20。

试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。

1 问题2 :对于给函数f(x) 2在区间卜1，1］上取x i=-1+0.2i ------------------------------------------ (i=0,1,2,…,10)，试求31+25x次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。

实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。

应用所编程序解决实际算例。

实验要求：1 .认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2. 编写相关程序并进行实验；3. 调试程序，得到最终结果；4. 分析解释实验结果；5. 按照要求完成实验报告。

实验原理：详见《数值分析第5版》第二章、第三章相关内容。

实验内容：(1)问题1 :这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。

当n=10时，代码为：clear allclck=0:10;n=len gth(k);x1=cos((2*k+1)/2/n*pi);y1=1./(1+25.*x1.A2);f=y1(：);for j=2: nfor i=n :-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2: nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));P(i)=f(i)*F(i)；end syms P P=sum(p);P10=vpa(expa nd(P),5); xO=-1:O.OO1:1; yO=subs(P,x,xO);y2=subs(1/(1+25*x A 2),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel('x') ylabel('y')由 此 我 们 可 以 得 到P i0(x)=-46.633*xA10+3.0962e-14*xA9+130.11*xA8-7.2714e-14*xA7-133.44*xA6+7.1777e- 14*xA5+61.443*xA4-1.5805e-14*xA3-12.477*xA2-1.6214e-16*x+1.0并可以得到牛顿插值多项式在 [-1 , 1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig. 1。

插值法在数值分析中的教学实践
在数值分析中，插值法是一种通过已知数据点来求解函数的方法。

它的基本思想是通过使用多项式来逼近目标函数，并通过插值法的公式来计算出多项式的系数。

在教学实践中，可以通过以下几个步骤来帮助学生理解插值法：
1.讲解插值法的基本概念：首先，要向学生讲解插值法的基
本概念，包括什么是插值法、它的作用是什么、什么时候
使用插值法等。

2.给出插值法的公式：其次，要向学生讲解插值法的公式，
并给出相应的推导过程。

3.讲解插值法的应用：然后，要向学生讲解插值法的应用，
包括常用的插值法（如牛顿插值法、拉格朗日插值法等）
的原理、优缺点、使用场景等。

4.给出插值法的实例：最后，要向学生给出插值法的实例，
让学生通过自己动手解决问题来加深对插值法的理解。

通过上述步骤，学生就能够更好地理解插值法的原理和应用，并能够在实际的数值分析中使用插值法来解决问题。

此外，在教学实践中，还可以通过以下几点来进一步提升学生对插值法的理解：
1.引入多项式拟合的概念：可以向学生讲解多项式拟合的概
念，并让学生了解多项式拟合与插值法的关系。

2.讲解插值法的精度问题：可以向学生讲解插值法的精度问
题，包括插值法的精度如何影响函数的拟合效果，以及如
何选择合适的插值法来提高精度等。

3.讲解插值法的应用限制：可以向学生讲解插值法的应用限
制，包括插值法不能用于拟合某些类型的函数，以及插值
法对函数的连续性要求等。

通过上述方式，学生就能够更全面地了解插值法，并能够在实际的数值分析中更熟练地使用插值法来解决问题。

三次样条插值与多项式拟合的关系《三次样条插值与多项式拟合的关系》一、简介在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。

三次样条插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。

它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。

二、三次样条插值的原理与方法三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三次插值多项式的方法。

它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。

这样可以保证整个插值曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接点处有相同的函数值和导数值。

三次样条插值不仅可以实现较高的插值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。

三、多项式拟合的原理与方法多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。

常见的拟合方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。

多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。

四、三次样条插值与多项式拟合的关系在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。

可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。

多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。

可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。

五、个人观点和理解在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。

对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。

了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。

多项式插值与数值逼近理论多项式插值和数值逼近是数学分析领域中重要的数值计算方法，在科学计算、数据处理和图像处理等领域具有广泛应用。

本文将介绍多项式插值和数值逼近的基本概念、方法和应用。

一、多项式插值多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使该函数在给定点处的函数值与真实值尽可能接近的方法。

插值多项式通过在已知数据点之间“填充”适当的多项式函数，从而实现对未知函数的近似估计。

1.1 基本定义给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，其中x0<x1<...<xn，多项式插值的目标是找到一个n次多项式 P(x)，使得P(xi) = yi 对于所有的 i=0,1,...,n 成立。

1.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常用的多项式插值方法。

给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( yi * li(x) )其中li(x) = ∏[j=0,n,j≠i]( (x-xj)/(xi-xj) )，称为拉格朗日基函数。

1.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。

给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，牛顿插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( ci * Ni(x) )其中Ni(x) = ∏[j=0,i-1]( x-xj )，ci 是插值节点上的差商。

二、数值逼近数值逼近是一种利用已知数据点来估计未知函数的方法，数值逼近的目标是找到一个函数近似值，使其与真实值之间的差别尽可能小。

数值逼近可以通过多项式逼近、三角函数逼近等方法实现。

2.1 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值逼近方法。

给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，最小二乘逼近的目标是找到一个 m 次多项式 P(x)，使得P(x) = ∑[i=0,m]( ai * φi(x) )，其中 ai 是待确定的系数，φi(x) 是 m 个已经确定的基函数。

1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。

(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。

1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。

1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。

可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。

多项式逼近和插值多项式逼近和插值是计算数学中的两个基本概念，它们是求一定准确度下函数近似值所必须采用的数值方法。

多项式逼近是指用低阶多项式逼近原函数，插值是利用已知数据点在插值区间内构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。

它们的应用范围很广，包括科学工程计算、图像处理、信号处理等领域。

下面介绍它们的原理和应用。

一、多项式逼近当我们需要用低阶多项式逼近原函数时，可以采用最小二乘法。

最小二乘法是一种在数据拟合中广泛使用的方法，通过将误差的平方和最小化来确定函数的系数。

假设给定函数$f(x)$及其在$n+1$个采样点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$处的值，我们要用一个$m$次多项式$p_m(x)$去逼近$f(x)$。

我们可以将$p_m(x)$表示为$p_m(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_mx^m$，则函数的误差可以表示为$E(a_0,a_1,...,a_m)=\sum_{i=0}^n [f(x_i)-p_m(x_i)]^2$，通过最小化误差函数来确定多项式系数$a_0,a_1,...,a_m$。

最小二乘法可以用线性代数和矩阵计算方法求解。

最小二乘逼近是一种非常有效的数据拟合方法，并且有许多实际应用。

例如，在金融领域中，我们可以用该方法来估计股票期权价格；在图像处理中，我们可以用该方法实现图片的平滑处理和降噪处理。

二、插值插值是利用已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。

插值法可分为以下两种情况：一是利用拉格朗日插值公式，将函数表示为已知节点函数的线性组合；二是利用牛顿插值公式，基于差商的思想构造插值多项式。

两种方法的计算效果是相同的，但在计算机实现过程中，两者有些微小的差别。

在实际应用中，插值方法常常用于图像处理、信号处理、数值微分和数值积分等问题，例如，在金融领域中，也可以利用插值方法对期权的未来价格进行预测。

插值与多项式逼近的数组计算方法实验郑发进 2012042020022【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如）cos，x e，它们（x（xsin，）是用多项式逼近来计算的。

虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。

在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。

构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。

关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近一、实验目的1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。

2.比较各插值方法的优劣并掌握。

二、实验原理1.泰勒级数在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

具有任意阶导数，则幂级数如果在点x=x处的泰勒级数。

称为在点x=0，得到的级数在泰勒公式中，取x称为麦克劳林级数。

函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。

2.拉格朗日插值法如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。

这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。

数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。

在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。

作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得最后可得3.牛顿插值法插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

拉格朗日插值实验报告拉格朗日插值实验报告引言：拉格朗日插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来逼近这些数据点。

该方法在科学计算、数据处理和图像处理等领域中被广泛应用。

本实验旨在通过实际操作和计算，深入了解拉格朗日插值的原理和应用。

实验目的：1. 理解拉格朗日插值的原理和基本思想；2. 学会使用拉格朗日插值方法进行数据逼近；3. 掌握拉格朗日插值的优缺点及适用范围。

实验步骤：1. 收集一组已知数据点，包括自变量和因变量；2. 根据数据点，构造拉格朗日插值多项式；3. 利用插值多项式，计算给定自变量对应的因变量；4. 分析插值结果的准确性和逼近程度。

实验结果与分析：在实验中，我们选取了一组简单的数据点进行拉格朗日插值的计算和分析。

数据点包括自变量x和因变量y，如下所示：x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |y | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 |根据这组数据点，我们构造了拉格朗日插值多项式：L(x) = y₀ * L₀(x) + y₁ * L₁(x) + y₂ * L₂(x) + y₃ * L₃(x) + y₄ * L₄(x)其中，L₀(x)，L₁(x)，L₂(x)，L₃(x)，L₄(x)分别是拉格朗日插值多项式的基函数，计算公式如下：L₀(x) = (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₃) * (x - x₄) / (x₀ - x₁) * (x₀ - x₂) * (x₀- x₃) * (x₀ - x₄)L₁(x) = (x - x₀) * (x - x₂) * (x - x₃) * (x - x₄) / (x₁ - x₀) * (x₁ - x₂) * (x₁- x₃) * (x₁ - x₄)L₂(x) = (x - x₀) * (x - x₁) * (x - x₃) * (x - x₄) / (x₂ - x₀) * (x₂ - x₁) * (x₂- x₃) * (x₂ - x₄)L₃(x) = (x - x₀) * (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₄) / (x₃ - x₀) * (x₃ - x₁) * (x₃- x₂) * (x₃ - x₄)L₄(x) = (x - x₀) * (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₃) / (x₄ - x₀) * (x₄ - x₁) * (x₄- x₂) * (x₄ - x₃)通过计算，我们可以得到给定自变量x对应的因变量y的逼近值。

数值计算插值法实验报告
一、实验目标
本实验的目标是学习和掌握插值法的基本原理，通过实际操作，验证插值法的有效性，并利用插值法解决实际问题。

二、实验原理
插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点，构造一个连续的函数来近似地表示未知的函数值。

常用的插值法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。

其中，多项式插值是一种常用的方法，其基本思想是选择一个多项式来逼近已知的数据点，从而得到未知点的近似值。

三、实验步骤
1.准备数据：收集一组已知的数据点，并将其整理成表格形式。

2.选择插值方法：根据实际情况选择适当的插值方法，如线性插值、多项式插值或样条插值等。

3.计算插值函数：根据选择的插值方法，利用已知的数据点计算插值函数的系数。

4.验证插值函数：利用已知的数据点对插值函数进行验证，检查其精度和误差。

5.应用插值函数：利用插值函数计算未知点的近似值，并将结果与实际值进行比较。

四、实验结果及分析
下面是本次实验的结果及分析：
1.已知数据点：。

初识插值法和逼近法插值法和逼近法是数值分析领域中常用的数值逼近方法。

两者在数学和工程领域均有广泛的应用。

本文将会介绍插值法和逼近法的基本原理、常用方法以及应用实例等内容。

一、插值法1. 插值法的基本原理插值法是利用一系列已知数据点，通过构造一个适当的函数来近似代替这些数据点之间未知函数的数值。

插值方法的基本思想是通过已知数据点的数值来推导出未知函数在数据点之间的数值，从而利用得到的函数对其他未知数据进行估计预测。

2. 常用插值方法（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

通过构造一个多项式函数，使其经过已知数据点，从而利用该多项式函数来逼近未知函数。

（2）牛顿插值法：牛顿插值法也是一种基于多项式的插值方法。

它通过构造一个递推公式，逐步逼近未知函数。

（3）样条插值法：样条插值法是一种相对较为复杂的插值方法。

它将函数划分为多个小区间，并在每个区间上构造一个低次多项式，利用这些多项式来逼近真实函数。

3. 插值法的应用实例插值法在工程和科学领域有广泛应用。

例如，在图像处理中，插值法常用于图像的放大和缩小。

在地理信息系统中，插值法可用于构建高程模型。

此外，插值法还在金融领域中用于利率曲线的估计等。

二、逼近法1. 逼近法的基本原理逼近法是指通过选择一个适当的函数类，使其与所需逼近的函数相似，从而用该函数类逼近未知函数。

逼近方法的基本思想是通过一些已知的函数，找到一个最接近未知函数的函数。

2. 常用逼近方法（1）最小二乘逼近法：最小二乘逼近法是一种通过最小化残差平方和来逼近未知函数的方法。

它通过构造一个最优解，选择一个函数类，使其与未知函数的残差平方和最小。

（2）离散逼近法：离散逼近法是一种基于离散数值数据的逼近方法。

它通过选择一个函数类，在已知数据点上的函数值与未知函数在这些数据点上的函数值之间的差异最小。

3. 逼近法的应用实例逼近法在信号处理、数据拟合和函数逼近等领域有广泛应用。

例如，在信号处理中，逼近法可用于去除噪声信号。

实验项目八多项式与插值学院：信息科学与工程学院专业： 14自动化姓名：苑志琪学号： 146140048指导教师：应祥岳-1-一、实验内容1 多项式1.1 多项式的根找出多项式的根，即多项式为零的值，可能是许多学科共同的问题。

MATLAB 求解这个问题，并提供其它的多项式操作工具。

在在 MATLAB 里，多项式是由一其系数行向量表示，它的系数是按降序排列里，多项式是由一其系数行向量表示，它的系数是按降序排列。

例如，输入多项式 x 4 －12x 3 ＋0x 2 ＋25x＋116» p=[1 -12 0 25 116]p =1 -12 0 25 116注意，必须包括具有零系数的项。

除非特别地辨认，MATLAB 无法知道哪一项为零。

给出这种形式，用函数 roots 找出一个多项式的根。

» r=roots(p)r =11.74732.7028-1.2251 + 1.4672i-1.2251 - 1.4672i因为在 MATLAB 中，无论是一个多项式，还是它的根，都是向量，MATLAB 按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。

知道一个多项式的根后，也可以构造相应的多项式在MATLAB 中，命令 poly 执行这个任务。

» pp=poly(r)pp =1.0e+002 *Columns 1 through 40.0100 -0.1200 0.0000 0.2500Column 51.1600 + 0.0000i» pp=real(pp) %throw away spurious imaginary partpp =1.0000 -12.0000 0.0000 25.0000 116.0000因为 MATLAB 无隙地处理复数，当用根重组多项式时，如果一些根有虚部，由于截断误差，则 poly 的结果有一些小的虚部，这是很普通的。

消除虚假的虚部，如上所示，只要使用函数 real 函数抽取实部。

1. 实验项目名称：插值法与拟合2. 实验目的：熟悉插值法与拟合的步骤，并用计算机实现3. 实验内容：a.已知函数在下列各点的值为试用4次牛顿插值多项式P(x)及三次样条函数S （x)对数据进行插值，用图给出{(,),0.20.08,0,1,11,10}i i i x y x i i =+=,P(x)及S （x ）b. 在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙格函数21()125f x x=+；做多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及f(x)的图形。

可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。

（1）用这9个点做8此多项式插值8()L x 。

（2）用三次样条（第一边界条件）程序做S(x)。

[0,64]从结果看在[0,64]上，哪个插值更精确，在区间[0,1]，两种插值哪个更精确？试求3次，4次多项式的曲线拟合，再根据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。

4. 实验环境：matlab r2010b5. 实验过程与分析：a一．实验原理N 次牛顿插值多项式可表示为：P n x =f x 0 +f x 0,x 1 x −x 0 +f x 0,x 1,x 2 x −x 0 x −x 1 +⋯+f [x 0,x 1,…,x n ](x −x 0)…(x −x n−1)三次样条函数的表达式为：S x=M j (x j+1−x)36ℎj+M j+1(x−x j)36ℎj+ y i−M jℎj26x j+1−xℎj + y i+1−M j+1ℎj26x−x jℎj, j=1,2,…,n−1.自然边界条件：S′′x0=S′′x n=0.第一边界条件：S′x0=f0′，S′x n=f n′.二.源程序○1主函数：clcsyms x;p=Newton(X,Y);t1=0.2:0.01:1;y1=subs(p,x,t1);subplot(2,2,1)plot(t1,y1);title('牛顿插值');t2=[0.2 0.28 1 1.08];y2=subs(p,x,t2);subplot(2,2,2)plot(t2,y2,'+');title('题中要求的点')subplot(2,2,3)q=spline2(X,Y,0,0);title('自然边界三次样条插值')subplot(2,2,4)plot(t1,y1);hold onplot(t2,y2,'+');q=spline2(X,Y,0,0);title('在一个图中显示')hold off○2Newton插值子函数：function P=Newton(X,Y,t)if (size(X,2)~=size(Y,2))disp('d do not agree')elsek=size(X,2);endsyms x ;P=Y(1,1);C=chashang(X,Y);fori=1:(k-1);a=1;for j=1:ia=a*(x-X(j));endP=P+C(1,i)*a;endifnargin==3P=subs(P,x,t);elseP=collect(P,x);endend○3求差商的子函数：function c=chashang(X,Y)k=size(X,2);c=zeros(1,(k-1));fori=1:(k-1)a=0;for i1=1:(i+1)b=1;for i2=[1:(i1-1),(i1+1):(i+1)]b=b*(X(1,i1)-X(1,i2)); enda=a+Y(1,i1)/b;endc(1,i)=a;endend○4第二种求差商的子函数：function c=chashang(X,Y)k=size(X,2);c=zeros(1,(k-1));fori=1:(k-1)a=0;for i1=1:(i+1)b=1;for i2=[1:(i1-1),(i1+1):(i+1)]b=b*(X(1,i1)-X(1,i2));enda=a+Y(1,i1)/b;endc(1,i)=a;endend○5三次样条插值子函数(二阶导边界)：function S=spline2(X,Y,d2x1,d2xk)if(length(X)~=length(Y))disp('d do not agree')elsek=length(X);A=diag(2*ones(1,k));u=zeros(k-2,1);v=zeros(k-2,1);d=zeros(k,1);h=zeros(k-1,1);fori=1:(k-1)h(i)=X(i+1)-X(i);endfori=1:k-2u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));v(i)=1-u(i);d(i+1)=6*((Y(i+2)-Y(i+1))/h(i+1)-(Y(i+1)-Y(i))/h(i))/(h(i+1)+h(i)); endfori=1:k-2A(i+1,i)=u(i);endfori=2:k-1A(i,i+1)=v(i-1);endd(1)=2*d2x1;d(k)=2*d2xk;M=A\d;syms x;S=[x];fori=1:k-1s=M(i)*(X(i+1)-x)^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+M(i+1)*(x-X(i))^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+(Y(i)-M(i)*((X(i+1)-X(i))^2)/6)*(X(i+1)-x)/(X(i+1)-X(i))+(Y(i+1)-M(i+1)*((X(i+1)-X(i))^2)/6)*(x-X(i))/(X(i+1)-X(i));Sx=collect(s,x);S(i)=vpa(Sx,6);t=X(i):0.01:X(i+1);Sx=subs(Sx,x,t);plot(t,Sx,'red');hold on;endplot(X,Y,'*');hold off;endendb ．一．实验原理：N 次拉格朗日插值多项式为：L n x = y k l k (x )n k =0= y kωn +1(x )(x −x k )ωn +1′(x k )nk =0011011()()()()()()()()() (0,1,,)k k n k k k k k k k n x x x x x x x x l x x x x x x x x x k n -+-+----=----=二．源程序：○1主函数：(以10等分为例，20等分只需将10改为20) clcsyms x;X=[-1:0.01:1]Y=1./(1+25*X.^2);subplot(221)plot(X,Y);title('原图')x1=linspace(-1,1,10);y1=1./(1+25*x1.^2);subplot(222)spline2(x1,y1,0,0);hold onplot(X,Y);title('三次样条插值和原图')hold offL=Lagrange(x1,y1);L=subs(L,x,X);subplot(223)plot(X,L);title('Lagrange插值和原图')hold onplot(X,Y);hold offsubplot(224)plot(X,Y);hold onplot(X,L);spline2(x1,y1,0,0);title('Lagrange插值，三次样条插值和原图') hold off○2Lagrange子函数：function L=Lagrange(X,Y,t)if(length(X)~=length(Y))disp('d do not agree');elsek=length(X);syms x;L=0;w=1;for j=2:kw=w*(x-X(j))/(X(1)-X(j));endL=Y(1)*w;fori=2:k-1w=1;for j=[1:(i-1),(i+1):k]w=w*(x-X(j))/(X(i)-X(j));endL=L+Y(i)*w;endw=1;for j=1:k-1w=w*(x-X(j))/(X(k)-X(j));endL=L+Y(k)*w;endifnargin==3L=subs(L,x,t);elseL=vpa(collect(L,x),6);endend○3三次样条函数：同a中的三次样条函数c源程序：○1主函数clcsyms x;L=Lagrange(X,Y);x0=0:0.5:64;y0=sqrt(x0);subplot(2,2,1)plot(x0,y0);title('y=sqrt(x)的和L8(x)在[0,64]图')hold onL1=subs(L,x,x0);plot(x0,L1);hold offsubplot(2,2,2)plot(x0,y0);title('y=sqrt(x)的和三次样条在[0,64]图')hold onS=spline1(X,Y,1,15);hold offsubplot(2,2,3)plot(x0,y0)title('三个曲线在[0,64]图')hold onplot(x0,L1);spline1(X,Y,1,15);hold offsubplot(2,2,4)x1=[0:0.01:1];y1=sqrt(x1);plot(x1,y1);title('三个曲线在[0,1]图')hold onL2=subs(L,x,x1);plot(x1,L2,'black')s=subs(S(1),x,x1);plot(x1,s,'red')hold off○2spline2子函数function S=spline1(X,Y,d1x1,d1xk)if(length(X)~=length(Y))disp('d do not agree')elsek=length(X);A=diag(2*ones(1,k));u=zeros(k-2,1);v=zeros(k-2,1);d=zeros(k,1);h=zeros(k-1,1);fori=1:(k-1)h(i)=X(i+1)-X(i);endfori=1:k-2u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));v(i)=1-u(i);d(i+1)=6*((Y(i+2)-Y(i+1))/h(i+1)-(Y(i+1)-Y(i))/h(i))/(h(i+1)+h(i));endfori=1:k-2A(i+1,i)=u(i);Endfori=2:k-1A(i,i+1)=v(i-1);endd(1)=6/h(1)*((Y(2)-Y(1))/h(1)-d1x1);d(k)=6/h(k-1)*(d1xk-(Y(k)-Y(k-1))/h(k-1));M=A\d;syms x;S=[x];fori=1:k-1s=M(i)*(X(i+1)-x)^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+M(i+1)*(x-X(i))^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+(Y(i)-M(i)*((X(i+1)-X(i))^2)/6)*(X(i+1)-x)/(X(i+1)-X(i))+(Y(i+1)-M(i+1)*((X(i+1)-X(i))^2)/6)*(x-X(i))/(X(i+1)-X(i));Sx=collect(s,x);S(i)=vpa(Sx,6);t=X(i):0.01:X(i+1);Sx=subs(Sx,x,t);plot(t,Sx,'red');hold on;plot(X,Y,'*');endhold off;endendd实验原理：用正交函数作最小二乘拟合：00 (),,(){}()(0,1,,), 0, , (,)()((),()) (5.8) , ,n i i m j k i j i k i i k x x x x i m i k x x x A i k φφωφφωφφ==≠⎧==⎨=⎩∑ 设是关于点集带权的正交函数族即满足**2002*(,) ()()(), (5.9)|||| (,)/(,).n nk n k kk k k k k k k k f s x a x x a f φφφφφφφ=====∑∑ 其中 ()222*220 ||||||||.n k k k f A a ==-∑δ均方误差01101111111()1 ()()()()()()(), (5.10)(,)/(,),(,)/(,) k k k k k k k k k k k k k k k p x p x x p x p x x p x p x xp p p p p p p p ααβαβ++-+--=⎧⎪=-⎨⎪=--⎩==首项系数为时，有递推关系，，其中，1,2,, 1.k n =-源程序：○1主函数 clcsubplot(2,2,1)plot(X,Y,'*')title('三次最小二乘拟合')hold onsyms x;t=0:0.01:1;l= LSM(X,Y,3);L1=subs(l,x,t);plot(t,L1);hold offsubplot(2,2,2)plot(X,Y,'*')title('四次最小二乘拟合')hold onl= LSM(X,Y,4);L2=subs(l,x,t);plot(t,L2);hold offsubplot(2,2,3)plot(X,Y,'*')title('在一张图中显示')hold onplot(t,L1,'red');plot(t,L2);hold offsubplot(2,2,4)plot(X,Y,'*')hold onspline2(X,Y,0,0)title('自然边界三次样条插值函数')hold off○2三次样条函数(自然边界)子程序：同“实验一”中的spline2 6.实验结果总结：a.实验结果：实验结果总结：三次样条函数和牛顿插值对这5个点的插值效果比较接近。

函数的插值与多项式近似计算1. 实验描述计算机中常常要用到库函数，sin(x),cos(x)和e x ,它们是用多项式逼近来计算的。

常见的多项式逼近方法有泰勒级数、拉格朗日逼近、牛顿多项式等。

在求解不同的问题时，采用不同逼近方法或同一种方法不同阶数都会对逼近结果造成影响。

好的方法可以降低误差优化计算。

2. 实验内容比较对函数f(x)=tan(x)的逼近：计算N=9的多项式计算及误差比较;要求：1.用泰勒多项式逼近；2.拉格朗日多项式逼近；3.牛顿多项式逼近；4.帕德逼近。

3. 实验结果及分析泰勒多项式逼近：设f ∈C N+1[a,b]，而x 0∈[a,b]是固定值。

如果x ∈[a,b]，则有f x =P N x +E N (x )其中P N x 为用来近似f x 的多项式：f x ≈P N x = f k x 0 k !N k =0(x −x 0)k 误差项E N (x )形如E N (x )=f N +1 c N +1 ! x −x 0 N +1，c 为x 和x 0的某个值c =c x 。

令w=tan(x)，则泰勒展开的9项式为：P = x+1/3*x^3+2/15*x^5+17/315*x^7+62/2835*x^9用泰勒展开逼近其绝对误差b=|F-P|，相对误差c=b/|F| 由图（1）得在区间从-1到1之间泰勒展式能很逼近tan （x ），误差基本为零。

但随着x的变化，绝对误差和相对误差都变大，失去逼近效果。

红线为tan （x ），蓝线为P图（1）绝对误差相对误差拉格朗日多项式逼近：设f ∈C N+1[a,b]，且x 0,x 1,…,x N ∈[a,b]为N+1个节点。

如果x ∈[a,b]，则f x =P N x +E N (x )其中P N x 是可以用于逼近f(x)的多项式：f x ≈P N x = f (x k )L N ,k Nk =0x误差项E N (x )形如E N (x )= x −x 0 x −x 1 … x −x N f N +1 c N +1 ！c =c x 为区间[a,b]内的某个值。