计算方法-插值方法实验

1.1 问题的提法
1. 插值问题 函数y=f(x)给出一组函数值 yi f ( xi ) ,
x: y: x0 x1 x2 …… xn y0 y1 y2 …… yn
i 0,1,, n
其中x0 ,x1,x2 ,…,xn是区间[a,b]上的互异点，要构造一个简 单的函数 p(x) 作为f (x)的近似表达式，使满足 p(xi ) yi , i 0,1, ,n (插值原则、插值条件 ) 这类问题称为插值问题。 p(x)-----f (x)的插值函数, f (x) -----被插值函数 x0 ,x1,x2 ,…,xn -----插值节点 求插值函数的方法称为插值法。 若x∈[a,b]，需要计算f (x) 的近似值p(x),则称 x为插值点。
同理可得
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x) ( x2 x0 )( x2 x1 )
于是求得
p2 ( x) y0 l0 ( x) y1l1 ( x) y2 l2 ( x)
1 线性插值----n=1时的代数多项式插值
已知f(x0 )=y0 ，f(x1)=y1 , x0≠x1 要构造线性函数 p1(x) ,使它满足插值条件 p1(x0)=y0 , p1(x1)=y1 .
x y x0 y0 x1 y1
y1 y0 p1 ( x ) y0 ( x x0 ) （线性插值多项式） x1 x0 x x0 x x1 p1 ( x ) y0 y0 y0 l0 ( x ) y1 l1 ( x ) x0 x1 x1 x （拉格朗日线性插值多项式）
且lj (x) (j=0,1,2)，是一个二次函数.

插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。

它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。

本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。

二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。

三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。

四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。

五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。

六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。

实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。

实验3 插值法与数值积分一、实验目的（1）掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法。

（2）掌握数值积分常用算法：逐次分半梯形公式求积。

（3）记录运行结果，回答问题，完成实验报告。

二、实验内容思考问题：插值多项式是否阶次越高越好？数值积分与插值的关系是什么？逐次分半梯形公式求积如何判断误差是否满足要求？1．用拉格朗日插值法求2的平方根。

提示：可以用抛物线插值，f(1.69)=1.3，f(1.96)=1.4，f(2.25)=1.5。

2．用牛顿插值法求2的平方根。

提示：可以用抛物线插值，f(1.69)=1.3，f(1.96)=1.4，f(2.25)=1.5。

3．用逐次分半梯形公式求积计算∫x2dx。

提示：可以用相邻两次求得的结果的差的绝对值来间接判断误差是否满足要求。

三、实验步骤1．代码如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#define MAXSIZE 50void input(double x[MAXSIZE],double y[MAXSIZE],long n){long i;for(i=0;i<=n-1;i++){printf("请输入插值节点x[%ld],y[%ld]：",i,i);scanf("%lf,%lf",&x[i],&y[i]);}}void main(void){double x[MAXSIZE],y[MAXSIZE],_x,_y,t;long n,i,j;printf("请输入插值节点的个数：");scanf("%ld",&n);input(x,y,n);printf("请输入插值点：");scanf("%lf",&_x);_y = 0;for(i=0;i<=n-1;i++){t = 1;for(j=0;j<=n-1;j++)if(j != i)t *= (_x-x[j]) / (x[i]-x[j]);_y += t * y[i];}printf("插值点(x,y)=(%lf,%lf)。

实验一——插值方法实验学时：4实验类型：设计 实验要求：必修一 实验目的通过本次上机实习，能够进一步加深对各种插值算法的理解；学会使用用三种类型的插值函数的数学模型、基本算法，结合相应软件（如VC/VB/Delphi/Matlab/JAVA/Turbo C ）编程实现数值方法的求解。

并用该软件的绘图功能来显示插值函数，使其计算结果更加直观和形象化。

二 实验内容通过程序求出插值函数的表达式是比较麻烦的，常用的方法是描出插值曲线上尽量密集的有限个采样点，并用这有限个采样点的连线，即折线，近似插值曲线。

取点越密集，所得折线就越逼近理论上的插值曲线。

本实验中将所取的点的横坐标存放于动态数组[]X n 中，通过插值方法计算得到的对应纵坐标存放于动态数组[]Y n 中。

以Visual C++.Net 2005为例。

本实验将Lagrange 插值、Newton 插值和三次样条插值实现为一个C++类CInterpolation ，并在Button 单击事件中调用该类相应函数，得出插值结果并画出图像。

CInterpolation 类为 class CInterpolation { public :CInterpolation();//构造函数CInterpolation(float *x1, float *y1, int n1);//结点横坐标、纵坐标、下标上限 ~ CInterpolation();//析构函数 ………… …………int n, N;//结点下标上限，采样点下标上限float *x, *y, *X;//分别存放结点横坐标、结点纵坐标、采样点横坐标float *p_H,*p_Alpha,*p_Beta,*p_a,*p_b,*p_c,*p_d,*p_m;//样条插值用到的公有指针，分别存放i h ，i α，i β，i a ，i b ，i c ，i d 和i m};其中，有参数的构造函数为CInterpolation(float *x1, float *y1, int n1) {//动态数组x1，y1中存放结点的横、纵坐标，n1是结点下标上限（即n1+1个结点） n=n1;N=x1[n]-x1[0]; X=new float [N+1]; x=new float [n+1]; y=new float [n+1];for (int i=0;i<=n;i++) {x[i]=x1[i]; y[i]=y1[i]; }for (int i=0;i<=N;i++) X[i]=x[0]+i; }2.1 Lagrange 插值()()nn i i i P x y l x ==∑，其中0,()nj i j j ni jx x l x x x =≠-=-∏对于一个自变量x ，要求插值函数值()n P x ，首先需要计算对应的Lagrange 插值基函数值()i l x float l(float xv,int i) //求插值基函数()i l x 的值 {float t=1;for (int j=0;j<=n;j++) if (j!=i)t=t*(xv-x[j])/(x[i]-x[j]); return t; }调用函数l(float x,int i)，可求出()n P xfloat p_l(float x) //求()n P x 在一个点的插值结果 {float t=0;for (int i=0;i<=n;i++) t+=y[i]*l(x,i); return t; }调用p_l(float x)可实现整个区间的插值float *Lagrange() //求整个插值区间上所有采样点的插值结果 {float *Y=new float [N+1]; for (int k=0;k<=N;k++) Y[k]=p_l(x[0]+k*h); return Y; } 2.2Newton 插值010()(,,)()nn i i i P x f x x x x ω==∑，其中101,0()(),0i i j j i x x x i ω-==⎧⎪=⎨-≠⎪⎩∏，0100,()(,,)()ik i nk k j j j kf x f x x x x x ==≠=-∑∏对于一个自变量x ，要求插值函数值()n P x ，首先需要计算出01(,,)i f x x x 和()i x ωfloat *f() {//该函数的返回值是一个长度为n ＋1的动态数组，存放各阶差商 }float w(float x, int i) {//该函数计算()i x ω }在求()n P x 的函数中调用*f()得到各阶差商，然后在循环中调用w(float x)可得出插值结果 float p_n(float x) {//该函数计算()n P x 在一点的值 }调用p_n(float x)可实现整个区间的插值 float *Newton() {//该函数计算出插值区间内所有点的值 }2.3 三次样条插值三次样条插值程序可分为以下四步编写： （1） 计算结点间的步长i hi 、i α、i β；（2） 利用i hi 、i α、i β产生三对角方程组的系数矩阵和常数向量； （3） 通过求解三对角方程组，得出中间结点的导数i m ； （4） 对自变量x ，在对应区间1[,]i i x x +上，使用Hermite 插值； （5）调用上述函数，实现样条插值。

若函数族
中的函数 ( x) 满足条件
( xi ) = f ( xi ),
i = 0,1,, n
（ 1）
n ( x ) x f ( x ) 则称 为 在 中关于节点 i i =0 的一个插值函数。
f ( x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi in=0 ——插值节点； 式（1）——插值条件.
x12 x1n
2 n x2 x2
范德蒙行列式
x
2 n


n n
V=
x
0 i j n

( x j xi )
10
插值多项式的存在唯一性（续）
V= ( x j xi ) 0 i j n
由于 x0 , x1 , x2 , ..., xn 是 n 1 个互异的节点，即：
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
5
插值问题
于是人们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x) 使其近似的代替 f (x)。
y 被插值函数 f (x) 插值函数 (x)
插值节点 0 x0 x1 x2 x3
… …… xn x
6
插值区间
多项式插值问题
对于不同的函数族Φ 的选择，得到不同的插值问题
( x0 , y0 ) 0
p2(x)
x0
x1
x2
x
19
抛物线插值（续）
p2 ( x ) = y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) y2l2 ( x )
( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )

一、实习目的通过本次实习，我深入了解了牛顿插值法的基本原理，掌握了其计算方法，并能够熟练运用牛顿插值法解决实际问题。

实习过程中，我结合实际数据，运用牛顿插值法进行计算，分析了插值结果，并对插值方法进行了总结和评价。

二、实习内容1. 牛顿插值法的基本原理牛顿插值法是一种构建插值多项式的方法，通过计算差商（divided differences）来逐步构建插值多项式。

该方法具有较好的计算效率和承袭性，即在添加或删除数据点时，可以基于已有计算结果进行调整，无需完全重新计算。

2. 牛顿插值法的计算步骤（1）初始化差商表，第0列初始化为ypoints。

（2）计算i阶差商，根据差商计算插值多项式。

（3）根据计算出的差商构造最终的插值多项式。

（4）计算x的估计函数值。

3. 实际应用以一组实际数据为例，运用牛顿插值法进行计算。

（1）选取一组已知数据点，计算差商。

（2）根据差商构造牛顿插值多项式。

（3）利用牛顿插值多项式估算未知点的函数值。

三、实习结果与分析1. 插值结果通过对实际数据的计算，牛顿插值法得到了较为准确的插值结果。

与实际值相比，插值值具有较高的精度。

2. 插值误差分析（1）在数据点较少的情况下，牛顿插值法具有较高的精度。

（2）在数据点较多的情况下，牛顿插值法可能会出现误差，但总体上仍具有较高的精度。

（3）插值误差与数据点的分布、差商的计算精度等因素有关。

四、实习总结与评价1. 牛顿插值法是一种有效的插值方法，具有较好的计算效率和承袭性。

2. 在实际应用中，根据数据点的分布和精度要求，选择合适的插值方法。

3. 牛顿插值法在实际应用中具有较高的精度，但在某些情况下可能会出现误差。

4. 在后续的实习中，我将进一步学习其他插值方法，如拉格朗日插值法、样条插值法等，以便在实际问题中灵活运用。

五、实习体会通过本次实习，我对牛顿插值法有了更深入的了解，掌握了其计算方法，并能够将其应用于实际问题。

在实习过程中，我认识到理论知识与实际应用相结合的重要性，以及选择合适的插值方法对于提高计算精度的重要性。

插值运算实验报告通过实验掌握插值运算的原理和方法，并利用插值运算技术对离散数据进行插值和逼近。

实验设备：计算机、Matlab软件实验原理：插值是利用已知数据点之间的关系，使用某种函数表达式来逼近未知点的值。

插值方法可以分为多种，如拉格朗日插值、牛顿插值等。

本次实验主要涉及的是拉格朗日插值和牛顿插值。

实验步骤：1. 采集实验数据，得到需要进行插值运算的离散数据。

2. 根据所给的离散数据，选择合适的插值方法，如拉格朗日插值或牛顿插值。

3. 利用Matlab软件进行编程，实现所选择的插值方法。

4. 运行程序，得到插值结果。

5. 根据插值结果，可以确定对未知数据点的函数值，也可以进行曲线拟合和逼近。

实验结果：经过对实验数据的处理和插值运算，得到了以下结果：1. 插值函数的形式，可以通过该函数计算未知数据点的函数值。

2. 插值曲线的图像，可以通过该曲线来拟合和逼近实验数据。

实验分析：通过实验结果的分析，可以得出以下结论：1. 插值方法的选择对结果有重要影响，不同的插值方法适用于不同的数据类型。

2. 插值运算可以有效地处理离散数据，得到连续函数的逼近值。

3. 插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响。

实验总结：通过本次实验，我对插值运算的原理和方法有了更深入的了解。

插值运算是一种常用的数值计算方法，可以在一定程度上解决离散数据的处理问题。

插值运算不仅可以用于求解未知数据点的函数值，还可以用于曲线拟合和逼近。

不同的插值方法适用于不同类型的数据，需要根据实际情况进行选择。

插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响，需要注意选择合适的插值方法以及优化离散数据的分布。

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

y = 0; for(j=0;j<11;j++) { y=y+l1[j]*f[j]/l2[j]; } double h=5.0/(1+m*m); //精确值 double r=fabs(y-h); cout<<"近似值 y="<<y<<"\t 精确值 h="<<h<<"\t 误差 r="<<r<<endl; //for(int i=0;i<11;i++) //System.out.println("l1["+(i-5)+"]="+f[i]); m= m+0.2; } return 0; }
continue; else{ l1[k]=l1[k]*(m-x[p]); l2[k]=l2[k]*(x[k]-x[p]); } } } //多项式的每一项相加 for(int j=0;j<11;j++){ y=y+l1[j]*f[j]/l2[j]; } double h=5.0/(1+m*m); //精确值 double r=Math.abs(y-h); System.out.println(" 近似值 y="+y+" 精确值 h="+h+" //for(int i=0;i<11;i++) //System.out.println("l1["+(i-5)+"]="+f[i]); m= m+0.2; } } }

一、实验目的、要求1、掌握牛顿插值法的思想及其解题方法；2、编程实现牛顿插值法；3、已知函数如下表：X 10 11 12 13Lnx 2.3206 2.3979 2.4849 2.5649求解Ln11.75的值？二、使用仪器、材料Windows XPMicrosoft Visual 6.0三、实验方法和步骤1、编辑程序并进行调试；2、输入已知项数及各项的（x_i,y_i）;3、输入所要求解f(x)的x值；4、进行计算得到最终结果。

四、实验原理及基本技术路线图1、实验原理：通过简单函数的近似计算求解难以直接计算的解。

2、流程图：Startprintf("\n输入已知项项数n:");printf("输入各已知项的值： (x_i,y_i)\n");i<ndiff[i]=points[i].y;i<n,j>idiff[j]=(diff[j]-diff[j-1])/(points[j].x-points[j-1-i].x);tmp=1; newton=diff[0];i<ntmp=tmp*(x-points[i].x);newton=newton+tmp*diff[i+1];printf("f(%f)=%f\n",x,newton);End五、实验过程原始记录(数据、图表、计算等)#include<stdio.h>#define MAX 20//------------------------------------------------ typedef struct TPOINT{double x;double y;}POINT;//-------------------------------------------------int main(){int n,i,j;POINT points[MAX +1];double diff[MAX +1];double x,tmp,newton=0;printf("\n输入已知项项数n:");//n-1为插值次数scanf("%d",&n);printf("输入各已知项的值： (x_i,y_i)\n");for(i=0;i<n;i++)scanf("%lf%lf",&points[i].x,&points[i].y);printf("输入所要求解的x值:");scanf("%lf",&x);for(i=0;i<n;i++)diff[i]=points[i].y;for(i=0;i<n;i++){for(j=n;j>i;j--){diff[j]=(diff[j]-diff[j-1])/(points[j].x-points[j-1-i].x);}}tmp=1;newton=diff[0];for(i=0;i<n;i++){tmp=tmp*(x-points[i].x);newton=newton+tmp*diff[i+1];}printf("f(%f)=%f\n",x,newton);return 0;}//----------------------------------------------------六、实验结果、分析和结论1、用前三个点带入计算：X 10 11 12Lnx 2.3206 2.3979 2.4849解Ln11.75=2.4639；2、用后三个点带入计算：X 11 12 13Lnx 2.3979 2.4849 2.5649解Ln11.75=2.4638；3、用所有点带入计算：X 10 11 12 13Lnx 2.3206 2.3979 2.4849 2.5649解Ln11.75=2.4639。

《计算方法》实验报告学院：信息学院专业：计算机科学与技术指导教师：班级学号：姓名：计算机科学与工程系实验一 插值方法一. 实验目的（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。

（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的插值算法，并进行可视化显示。

二. 实验要求用Matlab 软件实现Lagrange 插值、分段线性插值、三次Hermite 插值、Aitken 逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。

三. 实验容1. 实验题目（1）已知概率积分dx ey x x ⎰-=022π的数据表构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange 插值公式，输出公式及其图形，并计算x =0.472时的积分值。

（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作211)(xx f +=的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x =3.3152时的函数值。

（3）仿照附录C 中“文件1.2 逐步插值”程序（Neville 算法，课本227页）编写相应的Aitken 逐步插值算法的程序，根据下表所给数据分别利用上述两种算法求正弦积分⎰∞-=xdt ttx f sin )(在x =0.462的值，并比较它们的结果。

（4）运行C 中“文件1.3 分段三次Hermite 插值”程序（课本228页），要求自行选择实验数据2. 设计思想（1）Lagrange 插值：Lagrange 具有累加的嵌套结构，容易编制其计算程序。

事实上，在逻辑上表现为二重循环，循环（j循环）累乘求得系数，然后再通过外循环（i循环）累加得出插值结果y。

（2）分段线性插值：分段插值是将被插值函数逐步多项式化。

分段插值的处理过程分两步，将区间分成几个子段，并在每个子段上构造插值多项式装配在一起，作为整个区间的插值函数。

在分化的每个节点给出数据，连接相邻节点得一折线，该折线函数可以视作插值问题的解。

计算方法报告——插值1.原理简介插值法是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

根据算法和插值要求的不同，有多种插值方法。

拉格朗日插值：有平面上点集{（x i,y i）}共n个点，现作函数f(x)图像使其过这n个点P i(x)=∏x−x j x i−x jnj=0 j≠i L n(x)=∑P i(x)×y ini=1则f(x)=L n(x)牛顿插值：同样点集，用不同方法构造插值多项式。

定义差商：f[x0，x1]=f(x0)−f(x1) x0−x1f[x0，x1……x k]=f[x0，x1……x k−1]−f[x1，x2……x k]x0−x k则有：N(x)=f[x0]+∑f[x0，x1……x k](x−x0)(x−x1)…（x−x k−1）nk=1理论上牛顿插值与拉格朗日插值所得插值多项式完全相同，只是不同写法。

2.算法描述分析函数：homework1.C 画图函数：DrawPlot.cpp为简化程序，将Lagrange插值与Newton插值算法作为子函数调用。

子函数Lagrange()中，输入插值点个数n，插值点集x[n]，y[n]，即可得到x点的Lagrange插值函数值L(x)。

同样，Newton()中输入相同信息可得到x点Newton插值函数值N(x)。

主函数main()中，先根据设定选择样点为等距分割还是Chebyshev分割，取得点集point_x[n+1]和point_y[n+1]，取点范围（-1，1）。

再调用子函数分别计算各x[i]点下的真实函数值，牛顿插值函数值，拉格朗日插值函数值及各种误差，在循环结束后将需要的误差L_inf 和L1输出到屏幕。

最后利用root TGraph把计算得到的数组画出函数图像，并存到rootfile 中。

在误差计算中只用了-1~0上的点，画图时扩大范围画到-1~1全部点DrawPlot函数中读取了homework1.C中画的函数图像，将其整合到一起，设置线条颜色及宽度，加上一个图例，重新生成一张图像。

x
1
2
3
4
5
6
y
0
0.6931
1.0986
1.3863
1.6094
1.7918
2根据下面的数据点，分别求牛顿前插多项式和牛顿后插多项式，并计算x=1.55时y的值。
x
1
2
3
4
5
6
y
0
0.6931
1.0986
1.3863
1.6094
1.79ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8
3根据下面的数据点，求埃尔米特插值多项式，并计算x=1.44时y的值。
《数值计算方法》---多项式插值实验报告
实验名称：多项式插值
实验目的：
1、熟悉Matlab的编程。
2、学会求解拉格朗日插值、牛顿插值及埃尔米特插值多项式并估计函数在某点处的值。
实验设备与环境：计算机，Windows系统，Matlab等。
实验内容：
1.根据下面的数据点，分别求拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并计算x=1.5时y的值。
x
1
1.2
1.4
1.6
1.8
y
1
1.0954
1.1832
1.2649
1.3416
y’
0.5000
0.4564
0.4226
0.3953
0.3727
f =
10850.7*(t - 1.0)^2*(t - 1.4)^2*(t - 1.6)^2*(t - 1.8)^2*(9.58473*t - 10.4063) - 10850.7*(t - 1.0)^2*(t - 1.2)^2*(t - 1.4)^2*(t - 1.8)^2*(10.1455*t - 17.4978) + 24414.1*(t - 1.0)^2*(t - 1.2)^2*(t - 1.6)^2*(t - 1.8)^2*(0.4226*t + 0.59156) - 678.168*(27.5773*t - 50.9807)*(t - 1.0)^2*(t - 1.2)^2*(t - 1.4)^2*(t - 1.6)^2 + 678.168*(t - 1.2)^2*(t - 1.4)^2*(t - 1.6)^2*(t - 1.8)^2*(21.3333*t - 20.3333)

数值计算插值法实验报告
一、实验目标
本实验的目标是学习和掌握插值法的基本原理，通过实际操作，验证插值法的有效性，并利用插值法解决实际问题。

二、实验原理
插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点，构造一个连续的函数来近似地表示未知的函数值。

常用的插值法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。

其中，多项式插值是一种常用的方法，其基本思想是选择一个多项式来逼近已知的数据点，从而得到未知点的近似值。

三、实验步骤
1.准备数据：收集一组已知的数据点，并将其整理成表格形式。

2.选择插值方法：根据实际情况选择适当的插值方法，如线性插值、多项式插值或样条插值等。

3.计算插值函数：根据选择的插值方法，利用已知的数据点计算插值函数的系数。

4.验证插值函数：利用已知的数据点对插值函数进行验证，检查其精度和误差。

5.应用插值函数：利用插值函数计算未知点的近似值，并将结果与实际值进行比较。

四、实验结果及分析
下面是本次实验的结果及分析：
1.已知数据点：。

数值计算方法实验报告一、实验目的本实验旨在通过Python语言编写数值计算方法程序，掌握常见数值计算方法的实现原理及应用。

具体包括：插值法、最小二乘法、数值微积分、数值解方程、数值解微分方程等。

二、实验环境Python编程语言、Jupyter Notebook环境三、实验内容1.插值法（1）代码实现：在Python中使用Scipy库中的Interpolate模块实现拉格朗日插值法和牛顿插值法，并通过数据可视化展示其效果。

（2）实验步骤：- 导入所需库，准备所需数据；- 定义拉格朗日插值法函数；- 定义牛顿插值法函数；- 测试函数并可视化结果。

（3）实验结果：2.最小二乘法（1）代码实现：在Python中使用Numpy库实现最小二乘法，并通过数据可视化展示其效果。

（2）实验步骤：- 导入所需库，准备所需数据；- 定义最小二乘法函数；- 测试函数并可视化结果。

（3）实验结果：3.数值微积分（1）代码实现：在Python中实现梯形法和辛普森法，并通过数据可视化展示其效果。

（2）实验步骤：- 导入所需库，准备所需数据；- 定义梯形法函数和辛普森法函数；- 测试函数并可视化结果。

（3）实验结果：4.数值解方程（1）代码实现：在Python中实现二分法、牛顿法和割线法，并通过数据可视化展示其效果。

（2）实验步骤：- 导入所需库，准备所需数据；- 定义二分法函数、牛顿法函数和割线法函数；- 测试函数并可视化结果。

（3）实验结果：5.数值解微分方程（1）代码实现：在Python中实现欧拉法和龙格-库塔法，并通过数据可视化展示其效果。

（2）实验步骤：- 导入所需库，准备所需数据；- 定义欧拉法函数和龙格-库塔法函数；- 测试函数并可视化结果。

（3）实验结果：四、实验总结通过本次实验，我学习了数值计算方法的常用算法和实现原理，掌握了Python 语言实现数值计算方法的方法，加深了对数值计算方法的理解和应用。

实验中遇到的问题，我通过查找资料和与同学的讨论得到了解决，也更加熟练地掌握了Python语言的使用。

验 目 的 和 要 求2、掌握用MATAB 作线性最小二乘的方法。

实 验 内 容 和 步 骤计算机上机实验报告1掌握用MATLA 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。

3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。

实验的主要内容1编制拉格朗日、牛顿插值程序，并运行一个简单的实例。

(1)拉格朗日插值程序：fun cti on v=pol yin terp(x,y,u) n=len gth(x); v=zeros(size(u)); for k=1: n w=on es(size(u));for j=[1:k-1 k+1:n] w=(u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w; end v=v+w*y(k); end实例：当x=144,169,225时，y=12,13,15,用拉格朗日差值法 求根号175。

如下：''Fl ^.kiEO- 1(2)牛顿插值程序：fun ctio n y=n ewi nterp(X,Y,x)% 牛顿插值函数m=le ngth(X);for k=2:mfor j=1:k-1Y(k)= (Y(k)- Y(j))/(X(k)-X(j));endendy=Y(m);for j=m-1:-1:1y=y.*(x-X(j))+Y(j);2、给定函数f(x)x，已知：f(2.0) .1.414214 f(2.1) .1.449138f (2.2) .1.483240 f (2.3) .1.516575 f (2.4) .1.549193 用牛顿插值法求4次Newton插值多项式在2.15处的值，以此作为函3.选择函数y=exp(-x 2) (-2 <x<2),在n个节点上(n不要太大，如5~11)用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m 个插值点的函数值(m要适中，如50~100)。

精度提高的条件： ➢ 插值点与节点靠近 ➢ 内插精度一般比外推高 ➢ 插值点适当多
高次插值通常优于 低次插值
19
2.1.2 拉格朗日n次插值多项式
线性插值
L1(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
二次插值
L2 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
助教：赵渊明
上机实习作业
１.提交时间：作业布置下来两周内（如无特殊情况，晚交的作业做 零分处理。有特殊情况的，需要提前得到授课老师许可，一事一议） （一般是周三）。 ２.提交内容：书面报告、源代码、源代码流程图及运行结果截图 ３.源代码要求：简洁、清楚、有较好的注释（助教能够运行程序并 复制结果）。 ４.完成作业要求：鼓励同学之间讨论、合作完成作业，但最终程序、 报告需要自己独立完成。如和别的同学交流过，请在上交作业中列 出一起合作交流过的同学名字。如发现上交作业雷同，雷同作业做 零分处理。 5. 编程语言：尽量选择Fortran或C语言，不建议使用Matlab。
y0
(x ( x1
x0 )( x x2) x0 )( x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
y2
n次插值
Ln (x)
(x x1)( x x2)(x xn ) (x0 x1)( x0 x2 )(x0 xn )
y0
(x x0)( x x2)(x xn ) (x1 x0 )( x1 x2 )(x1 xn )
教学安排
1、1-18周，每周五课堂教学，逢双周五上机实习。 2、最终成绩由期中考试(30%)、期末考试(30%)、上机作业（8次） ＋课堂出勤率(40%)三部分组成。 3、上机作业及考试通知等发到公邮中。