概率的基本性质(经典)

一、知识要点及方法1、基本概念:(2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥;（3）若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,即不能同时发生且必有一个发生的两个事件,那么称事件A与事件B互为对立事件；概率加法公式：当事件A与B互斥时,满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P（B）；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P(A∪B）= P(A)+ P（B）=1，于是有P（A)=1—P(B）2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A）≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P(B）；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P（A∪B）= P（A)+ P（B)=1，于是有P(A）=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生;（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；(2）事件B发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

二、试题课时训练1．如果事件A、B互斥，记错误!、错误!分别为事件A、B的对立事件，那么（）A．A∪B是必然事件B.A∪错误!是必然事件C.错误!与错误!一定互斥D.A与错误!一定不互斥2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有1个白球；都是红球3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，由甲、乙两人下成和棋的概率为(）A．60%B．30％C．10% D．50%4．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为错误!。

10.1.4 概率的基本性质课标要求素养要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养.教材知识探究甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.问题甲获胜的概率是多少？提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3.概率的基本性质一般地，概率有如下性质：概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).教材拓展补遗[微判断]1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×)2.不可能事件的概率不一定为0.(×)3.必然事件的概率一定为1.(√)4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√)5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于23.(√)提示 任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练]1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16B.13C.12D.1解析 事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________.解析 因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.83.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解 因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考]1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝∅，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？提示 不对，若A ∩B ＝∅，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件.2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？ 提示 不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立.题型一 互斥事件概率公式的应用应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和【例1】(1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝16，求出现1点或2点的概率.(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝310，P(B)＝12，求这3只球中既有红球又有白球的概率.解(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A、B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝16＋16＝13，所以出现1点或出现2点的概率是13.(2)因为A、B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是4 5.规律方法(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.【训练1】在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).解记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.题型二对立事件概率公式的应用若题中含有“至多”“至少”等字眼时，通常考虑用对立事件公式求解概率 【例2】 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率.解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p ＝1－12－13＝16.即甲获胜的概率是16.(2)法一 设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23.法二 设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23.即甲不输的概率是23.规律方法 对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.【训练2】 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A ，则其对立事件B 为“未中靶”，于是P (A )＝1－P (B )＝1－0.05＝0.95. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95. 题型三 概率性质的综合应用【例3】 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：0.19. (1)求x 的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？每个个体被抽到的可能性都是nN(3)已知y ≥245，z ≥245，求九年级中女生比男生少的概率. 解 (1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380.(2)九年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为5002 000×48＝12.(3)设九年级女生比男生少为事件A ，则A －为九年级女生比男生多或九年级男生和女生同样多.九年级女生数、男生数记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，y ，z ∈N .满足题意的所有样本点是(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(255，245)，共11个，事件A －包含的样本点是(250，250)，(251，249)，(252，248)，(253，247)，(254，246)，(255，245)，共6个.∴P (A －)＝611.因此，P (A )＝1－611＝511.规律方法 求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.【训练3】 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 (1)记“他乘火车”为事件A ，“他乘轮船”为事件B ，“他乘汽车”为事件C ，“他乘飞机”为事件D .这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为p ，则 p ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.一、素养落地1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算素养.2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.二、素养训练1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于()A.0.3B.0.7C.0.1D.1解析∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.答案 A2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A.A⊆BB.A＝BC.A＋B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3解析A＋B表示A与B的和事件，即A＋B表示向上的点数是1或2或3，故选C.答案 C3.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8解析因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.答案 C4.小明需要从甲城市编号为1～14的14个工厂或乙城市编号为15～32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝()A.325 B.58 C.916 D.14解析P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1432＋632＝58.答案 B基础达标一、选择题1.若A，B是互斥事件，则()A.P(A∪B)<1B.P(A∪B)＝1C.P(A∪B)>1D.P(A∪B)≤1解析∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1). 答案 D2.某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9解析此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5，故选A.答案 A3.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为()A.13 B.14 C.16 D.112解析 从1，2，3，4中选取两个不同数字组成所有两位数为：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12个样本点，其中能被4整除的有：12，24，32，共3个样本点，所以这个两位数能被4整除的概率为p ＝312＝14. 答案 B4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14(种)不同的选法，所以所求的概率为1416＝78. 答案 D5.下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件. 其中错误的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A ，B 为互斥事件时才有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，故②错； 因A ，B ，C 并不一定包括随机试验中的全部样本点， 故P (A )＋P (B )＋P (C )并不一定等于1，故③错； 若A ，B 不互斥，尽管P (A )＋P (B )＝1， 但A ，B 不是对立事件，故④错. 答案 D 二、填空题6.口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________.解析 由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19， ∴摸出是红球或蓝球的概率为：1－0.19＝0.81. 答案 0.817.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.解析 由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928. 答案 19288.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为________.解析 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示三个军火库都爆炸，则P (A )＝0.025，P (B )＝0.1，P (C )＝0.1.其中A 、B 、C 互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 答案 0.225 三、解答题9.一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数小于8环的概率.解 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，可知它们彼此之间互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16，P (E )＝0.13.(1)P (射中10环或9环)＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E “射中7环以下”是对立事件，则P (至少射中7环)＝1－P (E )＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87.(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D “射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P (射中环数小于8环)＝P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29.10.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＝13，P （B ＋C ）＝512，P （C ＋D ）＝512，P （A ＋B ＋C ＋D ）＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＋P （C ）＝512，P （C ）＋P （D ）＝512，13＋P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＝14，P （C ）＝16，P （D ）＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.能力提升11.设事件A 的对立事件为B ，已知事件B 的概率是事件A 的概率的2倍，则事件A 的概率是________.解析 由题意得⎩⎨⎧P （A ）＋P （B ）＝1，P （B ）＝2P （A ），解得P (A )＝13，P (B )＝23. 答案 1312.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或5(2)求至少有3人外出家访的概率.解 (1)设派出2人及以下为事件A ，3人为事件B ，4人为事件C ，5人为事件D ，6人及以上为事件E ，则有4人或5人外出家访的事件为事件C 或事件D ，C ，D 为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，p ＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.创新猜想13.(多填题)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B －的概率为P (B －)＝________，事件A ＋B － (B －表示事件B 的对立事件)发生的概率为________.解析 由题意知，B －表示“大于或等于5的点数出现”，则P (B －)＝26＝13，事件A 与事件B －互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝46＝23. 答案 13 2314.(多填题)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________，任取出2粒恰好不同色的概率是________.解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.不同色的概率为1－1738＝1835.答案17351835。