2015年北京市西城区七年级下学期数学期末试卷及解析答案

2014-2015学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）4的平方根是（）A．±16 B．±2 C．﹣2 D．22．（3分）已知a＜b，下列不等式中，变形正确的是（）A．a﹣3＞b﹣3 B．C．﹣3a＞﹣3b D．3a﹣1＞3b﹣13．（3分）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA=5m，PB=4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（）A．6m B．7m C．8m D．9m4．（3分）在下列运算中，正确的是（）A．（x4）2=x6B．x3•x2=x6C．x2+x2=2x4D．x6÷x2=x45．（3分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°6．（3分）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．107．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN，若点A（﹣1，3）的对应点为M（2，5），则点B（﹣3，﹣1）的对应点N的坐标是（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣6，0）D．（0，﹣6）8．（3分）下列命题是假命题的是（）A．所有的实数都可以用数轴上的点表示B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行9．（3分）如图是表示某地区2010～2014年生产总值（简称GDP，单位：亿元）的统计图，根据统计图所提供的信息，判断下列说法正确的是（）A．2012年该地区的GDP未达到5500亿元B．2014年该地区的GDP比2012年翻一番C．2012～2014年该地区每年GDP增长率相同D．2012～2014年该地区的GDP逐年增长10．（3分）周末，小明与小文相约一起到游乐园去游玩，如图是他俩在微信中的一段对话：根据上面两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（）A．向北直走700米，再向西直走300米B．向北直走300米，再向西直走700米C．向北直走500米，再向西直走200米D．向南直走500米，再向西直走200米二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分，第15～18题，每小题3分）11．（3分）不等式组的解集是．12．（3分）在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆（如图所示），这样做的数学原理是．13．（3分）把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是．14．（3分）如图，将一个三角板的直角顶点放在直尺的一条边上，若∠1=50°，则∠2的度数为．15．（2分）平移变换不仅与几何图形有着密切的联系，而且在一些特殊结构的汉字中，也有平移变换的现象，如：“日”，“朋”，“森”等，请你开动脑筋，再写出两个具有平移变换现象的汉字．16．（2分）已知两点A（m，5），B（﹣3，n），AB∥y轴，则m的值是，n的取值范围是．17．（2分）已知（x+y）2=16，xy=2，则（x﹣y）2=．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D四点的坐标分别是A （﹣2，3），B（4，3），C（0，1），D（1，2），动点P从点A出发，在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动．射线PC，PD 与x轴分别交于点M，点N，设点P运动的时间为t秒，若以点C，D，M，N为顶点能围成一个四边形，则t的取值范围是．三、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）计算：+﹣+|﹣1|．20．（5分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．21．（5分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣a（2a﹣3b），其中a=﹣，b=1．22．（5分）如图，在△ABC中，∠A=∠C，∠ABC=70°，EF∥BD，∠1=∠2，求∠ADG的度数．四、解答题（本题共24分，每小题6分）23．（6分）某学校在暑假期间安排了“心怀感恩•孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中多帮父母干家务．开学以后，校学生会的老师们在学校随机抽取了部分学生，就暑假期间“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分（每段时长均含最小值，不含最大值）：根据上述信息，回答下列问题：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是人；（2）补全扇形统计图，补全频数分布直方图；（3）如果该校共有学生3000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？并给出一条合理化建议．24．（6分）已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（2，0），C（2，3）．（1）在所给的平面直角坐标系xOy中画出△ABC，△ABC的面积为；（2）点P在x轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标．25．（6分）为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：居民用水阶梯水价表单位：元/立方米分档 户每月分档用水量x （立方米） 水价第一阶梯0≤x ≤15 5.00 第二阶梯15＜x ≤21 7.00第三阶梯 x ＞21 9.00（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为 元；（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为 立方米；（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？26．（6分）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性．根据课堂学习的经验，解决下列问题：（1）如图①，边长为（k +3）的正方形纸片，剪去一个边长为k 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的面积是 （用含k 的式子表示）；（2）有3张边长为a 的正方形纸片，4张边长分别为a ，b （a ＜b ） 的长方形纸片，5张边长为b 的正方形纸片，现从其中取出若干张纸片（每种纸片至少取一张），拼成一个正方形（不重叠无缝隙），则所拼成的正方形的边长最长可以为 ；A ．a +bB ．2a +bC ．3a +bD ．a +2b（3）一个大正方形和4个大小完全相同的小正方形按图②，图③两种方式摆放，求图③中，大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积（用含m ，n 的式子表示）．五、解答题（本题6分）27．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠BCD．（1）求证：AB∥CD；（2）连接AC，作∠DAC的平分线交CD于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，交AD的延长线于点H．请画出完整的图形，并证明∠BAC+∠ADC=2∠H．2014-2015学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）4的平方根是（）A．±16 B．±2 C．﹣2 D．2【解答】解：4的平方根是±2，故选：B．2．（3分）已知a＜b，下列不等式中，变形正确的是（）A．a﹣3＞b﹣3 B．C．﹣3a＞﹣3b D．3a﹣1＞3b﹣1【解答】解：∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，∴选项A不正确；∵a＜b，∴，∴选项B不正确；∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，∴选项C正确；∵a＜b，∴3a＜3b，∴3a﹣1＜3b﹣1，∴选项D不正确．故选：C．3．（3分）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA=5m，PB=4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（）A．6m B．7m C．8m D．9m【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜9m．故选：D．4．（3分）在下列运算中，正确的是（）A．（x4）2=x6B．x3•x2=x6C．x2+x2=2x4D．x6÷x2=x4【解答】解：A、（x4）2=x8，错误；B、x3•x2=x5，错误；C、x2+x2=2x2，错误；D、x6÷x2=x4，正确；故选：D．5．（3分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1=110°，∴∠1+∠3=180°，即100+∠3=180°，∴∠3=70°，∴∠2=∠3=70°．故选：B．6．（3分）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选：A．7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN，若点A（﹣1，3）的对应点为M（2，5），则点B（﹣3，﹣1）的对应点N的坐标是（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣6，0）D．（0，﹣6）【解答】解：∵点A（﹣1，3）的对应点为M（2，5），∴平移规律为向右3个单位，向上2个单位，∵点B（﹣3，﹣1），∴对应点N的横坐标为﹣3+3=0，纵坐标为﹣1+2=1，∴点N的坐标为（0，1）．故选：B．8．（3分）下列命题是假命题的是（）A．所有的实数都可以用数轴上的点表示B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行【解答】解：A、所有的实数都可以用数轴上的点表示，A正确；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，B正确；C、两条直线被第三条直线所截，如果两直线不平行，那么同旁内角不互补，C 错误；D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，D正确，故选：C．9．（3分）如图是表示某地区2010～2014年生产总值（简称GDP，单位：亿元）的统计图，根据统计图所提供的信息，判断下列说法正确的是（）A．2012年该地区的GDP未达到5500亿元B．2014年该地区的GDP比2012年翻一番C．2012～2014年该地区每年GDP增长率相同D．2012～2014年该地区的GDP逐年增长【解答】解：观察统计图可得2012～2014年该地区的GDP逐年增长正确．故选：D．10．（3分）周末，小明与小文相约一起到游乐园去游玩，如图是他俩在微信中的一段对话：根据上面两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（）A．向北直走700米，再向西直走300米B．向北直走300米，再向西直走700米C．向北直走500米，再向西直走200米D．向南直走500米，再向西直走200米【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系如图所示，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是：向北直走700米，再向西直走300米．故选：A．二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分，第15～18题，每小题3分）11．（3分）不等式组的解集是2≤x＜3．【解答】解：，解①得：x≥2，解②得：x＜3，则不等式的解集是：2≤x＜3．故答案是：2≤x＜3．12．（3分）在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆（如图所示），这样做的数学原理是三角形的稳定性．【解答】解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．故答案是：三角形的稳定性．13．（3分）把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是．【解答】解：∵墨迹覆盖的数在3～4，即～，∴符合条件的数是．故答案为：．14．（3分）如图，将一个三角板的直角顶点放在直尺的一条边上，若∠1=50°，则∠2的度数为40°．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=50°，∴∠3=∠1=50°．∵∠2+∠3=90°，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣50°=40°．故答案为：40°．15．（2分）平移变换不仅与几何图形有着密切的联系，而且在一些特殊结构的汉字中，也有平移变换的现象，如：“日”，“朋”，“森”等，请你开动脑筋，再写出两个具有平移变换现象的汉字羽，圭，品，晶等，答案不唯一．【解答】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉子即可：则可以有：羽，圭，品，晶等，答案不唯一．故答案为：羽，圭，品，晶等，答案不唯一．16．（2分）已知两点A（m，5），B（﹣3，n），AB∥y轴，则m的值是﹣3，n的取值范围是n≠5．【解答】解：∵AB∥y轴，∴m=﹣3，n≠5．故答案为﹣3，n≠5．17．（2分）已知（x+y）2=16，xy=2，则（x﹣y）2=8．【解答】解：∵（x+y）2=16，xy=2，∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=16﹣8=8，故答案为：8．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D四点的坐标分别是A （﹣2，3），B（4，3），C（0，1），D（1，2），动点P从点A出发，在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动．射线PC，PD 与x轴分别交于点M，点N，设点P运动的时间为t秒，若以点C，D，M，N为顶点能围成一个四边形，则t的取值范围是0≤t≤6且t≠4．【解答】解：∵A（﹣2，3），B（4，3），∴AB=4+2=6，∴0≤t≤6，∵点P运动到P′时，点P、C、D共线，点C，D，M，N为顶点不能围成一个四边形，∴t≠4，∴t的取值范围为0≤t≤6且t≠4．故答案为0≤t≤6且t≠4．三、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）计算：+﹣+|﹣1|．【解答】解：+﹣+|﹣1|=4﹣4﹣3=．20．（5分）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：去分母得：6x+3≤4x﹣4+12，移项得：2x≤5，系数化为1得：x≤，在在数轴上表示为：．21．（5分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣a（2a﹣3b），其中a=﹣，b=1．【解答】解：原式=a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+3ab=ab，当a=﹣，b=1时，原式=﹣．22．（5分）如图，在△ABC中，∠A=∠C，∠ABC=70°，EF∥BD，∠1=∠2，求∠ADG的度数．【解答】解：∵∠A=∠C，∠ABC=70°，∴∠A=∠C=55°，∵EF∥BD，∴∠DBC=∠1，∵∠1=∠2，∴∠2=∠DBC，∴DG∥BC，∴∠ADG=∠C=55°．四、解答题（本题共24分，每小题6分）23．（6分）某学校在暑假期间安排了“心怀感恩•孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中多帮父母干家务．开学以后，校学生会的老师们在学校随机抽取了部分学生，就暑假期间“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分（每段时长均含最小值，不含最大值）：根据上述信息，回答下列问题：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是200人；（2）补全扇形统计图，补全频数分布直方图；（3）如果该校共有学生3000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？并给出一条合理化建议．【解答】解：（1）调查的学生人数是：40÷20%=200（人），故答案是：400；（2）30～40分钟的人数所占的百分比是：×100%=25%，40～50分钟的人数所占的百分比是×100%=5%，则20～30分钟所占的百分比是：1﹣25%﹣30%﹣20%﹣5%=20%，则人数是200×20%=40（人）．；（3）“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有3000×（25%+5%）=900（人）．学校要积极鼓励学生多做家务，学校要适当给予表扬．24．（6分）已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（2，0），C（2，3）．（1）在所给的平面直角坐标系xOy中画出△ABC，△ABC的面积为3；（2）点P在x轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标．【解答】解：（1）如图，S△ABC=×3×2=3；故答案为3；（2）设P点坐标为（x，0），∵△ABP的面积等于△ABC的面积，∴×|2﹣x|=3，解得x=﹣4或x=8，∴点P的坐标为（﹣4，0）或（8，0）．25．（6分）为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：居民用水阶梯水价表单位：元/立方米水价分档户每月分档用水量x（立方米）第一阶梯0≤x≤15 5.00第二阶梯15＜x≤217.00第三阶梯x＞219.00（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为70元；（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为5立方米；（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？【解答】解：（1）由表格中数据可得：0≤x≤15时，水价为：5元/立方米，故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：14×5=70（元）；（2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110，∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，设小明家6月份使用水量为x立方米，∴75+（x﹣15）×7=110，解得：x=20，故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：20﹣15=5（立方米），故答案为：5；（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：117+（a﹣21）×9≤180，解得：a≤28．答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．26．（6分）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性．根据课堂学习的经验，解决下列问题：（1）如图①，边长为（k+3）的正方形纸片，剪去一个边长为k的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的面积是6k+9（用含k的式子表示）；（2）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b （a＜b）的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，现从其中取出若干张纸片（每种纸片至少取一张），拼成一个正方形（不重叠无缝隙），则所拼成的正方形的边长最长可以为D；A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b（3）一个大正方形和4个大小完全相同的小正方形按图②，图③两种方式摆放，求图③中，大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积（用含m，n的式子表示）．【解答】解：（1）则这个长方形的面积是（k+3）2﹣k2=6k+9；（2）3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），故选：D．（3）③的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（）2﹣4×（）2=mn．五、解答题（本题6分）27．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠BCD．（1）求证：AB∥CD；（2）连接AC，作∠DAC的平分线交CD于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，交AD的延长线于点H．请画出完整的图形，并证明∠BAC+∠ADC=2∠H．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°．∵∠BAD=∠BCD，∴∠B+∠BCD=180°．∴AB∥CD；（2）图形如下图所示：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．∴∠BAC+∠ADC=∠ACD+∠ADC=180°﹣∠DAC．∵CF⊥AE，∴∠AFC=∠AFH=90°．∵AF平分∠DAC，∴∠HAF=∠CAF．在△HAF和△CAF中，，∴△HAF≌△CAF．∴∠H=∠HCA．∴2∠H=∠H+∠HCA=180°﹣∠HAC．∴2∠H=∠BAC+∠ADC．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa+b-aa45°A BE 挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。