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磁Schr(-)dinger方程解的零点集以及Landau-de Gennes泛函极小的部分正则性

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磁Schr(?)dinger方程解的零点集以及Landau-de Gennes泛函极小的
部分正则性
【摘要】：液晶和超导的技术在现代物理中有着广泛的运用.以超导为例,它可以用于能源、医疗、信息、国防等诸多方面.在现实生活中,最常见的液晶是作为传递信息的工具——液晶显示,它提供了人与机器对话的平台.相信在未来的时问里,液晶和超导的研究仍然是物理学家和数学家所关注的焦点.在超导的数学理论研究中,我们考虑磁Schrodinger方程：在Ω中,其解ψ的结点集N(ψ)的情况.在超导物理学中,N(ψ)被称为涡旋集.在该点处超导体有磁场穿过,失去超导性.对N(ψ)的研究有助于了解涡旋集的性质.众所周知,有关结点集N(ψ)的研究难点主要集中在临界集S(ψ)上面.故首先,在边界条件：V Aψ·v=0下,我们对磁Schrodinger方程解的临界集建立了整体的1维Hausdorff测度估计.这与之前有关临界集的Hausdorff测度研究的情形有所不同.在我们的问题中,方程解是复函数而非实函数；其二,我们考虑的方程是带有磁Schrodinger算子；第三,我们能将估计做到整个区域上,而非局部的估计.其次,我们来研究N(ψ)的情况.由于ψ是复值函数,故N(ψ)的几何结构往往很复杂,可能为孤立点、曲线、甚至曲面.面对此问题,我们选择对ψ附加了“拟共形映射”的条件.证明了在该条件下,ψ的结点集N(ψ)是1维可数可求长的,并且其1维Hausdorff测度是有界的.为了能获得有关结点集的更多信息,下面我们从拓扑的角度来研究方程解的复杂性.即考虑结点集的拓扑性质——Betti数nor([53])曾
对多项式结点集的Betti数总和给出了一个上界估计.而对于一般的二阶椭圆型方程的情况,目前尚无结果.我们证明了对一般的二阶椭圆方程的解u,其结点集N(u)的Betti数总和是有界的.通过Betti数的研究,本质地揭示了结点集的几何特征,也使我们对结点集的几何结构有进一步的了解.在液晶的数学理论研究中.Landau-deGennes模型是描述液晶相变过程的重要模型之一.这里我们主要考虑Landau-deGennes 泛函的一个简化形式：建立了非平凡极小元(Ψ,n)的部分正则性结果,即在Ω中除去一个1维Hausdorff测度为0的相对闭集之后,(Ψ,n)是解析的.它的研究与Oseen-Frank泛函的情形不同：其一,我们研究的Landau-deGennes泛函是两个变量的泛函,并且我们将序参数Ψ视为一个独立于向量场n的变量.另外,我们研究的泛函中包含了与Oseen-Frank泛函不同的能量项,因此,它将给的定理的证明带来一定的复杂性.通过部分正则性的研究,使我们对液晶的物理性质有了更加深入的了解.【关键词】：临界集结点集磁Schr(o|¨)dinger方程Betti数Hausdorff测度Landau-deGennes泛函部分正则性液晶超导
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2011
【分类号】：O175.2
【目录】：摘要6-8Abstract8-12目录12-14第一章引言14-20第二章磁Schrodinger方程解的零点集20-682.1磁Schrodinger方程解的临界集的Hausdorff测度估计20-492.1.1问题的提出20-222.1.2ψ的一些性质定理22-262.1.3S(ψ)的局部Hausdorff测度估计26-292.1.4在Neumann边界条件下的整体Hausdorff测度估计29-482.1.5定理2.1的证明48-492.2磁Schrodinger方程解的结点集的Hausdorff测度估计49-562.2.1问题的提出49-502.2.2ψ的性质定理与N(ψ)的几何结构50-532.2.3定理2.11的证明53-562.3二阶椭圆型方程解的结点集的Betti数估计56-682.3.1问题的提出56-572.3.2有用的引理57-592.3.3稳定性结果59-612.3.4定理 2.15的证明61-68第三章Landau—deGennes泛函极小的部分正则性68-923.1问题的提出68-703.2准备工作70-743.2.1Euler-Lagrange方程703.2.2尺度变化下的极小元70-743.3极小元(Ψ,n)的部分正则性74-923.3.1blow-up序列及blow-up方程74-823.3.2能量不等式82-883.3.3定理3.1的证明88-92第四章总结与展望92-93发表文章目录93-94参考文献94-101致谢101 本论文购买请联系页眉网站。

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分数阶Schr(o¨)dinger算子的自伴性与本质谱

分数阶Schr(o¨)dinger算子的自伴性与本质谱

分数阶Schr（o|¨）dinger算子的自伴性与本质谱Schrodinger方程理论由于其直观的物理背景及其应用价值,一直以来都是分析数学的中心课题之一,而其自伴性与谱的研究作为Schrodinger方程理论的基本问题也是受到数学工作者们的普遍关注。

对二阶Schrodinger算子而言,关于它的研究已经产生了很多丰硕的成果,方法也比较成熟,当然自伴性与谱的研究也很完善。

比如针对自伴性的研究,有一些常用的方法,如扰动的方法、Kato不等式的方法、张量积分解的方法等。

作为二阶经典情形的自然延拓,分数阶Schrodinger 算子近来也引起了数学工作者们的兴趣,但由于缺乏必要的技术手段以及更直观的物理背景,关于它的研究要比二阶情形困难得多,但在数学工作者们的努力下,也取得了一定的成果,如方程的光滑估计等。

当然还有许多问题尚待研究,针对分数阶Schrodinger算子,我们主要研究其自伴性和本质谱。

针对分数阶Schrodinger算子(-△)α/2+V,我们主要是在总结前人关于二阶Schrodinger算子研究成果的基础上,根据不同的位势类对其自伴性与本质谱进行研究。

本文主要分为四个部分：首先,第一章为绪论,主要是对Schrodinger方程的背景及发展历程作了一个简单的介绍；其次,第二章对二阶经典情形Schrodinger算子的自伴性和本质谱的一些经典结论及方法进行引述；再次,第三章主要研究了在两类不同位势下分数阶Schrodinger算子的自伴性；最后一部分,第四章主要对分数阶Schrodinger算子的本质谱的一个性质进行了探讨。

其中在对本文的主要结论进行证明时,很大程度上是将经典情形的方法进行适当的推广,从而将其应用到分数阶上来。

在主要内容之后,还给出了本文结论的不足之处以及还可以继续改进和探讨的地方。

氢原子和类氢离子(一)氢原子的定态schrdinger方程及其解

氢原子和类氢离子(一)氢原子的定态schrdinger方程及其解


得 R(r ) 方程
1 2 8 2 mr 2 Ze 2 [r R ( r )] [ E] k 2 R ( r ) r r h 4 0 r
Y ( , )
1 1 1 2 方程 Y ( , ) [ sin (sin ) sin 2 2 ]Y ( , ) k
1-3 氢原子和类氢离子
（一）氢原子的定态Schrö dinger方程及其解
（二）量子数的物理意义 （三）波函数和电子云图示
（四）平均动能和平均位能
（一）氢原子的定态Schrö dinger方程及其解
电子和核合在一起是双粒子运动，简化为 质心运动+粒子相对运动
mr r M 所以
M 1836.1m
4 0 r


0
2 e2 Z2 Ze 2 2 2 2 2 )( 2 ) 2 E n ( ) | R | r dr | | sin d | | d ( 0 0 4 0 a 0 n 4 0 r
T En V En
V 2
0
virial 定理:
m 一般表达式为 V ar
T
m
1
V 2
Ze 2 a 4 0
T V 2
氢原子体系 m 1
Ze 2 即V ar 4 0 r
内层电子 V （负值）增大， T （正值）也增大，互相平衡.
氢原子体系同样得到：
能量量子化，零点能（动能）和 电子在空间概率分布
（四）平均动能和平均位能
1 e2 Z 2 ( )( E 总能量 n 有确定值 2 4 0 a 0 n )
En T V
V Ze
2
schrodinger方程

schrodinger方程

Schrödinger方程简介Schrödinger方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了量子系统的演化和波函数的行为。

由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，因此也被称为薛定谔方程。

Schrödinger方程是一个偏微分方程，用于描述粒子在势场中的运动。

它以波函数（或称为量子态）作为基本变量，并通过该波函数来计算粒子在不同位置和时间的概率分布。

通过解析或数值方法求解Schrödinger方程，我们可以得到粒子在不同状态下的能量、位置以及其他物理性质。

方程形式Schrödinger方程可以根据系统的性质和假设而有所不同。

下面是一般形式的时间依赖Schrödinger方程：其中，•ψ是波函数，表示粒子在空间中的状态；•i是虚数单位；•ℏ是约化普朗克常数；•∂ψ/∂t表示波函数随时间的变化；•H是哈密顿算符，描述了系统的总能量。

这个方程可以看作是对经典力学中的哈密顿-雅可比方程的量子化。

波函数解释波函数ψ是Schrödinger方程的解，它包含了关于粒子位置和动量的所有信息。

根据波函数的模值平方|ψ|^2，我们可以计算出粒子在不同位置上的概率分布。

这意味着波函数并不直接表示粒子的位置，而是给出了可能找到粒子在某个位置上的概率。

由于波函数是复数，我们无法直接观测到它。

但是通过测量物理量（如能量、动量等），我们可以得到与波函数相关的实际结果。

哈密顿算符哈密顿算符H在Schrödinger方程中起着关键作用。

它描述了系统的总能量，并且根据系统性质和假设有不同形式。

例如，在自由粒子情况下，哈密顿算符可以写为动能项和势能项之和：其中，•T表示动能算符；•V表示势能。

通过将哈密顿算符应用于波函数，我们可以得到Schrödinger方程的具体形式，并进一步求解波函数。

解Schrödinger方程求解Schrödinger方程是理解量子力学中物理系统行为的关键。

量子力学练习题答案

量子力学练习题答案


Wmk =| am (t) |2
∫ ∫ 其中
am
(t)
=
1 i=
t 0
eiωmkτ
H
′
mk
dτ
，
H
′
mk
=
ϕm* Hl ′(t)ϕkdτ ，ωmk = (Em − Ek ) / =
二、 证明题 1． 证明黑体辐射的辐射本领 E(ν ,T ) 与 E(λ,T ) 之间的关系。 证明：黑体的辐射本领是指辐射体单位面积在单位时间辐射出来的、单位 频率间隔内的能量，用 E(ν ,T ) 表示。由于ν = c / λ ，所以黑体的辐射本领也 可以表示成 E(λ,T ) 。由定义得单位面积、单位时间内辐射的能量为
的同时决定，也使得它们的分布同时制约，这种制约就是不确定性原理，
它是任何两个力学量在任何状态下的涨落（用均方差表示）必须满足的相
互制约关系，公式表示为
ΔA⋅ ΔB ≥ 1 ⋅ [lA, Bl] 2
23． 如果算符 Aˆ 的本征值分别为 A1, A2, A3,"，在算符 Aˆ 的自身表象中写出
算符 Aˆ 的矩阵形式。
下，所有力学量的概率分布不随时间改变；在一切状态下，守恒量的概率
分布不随时间改变。
25． 在 Sz 表象下，写出算符 Sˆz 及其本征态|↑〉 和|↓〉 的矩阵表达式。
答：在 Sz 表象下，算符 Sˆz 的矩阵表达式为
Sz
=
= ⎛1
2
⎜ ⎝
0
0⎞ − 1⎟⎠
其本征态|↑〉 和|↓〉 的矩阵表达式分别为
v∫ 答： pkdqk = nkh (nk = 1, 2,3,")
其中 (qk , pk ) 代表一对共轭的正则坐标和动量。 7． 利用光波的双缝干涉实验，说明 Born 的概率波解释。 答：Born 认为，微观粒子的运动状态用“波函数”来描述，粒子通过双缝 时，每一个缝都有一个所谓的“波”通过，只不过与经典波的强度对应的， 是粒子在某点附近出现的相对概率。对通过双缝的粒子，其概率“分成” 了两束（波动性），但对某个具体的粒子，它只能通过其中的一个缝（粒子