湖南省长沙市第一中学高三第五次月考数学(理)试题(解析版)
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湖南省长沙市第一中学高三第五次月考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}|2A x x =<，{}2|21x B x -=>，则()U A B =I ð（ ）A ．{}|12x x <<B ．{}|12x x ≤<C ．{}|2x x <D ．{}|1x x ≤【答案】C【解析】解不等式221x ->得2x >，则集合{}U 2B x x =≤ð，再与集合A 求交集，即可. 【详解】Q {}{}2212x B x x x -==>∴{}U 2B x x =≤ð ∴(){}U 2A B x x ⋂=<ð故选：C 【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.2．已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A【解析】因为|2(1)11(1)(1)i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 3．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()2log 1,0,,0x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，则()3g -=（ ） A ．3 B ．3-C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 的奇偶性求得()g x ，由此求得()3g -. 【详解】由于()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，0x ->，所以()()()()2log 1g x f x f x x ==--=--+，所以()()223log 31log 42g -=-+=-=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查分段函数求值，属于基础题. 4．某校高三共有学生1000人，该校高三学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图所示，则该校高三学生在本次考试中数学成绩在[]110,130分的人数为（ ）A ．30人B ．300人C ．10人D ．100人【答案】B【解析】根据频率分布直方图，求解成绩在[]110,130分的频率为：()100.0200.0100.3⨯+=，再求解成绩在[]110,130分的人数，即可.【详解】由题意可知，成绩在[]110,130分的人数为：()1000100.0200.010300⨯⨯+=人. 故选：B 【点睛】本题考查频率分布直方图，属于容易题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值满足24x -<≤，则输出y 的值的取值范围是（ ）A ．[]3,2- B ．[]1,2C ．[)4,0-D ．[)[]4,01,2-U【答案】A【解析】模拟执行条件分支结构程序框图，分别计算函数()()23,2,2y x x =-∈-与[]()2log ,2,4y x x =∈的值域，即可.【详解】由题意可知，()2,2x ∈-时，23y x =-，则[)3,1y ∈-[]2,4x ∈时2log y x =，则[]1,2y ∈综上，输入x 的值满足24x -<≤时，输出y 的值的取值范围是[]3,2- 故选：A 【点睛】本题考查程序框图，以及求函数的值域，属于较易题.6．若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为36π，则实数r 的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】A【解析】根据三视图可知，该几何体是一个以半圆为底面的半圆锥，根据圆锥的体积公式，计算即可. 【详解】该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，底面半圆半径为r ，高h =，则体积3211112323r V Sh r π=⨯===⨯⨯，解得：1r =. 故选：A 【点睛】本题考查根据几何体三视图，求几何体体积，属于较易题.7．设单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为2π，122a e e =+ur r u u r ，1223b e e =-r u r u r ，则b r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．5-B ．5C ．13-D ．13【答案】A【解析】根据b r 在a r方向上的投影为cos ,a b b a b a=r rr r r g r ，求解即可.【详解】Q 单位向量1e u r ，2e u u r的夹角为2π ∴121e e ==u r u u r ，120e e =u r u u rg又Q 122a e e =+u r r u u r ，1223b e e =-r u r u r ∴()()()()2212121122223262064a b e e e e e e e e =+-=+-=+-=-r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u rg g ga =====r则cos ,a b b a b a===r r r g r 故选：A 【点睛】本题考查b r 在a r方向上的投影，属于较易题.8．已知变量,x y 满足约束条件0020x y x y x +<⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由已知得到可行域如图：则1y x+的几何意义表示区域内的点与()0,1-连接的直线斜率，所以与()2,2A --连接的直线斜率最大为12（因为()2,2A --不在可行域内，故等号不成立），与O 连接的直线斜率最小趋于-∞ ，故1y x +的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9．已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内（如图）.则该半球体的体积为（ ）A ．2πB ．4πC ．46πD ．86π【答案】C【解析】由题意可知，半球球心为正方体下底面正方形对角线交点，球心与正方体上底面的顶点连线为该半球的半径，由题意可知正方体棱长为2，再计算半径6r=，即可.【详解】连接正方体下底面对角线，相交于点O，连接OB，则OB为半球体的半径r.Q正方体的体积为8∴2BC=，2OC=∴226r OB BC OC==+=∴半球体积()326463Vππ==.故选：C【点睛】本题考查球体的体积问题，确定球心与半径，是解决本题的关键.属于中档题.10．若3nxx的展开式中所有项系数之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A．270 B．180C．90 D．60【答案】C【解析】令1x=，求解5n=，再确定53xx的通项为5523153r rr rrT C x-+-+=⋅⋅，再令523r r-+=，求解即可.【详解】由题意令1x=，得41024n=，即5n=.则3nxx的通项为5553231553r r rrr r rrT C x C xx--+-+=⋅=⋅⋅.令5023r r-+=，解得3r =. 所以展开式中的常数项为3245390T C =⋅=.故选：C 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于中档题.11．设P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上的动点，且1F ，2F 为椭圆C 的焦点，I为12PF F ∆的内心，设点I 和点P 的纵坐标分别为I y ，P y ，若4P I y y =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D 【答案】C【解析】由题意可知，12PF F ∆的周长为22l a c =+，内切圆半径为I y ，边12F F 上高为P y ，利用12121122PF F P I S l y F F y ∆=⨯⨯=⨯⨯，求解3a c =，再根据离心率ce a=，计算即可. 【详解】由题意可知，12PF F ∆的周长为22l a c =+，内切圆半径为I y ，边12F F 上高为P y 则()12121122I I PF F P P S l y F F y a c y c y ∆=⨯⨯=⨯⨯=+= 又因为4P I y y =，所以4a c c +=，即3a c = 所以13c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，利用12PF F ∆面积相等，求解a 与c 的关系，是解决本题的关键，属于中档题.12．若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的最小值为（ ） A ．21eB ．22e C ．1eD ．2e【答案】D【解析】不等式()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭两边同时乘以x ，等价变形为()()2211ln ax ax e x x +≥+，利用ln ax ax e =，22ln ln x x =，将不等式变形为()()221ln 1ln axax ee x x +≥+，构造函数()()()1ln 0f t t t t =+>，不等式变形为()()2ax f e f x ≥，利用导数判断函数()f t 在()0,∞+上单调递增，从而确定2ax e x ≥在()0,∞+恒成立，即2ln xa x ≥在()0,∞+恒成立.构造新函数()2ln x g x x=，利用导数求函数()g x 的最大值，确定a 的取值范围，即可. 【详解】由题意可知，不等式()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+. 设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2axf e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2axe x≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,x g x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点.所以()()max 2g xg e e==，即2a e ≥，则实数a 的最小值为2e .故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.二、填空题13．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式.一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.来氏认为“万古之人事，一年之气象也.春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为3，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的.若在大圆内随机取一点，则落在黑色区域的概率为______.【答案】49【解析】由对称性可知，黑色区域的面积为大圆面积与小圆面积之差的一半，再根据几何概型概率公式，求解即可. 【详解】设大圆面积为1S ，小圆面积2S ，则2139S ππ=⨯=，221S ππ=⨯=.则黑色区域的面积为()12142S S π⨯-= 所以落在黑色区域的概率为()121144299S S P S ππ⨯-=== 故答案为：49【点睛】本题考查几何概型的概率问题，属于较易题.14．若直线20kx y k -+=和圆22230x y x +--=有公共点，则实数k 的取值范围是______.【答案】55k -≤≤【解析】将22230x y x +--=变形为()2214x y -+=，根据题意可知，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离小于等于半径2.求解即可. 【详解】由题意可知22230x y x +--=，化为()2214x y -+=.圆心为()1,0，半径2r =若使得直线20kx y k -+=和圆22230x y x +--=有公共点2=≤，解得k ≤≤.故答案为：k ≤≤【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于较易题. 15．若函数()()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()()00,0,0x x >成中心对称，则0x 的最小值为______. 【答案】512π【解析】由题意可知，最小正周期T π=，则2ω=，令02,6x k k Z ππ+=∈，求解即可. 【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，由题意可知22T π=，即T π=. 所以22T πω==，则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.因为该函数图象关于点()0,0x 成中心对称 所以02,6x k k Z ππ+=∈，即0,122k x k Z ππ=-+∈又因为()00x ∈+∞,， 所以当1k =时，()0min 512x π=. 故答案为：512π 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质，属于中档题.16．已知ABC V 中，60ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，D 为ABC V 内一点，且满足30DAC DBA ∠=∠=︒，则tan BCD ∠=______．【答案】12【解析】设BCD α∠=，利用正弦定理列方程，化简后得到()sin 245αα=-o ，再利用两角差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式进行化简，由此求得tan BCD ∠.【详解】设BCD α∠=，由正弦定理得：sin sin 30BD CD α=o ，()sin 30sin 45CD AD α=-oo，sin 30sin 45AD BD =oo， 三式相乘即得：()sin sin 45sin 30sin 45αα=-oo o ，即()sin 245αα=-o22222αα⎫=-⎪⎪⎭cos sin αα=-，所以2sin cos αα=，1tan 2α=． 故答案为：12【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查两角差的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题17．已知{}n a 是单调递增的等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，若11a =，11b =，515S =，3212b S =.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设{}n b 的前n 项和为n T ，若()1n n S T λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）n a n =，()1*2n n b n N -=∈；（2）34λ≥. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，根据题意列出方程组()2212545152q d d ⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩，求解即可. （2）由（1）可知，()12n n n S +=，21nn T =-，不等式()1n n S T λ≤+变形为()112n n n λ++≥，令()()()11,2n n n f n n N *++=∈，根据单调性确定()f n 的最大值，求解λ的取值范围即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为(),0d d >，数列{}n b 的公比为(),0q q >.由题意可知()2325212545152b S q d S d ⎧=+=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1d =，2q =. 所以n a n =，()1*2n n b n N -=∈. （2）由（1）知()12n n n S +=，()11211n n n b q T q -==--若使得()1n n S T λ≤+恒成立 则需()1112nn n n n S T λ++≥=+恒成立，即()1max 12n n n λ++⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦ 令()()()11,2n n n f n n N *++=∈ 则()()()()()21121122n n n n n n f n f n ++++++-=-()()2122n n n ++-=，当2n ≥时，()()10f n f n +-≤，即()f n 单调递减. 当1n =时，()()210f f ->所以()()3max 233224f n f ⨯===，即34λ≥. 【点睛】本题考查待定系数法求数列通项公式，以及不等式恒成立，求参数取值范围问题，属于中档题.18．如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且2AB AE ==，将ABE ∆沿BE 折起到A BE '∆，使得AC A D ''=.（1）证明：平面A BE '⊥平面BCDE ；（2）若3ED =，求平面A BE '与平面ACD '所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）26. 【解析】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BC ，由题意可知A M BE '⊥，A N CD '⊥，MN CD ⊥，从而证明CD ⊥平面A MN '，即CD A M '⊥根据线面垂直的判定定理证明A M '⊥平面BCDE ，再利用线面垂直的性质定理证明面面垂直即可.（2）以M 为原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求解平面A BE '的法向量()1,1,0n =r，平面'A CD 的法向量(0,1,22m =u r ，再根据cos ,m nm n m n=u r ru r r g u r r g ，计算二面角余弦值，即可. 【详解】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BCQ 2AB AE ==，AC A D ''=∴A M BE '⊥，A N CD '⊥.又Q 在矩形ABCD 中∴MN CD ⊥又Q MN A N N '=I ，MN ⊂平面A MN '，A N '⊂平面A MN '∴CD ⊥平面A MN 'A M '⊂Q 平面A MN '∴CD A M '⊥又Q BE 与CD 为梯形BCDE 的两腰，必相交，CD ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE∴A M '⊥平面BCDE ，又Q A M '⊂平面A BE '∴平面A BE '⊥平面BCDE.（2）∵3ED =，2AB AE == ∴235BC AD AE ED ==+=+=.过点M 作//MF CD ，交BC 与F ，则MF MN ⊥，MA MF '⊥，MA MN '⊥ 以M 为坐标原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则各点坐标为(2A '，()0,4,0N ，()1,4,0C ，()1,1,0B -.设平面A BE '的法向量为()111,,n x y z =r ，则(2MA '=u u u u r ，()1,1,0MB =-u u u r111·20·0n MA z n MB x y ⎧==⎪⎨=-=⎪'⎩u u u u v v u u u v v ，即10z =，11x y =，取11y =，则()1,1,0n =r 设平面'A CD 的法向量为()222,,m x y z =u r ，则(0,4,2A N '=-u u u u r ，()1,0,0NC =u u u r222·420·0m A N y z m NC x ⎧==⎪⎨=='⎪⎩u u u u v v u u uv v ，即20x =，2222z y =，取11y =，则(0,1,22m =u r ， ∴22cos ,6111832m n m n m n====+⨯+u r ru r r g u r r g即平面A BE '与平面ACD '所成锐二面角的余弦值为26.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及求二面角的余弦值，属于较难的一道题. 19．已知动圆M 与y 轴相切，且与圆N ：2240x y x +-=外切； （1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 过定点()3,0，且与轨迹E 交于A 、B 两点，与圆N 交于C 、D 两点，若点N 到直线l 的距离为d ，求AB dCD⋅的最小值． 【答案】（1）()280y x x =≥和()00y x =< （2）2【解析】（1）设(),M x y ，根据两圆外切的条件列方程，化简后求得M 的轨迹E 的方程.（2）设出直线l 的方程，利用直线和抛物线相交的弦长公式、直线和圆相交的弦长公式、点到直线的距离公式，求得,,AB CD d ，由此求得AB dCD⋅的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得AB dCD⋅的最小值.【详解】圆()22:24N x y -+=，圆心为()2,0，半径为2.（1）设(),M x y ，则()2222x x y +=-+x 的符号可知，动圆圆心M 轨迹方程E 为()280y x x =≥和()00y x =<．（2）注意到若直线平行于x 轴，则直线与抛物线没有两个交点，因此可设l ：3x my =+． 联立238x my y x=+⎧⎨=⎩，得28240y my --=，得128y y m +=，1224y y =-． 故2222164964164AB m m m m =++=++又圆心到直线l 的距离21d m =+，从而222342421mCD d m+=-=+． 从而()()222644434m m AB dCDm++⋅=+，令2343t m=+≥，则()()31AB dt t CDt⋅++=．34t t=++．令()()33f t t t t=+≥，则()f t 在[)3,+∞上单调递增，即()8f t ≥． 因此当3t =时，即0m =时AB dCD⋅取最小值22．【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查直线和抛物线、直线和圆的位置关系，考查动点轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题.20．2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入x （百万元）与收益y （百万元）的数据统计如下： 科技投入x 2 4 6 8 10 12 收益y 5.66.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线2bx y c =⋅的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：其中2log i i z y =，6116i i z z ==∑.（1）（i ）请根据表中数据，建立y 关于x 的回归方程（保留一位小数）；（ii ）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中2log 5 2.3≈）（2）乙认为样本点分布在二次曲线2y mx n =+的周围，并计算得回归方程为20.9212.0y x =-，以及该回归模型的相关指数20.94R =，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线方程µµvu αβ=+$的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑，µµv u αβ=-，相关指数：()()221211ni i i n ii v vR v v ==-=--∑∑$.【答案】（1）（i ）0.512x y +=（ii ）科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿.；（2）甲建立的回归模型拟合效果更好.【解析】（1）（i ）令22log log z y bx c ==+，2log a c =，则z bx a =+，根据最小二乘估计0.5b≈$，$1a =，则0.51z x =+，从而确定y 关于x 的回归方程即可. （ii ）令0.512200x +≥，解得x 的取值范围即可.（2）先计算甲建立的回归模型的残差，$()621298.5i i i y y =-=∑，再计算甲模型的相关指数20.98R =，与乙模型的相关指数比较大小，即可. 【详解】 （1）（i ）2468101276x +++++==，令22log log z y bx c ==+；令2log a c =，则z bx a =+.根据最小二乘估计可知：()()()6162134.70.570iii i i x x zzbx x==--==≈-∑∑$ 从而$ 4.50.571az bx =-=-⨯=$，故回归方程为0.51z x =+，即0.512x y +=.（ii ）设0.512200x +≥，解得20.51log 200x +≥，即244log 513.2x ≥+≈ 故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿. （2）甲建立的回归模型的残差：则$()621298.5i i i y y =-=∑，从而2298.5110.020.980.9412730.4R =-≈-=>，即甲建立的回归模型拟合效果更好. 【点睛】本题考查求回归方程以及相关指数，属于较难的题. 21．已知()axf x xe =.（1）试求()f x 在[]0,2上的最大值；（2）已知()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，若存在12,x x R ∈，12x x <，使得()()12f x f x =，证明：21x x e e >.【答案】（1）当12a ≥-时()2max 2af x e =；当12a <-时()max 1e f x a=-；（2）证明见解析.【解析】（1）先求导数()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，然后对a 分类讨论，判断单调性，求解即可.（2）由题意可知，1a =-，则()()1xf x x e -'=-，从而确定()f x 单调性，再根据()f x 的正负，确定其函数的大致图像，从而确定有1201x x <<<，要证21x x ee >，只需证211ln x x >-，只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()1111ln 1,01x e x x -+<<<，构造函数()()()1ln ,0,1t h t e t t -=+∈，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，即可. 【详解】（1）()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，当0a ≥时，则10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立. 所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增. 则()f x 的最大值为()()2max 22af x f e ==；当0a <时，令10ax +=，即1x a=- 当()10,2a -∈，即12a <-时， 当10,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0f x '>，()f x 在10,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增. 当1,2x a ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，()max 11f a ea f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当[)12,a -∈+∞即102a -≤<时，10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立， 即()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增. 则()f x 的最大值为()()2max 22af x f e==；综上所述：当12a ≥-时()()2max 22af x f e ==； 当12a <-时()max 11f a ea f x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. （2）因为()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，所以()()110a f a e '=+=，则1a =-，即()()1xf x x e -'=-.当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(),1-∞上单调递增， 当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减. 又因为0x <时有()0f x <；0x >时有()0f x >， 根据图象可知，若()()12f x f x =，则有1201x x <<<； 要证21x x ee >，只需证211ln x x >-；又因为101x <<，所以11ln 1x ->；因为()f x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-， 只需证()()()1111ln 1ln 11111ln 1ln 1ln x x xx x x e e x e eex ---<--==只需证()1111ln 1,01x ex x -+<<<设()()()1ln ,0,1th t et t -=+∈，则()11tte h t t--'=.由()f x 的单调性可知，()()11f t f e≤=. 则1ttee-≤，即110t te --≥. 所以()0h t '>，即()h t 在()0,1t ∈上单调递增. 所以()()11h t h <=. 从而不等式21x x ee >得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值以及证明不等式，属于难题.22．已知直线1C ：()4tan y x α=+（α为直线的倾斜角），曲线2C ：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线1C 的参数方程和曲线2C 的普通方程；（2）若直线1C 的倾斜角为4π，且与曲线2C 交于A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）1C ：4cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），2C ：221169x y +=；（2）722AB =【解析】（1）1C 表示过点()4,0-，倾斜角为α的直线，根据直线参数方程直接写出，其参数方程. 椭圆2C 直接化为普通方程，即可.（2）将直线l 的参数方程代入曲线2C 整理得2257220t t -=，设A ，B 对应参数分别为1t ，2t ，根据直线参数方程t 的几何意义，求解12AB t t =-，即可.【详解】（1）1C ：4cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），2C ：221169x y +=. （2）直线l 的参数方程为24222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将其代入曲线2C 整理可得：2257220t t -=设A ，B 对应参数分别为1t ，2t ，则10t =，272225t =，所以1272225A tt B -==. 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程的互化，以及根据直线参数方程t 的几何意义，求弦长，属于中档题.23．设函数()2124f x x x =-++-.（1）画出()y f x =的图象；（2）设()2f x ≤的解集为A ，若{}|3A x x a x ⊆-+≤，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）13a ≤≤. 【解析】（1）在平面直角坐标系中画出分段函数()34,2,2134,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-≥⎩，即可.（2）由题意可知{}22A x x =-≤≤，求解绝对值不等式3x a x -+≤的解集为32a x x ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，()3a ≤，若使得{}|3A x x a x ⊆-+≤成立，则需322a +≥成立，求解即可.【详解】（1）()34,2,2134,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-≥⎩图象如下图.（2）由图象可知，()2f x ≤的解集{}22A x x =-≤≤， 因为2,,x a x a x a x a x a -≥⎧-+=⎨<⎩所以若3a >，则当x a ≥时，223x a x x a a a a -+=-≥-=>； 当x a <时，3x a x a -+=>，故不等式3x a x -+≤无解； 若3a ≤，则当x a ≥时，23x a x x a -+=-≤，解得32a a x +≤≤； 当x a <时，3x a x a -+=≤恒成立. 故不等式3x a x -+≤的解集为32a x x ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭若使得{}|3A x x a x ⊆-+≤成立，即3|2a A x x +⎧⎫⊆≤⎨⎬⎩⎭成立 则需322a +≥，即1a ≥. 综上所述：13a ≤≤.【点睛】本题考查分段函数的图象，以及含绝对值不等式的求解，属于中档题.。
