第3章 静力学平衡问题 (3)

静力学中的平衡问题与解法静力学是力学中的一个分支，研究物体在静止或匀速直线运动时的力、力之间的关系以及物体的平衡条件等内容。

在静力学中，平衡问题是一个重要的研究内容。

本文将讨论静力学中的平衡问题以及常见的解法。

静力学中，平衡是指物体所受的合外力合力矩为零的状态。

平衡可以分为两种类型：平衡在点和平衡在体。

1. 平衡在点平衡在点指的是物体受力的合力通过一个点，也就是力矩为零。

这要求物体所受的合外力矢量的代数和为零，并且力矩的代数和也为零。

平衡在点的解法一般包括以下步骤：步骤一：画出物体受力的示意图，并标注出力的大小、方向。

步骤二：通过几何图形或代数方法求出合外力的代数和，判断合外力的大小和方向。

步骤三：通过几何图形或代数方法求出力矩的代数和，判断力矩的大小和方向。

步骤四：根据力矩为零的条件，确定物体的平衡条件。

如果力矩不为零，则说明物体不处于平衡状态。

平衡在点的解法中，可以利用力矩的性质，如力矩的叠加原理、力矩的向量性质等，来简化计算。

此外，还可以运用平衡条件求解未知的力或力矩。

2. 平衡在体平衡在体指的是物体受力的合外力和合力矩都为零的状态。

这要求物体所受的合外力矢量的代数和为零，并且力矩的代数和也为零。

平衡在体的解法一般包括以下步骤：步骤一：画出物体受力的示意图，并标注出力的大小、方向。

步骤二：通过几何图形或代数方法求出合外力的代数和，判断合外力的大小和方向。

步骤三：通过几何图形或代数方法求出力矩的代数和，判断力矩的大小和方向。

步骤四：根据合外力和力矩都为零的条件，确定物体的平衡条件。

如果合外力或力矩不为零，则说明物体不处于平衡状态。

平衡在体的解法中，通常需要考虑物体所受力的叠加效应。

常见的方法有力的分解、力矩的叠加等。

除了上述两种平衡问题的解法，静力学中还有一些特殊情况的解法，如斜面上物体的平衡、悬挂物体的平衡等。

对于这些特殊情况，可以利用相关的几何关系和平衡条件，采取相应的解法进行求解。

总之，静力学中的平衡问题是一个重要的内容，通过合理的求解方法可以确定物体的平衡条件。

F DBCBDBF '习题3－3图第3章 静力学平衡问题3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。

试求其中1，2，3各杆受力。

解：图（a ）：045cos 23=-︒F FF F 223=（拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=︒-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0F 2 = F （受拉）3－2 图示为一绳索拔桩装置。

绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。

已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。

试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。

解：0=∑y F ，F F ED =αsin αs i nFF ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F FF DB 10tan ==α由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。

3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。

桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。

重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。

长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。

试用角ϕ=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。

(b-1)习题3－1图(a-1)(a-2)'3(b-2)习题3－2图F习题3-5图习题3－4图 解：图（a ）：0=∑x F ，0sin 2cos=-ϕϕW F AB ，2sin2ϕW F AB =0=∑y F ，02sincos =---ϕϕAB BC F W W F即 2s i n 2c o s 2ϕϕW W W F BC ++=W W W W 2)c o s 1(c o s =-++=ϕϕ3－4 杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。

基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。

说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。

B 点。

过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。

qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。

静力学力的平衡与受力分析在物理学中，力是物体之间相互作用的结果，是描述物体受到的外界作用的量。

静力学力的平衡与受力分析是力学中的重要概念和方法。

本文将通过对静力学平衡和受力分析的讨论，阐述力的平衡条件以及如何进行受力分析。

静力学平衡的概念使我们能够了解物体在静止状态下所受的力的关系。

在一个封闭的系统中，如果物体保持静止，则该物体的受力和力的矩之和为零。

这可以用以下公式表示：ΣF = 0其中，ΣF表示所有作用在物体上的力的矢量和。

这个方程称为力的平衡条件，它是静力学平衡的基础。

平衡条件的主要应用在于解决各种物体和结构的受力问题。

通过对平衡条件的分析，我们可以确定物体上受力的大小、方向和作用点的位置。

在进行受力分析时，我们首先需要明确物体所处的受力系统。

受力系统包括物体所受的所有外力和内力。

外力是由外界环境对物体施加的力，如重力、摩擦力等。

内力是物体内部不同部分之间相互作用的力，如张力、弹力等。

确定了受力系统后，我们可以使用受力分析方法来计算物体所受力的大小和方向。

下面介绍几种常见的受力分析方法：1. 自由体图法：将物体从整体中分离出来形成自由体，只考虑物体受到的力，不考虑周围物体的作用。

通过绘制自由体图，我们可以清楚地看到物体所受的各个力的大小和方向，从而计算出受力平衡的条件。

2. 悬挂点法：对于悬挂在一定点上的物体，我们可以通过设定悬挂点作为坐标原点，建立力的平衡方程来求解物体所受的力。

通过受力分析，我们可以确定物体所受力的大小、方向和作用点的位置。

3. 斜面分解法：对于放置在斜面上的物体，我们可以将受力分解为平行和垂直于斜面的分力，通过受力分析得到物体所受力的大小和方向。

受力分析在工程学和物理学中有着广泛的应用。

它可以帮助我们解决各种实际问题，如桥梁的结构稳定性分析、机械装置的设计优化等。

除了上述介绍的受力分析方法，还有其他一些分析方法，如向量分解法、平衡方程法等。

不同的问题需要选择合适的受力分析方法，以便得到准确的结果。

工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题工程力学是研究物体静止或运动状态下受力和变形的学科。

而静力学平衡和结构平衡问题是工程力学的重要内容之一。

本文将探讨静力学平衡的基本原理和结构平衡的相关概念。

一、静力学平衡问题静力学平衡问题是指研究物体在不发生运动的情况下的受力平衡情况。

在静力学平衡问题中，物体所受外力和外力对物体的作用点位矢量之和为零，即∑F = 0。

这是基于牛顿第一定律的，物体处于静止或匀速直线运动状态时，所受合力为零。

在解决静力学平衡问题时，常使用力的合成与分解原理以及受力分析的方法。

通过分析物体所受的各个力的作用方向和大小，可以确定物体所处的平衡状态。

静力学平衡问题的应用很广泛，比如在建筑工程中，我们需要确保建筑物的稳定性。

通过分析各个构件所受的力和力矩，可以确定建筑物的结构是否平衡，从而保证其安全性。

二、结构平衡问题结构平衡问题是指研究物体内部各个构件的受力平衡情况。

在解决结构平衡问题时，需要考虑物体内部的各个节点和构件之间的相互作用关系。

结构平衡问题可以通过静力学平衡的原理来解决。

对于一个构件而言，其受力平衡要求总力合为零。

在力的合成与分解原理的帮助下，可以确定每个节点上的力的大小和方向，从而得到整个结构的受力平衡状况。

在实际工程中，结构平衡问题是保证建筑物和桥梁等工程结构稳定性的重要问题。

通过分析结构的受力平衡情况，可以确定结构的合理设计，并且预测结构在受到外力作用时的变形情况，从而确保结构的安全性。

三、应用实例为了更好地理解工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题，我们举一个简单的桥梁的实例。

考虑一座桥梁，桥上有一辆汽车在通过。

我们需要确保桥梁的结构平衡以保证安全。

首先，我们可以将桥梁简化为若干个构件，比如桥墩、桥面等。

通过静力学平衡原理，我们可以分析每个构件所受的受力情况。

以桥墩为例，桥墩受到来自桥面和汽车的作用力。

通过力的合成与分解原理，我们可以确定桥墩所受力的大小和方向。

类似地，我们可以对桥面和其他构件进行受力分析。

第3章 静力学平衡问题 §3.1 平衡与平衡条件一、平衡的概念物体的平衡，在工程上是指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。

平衡是相对于确定的参考系而言的。

静力学所讨论的平衡问题可以是单个刚体，也可以是由若干个刚体组成的刚体系统。

刚体或刚体系统是否平衡取决于作用在其上的力系。

二、平衡条件要使物体保持平衡状态，作用在其上的力必须满足一定的条件，这种条件我们称为力的平衡条件。

从效应上看，物体保持平衡应是既不移动，又不转动。

因此，力系的平衡条件是，力系的主矢和力系对任一点的主矩等于零。

其解析表达式称为平衡方程。

§3.2 平面力系的平衡方程一、平面力系的平衡方程1）基本形式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(000F M Y X2）二矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴3）三矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线特殊力系的平衡方程 1）共线力系：=∑i F2）平面汇交力系：⎩⎨⎧=∑=∑00Y X3）平面力偶系： 0i m =∑4）平面平行力系： )//( 0)(0轴y M Y i o F F ⎩⎨⎧=∑=∑§3.3 空间力系的平衡方程一、空间力系的平衡方程其基本形式的平衡方程为：ΣX=0 ΣM x(F)=0ΣY=0 ΣM y(F)=0ΣZ=0 ΣM z(F)=0必须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。

具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。

此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。

使计算更为简便。

几种特殊力系的平衡方程1）空间汇交力系ΣX=0ΣY=0ΣZ=02）空间力偶系ΣM x(F)=0ΣM y(F)=0ΣM z(F)=03）空间平行力系（若各力//z轴）ΣZ=0ΣM x(F)=0ΣM y(F)=04）平面任意力系（若力系在Oxy平面内）∑X==∑YM(=∑F)z§3.4 平衡方程的应用一、一般应用举例例3-1，例3-3，例3-4，例3-5（改求起重机不翻平衡块的重量就应是多少？），例3-6，例3-7 补充：已知：带轮D ：D1=400 mm ，FT=2000 N ，Ft=1000 N ；齿轮C ：D2=200 mm ，a=20° 求：齿轮C 的啮合力Fn ，轴承A 、B 的约束力FA 、FB轴承A 、B 的约束力FA 、FB 就是圆轴受支座中圆孔的约束力，圆孔销钉就是固定铰链两个分力 为说明两分力方向，建立空间直角坐标系Ｏxyz ？y 轮轴线，z 轴铅直，Ｏxy 是水平面，三轴垂直 轴承支座表示方法(下图)，其约束两分力为xz 方向，用F Ax 、F Az 和F Bx 、F Bz ，或X A 、Z A 和X B 、Z B 侧视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxz 平面上)受力图，没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除这两个轴承约束=B M ∑02cos 2221t 1T =⨯⨯⨯D F D F D F n a --2000×200-1000×200-Fncos20°×100=0 Fn=2130 N主视图(将轮轴及其受力投影到Ｏyz 平面上)受力图，其中Fnz=Fncos20°=2130×0.9396=2000 N因主动力Fnz=2000 N 作用点到A 、B 两个支座距离相同，方向向上显然,与之平衡的两支座约束力大小相等，实际方向向下，和受力图所画的方向相反，所以N10002N 20002-====--nzB A F Z Z俯视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxy 平面上) 受力图，其中Fnx=Fnsin20°=2130×0.3420=729 NΣMA=0 -(FT+Ft)×0.15+Fnx ×0.25-XB ×0.5=0 -(2000+1000)×0.15+729×0.25-XB ×0.5=0 XB=-536 NΣFx=0 -FT-Ft+XA-Fnx+XB=0 -2000-1000+XA-729+(-536)=0 XA=4265 N 结论：Fn=2130 NXA=4265 N ； XB=-536 N ZA=-1000 N ； ZB=-1000 N 小结：①轮轴类部件平面解法：1.侧视图求未知主动力 2.主视图求铅直向约束力 3.俯视图求水平向约束力在每一视图上，使用平面力系力的投影方程和力矩平衡方程求解未知力 ②皮带拉力，无论倾斜与否，总是和轮缘相切，对轮轴的力矩等于拉力乘以半径齿轮啮合力一定和其分度圆不相切，对轮轴的力矩=啮合力×cosa ×半径（啮合力×cosa=圆周方向分力）③侧视图上没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除两个轴承约束（若画有XA 、ZA 和XB 、ZB 四力） 不能用ΣFx=0，-FT-Ft-Fnsina=0求Fn ，因为在x 方向，实际上还有XA 、XB 两力的投影 二、重心1、物体的重心物体的重量（力）：物体每一微小部分地球引力的合力。

静力平衡原理
静力学是机械学的一个重要分支，它关注物体的力学平衡问题。

在静力学中，静力平衡定理是一种重要的原理。

本文将介绍静力平衡原理的基本概念、公式及其应用。

一、基本概念
静力平衡原理指的是物体在静止状态下总的合力、合力矩为零。

力矩是力在物体上产生的旋转效应，也可以叫做扭矩或者力臂，是一个向量。

合力矩是指物体上所有力矩的矢量和。

根据牛顿第三定律，力矩的大小相等方向相反。

二、公式
在平面上的物体，静态平衡公式如下：
ΣF = 0
ΣM = 0
其中，ΣF代表所有力的合力，ΣM代表力矩的合力。

三、应用
静力学平衡原理应用广泛，以下是几个具体的例子：
（1）摆钟
摆钟的运作依赖于摆锤的摆动往复运动，要让摆锤始终保持在同一频
率下来平衡摆钟，摆锤的重力向下，绳子的张力向上。

由于物体静止，所以要保证ΣF = 0。

人们通过调整绳子的长度，调整摆锤的位置来保证ΣM = 0，从而保证摆钟的运转。

（2）建筑物的设计
在建筑物的设计中，静力平衡原理问题对于建筑体系的结构完整性和
稳定性至关重要。

设计师必须确保所有物体受力平衡，以确保建筑安全。

（3）物理实验
在物理实验的相关研究中，静力平衡原理广泛应用。

例如在静电学实
验中，靠近电荷的另一个电荷受到的力矩平衡等，可以通过原理来证
明一些物理公式。

总之，静力平衡原理是机械学中的一种基本原理，具有广泛的应用。

了解这一原理有助于我们更好地理解力学平衡问题，提高我们的物理
学习能力。

静力的平衡条件静力学是物理学的一个重要分支，研究的是物体在静止状态下的平衡条件和相互作用。

静力学中的平衡条件在解决物体平衡问题时起着关键作用。

在本文中，我们将探讨静力学中的平衡条件及其应用。

1. 平衡和力的概念在静力学中，平衡指的是物体处于静止状态，或者以匀速直线运动的状态，其运动状态不会改变。

而力则是使物体发生运动或改变运动状态的作用。

平衡条件即是为了保持物体在静止状态下的条件。

2. 平衡条件的基本原理静力学中的平衡条件主要基于牛顿定律，即物体处于平衡时，合外力和合力矩均为零。

合外力为物体受到的所有外力的代数和，而合力矩则是作用在物体上的所有力矩的代数和。

3. 平衡条件的具体表达平衡条件的具体表达分为两种情况：平衡力的条件和平衡力矩的条件。

3.1 平衡力的条件当物体处于平衡状态时，合外力为零。

这意味着物体受到的所有外力的合力为零。

即∑F = 0，其中∑F代表力的代数和。

例如，当一个物体挂在天平的一端时，要使天平处于平衡状态，物体受到重力的作用，但也需要受到一个等大反向的推力，才能使合外力为零，保持平衡。

3.2 平衡力矩的条件当物体处于平衡状态时，合力矩为零。

这意味着物体受到的所有力矩的代数和为零。

即∑τ = 0，其中∑τ代表力矩的代数和。

例如，当我们将一个物体放在平衡的支撑物上时，支撑物对物体产生的支持力会产生一个与重力相等且反向的力矩，以保持物体处于平衡状态。

4. 平衡条件的应用静力学中的平衡条件在实际生活和工程中有着广泛的应用。

以下是一些应用实例：4.1 桥梁结构桥梁是工程中常见的结构物，平衡条件在桥梁设计和建造中起着关键作用。

通过对桥梁各个部分的力和力矩进行平衡分析，可以确定桥梁的稳定性和承载能力，确保桥梁安全运行。

4.2 建筑物在建筑物中，平衡条件被广泛应用于各个结构部分的设计和施工中。

通过合理分析建筑物的受力情况，确保建筑物能够承受各种荷载，保证建筑的稳定性和安全性。

4.3 机械设备在机械设备中，平衡条件对于设备的操作和运行非常重要。