第3章 工程构件静力学平衡问题

工程力学——课后练习题讲解教师张建平第一章静力学基础课后习题：1. P32习题1-12. P32习题1-23. P33习题1-8图a和b所示分别为正交坐标系Ox解：图（）：F分力：图与解图，两种情形下受力不同，二者的1-2a解图示压路机的碾子可以在推力或拉力作用下滚过）：θ解图第二章力系的简化课后习题：1. P43习题2-12. P43习题2-23. P44习题2-4由作用线处于同一平面内的两个力F和习题图所示一平面力系对A(30)，B(0，图示的结构中，各构件的自重都略去不计。

1图2-4解习题）中的梁∑0,F0,1m习题3-3图解：根据习题3-3第三章附加习题课后习题：1. P69习题3-52. P69习题3-63. P70习题3-74. P71习题3-135. P71习题3-143-14 图示为凸轮顶杆机构，在凸轮上作用有力偶，其力偶矩确定下列结构中螺栓的指定截面Ⅰ－Ⅰ上的内力分量，，产生轴向拉伸变形。

，产生剪切变形。

如习题4-2图所示直杆A、C、B在两端A、B处固定，在C解：首先分析知，该问题属于超静定问题，受力图如图所示：试用截面法计算图示杆件各段的轴力，并画轴力图，单解：(a)题题－3一端固定另一端自由的圆轴承受四个外力偶作用，如5-3解：将轴划分为四个截面扭矩平衡方程im m 扭矩平衡方程+m3-3扭矩平衡方程5-5 试写出图中所示各梁的剪力方程、弯矩方程图3建立坐标系并确定两个控制面，如图左侧为研究对象：−=）取根据力平衡方程和弯矩平衡方程得出4ql弯矩方程：1解建立坐标系，并取两个控制面，如图ql ql1Q。

第1章 工程静力学的基础例1：用小手锤拔起钉子的两种加力方式。

两种情形下，加在手柄上的力F 的数值都等于100N ，手柄的长度l =100 mm 。

试求：两种情况下，力F 对点O 之矩。

解： 图a 中的情形这种情形下，力臂: O 点到力F 作用线的垂直距离h 等于手柄长度l ，力F 使手锤绕O 点逆时针方向转动，所以F 对O 点之矩的代数值为图b 中的情形这种情形下，力臂 力F 使手锤绕O 点顺时针方向转动，所以F 对O 点之矩的代数值为例2：已知 :作用在托架的A 点力为F 以及尺寸 l 1, l 2 , α . 试求: 力F 对O 点之矩MO (F )解 : 可以直接应用力矩公式计算力F 对O 点之矩。

但是，在本例的情形下，不易计算矩心O 到力F 作用线的垂直距离h 。

如果将力F 分解为互相垂直的两个分力F l 和F 2，二者的数值分别为 这时，矩心O 至F l 和F 2作用线的垂直距离都容易确定。

30N 300100()m 30N m 10300N 100F 3⋅=⨯⨯===-Fl Fh m Ocos30l h =cos30300100cos30()m N 98.52cos30m 10300N 100cos30F 3⋅=⨯⨯⨯===-Fl Fh mO－sin45cos4521F F F F ＝＝ sin45cos4521F F F F ＝＝于是，应用合力之钜定理 mO (F ) = mO (F cos α)+mO (F sin α) 可以得到例3：具有光滑表面、重力为F W 的圆柱体，放置在刚性光滑墙面与刚性凸台之间，接触点分别为A 和B 二点。

试：画出圆柱体的受力图。

解：1．选择研究对象本例中要求画出圆柱体的受力图，所以，只能以圆柱体作为研究对象。

2．取隔离体将圆柱体从所受的约束中分离出来，即得到圆柱体的隔离体。

3．画受力图作用在圆柱体上的力，有：主动力－圆柱体所受的重力，沿铅垂方向向下，作用点在圆柱体的重心处；约束力－因为墙面和圆柱体表面都是光滑的，所以，在A 、B 二处均为光滑面约束，所以约束力垂直于墙面，指向圆柱体中心；圆柱与凸台间接触也是光滑的，也属于光滑面约束，约束力作用线沿二者的公法线方向，即沿B 点与O 点的连线方向，指向O 点。

静力学平衡的条件静力学平衡是物体处于力的作用下不发生平动和转动的状态。

在物体受到多个力的作用时，只有在满足一定的条件下，物体才能保持静力学平衡。

下面将详细介绍静力学平衡的条件以及其应用。

首先，我们来了解一下静力学平衡的基本概念。

在物理学中，力被定义为物体之间的相互作用，它可以使物体发生平动（直线运动）或旋转运动。

而静力学平衡是指物体在受到多个力的作用下，不发生平动或旋转运动，保持静止的状态。

要使物体处于静力学平衡，需要满足以下两个条件：1. 作用在物体上的合力为零：当物体受到多个力的作用时，合力是指所有力的矢量和。

如果作用在物体上的所有力的合力为零，即ΣF=0，那么物体将保持静止状态。

2. 作用在物体上的合力矩为零：力矩是指力绕固定点产生的转动效果。

当物体受到多个力的作用时，如果合力产生的力矩为零，即Στ=0，那么物体将不发生转动。

这两个条件是静力学平衡的基本要求，它们可以用数学方式表达为ΣF=0和Στ=0。

通过解这两个方程，我们可以得到物体处于静力学平衡时的各种力的大小和方向。

静力学平衡的条件不仅适用于简单的力学问题，也可以应用于复杂的工程和结构设计中。

例如，在建筑物和桥梁的设计中，静力学平衡的原理被广泛应用。

工程师需要通过计算各个部分受力的大小和方向，以保证结构的稳定和安全。

此外，静力学平衡的原理还可以用于解释一些日常生活中的现象。

例如，我们常见的平衡木就是基于静力学平衡的原理设计的。

当人站在平衡木上时，平衡木的两端受到相等大小的力，并且这些力的合力和合力矩均为零，从而使平衡木保持平衡。

同样的原理也适用于天平、摇摆椅等物体。

静力学平衡的条件不仅在物理学中有重要应用，在工程学和生活中也起着至关重要的作用。

它帮助我们理解物体静止和平衡的原理，并能够指导我们设计和构建稳定的结构。

总结起来，要使物体处于静力学平衡，必须满足作用在物体上的合力为零和合力矩为零的条件。

这些条件是静力学平衡的基本要求，我们可以通过解决这些条件得到物体受力的大小和方向。

工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题工程力学是研究物体静止或运动状态下受力和变形的学科。

而静力学平衡和结构平衡问题是工程力学的重要内容之一。

本文将探讨静力学平衡的基本原理和结构平衡的相关概念。

一、静力学平衡问题静力学平衡问题是指研究物体在不发生运动的情况下的受力平衡情况。

在静力学平衡问题中，物体所受外力和外力对物体的作用点位矢量之和为零，即∑F = 0。

这是基于牛顿第一定律的，物体处于静止或匀速直线运动状态时，所受合力为零。

在解决静力学平衡问题时，常使用力的合成与分解原理以及受力分析的方法。

通过分析物体所受的各个力的作用方向和大小，可以确定物体所处的平衡状态。

静力学平衡问题的应用很广泛，比如在建筑工程中，我们需要确保建筑物的稳定性。

通过分析各个构件所受的力和力矩，可以确定建筑物的结构是否平衡，从而保证其安全性。

二、结构平衡问题结构平衡问题是指研究物体内部各个构件的受力平衡情况。

在解决结构平衡问题时，需要考虑物体内部的各个节点和构件之间的相互作用关系。

结构平衡问题可以通过静力学平衡的原理来解决。

对于一个构件而言，其受力平衡要求总力合为零。

在力的合成与分解原理的帮助下，可以确定每个节点上的力的大小和方向，从而得到整个结构的受力平衡状况。

在实际工程中，结构平衡问题是保证建筑物和桥梁等工程结构稳定性的重要问题。

通过分析结构的受力平衡情况，可以确定结构的合理设计，并且预测结构在受到外力作用时的变形情况，从而确保结构的安全性。

三、应用实例为了更好地理解工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题，我们举一个简单的桥梁的实例。

考虑一座桥梁，桥上有一辆汽车在通过。

我们需要确保桥梁的结构平衡以保证安全。

首先，我们可以将桥梁简化为若干个构件，比如桥墩、桥面等。

通过静力学平衡原理，我们可以分析每个构件所受的受力情况。

以桥墩为例，桥墩受到来自桥面和汽车的作用力。

通过力的合成与分解原理，我们可以确定桥墩所受力的大小和方向。

类似地，我们可以对桥面和其他构件进行受力分析。

第3章 静力学平衡问题 §3.1 平衡与平衡条件一、平衡的概念物体的平衡，在工程上是指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。

平衡是相对于确定的参考系而言的。

静力学所讨论的平衡问题可以是单个刚体，也可以是由若干个刚体组成的刚体系统。

刚体或刚体系统是否平衡取决于作用在其上的力系。

二、平衡条件要使物体保持平衡状态，作用在其上的力必须满足一定的条件，这种条件我们称为力的平衡条件。

从效应上看，物体保持平衡应是既不移动，又不转动。

因此，力系的平衡条件是，力系的主矢和力系对任一点的主矩等于零。

其解析表达式称为平衡方程。

§3.2 平面力系的平衡方程一、平面力系的平衡方程1）基本形式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(000F M Y X2）二矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴3）三矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线特殊力系的平衡方程 1）共线力系：=∑i F2）平面汇交力系：⎩⎨⎧=∑=∑00Y X3）平面力偶系： 0i m =∑4）平面平行力系： )//( 0)(0轴y M Y i o F F ⎩⎨⎧=∑=∑§3.3 空间力系的平衡方程一、空间力系的平衡方程其基本形式的平衡方程为：ΣX=0 ΣM x(F)=0ΣY=0 ΣM y(F)=0ΣZ=0 ΣM z(F)=0必须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。

具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。

此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。

使计算更为简便。

几种特殊力系的平衡方程1）空间汇交力系ΣX=0ΣY=0ΣZ=02）空间力偶系ΣM x(F)=0ΣM y(F)=0ΣM z(F)=03）空间平行力系（若各力//z轴）ΣZ=0ΣM x(F)=0ΣM y(F)=04）平面任意力系（若力系在Oxy平面内）∑X==∑YM(=∑F)z§3.4 平衡方程的应用一、一般应用举例例3-1，例3-3，例3-4，例3-5（改求起重机不翻平衡块的重量就应是多少？），例3-6，例3-7 补充：已知：带轮D ：D1=400 mm ，FT=2000 N ，Ft=1000 N ；齿轮C ：D2=200 mm ，a=20° 求：齿轮C 的啮合力Fn ，轴承A 、B 的约束力FA 、FB轴承A 、B 的约束力FA 、FB 就是圆轴受支座中圆孔的约束力，圆孔销钉就是固定铰链两个分力 为说明两分力方向，建立空间直角坐标系Ｏxyz ？y 轮轴线，z 轴铅直，Ｏxy 是水平面，三轴垂直 轴承支座表示方法(下图)，其约束两分力为xz 方向，用F Ax 、F Az 和F Bx 、F Bz ，或X A 、Z A 和X B 、Z B 侧视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxz 平面上)受力图，没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除这两个轴承约束=B M ∑02cos 2221t 1T =⨯⨯⨯D F D F D F n a --2000×200-1000×200-Fncos20°×100=0 Fn=2130 N主视图(将轮轴及其受力投影到Ｏyz 平面上)受力图，其中Fnz=Fncos20°=2130×0.9396=2000 N因主动力Fnz=2000 N 作用点到A 、B 两个支座距离相同，方向向上显然,与之平衡的两支座约束力大小相等，实际方向向下，和受力图所画的方向相反，所以N10002N 20002-====--nzB A F Z Z俯视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxy 平面上) 受力图，其中Fnx=Fnsin20°=2130×0.3420=729 NΣMA=0 -(FT+Ft)×0.15+Fnx ×0.25-XB ×0.5=0 -(2000+1000)×0.15+729×0.25-XB ×0.5=0 XB=-536 NΣFx=0 -FT-Ft+XA-Fnx+XB=0 -2000-1000+XA-729+(-536)=0 XA=4265 N 结论：Fn=2130 NXA=4265 N ； XB=-536 N ZA=-1000 N ； ZB=-1000 N 小结：①轮轴类部件平面解法：1.侧视图求未知主动力 2.主视图求铅直向约束力 3.俯视图求水平向约束力在每一视图上，使用平面力系力的投影方程和力矩平衡方程求解未知力 ②皮带拉力，无论倾斜与否，总是和轮缘相切，对轮轴的力矩等于拉力乘以半径齿轮啮合力一定和其分度圆不相切，对轮轴的力矩=啮合力×cosa ×半径（啮合力×cosa=圆周方向分力）③侧视图上没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除两个轴承约束（若画有XA 、ZA 和XB 、ZB 四力） 不能用ΣFx=0，-FT-Ft-Fnsina=0求Fn ，因为在x 方向，实际上还有XA 、XB 两力的投影 二、重心1、物体的重心物体的重量（力）：物体每一微小部分地球引力的合力。

工程力学（静力学与材料力学）习题第3章力系的平衡3－1 试求图示两外伸梁的约束反力F R A、F R B，其中（a）M = 60kN·m，F P = 20 kN；（b）F P = 10 kN，F P1 = 20 kN，q = 20kN/m，d = 0.8m。

（a）（b）习题3－1图3－2 直角折杆所受载荷，约束及尺寸均如图示。

试求A处全部约束力。

习题3－2图3－3 图示拖车重W = 20kN，汽车对它的牵引力F S = 10 kN。

试求拖车匀速直线行驶时，车轮A、B 对地面的正压力。

习题3－3图3－4 图示起重机ABC具有铅垂转动轴AB，起重机重W = 3.5kN，重心在D。

在C处吊有重W1 = 10kN 的物体。

试求滑动轴承A和止推轴承B的约束力。

习题3－4图习题3－5图 习题3－6图习题3－8图 习题3－7图 3－5 图示钥匙的截面为直角三角形，其直角边AB = d 1，BC = d 2。

设在钥匙上作用一个力偶矩为M 的力偶。

试求其顶点A 、B 、C 对锁孔边上的压力。

不计摩擦，且钥匙与锁孔之间的隙缝很小。

3－6 图示一便桥自由放置在支座C 和D 上，支座间的距离CD = 2d = 6m 。

桥面重321kN/m 。

试求当汽车从桥上面驶过而不致使桥面翻转时桥的悬臂部分的最大长度l 。

设汽车的前后轮的负重分别为20kN 和40kN ，两轮间的距离为3m 。

3－7 直解三角形平板OBC 的载荷，约束及尺寸（OB = d 1，OC = d 2）如图所示。

试求A 、O 处约束力。

3－8 起重机装有轮子，可沿轨道A 、B 移动。

起重机桁架下弦DE 的中点C 上挂有滑轮（图未画出），用来提起挂在索链CG 上的重物。

从材料架上提起的物料重W = 50 kN ，当此重物离开材料架时，索链与铅垂线成 = 20°角。

为了避免重物摆动，又用水平绳索GH 拉住重物。

设索链张力的水平分力仅由右轨道B 承受，试求当重物离开材料架时轨道A 、B 的受力。

工程力学中的静力平衡和动力平衡工程力学是应用力学原理解决工程实际问题的学科，其中静力平衡和动力平衡是基本概念。

静力平衡是指物体在静止状态下所处的力的平衡，而动力平衡则是指物体在运动状态下所处的力的平衡。

本文将就工程力学中的静力平衡和动力平衡进行探讨。

一、静力平衡静力平衡是工程力学中的一个重要概念，它是指物体处于静止状态下所受力的平衡。

在静力平衡的条件下，物体不会发生运动或旋转。

静力平衡的核心原理是力的平衡，即合力为零。

根据牛顿第一定律，当物体处于静止状态时，合外力为零。

这意味着物体所受的外力与其受到的内力相平衡。

为了满足静力平衡，必须满足以下两个条件：1. 合力为零：物体受到的所有外力的合力必须为零。

这意味着物体所受的各个力在空间中的向量和必须为零。

2. 转矩为零：物体受到的所有力对于物体某一点的合力矩必须为零。

这意味着物体所受的各个力在空间中的转矩和必须为零。

满足这两个条件，物体才能实现静力平衡。

在实际工程中，静力平衡的原理被广泛应用于桥梁、建筑物、机械设备等的设计和施工中。

二、动力平衡与静力平衡不同，动力平衡是指物体在运动状态下所受力的平衡。

在动力平衡的条件下，物体可能发生运动或旋转，但其没有加速度。

动力平衡的核心原理是力矩的平衡，即合外力矩为零。

根据牛顿第二定律，当物体处于动态平衡时，合外力矩为零。

这意味着物体所受的合外力矩与其惯性力矩相平衡。

为了满足动力平衡，必须满足以下两个条件：1. 合外力矩为零：物体受到的所有外力矩的合力必须为零。

这意味着物体所受的各个力矩在空间中的矢量和必须为零。

2. 合外力为零：物体受到的所有外力的合力必须为零。

这意味着物体所受的各个力在空间中的矢量和必须为零。

满足这两个条件，物体才能实现动力平衡。

在工程实践中，动力平衡的原理被广泛应用于机械设备、交通工具、飞行器等的设计和运行中。

三、静力平衡与动力平衡的区别1. 状态不同：静力平衡是指物体处于静止状态下的力平衡，而动力平衡是指物体处于运动状态下且没有加速度的力平衡。