6、二次根式的混合运算2

二次根式的混合运算
本文介绍了二次根式的混合运算，其中重点剖析了有理化因式和分母有理化的方法，以及二次根式混合运算的注意事项。

在计算中，需要注意运算顺序和最简二次根式的表示。

文章提供了典型例题，通过运用相关知识点进行计算。

二次根式的混合运算包括加、减、乘、除和整式的加、减、乘。

在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。

分母有理化的一般方法是用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。

二次根式混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则在根式中仍然适用。

每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。

在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。

有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数。

例如，3
的有理化因式可以是3,23,33……但在一般情况下，我们所找
的有理化因式应是最简单的。

一般常见的互为有理化的两个代
数式有如下几种情形：a和a，a+b和a-b，a-b和a+b，ma+nb
和ma-nb。

二次根式的除法一般是先写成分式的形式，然后通
过分母有理化来进行。

典型例题中，例1的计算包括四个部分，分别是(1)、(2)、(3)和(4)。

在计算中，需要注意运用a-b=(a+b)(a-b)、分母有理化、最简二次根式的表示和整式除法法则等知识点。

通过对例题的计算，可以更好地理解二次根式的混合运算。

二次根式的混合运算法则二次根式是数学中的一个重要概念，也是数学中常见的运算形式。

在二次根式的混合运算中，我们需要遵循一定的法则和步骤，以确保运算结果的准确性。

本文将介绍二次根式的混合运算法则，并通过实例进行说明。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。

在二次根式中，根号内的数称为被开方数，根号外的数称为系数。

二次根式可以进行加、减、乘、除等运算，但需要遵循一定的法则和步骤。

二、二次根式的混合运算法则1. 加法运算当二次根式相加时，要求被开方数相同，系数相加即可。

例如，√2 + √2 = 2√2。

2. 减法运算当二次根式相减时，同样要求被开方数相同，系数相减即可。

例如，√3 - √2 = √3 - √2。

3. 乘法运算当二次根式相乘时，可以将系数相乘，被开方数相乘并合并为一个二次根式。

例如，2√3 * 3√2 = 6√6。

4. 除法运算当二次根式相除时，可以将系数相除，被开方数相除并合并为一个二次根式。

例如，6√6 / 3√2 = 2√3。

5. 混合运算在二次根式的混合运算中，可以按照运算法则依次进行加、减、乘、除等运算。

需要注意的是，乘法和除法运算的优先级高于加法和减法运算。

三、实例分析为了更好地理解二次根式的混合运算法则，我们来看几个实例。

1. 实例一：计算√5 + √3 - √2的值。

根据加法运算法则，√5 + √3 = √5 + √3，再根据减法运算法则，√5 + √3 - √2 = √5 + √3 - √2。

2. 实例二：计算(2√6 - √2) * √3的值。

根据减法运算法则，2√6 - √2 = 2√6 - √2，再根据乘法运算法则，(2√6 - √2) * √3 = 2√18 - √6。

3. 实例三：计算(3√10 + 2√5) / √2的值。

根据加法运算法则，3√10 + 2√5 = 3√10 + 2√5，再根据除法运算法则，(3√10 + 2√5) / √2 = (3√10 + 2√5) / √2。

初二数学二次根式混合运算一、二次根式的概念回顾形如√(a)（a≥0）的式子叫做二次根式。

其中，被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。

例如，√(4)，√(x + 1)（其中x≥ - 1）都是二次根式。

二、二次根式的性质1. (√(a))^2=a（a≥0），例如(√(5))^2 = 5。

2. √(a^2)=| a|=cases(a, & a≥0 -a, & a<0)，例如√(3^2)=3，而√((-2)^2)=2。

三、二次根式的乘除法法则1. 乘法法则- √(a)·√(b)=√(ab)（a≥0,b≥0）。

例如：√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。

2. 除法法则- (√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}（a≥0,b > 0）。

例如：(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。

四、二次根式的加减法1. 先将二次根式化为最简二次根式。

最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例如，√(12)不是最简二次根式，因为12 = 4×3，所以√(12)=√(4×3)=2√(3)，2√(3)是最简二次根式。

2. 然后合并同类二次根式。

同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

例如，3√(2)和5√(2)是同类二次根式，可以合并，3√(2)+5√(2)=(3 + 5)√(2)=8√(2)。

五、二次根式混合运算的顺序1. 先算乘方（开方）。

例如计算(√(3))^2+√(8)div√(2)，先算(√(3))^2 = 3。

2. 再算乘除，后算加减。

接着上面的式子，再算√(8)div√(2)=√(4)=2。

3. 有括号的先算括号里面的。

例如计算(2+√(3))(2-√(3))，这里先利用平方差公式(a + b)(a - b)=a^2 - b^2，得到2^2-(√(3))^2=4 - 3 = 1。

《二次根式的乘除混合运算》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《二次根式的乘除混合运算》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析本节课是人教版八年级下册第十六章《二次根式》中的重要内容。

二次根式的乘除混合运算既是对二次根式乘法和除法法则的综合运用，也是后续学习二次根式的加减运算以及解二次根式方程的基础。

通过本节课的学习，学生将进一步提高对二次根式运算的理解和掌握，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。

在教材的编排上，先介绍了二次根式的乘法和除法法则，然后通过实例引入二次根式的乘除混合运算，让学生在实际运算中体会法则的应用，逐步掌握运算方法和技巧。

二、学情分析八年级的学生已经掌握了实数的基本运算和整式的乘除运算，具备了一定的运算能力和逻辑思维能力。

但对于二次根式的运算，尤其是乘除混合运算，可能会在运算顺序、化简过程中出现错误。

部分学生可能对法则的理解不够深入，在应用时容易出现混淆。

因此，在教学过程中，要注重引导学生理解法则的本质，加强练习，及时纠正错误。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够熟练掌握二次根式的乘除混合运算的法则和方法。

（2）能够正确进行二次根式的乘除混合运算，并化简结果。

2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、归纳等活动，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

（2）在运算过程中，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的自信心。

（2）培养学生严谨的学习态度和良好的运算习惯。

四、教学重难点1、教学重点（1）二次根式的乘除混合运算的法则和顺序。

（2）正确化简二次根式的乘除混合运算结果。

2、教学难点（1）运算过程中符号的确定和根式的化简。

（2）灵活运用二次根式的乘除法则进行混合运算。

五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解二次根式的乘除混合运算的法则和方法，使学生形成系统的知识体系。

16.3.2二次根式的加减及混合运算考点一、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.考点二、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.题型1：二次根式的加减法1-数字型182）A．5 B10C．32D．42C【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．82822232==故选C．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．2273______．23先进行化简，然后作差求解即可．解：原式333==【点睛】本题考查了二次根式的化简与减法运算．解题的关键在于正确的计算．3______．首先化简二次根式，进而合并求出即可．解：原式==故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．题型2：二次根式的加减法2-字母型4．计算：（1________；（2）=_________．根据合并同类二次根式的法则计算即可；解：（1=，（2）-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键5．计算；（1(=________；（2）5-________．-【分析】（1）先化简二次根式，然后根据合并同类二次根式的法则计算即可；（2）讨论x和a同时大于0和同时小于0，利用二次根式的性质化简即可．解：（1(=（2）ax≥∴0当0x >，0a ≥时55x ---当0x <，0a ≤时55x -+=故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键．6．计算二次根式________．合并同类二次根式得：故答案：7．1642 ） A ．正数B ．非正数C ．非负数D ．负数B【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定0x ≥0≥，最后确定值的符号即可．解:1642=1642x x ⋅24==-∴0x ≥0≥，∴0-≤，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键．题型3：二次根式的混合运算1-数字型8=_____________． 2【分析】 先把分子中的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．2=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后进行二次根式的乘除运算．9．计算：=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8C【分析】先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可．原式6=÷==．故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．1002019)-=________． 1【分析】根据二次根式的运算法则和零指数的性质进行计算即可．解：原式1= 4211=--=故答案为1．【点睛】本题考查了二次根式的运算法则和零指数，解题关键是熟练运用相关法则，准确进行计算．11-+⨯ ）A ．+B ．32C ．D ．A【分析】先化简各个二次根式再合并即可.=故选A.【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简与同类二次根式的合并是解题的关键.12=______．44 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．=4==4故答案为：4【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．13 ）A ．-B C ．36-D ．6-D【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可原6==-故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．=______．14先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．==11【点睛】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．15-分别根据分母有理化、二次根式的乘法和二次根式的性质化简与计算，再合并同类二次根式即可．-=-262【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型4：二次根式的大小比较16．请用“>，=，<”符号比较大小：＞【分析】求出=解：==∵18＞12，∴故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．17910＝______．> 2##2【分析】根据45<<可推出101711210510，从而可比较两数大小；利用平方差公式分母有理化即可．解：∵45<<，∴516<<， ∴51716555即101711210510，910>；2==故答案为：>； 2． 【点睛】本题考查实数的大小比较，和二次根式的化简．能正确得出45<<和利用平方差公式分母有理化是解题关键．18．比较大小：（1）（2）4_________2+（3；（4> ， < ， > ， <【分析】（1）先将 ，有4532>，即可比较大小；（2）利用作差法，即可比较大小；（3）利用作商法，即可比较大小；（4>解：（1）∵==4532>，>∴>（2）∵(4(24222(1-+=--=-，又1，∴2(10<，即(4(20-+<，∴42+（3）1 ===>，>；（4）><故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<．【点睛】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．题型5：二次根式的混合运算2-字母型及复合型19．若m，n+mn=_____.1【分析】利用二次根式的运算法则将已知等式化简，求出m、n的值，代入mn即可求解.1414∴4m=1, 4n=16,∴m=14， n=4，mn=414⨯= 1. 故答案为1.【点睛】本题考查二次根式的化简求值.20．若a 、b a +=a ________，b =________． 0 214 【分析】先把等式的左边化简，再合并同类二次根式，再利用实数的无理数性质可得答案．解： a =+，∴a =+a =+ ∴a =0，b =214． 故答案为：0;214． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，实数中无理数的性质，掌握合并同类二次根式与实数中无理数的性质是解题的关键．21．已知22a b ==，则（ ）A ．a b =B ．1ab =C ．1ab =-D ．0a b +=D【分析】根据a 与b 的值结合选项进行一一比较及计算即可结论．∵2a =(22b ==-，∴a b ，A 选项不正确；∴(227ab =-=-+∴B 、C 选项都不正确；∴220a b +==，D 选项正确．故选D ．【点睛】此题考查了二次根式求值运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．22．已知：5a b +=-，1ab = ） A ．5B ．-5C ．25D ．5或-5A【分析】首先由a+b=-5，ab=1得出a 、b 的取值范围，然后使原式分母有理化，再由a 、b 的取值范围确定所求值的符号，通分化简代入求值；解：∵ab=1＞0，∴a 、b 同号，又∵a+b=-5＜0，∴a ＜0，b ＜0．115a b ⎫==+==⎪⎭； 故选：A【点睛】此题考查的知识点是二次根式的化简求值，关键是体现了整体代入思想，还要注意字母的取值．23．已知x =y =y x x y+=______． 8【分析】先把所求代数式通分，再把x 、y 的值代入进行计算即可． 解：22y x y x x y xy++=，将x =y =得：原式=22(53)(53)1682(53)(53)++-==+-， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键．题型6：二次根式的混合运算与分式24．先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷⎪++⎝⎭a a a a ，其中3a =． 2aa+，233- 【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可． 解：原式1(1)2(1)(1)-+=⨯++-a a a a a a 2=+a a 当3a =时，原式323=+ 233=-．【点睛】本题考查了分式加减乘除的混合运算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确进行化简．25．已知1526x =-，则21055x x x -+-的值．63【分析】 先根据分母有理化化简x ，再把原式变形即可求解． ∵1526x =-()()526526226526+==+-⨯+ ∴21055x x x -+-21025205x x x -+-=-25+2652065+26526--．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知二次根式、分式及完全平方公式的运算． 26．先化简，再求值：已知a 23+2221211a a a a a -+-+- 11a a-+，3【分析】先化简得11aa-+，再将a=11aa-+即可得．解：原式=2(1)1aa--=11(1)aaa a----=11aa -+当a=代入11aa-+得：111221231+=++．【点睛】本题考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．题型7：复杂的二次根式混合运算275【分析】先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求得结果．55==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．28．计算：(1)；(2)．(1)4(2)【分析】（1）先把括号内的二次根式化简及除法运算，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可；（2）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算二次根式的除法运算，从而可得答案.(1)解：2332332232322322626262626 464(2)解：ab a ab ab a b a ab a ab ab aa ab a ba ab ab a2a ab a bab aa ab a baba b a【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键.292式的性质和二次根式的加减计算法则进行化简即可．2===【点睛】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式．30．计算：（1（2）（12． 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减法则进行计算； （2）利用二次根式的乘除法则及分式乘法运算法则进行计算即可．解：（1）原式=4= （2）原式22213a m n m n =+-222133a m n m n=⨯+- )212a m n m n=+-2=2== 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．题型8：二次根式混合运算的应用31=________．根据长+宽列式，利用二次根式的性质化简，再进行二次根式的加法计算即可．解：这个长方形的长与宽的和 ．故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简方法．32．解不等式：11)x x +>-2x +＜根据解不等式的步骤解不等式即可．解：去括号，得1x +>，移项、合并同类项，得(11x >- 系数化为1，得x <2x <+【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本题的易错点是易忽略10．33．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x _________．24x x →→→输入减输出-根据题意可得：程序所代表的代数式为24x -，再由x 1x =，代入即可求解． 解：程序所代表的代数式为24x -， ∵x∴1x =，当1x =时，输出的值为21)4314-=--=-故答案为：- 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据程序图得到程序所代表的代数式为24x -是解题的关键． 34．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设1()2p a b c =++，则这个三角形面积为：S =明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当4a =，5b =，6c =时，三角形边a 上的高等于（ ）A B C D A【分析】由题意易得()11522p a b c =++=，则有S a 边上的高为h ，进而问题可求解．解：由题意，得：4a =，5b =，6c =；()11522p a b c ∴=++=；S ∴==； 设a 边上的高为h ，则12ah S =，22424s h a∴==故选：A．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．35．若22248t t---＝2.5，则22248t t-+-的值为_____．325【分析】设224t-=a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论．设224t-=a，则24-t2=a2，8-t2=a2-16，∵224t-−28t-=2.5，a-216a-=52，a−52＝216a-，两边同时平方得：(a−52)2＝a2−16，解得：a=89 20，则22248t t-+-，=8920+216a-，=8920+289()1620-，=8920+1521400，=8920+3920，=325，故答案为325．【点睛】本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心．一、单选题1．下列运算正确的是（）A222B222233=C．333D633=B【分析】根据二次根式的化简、加法与乘除法法则逐项判断即可得．解：A=B==C1>，所以，则此项错误，不符题意；D=故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及化简，熟练掌握运算法则是解题关键．2．下列等式成立的是（）A=B=C=3C【分析】用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．A A不符合题意；B=B不符合题意；C=C符合题意；D=D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间C【分析】由二次根式的性质，二次根式的乘法、加法进行计算，再进无理数的估算即可．==3∵12<<，∴435<+；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法、加法运算法则，以及无理数的估算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．4．当x=222x x++的值为（）A．14 B．17 C．533D．5+D【分析】将x=解：由题意得：当x=22++=+=+22225x x故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及求代数式的值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（）5A．B．-C．2D．2-A【分析】m、n的值，再用平方差公式计算（2m+n）（2m﹣n），最后再再代入求值即可．2，解：∵1m=1，小数部分为n，∴（2m+n）（2m﹣n）=224m n-=)22411⨯-=()431--=故选：A．【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的计算及平方差公式，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．6）A．0 B．3 CD．不存在B【分析】先根据二次根式有意义，求出xx的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．则102020xxx-≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解得：x≥2，∵x的增大而增大，∴当x＝2时，代数式的值最小，1+0+2＝3．故选：B．【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．7．已知ab11a b+的值为（ ） A ．﹣B ．C ．﹣D ．A 【分析】先进行通分计算，然后代入求值即可． 解：原式＝b a ab ab+＝a bab + 当ab＝﹣故选：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算成为解答本题的关键． 8．若0a <，0b <，化简 ） A ．(23-b a B ．(23--b a C ．(23-+b a D ．(23+b a C 【分析】a 化简 ，注意0a <，0b <，最后加减运算即可．解：223,ab a ab =-0a <，0b <，(2223332ab a abb a ∴-=-=-+故选：C ．【点睛】a 是解题关键．9．已知a b =c =a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a << A【分析】先把,,a b c再结合2021+20202020+2019,从而可得答案．解：∵a ==，b =，c ==，2021+20202020+2019, ∴.a b c <<故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．10．设12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，……，22111(1)n a n n =+++．其中n 为正整数，则）A ．201920202020 B ．202020202021 C ．202020212021 D ．202120212022D【分析】11(1)n n =++，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．解：∵n 为正整数，＝21(1)n n n n +++ ＝11(1)n n ++；2021a +＝（1+112⨯）+（1+123⨯）+（1+134⨯）+…+（1+120212022⨯） ＝2021+1﹣11111112233420212022+-+-++- ＝2021+1﹣12022 ＝202120212022． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数1n(n 1)+化成111n n -+抵消规律求和．二、填空题11=________．33【分析】先根据二次根式的性质化简，同时进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．解：原式＝33=故答案为：3本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．12＝ ____．4--4-【分析】根据二次根式的混合运算可进行求解．解：原式=2⎝=31--=4--故答案为4--【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．13，一矩形的长为，若该圆的面积与矩形的面积相等，则矩形的宽为____cm．【分析】园的面积=2rπ，矩形的面积=长×宽，根据圆的面积与矩形的面积相等可得2rπ=长×宽，代入数据即可求解．设矩形的宽为x cm∵圆的面积与矩形的面积相等，∴2rπ=长×宽2π=，解得：x=故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的面积与矩形面积得等量代换，熟练地掌握圆的面积公式与矩形的面积公式，根据题意找出等量关系列出等式是解题的关键．14==ab=_________2【分析】运用二次根式化简的法则先化简，再得出a，b的值即可．解：246-==∴== 2.2,1,a b∴=故答案为：2．ab本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则．15．已知52x =+，52y =-，求下列各式的值： （1）x y +=______；（2）222x xy y -+=______；（3）22x y -=______．25 16 85【分析】（1）把52x =+，52y =-代入x y +进行计算即可；（2）先计算x y -，再把222x xy y -+化为()2x y -，再代入计算即可；（3）把22x y -化为()()x y x y +-，再整体代入计算即可．解：（1）∵52x =+，52y =-，2 5.x y（2）∵52x =+，52y =-， 52524,x y ∴()22222416.x xy y x y -+=-==（3）∵25,x y4,x y -= ∴()()222548 5.x y x y x y -=+-=⨯=故答案为：（1）25；（2）16；（3）85【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“利用完全平方公式与平方差公式进行简便运算”是解本题的关键．16．现有一块长25dm ，宽23dm 的长方形木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是4dm 2和9dm 2的正方形木板？______（填“能”或者“否”）．否根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2dm 和3dm ，然后进行比较相应的边长即可．解：，由于，∴不能够在这块木板上截出两个面积分别是4dm 2和9dm 2的正方形木板．故答案为：否．【点睛】本题考查了二次根式的应用，正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小是解题的关键．17．对任意的正数a ，b ，定义运算“*”如下：)),*.a b a b a b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩计算()()3*23*5+的结果为______．【分析】根据新定义，将所给数值代入计算即可．解：∵))*a b a b a b ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩， ∴()()3*23*5+==故答案为：【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是读懂新定义的运算法则．180.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a =b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b =+++，则12100S S S +++=_______．5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．解：a =b =1ab ==∴， 1112211112a b a b a b b b a bS a a ++++=+===+++++++， 222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++， …，10010010010010010010010010010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++=121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】 本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．三、解答题19．计算：﹣(22+（3）（ (1)-5(2)-6【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后化简后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．(1)解：原式））7﹣﹣1=﹣5(2)原式=﹣6．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．计算：⎛ ⎝-【分析】先化简括号内的二次根式，同步计算后面的分母化，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可.解：⎛ ⎝2222326322222222222222=-【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.21．计算：)21⎭．-根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则计算．解：原式=31-=31231---+=-【点睛】本题考查了二次根式的加减运算、乘法运算，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．22==的值．4 【分析】根据二次根式分母有理化计算即可；2=+2==原式===224=；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和乘除运算，准确化简是解题的关键．23-【分析】通分并利用同分母分式的减法法则合并，再利用平方差公式简便计算即可求解．=((1218⨯=-==-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．24．已知：11,x y--==，求值：x2﹣y2．先利用分母有理化把二次根式化简，再利用平方差公式分解因式，进而即可求解．解：∵11,x y--==，∴x y====∴x2﹣y2=（x+y）（x-y）=⎝⎭∙535322=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握负整数指数幂和分母有理化是解题的关键．25．三角形的周长为(cm，面积为(2cm，求：（1）第三边的长；（2）第三边上的高．（1）；（2）()4cm【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案；（2）设第三边上的高为x，列出等式12x⨯，求解即可．解：（1）三角形周长为(cm，∴第三边的长是：(故第三边的长为：；（2）设第三边上的高为x，则12x⨯，解得：x=，故第三边上的高为：()4cm．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握正确化简二次根式运算法则．26．算即可===本题考查了因式分解，二次根式的加减，将分式的分子因式分解是解题的关键．27先将各项分别化简，再合并同类二次根式．=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则以及二次根式的性质．28．计算：（1）129+）0115-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）41a⎫+⎪⎪-⎭．（1）3-；（2【分析】（1）分别计算分数指数幂，零指数幂，负指数幂以及化简二次根式，再算加减法；（2）根据二次根式和分母有理化以及约分进行计算即可．解：（1）)1121915-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=(3152+--=3-（2）41a⎫+⎪⎪-⎭=13⎤21-21本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键．29．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a ＝b ＝的大小，我们可以把a 和b 分别平方，∵a 2＝12，b 2＝18，则a 2＜b 2，∴a ＜b ．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c ＝，d ＝c d （填写＞，＜或者＝）．(2)猜想m ＝n ＝(3)＝ （直接写出答案）．(1)c >d(2)m <n ，证明过程见解析(3)4或【分析】（1）根据题干中“平方法”比较实数大小；（2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小；（3）根据题干中“平方法”找出21)p =-21)p =+质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案．(1)解：∵c 2=32，d 2=28，则c 2>d 2，∴c >d ；故答案为：>．(2)解：猜想：m <n ，证明：∵m ＝n ＝∴m 2=(2 n 2＝(2∴m 2<n 2，∴m <n ；(3)解：∵21)p =-21)p =+11∴p ≥1，分情况讨论：①1≤0，即1≤p ≤2时，原式=2(1+21)，=4；②1>0，即p >2时，原式=21)+21)，综合①②得：当1≤p ≤2时，原式=4；当p >2时，原式故答案为：4或．【点睛】此题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论．30．综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：()(2224131211+++=+⨯=+，()2225322-=+--=．1==(1)请你依上述方法将4-(2)(3)=a 、m 、n 均为正整数，则=a ________．(1))211 (2)2(3)5或7【分析】（1）参照题目例子，将4拆分为1和3，把4-转化为2()a b -的形式，即可求解；（2）用（1）中方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可；（3的平方，与a +进行对比即可求出a 值． (1)解：())22243121-=+-=-=，1． (2)解：()2228215532-+-=-===3=132=． (3)解：222()m n m n =+=+=++26a +a 、m 、n 均为正整数，()m n a ∴++=+m n a ∴+=，6mn =，当2m =，3n =或3m =，2n =时，5a m n =+=；当1m =，6n =或6m =，1n =时，7a m n =+=；故答案为：5或7．【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算，题目较为新颖，能够灵活运用完全平公式对二次根式进行化简是解题的关键．。

二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则是指在计算含有二次根式的算式时，按照一定的顺序进行运算。

这个规则是由平方、开平方、乘法、除法、加法、减法等运算法则组成的。

我们需要知道二次根式的基本性质。

二次根式是指一个数的平方根再开平方根。

例如，√(9+4√5)就是一个二次根式。

我们可以将其化简为a+b√5的形式，其中a和b是有理数。

接下来，我们来看看二次根式混合运算法则的具体步骤。

第一步：先计算二次根式内的运算
如果二次根式内有加减乘除的运算，先进行内部运算。

例如，计算√(3+2√2)+√(3-2√2)。

我们可以将两个二次根式内的加法运算先进行计算，得到：
√(3+2√2)+√(3-2√2)=√3+√2+√3-√2=2√3
第二步：计算二次根式之间的运算
如果算式中含有多个二次根式，先进行二次根式之间的加减运算。

例如，计算√5+√2-√10。

我们可以先将√5和√2进行加法运算，再将结果与√10进行减法运算，得到：
√5+√2-√10=√5+√2+(-√10)=√5+√2-√10
第三步：计算非二次根式的运算
如果算式中还含有非二次根式的运算，最后进行加减运算。

例如，计算(√3+√2)×(√3-√2)。

我们可以先将括号内的二次根式之间的减法运算进行计算，得到：
(√3+√2)×(√3-√2)=√3×√3-√2×√3+√2×√3-√2×√2=3-2=1
我们需要注意的是，在计算含有二次根式的算式时，需要特别注意运算的顺序。

只有按照一定的顺序进行运算，才能得到正确的结果。

二次根式的混合运算》教案二次根式的混合运算》教案教学目标：1、使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用。

2、能够应用乘法公式进行二次根式的乘法运算及分母有理化。

3、使学生能够熟练进行二次根式的加、减、乘、除混合运算。

教学过程：一、复引入1、回顾实数的运算定律，包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法对加法的分配律。

2、回顾单项式和多项式的乘法法则。

3、回顾二次根式的加减法和乘除法的计算方法。

二、探究新知识让学生阅读教材“做一做”，解决下面的问题：1、在梯形面积的计算中，包含二次根式的哪几种运算？按什么顺序运算的？2、计算过程中，每一步的依据是什么？3、整个计算运算运用了哪些运算律和二次根式的哪些性质？引导学生归纳：二次根式的混合运算是根据实数的运算律和运算顺序进行的。

三、例题讲解教材P147例3分析：1、小题类似单项式乘以多项式，应用分配律后，先做乘法，再做减法，按法则进行，注意化简二次根式。

2、小题类似多项式乘以多项式，利用多项式的乘法法则进行计算。

解：1、（6-3）×2/（8/3）×2/8 = 6×2 - 3×2/（8/3）×2/8 = 23/3 - √2/32、2+3√21-2教学重点：二次根式的混合运算。

教学难点：利用乘法公式进行计算及分母有理化。

情感态度与价值观：1、培养学生进行类比的研究思想和理解运算律、乘法公式的广泛意义。

2、激发学生的求知欲和提高学生的运算能力。

文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，但是可以对每段话进行小幅度改写。

重写1：可以利用平方差公式计算出例2中的第一小题。

具体地，2-2的平方是0，3的平方是9，所以2-2的平方加上3的平方等于9.然后，3乘以2得到6，所以最终结果是-4加上2等于-2.重写2：例2中的第二小题可以利用完全平方差公式进行计算。

首先，3的平方是9，2的平方是4，所以9减去4等于5.然后，5乘以2得到10，所以最终结果是10加上4减去4等于10.重写3：本题的解法比较简单，因为只需要利用平方差公式或完全平方差公式进行计算即可。