初中数学教材例题与习题“二次开发”的策略研究

初中数学教材例题、习题“二次开发”的策略研究新登镇屮学卢华伟【摘要】以数学课程标准为依据，就初中数学例题、习题教学的现状，进行列举和分析，并结合教学实践中的相关案例，紧紧围绕教材例题、习题“二次开发”的策略研究，运用例题、习题题目背景“二次开发”的策略，例题、习题题目条件与结论“二次开发”的策略，例题、习题题目基本图形“二次开发”的策略进行引导，寻求改进例题、习题处理的方法，以发挥其潜能.【关键词】初中数学例题习题教学现状二次开发策略研究—、问题的提出教材的“二次开发”，主要是指依据课程标准对教材内容进行适度增删、调整和加工，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。

教材的“二次开发”一方面服务于教师本人个性化的教学需求，体现出教师对教材内容的理解与阐释;另一方面也使原有的教材更适合于具体的教育教学情景，服务于学生的需要，有利于学生将教材内容转化为自己知识结构的组成部分.教材的例题、习题是教材的重要组成部分，因此，对例题、习题的“二次开发”也就成为教材“二次开发”的重要部分.笔者认为教材例题、习题的“二次开发”可以重点对题目背景、题目条件与结论、题目的解法、题目中的基本图形进行“二次开发” •现实教学过程中，教师对教材例题、习题“二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状，根本没有很好的利用例题、习题的所潜在的价值，而教材例题、习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的木质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界.正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任性的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但有不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力.”为此，笔者予以关注并参阅对例题、习题处理的相关知识“借题发挥”，结合案例分析，紧紧］韦I绕新课程标准标的要求进行探究，以期促进学生学会从多层次、广视角，全方位的认识、研究问题，从而提高课堂教学的有效性.二、数学课本例题、习题的教学现状及归因分析.数学课本上例题、习题是编者根据新课标的要求，进过深思熟虑安排的，具有很强的探究价值.教师对例题、习题进行“二次开发”，能提高学生的数学素养和解决问题的能力.（-）数学课本例题、习题的教学现状在数学教学中，例题与习题的教学是教学环节中的不可缺少的部分，这就耍求教师能很好的处理例题、习题的教学，以促进学生更好的发展.可是在通常的教学中教师是否真正加以体现和落实呢？首先看一节数学课例题、习题教学片段实录：有一块三角形余料ABC，它的边长BC= 120mm ,高A长为多少mm?（浙教版《数学》九（上）P118页4.4相似三角 B 形的性质）师：请把题目读一遍.生：看题目，读内容・师：哪位同学来讲讲？生：同学们在思考中.师：既然大家没有思路，那我给大家讲讲.生：抬头听老师讲解.师：讲解完毕后，问「懂了吗？”生：懂了.师：好，那我们看下一个题目・师：课后把课本后面的习题完成，到时我们来对答案・生：嗯.在讲解例题时，教师经常采用的几种教学方法：（1）老师读题，读好后开始分析，然后问学生听懂了没有，在学生部分肯定，部分无语中结束例题的讲解.（2）教师读题后，给学生时间思考，由有思路的学生讲解思路，在老师帮助下完成解答.（3）教师认为例题太过简单，所以用其他的题目代替，要求学生课后口己去看一下例题.（4）用别人做好的课件，根本不知道哪个是例题.教师对课本习题更加容易忽视，通常的方法是（1）布置习题，没有下文(2)布置习题，之后快速校对答案.教师在教学的过程中注重了教学环节的“流畅”，教学成为低效或无效的“走马观花”式的逛街场.长此以往，课堂教学模式基本上是灌输一接受.教师往往会比较注重教学的结果，强调题海战术。

初中数学教材例题与习题“二次开发”的策略研究一、问题的提出现实教学过程中，教师对教材例题与习题的处理都是简单的、表面的，对教材例题与习题“二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状。

而教材例题与习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。

正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任心的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力。

”二、核心概念界定教材例题与习题的“二次开发”：主要是指教师和学生在课程实施过程中依据课程标准对教材中的例题与习题的背景、条件和结论、解法以及题目中的基本图形进行再度发展和创新，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。

它以既有教材为依托，基于教材，又超越教材，可以从三个向度上展开：一是对既有教材例题与习题灵活地、创造性地、个性化地运用; 二是对其它教学素材资源的选择、整合和优化; 三是自主开发其它新的教学资源。

三、理论依据1.再创造理论荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为：数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。

他强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件。

弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现，是通过教师精心设计、创设问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，来探索问题的结果并进行组织的学习方式。

2.波利亚解题思想美国著名数学教育家G·波利亚认为：学习任何东西的最好的途径是自己去发现。

为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己发现要学习的材料。

初中数学教材中的例题、习题进行二次开发编题的几点看法随着新课程改革的不断推进与深化，初中数学教学思维得到了极大的拓展。

在初中数学教学工作中，教材的挖掘与理解显得很重要。

数学教材不再是束之高阁、一成不变的“圣经”，而是整体数学知识的载体，是学生学习和探究的主线。

对教材例题与习题的开发与编题显的很重要，对于初中数学教材例题习题的开发有一个重要原则：围绕着教材知识体系，在充分理解、吃透教材的基础上，对教材例题和习题加以革新创造，做到尊重教材、超越教材。

数学教材例题与习题二次开发编题要求数学教师从教学目标出发，结合到教材内容和学生的认知特点以及规律，对教材中的例题习题进行分类整合、创造，以锻炼学生举一反三的数学思维能力。

本文从初中数学教材特点出发出发，结合到初中数学教学实际，对教材例题与习题二次开发编题的实践进行探究。

初中数学课堂教学的重点任务之一即是对教材的有关例题与习题进行讲解，初中数学教学工作者有必要善于把握教材例题习题特点，充分对教材例题习题进行二次开发编题，锻炼学生的思维应变能力。

所谓的例题习题二次开发编题，其是指以新课程标准指导思想为中心，对教材中的相关例题习题进行适当的增删、调整和创新，使得教材例题习题更好地为数学教学工作服务。

总的来说，初中数学教材例题习题二次开发编题的目的和意义在于帮助学生更加牢固地理解和掌握数学知识，培养和提高学生的思维能力和创新能力，进一步促进数学课堂教学效率的提高。

一、初中数学教材例题习题二次开发编题的价值诉求初中数学教材例题与习题具有极强的典型性和适用性，因而对教材例题习题的二次开发编题是很有必要的。

在初中数学教学过程中，常存在着这样一种现象，教师利用投影仪授课，屏幕上显示这样一类数学题目：在一平面直角坐标系中，一四边形（ABCD）的四个顶点坐标分别为A（0，0），B（2，1），C（5，1），D（3，0），试判断该四边形是否为平行四边形，并给出相应证明。

对于这一类题目的讲解，主要有两种方法。

浅谈初中数学例题教学和习题教学的研究随着教育教学的不断发展，数学教育作为学科教学的重要组成部分，一直备受关注。

而数学例题教学和习题教学作为数学学习的两个重要环节，对学生的学习能力和数学素养的培养起着非常重要的作用。

本文将对初中数学例题教学和习题教学进行研究和探讨，探索如何更好地进行数学教学，提高学生数学学习的效果。

一、初中数学例题教学的研究例题教学是数学教学中非常重要的一个环节，它可以帮助学生理解数学知识，掌握解题方法，提高解题能力。

在进行初中数学例题教学时，教师需要注意以下几点：1. 合理选择例题。

例题的选择要考虑到学生的实际水平和学习需求，既要有代表性又要有难度，能够引导学生主动思考和解决问题。

2. 激发学生兴趣。

教师在讲解例题时，要注意激发学生的学习兴趣，可以通过生动的解题过程、趣味的故事等方式吸引学生的注意力，让他们愿意参与到课堂的讨论中来。

3. 引导学生思考。

教师在进行例题讲解时，要引导学生从不同角度思考问题，提高他们的问题解决能力和数学思维能力。

4. 分层次讲解。

由于学生的学习水平和学习态度不同，教师在讲解例题时，可以将例题分为基础、提高和拓展等多个层次，让学生根据自己的实际情况有针对性地进行学习。

1. 合理安排习题。

习题的设计要符合学生的实际水平和学习需求，既要包含基础练习又要包含提高练习，让学生在练习中逐步提高自己的数学能力。

2. 强化基础。

在进行习题教学时，教师可以多布置一些基础题目，帮助学生巩固知识点，提高解题能力，为后续的学习打下扎实的基础。

3. 注重方法和技巧。

在解题过程中，教师可以向学生传授一些解题方法和技巧，帮助他们更快地解决问题，提高解题效率。

4. 鼓励学生独立探索。

在进行习题教学时，教师可以鼓励学生多进行独立思考和探索，培养他们解决问题的能力和自主学习的态度。

初中数学例题教学和习题教学是数学教学中不可或缺的重要环节，它们对学生的数学学习起着至关重要的作用。

教师需要注重例题和习题的选择和讲解，引导学生主动思考和解决问题，激发他们对数学的兴趣和热情，提高数学学习的效果。

２４２　初中数学教材例题与习题二次开发的实践与思考■杨蓉蓉　（江苏省苏州市吴中区石湖中学　２１５１００）【摘　要】在初中数学教学中，教材上例题和习题的学习和练习是至关重要的一个环节。

数学教材中的例题、习题都是体现数学知识、蕴含数学思想方法的典型题型，具有很大的开发价值．当前数学教育非常关注初中数学教材例题与习题的二次开发。

这就要求数学教师从学生的认知特点出发，对教材中的例题习题进行分类整合、变化、创造，以促进学生逻辑思维的发展。

本文从初中数学教学实际出发，对初中数学教材（２０１１苏科版）例题与习题进行二次开发与探究，以提高课堂效率，培养学生分析问题、解决问题的能力。

【关键词】初中数学教材；例题与习题；二次开发；策略研究【中图分类号】Ｇ６１２ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）３１－０２４２－０１ 在初中数学教学中，教材上例题和习题的学习和练习是至关重要的一个环节。

初中数学教师需要充分在把握教材例题、习题的基础上，合理开发教材例题习题，提高学生学习数学的兴趣，锻炼学生的思维应变能力。

例题习题的二次开发，是指以新课程标准为依据，对教材中的相关例题习题进行适当的变式、改编和创新，从而更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求，帮助学生深刻理解数学知识、掌握思想方法、培养创新能力，提高数学课堂效率。

一、初中数学教材例题、习题的教学现状以及二次开发的必要性１．教材习题利用情况。

当前，许多初中的数学课堂是以使用方便的导学案为主，而对于教材例题的利用率不高；课后作业也多以教辅资料上的练习为主，忽略了书本习题的练习与研究。

２．教材例题习题二次开发的必要性。

初中数学教材例题与习题都是体现数学知识、蕴含数学思想方法的典型题型，具有极强的典型性和适用性，具有很大的开发价值。

初中数学教学例题习题开发首先是有利于教师提高自身的专业能力，帮助教师熟悉并吃透考点要点，增长经验；第二是让学生在举一反三中掌握数学知识的本质，锻炼思维能力；最后是能够提高数学教学的有效性。

教材例题二次开发的策略分析和反思二次开发是一种利用现有资源进行创新发展的新型经济形态，是利用由原资源经预处理、整理、改造而来的新资源进行开发，依仗资源价值经过利润分配而得以投入经济运转，人们可以对已有资源进行再次利用，进行综合利用，实现物种的再循环利用，以及物质的再流通，再生利用等。

因此，二次开发的策略分析和反思越来越受到多方关注。

一是策略分析。

要分析有效的二次开发策略，既要考虑政策层面和市场结构层面，也要考虑技术和管理层面的因素。

首先，要进行技术评估，研究二次开发的技术现状，识别可行性开发途径，明确具体步骤和可能发生的影响因素。

其次，要进行市场研究，开展社会调研，调查社会对二次开发的反应，分析市场对二次开发的需求空间，以及行业概况，关注市场份额及变化情况以及与外部条件和内部环境的关系等。

最后，要注重管理分析，通过了解开发流程，分析资金、人力、物资、技术管理等，以及时间安排的可行性，以便为二次开发定位取得把握。

二是反思分析。

对于二次开发，要对已有资源进行反思分析，以及政策法规和市场结构等方面的反思，才能更好地选择和完成二次开发项目。

首先，要反思资源状态，根据原资源的特点，正确识别资源的可利用性，把握二次开发的核心价值；其次，要反思环境法规，对政府出台的相关政策进行解读，加强组织机构的法制建设，以便符合环境法规要求；再次，要反思市场结构，着重建立技术分析体系，识别市场形势，以保证市场有效，并分析市场空间，控制营销成本，防止泡沫现象出现。

在当今时代，二次开发把握市场机会，实现经济效益，正变得越来越重要。

前述述分析和反思，是实施二次开发的关键，既要进行策略分析，又要进行反思分析，以及把握二次开发的市场机会。

最终目的，就是通过技术、市场和管理的推动，实现二次开发的可持续发展，为企业创造更高的价值。

浅谈新教材中例题二次开发的策略新教材是体现新课程理念的最直接载体，新教材中含有大量的例题，如何用好这些例题，如何开发这些例题的真正价值，让更多的学生从教材中受益，从课堂中受益。

本文结合充分探究挖掘例题潜在的教学价值，挖掘例题中的数学史情境激发学生求知欲望谈谈对课本例题二次开发的教学实践。

标签：课本例题；二次开发；思维；策略在一次与学生聊天时，学生问起学习数学的方法，我很认真地说了一句：“好好看看例题，研究研究例题”。

高考结束后这位学生又和我谈起这事，他说：“看看例题，研究例题，让我的数学成绩提高了不少”。

这件事一直萦绕的我心里，同时也引起我的反思。

如果每个学生都能像这位同学一样，认真研究课本例题，是不是数学成绩都可以提高；那么，教师如果用好例题，不就能让更多学生从教材中受益，从课堂中受益，所以我就有意识的认真研究课本例题，想充分挖掘例题的潜在价值，让更多的学生受益。

一、充分探究挖掘例题潜在的教学价值已知：数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式。

这是一道很常见的数列题，但是我们若能不单纯地满足于求解答案，而是多角度、全方位地开展对该类题型的探究性学习，力求一题多解，一题多变，便可收到意想不到的功效。

通过解决这个问题，可以充分发挥学生的主动性和创造性，养成独立思考的习惯，使学生多思善问。

解法（一）：依题设可得a1=1=2x1-1=21-1 a2=3=2x2-1=22-1a3=7=2x3+1=23-1 a4=15=2x7+1=24-1 ……不妨猜测数列{an}的通项公式为an=2n-1利用数学归纳法证明猜想：当n=1时，a1=1=21-1满足题意；假设当n=k时，ak=2k-1成立，则当n=k+1时，由题意可得ak+1=2·ak+1=2·（2k-1）+1=2k+1-1，成立。

所以，数列{an}的通项公式为an=2n-1。

评析：我们可以由特殊到一般，通过观察、归纳、猜想从而得出结论。

教改·教研 课程教育研究 Course Education Ressearch 2017年第18期学效果的最主要环节。

校内实训环节需从两个方面着手，即课堂实训教学和校内实训基地建设。

1.课堂实训教学课堂实训教学是校内实训环节的重要组成部分，即在课堂教学中，以学生为主，教师引导学生将教材理论知识转化为实际技能，并设置各种场景，模拟现实情境，促使学生运用所学理论知识，以锻炼提高学生的专业技能。

在连锁经营管理课程课堂教学中，教师不应只是简单结合几个案例加以分析讨论，而是应结合该课程的专业核心技能进行系统分析并模块化，按照职业技能的目标和要求，系统地将该课程的实践环节分成层次渐进的三个模块。

该课程的专业核心技能主要有选址、商品采购、商品布局及陈列、商品配送管理、商品促销策划及管理、商品价格管理等，而相对应的实践模块为专业技能模块，另外还有基本技能模块和岗位综合技能模块。

（1）具体而言，笔者认为，基本技能模块主要针对该课程的基本理论知识，即连锁经营的本质特征、类型、定位、优势及其组织结构等基本知识。

在课堂教学中，除了基础的讲授教学外，可以要求学生对学校现有的超市、商场或便利店等连锁店铺进行实地考察，并撰写总结报告，进一步掌握和理解连锁经营管理的相关定义和概念；也可以通过课堂情境设置，指导学生编制门店营运手册等，一方面促使学生熟悉连锁企业的基本作业要求，一方面提高学生的应用文写作能力。

（2）专业技能模块的实践教学是校内实践教学的最核心内容，主要围绕专业核心技能如选址、商品管理、人力资源管理等方面展开。

教师可以把课堂搬到校内实训基地，首先对这些专业技能进行演示，然后让学生实际操作，使学生在真实的工作环境中了解连锁经营的基本运营流程，通过学生的实际动手操作，锻炼和提高学生的连锁经营专业技能操作能力。

如，商品布局陈列这一方面的实践操作，完全就可以在学校的超市、商场进行，教师现场演示，学生动手操作，最后由教师评比并总结。

初中数学新教材例题“二次开发”策略的研究作者：周银来源：《中学数学杂志(初中版) 》2012年第03期例题教学是数学课堂教学的主要环节，切实加强各种例题的教学，对于学生理解和掌握好数学知识，培养能力，陶冶情操等都具有举足轻重的作用.其实，教材所呈现的很多知识都是死的，例题的“二次开发”就是为了使教材知识在教学中活起来.新教材例题的“二次开发”，主要是指依据课程标准对教材中的例题进行适度增删，调整和加工，从而使它更好的适应具体的教育教学情景和学生的学习需求.因此，“二次开发”好教材中的例题才能有效地引导学生思考，才能使教学顺利进行，才能提高课堂教学的效率.下面是多年来我们就开展“初中数学新教材例题‘二次开发’的策略的研究”的一些做法和体会，希望能和读者一起交流．1 准备阶段1.1 前期调查课题组成员曾利用课外时间和每周四下午的集体备课时间，围绕学校的教研计划，对广大师生展开前期调查，我们的调查包括教师和学生，调查学生对老师上课全部用书本上的例题的看法，学生方面反馈回来的信息是：很乏味，上课不认真听课也没关系，反正课后不懂可以自己回家看书；教师方面反馈回来的信息是：很别扭，数学本身就枯燥，以书讲书，效果不好.鉴于这种情况，课题组的老师对“初中数学新教材例题‘二次开发’的策略的研究”这个问题进行了认真探讨，初步形成了较完整的认识．1.2 制定研究方法本课题研究主要采用行动研究法，辅之调查法、文献法、比较研究法等研究方法．1.3 收集例题阶段每周四下午均有开展教研活动，这给收集例题带来了很大便利.从开课教师的说课、上课，其它老师的评课，还有我们自已平时的备课中，我们收集到了许许多多有关课堂教学的例题.我们对这些例题进行了整理、分析，归类，对不同类型的例题我们研究出了不同的处理方法．2 “二次开发”新教材例题必须遵守的原则要处理好初中数学教材中的例题，达到自如驾驭教材，提高课堂效率的目的，就要遵循一定的原则：2.1 目标性原则：每一节课的教学目标是课堂教学的出发点和归宿，在课堂教学中起着导航的作用.教师对例题的“二次开发”必须围绕教学目标进行，开发后的内容要体现目标性原则，不同的教学目标决定着不同的“开发”方法．2.2 科学性和现实性原则：数学知识具有严格的逻辑性和高度的科学性，“二次开发”的例题必须具有科学性.教师选择和创造的例题要与学生的生活实际相结合，对于某些陈旧的、不适合社会发展的内容要删除，要把某些新进展的、具有时代性的内容编成例题，从而充实学生的学习生活，充实教材内容．2.3 主体性原则：教师“二次开发”例题必须尊重学生，根据学生的具体情况，在内容的呈现形式上要适合学生的年龄特点，满足学生的需要，不同地区、不同基础的学生应该采用不同的处理方式，做到因材施教.“二次开发”例题时还要注意培养他们解题的技能技巧，提高他们的数学学习能力，使学生学会学习．3 “二次开发”新教材例题的策略首先要尊重教材，毕竟专家在编写教材时是经过从理论到实践的多重思考与验证的，教材中有许许多多现成的例题，它们能很好地实现教学目标，很好地促进学生的数学学习，对于这类例题，我们可以根据以往积累的成功经验直接传授给学生.当然，在牢牢把握课时教学目标的前提下，可对教材中的某些例题作出合理“开发”. “开发”后的例题是教师心中的教材，这教材不是原教材的复印，而是根据教学的目标任务、教材内容以及学生的实际情况、运用恰当的教学方法与教学策略进行优化整合的.只有这样经过优化整合的教材，才能使它有效地内化为学生的知识、能力与观念.例题的再次“开发”，往往能促使学生的学习由“重结论轻过程”转向“过程与结论并重”的方向发展，从而使学生达到“举一反三”的效果．综观在教学实践中作出的探索，对于那些需要“加工”的例题，我们就如何“开发”例题方面总结出以下几种方法：3.1 “开发”例题中的数字这是数学教师在上课时常用的方法，特别是在讲解计算型的题目时，如：合并同类项时，举例2a+3a，我们给改成5a+6a或7b+2b，继而再改成-2a+3a，然后再总结合并同类项的规律，这对教学效果是没有任何影响的，同时这样随意改动，自已也觉得得心应手，会给自已增加自信心，自然也就提高了课堂教学效果．3.2 “开发”例题的背景有时为了激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，不要忽视了课堂情感的投入，在上课时可以对题目的背景进行适当更改.教师有意识地进行题目背景的更换，使知识溶入在不同的背景中，选择的背景是学生熟悉的事物和情景，这会让数学教学因贴近生活而变得更加可亲.让学生用数学的眼光去观察和思考发生在身边的现象，使数学课程更具现实性.比如对处在福建省寿宁县山区中的学生，在上抛物线的图象时，我们就可以结合本地的一些生活资源，以本地知名的木拱廊桥为例，向当地学生介绍抛物线的特点，学生自然能倍感亲切和自豪，学习兴趣也就更加浓厚了．3.3 “开发”例题的题设和结论教材中的许多例题都有一定的代表性，教师上课时常以它为载体，对例题的题设和结论进行变式和改编，这对提高学生的发散思维能力，锻炼他们思维的灵活性是大有裨益的.现就以初中数学试卷中常出现的一道几何题为例，选几种“开发”例题题设和结论的方法加以说明．图1例1 如图1，△ABD和△AEC均为等边三角形，B、A、C三点在同一直线上，连接BE、CD.求证：BE=CD．方法1：改变例题的题设：只将“B、A、C三点在同一直线上”改为“△ABD和△AEC分别绕点A旋转”，其余部分不改．方法2：改变例题的题设：只将“等边三角形”改成“等腰直角三角形”，继而改成是“等腰三角形”，“正方形”，“任意正多边形”，其余部分不改．方法3：改变例题的结论：只将“求证：BE=CD”改成“求出∠BHD的度数”，其余部分不改．3.4 拓展例题的知识范围有的例题仅仅针对一个知识点，解决一个问题，但是在实际教学时有时可能会根据实际情况，需要“借题发挥”，对例题的知识范围进行拓展.例如在学习“变化中的三角形”这节课时，分析了三角形的面积公式S＝12ah中，“高h为6不变，底a变化时，有S＝12ah＝12×6a＝3a，点明变量S怎样随着自变量a的变化而变化.在学生掌握了这个例题之后及时渗透行程等常用公式中因变量怎样随着自变量的变化而变化的例子，教学效果非常好．3.5 “开发”例题的解题思路对于课本例、习题不能浅尝辄止，在深刻理解题意的基础上，还要多层次地挖掘题目的潜能，做好一题多解的工作，这样便能由一例而通一类，提高学生的解题能力.下面就以一道规律题为例，谈谈例题的解题思路的“开发”．图2例2 如图2，某公园有一座三角形喷水池，园林工人要在它的每条边上摆放花篮，如果每条边上摆2个花篮，需要3个花篮；如果每条边上摆3个花篮，需要6个花篮；……，那么要在每条边上摆n个花篮，需要花篮总数是多少？思路1：从数之间的关系找规律，3，6，9，12，……，后面每个数依次多3，第一个图为S=3，当每边有n个花篮时S比第一个图的S多3（n-2）个花篮，因此得S=3+3（n-2）=3（n-1）．思路2：从图形中找规律，每边花篮数分别为2，3，4，……，而需要的总花篮数为3，6，9，12，……，每个数都为3的倍数，因此得每边有n个花篮时S为3（n-1）．思路3：从图形的组成中找规律，象火柴梗一样，把一个顶点看成是某一边的头一个点，一边有（n-1）个花篮，三边共有3（n-1）个花篮．……3.6 不“开发”例题而“开发”例题的教学方法与教学策略在平时的的教学中不但要积累成功的经验，还要总结失败的教训，并以此为鉴，才能使自已的教育教学水平得到提高.有时即使不改变例题而改变教学方法与教学策略，也能使我们的课堂教学起到事半功倍的效果.比如，教师在处理北师大版数学教材八年级上册P132“做一做”时，若把引例（2）教学进行调整，把原来的“做一做”中的“给定的∠α，∠β”改成“同桌甲任给一个∠α，同桌乙任给一个∠β”，其余条件不变，然后探索这样的两个三角形是否相似？虽只是小小的改动，但学生学习的积极性调动起来了，他们人人参与，探索后再交流汇总，这样“两角对应相等的两个三角形相似”这个定理的教学便可水到渠成，提高了课堂效率．3.7 创造全新的例题在教材处理过程中不能只盯着课本中的题目，应选择和创造一些与学生的生活实际相结合的例题，增加一些书本上没有但是今后又要用到的知识，以促进学生今后的发展.如在上因式分解时可增加“十字相乘法”等的相关例题，二次函数补充“交点式”等等．4 实施新教材例题“二次开发”的策略的实践阶段我们要开展好“二次开发” 例题这项活动，就要关注好以下几个阶段：4.1 例题的选取阶段题目涉及的知识要点应覆盖本节课的内容，要有一定的代表性，所选例题要能体现“通法通用”，要遵循思维的认知规律，从易到难，循序渐进，不追求偏、怪、难，也不要贪多，要重视一题多解、一题多变，注重培养学生的解题能力．4.2 指导学生分析阶段教师引导学生研读例题，启发学生积极思考例题中的有关问题，包括看懂例题、理解概念、分析问题、得出解题思路、完善解题步骤．4.3 教师的讲解阶段数学例题的讲解分计算题、作图题、证明题等，对不同类型的题目一般采用不同的方法，即使是同一种类型的题目也可以用多种思考的方法.下面就以证明题为例：首先是直接证明，直接证明有综合法和分析法两种：综合法是一种由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题的证明方法.综合法的特点是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法刚好相反，这是由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需求出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.分析法的特点是：从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”.其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件.其次是间接证明，间接证明有两种思路：反证法和举反例的方法．4.4 提高总结阶段例题解答之后，要引导学生反思解题过程，总结解题的经验教训，对一些常用的教学方法，解题策略予以归纳概括，提示学生今后注意运用.对于学生易错又不容易改正的习题要引导学生做好用好错题集.错题集的格式：5 实施“二次开发”新教材例题策略的效果近几年来我校的数学成绩在本地总是遥遥领先，这与开展“初中数学新教材例题‘二次开发’的策略的研究”活动有很大关系.在数学课堂教学中有时对例题进行适当改动，或调整对例题的授课方式方法，有助于提高学生的学习积极性，学生的学习兴趣提高了很多，大部分同学感觉上数学课比以前有意思多了，他们课堂上积极性提高了，成绩也就自然提高了.当然，也有少数一些基础较差的同学在学习中表现不够突出，他们虽然改变了以往“坐不住”的现象，但成绩提高不明显，有些甚至有退步的现象，这是值得我们注意的地方．6 实施“二次开发”新教材例题策略后的反思目前教师已经有了主动驾驭教材的热情和意识，一般会对例题作出相应的“二次开发”，但是还要注意：要真正用好教材，用好例题，在教学中要时刻树立通过自己的实践来验证和完善教材的意识，让教材为我所用.经过这一段时间的实践，我深深体会到有三点要引起关注：（1）在新教材例题的“二次开发”过程中会不会因为不断地回想起以往的教学经验，而让“习惯做法”影响了我们对教材的理解？如果课后总是觉得知识讲得不到位，然后在以后的教学中费力地去补充、拓展、加深，那是因为我们更着眼于对知识本身的处理，而没有在如何调动学生的积极情感方面下功夫？应该把教学的“支点”放在如何使学生乐学、善学，使之由客体变为主体，使之积极的，目的明确地、主动热情地参与到教学活动中来．（2）学生要成长，教师也要成长，教师大多是在传统教学模式下成长起来的.新课程带给教师的是全新的教育理念，为了不断适应新课改的需要，教师间的交流、合作就显得尤为重要，教师要多参加各项继续教育，要不断钻研，给自已充电，才能更有效地去指导学生的学习.所以要把教学中成功（失败）的经验、教学心得、教学反思、论文等及时地积累下来，作为自已成长的记录，让自已不断成长．（3）这种“二次开发”新教材例题的策略虽然有很多优势，但它还不很完善，也有缺陷，还有些需要改进的地方，面对新课程，要积极探索，不断挖掘教材知识背后所蕴涵的思维方式、方法，展示出知识产生、形成、创新和发展的过程，创造性地运用教材.努力在知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观三方面平衡，在摸索中前进，在反思中提高，更好地把握教材、处理教材．。

初中数学教材例习题二次开发的策略——以八年级教学为例摘要：随着人类文明的不断进步，社会各个领域对人才的需求也越来越高，呈现出复合型和多样化等特征，这也就对教育工作提出了更多新的要求，重点突出对人才的实用性和灵活性的需求。

在此背景下，素质教育逐步取代了传统的应试教育，注重培养锻炼学生的学习能力、逻辑思维能力和实际应用能力等。

初中数学作为一门基础学科，教师们在上课时既要依托于现有教材，但更为重要的是在教材的基础上进行拓展，应注重把教材中的例题习题进行有效的二次开发，从而达到丰富课堂内容，激发学生学习动力，提升教育教学质量的目的。

关键词：初中数学教材例习题二次开发1因材施教，合理优化教学内容现行的数学课本是教育科研部门在综合分析各个年龄段学生的学习情况研究编写的，其中的内容总体上符合大多数学生的学习状况和智力水平，但却无法完全适用于不同个体学生的学习需求。

但在具体的教学实践中，学生个体情况千差万别，不同的教材内容对于不同情况学生的效果往往也有较大差异。

如果个别班级大多数学生数学学习成绩比较滞后，那课本中所采用习题例题在很大程度上就会超出学生的接受能力。

从另一个角度来研究，学生就会觉得课本内容偏向于简单，不能把自身的学习潜能给充分激发出来。

这种情况下，数学教师就要对课本教材中的一些习题例题进行优化和二次开发。

1.1教师要善于观察学生反馈情况数学教师在上课时，完成基本知识点讲授后往往会通过习题例题演算练习来深化巩固教学内容，这个时段最能反映学生对教授知识理解掌握程度。

此时，数学教师就应针对学生对习题讲解的反映，对教学内容进行适当优化增减。

对学习效果好的同学，可以适度超前，增加一些难度较高的例题习题；对反映不积极，对所教授内容掌握不深的学生，要适当放缓速度，多增加一些相对简单的习题例题来进行巩固。

课本中附有的两三个例题，在侧重点和难度方面都会体现差异化。

因此，数学教师就应该结合学生的情况科学挑选合适的例题，一些是紧扣基础的简单题目，统筹考虑各层级的学生，一些是难度较大的拔高题。

浅谈初中数学教材例题习题“二次开发”的策略作者：李刚来源：《读写算》2013年第45期在新的课改程理念下，数学教材不再被看成像“圣经”一样，是教师上课诵读、宣讲的对象，而是看成教学的材料和学生主动建构意义的对象。

这就要求教师在教学设计中，结合学生的认知特点和心理规律，有效地分析教材、整合教材、创生教材，对教材进行再加工、再创造，使教材发挥其课程资源的应有功能，以提高课堂教学实效。

二次开发教材的重要原则是，做到既尊重教材又超越教材，促使教材真正成为师生共同成长的有效载体。

如何进行例习题再利用教学，真正发挥例习题应有的教学价值呢？我在课堂教学中，注重课本例习题的探究，在探究课本例习题的过程中让学生去发现、思考、释疑。

现例举例习题常见设计进行说明：1、增加或改变知识点，把结论适当延伸。

例题1：如图⊙o1和⊙o2外切于点A，BC是⊙o1和⊙o2的公切线，B、C是切点，求证：AB⊥AC。

分析：讲解例题时，可启发学生用多种方法进行求证，特别强调“切线与过切点的半径垂直”，为解决问题做好知识准备。

再利用设计1：如图，延长例题1中的BA交⊙o2于E，延长CA交⊙o1于D，连BD、CE。

求证BD2=DA·DC。

分析：本题实际上是例题1的延伸。

这道题的设计源于课本又高于课本，有助于考查学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

本题的结论可启发学生利用例题结论结合切线的性质通过相似三角形求证。

再利用设计2：如图，在上题基础上，过点D作⊙o2的切线DF，切点为F，求证：DB=DF。

分析：对于这一问学生可能不易找到正确的解题途径，但通过分析，利用第一问结论再结合切割线定理便可得到证法。

并由此归纳：证明两条线段相等除运用全等三角形、等腰三角形的有关知识外，还可以运用比例线段的知识进行分析求证。

从不变中求变化，从变化中求规律，可以培养学生探究数学问题的能力。

2、变换例题中的条件或结论例题2，如图所示，某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用一堵旧墙，其余各面用木棍围成栅栏，该校计划用木棍围出总长为24m的栅栏.设每间羊圈的长为x（m），三间羊圈总面积S；（1）写出S与X之间的函数关系及自变量x的取值范围。

初中数学教材例题与习题二次开发的实践与思考作者：黄建军来源：《新教育时代·学生版》2018年第34期摘要：教材的编写是根据相应的课程标准编写的，数学教材也不例外。

教材中的例题与习题都是根据课程标准要求结合学生实际学情进行设计的编写的。

本文章以数学课程标准为依据，就初中数学例题、习题教学的现状，进行列举和分析，并结合教学实践中的相关案例，主要针对初中数学教材中的例题和习题进行二次开发的策略进行探讨，寻求改进例题、习题处理的方法，以发挥其潜能。

关键词：教材例题教材习题二次开发引言教学材料也被称为教材，是基于教学大纲的教学内容的教学内容在疏浚和整理的过程，教材中的教学内容通常是教学材料的重难点的集中所在。

在初中数学教学的教材中，通常，我们会将数学教科书分为主题、知识结构以及基本线索这三个方面，辅助教学目标的教学内容在提高教学质量具有重要性意义，显著提高了教学的重要性。

作为一个重要的桥梁在接触教科书和习题，例题在很大程度上反映了教科书的风格趋势以及整体水平，是具有重要意义的初中数学教学实践。

目前国内外对教材例题功能的研究还不够深入，在教材例题示范应用方面的挖掘深度需要得到改进，这是目前初中数学教材例题应用亟待需要解决的问题。

[1]一、初中数学教材例题与习题二次开发的意义在教学过程中的现实中，教科书上的例子的老师，”次级发展”意识的问题并不强大，而不是为深入挖掘的例子，问题集，扩展和创造，也经常出现在教学的教学现状中，由于使用实例，习题集，以及教科书的例子，没有很有价值的价值，”次级发展”的问题可能会导致学生的学习方式被”沉重的结论的光过程”变成”过程和方法”的”过程和方法”是对发展方向的同等关注，导致学生进入了”自然”的领域，因此，达到”一个主题，类别，将是一个”解决问题的领域。

数学教育家poly 指出：“教师的责任努力应对复杂的数学内容和过度的话题，最好是选择合适的一些有意义的但是没有太复杂的主题来帮助学生探索问题的各个方面，在引导学生解决问题的过程中，提高他们的智力和能力来解决问题。

初中数学教材二次开发的意义教研课题论文开题中期结题报告教学反思经验交流摘要：数学学科是极其重要的一门学科，数学作为一项工具是学生在学习生物、物理、化学等学科的基础，只有扎实的数学功底才能更有助于这些学科顺利地开展。

在初中数学学习的过程中，教师会遇到不同的教学情况，每个班级的进度和每个学生的学习能力都是不尽相同的，因此需要教师对数学教材的内容进行二次加工，更加有助于因材施教的开展。

这不仅是对教师能力的提升，也是对学生学习的进一步促进和发展，是为了达到素质教育的一种重要方法。

关键词：初中数学;二次开发;教材;重要性引言：在新课程改革的强烈要求下，教师在教学的过程中更加注重的是素质教育，一改传统的教学理念和教学方式。

因材施教差异化教学可以满足不同学生的学习需求，但是所有学生的学习教材都是由教育部统一印发的，为了解决这一问题就需要由初中数学教师对教材进行二次开发。

通过教师有效的分析教材、整合教材、创新教材，使得数学课堂更加高效，学生的学习热情更加高涨。

一、二次开发策略的理论探究由教育部统一印发的数学教材，其难度设置是面向所有的学生，根据这个年龄段学生的具体发展情况而撰写的，属于基础性的知识。

之所以会提出二次开发策略的理论探究，是因为具有一定的实用价值。

把例题和习题通过拆解重新组合，就可以衍生出新的知识点，扩展学生的知识面。

进行二次开发的方法有很多，既可以对例题进行提取，又可以对例题进行变式。

无论二者如何变化强调的都是紧扣例题和习题所涉及的知识点的素材进行拓展，并不会超出初中知识纲要之外。

二、初中数学教材二次开发有利于真正地实现因材施教初中的知识已经从小学的基本运算增加了几何知识，几何图形的演变和推理，其中也有一些公式和概念，这些公式是如何推导出来的，教材由于篇幅有限并没有进行详细的演示，为了能够让学生更加通透的理解这些概念、熟用所学到的公式，教师就需要对原本的课本内容进行二次加工。

可以手工制作一些立体模型、或者借用多媒体进行成果展示，通过对课本内容的补充，学生就可以事无巨细的了解概念的推导过程和实际应用。

初中数学教材一道习题的“二次开发”尝试——以基本图形
为主线进行“二次开发”
夏顺清
【期刊名称】《中学数学研究（下半月）》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】案例：在一次听课中,一位青年教师讲了一道习题（湘教版八年级下册直角三角形全等的判定习题）,如图1,AB=AD,CB⊥AB于点B,CD⊥AD于点D.求证：∠1=∠2.师生做完这道题后,又接着和学生一起做其它的习题.这道题的图形非常经典,我感到这样处理意犹未尽,于是便有了对这道习题进行＂二次开发＂的一些想法.在讲完这道习题之后,教师要追本溯源,找一找其基本图形,这样的好处至少有三：【总页数】2页(P43-44)
【作者】夏顺清
【作者单位】湖南省临澧县教研室，415200
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.72
【相关文献】
1.初中数学教材例题与习题二次开发的实践与思考 [J], 朱小利;
2.小学数学教材中习题的二次开发策略初探 [J], 何苇
3.小学数学教材二次开发的策略--以苏教版四年级下册《图形的旋转》教学为例[J], 冯桂群
4.改编教材习题发展多元思维——对数学教材习题“二次开发”的教学探讨 [J], 吴善忠;
5.初中数学教材例题与习题二次开发的实践与思考 [J], 杨蓉蓉
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㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ４初中数学习题二次开发与利用策略的研究初中数学习题二次开发与利用策略的研究Һ余亚明㊀（江苏省如皋市实验初中，江苏㊀南通㊀２２６５００）㊀㊀ʌ摘要ɔ教学中，我们如果对数学习题只进行一次性使用，这样就不能最大化地发挥这些习题的作用，要发挥它们的全部作用就需要对它们进行二次开发．教材上的习题具有二次开发的价值，这些习题能够使得所学新知识得到综合性的运用．ʌ关键词ɔ习题；二次开发；思维拓展；变式教学在 双减 背景下，通过大量的习题训练来培养学生的解题能力，这种增加学生负担㊁高耗低效的教学方式显然是行不通的，我们可以通过对教材上的习题进行二次开发来寻找一种低消耗㊁收益更高的方法．教师可采用一题多用㊁多题重组的方法，这样能充分唤起学生的好奇心和求知欲，调动他们积极参与到学习中来，化被动为主动，激发学生产生学习的兴趣和热情，使学生在对知识进行全面㊁深刻理解的同时进一步掌握知识，思维品质也获得更好的发展．对数学习题的二次开发利用可以从以下几种不同的角度进行：Ң多题一法，培养学生的建模思想建模是数学学习的重要内容之一，这就要求教师能利用建模思想，从教材中寻找典型的㊁具有代表性的题目进行研究㊁归纳和提升，使这种题型成为解决类似问题的模型．例如，在刚学 解二元一次方程组 时的思路是 消元 ，教材上提供了方程组ｘ＋ｙ＝１０，２ｘ＋ｙ＝１６，{，教师先由实际问题引导学生了解ｙ可以用１０－ｘ表示，这样第二个方程就可以表示为２ｘ＋１０－ｘ＝１６，这样二元一次方程就转化为了学生熟悉的一元一次方程，解出ｘ，进而就能得出方程组的解，这样把未知数由多变少，逐个解决的思想就是 消元 的思想．再如，在 解分式方程 时的思路是 转化 ，教材上提供的例题分别是：解方程２ｘ－３＝３ｘ和ｘｘ－１－１＝３（ｘ－１）（ｘ＋２），显然，这里提供了最基本的两个方程作为例题，让学生通过去分母㊁去括号等方法完成从分式方程到整式方程的转化，这是解分式方程的主要思路．因此，我们在对教材进行二次开发时，应当秉承这一思路，即强调建模的思想，学生掌握了解决问题的模型，然后模仿进行编题，学生会编题了，那么解决这一类型的题就自然而然了．Ң一题多用，培养学生的思维能力教材所选题目都是非常经典的，我们要善于对教材中的题目进行开发利用，可以从以下几个角度进行．一㊁一题多解，让学生的思维更发散不同的人思考问题的角度㊁途径不尽相同，学生在解决问题时有了一种方法，惯性使然，他不会再停下来去思考其他方法，因此，教师要引导学生从不同角度㊁用不同的论证方式去思考问题，探求不同的解决方案，这样就能拓宽学生的思路，多方向发展他们的思维，培养他们思维的发散性．例如：引导学生观察方程组ｘ＋ｙ＝１０２ｘ＋ｙ＝１６{中，两个方程中ｙ的系数有什么关系？利用这个关系，你能得到不同于前面的方法解这个方程组吗？这样学生就会不拘泥于一种方法解题了．例如：四边形ＡＢＣＤ为正方形，点Ｅ为线段ＡＣ上的一点，连接ＤＥ，过点Ｅ作ＥＦʅＤＥ，交射线ＢＣ于点Ｆ．求证：ＥＦ＝ＥＤ．图１笔者做了一定的调查，发现多数学生都是习惯以下解法．解法１：如图２所示，作ＥＰʅＣＤ于点Ｐ，ＥＱʅＢＣ于点Ｑ，利用正方形中ＡＣ平分ÐＢＣＤ得ＥＰ＝ＥＱ，再证明ＲｔәＥＱＦɸＲｔәＥＰＤ，得到ＥＦ＝ＥＤ．All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２４图２这时教师适当引导学生思考：从ＥＦʅＤＥ的角度出发还能想到什么？学生就会想到以下两个论证的方法：解法２：联想 Ｋ 型全等，如图３所示，作ＥＭʅＡＤ于点Ｍ，延长ＭＥ交ＢＣ于点Ｎ，利用正方形中ＮＥ＝ＮＣ＝ＭＤ，再证明ＲｔәＥＤＭɸＲｔәＦＥＮ，得到ＥＦ＝ＥＤ．图３解法３：由四边形内角和易得ÐＥＤＣ＝ÐＥＦＢ，如图４所示，连接ＥＢ，利用正方形中ÐＥＤＣ＝ÐＥＢＣ，从而得出ＥＢ＝ＥＦ，再由正方形中ＥＢ＝ＤＥ，得到ＥＦ＝ＥＤ．图４二㊁一题多变，让学生的思维更灵活一题多变其实就是变式教学，一题多变可以将条件改变，结论保留；也可以将条件保留，结论改变；或者由于题目的需要将条件和结论同时改变；也可以将已知条件和结论进行对换．变式变换了习题的形式，而题目所蕴含的本质不变，所以变式教学更多的是要引导学生去探寻变化中的不变，从而揭示问题的本质，它需要学生在原有思考问题的方法上加以拓展进行思考才能解决．教师用这种方式进行教学，能使学生根据变化了的情况积极思考，想方设法寻找解决的办法，从而培养思维的灵活性．例如：如图５所示，在四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＢＣ的中点．若ＡＢ＝６，ＣＤ＝８，øＡＢＤ＝３０ʎ，øＢＤＣ＝１２０ʎ，求ＥＦ的长．图５本题解法是：取ＢＤ的中点Ｐ，构造三角形的中位线，得到直角三角形ＰＥＦ，以及两条直角边，从而得出ＥＦ的长．教师若对此题多做一些变式，既能培养学生的探索精神，又能提高学生的创新能力．探索一：将题目中的条件 øＡＢＤ＝３０ʎ，øＢＤＣ＝１２０ʎ 去掉，关于ＥＦ的长你能得出什么结论？并给予证明．探索二：延长ＢＡ㊁ＣＤ，分别于ＦＥ延长线交于点Ｇ㊁Ｈ，如图６所示，你能判断øＢＧＦ与øＣＨＦ的大小关系吗？图６这样的变式教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维．三㊁一题多思，让学生的思维更深远牛顿说过：没有大胆的猜想就做不出伟大的发现．中学生具有非常丰富的想象力，因此，教师可以通过相关题目的特点，鼓励㊁引导学生大胆猜想，让学生的思维更深远．例如：如图７所示，平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ㊁ＢＤ相交于点Ｏ，过点Ｏ的直线交ＡＤ于点Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ．求证：ＯＥ＝ＯＦ．图７进一步思考：直线ＥＦ是否将平行四边形ＡＢＣＤ的面积二等分？若是，请说明理由．拓展应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ４一口水井Ｐ，如图８所示，张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，即两块地的分割线经过点Ｐ，请你作图帮助张大爷把地分开．图８引导学生思考：１．在题目的解决过程中，解题的关键是什么？２．通过上面的研究，如果要将平行四边形的面积二等分，直线需要满足什么条件？３．通过这道题，我们获得了怎样的解题体验？一题多思让学生的解题思路更深远，从而培养了他们遇到问题时的应变能力．四㊁注意迁移，让学生的思维更全面初中数学中有很多题目，表面上看起来形式不一，但仔细分析，我们可以发现，它们在本质上是一样的，或者说通过转化，它们的实质相同．所以教师可以把它们归结为用同一种方法解答，把这样的题放在一起让学生做比较，可以使学生透过现象看本质，让学生的思维更全面．例如：（１）如图９所示，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是边ＡＤ，ＤＣ上的点，且ＡＦʅＢＥ．求证：ＡＦ＝ＢＥ．图９（２）如图１０所示，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ分别是边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上的点，且ＭＰʅＮＱ，判断ＭＰ与ＮＱ是否相等并说明理由．图１０以上两题从表面上看并不相同，但实际上它们的本质相同，教师引导学生经过对比可以发现：将图１０做平移变化为图１１，然后根据平行四边形的性质和（１）中的结论即可解答本题．所以教师在平时的教学中要引导学生善于捕捉题目中的有关信息，认真比对，对相通的知识形成体系，不要出现 只见树木不见森林 的现象．图１１Ң反思升华㊀培养学生的数学素养日本著名数学教育家米山国藏说过：学生对作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神㊁数学的思想㊁研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益．数学的学习过程就是一个积累㊁运用和内化的过程，在学习过程中，反思尤为重要，它能让学生更深入理解和掌握学习内容，通过反思，学生才能真正启动思维，思想才能得到升华．作为组织者㊁引导者的教师要强化学生的反思性学习能力，要善于挖掘习题中的素材㊁意图，为学生创设反思的情境，这样学生就能主动反思，他们有了反思习惯，反思能力就会提高，对问题的理解就会深入，就能真正提高数学素养和能力．总之，数学习题二次开发与利用能培养学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．ʌ参考文献ɔ［１］王子英．利用课本习题，助力初中数学教学［Ｊ］．中学课程辅导，２０１４（４）：２３，２８．［２］张继海．初中数学教材中例题㊁习题的演变方法．中国数学教育，２０１２（１２）：３４－４０．All Rights Reserved.。