哈夫曼树讲解

哈夫曼树定义
哈夫曼树是一种二叉树，它用来表示一组符号权值的最优编码。

它应用于编码论，通常用来代表数据权值的树。

哈夫曼树是指一种最短带宽传输时能够有效工作的最优编码树。

哈夫曼树是每个节点都包含一个权值的二叉树。

它的定义如下：每一个权值所构成的数据集合，其最优树形式是每一个数据项的权值都比它的子节点的权值大，最终形成一个哈夫曼树。

哈夫曼树的构建一般是以权值的大小为基础进行的，权值越大，在哈夫曼树上就越靠近根节点，在结点之间的路径越短，这样便可以减少树的总长度，可以加快数据的传输速度。

此外，哈夫曼树还可以用于实现多种额外的功能。

哈夫曼树的构建有一种特别的方法，叫做“哈夫曼编码”，它采用“编码”和“解码”的方法来把一个数据集分成不同的组，这些组就是哈夫曼树的节点。

每组的数据都含有一个权值，当这些组被组合到一起时，它们就构成了一棵哈夫曼树。

哈夫曼树的建立是低耗时的，最优建立方式是将权值数组排序，然后依次添加，添加过程为：先将最小的两个数字添加到根节点，再将它们的和也添加到根节点，重复此过程，直到所有数字都被添加完为止。

哈夫曼树在编码的时候，如果一个字符出现的次数越多，它的权值就越大，它就越接近根节点。

哈夫曼树构造原理哈夫曼树，又称最优二叉树，是由美国数学家哈夫曼于1952年提出的一种树形编码方法。

它的构造原理简单而有效，被广泛应用于数据压缩、文件传输和网络传输等领域。

哈夫曼树的构造过程是基于一个重要的原则：频率越高的字符，其编码越短。

这个原则保证了编码后的数据具有最小的存储空间和传输带宽。

下面我们来详细介绍哈夫曼树的构造原理。

我们需要统计待编码的字符出现的频率。

在实际应用中，这通常是通过扫描文件或数据流来完成的。

统计结果存储在一个字符频率表中，包含了字符和对应的频率。

然后，我们将频率表中的每个字符作为一个叶子节点构造一棵二叉树，节点的权重即为字符的频率。

接下来，我们需要合并这些二叉树，生成一棵更大的二叉树。

合并过程中，我们选择权重最小的两棵二叉树进行合并，生成一棵新的二叉树。

合并后，新生成的二叉树的权重为两棵二叉树的权重之和，且左子树权重小于等于右子树权重。

这个过程一直持续，直到所有的二叉树都合并为一棵哈夫曼树。

在合并的过程中，我们需要使用一种数据结构来存储和管理这些二叉树。

通常情况下，我们使用优先队列或最小堆来实现。

这样可以保证每次选择权重最小的两棵二叉树进行合并，提高了合并的效率。

当所有的二叉树都合并为一棵哈夫曼树后，我们就可以为每个字符生成对应的哈夫曼编码了。

从根节点开始，向左走表示编码为0，向右走表示编码为1。

通过遍历哈夫曼树的路径，可以得到每个字符的编码。

哈夫曼编码具有前缀码的特点，也就是说任意一个字符的编码不是另一个字符编码的前缀。

这个特性保证了编码的唯一性，解码时可以根据编码逐位向下匹配，不会出现歧义。

通过哈夫曼树的构造，我们可以将原始数据压缩成最优的编码形式。

在数据传输和存储过程中，我们可以使用哈夫曼编码来减少存储空间和传输带宽，提高传输效率。

总结一下，哈夫曼树的构造原理是基于字符频率的统计和权重的合并。

通过合并权重最小的二叉树，构造出一棵最优二叉树，然后根据哈夫曼树的路径生成对应的编码。

【算法总结】哈夫曼树在⼀棵树中，从任意⼀个结点到达另⼀个结点的通路被称为路径，该路径上所需经过的边的个数被称为该路径的长度。

若树中结点带有表⽰某种意义的权值，那么从根结点到达该节点的路径长度再乘以该结点权值被称为该结点的带权路径长度。

树所有的叶⼦结点的带权路径长度和为该树的带权路径长度和。

给定 n 个结点和它们的权值，以它们为叶⼦结点构造⼀棵带权路径和最⼩的⼆叉树，该⼆叉树即为哈夫曼树，同时也被称为最优树。

给定结点的哈夫曼树可能不唯⼀，所以关于哈夫曼树的机试题往往需要求解的是其最⼩带权路径长度和。

回顾⼀下我们所熟知的哈夫曼树求法（原理很容易理解，就是把⼩的往下放）。

1.将所有结点放⼊集合 K。

2.若集合 K 中剩余结点⼤于 2 个，则取出其中权值最⼩的两个结点，构造他们同时为某个新节点的左右⼉⼦，该新节点是他们共同的双亲结点，设定它的权值为其两个⼉⼦结点的权值和。

并将该⽗亲结点放⼊集合 K。

重复步骤 2 或 3。

3.若集合 K 中仅剩余⼀个结点，该结点即为构造出的哈夫曼树数的根结点，所有构造得到的中间结点(即哈夫曼树上⾮叶⼦结点)的权值和即为该哈夫曼树的带权路径和。

为了⽅便快捷⾼效率的求得集合 K 中权值最⼩的两个元素，我们需要使⽤堆数据结构。

它可以以 O（logn）的复杂度取得 n 个元素中的最⼩元素。

为了绕过对堆的实现我们使⽤标准模板库中的相应的标准模板——优先队列。

：有4 个结点 a, b, c, d，权值分别为 7, 5, 2, 4，试构造以此 4 个结点为叶⼦结点的⼆叉树。

根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成⼆叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵⼆叉树Ti中只有⼀个带权为wi的根结点,其左右⼦树为空.在F中选取两棵根结点权值最⼩的树作为左右⼦树构造⼀棵新的⼆叉树,且置新的⼆叉树的根结点的权值为左右⼦树根结点的权值之和.在F中删除这两棵树,同时将新的⼆叉树加⼊F中.重复,直到F只含有⼀棵树为⽌.(得到哈夫曼树)利⽤语句priority_queue<int> Q;建⽴⼀个保存元素为 int 的堆 Q，但是请特别注意这样建⽴的堆其默认为⼤顶堆，即我们从堆顶取得的元素为整个堆中最⼤的元素。

6.3哈夫曼树6.3.1基本术语1.路径和路径长度若在一棵中存在着一个结点序列k1 ,k2,…,kj，使得ki是k1+i 的双亲(1ji<≤)，则称此结点序列是从k1～kj的路径，因树中每个结点只有一个双亲结点，所以它也是这两个结点之间k 1～kj所经过的分支数称为这两点之间的路径长度，它等于路径上的结点数减1(实际就是边数)。

如在图5-19(a)所示的二叉树中，从树根结点L到叶子结点P的路径为结点序列L、M、S、P，路径长度为3。

(a) (b)(c) (d)图5-19 二叉排序树的删除2.结点的权和带权路径长度在许多应用中，常常将树中的结点赋上一个有着某种意义的实数，我们称此实数为该结点的权。

结点的带权路径长度规定为从树根结点到该结点之间的路径长度与该结点上权的乘积3.树的带权路径长度树的带权路径长度定义为树中所有叶子结点的带权路径长度这和，通常记为：2 WPL = ∑=n i i i lw 1其中n 表示叶子结点的数目，i w 和i l 分别表示叶子结点i k 的权值和根到i k 之间的路径长度 。

4.哈夫曼树哈夫曼(Huffman)树又称最优二叉树。

它是n 个带权叶子结点构成的所有二叉树中，带权路径长度 WPL 最小的二叉树。

因为构造这种树的算法是最早由哈夫曼于1952年提出的，所以被称之为哈夫曼树。

例如，有四个叶子结点a 、b 、c 、d ，分别带权为9、4、5、2，由它们构成的三棵不同的二叉树（当然还有其它许多种）分别如图5-20(a)到图5-20(c)所示。

b ac a b cd d c a b d(a) (b) (c)图5-20 由四个叶子结点构成的三棵不同的带权二叉树 每一棵二叉树的带权路径长度WPL 分别为：(a) WPL = 9×2 + 4×2 + 5×2 + 2×2 = 40(b) WPL = 4×1 + 2×2 + 5×3 + 9×3 = 50(c) WPL = 9×1 + 5×2 + 4×3 + 2×3 = 37其中图5-20(c)树的WPL 最小，稍后便知，此树就是哈夫曼树。

c语言哈夫曼树的构造及编码一、哈夫曼树概述哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它的构建基于贪心算法。

它的主要应用是在数据压缩和编码中，可以将频率高的字符用较短的编码表示，从而减小数据存储和传输时所需的空间和时间。

二、哈夫曼树的构造1. 哈夫曼树的定义哈夫曼树是一棵带权路径长度最短的二叉树。

带权路径长度是指所有叶子节点到根节点之间路径长度与其权值乘积之和。

2. 构造步骤(1) 将待编码字符按照出现频率从小到大排序。

(2) 取出两个权值最小的节点作为左右子节点，构建一棵新的二叉树。

(3) 将新构建的二叉树加入到原来排序后队列中。

(4) 重复上述步骤，直到队列只剩下一个节点，该节点即为哈夫曼树的根节点。

3. C语言代码实现以下代码实现了一个简单版哈夫曼树构造函数：```ctypedef struct TreeNode {int weight; // 权重值struct TreeNode *leftChild; // 左子节点指针struct TreeNode *rightChild; // 右子节点指针} TreeNode;// 构造哈夫曼树函数TreeNode* createHuffmanTree(int* weights, int n) {// 根据权值数组构建节点队列，每个节点都是一棵单独的二叉树TreeNode** nodes = (TreeNode**)malloc(sizeof(TreeNode*) * n);for (int i = 0; i < n; i++) {nodes[i] = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));nodes[i]->weight = weights[i];nodes[i]->leftChild = NULL;nodes[i]->rightChild = NULL;}// 构建哈夫曼树while (n > 1) {int minIndex1 = -1, minIndex2 = -1;for (int i = 0; i < n; i++) {if (nodes[i] != NULL) {if (minIndex1 == -1 || nodes[i]->weight < nodes[minIndex1]->weight) {minIndex2 = minIndex1;minIndex1 = i;} else if (minIndex2 == -1 || nodes[i]->weight < nodes[minIndex2]->weight) {minIndex2 = i;}}}TreeNode* newNode =(TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));newNode->weight = nodes[minIndex1]->weight + nodes[minIndex2]->weight;newNode->leftChild = nodes[minIndex1];newNode->rightChild = nodes[minIndex2];// 将新构建的二叉树加入到原来排序后队列中nodes[minIndex1] = newNode;nodes[minIndex2] = NULL;n--;}return nodes[minIndex1];}```三、哈夫曼编码1. 哈夫曼编码的定义哈夫曼编码是一种前缀编码方式，它将每个字符的编码表示为二进制串。

哈夫曼树的总结引言哈夫曼树（Huffman Tree）是一种用于无损数据压缩的重要数据结构。

它是由美国数学家大卫·哈夫曼于1952年提出的，被广泛应用于各种领域，如文件压缩、网络传输、数据存储等。

哈夫曼树的概念哈夫曼树是一种二叉树，其中每个叶子节点代表一个字符，且树的形状是通过字符出现频率构造而成的。

哈夫曼树的特点是，出现频率高的字符位于树的较低层，频率低的字符位于树的较高层，使得出现频率高的字符用较少的编码表示，出现频率低的字符用较多的编码表示，达到数据压缩的目的。

哈夫曼编码哈夫曼树的构建过程中，每个字符的出现频率是关键。

为了压缩数据，我们需要为每个字符分配一个唯一的二进制编码。

哈夫曼编码是通过哈夫曼树来生成的，它保证了没有任何一个字符的编码是其他字符编码的前缀，因此可以方便地进行数据的解压。

构建哈夫曼树的步骤构建哈夫曼树的步骤一般如下：1.统计每个字符的出现频率。

2.将每个字符作为一个单独的树节点，构建一个森林。

3.从森林中选择出现频率最低的两棵树合并为一棵新的树，新树的权重为两棵树的权重之和。

4.将新树放回森林，重复步骤3，直到森林中只剩下一棵树，即哈夫曼树。

5.对每个叶子节点，根据路径从根节点到该叶子节点的方向，赋予唯一的二进制编码。

哈夫曼树的性质哈夫曼树具有以下几个重要的性质：1.哈夫曼树是一棵最优二叉树，即带权路径长度最短的二叉树。

2.哈夫曼树的带权路径长度是所有叶子节点的权重乘以路径长度的总和。

3.哈夫曼树的路径长度定义为从树根到叶子节点的路径上的边的数量。

4.哈夫曼树的路径长度最小，即带权路径最短，适用于数据压缩等场景。

哈夫曼树的应用哈夫曼树广泛应用于数据压缩和编码领域。

通过构建哈夫曼树和哈夫曼编码，可以实现文本、图像等数据的无损压缩。

此外，哈夫曼树还被用于文件传输、网络传输等场景，可以大大提高数据传输效率和降低带宽消耗。

总结哈夫曼树是一种重要的数据结构，通过构建哈夫曼树和哈夫曼编码，可以实现数据的无损压缩和高效传输。

在哈夫曼树中,权值相同的叶子结点都在同一层.编者按：哈夫曼树的一种基本架构。

它是一种多属性树，每个结点都是一个集合，并且每个值都在同一个结点上。

这个树的每一个叶子都是唯一的节点。

该节点拥有唯一的特征。

图上所有结点都在同一层。

一、基本概念它是由 Levinson和 Hansman于1985年提出，并在1982年成为其主要研究成果之一的Ramesh树而被称为哈夫曼树上结构的一种典型多属性树。

我们需要对它进行编程。

因为它是由不同大小的叶子组成，每个叶子都有唯一的名字和节点编号。

该节点拥有唯一的特征，即拥有该节点所对应的所有叶子集合；且每个叶子都是唯一的节点拥有唯一的特征。

1、哈夫曼树哈夫曼树是一种常见的树型，其结构是一种二维的四边多属性树。

为了能比较不同叶子间差异，在构造哈夫曼树时需要在每一节之间构造一个边，然后在这条边对应于所构造的节点，最终在所有结点集合中找到最优解。

如果节点中有3个或以上（即3个不同大小）的同属，就可以使用此树构造哈夫曼树了。

二、哈夫曼树的基本原理哈夫曼树的基本原理是：节点与该节点的每个结点都只有一个属性，但是在每一棵树上，任何一个带有相同特征的结都是相同的，因此哈夫曼树具有唯一特征。

如果每一棵树上所有结点都在同一层中，那么每个特征也都在相同层中。

哈夫曼树形图：为了理解 Halman树的定义，我们需要首先知道哈夫曼树是如何构建的：一个节点要同时具有属性结点和元素集合。

它可以是多个结点或者多个元素集合的结点。

然后再将这些点集合连接起来得到哈夫曼图。

在生成树形图中，每一个节点都有它独有的特征。

因为这些特征代表了这个节点所属领域或者属性的总和，所以任何一条属性值作为对象所具有的能力都大于另一条属性值，也就是这个树形图中所有结点都与叶子相同。

在对哈夫曼树进行描述时，我们需要用到哈夫曼树这个概念来说明我们在计算树时如何确定某个节点是否拥有该等信息。

1、最大和第二大特征对于一棵树，每个元素都是该领域唯一的结，所以这个结点都具备该特征，也就是该节点具有最大和第二大特征。