新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测(三十八) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值

高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课时跟踪检测新人教A版必修41．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是( )A．x轴B．y轴C．直线x＝π2D．直线x＝π解析：由y＝sin x，x∈R的图象知，直线x＝π2为其一条对称轴．答案：C2．在同一坐标系中，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同解析：由诱导公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)，可知y＝sin x在[0,2π]与[2π，4π]上图象形状完全相同，故选B.答案：B3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2交点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：作出y ＝1＋sin x 在[0,2π]上的图象，可知只有一个交点．答案：B4．要得到y ＝cos x ，x ∈[－2π，0]的图象，只需将y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象向________平移________个单位长度．解析：向左平移2π个单位长度即可． 答案：左 2π5．下列函数：①y ＝sin x －1；②y ＝|sin x |；③y ＝－cos x ；④y ＝cos 2 x ；⑤y ＝1－cos 2 x .其中与函数y ＝sin x 形状完全相同的是________．(填序号)解析：y ＝sin x －1是将y ＝sin x 向下平移1个单位，没改变形状，y ＝－cos x 是作了对称变换，没改变形状，与y ＝sin x 形状相同，∴①③完全相同．而②y ＝|sin x |，④y ＝cos 2 x ＝|cos x |和⑤y ＝1－cos 2 x ＝|sin x |与y ＝sinx 的形状不相同．答案：①③6．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是____________．解析：2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 7．根据函数图象解不等式sin x ＞cos x ，x ∈[0,2π]．解：在同一坐标系中画出函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．可知，当π4＜x ＜5π4时sin x ＞cos x ， 即不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2的大致图象是( )解析：y ＝cos x ·|tan x |＝|sin x |，结合正弦函数的图象可知C 正确． 答案：C9．下列选项中是函数y ＝－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象上最高点的坐标的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 B ．(π，1) C ．(2π，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，1 解析：作出函数y ＝－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象如图所示：答案：B10．方程x 2＝cos x 的实根个数是________．解析：在同一直角坐标系中画出y ＝x 2和y ＝cos x 的图象，观察交点个数为2.答案：211．求函数f (x )＝lg(1＋2cos x )的定义域．解：由1＋2cos x ＞0得cos x ＞－12，画出y ＝cos x 图象的简图，可得定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z )． 12．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6在[0,6π]上的图象．解：列表如下：13．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解：作图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．∵OA＝2，OC＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π.∴所求封闭图形的面积为4π.本节内容是在已知三角函数定义的基础上，运用学过的画图象的方法画出正、余弦函数的图象．1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．。

课时跟踪检测（八） 正弦函数、余弦函数的图象层级一 学业水平达标1．用“五点法”画函数y ＝2－3sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是( ) A ．0，π4，π2，3π4，π B ．0，π2，π，3π2，2πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.2．下列函数图象相同的是( ) A ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(π＋x )B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(－x )D ．f (x )＝sin(2π＋x )与g (x )＝sin x解析：选D A 、B 、C 中f (x )＝－g (x )，D 中f (x )＝g (x )． 3．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：选C 函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称． 4．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π 解析：选A 由y ＝cos x 的图象知，在[0,2π]内使cos x <0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.5．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2的图象是( )解析：选A 首先y ＝ln cos x ＝ln cos(－x )，∴函数为偶函数，排除B 、D ，又∵－π2＜x ＜π2时，cos x ∈(0,1]，∴y ＝ln x ≤0且图象左增右减，故选A. 6．方程sin x ＝lg x 的根的个数为________．解析：作出y ＝sin x 及y ＝lg x 的部分图象如图，由图可以看出两图象有3个交点，即方程有3个不同根．答案：37．函数y ＝2cos x －2的定义域是____________________________________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0， 即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 8．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________．解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝32交点的个数是2个．答案：29．用“五点法”作出函数y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 解：列表：在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，(π，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．10．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域． 解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数图象或单位圆，如图所示．由图象知其定义域为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤2k π＋π6，k ∈Z∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z层级二 应试能力达标1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同.3．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.故选C.4．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：选C 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象如右图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．5．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.答案：4π6．当x ∈[－π，π]时，y ＝12x 与y ＝sin x 的图象交点的个数为________．解析：如图，有3个交点．答案：37．利用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2522x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的图象．解：列表如下：8．画出函数y ＝1＋2cos 2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围． 解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．令y ＝0，即1＋2cos 2x ＝0，则cos 2x ＝－12.∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]． 从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π3.由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.。

课时跟踪检测（九） 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2.4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称 解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称．5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 2＝sin x 2，故为奇函数．6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的周期为________． 解析：T ＝2π12＝4π. 答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________.解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3.答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3， ∴ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性．(1)ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x .解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )．∴该函数ƒ(x )是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R.∵ƒ(－x )＝1＋sin －x ＋1－sin －x ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )，∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |， (1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π] k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k π] k ∈Z ，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二 应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2 解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B. 2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数 解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数， 且T ＝2π23＝3π，故选A.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选D ∵T ＝2πk 4＝8πk≤2，∴k ≥4π， 又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( )A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C.5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：22 6．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x 2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为T ＝2π.答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式． 解：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数， 所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ x(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数．(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒ x ， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒ x ＋2 ＝－1－1ƒ x ＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x )的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ －1＋2 ＝－1ƒ 1 ＝15.。

【优化指导】2015年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）课时跟踪检测 新人教A 版必修41．(2014·陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：∵T ＝2π|ω|＝2π2＝π，∴B 正确．答案：B2．函数y ＝x sin x ( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：函数定义域为R ，又f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数． 答案：B3．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos |x | C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin |x |解析：结合各函数的图象可知函数y ＝sin |x |不是周期函数． 答案：D4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 解析：∵f (x )＝－cos πx －1， ∴f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos πx －1＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．又－cos[π(x ＋2)]－1＝－cos(πx ＋2π)－1 ＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2.故选B. 答案：B5．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于________对称．解析：y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，易证函数为奇函数，所以其图象关于原点对称． 答案：原点6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为23π，则ω＝________.解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为T ＝2πω， ∴2πω＝2π3，∴ω＝3. 答案：37．判断函数f (x )＝cos(2π－x )－x 3sin 12x 的奇偶性．解：f (x )＝cos(2π－x )－x 3sin 12x ＝cos x －x 3sin 12x 的定义域为R ，f (－x )＝cos(－x )－(－x )3sin 12(－x )＝cos x －x 3sin 12x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．8．若函数y ＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．180°解析：要使此函数为奇函数，必须不改变函数名称，结合选项可知，当φ＝180°时，y ＝sin(180°－x )＝sin x 是奇函数．答案：D9．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( ) A ．1B.22C ．0D ．－22解析：由题意知，f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3×3π2＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：B10．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的图象的两条相邻对称轴间的距离为________．解析：两条相邻对称轴之间的距离为函数的半个周期，即为2π2×4＝π4.答案：π411．若函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x －sin x ，求当x ＜0时f (x )的解析式． 解：设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝－x －sin(－x ) ＝－x ＋sin x . 又f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝x －sin x (x ＜0)．12．已知f (x )是奇函数，且满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x ，若f (－1)＝1，求f (－3)的值．解：∵f (x ＋2)＝1＋f x ＋1－f x ＋＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x1－fx＝2－2f x＝－1f x， ∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x )．∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∵f (x )为奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝－f (4－1)＝－f (－1)＝－1.本节内容是在学习了正、余弦函数图象的基础上来学习，主要学习三角函数的周期性和奇偶性．1．求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．涉及三角函数有关的问题时注意诱导公式的运用.。

高一数学(必修一)《第五章 正弦函数、余弦函数的性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()sin 0f x x ωω=>的最小正周期为2π，则ω的值为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．122．设函数()2sin()3f x x π=+，若对任意x ∈R ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1﹣x 2|的最小值是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 3．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．y =B ．cos y x =C ．3x y =D ．ln y x =4．函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数的一个充分条件（ ）A ．6π=ϕ B ．6πϕ=-C ．3πϕ=D ．3πϕ=-5．已知α是第四象限角，且23sin 8cos αα=，则2021cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．13-C D ．136．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ． ,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈ZB ． ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈ZC ． 2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z D ． ,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()k ∈Z7．已知函数()()()2sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的部分图象如图所示，点(0A 和π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（ ）A ．直线π12x =是图象的一条对称轴 B ．()f x 的图象可由()2sin2g x x = 向左平移π3个单位而得到C ．的最小正周期为πD ．在区间ππ-,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增8．已知定义在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意()(),2x R f x f x ∈=-；③当[]0,1x ∈时，则()32f x x =；若过点()1,0-的直线l 与函数()f x 的图象在[]0,4x ∈上恰有4个交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．60,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x 和[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线3x π=对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．0D ．12二、填空题11．函数321,0,()1211,0,2xx x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎛⎫--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则[(2)]f f -=___________. 12．已知函数()f x 是在R 上连续的奇函数，其导函数为()f x '．当x ＞0时，则()()20xf x f x '+>，且()11f =，则函数()()21g x f x x =-的零点个数为______． 13．()()11sin cos cos sin 22f x x x x x =+--，下列说法错误的是______. ①()f x 的值域是[]1,1-； ②当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，则()0f x >；③当且仅当24x k ππ=+（k Z ∈）时，则()f x 取得最小值；④()f x 是以π为最小正周期的周期函数.14．设函数(),12,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的最小值为2，则实数a 的取值范围是______.15．若偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()10f =，则不等式()2330f x x -+≥的解集是____________.三、解答题16．已知幂函数()f x x α=的图象经过点1(8,)2，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．17．比较下列各组数的大小．（1）cos870,cos890︒︒；（2）37π49πsin ,sin 63⎛⎫- ⎪⎝⎭. 18．已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =和()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．19．已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-.(1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值. 20．已知函数()1sin 62f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）若函数()f x 在区间[]0,a 上是严格增函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点．21．已知函数()2x f x x =． (1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性（不用证明），并解不等式()()221f x f x +>-．22．已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件①：函数()f x 的最小正周期为π； 条件②：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 23．已知某海滨浴场的海浪高度是时间t （h ）（024t ≤≤）的函数，记作()y f t =．下表是某日各时的浪高数据.经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+.(1)根据以上数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？四、双空题24．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且2222b c a a +=+，则A = _______，△ABC 的面积的取值范围是 _________ .参考答案与解析1．A【分析】根据正弦型函数的周期计算公式2T πω=即可求解.【详解】由2T πω=∴2242Tππωπ===. 故选：A. 2．C【解析】首先得出f （x 1）是最小值，f （x 2）是最大值，可得|x 1﹣x 2|的最小值为函数的半个周期，根据周期公式可得答案．【详解】函数()2sin()3f x x π=+ ∵对任意x ∈R 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2） ∴f （x 1）是最小值，f （x 2）是最大值； ∴|x 1﹣x 2|的最小值为函数的半个周期 ∵T ＝2π∴|x 1﹣x 2|的最小值为π 故选：C. 3．D【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可.【详解】解：对于A ：y =[)0,∞+，函数为非奇非偶函数，故A 错误； 对于B ：cos y x =为偶函数，但是函数在()0,∞+上不具有单调性，故B 错误；对于C ：3x y =为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ：()ln y f x x ==定义域为{}|0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==故ln y x =为偶函数，又当()0,x ∈+∞时ln y x =，函数在()0,∞+上单调递增，故D 正确； 故选：D 4．A【分析】根据函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，由,Z 32k k ππϕπ+=+∈求解.【详解】解：若函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数所以,Z32k k ππϕπ+=+∈则,Z6k k πϕπ=+∈故选：A 5．C【分析】利用三角函数的基本关系式与条件可求得sin α的值，再利用诱导公式化简2021cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可求得结果.【详解】因为23sin 8cos αα=，所以429sin 64cos αα=又因为22sin cos 1αα+=，所以2264sin 64cos 64αα+=，即2464sin 9sin 64αα+= 整理得429sin 64sin 640αα+-= 解得28sin 9α=或2sin 8α=- (舍去)又因为α是第四象限角，所以sin 0α<，故sin α=所以2021cos cos 101022ππααπ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭. 故选：C. 6．B【分析】根据题意可得6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值，进而结合()0,2πϕ∈可得π6ϕ=，从而有()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求解其单调递增区间即可.【详解】()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值，即()π22πZ 62k k πϕ⨯+=+∈，则()π2πZ 6k k ϕ=+∈，又()0,2πϕ∈，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()πππ22π,2πZ 622x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则()πππ,πZ 36x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦.故选：B. 7．B【分析】根据五点作图法可得，然后利用正弦函数的性质，代入逐一进行检验即可.【详解】由函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<部分图象，点(A ，π,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故sin ϕ=，由于点A 在单调递增的区间上，π3ϕ=或2π3ϕ= （舍去），再根据五点法作图可得 ππ+=π33ω⋅，求得2ω=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ．对于A,令π12x =，求得()2f x =，为最大值，故直线π=12x 是()f x 图象的一条对称轴，故A 正确； 对于B,把()2sin2g x x =向左平移π3个单位，可得2π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；对于C,()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π=π2，故C 正确； 对于D ，ππ-,312x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和πππ2-,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，故D 对.故选：B 8．D【分析】根据条件可知()f x 是周期为2的函数，作出函数图像，数形结合即可得解.【详解】因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，即()()f x f x =-，又因为对于任意()(),2x R f x f x ∈=-，所以()()()2f x f x f x =-=-从而()()2f x f x =+，即()f x 是周期为2的函数 结合当[]0,1x ∈时，则()32f x x =，可作出()f x 在[]0,4的图像以及直线l 的图像，如下图所示：当3x =时，则易知()32f x =，则直线MA 的斜率()3032318MA k -==-- 过点()1,0-的直线l 与函数()f x 的图象在[]0,4上恰有4个交点，则只需直线l 斜率k 的取值范围是30,8⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D. 9．C【分析】根据函数图象求得()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据图象变换可得()g x 的解析式，结合()()129g x g x =，1x ，[]20,4x π∈，求得21,x x 的值，可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可知372433T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得4T π=，则212T πω==，所以()1sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又由题图可知()f x 图象的一个对称中心为点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭故1223k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈故3k πϕπ=+，Z k ∈ 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()1sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1323f π⎛⎫= ⎪⎝⎭故131135sin sin sin 2323322f A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象；因为()()129g x g x =，所以12,x x 同时令()g x 取得最大值3由()2sin 2133g x x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得()11212k x π+=Z k ∈又[]12,0,4x x π∈，要求21x x -的最大值，故令0k =，得112x π=；令3k =，得23712x π=，所以21x x -的最大值为3731212πππ-=故选：C. 10．D【分析】由平移变换写出()g x 的表达式，由()g x 的对称性求得ϕ，然后计算函数值． 【详解】由已知()sin[2()]sin(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+()g x 的图象关于直线3x π=对称，则2,Z 332k k πππϕπ⨯-+=+∈，又0ϕπ<<，所以6π=ϕ 所以()sin(2)6g x x π=-，所以1()sin(2)6662g πππ=⨯-=．故选：D ． 11．11【分析】根据函数解析式，先求得(2)f -再求解. 【详解】因为函数321,0,()1211,0,2xx x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎛⎫--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩所以21(2)|2(2)1|122f -⎛⎫-=⨯---+= ⎪⎝⎭ 32(2)22111f =+-=故答案为：11 12．1【分析】函数()()21g x f x x=-的零点就是方程()21x f x =的根, 设()()2h x x f x =，对()h x 求导，结合题意知()h x 为()0,∞+上的增函数，由()()111h f ==，即可得出答案.【详解】()()()22211x f x g x f x x x -=-=则函数()()21g x f x x=-的零点就是方程()21x f x =的根． 设()()2h x x f x =由题意得()()()()()22h x x f x x f x h x -=--=-=-因为()h x 的定义域为R ，所以()h x 为R 上连续的奇函数．易得()()()()()222h x xf x x f x x xf x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦由题知，当x ＞0时，则()()20xf x f x '+>，则()0h x '> 即函数()h x 为()0,∞+上的增函数又因为()h x 为R 上连续的奇函数，所以()h x 为R 上的增函数．由()11f =，得()()111h f ==，则方程()21x f x =只有一个根故函数()()21g x f x x =-只有1个零点． 故答案为：1. 13．①③④【解析】将函数解析式化简并用分段函数表示出来，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】解：()()()()sin ,cos sin 11sin cos cos sin cos ,cos sin 22x x x f x x x x x x x x ⎧>⎪=+--=⎨≤⎪⎩则画出函数图象如下：观察函数图象可得：函数的值域为⎡-⎢⎣⎦，故①错误；当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，则()0f x >，故②正确； 当22x k ππ=-或2x k ππ=+（k Z ∈）时，则()f x 取得最小值，故③错误；函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故④错误；故错误的有：①③④故答案为：①③④【点睛】本题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的应用，属于中档题.14．[)3,+∞【解析】分别求1≥x 和1x <时函数的值域，再根据题意比较两部分的最小值，求a 的取值范围.【详解】当1≥x 时，则()22x f x =≥，当1x <时，则()1f x a >-由题意知，12a -≥ 3a ∴≥.故答案为：[)3,+∞【点睛】本题考查根据分段函数的最值求参数的取值范围，属于基础题型.15．[]1,2【分析】根据偶函数的性质得到11x -≤≤时()0f x ≥，即可将不等式化为21331x x -≤-+≤，解得即可.【详解】解：因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(),0∞-上单调递增又()10f =，所以()()110f f -==，所以当11x -≤≤时()0f x ≥则不等式()2330f x x -+≥等价于21331x x -≤-+≤，解得12x ≤≤ 所以原不等式的解集为[]1,2.故答案为：[]1,216．答案见解析.【分析】根据给定条件求出α值，判断奇偶性，写出单调区间及单调性，画出()f x 的草图作答.【详解】因幂函数()f x x α=的图象经过点1(8,)2，则182α=，即3122α-=，31α=-解得13α=- 所以函数()f x 的解析式为13()f x x -=，其定义域是(,0)(0,)-∞+∞()f x =()()f x f x -===-，()f x 是奇函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递减函数()f x 的大致图象如图17．（1）cos870cos890︒>︒，（2）37π49πsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后利用余弦函数的单调性比较大小（2）先利用诱导公式化简，然后利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】（1）cos870cos(2360150)cos150︒=⨯︒+︒=︒cos890cos(2360170)cos170︒=⨯︒+︒=︒∵余弦函数cos y x =在[]0,π上是减函数∴cos150cos170︒>︒，即cos870cos890︒>︒.（2）37πππ49πππsin()sin(6π)sin(),sin sin(16π)sin ,666333-=--=-=+= ∵正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ∴ππsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即37π49πsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭. 18．(1),32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得； （2）根据三角函数变换规则得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出46x π+的取值范围，再根据余弦函数的性质及图象计算可得；（1） 解：因为2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =且()f x m n =⋅所以()22sin 22sin 6f x m n x x π⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭()122cos 21cos 22x x x ⎫=-+--⎪⎪⎝⎭1cos 221cos 2123x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ 即()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 令2223k x k ππππ-≤+≤ k Z ∈ 解得236k x k ππππ-≤≤- k Z ∈ 又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以函数()f x 的单调增区间为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）解：因为()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位得到cos 21cos 21121236f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦将所得图象上各点横坐标缩短为原来的 12（纵坐标不变）再向下平移1个单位得到()cos 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 又因为5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,63t x πππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦ 令4036x ππ-≤+≤，解得824x ππ-≤≤- 令046x ππ≤+≤，解得52424x ππ-≤≤ 即函数()g x 在,824ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且1cos 832g ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 作出cos 3y t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤图像可得：所以m 的取值范围1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 19．(1),36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） (2)最大值为1，最小值为-12.【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.（1）()f x =1cos211cos2sin 22226x x x x x π+⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭. 因为y ＝sin x 的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 令22,2622x k k πππππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），得,36x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. （2）因为x ∈［0，2π］，所以2x ＋7,666πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 当2x ＋6π=2π，即x ＝6π时，则()f x 最大值为1 当2x ＋6π=76π，即x ＝2π时，则()f x 最小值为-12.20．（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）所有零点是0，23π和2π． 【分析】（1）先求得函数()f x 的在y 轴右侧的包含0的单调递增区间，进而得到实数a 的取值范围； （2）利用正弦函数的性质，利用整体代换法求得函数()f x 的所有零点，进而得到在[]0,2π上的所有零点.【详解】（1）由πππ2π2π262k x k -+++，得2ππ2π2π33k x k -++ k ∈Z 取0k =，可得2ππ33x - ∵函数()π1sin 62f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,a 上是严格增函数 ∴实数a 的取值范围是π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】关键要注意求函数的零点时不要丢根.1πsin 2π+26x x k =⇔=或()5π2π+6x k k Z =∈. 21．(1)()f x 为偶函数，证明见解析 (2)()f x 在[)0,+∞上单调递增，不等式解集为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再检查(),()f x f x -之间的关系；（2）先将函数作简单变型，分析出单调性，再根据单调性来解不等式.（1）()f x 为偶函数．证明如下：依题意，函数()f x 的定义域为R ．对于任意x ∈R ，都有()()22x x f x x x f x --=-==，所以函数()f x 是R 上的偶函数．（2）函数())22x x f x x x ==-2x =[)0,+∞上单调递增．因为函数()f x 是R 上的偶函数，所以()()221f x f x +>-等价于()()221f x f x +>-．因为函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以221x x +>-，即23830x x --<，解得133x -<<，所以不等式()()221f x f x +>-的解集为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 22．(1)选择①②：π()sin(2)6f x x =+，()f x 的最小值为1-；选择①③：π1()sin(2)62f x x =++， ()f x 的最小值为12-； (2)选择①②：t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；选择①③：t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简()f x ，然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选择②③，m 的取值有两个，舍去；（2）根据零点即是函数图像与x 轴的交点横坐标，令()0f x =求出横坐标，即可判断t 的取值范围.（1）由题可知2()cos cos ωωω=+f x x x x m112cos222ωω+++x x m π1sin(2)62ω=+++x m ． 选择①②： 因为2ππ2T ω==，所以1ω=． 又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-． 所以π()sin(2)6f x x =+． 当ππ22π62x k +=-，k Z ∈即ππ3x k =-，k Z ∈时，则()1f x =-. 所以函数()f x 的最小值为1-．选择①③： 因为2ππ2T ω==，所以1ω=． 又因为函数()f x 的最大值为3322m +=所以0m =． 所以π1()sin(2)62f x x =++． 当ππ22π62x k +=-，k Z ∈即ππ3x k =-，k Z ∈时 πsin(2)16x +=- 所以函数()f x 的最小值为11122． 选择②③： 因为1(0)12f m =+=，所以12m =- 因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =m 的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去. （2）选择①②：令πsin(2)06x +=则π2π6x k += k Z ∈ 所以ππ212k x =- k Z ∈ 当1,2k =时，则函数()f x 的零点为5π11π,1212 由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点所以5π11π1212t ≤<． 所以t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 选择①③：令π1sin(2)062++=x 则π722π+π66+=x k k Z ∈ 或π1122π+π66+=x k k Z ∈ 所以ππ+2=x k k Z ∈ 或5π+π6=x k k Z ∈．当0k =时，则函数()f x 的零点分别为π5π,26由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点所以π5π26t ≤<． 所以t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 23．(1)T =12，A =0.5 1cos 126y t π=+； (2)一共有6个小时.【分析】(1)根据给定的数表直接求出周期T ，振幅A ，进而求出函数表达式.(2)根据给定条件解不等式1cos 1126t π+>即可计算作答. （1）依题意，观察数表得：最小正周期12T =，最高浪高为1.5米，最低浪高为0.5米 则 1.50.5122A -== 1.50.512b +== 22126T πππω===＝6π 所以函数解析式为：1cos 126y t π=+ （2）由(1)知，令1cos 1126t π+>，得：22(Z)262k t k k πππππ-<<+∈ 123123Z ()k t k k -<<+∈而820t <<，则1k = 915t <<所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.24． 3π【分析】由2222b c a a +=+结合余弦定理可得cos a bc A =，由△ABC ，可是1sin 2bc A ==，两式结合可求得tan A =A ；利用正弦定理，余弦定理，三角函数等变换的应用可得311sin(2)2264B a π=-+，可求出范围52(,)666B πππ-∈，利用正弦函数的性质可求解a 的范围，进而可求得△ABC 的面积的取值范围【详解】解：因为2222b c a a +=+，所以2222b c a a +-= 所以由余弦定理得2222cos 22b c a a a A bc bc bc+-===，所以cos a bc A =因为△ABC所以1sin 2bc A ===所以1sin cos 2bc A A ==所以tan A 因为(0,)A π∈，所以3A π=因为1cos 2a bc A bc ==所以1sin 2ABC Sbc A ==因为由正弦定理可得b B =，2)3c B π=-和2a bc = 所以2422sin sin()33a a B B π=- 所以311sin(2)2264B a π=-+ 因为△ABC 为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<< 所以52(,)666B πππ-∈ 所以31113sin(2)(,]226424B a π=-+∈ 所以[2,3)a ∈，所以1sin 2ABC Sbc A ==∈ 故答案为：3π。

课时跟踪检测（十） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：选 C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2D ．y ＝－sin x 2 解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x 2在(0，π)上是单调递减的． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22C ．22D ．0 解析：选 B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，则y 的范围是________． 解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 8．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62； 当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小．(1)sin 10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3， cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－2π9＝cos 2π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜2π9＜π3＜π， ∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9. 层级二 应试能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2] 解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z)解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)． 解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π，0]7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值． 解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π， 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)， ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4， ∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1， ∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解：∵0≤x ≤π2， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5. 当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。

高一数学(必修一)《第五章 正弦函数、余弦函数的图象》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中02πϕ<<）的图象经过1(,)42P π，则ϕ的值为（ ） A ．512π B ．3πC ．4π D ．6π2．已知函数()cos f x x x =和()()g x f x '=，则（ ）． A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为(0,1)3．设函数()2121log 2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，，的最小值为1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， B ．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， C ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， D ．[)1-+∞， 4．已知函数()22πcos sin 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象先向右平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的对称轴方程为（ ） A ．()ππ+Z 12x k k =∈ B ．()ππZ 6x k k =-∈ C ．()ππZ 212k x k =-∈ D ．()ππ+Z 212k x k =∈ 5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，则()()e 1xf x x =+，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0x >时，则()()e 1xf x x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<6．设集合{}{}2log 2,P x x Q y y x P =<=∈∣∣，则P Q =（ ） A ．{34}xx <<∣ B ．{34}xx <∣ C ．{04}xx <<∣ D ．{05}xx <∣ 7．已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（ ） A ．2- B ．0C ．2D ．48．函数()cos xf x xπ=在区间[]4,4-上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．二、解答题9．已知函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)用五点法画出函数()f x 的大致图像，并写出()f x 的最小正周期； (2)写出函数()f x 在R x ∈上的单调递减区间； (3)将()y f x =图像上所有的点向右平移3π个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得到()y g x =的图像，求()y g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．10．已知函数()22sin sin 363f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()2g x f x a =-在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点()123123,,x x x x x x <<（i ）求实数a 的取值范围； （ii ）求()123sin 2x x x +-的值.11．某实验室某一天的温度（℃）随时间()t h 的变化近似地满足函数关系：()sin1212f t k t t ππ=-[)0,24t ∈ R k ∈ 已知早上6时，则实验室温度为9℃．(1)求函数()f t 的解析式； (2)求实验室这一天中的最大温差；(3)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪个时间段实验室需要降温? 12．已知函数222()log log (4),()log ()f x x x g x x a =--=+． (1)求()f x 的定义域，并证明()f x 的图象关于点(2,0)对称；(2)若关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 13．已知函数32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))P f 处的切线方程为420x y --=． (1)求函数()f x 的单调区间(2)若函数()()g x f x m =-有三个零点，求实数m 的取值范围．三、填空题14．函数()2log 2cos 1y x =+的定义域是______.15．已知函数()22sin sin 2f x x x =的最大值为3，则实数a 的值为______.16．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______．四、多选题17．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．3πϕ=C ．()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．若123x x π+=，则()()12f x f x =参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据给定条件，结合特殊角的三角函数值求解作答.【详解】依题意，1()sin()cos 422f ππϕϕ=+==，而02πϕ<<，所以3πϕ=.故选：B 2．【答案】B【分析】利用导数求得()g x ，然后根据三角函数的对称性、单调性、特殊值等知识求得正确答案.【详解】()()'1sin 2sin 2g x f x x x x x ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭4π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ππ4π3π2sin 2sin 26632g ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()g x 图像的一条对称轴是π6x =，B 选项正确，A 选项错误. ()g x 的最小正周期2πT =，半周期π2T= 5π5π5ππ663⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以区间5π5π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的单调区间，C 选项错误. ()()4πππ02sin 2sin π2sin 0,1333g ⎛⎫==+=-= ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：B3．【答案】A【分析】分段讨论最小值即可.【详解】由于函数()2121log 2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，，的最小值为1- 当12x ≥时，则()211log 122f x f ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭当12x ≤时，则()112f x a >-+≥-，解得12a ≥-故选: A ． 4．【答案】D【分析】整理可得()1cos2f x x =+，根据平移整理得()πcos 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合余弦函数得对称轴()ππZ 62k k x -=∈求解．【详解】()222πcos sin 2cos 1cos 22f x x x x x ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭由题意可得()cos 2cos 2ππ126g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭则()ππZ 62k k x -=∈，解得()ππ+Z 212k x k =∈故选：D ． 5．【答案】A【分析】由奇函数求出0x >的解析式即可判断A 选项；解方程求出零点即可判断B 选项；解分段函数不等式即可判断C 选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D 选项.【详解】对于A ，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，则0x -< ()()()e 1xf x x f x --=-+=-则()()()e 1e 1x xf x x x --=--+=-，A 错误；对于B ，易得()00f =，当0x <时，则()()e 10x f x x =+=，可得1x =-；当0x >时，则()()e 10xf x x -=-=可得1x =，则函数()f x 有3个零点，B 正确；对于C ，由()()()e 1,00,0e 1,0x x x x f x x x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，当0x <时，则由()()e 10xf x x =+<得1x <-；当0x >时，则由()()e 10xf x x -=-<得01x <<，则()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 正确；对于D ，当0x <时，则()()e 1x f x x =+，()()e 2xf x x '=+当2x <-时，则()0f x '<，()f x 单减，此时()0f x <；当20x -<<时，则()0f x '>，()f x 单增()10f -=，0x →时，则()1f x →；2x =-时，则()f x 有极小值()212e f -=-； 结合函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()f x 的图象结合图象知，()f x 的值域为()1,1-，则12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 正确. 故选：A. 6．【答案】A【分析】由集合交集的定义计算即可.【详解】由2log 2x <解得04x <<，所以{|04}P x x =<<所以2(0,16)x ∈(3,5)和{|35}Q y y =<< 所以{|34}P Q x x =<<. 故选：A. 7．【答案】C【分析】结合函数的奇偶性、对称性和周期性求得正确答案. 【详解】()f x 是奇函数()()22f x f x -=+，即()f x 关于2x =对称()()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=-+=-=- ()()()()()()8444f x f x f x f x f x +=++=-+=--=所以()f x 是周期为8的周期函数.()()()()()()00,12,3212112f f f f f f ===+=-==()()()()4222200f f f f =+=-== ()()()()()52323112f f f f f =+=-=-=-=- ()()()()()6242422f f f f f =+=-=-=- ()()()74332f f f =+=-=- ()()800f f ==所以()()()()()()()()123456780f f f f f f f f +++++++= 由于202225286=⨯+ 所以(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=()()()()()()1234562f f f f f f +++++=.故选：C 8．【答案】C【分析】先判断函数奇偶性排除A ，再结合特殊值法和零点个数可选出正确答案. 【详解】易知函数cos ()xf x x π=是奇函数，图象关于原点对称，可以排除A ；在原点右侧附近，函数()f x 值大于0，排除D ；函数cos ()x f x x π=在区间[4,4]-上有零点1357,,,2222±±±±，共计8个，排除B.仅有C 符合上述要求. 故选：C.9．【答案】(1)图象见解析 T π=；(2)5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3)()max 2g x = ()min 2g x =-； 【分析】（1）根据“五点法”列表，即可做出函数图象，再根据周期公式求出周期； （2）根据正弦函数的性质计算可得；（3）根据三角函数的变换规则得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围，求出43x π-的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；（1）解：因为2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 列表如下：函数图象如下：函数()f x 的最小正周期22T ππ==． （2）解：令222,Z232k x k k πππππ-+≤+≤+∈解得5,Z 1212k x k k ππππ-+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（3）解：将()y f x =图像上所有的点向右平移3π个单位长度得到2sin 22sin 2333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 再2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变得到()2sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以54,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 41,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()[]2,2g x ∈-当432x ππ-=，即524x π=时()max 2g x =，当3432x ππ-=，即1124x π=时()min 2g x =-；10．【答案】(1)()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)（i ）⎡⎤⎣⎦；（ii 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间； （2）（i ）令43t x π=-，将问题转化为2sin y t =与y a =在,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得a 的取值范围；（ii ）由（i ）中图像可确定233t t π+=，312t t π-=由此可得1232t t t π+-=-，整理可得123212x x x π+-=-，由两角和差正弦公式可求得sin12π-的值，即为所求结果.（1）()22sin cos 2cos 13263f x x x x ππππ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭2222sin cos 2sin 2233333x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin 22sin 2333x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ∴令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）（i ）由（1）得：()2sin 43g x x aπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则4,233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦设43t x π=-，则()g x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点等价于2sin y t =与y a =在,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个不同的交点；作出2sin y t =在,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如下图所示由图像可知：当0a ≤≤时，则2sin y t =与y a =恰有3个不同的交点∴实数a 的取值范围为⎡⎤⎣⎦；（ii ）设2sin y t =与y a =的3个不同的交点分别为()123123,,t t t t t t << 则233t t π+= 312t t π-= ()123323232224t t t t t t t t πππ∴+-=-+-=+-=-即1232444333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：1238443x x x π+-=-123212x x x π∴+-=-()123sin 2sin sin sin cos cos sin 12464646x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫∴+-=-=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12==.11．【答案】(1)()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ (2)最大温差为4℃ (3)10时至18时【分析】(1)将6t =代入求出k 值即可得解.(2)在[)0,24t ∈时，则求出函数()f t 的最大值与最小值即可得解. (3)解关于t 的三角不等式()11f t >即可作答.(1)因1()sin )2sin()12212123f t k t t k t ππππ=-+=-+则当6t =时，则()2sin(6)9123f t k ππ=-⨯+=，解得10k =所以()f t 的解析式为()102sin()123f t t ππ=-+.(2)因024t ≤<，则731233t ππππ≤+<，得1sin()1123ππ-≤+≤t ，当1232t πππ+=，即2t =时，则()f t 取最小值8当31232t πππ+=，即14t =时，则()f t 取最大值12，即实验室这一天中的最高温度为12℃，最低温度8℃所以最大温差为4℃. (3)依题意，当()11f t >时，则实验室需要降温由()102sin 11123f t t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得1sin 1232t ππ⎛⎫+<-⎪⎝⎭ 而当024t ≤<，即731233t ππππ≤+<时，则则有71161236t ππππ<+<，解得1018t <<所以在10时至18时实验室需要降温.12．【答案】(1)定义域为()0,4，证明见解析；(2)10a -<<.【分析】（1）根据解析式有意义可求函数的定义域，可证()()40f x f x +-=，从而得到()f x 的图象关于点(2,0)对称.（2）根据根分布可求参数的取值范围.（1）由题设可得040x x >⎧⎨-<⎩，故04x <<，故()f x 的定义域为()0,4而()()2222()4log log (4)log 4log 0f x f x x x x x +-=--+--=故()f x 的图象关于点(2,0)对称.（2）因为()()f x g x =有两个不同的实数解 故4x x a x=+-在()0,4上有两个不同的实数解 整理得到：2(3)40x a x a +--=在()0,4上有两个不同的实数解设()2(3)4h x x a x a =+--，则()()()2004030423160h h a a a >⎧⎪>⎪⎪-⎨<<⎪⎪⎪-+>⎩ 故240164(3)4030421090a a a a a a ->⎧⎪+-->⎪⎪-⎨<<⎪⎪++>⎪⎩，解得10a -<<. 13．【答案】(1)单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，列出方程组求得()321f x x x x =+-+，得到()2321f x x x '=+-，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()321g x x x x m =+-+-，结合条件列出不等式组，即得.（1）由题可得2()32f x x ax b '=++ 由题意得(1)22(1)324f a b f a b =++=⎧⎨=++='⎩解得1,1a b ==-所以322()1,()321f x x x x f x x x =+-+=+-'由()0f x '>得1x <-或13x > 由()0f x '<得113x -<< 所以()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）因为322()()1,()()321g x f x m x x x m g x f x x x =-=+-+='-=+-'由（1）可知，()g x 在1x =-处取得极大值，在13x =处取得极小值 ()g x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 依题意，要使()g x 有三个零点，则(1)0103g g ->⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩ 即()1201220327g m g m ⎧-=->⎪⎨⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22227m <<，经检验，(2)10,(2)110g m g m -=-<=+> 根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点所以m 的取值范围为22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14．【答案】222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ） 【分析】根据对数函数的性质可得2cos 10x +>，再由余弦函数的图象与性质即可求解.【详解】由题意可得2cos 10x +>，解得1cos 2x >- 作出cos y x =的图象，如下：由图象可得2222,33k x k k Z ππππ-<<+∈ 所以函数的定义域为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）. 故答案为： 222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ） 15．【答案】±1【分析】先化简函数的解析式得()()21f x x ϕ++13=即得解.【详解】由题得()()22sin sin 21cos 2sin 221f x x x x x x ϕ==-++，其中tan ϕ=所以()f x 13=解得1a =±.故答案为：±1.16．【答案】1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【分析】找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.【详解】如下图，作出简图，由题意知，[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T因为06x πω=-，则40077210443T x x x ππωω+=+⋅== 500223226x x T x ππωω=+=+⋅= 结合[)45,x x π∈有103ππω≥且236ππω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故答案为：1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭17．【答案】AD 【分析】由图知22T π=即可求ω；根据()012f π-=且(0)0f >求ϕ；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调性；由213x x π=-代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断()()12f x f x =是否成立. 【详解】由图知：5()212122T πππ=--=，而2T πω=，可得2ω=，A 正确； ∴()()2sin 2f x x ϕ=+，又()2sin()0126f ππϕ-=-+=且(0)2sin 0f ϕ=>，有6k πϕπ=+ k Z ∈ 又ϕπ< ∴0k =，即6π=ϕ，B 错误； 综上，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则22[,]633x πππ+∈-，显然()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错误； 若123x x π+=，则213x x π=-，故2115()()2sin(62)3f x f x x ππ=-=-12sin(2)56x ππ=+-112sin()()26x f x π=+= D 正确.故选：AD。

课时跟踪检测（八） 正弦函数、余弦函数的图象层级一 学业水平达标1．用“五点法”画函数y ＝2－3sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是( ) A ．0，π4，π2，3π4，π B ．0，π2，π，3π2，2πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.2．下列函数图象相同的是( ) A ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(π＋x )B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(－x )D ．f (x )＝si n(2π＋x )与g (x )＝sin x解析：选D A 、B 、C 中f (x )＝－g (x )，D 中f (x )＝g (x )． 3．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：选C 函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称． 4．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π解析：选A 由y ＝cos x 的图象知，在[0,2π]内使cos x <0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.5．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2的图象是( )解析：选A 首先y ＝ln cos x ＝ln cos(－x )，∴函数为偶函数，排除B 、D ，又∵－π2＜x ＜π2时，cos x ∈(0,1]，∴y ＝ln x ≤0且图象左增右减，故选A. 6．方程sin x ＝lg x 的根的个数为________．解析：作出y ＝sin x 及y ＝lg x 的部分图象如图，由图可以看出两图象有3个交点，即方程有3个不同根．答案：37．函数y ＝2cos x －2的定义域是____________________________________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0， 即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 8．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________．解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝32交点的个数是2个．答案：29．用“五点法”作出函数y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 解：列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x131－11在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3，(π，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．10．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域． 解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数图象或单位圆，如图所示．由图象知其定义域为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤2k π＋π6，k ∈Z∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z层级二 应试能力达标1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同.3．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.故选C.4．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：选C 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象如右图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．5．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.答案：4π6．当x ∈[－π，π]时，y ＝12x 与y ＝sin x 的图象交点的个数为________．解析：如图，有3个交点．答案：37．利用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2522x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的图象．解：列表如下：x π2 π 3π2 2π 5π2 x －π20 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π21－18．画出函数y ＝1＋2cos 2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围． 解：按五个关键点列表：2x0 π2 π 3π2 2π x0 π4 π2 3π4 π cos 2x 1 0 －1 0 1 1＋2cos 2x31－113描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示． 令y ＝0，即1＋2cos 2x ＝0，则cos 2x ＝－12.∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]． 从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π3.由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.。

第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值1.正弦函数、余弦函数的单调性(1)正弦函数y=sin x 的增区间为[2k π-π2，2k π+π2](k ∈Z);减区间为[2k π+π2，2k π+3π2](k ∈Z).(2)余弦函数y=cos x 的增区间为[2k π-π，2k π](k ∈Z);减区间为[2k π，2k π+π](k ∈Z).2.正弦函数、余弦函数的图象的最值 正弦曲线:余弦曲线:可得如下性质:由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[-1，1]. 对于正弦函数y=sin x ，x ∈R 有:当且仅当x=π2+2k π，k ∈Z 时，取得最大值1;当且仅当x=-π2+2k π，k ∈Z 时，取得最小值-1.对于余弦函数y=cos x ，x ∈R 有:当且仅当x=2k π，k ∈Z 时，取得最大值1; 当且仅当x=(2k+1)π，k ∈Z 时，取得最小值-1.正、余弦(型)函数的单调性类型一 利用图象确定函数的单调区间 [例1] 求函数y=|sin x|的单调区间.解:因为y=|sin x|的图象是由y=sin x 在x 轴上侧的图象不变、x 轴下侧的图象对折得到的，如图所示.由函数得，当x ∈[0，π2]时，函数单调递增，当x ∈[π2，π]时，函数单调递减，因此函数的单调递增区间是[k π，k π+π2](k ∈Z)， 单调递减区间是[k π+π2，k π+π](k ∈Z).(1)研究三角函数的单调性时，若函数的图象容易作出(或不能直接利用y=sin x ，y=cos x 的单调性求解，可以作出函数图象)，结合图象研究函数性质.(2)一般地，形如y=|Asin(ωx+ϕ)|或y=|Acos(ωx+ϕ)|的函数单调性常借助图象求解.提醒:本例中，由于函数y=|sin x|周期为T=π，因此函数的单调性中应为k π的形式.针对训练1:已知y=|cos x|，则函数的一个单调递增区间是( ) A.(-π4，π4) B .(π4，3π4)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析:作出函数y=|cos x|的图象如图所示，当x ∈(3π2，2π)时，函数单调递增.故选D.类型二 形如y=Asin(ωx+ϕ)+k 或y=Acos(ωx+ϕ)+k(A ，ω≠0)的函数单调性[例2] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=2+cos(x 2+π3);(2)f(x)=2sin(π4-2x).解:(1)令2k π≤x 2+π3≤2k π+π，k ∈Z ，得4k π-2π3≤x ≤4k π+4π3(k ∈Z).故函数的单调递减区间是 [4k π-2π3，4k π+4π3](k ∈Z).令2k π+π≤x 2+π3≤2k π+2π，k ∈Z ，得4k π+4π3≤x ≤4k π+10π3(k ∈Z).故函数的单调递增区间是 [4k π+4π3，4k π+10π3](k ∈Z).(2)f(x)=2sin(π4-2x)=-2sin(2x-π4)， 令2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2，k ∈Z ，得k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z).故函数的单调递减区间是 [k π-π8，k π+3π8](k ∈Z).令2k π+π2≤2x-π4≤2k π+3π2，k ∈Z ，得k π+3π8≤x ≤k π+7π8(k ∈Z).故函数的单调递增区间是[k π+3π8，k π+7π8](k ∈Z).求正弦、余弦型函数单调区间的方法(1)求函数y=Asin(ωx+ϕ)(或y=Acos(ωx+ϕ))(A>0，ω>0)的单调区间，一般将ωx+ϕ视作整体，代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式，解之即得.(2)当ω<0时，先利用诱导公式将y=Asin(ωx+ϕ)(或y=Acos(ωx+ϕ))(A>0，ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-ϕ)(或y=Acos(-ωx-ϕ))(A>0，ω<0)，再求函数的单调区间.(3)当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆.针对训练2:(1)(多选题)函数y=sin(-12x+π4)，x ∈[-4π，4π]的单调递减区间是( )A.[-4π，-5π2] B.[-π2，3π2]C.[π2，5π2] D.[7π2，4π](2)函数y=cos(π3-2x)的单调递增区间是 .解析:(1)因为y=sin(-12x+π4)=-sin(12x-π4)与函数y=sin(12x-π4)的增减性相反，令-π2+2k π≤12x-π4≤π2+2k π，k ∈Z ，得-π2+4k π≤x ≤3π2+4k π，k ∈Z ，当k=-1时，-9π2≤x ≤-5π2，当k=0时，-π2≤x ≤3π2，当k=1时，7π2≤x ≤11π2，又-4π≤x ≤4π，所以函数y=sin(-12x+π4)的单调递减区间为[-4π，-5π2]，[-π2，3π2]，[7π2，4π].故选ABD.(2)y=cos(π3-2x)=cos(2x-π3)，由-π+2k π≤2x-π3≤2k π，k ∈Z ，得-π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z.答案:(1)ABD (2)[-π3+k π，π6+k π](k ∈Z)类型三 利用正、余弦函数单调性比较大小 [例3] 比较下列各组数的大小. (1)sin 194°与cos 160°; (2)cos 32，sin 110，-cos 74;(3)sin(sin 3π8)与sin(cos 3π8).解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°，cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°.因为0°<14°<70°<90°，函数y=sin x 在区间(0°，90°)上单调递增，所以sin 14°<sin 70°，所以-sin 14°>-sin 70°， 所以sin 194°>cos 160°. (2)sin 110=cos(π2-110)，-cos 74=cos(π-74)，因为0<π-74<π2-110<32<π，函数y=cos x 在(0，π)上是单调递减，所以cos(π-74)>cos(π2-110)>cos 32，即-cos 74>sin 110>cos 32.(3)cos 3π8=cos(π2-π8)=sin π8.因为0<π8<3π8<π2，函数y=sin x 在(0，π2)上单调递增，所以sin π8<sin 3π8，所以cos 3π8<sin 3π8.而0<cos 3π8<sin 3π8<1，且函数y=sin x 在(0，1)上单调递增，所以sin(cos 3π8)<sin(sin 3π8).三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[-π2，π2]或[π2，3π2]内;对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[-π，0]或[0，π]内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.针对训练3:比较下列各组数的大小. (1)sin(-320°)与sin 700°;(2)cos17π8与cos37π9.解:(1)因为sin(-320°)=sin(-360°+40°)=sin 40°， sin 700°=sin(720°-20°)=sin(-20°)， 又函数y=sin x 在[-90°，90°]上单调递增， 所以sin 40°>sin(-20°)， 所以sin(-320°)>sin 700°. (2)因为cos 17π8=cos(2π+π8)=cos π8，cos37π9=cos(4π+π9)=cos π9，又函数y=cos x 在[0，π]上单调递减， 所以cos π8<cos π9，所以cos17π8<cos37π9.正、余弦(型)函数的值域与最值类型一 正、余弦(型)函数的最值问题[例4] 求下列函数的最值，并求函数取最值时，相应x 的值. (1)y=3sin(2x+π3);(2)y=1+cos(2x+π3)，x ∈[-π3，π6].解:(1)当2x+π3=2k π+π2(k ∈Z)，即x=k π+π12(k ∈Z)时，y max =3，当2x+π3=2k π-π2(k ∈Z)，即x=k π-5π12(k ∈Z)时，y min =-3.(2)因为x ∈[-π3，π6]，所以2x+π3∈[-π3，2π3].所以-12≤cos(2x+π3)≤1.当2x+π3=0，即x=-π6时，函数取最大值，y max =1+1=2. 当2x+π3=2π3，即x=π6时，函数取最小值，y min =-12+1=12.形如y=Asin(ωx+ϕ)+k 或y=Acos(ωx+ϕ)+k(A ≠0，ω≠0)的函数 (1)在R 上的最值，可结合sin(ωx+ϕ)，cos(ωx+ϕ)的范围及A 的符号确定.(2)若定义域为确定的区间，令t=ωx+ϕ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性及A 的符号，求其值域.针对训练4:求下列函数最值，并求取最大值和最小值时x 的值. (1)y=1-3cos 2x;(2)y=-2sin(2x-π4)，x ∈[0，π2].解:(1)当cos 2x=1时，y 有最小值1-3=-2，此时x 的值满足2x=2k π，即x=k π(k ∈Z).当cos 2x=-1时，y 有最大值1+3=4，此时x 的值满足2x=2k π+π，即x=k π+π2(k ∈Z).(2)由x ∈[0，π2]，得2x-π4∈[-π4，3π4]，所以sin(2x-π4)∈[-√22，1]，即-2≤-2sin(2x-π4)≤√2.当2x-π4=π2，即x=3π8时，函数取最小值-2.当2x-π4=-π4，即x=0时，函数取最大值√2.类型二 形如y=Asin 2x+Bsin x+C 或y=Acos 2x+Bcos x+C 型最值问题 [例5] 求使函数y=-sin 2x+√3sin x+54取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值. 解:令t=sin x ，则-1≤t ≤1， 所以y=-t 2+√3t+54=-(t-√32)2+2.当t=√32时，y max =2， 此时sin x=√32，即x=2k π+π3或x=2k π+2π3(k ∈Z).当t=-1时，y min =14-√3，此时sin x=-1，即x=2k π+3π2(k ∈Z).综上，使函数y=-sin 2x+√3sin x+54取得最大值时自变量x 的集合为{x|x=2k π+π3或x=2k π+2π3，k ∈Z}，且最大值为2.使函数y=-sin 2x+√3sin x+54取得最小值时自变量x 的集合为{x|x=2kπ+3π2，k ∈Z}，且最小值为14-√3.形如y=asin 2x+bsin x+c(a ≠0)的三角函数，可先设sin x=t ，将函数y=asin 2x+bsin x+c(a ≠0)化为关于t 的二次函数y=at 2+bt+c(a ≠0)(-1≤t ≤1)，根据二次函数的单调性求值域(最值).针对训练5:求函数y=-cos 2x+√3sin x+54的值域.解:因为cos 2x=1-sin 2x ， 所以y=sin 2x+√3sin x+14.令t=sin x ，则-1≤t ≤1， 所以y=t 2+√3t+14=(t+√32)2-12.当t=-√32时，y min =-12，当t=1时，y max =54+√3.故函数的值域为[-12，54+√3].典例探究:函数y=sin x 的定义域为[a ，b]，值域为[-1，12]，则b-a的最大值与最小值之和等于( ) A.4π3B.8π3C.2πD.4π解析:如图，当x ∈[a 1，b]时，值域为[-1，12]，且b-a 最大.当x ∈[a 2，b]时，值域为[-1，12]，且b-a 最小.所以b-a 的最大值与最小值之和为(b-a 1)+(b-a 2)=2b-(a 1+a 2)=2×π6-(-7π6-π2)=2π.故选C.应用探究:已知函数y 1=a-bcos x 的最大值是32，最小值是-12，求函数y=-4asin 3bx 的最大值.解:因为函数y 1的最大值是32，最小值是-12，当b>0时，由题意得{a +b =32,a -b =-12,所以{a =12,b =1.此时y=-4asin 3bx=-2sin 3x.当b<0时，由题意得{a -b =32,a +b =-12,所以{a =12,b =-1.此时y=-4asin 3bx=-2sin(-3x)=2sin 3x. 因此，y=-2sin 3x 或y=2sin 3x. 函数的最大值均为2.1.函数f(x)=3-2cos 4x 的最大值为( D ) A.1 B.2 C.3 D.5解析:因为-1≤cos 4x ≤1，所以-2≤2cos 4x ≤2，所以1≤3-2cos 4x ≤5，所以f(x)=3-2cos 4x 的最大值为5.故选D. 2.函数f(x)=sin x ，x ∈[π6，2π3]的值域为( B )A.[-1，1]B.[12，1]C.[12，√32] D.[√32，1]解析:因为函数y=sin x 在区间[π6，π2]上是增函数，在区间[π2，2π3]上是减函数，所以当x ∈[π6，2π3]时，f(x)max =f(π2)=1，f(x)min =f(π6)=12，因此，所求函数的值域为[12，1].故选B.3.函数y=sin 2x+sin x-1的值域为( C ) A.[-1，1] B.[-54，-1]C.[-54，1] D .[-1，54]解析:因为y=sin 2x+sin x-1=(sin x+12)2-54，当sin x=-12时，y min =-54;当sin x=1时，y max =1，即y ∈[-54，1].故选C.4.函数f(x)=2sin(x-π3)，x ∈[-π，0]的单调递增区间是( D )A.[-π，-5π6] B.[-5π6，-π6]C.[-π3，0] D .[-π6，0]解析:令2k π-π2≤x-π3≤2k π+π2，k ∈Z ，解得2k π-π6≤x ≤2k π+5π6，所以函数f(x)=2sin(x-π3)，x ∈[-π，0]的单调递增区间是[-π6，0].故选D.[例1] (多选题)下列结论正确的是( ) A.sin(-π18)<sin(-π10)B.sin(-π18)>sin(-π10) C.cos(-23π5)<cos(-17π4) D.cos(-23π5)>cos(-17π4)解析:因为-π2<-π10<-π18<0，且y=sin x 在区间[-π2，0]上单调递增，所以sin(-π18)>sin(-π10)，故B 正确.又cos(-23π5)=cos23π5=cos 3π5，cos(-17π4)=cos17π4=cos π4，0<π4<3π5<π，且y=cos x 在区间[0，π]上单调递减， 所以cos(-23π5)<cos(-17π4)，故C 正确，故选BC.[例2] 已知函数y=sin 12ωx 在(0，π)上是减函数，则ω的取值范围为 .解析:由正弦函数图象知，要使函数y=sin 12ωx 在(0，π)上是减函数，则{ω<0,|ωπ2|≤π2,解得-1≤ω<0. 答案:[-1，0)[例3] 函数y=lo g 12sin(2x+π4)的单调递增区间是 .解析:设g(x)=sin(2x+π4)，则y=lo g 12g(x)与g(x)的增减性相同，所以g(x)单调递减，且g(x)>0，所以π2+2k π≤2x+π4<π+2k π，k ∈Z ，即π8+k π≤x<3π8+k π，k ∈Z.故所求函数的单调递增区间为[π8+k π，3π8+k π)(k ∈Z).答案:[π8+k π，3π8+k π)(k ∈Z)[例4] 求下列函数的值域. (1)y=|sin x|+sin x; (2)y=sinx -2sinx+1.解:(1)当sin x ≥0时，|sin x|=sin x; 当sin x<0时，|sin x|=-sin x ，所以y={2sinx ,sinx ≥0,0,sinx <0.因为当sin x ≥0时，0≤sin x ≤1，所以0≤y ≤2; 当sin x<0时，y=0.所以函数y=|sin x|+sin x 的值域为[0，2]. (2)y=sinx -2sinx+1=sinx+1-3sinx+1=1-3sinx+1.当sin x=1时，y max =-12，易得该函数的值域为(-∞，-12]. [例5] 已知函数f(x)=2sin(2x-π3)+1.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若关于x 的方程f(x)-m=2在x ∈[π4，π2]上有解，求实数m 的取值范围.解:(1)最小正周期T=2π2=π，令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z)，解得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为[k π-π12，k π+5π12](k ∈Z).(2)因为x ∈[π4，π2]，所以2x-π3∈[π6，2π3]，即sin(2x-π3)∈[12，1]，又因为f(x)=2sin(2x-π3)+1，所以f(x)的值域为[2，3]. 由f(x)-m=2，得f(x)=m+2， 所以m+2∈[2，3]，即m ∈[0，1].选题明细表基础巩固1.函数f(x)=sin(2x-π4)在区间[0，π2]上的最小值是( B )A.-1B.-√22C.√22D.0解析:因为x ∈[0，π2]，所以2x-π4∈[-π4，3π4]，所以sin(2x-π4)∈[-√22，1]，所以f(x)min =-√22.故选B. 2.函数f(x)=-2sin 2x+2cos x 的最大值和最小值分别是( B ) A.2，-2 B.2，-52C.2，-12D.52，-2解析:f(x)=-2sin 2x+2cos x=-2×(1-cos 2x)+2cos x=2cos 2x+2cos x-2= 2[(cos x+12)2-54]=2(cos x+12)2-52，因为-1≤cos x ≤1，所以f(x)min =-52，f(x)max =2.故选B.3.下列区间中，函数f(x)=5sin(x-π3)单调递增的区间是( A )A.(0，π2) B.(π2，π)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析:令-π2+2k π≤x-π3≤π2+2k π(k ∈Z)，可得-π6+2k π≤x ≤5π6+2k π(k ∈Z)，令k=0，可得-π6≤x ≤5π6，令k=1，可得11π6≤x ≤17π6，令k=2，可得23π6≤x ≤29π6，因为(0，π2)⊆[-π6，5π6]，故选项A 正确;选项B ，C ，D 都不符合题意.故选A.4.下列区间中使y=sin x 和y=cos x 都是减函数的是( C ) A.[-π2，0] B .[0，π2]C.[π2，π] D .[π，3π2]解析:x ∈[-π2，0]，y=sin x 和y=cos x 都是增函数，x ∈[0，π2]时，y=sin x 是增函数，y=cos x 是减函数，x ∈[π2，π]时，y=sin x 和y=cos x 都是减函数，x ∈[π，3π2]时，y=sin x 是减函数，y=cos x 是增函数.故选C.5.函数f(x)=3sin(2x-π6)在区间[0，π2]上的值域为 .解析:由x ∈[0，π2]，得2x-π6∈[-π6，5π6]，所以sin(2x-π6)∈[-12，1]，于是f(x)=3sin(2x-π6)∈[-32，3].答案:[-32，3]6.写出一个最小正周期是1，值域是[0，1]的函数解析式 (不用分段函数表示).解析:不妨设f(x)=|sin ωx|，当T=1时，ω=π，则f(x)=|sin πx|.(答案不唯一)答案:f(x)=|sin πx|(答案不唯一)能力提升7.(多选题)下列不等式中成立的是( ABC ) A.sin 3<sin 2 B.cos 3<cos 2 C.cos(-2π5)<cos(-π4)D.sin12π5<sin17π4解析:因为π2<2<3<π，所以sin 2>sin 3，cos 2>cos 3，故选项A ，B 正确;因为-π2<-2π5<-π4<0，所以cos(-2π5)<cos(-π4)，故选项C 正确;因为sin12π5=sin 2π5，sin17π4=sin π4，且0<π4<2π5<π2，所以sin π4<sin2π5，即sin 12π5>sin17π4，故选项D 错误.故选ABC.8.若函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在[0，π]上的值域为[-12，1]，则ω的最小值为( A ) A.23B.34C.43D.32解析:函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)，因为x ∈[0，π]，所以ωx-π6∈[-π6，ωπ-π6].根据正弦函数的性质，当x=0时，可得f(0)=-12，所以π2≤ωπ-π6≤7π6，解得23≤ω≤43，则ω的最小值为23.故选A.9.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值是√2，则ω= ，若f(x)在[0，π3]上单调递增，则ω的取值范围是 .解析:因为0≤x ≤π3，且0<ω<1，所以0≤ωx ≤ωπ3<π3.因为f(x)max =2sinωπ3=√2，所以sinωπ3=√22，ωπ3=π4，即ω=34. 由2k π-π2≤ωx ≤2k π+π2，k ∈Z ，得2kπω-π2ω≤x ≤2kπω+π2ω，k ∈Z ， 令k=0，得-π2ω≤x ≤π2ω，即f(x)在[-π2ω，π2ω]上单调递增，又f(x)在[0，π3]上单调递增，所以π3≤π2ω，即0<ω≤32.又0<ω<1，所以0<ω<1.答案:34 (0，1)10.已知函数f(x)=√2cos(2x-π4)，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间[-π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.解:(1)因为f(x)=√2cos(2x-π4)，x ∈R ，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.由-π+2k π≤2x-π4≤2k π(k ∈Z)，得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为[-3π8+k π，π8+k π](k ∈Z).(2)因为x ∈[-π8，π2]，所以2x-π4∈[-π2，3π4].所以当2x-π4=0，即x=π8时，f(x)max =f(π8)=√2;当2x-π4=3π4，即x=π2时，f(x)min =f(π2)=-1.所以函数f(x)在区间[-π8，π2]上的最大值为√2，此时x=π8;最小值为-1，此时x=π2.11.(2022·山东青岛模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+2.(1)若f(α)=3，且α∈(0，π)，求α的值;(2)若对任意的x ∈[π4，π2]，不等式f(x)>m-3恒成立，求实数m 的取值范围.解:(1)因为f(α)=3，所以2sin(2α+π6)+2=3，即sin(2α+π6)=12，又由α∈(0，π)，得π6<2α+π6<13π6，所以2α+π6=5π6，解得α=π3.(2)对x ∈[π4，π2]，有2π3≤2x+π6≤7π6，所以-12≤sin(2x+π6)≤√32，可得1≤f(x)≤2+√3，所以要使f(x)>m-3对任意的x ∈[π4，π2]恒成立，只需f(x)min >m-3，所以m-3<1，解得m<4.故所求实数m 的取值范围为(-∞，4).应用创新12.已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4).(1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)求函数y=f(-x)的单调递减区间.解:(1)因为sin(x+7π4)=sin(x-π4)=sin[(x-3π4)+π2]=cos(x-3π4)，所以f(x)=2sin(x+7π4)=-2sin(x+3π4).所以f(x)的最小正周期是2π，最大值是2. (2)因为f(-x)=2sin(x-3π4)，由π2+2k π≤x-3π4≤3π2+2k π，k ∈Z ，得函数的单调递减区间为[5π4+2k π，9π4+2k π](k ∈Z).。

正弦函数、余弦函数的图象(15分钟35分)1.函数y=ln cos x的图象是( )【解析】选A.首先y=ln cos x=ln cos(-x)，所以函数为偶函数，排除B、D，又因为-<x<时，cos x∈(0，1]，所以y=ln x≤0且图象左增右减.2.(2020·赤峰高一检测)已知f(x)=sin，g(x)=cos，则f(x)的图象( )A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位，得g(x)的图象D.向右平移个单位，得g(x)的图象【解析】选D.f(x)=sin，g(x)=cos x-=cos=sin x，f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象.3.方程|x|=cos x在(-∞，+∞)内( )A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根【解析】选C.求解方程|x|=cos x在(-∞，+∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)=|x|和g(x)=cos x在(-∞，+∞)内的交点个数问题.f(x)=|x|和g(x)=cos x的图象如图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根.4.函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )A. B.(π，1)C.(0，1)D.(2π，1)【解析】选B.用“五点法”作出函数y=-cos x，x>0的图象如图所示，可知B正确.5.不等式sin x<-，x∈[0，2π]的解集为_______.【解析】如图所示，不等式sin x<-的解集为.答案：6.用“五点法”画出y=-2cos x+3(0≤x≤2π)的简图.【解析】列表：x 0 π2πcos x 1 0 -1 0 1-2cos x+3 1 3 5 3 1描点、连线得出函数y=-2cos x+3(0≤x≤2π)的图象.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.点M在函数y=sin x的图象上，则m等于( )A.0B.1C.-1D.2【解析】选C.由题意得-m=sin ，所以-m=1，所以m=-1.2.从函数y=cos x，x∈[0，2π)的图象来看，对应于cos x=的x有( )A.1个值B.2个值C.3个值D.4个值【解析】选B.如图所示，y=cos x，x∈[0，2π)与y=的图象，有2个交点，所以方程有2个解.3.函数y=cos x+|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为( )【解析】选D.由题意得y=显然只有D合适.4.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A.4B.8C.2πD.4π【解析】选D.作出函数y=2cos x，x∈[0，2π]的图象，函数y=2cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又因为OA=2，OC=2π，所以S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π.【误区警示】解此题，往往忽视对称，我们需要将不规则图形转化为规则图形.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.用“五点法”画y=3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪些点是关键点 ( )A. B.C.(π，0)D.(2π，0)【解析】选BCD.五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.代入横坐标，计算得B、C、D正确.6.已知函数y=若y=，则x的可能取值为( )A.-B.C.D.【解析】选ABD.作出函数y=的图象，再作直线y=，如图所示，则当-π≤x<0时，由图象知x=-，当0≤x≤π时，x=或x=.【光速解题】根据题意，画出函数f(x)的图象及直线y=的图象，分别求出交点坐标即可.三、填空题(每小题5分，共10分)7.若sin x=2m+1，则m的取值范围是_______.【解析】由-1≤2m+1≤1，解得-1≤m≤0.答案：-1≤m≤08.当x∈[-π，π]时，y=x与y=sin x的图象交点的个数为_______，这些交点的横坐标之和为_______.【解析】如图.根据图象知，两个函数有3个交点，3个交点横坐标之和为0.答案：3 0四、解答题(每小题10分，共20分)9.若集合M=，N=，θ∈[0，2π]，求M∩N.【解析】首先作出正弦函数，余弦函数在[0，2π]上的图象以及直线y=，如图所示.由图象可知，在[0，2π]内，sin θ≥时，得≤θ≤，cos θ≤时，得≤θ≤.所以在[0，2π]内，同时满足sin θ≥与cos θ≤时，≤θ≤.所以M∩N=.10.方程sin x=在x∈上有两个实数根，求a的取值范围.【解析】首先作出y=sin x，x∈的图象，然后再作出y=的图象，如果y=sin x，x∈与y=的图象有两个交点，方程sin x=，x∈就有两个实数根.设y1=sin x，x∈，y2=.y1=sin x，x∈的图象如图.由图象可知，当≤<1，即-1<a≤1-时，y1=sin x，x∈的图象与y2=的图象有两个交点，即方程sin x=在x∈上有两个实根.1.函数f(x)=lg cos x+的定义域为_______.【解析】由题意，得x满足不等式组即作出y=cos x的图象，如图所示.结合图象可得x∈∪∪.答案：∪∪【补偿训练】函数y=lg(-2cos x)在x∈[0，2π]内的定义域是_______.【解析】由-2cos x>0，得cos x<，作出y=cos x的图象和直线y=，由图象可知cos x<在[0，2π]内的解集为.答案：2.已知函数f(x)=sin x+2|sin x|，x∈[0，2π]，若直线y=k与其仅有两个不同的交点，求k的取值范围.【解析】由题意知f(x)=sin x+2|sin x|=图象如图所示：若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则由图可知k的取值范围是(1，3).。

课时跟踪检测（十） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值A 级——学考水平达标1．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的 C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎡⎦⎤－π，－π2∪⎣⎡⎦⎤π2，π上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减少的 解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图像，可知它在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的． 2．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选B 由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象知均为减函数的一个区间是⎝⎛⎭⎫π2，π. 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|－x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数，排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2 －x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是减函数．4.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 解析：选C y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x＝1时，y max ＝1.即y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值． 解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1， 即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3. 答案：2k π＋π，k ∈Z7．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3的值域为________．解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1.答案：⎣⎡⎦⎤12，18．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的单调递减区间为________． 解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π2，5π8.答案：⎣⎡⎦⎤π2，5π89．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x 的取值集合．解：函数y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.∴y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z ； y min＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z . 10．求下列函数的单调递增区间． (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 解：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π(k ∈Z)， 得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π(k ∈Z)， 故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)． (2)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4>0，2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤2x ＋π4＜2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π8≤x ＜k π＋3π8(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π8，k π＋3π8(k ∈Z)． B 级——高考能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )A.4π3 B.8π3 C ．2πD ．4π解析：选C 如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为(b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2)＝2×π6＋π2＋7π6＝2π.4．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，得ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.5．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 解析：由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 6．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cosx ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.答案：37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥32； (3)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域． 解：(1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)．∴函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z)． (2)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2x ≥32， 得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ，解得k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6. ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减． ∴当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32＜f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， 当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.8．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(b ＞0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∵b ＞0，∴－b ＜0.∴⎩⎨⎧ymax ＝b ＋a ＝32，ymin ＝－b ＋a ＝－12.∴a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π3∈[－1,1]，∴g (x )∈[－2,2]．∴g (x )的最小值为－2，此时，sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1. 对应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .。

课时跟踪检测（三十七） 正弦函数、余弦函数的图象A 级——学考水平达标练1．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．2．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )解析：选D 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2＜x ＜3π2.故选D.3．已知f (x )是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f (x )·cos x ＜0的解集是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3C ．(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫π2，3D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π2解析：选C 当0＜x ＜1时，f (x )＜0，而此时cos x ＞0，满足f (x )·cos x ＜0；当1＜x ＜3时，f (x )＞0，由cos x ＜0(x ∈(0,3))，解得π2＜x ＜3，故x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.4．函数y ＝2cos 2x ＋1的定义域是( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π≤x ≤k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤k π＋π3，k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π3≤x ≤k π＋π3，k ∈Z解析：选D 依题意得2cos 2x ＋1≥0，即cos 2x ≥－12.作出y ＝cos x 的图象如图所示．由图象得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z)，解得k π－π3≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，故选D.5．方程sin x ＝x10的实数解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选A 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象，如图所示．根据图象可知方程有7个实数解．6．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝________.解析：在同一直角坐标系中，作出y ＝sin x (0≤x ≤2π)的图象与直线y ＝－12，如图所示，则x 1＋x 2＝2×3π2＝3π.答案：3π7．定义在区间[0,5π]上的函数y ＝2sin x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数为______．解析：画出函数y ＝2sin x 与y ＝cos x 在[0,2π]上的图象，如图所示．由图可知，在[0,2π]内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在(π，2π]上有1个交点．所以函数y ＝2sin x 与y ＝cos x 在区间[0,5π]上的图象共有5个交点． 答案：58．已知函数y ＝a ＋cos x 在区间[0,2π]上有且只有一个零点，则a ＝________. 解析：作函数y ＝cos x 在区间[0,2π]上的图象，如图所示，结合图象可知，若y ＝a ＋cos x 在区间[0,2π]上有且只有一个零点，则a －1＝0，故a ＝1. 答案：19．利用“五点法”作出函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：描点连线，如图所示．10．利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．解：首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3或2π3≤x ＜5π6时，12＜sin x ≤32成立．所以12＜sinx ≤32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .B 级——高考水平高分练1．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ＜3π2且x ≠π2的图象是( )解析：选C 当0≤x ＜π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2＜x ≤π时，y ＝cos x ·|tanx |＝－sin x ；当π＜x ＜3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C 中图象． 2．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x ，f (x )的图象如图中实线所示，由图知f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 3．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个实数解，求a 的取值范围．解：设h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，g (x )＝1－a 2. 作出h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象如图所示．由图可知，当32≤1－a 2＜1，即－1＜a ≤1－3时，h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象与g (x )＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个实数解，所以a 的取值范围是(－1,1－ 3 ]．4．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间． ①y ＞1；②y ＜1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的图象有两个交点，求a 的取值范围． 解：列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：(1)由图象可知，图象在直线y ＝1上方部分时y ＞1，在直线y ＝1下方部分时y ＜1， 所以①当x ∈(－π，0)时，y ＞1；②当x ∈(0，π)时，y ＜1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a ＜3或－1＜a ＜1，所以a 的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．5．把函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn 上的面积为2n (n ∈N *)，求函数y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的面积．解：y ＝sin(3x －π)＋1＝－sin 3x ＋1，作这个函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的图象，如图中实线所示，由题意知S 1＝S 2＝S 3＝23，直线x ＝π3，x ＝4π3，y ＝1及x 轴所围成的矩形面积为π.将S 2割下补在S 3处，则图中阴影部分的面积为π＋23，∴函数y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的面积为π＋23.。

课时跟踪检测〔三十八〕 正弦函数、余弦函数的性质〔一〕A 级——学考水平达标练1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：选C ∵y ＝sin x2的周期为4π，∴y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为2π，应选C.2．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0,2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①③④是奇函数，应选C. 3．函数f (x )＝|cos 2x |的最小正周期为( ) A ．π B ．π2C ．2πD ．3π2解析：选B 作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象(图略)知，f (x )的最小正周期为π2.4．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数解析：选A ∵f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋7π＋π2＝－7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2＝－7cos 23x .∴函数f (x )的周期为2π23＝3π.又∵f (－x )＝－7cos 23x ＝f (x )．∴函数f (x )是周期为3π的偶函数．5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，那么正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选D 由题意知2πk4≤2，得k ∵k 为整数，∴k 的最小值为13.6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π4，那么ω＝________. 解析：因为π4＝2πω，所以ω＝8.答案：87．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，x ∈R ，且以π2为最小正周期．假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，那么sin α的值为______． 解析：因为f (x )的最小正周期为π2，ω＞0，所以ω＝2ππ2＝4.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 因为f ⎝⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，所以cos α＝35.所以sin α＝±1－cos 2α＝±45.答案：±458．f (x )＝2cos π6x ，那么f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：易知f (x )的最小正周期T ＝12，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (11)＝0，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝168[f (0)＋…＋f (11)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝2cos 0＋2cosπ6＋2cos π3＋2cos π2＝3＋ 3.答案：3＋ 39．求以下函数的最小正周期：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 解：(1)∵ω＝3，∴T ＝2π3.(2)易知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象是将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象在x 轴下方的局部对称翻折到x 轴上方，并且保存在x 轴上方的图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π2.10．判断以下函数的奇偶性： (1)f (x )＝x cos(π＋x )；(2)f (x )＝lg(sin x ＋sin 2x ＋1)． 解：(1)∵f (x )＝－x cos x ，∴f (－x )＝－(－x )cos(－x )＝x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)∵f (－x )＋f (x )＝lg[sin(－x )＋sin 2(－x )＋1]＋lg(sin x ＋sin 2x ＋1)＝lg(sin 2x ＋1－sin 2x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．B 级——高考水平高分练1．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，那么φ的值可以是( )A ．0B ．－π4C ．π2D ．π解析：选B 法一：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ为奇函数，那么只需π4＋φ＝k π，k ∈Z ，从而φ＝k π－π4，k ∈Z.显然当k ＝0时，φ＝－π4满足题意．法二：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，所以φ＋π4＝k π(k∈Z)，即φ＝k π－π4，令k ＝0，那么φ＝－π4.2．假设函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：223．函数f (x )＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数f (x )的简图；(2)此函数是周期函数吗？假设是，求其最小正周期． 解：(1)f (x )＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，图象如下图．(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.4．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，假设函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．解：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6， 即x ＝－π2或－π6.又因为g (x )的最小正周期为π.所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx ＋π4(k ∈N *)，假设在区间[a ，a ＋3](a 为实数)上存在有不少于4个且不多于8个不同的x 0，使f (x 0)＝12，求k 的值．解：∵f (x )在一个周期内有且只有2个不同的x 0，使f (x 0)＝12，∴f (x )在区间[a ，a ＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴⎩⎪⎨⎪⎧2T ≤3，4T ≥3，即34≤T ≤32，即34≤62k ＋1≤32，解得32≤k ≤72，因为k ∈N *，∴k ＝2或k ＝3.。

正弦函数、余弦函数的图象一、复习巩固1．对于余弦函数y＝cos x的图象,有以下三项描述：①向左向右无限延伸；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析：如图所示为y＝cos x的图象．可知三项描述均正确．答案：D2．方程x＋sin x＝0的根有（)A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：设f（x)＝－x，g（x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出f（x)和g（x）的图象,如图所示．由图知f（x）和g(x）的图象仅有一个交点,则方程x＋sin x＝0仅有一个根．答案:B3．下列叙述：①作正弦函数的图象时,单位圆的半径长与x 轴的单位长度必须一致；②y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P （π，0）对称；③y＝cos x,x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称图形；④正、余弦函数y＝sin x和y＝cos x的图象不超出直线y＝－1与y＝1所夹的区域,其中正确的个数为(）A．1B．2C．3 D．4解析：结合正余弦函数的图象可知，①②③④均正确．答案：D4．函数y＝cos x(x∈R)的图象向右平移错误!个单位后,得到函数y＝g（x)的图象，则g（x)的解析式为()A．g(x)＝－sin x B．g(x)＝sin xC．g(x)＝－cos x D．g(x）＝cos x解析:结合正弦函数与余弦函数的图象可知，函数y＝cos x(x ∈R)的图象向右平移错误!个单位，得到y＝sin x(x∈R）的图象．答案：B5．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(）A．（π，－1) B．（0，2)C。

错误! D.错误!解析:由五点作图法知五个关键点分别为（0,2），错误!,(π，4)，错误!，（2π,2），故A错误．答案：A6．函数y＝cos x·｜tan x|错误!的大致图象是（）解析:y＝cos x·|tan x|＝错误!故选C.答案:C7．在［0，2π]内,不等式sin x〈－错误!的解集是(）A．（0,π） B.错误!C.错误!D。

课时跟踪检测（三十八） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值A 级——学考合格性考试达标练1．函数f (x )＝2sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，3π4上的最大值为( ) A ．0 B ．－2 C ．2D ．2解析：选D 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π4，所以当x ＝π2时， 函数f (x )有最大值2.2．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒正且是增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D 作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，但其值为负，故不符合． 所以只有D 符合，故选D ．3．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选B 由y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象知均为减函数的一个区间是⎝⎛⎭⎫π2，π.4．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1，1] B ．⎣⎡⎦⎤－54，－1 C ．⎣⎡⎦⎤－54，1 D ．⎣⎡⎦⎤－1，54 解析：选Cy ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.即y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 5．下列结论正确的是( )A ．sin 400°>sin 50°B ．sin 220°<sin 310°C ．cos 130°>cos 200°D ．cos(－40°)<cos 310°解析：选C 由cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°，因为当x ∈(0°，90°)时，函数y ＝cos x 是减函数，所以cos 50°<cos 20°，所以－cos 50°>－cos 20°，即cos 130°>cos 200°.6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值． 解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1， 即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3. 答案：2k π＋π，k ∈Z7．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域为________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1，1]，∴－2sin x ＋1∈[－1，3]． 答案：[－1，3]8．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的单调递减区间为________． 解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π2，5π8.答案：⎣⎡⎦⎤π2，5π89．求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间． 解：由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4>0，2kπ＋π2≤2x ＋π4≤2kπ＋3π2（k ∈Z ），解得2k π＋π2≤2x ＋π4＜2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π8≤x ＜k π＋3π8(k ∈Z )，故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫kπ＋π8，kπ＋3π8(k ∈Z )． 10．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0， 即x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1.当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3， 即x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. B 级——面向全国卷高考高分练1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1，1] B ．[－2，2] C ．[－2，0]D ．[0，2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x≥0，0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0，2]， 即函数的值域为[0，2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤kπ－3π4，kπ＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2kπ－3π4，2kπ＋π4(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤kπ－3π8，kπ＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2kπ－3π8，2kπ＋π8(k ∈Z ) 解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )A ．4π3B ．8π3C ．2πD ．4π解析：选C 如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为(b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2)＝2×π6＋π2＋7π6＝2π.4．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A ．23B ．32C ．2D ．3解析：选B 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，得ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.5．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 解析：由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，36．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.答案：37．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求： (1)f (x )的最大值和最小值； (2)f (x )的单调递减区间．解：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，作出y ＝cos t 的图象，如图所示：(1)由函数y ＝cos t 的图象知，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫5π6，cos 0＝⎣⎡⎦⎤－32，1. 则f (x )的最大值为1，最小值为－32. (2)由函数y ＝cos t 的图象知，y ＝cos t 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π6. 令0≤2x －π6≤5π6，解得π12≤x ≤π2，故f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，π2. 8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥32. 解：(1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝kπ2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π3(k ∈Z )．(2)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2x ≥32， 得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ，解得k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪kπ＋π6≤x≤kπ＋π3，k ∈Z .C 级——拓展探索性题目应用练已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解：由f (x )是偶函数，得sin φ＝±1，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z .∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称，得f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0. ∵f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3ωπ4＋π2＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0. 又∵ω>0，∴3ωπ4＝π2＋k π，k ∈N ，即ω＝23＋43k ，k ∈N .当k ＝0时，ω＝23，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数； 当k ＝1时，ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数． 综上，ω＝23或ω＝2.。

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1. 答案：C4．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B 二、填空题5．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称；(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)6．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)7．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又∵x ∈[0,2π]，故x＝π6或56π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]．解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的简图，再作出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]关于x 轴对称的简图，即y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图，将y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的简图，如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y ＝sin x ，x ∈ [0,4π]的简图，再将该简图在x 轴下方的部分翻折到x 轴的上方，即得到y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]的简图，如图2所示．。

正弦函数、余弦函数的性质同步练习一、选择题1. 函数f(x)=sin 2x +cosx −1的值域为( )A. [−2,14]B. [0,14]C. [−14,14]D. [−1,14]2. 函数y =sin(12x +φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A. 0B. π4C. π2D. π3. 下列关于函数f(x)=sin2x +1的表述正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期是2πB. 当x =π2时，函数f(x)取得最大值2 C. 函数f(x)是奇函数 D. 函数f(x)的值域为[0,2]4. 若f(x)的定义域是[−1,1]，则f(sinx)的定义域为( )A. RB. [−1,1]C. [−π2,π2]D. [−sin1,sin1]5. 函数y =|sin x2|的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π6. 已知函数f(x)=sin2x −cos2x ，则( )A. f(x)的最小正周期为π2 B. 曲线y =f(x)关于(3π8,0)对称 C. f(x)的最大值为2D. 曲线y =f(x)关于x =3π8对称7. 若f(tanx)=sin2x ，则f(−1)的值是( )A. −sin2B. −1C. 12D. 1第10页，共11页8. 函数y =√2sin(x −45°)−sinx( )A. 是奇函数但不是偶函数B. 是偶函数但不是奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数9. 下列对于函数f (x )=3+cos2x ，x ∈(0,3π)的判断，正确的是A. 函数f (x )的周期是πB. 对任意实数a ，函数f (x +a )都不可能为偶函数C. 存在x 0∈(0,3π)，使f (x 0)=4D. 函数f (x )在[π2,5π4]内单调递增10. 函数y =a −bcos3x(b <0)的最大值为32，最小值为−12，则y =sin[(4a −b)πx]的最小正周期是( )A. 13B. 23C. π3D. 2π311. 下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x =π3对称的是( )A. y =2sin(2x +π3) B. y =2sin(2x −π6) C. y =2sin(x2+π3)D. y =2sin(2x −π3)12. 已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，f(x)≤f(π9)对任意x ∈R 恒成立，则ω可以是( )A. 1B. 32C. 152D. 12二、填空题13. 已知函数f (x )=sin(ωx +π6)+cosωx (ω>0)在[0,π]上的值域为[32,√3]，则实数ω的取值范围是_____________． 14. 已知函数f(x)={cosx,|cosx|≥√220,|cosx|<√22，则f(π3)=______，当0≤x ≤2π时，f(x)≤sinx 的解集是______．15.已知锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=1，三角形的面积S△ABC=1，则a2+b2的取值范围为______．16.若f(x)=sinx+cosx在[0,a]是增函数，则a的最大值是______三、解答题17.已知函数f(x)=sin(2ωx+π3)+sin(2ωx−π3)+2cos2ωx，其中ω>0，且函数f(x)的最小正周期为π(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调增区间(3)若函数g(x)=f(x)−a在区间[−π4,π4]上有两个零点，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若方程f(x)=m在(π2,5π3)有两个不同的实根，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x,x∈R．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[−π4,π2]上的最大值和最小值．20.已知函数f(x)=2cosx(sinx+√3cosx)−√3．(1)求函数f(x)的最小正周期T；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)求函数f(x)在区间[π6,23π]上的取值范围．第10页，共11页答案和解析1.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin 2x +cosx −1=1−cos 2x +cosx −1=−cos 2x +cosx=−(cosx −12)2+14，当cosx =12时，f(x)max =14， 当cosx =−1时，f(x)min =−2， 所以函数f(x)的值域为[−2,14].2.【答案】C【解答】解：函数y =f(x)=sin(12x +φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，就是x =0时函数取得最值，所以f(0)=±1，即sinφ=±1， 所以φ=kπ+π2(k ∈Z )，当且仅当取k =0时，得φ=π2，符合0≤φ≤π． 故选C ．3.【答案】D【解答】解：A.函数f(x)的最小正周期是，故A 错误；B .当x =π2时，函数f(x)=sinπ+1=1，故B 错误； C .函数f(x)是非奇非偶函数，故C 错误；D .因为sin2x ∈[−1,1]，故函数f(x)的值域为[0,2]，故D 正确． 故选D ．4.【答案】A【解答】解：∵f(x)的定义域是[−1,1]，∴f(sinx)满足−1≤sinx≤1，∴x∈R，∴f(sinx)的定义域为R．故选A．5.【答案】C【解析】解：对于y=sin x2，T=2π12=4π，函数y=|sin x2|是函数y=sin x2x轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故T′=12T=2π，6.【答案】D解析】解：函数f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4)，所以函数的最小正周期T=2π2=π，所以A不正确；f(x)的最大值为√2，所以C不正确；函数的对称中心满足2x−π4=kπ，所以x=π8+kπ2，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x−π4=kπ+π2，k∈Z，解得x=3π8+kπ2，k∈Z，当k=0时，x=3π8，所以D正确．7.【答案】B【解析】解：令tanx=−1知，x=kπ−π4，k∈Z，故f(−1)=sin2(kπ−π4)=sin(−π2)=−1，故选：B．令tanx=−1解得x=kπ−π4，k∈Z，从而代入求解．本题考查了复合函数的应用及学生的化简运算能力．8.【答案】B【解析】解：函数y=f(x)=√2sin(x−45°)−sinx=√2(√22sinx−√22cosx)−sinx=−cosx，∵f(−x)=−cos(−x)=−cosx=f(x)，∴函数y=√2sin(x−45°)−sinx是偶函数．第10页，共11页故选：B ．9.【答案】C【解答】解：对于A ，对于函数f (x )=3+cos2x ，x ∈(0,3π)，由于限定了范围， 显然f (x +π)=f (x )对x =5π2不成立，所以A 错误；对于B ，令a =π，则函数是偶函数，故B 错误；对于C ，令f (x 0)=4=3+cos2x 0，cos2x 0=1，x 0=kπ，所以x 0=π或2π，所以选项C 正确；对于D ，令t =2x ，则t ∈[π,5π2]，显然y =3+cost 在t ∈[π,5π2]不单调，所以D 错误．只有选项C 符合题意，正确． 故选C ．10.【答案】B【解答】 解：∵b <0，∴函数f(x)=a −bcos3x 的最大值为a −b ，最小值为a +b ， 由已知得 { a −b = 32 a +b =− 1 2，解得{a =12b =−1．∴y =sin[(4a −b)πx]=sin[(4× 12 +1)πx]=sin(3πx)．∴y =sin(4a −b)πx 的周期为 2π3π = 23 ． 故选B ．11.【答案】B【解析】解：C 的周期T =2π12=4π，不满足条件．当x =π3时，A ，y =2sin(2×π3+π3=2sinπ=0≠±2,第10页，共11页B .y =2sin(2×π3−π6)=2sin π2=2， D .y =2sin(2×π3−π3=2sin π3≠±2, 故满足条件的是B ，12.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(ωx +π3)，f(x)≤f(π9)对任意x ∈R 恒成立， 所以f(π9)=1，即sin(π9ω+π3)=1， 可得π9ω+π3=π2+2kπ，k ∈Z ， 解得：ω=18k +32，k ∈Z ， 当k =0时，可得ω=32． 故选：B ．根据题意，f(x)≤f(π9)对任意x ∈R 恒成立，即可得f(π9)=1，进而由π9ω+π3=π2+2kπ，k ∈Z ，即可求得ω=18k +32，k ∈Z ，当k =0时，可得ω=32．13.【答案】[16,13]【解答】解：∵f(x)=sin (ωx +π6)+cos ωx =√32sinωx +12cosωx +cosωx，由x ∈[0,π]，则ωx +π3∈[π3,ωπ+π3]， 因为值域为[32,√3]，则，所以，解得：16≤ω≤13，故答案为[16,13]．14.【答案】0 [π4,5π4]【解析】解：函数f(x)={cosx,|cosx|≥√220,|cosx|<√22，由cos π3=12<√22，则f(π3)=0；由−√22<cosx <√22(0≤x ≤2π)，可得π4<x <3π4或5π4<x <7π4，可得f(x)=0，由sinx ≥0，可得π4<x ≤π；由cosx ≤−√22或cosx ≥√22(0≤x ≤2π)，可得0≤x ≤π4或3π4≤x ≤5π4或7π4≤x ≤2π， 可得f(x)=cosx ，由cosx ≤sinx ，解得x =π4或3π4≤x ≤5π4，综上可得f(x)≤sinx 的解集为[π4,5π4]，故答案为：0，[π4,5π4].15.【答案】[172,9)【解析】解：由已知得AB =1，S △ABC =12×AB ×ℎ=1，故ℎ=2．故顶点到边AB 的距离为2． 将△ABC 如图置于平面直角坐标系中：则A(0,0)，B(1,0)，C(x,2)． 因为锐角△ABC ，且最大边在AC ，BC 中产生，所以x ∈(0,1)．∴a 2+b 2=AC 2+BC 2=x 2+4+(x −1)2+4=2x 2−2x +9，(0<x <1)． 令f(x)=2x 2−2x +9=2(x −12)2+172，x ∈(0,1)．该二次函数在(0,12)单调递减，在(12,1)上单调递增，且关于x =12对称． ∴f(x)min =f(12)=172，f(x)<f(0)=f(1)=9．∴f(x)∈[172,9).∴a 2+b 2∈[172,9)． 故答案为：[172,9)16.【答案】π4【解析】解：∵f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)在[0,a]是增函数，∴a +π4≤π2，∴a ≤π4， 则a 的最大值是π4， 故答案为：π4．17.【答案】(本题满分为12分)解：(1)∵f(x)=sin(2ωx+π3)+sin(2ωx−π3)+2cos2ωx=12sin2ωx+√32cos2ωx+12sin2ωx−√32cos2ωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+1 =√2sin(2ωx+π4)+1，…3分∵T=2π2ω=π，∴ω=1…4分(2)由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，…6分解得：−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，…7分可得f(x)的单调增区间为：[−3π8+kπ,π8+kπ]，k∈Z，…8分(3)作出函数y=f(x)在[−π4,π4]上的图象如右：函数g(x)有两个零点，即方程f(x)−a=0有两解，亦即曲线y=f(x)与y=a在x∈[−π4,π4]上有两个交点，从图象可看出f(0)=f(π4)=2，f(π8)=√2+1，所以当曲线y=f(x)与y=a在x∈[−π4,π4]上有两个交点时，则2≤a<√2+1，即实数a的取值范围是[2,√2+1).…12分18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3，=4sinx(12cosx+√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3，=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,k∈Z得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z，(Ⅱ)令t=2x−π3，因为x∈(π2,5π3)，所以t∈(2π3,3π)，即方程2sint=m在t∈(2π3,3π)有两个不同的实根，由函数y=2sint的图象可知，当m∈(−2,0]∪[√3,2)时满足题意，所以m的取值范围为(−2,0]∪[√3,2)．第10页，共11页19.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1所以最小正周期为π．因为当π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ时，f(x)单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ,5π8+kπ]．(2)当x∈[−π4,π2]时，2x+π4∈[−π4,5π4]，当2x+π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x+π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1=0．20.【答案】解：(1)化简可得f(x)=2cosx(sinx+√3cosx)−√3=sin(2x)+√3(2cos2x−1)，可得周期T=2π2=π；(2)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈z∴函数f(x)的单调递增区间是[−5π12+kπ,π12+kπ],k∈z；(3)由，得2x+π3∈[2π3,5π3]，由正弦函数sin x图像性质可知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f(x)在上最小值为，．∴函数f(x)在区间上的取值范围为[−2,√3]．。