河北高频考点专题：切线证明的常用方法.ppt

切线与过切点的半径所在的直 线相互垂直。
02
切线的判定方法
利用定义判定切线
总结词：直接验证
详细描述：根据切线的定义，如果直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切 线。因此，可以通过验证直线与圆的交点数量来判断是否为切线。
利用切线的性质判定切线
总结词：半径垂直
详细描述：切线与过切点的半径垂直，因此，如果已知过切点的半径，可以通过验证直线与半径的夹角是否为直角来判断是 否为切线。
切线判定定理的变种
切线判定定理的变种
除了标准的切线判定定理，还存在一些变种，如利用切线的 性质来判断是否为切线，或者利用已知点和切线的性质来判 断未知点是否在曲线上。
切线判定定理的应用
切线判定定理在几何证明题中有着广泛的应用，如证明某直 线为圆的切线，或者判断某点是否在曲线上。这些应用都需 要熟练掌握切线判定定理及其变种。
04
切线判定定理的证明
定理的证明过程
第一步
根据题目已知条件，画 出图形，标出已知点和
未知点。
第二步
根据切线的定义，连接 已知点和未知点，并作
出过这两点的割线。
第三步
根据切线和割线的性质 ，证明割线与圆只有一 个交点，即证明割线是
圆的切线。
第四步
根据切线的判定定理， 如果一条割线满足上述 性质，则这条割线是圆
切线判定定理在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，切线判定定理可以应用于研究曲线运动和力的分析。例如，在分析物体在曲线轨道上的 运动时，可以利用切线判定定理来判断物体的运动轨迹是否与轨道相切。
工程学中的应用
在工程学中，切线判定定理可以应用于机械设计和流体力学等领域。例如，在机械设计中，可以利用 切线判定定理来判断曲轴是否与轴承相切，从而避免轴承的损坏。在流体力学中，可以利用切线判定 定理来判断流体是否沿着流线流动。

证明：连结OA，如图， ∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， 而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC， ∴∠B+∠OAC=90°， ∵∠CAD=∠B， ∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线．
变式练习
典例精讲
类型二：无切点，作垂直，证半径
②．圆与直线的公共点标明字母，则连这个点和圆心得到辅助半 径，再证所作半径与这条直线垂证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径， 作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证： 直线AD是⊙O的切线．
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
无切点，作垂 直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． 求证：直线PB也与⊙O相切；
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA， 又∵点O在∠APB的角平分线上， ∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径， ∴PB与⊙O相切；
课堂小结
切线证明的常用 方法
有切点，连半径， 证垂直
初中数学知识点精讲
切线证明的常用方法
1、圆的切线的判定方法有三种： ①．定义法：直线l 与圆只有唯一的公共点 ②．距离法：圆心O与直线l 的距离d=r ③．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。 2、切线的证明方法： ①．圆与直线的公共点没有标明字母，则过圆心作直线的垂线段 为辅助线，再证垂线段的长等于半径的长。简记为：作垂直，证 半径。

7．(2018·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，过点 B 作 BD ⊥CD，垂足为 D，连接 BC，BC 平分∠ABD.求证：CD 为⊙O 的切线．
l
dr l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的
B
直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
45°
O
有半径，证垂直
45°
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
5．(2018·内江改编)如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交斜边 AC 于点 D，
过圆心 O 作 OE∥AC，交 BC 于点 E，连接 DE.判断 DE 与⊙O 的位置关系并说明理由．
解：DE 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接 OD，BD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ADB＝∠BDC＝90°.∵OE∥AC，OA＝OB，OE 为△ABC 的中位线．∴BE＝CE，∴DE＝BE ＝CE，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵点 D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线
3.(2018·阿坝州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点
D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：(1)直线 DE 与⊙O 相切， 理由如下： 连接 OD，∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ODA. ∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB. ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠ODA＋∠EDB＝90°， ∴∠ODE＝180°－90°＝90°， ∴直线 DE 与⊙O 相切

▪
9.能准确 、有感 情的朗 读诗歌 ，领会 丰富的 内涵， 体会诗 作蕴涵 的思想 感情。
条件：
(1)经过圆上的一点； (2)垂直于该点半径； 推理 格式
∵OA⊥l
∴直线l是⊙ O 的切线
.O
l A
由此，你知道如何画圆的切线吗？
知识探究
思考： 如果直线l是⊙O的切线，点A为 切点，那么半径OA与l垂直吗？
●
O
A
l
知识归纳 切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的 半径. 你能证明这个定理吗？
切线的性质和判定
直线与圆的位置关系
一、用公共点的个数来区分
特点：直线和圆有两个公共点， 叫直线和圆相交， 这时的直线叫做圆的割线
特点：直线和圆有唯一的公共点， 叫做直线和圆相切
这时的直线叫切线，
唯一的公共点叫切点 特点：直线和圆没有公共点，
叫做直线和圆相离
.O .. A Bl
.O
.
l
切点 A
.O l
⊙O. 求证： ⊙O与AC相切
B D
A
O
EC
证明一条直线是圆的切线时:
直线与圆的交点不明确时，过圆心作直线的 垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.（d=r)
方法归纳：
证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：
（1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个 公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径， 简称“作半径，证垂直”. (2)当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作 直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径， 简称“作垂直，证半径”.
▪
3.本题运 用说明 文限制 性词语 能否删 除四步 法。不 能。极 大的一 词表程 度，说 明绘画 的题材 范围较 过去有 了很大 的变化 ，删去 之后其 程度就 会减轻 ，不符 合实际 情况， 这体现 了说明 文语言 的准确 性和严 密性。

你能证明这个定理吗？
推理 格式 ∵直线l是⊙ O 的切线 ∴ OA⊥l
冀教版九年级下册切线的性质和判定 优质PPT
.O
l A
冀教版九年级下册切线的性质和判定 优质PPT
直线AB经过圆O上的C，并且OA=OB， AC=BC， 求证：直线AB是圆O 的切线
O
A
B
C
证明一条直线是圆的切线时:
直线与圆有交点时，连接交点与圆心，证垂直.
冀教版九年级下册切线的性质和判定 优质PPT
●
O┐ A
l
冀教版九年级下册切线的性质和判定 优质PPT
知识归纳
切线的判定定理
经过半径的外端点且垂直于 这条半径的直线是圆的切线
条件：
(1)经过圆上的一点； (2)垂直于该点半径； 推理 格式
∵OA⊥l
∴直线l是⊙ O 的切线
.O
l A
由此，你知道如何画圆的切线吗？
冀教版九年级下册切线的性质和判定 优质PPT
冀教版九年级下册切线的性质和判定 优质PPT
1、判断题： (1) 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的 × 切线
(2) 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的
切线
×
冀教版九年级下册切线的性质和判定 优质PPT
冀教版九年级下册切线的性质和判定 优质PPT
做一做
PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/