北师大版九年级下册数学：圆的切线的证明

2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。

三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。

2.运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。

2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。

3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.圆规、直尺、彩色粉笔。

3.练习题和实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。

然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。

同时，解释切线长定理的意义和应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。

例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。

题型全解5 五大性质定理之切线定理【知识梳理】一.切线定理-----“知二推一”：①垂直于切线；②过切点；③过圆心（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心概括：如果圆的一条直线满足以下三个条件的任意两个，一定能推出另一个结论：①垂直于切线；②过切点；③过圆心。

（2）有切线时，常作辅助线是连接圆心和切点，利用垂直关系解题二.切线判定（1）三条判定：①半径+垂直+过切点=切线；②直线与圆只有一个交点；③到圆心的距离等于半径的直线是切线；（2）两种添辅助线方法①若已知直线经过圆上一点：连半径，证垂直；②若不知直线与圆有无交点：作垂直，算距离；三.补充1.切线长定理（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（2）切线长定理：①PA=PB；②△PAB是等腰三角形；③∠APB+∠AOB=180°；④OP垂直平分AB；⑤OP是∠APB、∠AOB的角平分线；⑥△APO≌△BPO；2.弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

证明：如图3，连接CD、OC、OP，因为∠CPO=∠PCO,所以∠COP=180︒-2∠CPO而∠CPO=90︒-∠APC,故∠COP=2∠APC,即∠CDP=∠APC。

（3）典型用法，如图4，①∠APC=∠PBC,②△APC∽△ABP,③PA²=AC·AB（切割线定理）;3.与圆有关的比例线段⊙OCD于⊙O为直径，CD⊥AB⊙O切⊙O割线⊙OPB的两条割线，A【典型例题】1.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD=MC；（2）若⊙O的半径为5，AC=4√5，求MC的长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=，∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt △OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=，即MC=．2.如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．（1）求证：AD⊥CD；̂爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程．（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--CE--CB【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵点C是的中点，∴∠DAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得，∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3，BE=3, ==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF ⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．解析：（1）已知切线与切点，连半径。

北师大版数学九年级下册第三章 3.7 切线长定理概述在数学中，切线是与曲线相切且只有一个交点的直线。

切线长定理指出了当直线与圆相切时，切线在圆上所切割的弧长与切线外部的剩余弧长之间存在着一种特殊的关系。

在本文中，我们将详细讨论切线长定理在数学中的应用。

切线长定理的表述设在平面直角坐标系中，原点为圆心，半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 =r^2。

对于圆上的任意一点P(x, y)，若以圆心O为顶点，OP的斜率为k且通过P 点，则切线的方程为y = kx + b，其中b为常数。

则点P处的切线在圆上所切割的弧长等于切点到圆心的距离所对应的圆心角的弧长的一半。

切线长定理的证明首先，我们先证明切线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = r^2相切。

设点P(x, y)为圆上的一点。

由于切线与圆相切，则切线过点P且与圆的切点只有一个交点，也就是说切线与圆只有一个交点。

因此，我们可以通过解方程组来判断切线与圆是否相切。

将切线方程代入圆的方程中，得到(x^2 + (kx + b)^2) - r^2 = 0. 经过化简，得到(k^2 + 1)x^2 + 2bkx + (b^2 - r^2) = 0。

由于切线与圆只有一个交点，所以该方程只有一个解，即判别式D = (2bk)^2 - 4(k^2 + 1)(b^2 - r^2) = 0。

解方程D = 0，得到b = r^2 / (2k)。

代入切线方程y = kx + b，得到切线方程为y = kx + r^2 / (2k)。

同时，由于切线过点P(x, y)，所以点P满足切线方程，即y = kx + r^2 / (2k)。

将此方程代入圆的方程x^2 + y^2 = r2中，得到x2 + (kx + r^2 / (2k))^2 = r2。

经过化简，得到x2 + k^2*x^2 + r22 / (4k^2) + 2k2x r2 / (2k) = r^2。

合并同类项，得到(k^2 + 1)x^2 + r22 / (4k^2) + k2r^2 = r^2。