a
为( )
A.1
B.0
C.-1
D.±1
【解析】选C.由已知得a≠0,则 b =0,所以b=0,于是
a
a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知 a=1应舍去,因此a=-1,故a2 019+b2 019=(-1)2 019+02 019= -1.
3.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等
A.a∈P
B.{a}∈P
C.{a}⊆P
D.a∉P
【解析】选D.因为a=π不是有理数,而集合P是不大于 2 020 的有理数构成的集合,所以a∉P.
2.(必修1P12A组T6改编)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},
B={x|0<x≤4},则A∪B= ( )
A.[-1,4]
B.(0,3]
C.(-1,0]∪(1,4]
(4)常见数集的记法
集合
自然数 集
正整数 集
整数集
有理数 集
实数集
符号 _N_
_N_+_或__N_*
_Z_
_Q_
_R_
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言
集合A中的任意
子集
一个元素都是 集合B中的元素 (若x∈A,则
_A_⊆__B_(_或__ _B_⊇__A_)_
x∈B)
Venn图
关系 自然语言
则∁UA=
(
A.∅ B.{1,3}
) C.{2,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
【解析】选C. 因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以
(3)方程 x－2 018 +(y+2 019)2=0的解集为{2 018， －2 019}. ( )
提示:(1)×.由于-1∉N,故(1)错. (2)×.{x|y＝x2}＝R，{y|y＝x2}＝{y|y≥0}=[0,+∞), 以上两集合为数集,但范围不同, {(x，y)|y＝x2}表示抛 物线y=x2上所有点的集合,故(2)错. (3)×.该方程含有两个未知数,解集为{(2 018， －2 019)},故(3)错.
D.[-1,0]∪(1,4]
【解析】选A.A={x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}, 故A∪B=[-1,4].
3.(必修1P11练习T1改编)已知集合A={1,3,5,7}，
B={2,3,4,5},则A∩B= ( )
A.{3}
B.{5}
C.{3,5}
D.{1,2,3,4,5,7}
【解析】选C.A∩B={3,5}.
【解析】A={x|1<x<2 018},B={x|x≥a},A⊆B,如图所 示,可得a≤1.
答案:(-∞,1]
【规律方法】判断两集合关系的方法 (1)列举法:用列举法表示集合,再从元素中寻求关系. (2)化简集合法:用描述法表示的集合,若代表元素的表 达式比较复杂,往往需化简表达式,再寻求两个集合的 关系.
考点一 集合的基本概念
【题组练透】
1.已知集合A={1,2,3},集合B={x|x∈A},则集合A与集
合B的关系为 ( )
A.A⊆B
B.B⊆A
C.A=B
D.不能确定
【解析】选C.由题意可得,集合B={1,2,3},所以A=B.
2.已知a,b∈R,若 {a，b，1}={a2,a+b,0},则a2 019+b2 019
2.已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M,且2x∉M}的
子集的个数为 ( )
A.8
B.4
C.3
D.2
【解析】选B.由题意,得P={3,4},所以集合P的子集有
22=4个.
3.已知集合A={m＋2,2m2＋m},若3∈A,则m的值为 ________.
【解析】因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.当m+2=3,即
B⊆A,则实数a的值为 ( )
A.1 或－1 32
C.1 或－1 或0 32
B．－1 或 1 32
D．－1 或 1 或0 32
【解析】选D.由题意知A={2,-3},
当a=0时,B=∅,满足B⊆A;
当a≠0时,ax-1=0的解为x=1 ,
a
由B⊆A,可得 1=-3或 1=2,所以a=- 1或a= 1.
<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为
()
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)已知集合A={x|x2-2 019x+2 018<0},B={x|x<a},若 A⊆B,则实数a的取值范围是________. 世纪金榜导 学号
【解析】(1)选D.由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}, 又因为A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或 {1,2,3,4}.
【规律方法】与集合中的元素有关的问题的求解思路 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看清元素的限制条件. (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数, 但是注意满足集合元素的互异性.
考点二 集合间的基本关系
【典例】(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0
集合A是集合B
真子 集
的子集,且集合 B中至少有一个 元素不在集合A
中
符号语言
_A____B_ _(_或_B__≠_ _A_)_
集合 相等
集合A,B中的元 素相同或集合 A,B互为子集
_A_=_B_
Venn图
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言
由属于集合A且 A∩B={x|
属于集合B的所 x∈A 交集
第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合(全国卷5年13考)
【知识梳理】 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:_确__定__性__、_互__异__性__、_无__序__性__. (2)元素与集合的关系是_属__于__或_不__属__于__,用符号_∈__或 _∉_表示.
(3)集合的表示法:_列__举__法__、_描__述__法__、_图__示__法__.
2.集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩∅=∅. (2)A∪A=A,A∪∅=A. (3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
3.子集个数 若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集 个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)集合{x∈N|x3＝x} ,用列举法表示为{－1，0，1}. () (2) {x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}. ( )
于( )
A. 9
B ．9
2
8
C．0 D．0或 9 8
【解析】选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x
+2=0只有一个实根或两个相等实根.当a=0时,x= 2 ,符
3
合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a= 9 ,所以a的
8
值为0或 9 .
8
4.设2 019∈{x, x2,x2},则满足条件的所有x组成的集 合的真子集的个数为________. 【解析】由题意知,x=-2 019或x=- 2 019 ,所以所有x 组成的集合为{-2 019,- 2 019 },所以真子集有221=3个. 答案:3
【对点练·找规律】
1.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B=
{x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B= ( )
A.{-1,0}
B.{0,1}
C.{-1,0,1}
D.{0,1,2}
【解析】选A.由题意知B={x|-2<x<1},所以A∩B= {-1,0}.
2.(2018·浙江高考)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},
【状元笔记】 灵活表示集合简化运算 (1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时,常 采用Venn图法解决,此时要搞清Venn图中的各部分区域 表示的实际意义.
(2)用描述法表示的数集进行运算,常采用数轴分析法 解决,此时要注意“端点”能否取到. (3)若给定的集合是点集,常采用数形结合法求解.
()
A.{x | 1 x 2} B.{x | 1 x 2} C.{x | x 1}{x | x 2} D.{x | x 1}{x | x 2}
【解析】选B.A={x|x>2或x<-1}, 则∁RA={x|-1≤x≤2}.
【状元笔记】 解关于集合的补集的运算,一般先化简集合,然后利用 数轴法求解.
aaLeabharlann 32综上,a的值为- 1或 或10.
32
考点三 集合的基本运算 【明考点·知考法】
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、 值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识; 有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生 的灵活处理问题的能力.
命题角度1 交集或并集的运算
【典例】(1)(2018·北京高考)已知集合A={x||x|<2},
命题角度3 交、并、补的综合运算
【典例】设全集U=R,集合A={x|x>0},B={x|x2-x-2<0},
则 A∩(∁UB)= 世纪金榜导学号( )
A.(0,2]
B.(-1,2]
C.[-1,2]
D.[2,+∞)
【解析】选D.因为A={x|x>0},B={x|-1<x<2}, 所以∁UB={x|x≤-1或x≥2}, 所以A∩(∁UB)={x|x≥2}.
