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2002年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、填空题（每小题3分，共24分）1、函数xxy ++=11的定义域是 。
2、若)sin(ln x e y=，则=dxdy。
3、=-→)1ln(142lim e Dx x。
4、已知函数2x y =，在某点处的自变量的增量2.0=∆x ，对应函数的微分8.0-=dy ，则自变量的始值是 。
5、函数xe x xf 2)(=的n 阶麦克劳林展开式是=)(x f 。
6、如果点（1，3）是曲线23bx ax y +=的拐点，则要求a = 。
b = 。
7、若dt t y x x)cos(2cos sin ⎰=π则=dxdy。
8、设→→→→→→→-+=--=k j i b k f t a 2,23，则=⋅-→→b a 3)( 。
二、单项选择题（每小题3分，共24分）9、若11)(+-⋅=x xa a x x f ，则下面说法正确的是（ ）A 、)(x f 是奇函数B 、)(x f 是偶函数C 、)(x f 是非奇偶函数D 、)(x f 无法判断10、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=11)(2x bax x xx f ，为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a和b 的取值应该是( )A 、a=2，b=1B 、a=1，b=2C 、a=2，b=-1D 、a=-1，b=211、若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内一阶和二阶导数存在且均小于零，则)(x f 在[]b a ,内（ ）A 、单调增加，图形是凸的B 、单调增加，图形是凹的C 、单调减少，图形是凸的D 、单调减少，图形是凹的12、由方程0=-+e xy ey所确定的隐函数，y 在0=x 处的导数0=x dxdy是（ ）A 、eB 、e 1 C 、e - D 、e1-13、广义积分⎰+∞∞-++x x x dx22的值是（ ）A 、0B 、2πC 、πD 、π214、定积分⎰dx e x 10的值是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、315、幂级数∑=⋅+nn nn x n 1212的收敛区间是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 B 、[]1,1- C 、[]2,2- D 、[]+∞∞-,16、微分方程)0(,022≠=+k y k dx dy 满足初始条件0,====x x dxdy A y的特解是（ ）A 、kx A sin B 、kx A cos C 、Ax k sin D 、Axk cos三、计算题（每小题7分，共28分）17、求极限xt dte xtx cos 21cos 0lim--→⎰18、将函数12)(34+-=x x x f 展开为（x-1）的多项式。
广东专插本（高等数学）模拟试卷30(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(χ)=χ3sinχ是( )A．奇函数B．偶函数C．有界函数D．周期函数正确答案：B2．设函数在χ=0处连续，则a= ( ) A．0B．1C．2D．3正确答案：B3．有( )A．一条垂直渐近线，一条水平渐近线B．两务垂直渐近线，一条水平渐近线C．一条垂直渐近线，两条水平渐近线D．两条垂直渐近线，两条水平渐近线正确答案：A4．设函数f?(2χ-1)=eχ，则f(χ)= ( )A．B．C．D．正确答案：D5．下列微分方程中，其通解为y=C1cosχ+C2sinχ的是( ) A．y?-y?=0B．y?+y?=0C．y?+y=0D．y?-y=0正确答案：C填空题6．设函数f(χ)=2χ+5，则f[f(χ)-1]=______。
正确答案：4χ+137．如果函数y=2χ2十aχ+3在χ=1处取得极小值，则a=______。
正确答案：-48．设f(χ)=e2χ，则不定积分=_____。
正确答案：eχ+C9．设方程χ-1+χey确定了y是的隐函数，则dy=______。
正确答案：10．微分方程y?-y?=0的通解为______。
正确答案：y=C1+C2eχ(C1，C2为任意常数)解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．求极限。
正确答案：由于当χ→0时，χ4是无穷小量，且，故可知，当χ→0时，1-e-32-3χ2，故所以12．已知参数方程。
正确答案：所以则13．求不定积分∫χ.arctanxdx。
正确答案：14．已知函数f(χ)处处连续，且满足方程求。
正确答案：方程两边关于χ求导，得f(χ)=2χ+sin2χ+χ.cos2χ.2+(-sin2χ).2 =2χ+2χcos2χ，f?(χ)=2+2cos2χ+2χ.(-2sin2χ)=2(1+cos2χ)-4χsin2χ，所以，。
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C=+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．下列级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则2zy x∂=∂∂ 9．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．求20sin 1lim x x e x x→-- 12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyz x z e -=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de -=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分） 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（1）求()x ϕ；（2）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+（1）证明：()f x 在区间(0,) 内单调减少；（2）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；2019年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++Q13.解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰14.,t =则211,22x t dx tdt =-=20121214215311,,2211()221()2111()253115t x t dx tdtt t tdt t t dtt t-==-==-=-=-=-⎰⎰⎰g15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyzxxyzyxyzzxyz xyzxyz xyzf x y z yzef x y z xzef x y z xyez yze z xzex xye y xye∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+16.解：由题意得12,0rθπ≤≤≤≤2222ln()3(4ln2)23(4ln2)|2(8ln23)Dx y ddππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰17.解：由题意得414(1),321nnb nb n n++=+-414(1)1lim lim1,3213nx xnb nb n n+→∞→∞+∴==<+-由比值判别法可知1nnb∞=∑收敛0,n n a b ≤≤Q 由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()()()()(1)xx x x df x x dedf x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-Q()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.（1）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+Q(2)由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰20.证明（1）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++Q 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =Q 在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+Q 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x ∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（2）设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比较,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x Q 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省2018年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
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广东省2010年普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1．设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1[()()]2y f x f x =--在其定义域上是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．周期函数D ．有界函数2．0x =是函数1,0()0,0x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的（）A ．连续点B ．第一类可去间断点C ．第一类跳跃间断点D ．第二类间断点3．当0x →时，下列无穷小量中，与x 等价的是（）A ．1cos x-B ．211x +-C ．2ln(1)x x ++D ．21x e -4．若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则下列结论中正确的是（）A ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=B ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=C ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰5．设22(,)f x y xy x y xy +=+-，则(,)f x y y∂∂=（）A ．2y x-B ．-1C ．2x y-D ．-3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．设a ，b 为常数，若2lim()21x ax bx x →∞+=+，则a b +=.7．圆²²x y x y =+＋在0,0()点处的切线方程是.8．由曲线1y x=是和直线1x =，2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =.9．微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.10．设平面区域22{(,)|1}D x y x y =+≤D={x ，y ）x ²+y'≤1}，则二重积分222()Dx y d σ+=⎰⎰.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算22ln sin lim(2)x xx ππ→-.12．设函数22sin sin 2,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，用导数定义计算(0)f '.13．已知点1,1()是曲线12xy ae bx =+的拐点，求常数a ，b 的值.14．计算不定积分cos 1cos xdx x -⎰.15．计算不定积分ln 51x e dx -⎰.16．求微分方程sin dy yx dx x+=的通解.17．已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定，求z x ∂∂和z y∂∂.18．计算二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围成的区域.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.求函数0Φ()(1)xx t t dt =-⎰的单调增减区间和极值。
2004年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
第1题参考答案：A第2题参考答案：D第3题参考答案：D第4题第5题参考答案：C二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第6题参考答案：1第7题参考答案：0第8题参考答案：1第9题参考答案：2/x3第10题参考答案：-1第11题参考答案：0第12题参考答案：e-1第13题参考答案：1第14题参考答案：-sinx 第15题三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤.第16题第17题第18题第19题第20题第21题第22题第23题第24第25题第26题第27题第28题2005年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D第2题第3题参考答案：C 第4题参考答案：B 第5题参考答案：D 第6题参考答案：B 第7题第8题参考答案：A第9题参考答案：D第10题参考答案：B二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第11题参考答案：2第12题参考答案：e-3第13题参考答案：0第14题参考答案：4第15题参考答案：2第16题第17题参考答案：0第18题参考答案：1/2第19题参考答案：6第20题三、解答题：共70分。
解答应写出推理、演算步骤。
第21题第22题第23题第24题第25题第26题第27题第28题2006年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D 第2题参考答案：B 第3题参考答案：D 第4题参考答案：A 第5题参考答案：C第6题参考答案：C 第7题参考答案：C 第8题参考答案：A 第9题参考答案：B 第10二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
2010年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、选择题（本大题共5题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求） 1.设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1[()()]2y f x f x =--在其定义域上是A.偶函数B.奇函数C.周期函数D.有界函数2. 0x =是函数1,00,0(){x x x ef x <≥=的A.连续点B.第一类可去间断点C.第一类跳跃间断点D.第二类间断点21-7.圆22xy x y +=+在(0,0)点处的切线方程是_________8.由曲线1y x=和直线1,2x x ==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积____________V =9.微分方程''5'140y y y --=的通解是__________y =10.设平面区域22{(,)|1}D x y x y =+≤，则二重积分222()__________Dx y d σ+=⎰⎰ 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.计算22ln sin lim(2)x xx ππ→-.12.设函数22sinsin 2,0,(){x x xf x +=00x x ≠=，用导数定义计算'(0)f .13已知点(1,1)是曲线12xy ae bx =+的拐点，求常数,a b 的值.14.计算不定积分cos 1cos xdx x -⎰.15.计算定积分ln 5⎰.16.求微分方程sin dy yx dx x+=的通解. 31z +=所确定，求z x ∂∂和z y∂∂.21y x =+和直线2y x =及 20小题12分，共22分） .)内的一个原函数， 12010年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.B2.A3.C4.D5.D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.07. 0x y +=8. 2π9. 2712xx y C eC e -=+ 10. 3π 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）cot lim x分）6分）2分） 4分）6分）1分）3分）6分） 2分） 221sin (csc 1)sin d x x dx x=+-⎰⎰………………（4分）1cot sin x x C x =---+…………………………（6分） 解二：原式=221sin 22sin 2xdx x-⎰……………………………………（2分）221csc csc ()2222x x x dx dx d dx =-=-⎰⎰⎰⎰…（4分）cot2xx C =--+…………………………………（6分） 15.t =，则2ln(1)x t =+，221tdx dt t=+…………（2分）所以333322ln522222211t dt dt dt t t ==-++⎰⎰⎰⎰……（4分）22(arctan 3arctan 2)=--…………………………（6分）16.解：11(sin )dx dx x xy e xe dx C -⎰⎰=+⎰………（2分）20x112222300111(1)(1)266|x dx x =-=-=⎰………（6分） 四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19.解：0()(1)xx t t dt Φ=-⎰在(,)-∞+∞上可导，'()(1)x x x Φ=-…（2分）令'()(1)0x x x Φ=-=，得驻点120,1x x ==…………………（3分）列表（）极大值(0)0Φ=，极小值11(1)(1)6x x dxΦ=-=-⎰…………………………………（10分）…………………………（2分）212(21xx-+2]2+……………………………（6分）)(2)(()x d x f t dt令8分）12分）。
2004年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
第1题参考答案：D第2题参考答案：B第3题参考答案：B第4题参考答案：C第5题参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第6题参考答案：e第7题设函数y=x2lnx，则y′=_______参考答案：2xlnx+x第8题曲线y=1+sinx在点(0，1)处的切线的斜率k=____参考答案：1第9题第10题参考答案：xlnx-x+ C第11题参考答案：1/2第12题参考答案：2第13题设函数z=x2+ye x，则δz/δx=______。
参考答案：2x+ ye x第14题微分方程xy′=l的通解为_______参考答案：ln|x|+C第15题参考答案：2x-3y+z=0三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第16题第17题第18题第19题求函数y=x3-3x2-9x+l的极值(6分)第20题设函数y=e x+arctanx+π2，求dy(6分)第21题设函数y=y(x)由方程cos(x+y)+y=l确定，求dy/dx.(6分)第22题第23题第24题第25题求微分方程y″+y′-2y =O的通解.(6分)第26题第27题第28题要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用同一种材料，下底面用另一种材料已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元问该容器的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最省?。
专插本数学试题及答案一、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个正确答案）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的导数是（）。
A. 4x - 3B. 2x - 3C. 4x^2 - 3xD. 2x^2 - 32. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a和向量b的点积是（）。
A. 10B. 11C. 12D. 143. 以下哪个选项是微分方程y'' + 2y' + y = 0的通解？（）A. y = e^(-x)B. y = e^(-x) + xe^(-x)C. y = cos(x) + sin(x)D. y = cos(x) + x*sin(x)4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. π/2D. 25. 以下哪个函数是周期函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 矩阵A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}的行列式是（）。
A. -2B. 2C. -5D. 57. 以下哪个选项是二重积分∬(D) xy dA的计算结果，其中D是由x=0，y=0，x+y=1围成的三角形区域？（）。
A. 1/6B. 1/8C. 1/4D. 1/38. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上的最大值是（）。
A. -1B. 0C. 1D. 29. 以下哪个选项是线性方程组x + 2y = 5和3x - y = 1的解？（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 2)D. (2, 3)10. 以下哪个选项是曲线y = x^2在点(1, 1)处的切线方程？（）A. y = 2x - 1B. y = 2xC. y = 2x + 1D. y = x + 1二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是______。
高等数学历年试题集(含标准答案)2004年专升本插班考试《高等数学》试题一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数211x xy --=的定义域是 。
2、=+→x x xx 52tan 30lim 。
3、若=-=dxdyx x e y x 则),cos (sin 。
4、若函数⎰+--=x dt t t t x f 02112)(,=)21(f 则 。
5、设23,32ai j k b i j k c i j =-+=-+=-和,()()a b b c +⨯+=则 。
二、单项选择题（每小题4分，共20分） 6、若⎰=+=I dx x I 则,231（ ）（A ）C x ++23ln 21 （B ）()C x ++23ln 21（C ）C x ++23ln （D ）()C x ++23ln 7、设)2ln(),(xyx y x f +=,=），f y 01('则( ) （A ）0, （B ）1, (C)2, (D)21 8、曲线2,,1===x x y x y 所围成的图形面积为S ，则S=（ ） （A ）dx x x )1(21-⎰ （B ）dx xx )1(21-⎰（C ）dx y dx y )2()12(2121-+-⎰⎰（D ）dx x dx x)2()12(2121-+-⎰⎰9、函数项级数∑∞=-1)2(n nx n的收敛区间是（ ）（A ）1x > （B ）1x < （C ）13x x <>及 （D ）13x << 10、⎰⎰=12),(xx dy y x f dx I 变换积分分次序后有I=（ ）（A ）210(,)x xdx f x y dy ⎰⎰ （B ）⎰⎰10),(yydx y x f dx（C ）⎰⎰102),(yy dx y x f dx （D ）⎰⎰yydx y x f dx 1),(三、简单计算题（每题9分，共36分）11、求极限x x x e x x 30sin )2()2(lim ++-→12、求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d 。
13、计算定积分⎰125ln xdx x 。
14、设yx zx z y z x z xy x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=222,,,),ln(求。
四、计算题（每题12分，共24分）15、由2,8,0x y x y ===所围成的曲边三角形OAB （如图所示），在曲边OB 上，求一点C ，使得过此点所作2x y =之切线与OA 、AB 所围成的三角形面积最大。
16、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，共中D 是由直线2-=x ，,0=y 2=y 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域。
2004年专升本插班考试《高等数学》参考答案一、填空题1、[)(]1,00,1⋃-2、52 3、x e xsin 2⋅ 4、43ln 5、j k -- 二、单项选择题6、A7、D8、B9、C 10、B 三、简单计算题11、解：原式xx e x e x x x cos sin 31)2(lim 20++-=→ 610611sin 3cos 6lim sin lim sin 3cos sin 6lim 2200320=-⨯=-⋅=-=→→→x e x x x x x xe x x x x x 12、解：把y 看成x 的函数并对和方程关于x 求导，得y x y x y y x y cos 2111)('0)('cos 21)('1-=⇒=⋅+- 再一次求导，得 0))('(sin 21)(''cos 21)(''2=⋅-⋅+-x y y x y y x y y x y y x y cos 211))('(sin 21)(''2-⋅-=⇒ 33)cos 211()cos 211(sin 21y yx y y --=--= 13、解：⎰⎰∞-⋅=026125ln dt t e x e xdx x t t 令10811081181181181)(18131)(6161)(61060606060606206062062===+-=-=⋅-=-==∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t t tt t t t e dt e dt e te e td tdt e t d e e t e d t 14、解：1)ln(1)ln(+=⋅⋅+=∂∂xy y xy x xy x z yx x xy x y z =⋅⋅=∂∂1 x xy y xy x x z x x z 1)1)(ln()(22==+∂∂=∂∂∂∂=∂∂ yxy x xy y x z y y x z 1)1)(ln()(2==+∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 四、计算题 15、解： x x y xx y 2)(')(2=∴= 于是过点c 的切线斜率为80,200≤≤x x 其中∴切线方程为：)(20020x t x x S -=-， 即2002x t x S -=此切线与80==x y 和分别交于点)16,8()0,2(2000x x Qx P -和 ∴所围三角形面积h 为：)16)(28(21)(20000x x x x h --= 即80),16(41)(02000≤≤-=x x x x h对h 求导，得)316)(16(41)16(21)16(41)('0000200x x x x x x h --=---=令0)('0=x h ，得)80,(16,316000≤≤==x x x 因舍去又)0()8(2732128)316(,128)8(,0)('0h h h h x h ⨯===∴当过点（9256,316）作切线，所围三角形面积最大。
16、解：⎰⎰Dydxdy dy y y y ydx dy y y )22(2022222⎰⎰⎰--==---⎰⎰⎰--=--=222222422dy y y y dy y y y ydy下面计算⎰-222dy y y y 令θsin 1+=y ，则当 22,2,2,2,0πθππθπθ≤≤-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==-==时时y y于是)sin 1(sin 1)sin 1(222222⎰⎰+-+=--θθθππd dy y y y222cos 10cos cos sin cos cos )sin 1(22222222222222πθθθθθθθθθθθθππππππππππ=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰-----d d d d d∴24π-=⎰⎰Dydxdy2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 1、下列等式中，不成立．．．的是 A 、1)sin(lim x =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x x C 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e - B 、c e x +2 C 、C e x +-221 D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin 4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x | B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -= D 、3)(x x f =5、已知xxy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx ex = 。
7、定积分⎰--1sin 2xdx ex = 。
8、设函数xxx f +-=22ln )(，则)1(''f = 。
9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a= 。
10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是 。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。
12、求极限22x )1(lnlimxdt t x⎰+→。
13、已知1ln 1arctan22---=x x x y ，求'y 。
14、设函数)(x y y =是由方程22ln arctan y x xy+=所确定的隐函数，求dxdy 。
15、计算不定积分⎰++-dx x x xx)sin 1311(23。
16、计算定积分⎰-2ln 22ln 11dt e t。
17、求由两条曲线x y x y sin ,cos ==及两条直线6,0π==x x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积。
18、计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x)ln(22,其中积分区域{}41),(22≤+≤=y xy x D 。
19、求微分方程03'4''=++y y y 满足初始条件6)0(',2)0(==y y 的特解。
20、已知xy xe xy z-+=)sin(，求全微分dz 。
四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分） 21、设221)(x xex f -=，（1）求)(x f 的单调区间及极值；（2）求)(x f 的闭区间[0，2]上的最大值和最小值。
22、证明：当t 0>时，111ln(1)1t t t<+<+。
23、已知2)(=πf ，且⎰=+π5sin )]('')([xdx x f x f ，求f(0)。
2005年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、D2、B3、C4、C5、A 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）6、1；7、0；8、98-9、2e 10、)(22c x e x +- 三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11、解：1(22lim+-+∞→n n n n2111111111222limlim=+++-=+++-=∞→∞→nn n n n n n n n 12、解：202)1(ln limx dt t xx ⎰+→()'2'020)1(ln lim x dt t x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰→ ()()021)1ln(22)1(ln 2)1(ln lim lim lim''22=++=+=+=→→→x x x x x x x x x13、解： ()'2'21ln 1(arctan '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=x x x y ()()()232222222'22'221ln 1ln 122111221ln 1111111-=--+---=-------+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x 14、解法一：设22ln arctan),(y x xyy x F +-=，则 2222'22111),(yx xx y x y y x F x +-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x y x ++-=2分5分5分2分2分5分2分222'221111),(yx yx x y y x F y +-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x y x +-= 故 ()(),,,''yx y x y x F y x F dx dyy x -+=-= （x ≠y ）。
