高等数学专插本历年试题

2002年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、填空题（每小题3分，共24分）1、函数xxy ++=11的定义域是 。

2、若)sin(ln x e y=，则=dxdy。

3、=-→)1ln(142lim e Dx x。

4、已知函数2x y =，在某点处的自变量的增量2.0=∆x ，对应函数的微分8.0-=dy ，则自变量的始值是 。

5、函数xe x xf 2)(=的n 阶麦克劳林展开式是=)(x f 。

6、如果点（1，3）是曲线23bx ax y +=的拐点，则要求a = 。

b = 。

7、若dt t y x x)cos(2cos sin ⎰=π则=dxdy。

8、设→→→→→→→-+=--=k j i b k f t a 2,23，则=⋅-→→b a 3)( 。

二、单项选择题（每小题3分，共24分）9、若11)(+-⋅=x xa a x x f ，则下面说法正确的是（ ）A 、)(x f 是奇函数B 、)(x f 是偶函数C 、)(x f 是非奇偶函数D 、)(x f 无法判断10、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=11)(2x bax x xx f ，为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a和b 的取值应该是( )A 、a=2，b=1B 、a=1，b=2C 、a=2，b=-1D 、a=-1，b=211、若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内一阶和二阶导数存在且均小于零，则)(x f 在[]b a ,内（ ）A 、单调增加，图形是凸的B 、单调增加，图形是凹的C 、单调减少，图形是凸的D 、单调减少，图形是凹的12、由方程0=-+e xy ey所确定的隐函数，y 在0=x 处的导数0=x dxdy是（ ）A 、eB 、e 1 C 、e - D 、e1-13、广义积分⎰+∞∞-++x x x dx22的值是（ ）A 、0B 、2πC 、πD 、π214、定积分⎰dx e x 10的值是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、315、幂级数∑=⋅+nn nn x n 1212的收敛区间是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 B 、[]1,1- C 、[]2,2- D 、[]+∞∞-,16、微分方程)0(,022≠=+k y k dx dy 满足初始条件0,====x x dxdy A y的特解是（ ）A 、kx A sin B 、kx A cos C 、Ax k sin D 、Axk cos三、计算题（每小题7分，共28分）17、求极限xt dte xtx cos 21cos 0lim--→⎰18、将函数12)(34+-=x x x f 展开为（x-1）的多项式。

广东专插本（高等数学）-试卷50(总分44,考试时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. y＝＋lg(χ＋2)的定义域为( )A. (－2，＋∞)B. (1，＋∞)C. (－2，－1]∪[1，＋∞)D. (－2，－1)2. 若f′(χ0)＝－3，则＝( )A. －3B. －6C. －9D. －123. 设∫f(χ)dχ＝χ2＋C，则∫χf(1－χ2)dχ＝( )A. －2(1－χ2)2＋CB. 2(1－χ2)2＋CC. －(1－χ2)2＋CD. (1－χ2)2＋C4. 设f(χ，y)在点(χ0，y0)处偏导数存在，＝( )A. f′χ(χ0，y0)B. f′y(2χ0，y0)C. 2f′χ(χ0，y0)D. f′χ(χ0，y0)5. 如果＝ρ(un＞0，n＝1，2，…)，则级数un的收敛条件是( )A. ρ＞1B. ρ≥1C. ρ＜1D. ρ≤12. 填空题1. 函数f(χ)＝的极值为_______．2. 已知f(χ)＝χ2lnχ，χ＝h(t)满足条件h(0)＝3，h′(0)＝7，则f[h(t)]｜t＝0＝_______．3. 设f(χ)在[a，b]上满足f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(b)＋f(a)](b－a)，则S1，S2，S3的大小顺序为_______．4. 通解为y＝C1cos2χ＋C2sin2χ(C1，C2为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为_______．5. 设f(χ，y)＝2χ＋arcsin，则fχ(2，1)＝_______．4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。

1. 设f(χ)＝试确定常数a，b的值，使f(χ)在点χ＝处可导．2. 求极限3. 设z＝uv＋sint，而u＝et，v＝cost，求．4. 计算不定积分∫χe2χdχ．5. 平面图形D是由曲线y＝eχ及直线y＝e，χ＝0所围成的，求平面图形D绕χ轴旋转一周所生成旋转体的体积．6. 计算dχdy，其中D是由y＝1，y＝χ，y＝2，χ＝0所围成的闭区域．7. 求微分方程y〞－2y′－3y＝0的通解．8. 判定级数的敛散性．5. 综合题1. 过点P(1，0)作抛物线y＝的切线，该切线与上述抛物线及χ轴围成一平面图形，求此图形绕χ轴旋转一周所成的旋转体的体积．2. 设函数y＝f(χ)在区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，F(χ)＝∫aχf(t)dt＋∫aχ，χ∈[a，b]，证明：(1)F′(χ)≥2；(2)方程F(χ)＝0在区间(a，b)内有且仅有一个实根．。

广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目要求）1．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C=+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．下列级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则2zy x∂=∂∂ 9．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．求20sin 1lim x x e x x→-- 12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyz x z e -=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de -=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分） 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（1）求()x ϕ；（2）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+（1）证明：()f x 在区间(0,) 内单调减少；（2）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；2019年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++Q13.解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰14.,t =则211,22x t dx tdt =-=20121214215311,,2211()221()2111()253115t x t dx tdtt t tdt t t dtt t-==-==-=-=-=-⎰⎰⎰g15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyzxxyzyxyzzxyz xyzxyz xyzf x y z yzef x y z xzef x y z xyez yze z xzex xye y xye∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+16.解：由题意得12,0rθπ≤≤≤≤2222ln()3(4ln2)23(4ln2)|2(8ln23)Dx y ddππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰17.解：由题意得414(1),321nnb nb n n++=+-414(1)1lim lim1,3213nx xnb nb n n+→∞→∞+∴==<+-由比值判别法可知1nnb∞=∑收敛0,n n a b ≤≤Q 由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()()()()(1)xx x x df x x dedf x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-Q()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.（1）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+Q(2)由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰20.证明（1）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++Q 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =Q 在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+Q 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x ∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（2）设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比较,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x Q 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省2018年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。

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2003年《高等数学》全国专插本考试试题。

广东专插本（高等数学）-试卷44(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知函数f(2χ－1)的定义域为[0，1]，则函数f(χ)的定义域为 ( )（分数：2.00）1]B.[－1，1] √C.[0，1]D.[－1，2]解析：解析：由f(2χ－1)的定义域为[0，1]，可知－1≤2χ－1≤1，所以f(χ)的定义域为[－1，1]，故选B．3.若函数f(χ)χ＝0处连续，则a＝ ( )．（分数：2.00）A.0B.1C.－1√解析：解析：由f(χ)在χ＝0处连续可知f(χ)＝f(0)，于是有a＝f(0)D．4.f(χ)＝(χ－χ0 ).φ(χ)，其中φ(χ)可导，则f′(χ0 )＝ ( )（分数：2.00）A.0B.φ(χ0 ) √C.φ′(χ0 )D.∞解析：解析：f′(χ)＝φ(χ)＋(χ－χ0 )φ′(χ)，则f′(χ0 )＝φ(χ0 )，故选B．5.已知d[e -χ f(χ)]＝e χ dχ，且f(0)＝0，则f(χ)＝ ( )（分数：2.00）A.e 2χ＋e χB.e 2χ－e χ√C.e 2χ＋e －χD.e 2χ－e －χ解析：解析：由d[e －χf(χ)]＝e χdχ可得[e -χf(χ)]′＝e χ，两边同时积分刮∫[e －χf(χ)]′dχ＝∫e χ dχ，即有e -χ f(χ)＝e χ＋C，两边同时乘以e χ，即得f(χ)＝e 2χ＋Ce χ，又f(0)＝1＋C＝0．即得C＝－1．于是f(χ)＝e 2χ－e χ．故诜B．6. ( )（分数：2.00）√解析：解析：根据级数的性质有收敛级数加括号后所成的级数仍收敛，故选D．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线y＝χarctanχ)的水平渐近线是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝－1）解析：解析：又y＝－1．8.设f(χ)在χ＝02，则f′(0)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）f′(0)＝4．1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）＝3．10.微分方程y〞－4y′－5y＝0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝C 1 e －χ C 2 e 5χ）解析：解析：微分方程的特征方程为λ2－4λ－5＝0，则λ1＝－1，λ2＝5，则微分方程通解为y ＝C 1 e －χ＋C 2 e 5χ (C 1，C 2为任意常数)．11.设函数f(χ)在点χ0处可导，且f′(χ0)≠0， 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。

广东省2010年普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1．设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1[()()]2y f x f x =--在其定义域上是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．周期函数D ．有界函数2．0x =是函数1,0()0,0x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的（）A ．连续点B ．第一类可去间断点C ．第一类跳跃间断点D ．第二类间断点3．当0x →时，下列无穷小量中，与x 等价的是（）A ．1cos x-B ．211x +-C ．2ln(1)x x ++D ．21x e -4．若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则下列结论中正确的是（）A ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=B ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=C ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰5．设22(,)f x y xy x y xy +=+-，则(,)f x y y∂∂=（）A ．2y x-B ．-1C ．2x y-D ．-3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．设a ，b 为常数，若2lim()21x ax bx x →∞+=+，则a b +=.7．圆²²x y x y =+＋在0,0()点处的切线方程是.8．由曲线1y x=是和直线1x =，2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =.9．微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.10．设平面区域22{(,)|1}D x y x y =+≤D={x ，y ）x ²+y'≤1}，则二重积分222()Dx y d σ+=⎰⎰.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算22ln sin lim(2)x xx ππ→-.12．设函数22sin sin 2,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，用导数定义计算(0)f '.13．已知点1,1()是曲线12xy ae bx =+的拐点，求常数a ，b 的值.14．计算不定积分cos 1cos xdx x -⎰.15．计算不定积分ln 51x e dx -⎰.16．求微分方程sin dy yx dx x+=的通解.17．已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定，求z x ∂∂和z y∂∂.18．计算二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围成的区域.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.求函数0Φ()(1)xx t t dt =-⎰的单调增减区间和极值。

X 省202X 年一般高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题〔本在题共5小题，每题3分，共15分。

每题只有一个选项符合题目要求〕1．函数22()2x x f x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则以下等式正确的选项是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．以下级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．假设二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则 9．设平面地域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题〔本大题共8小题，每题6分，共48分〕11．求20sin 1lim x x e x x →--12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面地域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+-判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题〔大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分〕 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰〔1〕求()x ϕ；〔2〕求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ 〔1〕证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少； 〔2〕比拟数值20192018与20182019的大小，并说明理由；202X 年X 省一般高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题〔本大题共5小题，每个空3分，共15分〕 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题〔本大题共8小题，每题6分，共48分〕11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解： 13.解：14.,t =则211,22x t dx tdt =-= 15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--16.解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤17.解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比拟判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.〔1〕由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(2)由题意得 20.证明〔1〕 证明11ln(1)ln ()01x x x x+--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立()f x ∴在(0,)+∞单调递减〔2〕设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比拟,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>X 省202X 年一般高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题〔本在题共5小题，每题3分，共15分。

专插本高数真题复习题一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1在点x=1处的导数是（）。

A. -1B. 1C. 3D. 52. 设f(x)=2x-1，g(x)=x^2+3x-2，那么f(g(x))的表达式为（）。

A. 2(x^2+3x-2)-1B. x^2+3x-1C. 2x^2+5x-5D. x^2-5x+33. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标是（）。

A. (0,0)B. (2,8)C. (1,1)D. (4,16)二、填空题4. 若f(x)=x^2+1，则f'(-1)=______。

5. 已知某函数的原函数为F(x)=∫(x^2-2x+1)dx，求该函数的导数F'(x)=______。

三、解答题6. 求函数y=ln(x+1)的导数，并说明其几何意义。

7. 利用定积分求曲边梯形的面积，已知f(x)=x^2，x∈[0,2]。

四、证明题8. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)上连续，且f'(x)≥0，则f(x)在(a,b)上单调递增。

五、应用题9. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=2x+3，其中x为生产数量。

求当生产数量为多少时，单位产品的成本最低，并说明原因。

六、综合题10. 已知某物体沿直线运动，其位移函数为s(t)=2t^3-3t^2+t，求该物体在t=1时的瞬时速度和加速度。

参考答案：1. B2. A3. B4. 25. 2x-26. 导数为y'=1/(x+1)，几何意义是曲线y=ln(x+1)在任意点的切线斜率。

7. 面积S=∫[0,2]x^2dx=(1/3)x^3|[0,2]=(8/3)-0=8/3。

8. 略9. 单位产品的成本为C/x=(2x+3)/x=2+3/x，求导得C'(x)=-3/x^2，令C'(x)=0得x=0（舍去），当x增大时，C'(x)>0，说明C(x)在x>0时单调递减，因此当x越大，单位产品的成本越低。

广东专插本（高等数学）-试卷47(总分44,考试时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 设函数f(χ)＝，则f(χ)在( )A. χ＝0，χ＝1处都间断B. χ＝0，χ＝1处都连续C. χ＝0处间断，χ＝1处连续D. χ＝0处连续，χ＝1处间断2. 曲线f(χ)＝的水平渐近线为( )A. y＝B. y＝－C. y＝D. y＝－3. ＝( )A. 0B. ∞C.D.4. 设y＝4χ－(χ＞0)，其反函数χ＝φ(y)在y＝0处导数是( )A.B.C.D.5. 下列级数中，收敛的级数是( )A.B.C.D.2. 填空题1. 设f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．2. y＝χlnχ在点χ＝1处的切线方程是_______．3. ｜sinx｜dχ＝_______．4. 已知y1＝eχ，y1＝χeχ为微分方程y〞＋Py′＋qy＝0的解，则P＝_______，q＝_______．5. 若函数f(χ)＝aχ＋bχ在χ＝1处取得极值2，则a＝_______，b＝_______．4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。

1. 问a为何值时，函数f(χ)＝在点χ＝0处连续．2. 求极限3. 已知函数y＝，求y(n)．4. 计算5. 设函数f(χ)＝求∫13f(χ－2)dχ．6. 计算二重积分I＝(χ2＋y2＋3y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤a2，χ≥0}．7. 求微分方程y″′＝χ＋1满足y(0)＝2，y′(0)＝0，y〞(0)＝1的特解．8. 判断级数(a＞0)的敛散性．5. 综合题1. 已知曲线y＝a(a＞0)与曲线y＝ln在点(χ0，y0)处有公切线，试求：(1)常数a和切点(χ0，y0)；(2)两曲线与χ轴围成的平面图形的面积S．2. 已知f(χ)＝χ5－3χ－1，求：(1)函数f(χ)的凹凸区间；(2)证明方程f(χ)＝0在(1，2)内至少有一个实根．。

高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 1、下列等式中，不成立．．．的是 A 、1)sin(lim x =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x x C 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e - B 、c e x +2 C 、C e x +-221 D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin 4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x | B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -= D 、3)(x x f =5、已知xxy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx ex = 。

7、定积分211sin x exdx --⎰= 。

8、设函数xxx f +-=22ln )(，则(1)f ''= 。

9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a= 。

10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是 。

三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。

第一章 函数、极限和连续注：补充例题或习题已在题号前标注*一、函数例1（1）求函数()()ln 2f x x =++.（2）求函数()21,2132,23x xf x x x ⎧≤⎪+=⎨⎪+<<⎩的定义域.例2设函数()2g x x =+，()()ln 2f g x x =+⎡⎤⎣⎦，则()1f = . 例3已知()()ln 1f x x =+，()f x x ϕ=⎡⎤⎣⎦，求()x ϕ. 例4若1x ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭()x ϕ= . 例5已知()f x 的定义域为全体实数，()()11f x x x +=+，则()1f x -= . 例6判断函数()(lg f x x =的奇偶性.二、极限例1求下列各题的极限（1）201lim sin 2x x →.（2）322232lim 6x x x x x x →-++--.（3）2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭.（4）lim x →+∞.例2设当0x →1与2sin x 是等价无穷小，则a = . 例3当0x →时，下列变量与x 为等价无穷小量的是（ ）. A.sin 2x B.1cos x -D.sin x x 例4求下列各题的极限 （1）0tan 2limsin 5x x x →.（2）30tan sin lim sin x x xx→-.例5求下列各题的极限（1）11201lim 1xx x +→⎛⎫⎪+⎝⎭.（2）322lim x x x x +→∞-⎛⎫⎪⎝⎭.（3）421lim 1xx x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭.（4）lim 2xx x a x a →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭（其中a 为常数）. *例5求下列各题的极限 （1）10lim 3xxxxx a b c →⎛⎫++⎪⎝⎭.（2）21lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）0x →.例6求下列各题的极限（1）sin lim x x x→∞.（2）23cos lim 1x x xx x →∞+-.例7求lim ...n →∞⎛⎫+++. 例8在下列函数中，当0x →时，函数()f x 极限存在的是（ ）.A.()1,00,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩B. (),1,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ C. ()1,020,01,2x x f x x x x ⎧<⎪-⎪==⎨⎪⎪+>⎩D.()1xf x e = 例9（1）22212lim ...n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.（2）10111011...lim ...n n n n m m x m ma x a x a x ab x b x b x b ---→∞-++++++++.（3）lim 2sin2nn n x →+∞.（4）01cos 2lim sin 2x xx x→-. （5）已知233lim43x x kx x →+-=-，求常数k 的值.（6）已知222lim 22x x ax b x x →++=--，求常数,a b 的值. 三、函数的连续性例1设函数()1sin ,0,01sin 1,0x x x f x k x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在其定义域内连续，求常数k 的值. 例2设函数()22,0,01,1x x f x x a x bx x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上连续，求常数,a b 的值.例3设函数()21,0,012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩，讨论()f x 的间断点及其类型. 例4求下列函数的间断点并说明间断点类型（1）()22132x f x x x -=-+.（2）()f x =.例5证明方程42xx =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少有一个实根.例6设()2xf x e =-，求证()f x 在()0,2内至少有一个点0x ，使002xe x -=.第二章 一元函数微分学一、导数与微分例1设()y f x =在0x 处可导，则()()0002limh f x h f x h→--= ;()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆=∆ .例2求下列函数的导数（1）y =（2）y =（3）()2321sin 2secx y x e +=+.（4）ln 2xxy =.（5）()2y f x x ϕ⎡⎤=+⎣⎦，其中()f u 及()x ϕ均可导.（6）已知()f u 可导，求()ln f x '⎡⎤⎣⎦、(){}n f x a '⎡⎤+⎣⎦和(){}nf x a '+⎡⎤⎣⎦.（7）设11x y f x -⎛⎫=⎪+⎝⎭，()2arctan f x x '=，求0x y ='. （8）设()f x 为二阶可导函数，且()221sin tan cos xf x x +=，求()f x ''.例3函数()(),0ln 1,0x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩在0x =处是否连续，是否可导，为什么？例4设函数()cos ,2,22x x f x x x πππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩（1）()f x 在2x π=处是否可导？（2）若可导，求曲线过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线、法线方程. 例5设函数()2,1,1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，求常数,a b 的值.例6设曲线32y x x =+-上存在切线与直线41y x =-平行，求切点.例7设函数()y f x =由方程()2sin x y xy +=确定，求dy dx. 例8设函数()y f x =由方程3331x y xy +-=确定，求x dy dx=.例9设函数21x y x=-y '.例10设函数()2sin x y x =，求y '.例11（1）设(2)cos n y x x -=，求()n y .（2）设()ln 1y x =+，求()n y .例12已知cos sin ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩，求当3t π=时dy dx 的值. *例12已知参数方程()2arctan 1ln 1x ty t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，求dy dx 和22d y dx . ———————————————————————————————————————————————练习题1.已知函数()y f x =在x a =处可导，求()()3lim x f a x f a x∆→-∆-∆.2.求下列函数的一阶导数（1）3ln ln 2y =.（2）sin 1tan x x y x =+.（3）ln2xx y =.（4）y =3.用对数求导法求下列函数的一阶导数 （1）()arcsin 21xy x=+. （2）21xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 4.求下列隐函数的一阶导数y ' （1）1yy xe =+. （2）()cos 0x yexy ++=.5.求下列函数的二阶导数y ''（1）(ln y x =. （2）xe y x-=.6.求下列函数的微分（1）221arctan 1x y x-=+. （2）()0y x =>. 7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程（1）sin cos 2x t y t =⎧⎨=⎩，在4t π=处. （2）2223131at x t aty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，在2t =处. ———————————————————————————————————————————————二、导数的应用例1不用求函数()()()()()1234f x x x x x =----的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并指出其所在范围.例2函数()1f x =()1,1-上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理.例3设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且在任一点处的导数都不为零，又()()0f a f b ⋅<， 试证：方程()0f x =在开区间(),a b 内有且仅有一个实根. 例4利用洛必达法则求下列极限（1）201lim sin x x e x x →--.（2）lim m m n n x a x a x a →--.（3）11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.（4）20lim ln x x x +→. 例5求下列函数极限 （1）(lim 12x x +→+（2）sin 0lim xx x +→.（3）2222lim 1x x x x →∞⎛⎫+⎪-⎝⎭. （4）1lim 1xx x e →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.（5）421lim 1cos x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.（6）0sin sin lim 1cos x x e x x x →--.例6证明不等式（1）()()ln 1,01x x x x x <+<>+.（2）()2arctan ,01xx x x x <<>+. *（3）()()11,(0,1)n n n n nb a b a b na a b a b n ---<-<->>>.*（4）ln ,(0)a b a a b a b a b b--<<>> 例7证明不等式[)1,1,0xe x x >+∈-.例8证明下列不等式 （1）()()21ln ,11x x x x ->>+.（2）当02x π<<时，sin tan 2x x x +>.（3）当1x >时，13x >-.例9求函数()22xf x x e -=的单调区间和极值.例10求函数21xy x=-的凹凸区间和拐点. 例11求函数4210y x x =-+的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值. 例12求函数(1y x =-.例13求函数y =[]0,3上的最值.例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线 （1）21x y x =-.（2）1xxy e =+.——————————————————————————————————————————————— 练习题1.不求出()()()()147f x x x x =---的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并求出根所在的区间.2.证明方程120x ex -+-=仅有一个实根.3.求下列函数的极值.（1）()242f x x x =-.（2）()22x f x x e-=-.4.当a 为何值时，点()1,3是曲线3292y ax x =+的拐点.5.（1）求曲线()5332075f x x x x =-++的凹凸区间及拐点.（2）求曲线y =的拐点.6.证明下列不等式（1）当1x >时，xe e x >⋅.（2）()211cos 02x x x -<>.7.设()f x 在[),a +∞可导，且x a >时()0f x k '>>，其中k 是常数.证明：若()0f a <，则方程()0f x =在(),f a a a k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有一根.———————————————————————————————————————————————第三章 不定积分与定积分一、不定积分例1（1）已知()11xxf x e dx e C --=-+⎰，求()f x .（2）已知()arcsin xf x dx x C =+⎰，求()1dx f x ⎰. 二、积分法（一）直接积分法（公式法） 例1求下列不定积分（1）21x -.（2）))11dx ⎰.（3）()2211dx x x +⎰. （4）3xxe dx ⎰.（5）236x x x dx +⎰.（6）421x dx x +⎰. 例2求下列不定积分 （1）2sin2x dx ⎰.（2）22cos 2sin cos x dx x x ⎰.（3）11cos 2dx x+⎰.（4）2tan xdx ⎰. （二）换元积分法1.第一类换元法（凑微分法） 例1求下列不定积分（1）2xxedx -⎰.（2）()22arctan 1x dx x +⎰. （3）32sin cos x xdx ⎰. （4）sin x x e e dx ⎰. *（5）⎰.（5）⎰.（6）2145dx x x ++⎰.（7）1x xdx e e -+⎰.（8）3. 例2求下列不定积分（1）22sin cos x xdx ⎰. （2）41cos dx x ⎰. （3）1sin dx x ⎰. （4）1cos dx x ⎰.2.第二类换元法 例1()20a >.例2. 例3dx x⎰.例4（1）.（2）.（3）.（4）.（三）分部积分法例1（1）2cos x xdx ⎰.（2）2x x e dx -⎰.（3）2ln x xdx ⎰.（4）arctan xdx ⎰.（5）sin xe xdx ⎰.（6）()sin ln x dx ⎰.*例13sec xdx ⎰.例2已知()f x 的一个原函数是2x e -，求()I xf x dx '=⎰.（四）一些简单的有理函数的积分 例1（1）221dx x a -⎰.（2）2123dx x x --⎰.（3）21610dx x x -+⎰.（4）()211dx x x +⎰.———————————————————————————————————————————————练习题1.计算下列不定积分（1）234tan x x x dx ⎛⋅+ ⎝⎰.（2）211x x e dx e ----⎰.（3）3tan sec x xdx⎰. （4）.（5）2156dx x x --⎰.（6）2112dx x x +-⎰.（7）214dx ⎰. （8）arcsin xdx ⎰.（9）()2x +⎰.（10）()ln ln n n x x dx x x ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰. ———————————————————————————————————————————————三、定积分（一）牛顿-莱布尼兹公式 （二）变上限积分 （三）定积分的计算1.定积分的换元积分法（换元同时换限） 例1计算⎰.例2计算1220⎰2.定积分的分部积分法 例1计算120arcsin xdx ⎰.例2计算下列定积分（1）1arctan x xdx ⎰.（2）1xdx ⎰.（3）0cos x xdx π⎰.（4）()21sin ln e x dx π⎰.例3计算定积分24sin π⎰.（四）定积分的综合题【热点】 例1求下列各题的导数 （1）()0tx dt Φ=⎰.（2）()2x xx Φ=⎰.*例1已知12212xx t f dt e e --⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，求()10f x dx ⎰.例2求下列各题的极限（1）23limx x x →⎰.（2）sin 0tan 00limxx +→⎰⎰.（3）2220limxt x x t edtx-→∞⎰.（此题HB 补充）例3用积分变换证明等式（1）证明()1122111011xx dx dx x x x =>++⎰⎰.（2）设()f x 为连续函数，证明()()0sin sin 2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.例4设()[]201,0,145xf x dt x t t =∈++⎰，求()f x 的最大值和最小值. 例5设()0cos 2x t f x dt t π=-⎰，求()20f x dx π⎰. （五）定积分的性质【热点】参见习题5-1（2012年最后一题考查了性质6，性质7历年未考查过）———————————————————————————————————————————————练习题 1.设()40tan n f n xdx π=⎰，()n N ∈，证明()()1354f f +=. 2.()()01cos xx t f t dt x -=-⎰，证明()201f x dx π=⎰.3.设()1lnt1xf x dt t=+⎰，证明()211ln 2f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4.设()f x 为连续函数，且()0f x >，[],x a b ∈，()()()1xxabF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[],x a b ∈，证明方程()0F x =在区间[],a b 上有且仅有一个实根.5.设()()231xx x tdt ϕ=-+-⎰，求()x ϕ的极值.*5设()f x 连续，求()220xd tf x t dt dx -⎰. ———————————————————————————————————————————————四、定积分的应用（一）利用定积分求面积和体积例1求由曲线1y x=，2x =与3y =所围成平面图形的面积. 例2求抛物线()220y px p =>与直线32y x p =-所围成的图形的面积.例3求抛物线243y x x =-+-及其点()0,3-和点()3,0处的切线所围成的平面图形的面积.例4求曲线2y x =，2x =与直线0y =所围成的平面图形绕x 轴旋转后生成旋转体的体积.例5试求抛物线2y x =在点()1,1处的切线与抛物线自身及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转后所得旋转体 的体积.（二）平面曲线的弧长包括直角坐标情形和参数方程情形例1计算曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.例2计算摆线()()sin 1cos x a y a θθθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，()02θπ<<的长度.五、广义积分的计算例1计算下列广义积分 （1）2x xe dx +∞-⎰.（2）201x dx x +∞+⎰.（3）()31ln e dx x x +∞⎰.（4）2122dx x x +∞-∞++⎰.第四章 多元函数微积分一、多元函数的定义例1写出下列二元函数(),z f x y =的几何意义（表示何种空间曲面） （1）z ax by c =++.（2）z =（3）z =.（4）22z x y =+.二、二元函数的定义域例1求下列函数的定义域（1）z =（2）()22ln 1z x y =+-.（3）z =（4）z =三、多元函数的偏导数例1求函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在原点()0,0的偏导数. 例2设tan x y z y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求z x ∂∂和z y ∂∂. 例3设()sin xy z xe xy -=+，求z x ∂∂和zy∂∂. 四、全微分的概念例1求()arctan z xy =的全微分五、复合函数的偏导数例1设22z u v =+，u x y =+，v x y =-，求z x ∂∂和z y ∂∂. 例2设vz u =，223u x y =+，42v x y =+，求z x ∂∂和z y∂∂. 例3设,x z f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dz . *例3设()22,z f x x =，求dz .例4求()23,xyz f x y e =+的全微分.*例4设()2,z f x u x u ==+，()cos u xy =，求f x ∂∂和z x∂∂. 六、隐函数的导数及偏导数例1设(),z z x y =由下列方程确定，求z x ∂∂和z y∂∂. （1）20x y z ++-=.（2）22lnz x z y+=. *例1设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂七、高阶偏导数例1设()sin x y z ye+=，求22z x ∂∂和2z x y∂∂∂.*八、高阶复合偏导数参见习题9-4的第12题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）——————————————————————————————————————————————— 练习题1.求下列函数偏导数z x ∂∂和z y ∂∂：（1）(ln z x =.（2）2yxe z y =. 2.设ln x z z y=，求z x ∂∂和z y ∂∂. 3.设z e xyz =确定(),z f x y =，求z x ∂∂和z y ∂∂. 4.设()22ln z x xy y =++，证明2z z x y x y∂∂+=∂∂. ———————————————————————————————————————————————八、二重积分（一）二重积分的定义（二）直角坐标下二重积分的计算例1计算()22D x xy y dxdy ++⎰⎰，(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤. 例2计算2D x ydxdy ⎰⎰，D 由0x =，0y =与221x y +=所围成的第一象限的图形.例3计算sin D x dxdy x ⎰⎰，D 是由直线y x =与抛物线2y x =所围成的区域. 例4计算()2Dx y dxdy -⎰⎰，D 由1y =，230x y -+=，30x y +-=围成.（三）利用极坐标计算二重积分 例1计算22x y D edxdy --⎰⎰，D 是圆心在原点，半径为a 的圆.例2计算()22ln 1Dx y d σ++⎰⎰，D 是圆周221x y +=及坐标轴围成的第一象限内的闭域. ——————————————————————————————————————————————— 练习题1.设arctan y z x =，求z x ∂∂和z y∂∂. 2.设()2sin 2x y z e x y -=+，求z x ∂∂和z y ∂∂. 3.设()2ln 123z x y =++，求dz .4.设2231xy x y =++确定y 是x 的函数，求12x y dydx ==.5.求xy Dye dxdy ⎰⎰，其中积分区域D 是由y 轴，1y =，2y =及2xy =所围成的平面区域. 6.求2D ydxdy ⎰⎰，式中积分区域D1y ≤≤. 7. 变换积分次序，并计算积分221210122xy y x x dx e dy dx e dy +⎰⎰⎰⎰. 8.计算222x y D edxdy +-⎰⎰，式中积分区域D 由221x y +≤，0x ≥，0y ≥所确定.———————————————————————————————————————————————第五章 常微分方程一、微分方程的基本概念例1验证12cos sin x C kt C kt =+（1C 、2C 为任意常数）是方程2220d x k x dt+=的通解. 例2已知方程2220d x k x dt +=的通解为12cos sin x C kt C kt =+，0t x A ==，求00t dx dt ==条件下的特解. 例3确定下列函数关系式中的常数，使函数满足所给的初始条件.（1）22x y C -=，05x y ==.（2）()212x y C C x e =+，00x y ==，01x y ='=. （3）()12sin y C x C =-，1x y π==，0x y π='=.二、可分离变量的微分方程例1解微分方程2dy xy dx=. 例2求下列方程的通解（1'=2）10x y dy dx +=.（3）cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=.（4）()2310dy y x dx++=. 例3求方程的初始问题2sin ln x y x y yy e π='=⎧⎪⎨=⎪⎩的特解. 例4求初值问题()cos 1sin 0x ydx e ydy -++=，04x y π==的特解.三、一阶线性微分方程例1求微分方程sin cos x y y x e-'+=的通解.例2求下列非齐次方程的通解（1）tan sin 2y y x x '+=.（2）32d d ρρθ+=.（3）()212cos x y xy x '-+=.（4）()()3222dy x y x dx -=+-. 例3求tan sec dy y x x dx-=，00x y ==的特解. 例4求下列方程的特解（1）sin dy y x dx x x +=，1x y π==.（2）cos cot 5x dy y x e dx +=，24x y π==-. 四、二阶常系数齐次线性微分方程例1求解下列常系数二阶方程（1）7120y y y '''-+=.（2）44100y y y '''++=.（3）20y y y '''++=.例2求下列方程的特解（1）340y y y '''--=，00x y ==，05x y ='=-.（2）250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.*五、微分方程综合题【热点】*例1设()()202xf x f t dt x +=⎰，求()f x .*例2求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(),x y 处的切线斜率等于2x y +.（2012年倒数第二题考查了一阶线性微分方程的几何意义，与上题形式差不多）——————————————————————————————————————————————— 练习题1.求方程10x y dy dx+=的通解. 2.求方程y xdy dx e dx +=的通解.3.求方程cos sin 1dy x y x dx+=的通解. 4.求下列方程满足初始条件的特解：02x x y y e y -='⎧+=⎪⎨=⎪⎩. 5.求下列二阶齐次方程的通解（1）340y y y '''+-=.（2）2250d y dy dx dx -=.（3）2220d s s dt-=.（4）()()()20x t x t x t '''++=. 6.求下列初值问题的特解（1）求430y y y '''++=，()02y =，()06y '=.（2）求250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.———————————————————————————————————————————————。

专插本数学试题及答案一、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个正确答案）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的导数是（）。

A. 4x - 3B. 2x - 3C. 4x^2 - 3xD. 2x^2 - 32. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a和向量b的点积是（）。

A. 10B. 11C. 12D. 143. 以下哪个选项是微分方程y'' + 2y' + y = 0的通解？（）A. y = e^(-x)B. y = e^(-x) + xe^(-x)C. y = cos(x) + sin(x)D. y = cos(x) + x*sin(x)4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. π/2D. 25. 以下哪个函数是周期函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 矩阵A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}的行列式是（）。

A. -2B. 2C. -5D. 57. 以下哪个选项是二重积分∬(D) xy dA的计算结果，其中D是由x=0，y=0，x+y=1围成的三角形区域？（）。

A. 1/6B. 1/8C. 1/4D. 1/38. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上的最大值是（）。

A. -1B. 0C. 1D. 29. 以下哪个选项是线性方程组x + 2y = 5和3x - y = 1的解？（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 2)D. (2, 3)10. 以下哪个选项是曲线y = x^2在点(1, 1)处的切线方程？（）A. y = 2x - 1B. y = 2xC. y = 2x + 1D. y = x + 1二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是______。

广东专插本（高等数学）-试卷41(总分44,考试时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 极限的值是( )A. eB.C. e2D. 02. 函数y＝χ3在闭间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝( )A.B.C.D.3. 函数f(χ)＝在点χ＝1处( )A. 不可导B. 连续C. 可导且f′(1)＝2D. 无法判断是否可导4. 设∫f(χ)dχ＝F(χ)＋C，则∫χf(aχ2＋b)dχ＝( )A. F(aχ2＋b)＋CB. F(aχ2＋b)C. F(aχ2＋b)＋CD. F(aχ2＋b)＋C5. 微分方程y〞－5y′＋4y＝0的通解是( )A. y＝C1e-χ＋C2e-4χB. y＝eχ＋e4χC. y＝C1eχ＋C2e4χD. y＝(C1＋C2χ)eχ2. 填空题1. 设________．2. f(χ)＝＋χ3∫01f(χ)dχ，则∫01(χ)dχ＝_______．3. 设z＝χy＋χF()，其中F为可微函数，则＝_______．4. 微分方程y〞＋y′＝0的通解为_______．5. 设dσ＝4π，这里a＞0，则a＝_______．4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。

1. 求极限2. 设y＝y(χ)由自方程所确定，求3. 求不定积分4. 设曲线求t＝0至t＝之间的_段弧长．5. 设z＝ylnχ，求6. 求二次积分7. 求微分方程eyy′－χ＝0满足y｜χ＝0＝0的特解．8. 判断级数参的敛散性．5. 综合题1. 设平面图形D是由曲线y＝eχ，直线y＝e及y轴所围成的，求：(1)平面图形D的面积；(2)平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积．2. 设f(χ)在区间[a，b]上可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＋3ξf(ξ)＝0．。

专插本高数练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值出现在 \( x \) 等于（）。

A. 0B. 2C. 4D. 82. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，那么 \( L \) 的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 23. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的值域是（）。

A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)5. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，那么\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是（）。

A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若 \( \lim_{x \to 2} f(x) = 5 \)，则 \( \lim_{x \to 2}(f(x) - 5) = ________ 。

7. 若 \( a \) 和 \( b \) 是二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根，则 \( a + b \) 的值为 ________。

8. 若 \( \sin x = \frac{3}{5} \)，且 \( x \) 在第一象限，那么\( \cos x \) 的值为 ________。

9. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 交点的坐标为________。

2024广东专插本考试高等数学试题2024广东专插本考试高等数学试题一、选择题1、下列函数中，在区间(0,1)内为增函数的是： A. y = ln(x + 1) B. y = e^(-x) C. y = sinx D. y = cosx2、设{an}为等比数列，a1 = 2，公比为q，则a2 等于： A. 2q B. qC. 1/qD. q^23、下列图形中，面积为S的平行四边形的个数是： A. 1 B. 2 C. 3D. 4二、填空题 4. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, -4)，则向量a 与向量b 的夹角为__________。

5. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3，则f(-2) = __________。

6. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| = __________。

三、解答题 7. 求函数y = sinx + cosx + sinxcosx + 1的最大值与最小值。

8. 求下列微分方程的通解：dy/dx = y/(x + 1)，其中y(0) = 1。

9. 在等差数列{an}中，已知a1 = 1，S100 = 100a10，求{an}的前n项和Sn的公式。

四、应用题 10. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本40万元，此外每生产100件产品还需增加投资2万元。

设总收入为R(x)万元，x为年产量，产品以每百件为单位出售，售价为47万元/百件。

若当年产量不足300件时，可全部售出；若当年产量超过300件，则只能销售75%。

试求该公司的年度总收入R(x)的表达式。

五、选做题 11. 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3, π/6)、(4, π/3)，求△AOB的面积S。

12. 已知函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。

试求证：存在一点ξ∈[0,1]，使得f(ξ) = -ξ。

六、附加题 13. 求证：在正整数中，n^3 - n一定是6的倍数。

高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1、下列等式中，不成立．．．的是A 、1)sin(limx =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x xC 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e -B 、c e x +2C 、C e x +-221D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x |B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -=D 、3)(x x f =5、已知x xy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx e x =。

7、定积分211sin x e xdx --⎰=。

8、设函数xxx f +-=22ln)(，则(1)f ''=。

9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a=。

10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是。

三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。

12、求极限202x 0ln (1)limxt dt x →+⎰。

广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。

每小题只有一个选项符合题目要求）．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是．2x =- 和0x = ．2x =- 和1x = ．1x =- 和2x = ．0x = 和1x =．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → ．等于1 ．等于2 ．等于1 或2 ．不存在 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰ ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰．下列级数收敛的是．11nn e ∞=∑ ．13()2nn ∞=∑．3121()3n n n ∞=-∑ ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件．0,0a b b -=< ．0,0a b b -=>．0,0a b b +=< ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y = ．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,xxdz e ydx e ydy =+ 则2zy x∂=∂∂ ．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．求20sin 1lim x x e x x →--．设(0)21x x y x x =>+，求dydx．求不定积分221xdx x ++⎰．计算定积分012-⎰．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ ．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ ．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1nn a ∞=∑的收敛性．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间四、综合题（大题共 小题，第 小题 分，第 小题 分，共 分） ．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（ ）求()x ϕ；（ ）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ （ ）证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少； （ ）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） 二、填空题（本大题共 小题，每个空 分，共 分）13x2x cos xe y 13π 三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰,t =则211,22x t dx tdt =-=20121021420153011,,2211()221()2111()253115t x t dx tdt t t tdtt t dtt t -==-==-=-=-=-⎰⎰⎰解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyz x xyz y xyzz xyz xyz xyz xyzf x y z yze f x y z xze f x y z xye z yze z xze x xye y xye ∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤222020ln()3(4ln 2)23(4ln 2)|2(8ln 23)Dx y d d ππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰ 解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-414(1)1lim lim 1,3213n x x nb n b n n +→∞→∞+∴==<+- 由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛．解()()()()(1)xx x x df x x de df x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞（ ）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰证明（ ）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++ 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（ ）设2019,2018a b ==则201820192019,2018b a a b ==比较,a b b a 即可，假设a bb a>即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。

高数插本复习题一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 3B. 5D. 62. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,4)处的切线斜率是：A. -2B. 0C. 2D. 43. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)为：A. cos(x)-sin(x)B. cos(x)+sin(x)C. sin(x)-cos(x)D. sin(x)+cos(x)4. 定积分∫[0,1] (2x-1)dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1D. 3/25. 函数y=ln(x)的原函数是：A. x^2B. x^3C. x^2/2D. xln(x)-x二、填空题6. 若f(x)=x^3-2x^2+x，f'(x)=______。

7. 函数y=e^x的导数是______。

8. 定积分∫[1,e] x^2dx的值是______。

9. 若函数f(x)=x^2+1在x=2处的切线方程是y=______。

10. 函数y=sin(x)的原函数是______。

三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

12. 证明：函数f(x)=x^3在R上是凹函数。

13. 解不等式：x^2-4x+3≤0。

14. 计算定积分∫[-2,2] (x^2+1)/(x^2-1)dx。

15. 求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程。

四、证明题16. 证明：函数f(x)=x^2+2x+3在(-1,1)区间内单调递增。

17. 证明：定积分∫[0,1] x^n dx = n!/(n+1)，当n为正整数时。

五、应用题18. 一个物体从静止开始，以加速度a=3t^2+2t+1 m/s^2加速运动，求物体在前2秒内的位移。

19. 某工厂的产量P随时间t的变化关系为P(t)=t^3+2t^2-t，求工厂在前3小时内的总产量。

20. 某投资项目的成本函数为C(x)=x^2+100x+10000，收益函数为R(x)=-x^2+300x-10000，求该项目的最大利润及对应的产量。