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直线的倾斜角和斜率引言在几何学和代数学中，直线是一个重要的概念。
直线可以用不同的方式来表达和描述，其中倾斜角和斜率是两个常见的表示方法。
本文将详细介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法以及它们之间的关系。
直线的倾斜角倾斜角是表示直线相对于水平方向的旋转程度的数值。
直线的倾斜角可以是正值或负值，取决于直线向上或向下倾斜的方向。
倾斜角的取值范围是从负无穷到正无穷。
计算倾斜角可以通过计算直线上两点间的斜率来得到直线的倾斜角。
斜率是指直线上任意两点的纵坐标变化量除以横坐标变化量的比值。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线AB的倾斜角可以通过以下公式计算：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中arctan是反正切函数。
需要注意的是，这个公式只适用于直线不垂直于x轴的情况。
当直线垂直于x轴时，倾斜角没有定义。
此时可以取特殊值正无穷或负无穷来表示。
倾斜角的意义倾斜角可以用于判断直线是向上倾斜还是向下倾斜，以及直线的旋转方向。
倾斜角为正值表示直线向上倾斜，倾斜角为负值表示直线向下倾斜。
倾斜角的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。
倾斜角还可以用于计算直线与水平线之间的夹角。
直线与水平线的夹角等于90度减去直线的倾斜角的绝对值。
直线的斜率斜率是直线上任意两点间纵坐标变化量除以横坐标变化量的比值。
斜率可以用来描述直线的陡峭程度。
计算斜率与计算倾斜角类似，直线的斜率可以通过两点间的纵坐标变化量除以横坐标变化量来计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线AB的斜率可以通过以下公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率的取值范围是从负无穷到正无穷。
如果直线是垂直于x轴的，则斜率没有定义。
斜率的意义斜率表示直线上每个单位横坐标变化对应的纵坐标的变化量。
斜率为正值表示纵坐标随横坐标增加而增加，直线向上倾斜；斜率为负值表示纵坐标随横坐标增加而减少，直线向下倾斜。
直线的倾斜角与斜率、直线方程考纲要求1.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.考情分析1.直线方程的求法是命题的热点．多与两直线的位置关系，直线与圆的位置关系相结合交汇命题．2.题型多为客观题，难度中等，着重考查学生的综合应用能力.教学过程基础梳理一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴与直线的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.(2)倾斜角的范围为．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.3．直线方程的五种形式111222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．双基自测1．(教材习题改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°2．(教材习题改编)过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为 ( )A.3x －3y ＋6＋3＝0B.3x －3y －6＋3＝0C.3x ＋3y ＋6＋3＝0D.3x ＋3y －6＋3＝03．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是 ( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或14.(教材习题改编)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率等于 1.则m 的值为________．5．(教材习题改编)过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________1．直线的倾斜角与斜率的关系斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．2．直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导．直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解典例分析考点一、直线的倾斜角与斜率[例1] (2011·常州模拟)若ab <0，则过点P (0，－1b )与Q (1a ，0)的直线PQ 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．(0，π2)B ．(π2，π)C ．(－π，－π2)D ．(－π2，0)．本例的条件变为：若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2011·山西四校第二次联考)直线x sinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π) B．[0，π4]∪[3π4，π)C．[0，π4] D．[0，π4]∪(π2，π)[冲关锦囊]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tanα的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.考点二、直线方程的求法[例2] (2011·龙岩期末)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)2．(2012·舟山月考)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－3 4，则直线l的方程为() A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0[冲关锦囊]求直线方程的方法主要有以下两种(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.考点三、直线方程的应用[例3] 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点．(1)当△AOB面积最小时，直线l的方程是__________；(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，直线l的方程是________________．[冲关锦囊]1．解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件．2．与直线方程有关的最值或范围问题可以数形结合也可从函数角度考虑构建目标函数进而转化求最值．一、选择题1．(2012·秦皇岛模拟)直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π62．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2 B．－7C．3 D．13．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是()A．1 B．2C ．－12D ．2或－124．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( ) A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0 C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝05．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x <0时，f (x )>1，方程y ＝ax ＋1a 表示的直线是( )二、填空题6．若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________．7．经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________．。
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角：一条与x 轴相交的直线，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线 的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．直线的倾斜角的范围为 [)π,0．2、直线的斜率：当直线的倾斜角α≠90°时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即该直线的斜率k ＝tan α；注意：当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．3．斜率公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的 斜率公式为：()212121x x x x y y k ≠--= ． 若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．注意：直线的斜率tan k α=（2πα≠）关于倾斜角α的函数的图像练习1．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝ y ＝－3. 2、已知直线AB 的斜率为34，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率。
133．已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α＋cos α＝15，则l 的斜率为 －434．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角θ的范围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 解：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为α=π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴ 斜率k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4. 综上知，倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. 5、设直线12=+my x 的倾斜角为α，若),2[)32,(+∞--∞∈ m ，则倾斜角α的取值范围是5. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x ≤1)，试求：23++x y 的最大值与最小值.解：由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3） 与曲线段AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ，由已知可得：A （1，1），B （-1，5），∴34≤k ≤8，故23++x y 的最大值为8，最小值为34. 5、若直线（m2－1）x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是 提示：－2m ＋1≤0且m 2－1＜0 或 m 2－1且－2m ＋1＜0 解得 1/2≤m ≤1x6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ()π6，π2解：直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6， 满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2. 作业1、若直线2:1++=k kx y l 与42:2+-=x y l 的交点在第一象限，则k 取值范围是2、直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围是 [π4，π3] 解：∵2x cos α－y －3＝0 ，∴y ＝2cos α·x －3. ∵π6≤α≤π3， ∴12≤cos α≤32， ∴1≤2cos α≤ 3. ∴k ∈[1，3]． ∴θ∈[π4，π3]． 3. 直线ax+y+1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则a 的取值范围是 (][)+∞⋃-∞-,12,4、已知点A （－3，4）、B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点。
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1. 斜率的定义斜率是平面直角坐标系中一条直线倾斜程度的度量。
斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度以及方向。
在数学中，斜率通常用m表示，它表示一条直线在水平方向的单位偏移所对应的垂直方向的单位偏移的比值。
也可以理解为直线上两点之间的垂直高度差与水平距离的比率。
假设一条直线上有两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，那么这条直线的斜率就可以表示为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 直线的倾斜角度直线的倾斜角度也叫直线的斜率角，可以帮助我们更直观地理解一条直线的倾斜程度和方向。
与斜率相比，倾斜角度更易于理解和使用，尤其是在实际测量和应用中。
直线的倾斜角通常用θ表示，计算公式如下：tan(θ) = m其中tan(θ)表示正切函数，它可以是斜率m的反函数。
因此，直线的倾斜角通常可以表示为：θ = atan(m)而atan表示反正切函数，它可以将斜率转化为对应的弧度角，从而帮助我们更好地理解直线的方向和倾斜程度。
3. 应用举例下面通过一个具体的应用举例来理解斜率和倾斜角度的概念。
假设我们需要计算一条直线的倾斜角度和斜率，该直线穿过两个点P(3, 4)和Q(5, 8)。
首先，我们需要计算该直线的斜率：m = (8 - 4) / (5 - 3) = 2然后，我们可以将该斜率转化为对应的倾斜角度：θ = atan(2) = 1.107 rad也就是说，该直线的倾斜角度是1.107弧度，约等于63.43度。
这意味着，在平面坐标系上，该直线与水平方向的夹角为63.43度。
可以看出，倾斜角度可以帮助我们更直观地理解直线的倾斜程度和方向，从而更方便地进行测量和计算。
4. 总结斜率和倾斜角度是描述一条直线倾斜程度和方向的重要概念。
它们可以帮助我们更直观地理解一条直线的特性，并且在测量和计算中有广泛的应用。
需要注意的是，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择使用斜率或倾斜角度，以获得更准确的结果。
直线的倾斜角与斜率知识点直线是数学中最基本的图形之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线的倾斜角和斜率是描述直线特征的重要概念，在解决直线问题时起到了至关重要的作用。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用场景。
一、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与正 x 轴之间的夹角。
它通常用角度或弧度来度量。
倾斜角可以表达直线的上升或下降趋势，以及直线的陡峭程度。
倾斜角的取值范围为 [-90°, 90°] 或 [-π/2, π/2]，其中正值表示线段向右上方倾斜，负值表示线段向右下方倾斜。
要计算直线的倾斜角，需要从直线上选择两个确定点。
假设直线的两个点分别是 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，则倾斜角可以通过求解以下公式得出：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中，arctan 表示反正切函数，计算结果可以用角度或弧度来表示。
二、直线的斜率直线的斜率是用来表示直线上点之间的变化率的数值。
斜率可以告诉我们直线的陡峭程度和方向。
通常情况下，斜率被定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值之比。
对于直线上的两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，斜率可以通过以下公式来计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率可以用分数形式来表示，分母表示直线上两个点之间的水平距离，分子表示两个点之间的垂直距离。
斜率也可以是整数、小数或无穷大。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，表示直线为水平线。
三、直线倾斜角与斜率的转换关系直线的倾斜角和斜率有一个重要的转换关系。
斜率可以通过直线的倾斜角计算得到，也可以通过斜率计算得到直线的倾斜角。
通过倾斜角计算斜率的公式如下：斜率 = tan(倾斜角)其中，tan 表示正切函数。
通过斜率计算倾斜角的公式如下：倾斜角 = arctan(斜率)这两个公式可以帮助我们在直线的描述中灵活地使用斜率和倾斜角。
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率都是用来表示直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”这个侧面来刻 画直线倾斜程度的，是一个几何量；而斜率则是从“数”这个侧面来表示直线倾斜程度的， 是一个数量.它们之间既有联系又有区别.【倾斜角】当直线l 与x 轴相交时，x 轴的正方向与直线l 向上方向之间所成的角α，叫做直线l 的倾斜角. 规定.当直线l 与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.倾斜角的取值范围：α∈[0，π).【斜率】当直线l 的倾斜角α≠π2时，α的正切值叫做直线l 的斜率.记作k=tanα.特别地，当α=π2时，直线的斜率不存在.注意：任何直线都有一个确定的倾斜角α，且α∈[0，π)；但是并非任何直线都有斜率，如当α=π2时，其斜率就不存在.【斜率与倾斜角间的函数关系】k=tan α，α∈[0，π)且α≠π2.其对应的函数图像如图3.1—1所示.在处理已知斜率求倾斜角或已知倾斜角的关系寻求斜率的相应关系 时，要充分地利用图3.1—1来“看图说话”.k >0⇔α为锐角；k <0⇔α为钝角.【斜率的两种求法】1.当已知倾斜角α且α≠π2时，利用k=tanα求之.2.当已知两点的坐标A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)时，利用 k =y 2−y1x 2−x 1(x 1≠x 2)求之.例1.(1)已知直线的倾斜角为α，且sinα= 45，则此直线的斜率为( ).A.43. B.− 43. C.± 43. D ± 34.(2)若过P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是_ . 解:(1) ∵ 直线的倾斜角α∈[0，π)且sinα=45，∴ cos α=±35，∴ k=tanα=± 43. 应选C.(2)由已知有k PQ =a−12+a ，∵ 直线PQ 的倾斜角为钝角，∴ k PQ <0，解得a ∈(－2，1).例2.(1)若直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R)，求直线l 的倾斜角α的取值范围. (2)若直线l 的倾斜角α∈[π6，2π3)，求直线l 斜率的取值范围.解:(1)∵ 直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R), ∴ 直线l 斜率k≤1，结合图3.1—1知， 直线l 的倾斜角α的取值范围为α∈[0,π4]∪(π2,π).O xy。
必修2 第二章直线的倾斜角与斜率1． 直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是特别：当 时，称直线l 与x 轴垂直2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ;②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .3. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k,也可能无斜率.4. 两条直线平行与垂直的判定①两条直线都有斜率．．．而．且不重合．．．．，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ;②两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是 .2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–，则a 等于( )A .–8B .10C .2D .4 3．直线6x +=的斜率是 ，倾斜角是 .4．试求m 的值,使过点()(),1,1,A m B m -的直线与过点()()1,2,5,0P Q -的直线(1)平行(2)垂直215．已知直线1l 过点A （2，-1）和B （3，2），直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.6．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值7．已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．8．已知四边形ABCD 的顶点为()(),,6,1,A m n B()()3,3,2,5C D ,求mn 的值,使四边形ABCD 为直角梯形.9．已知M(1, –2), N(2,1)，直线l 过点P(0, -1)，且与线段MN 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.1.在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ；②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；④直线y=1的倾斜角为45°。
第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是［0°, 180°）直线的倾斜角α与斜率k的关系：当α ≠ 90°时，k与a的关系是k = tana； « = 90°时，直线斜率不存在：经过两点P I（X If y1）P=（x=,y=）（χ1≠χ=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kλc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0= ψ-⅞）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式方程为y = kx+b i不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - >,ι v2-西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线• a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：①过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为y≡b②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b；③已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a^④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀GltCM TXπA.—B. —C. —D.——3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan—,c? ∈[0,Λ∙),求α ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + √3>- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当α∈[O,-)f⅛, /r∈[0Λ∞), k随α的增大而增大；2②当QE(Z+s)时，k∈ (-≪>,0) I&随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=--cosθ,故：心亜3 3 一一3当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：0≤α≤兰3 6当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π3 6所以，直线的倾斜角的范围：0≤a≤-和竺SavTr6 6(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数f(x) = a∖{a> O且a≠l),当xVo时,f(x) > 1,方程y = ax +丄表aV点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈ (0,1),从而斜率k∈ (0,1),截距b>∖,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
直线的倾斜角与斜率知识集结知识元直线的倾斜角知识讲解一、直线的倾斜角1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．3.（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．例题精讲直线的倾斜角例1.已知直线的倾斜角为，并且0°≤＜120°，直线的斜率k的范围是（）A．B．C．k≥0或D．k≥0或例2.已知点M（2m+3，m），N（m－2，1），当m∈________时，直线MN的倾斜角为锐角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为钝角．例3.若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．30°或150D．60°或120°例4.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是()A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．直线的斜率知识讲解一、直线的斜率1.定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．2.注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；(2)直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.二、斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.三、应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点的连线必与x轴垂直，即直线的倾斜角为90°，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率．事实上，此时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在；其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．例题精讲直线的斜率例1.以下两点确定的直线的斜率不存在的是（）A．（4，2）与（―4，1）B．（0，3）与（3，0）C．（3，―1）与（2，―1）D．（―2，2）与（―2，5）例2.已知三点A（2，―3），B（4，3），在同一条直线上，则k=________．例3.'如果三条直线mx+y+3=0，x―y―2=0，2x―y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，求m的值．'例4.'直线mx+y+2=0与线段AB有公共点，其中A（－2，3），B（3，2），求实数m的取值范围．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线的倾斜角和斜率”的题目补充.例题精讲备选题库已知三点A（1，-3），B（8，），C（9，1），求证：A、B、C三点共线．'例2.'直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围．'例3.'求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点．'例4.'已知M（1，-1），N（2，2），P（3，0）．（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．（2）若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．'当堂练习单选题练习1.已知直线l的倾斜角为60°，直线l2经过点A（1，），B（-2，-2），则直线l1，l2的位置关系是（）A．平行或重合B．平行C．垂直D．重合已知直线经过点A（2，0），B（1，），则连直线的倾斜角是（）A．B．C．D．练习3.已知直线l的方程为3x-y-2=0，则直线l的斜率是（）A．3B．-3C．D．练习4.在平面直角坐标系中，过点（2，1）且倾斜角为的直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限练习5.已知直线l：x+2y-1=0的倾斜角为θ，则cosθ=（）A．-B．C．±D．-练习6.直线3x+2y+m=0与直线2x+3y-1=0的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．由m决定填空题练习1.已知点A（-1，2），B（2，3），若直线l：kx-y-k+1=0与线段AB相交，则实数k的取值范围是_____________．练习2.直线的斜率为k，若-1<k<，则直线的倾斜角的范围是_________．练习3.过点P（-4，0）的直线l与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，_．则直线l的斜率是__练习4.已知平面内两点A（-4，1），B（-3，-1），过定点M（-2，2）的直线与线段AB恒有公共____．点，则直线斜率的取值范围是___练习5.过点引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，直线l的倾斜角为______．解答题练习1.'直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围．'练习2.'求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点．'练习3.'已知M（1，-1），N（2，2），P（3，0）．（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．（2）若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．'。
直线的倾斜角和斜率一、直线的倾斜角设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的倾斜角θ可由以下公式计算：θ = arctan((y2 - y1)/(x2 - x1))其中arctan为反正切函数，可以通过计算器或数学软件来求解。
二、直线的斜率直线的斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。
设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的斜率k可由以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)直线的斜率可以表示为一个有理数或无理数。
当斜率为一个有理数时，可以表示为一个分数。
当斜率为无理数时，可以通过计算器或数学软件来求解其近似值。
在计算斜率时，需要注意以下几点：1.当直线为垂直于x轴的直线时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为90°。
2.当直线为水平于x轴的直线时，斜率为0。
此时直线的倾斜角为0°。
3.当直线为x轴时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为180°。
三、求直线方程知道直线的倾斜角和斜率后，我们可以求直线的方程。
1.已知倾斜角θ，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算斜率k：k = tan(θ)2.已知斜率k，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算倾斜角θ：θ = arctan(k)3.已知斜率k和直线上一点P(x1,y1)，直线的方程可以通过以下公式获得：y-y1=k(x-x1)或者y=k(x-x1)+y1其中y1和x1为直线上已知的一点的坐标。
需要注意的是，当直线为垂直于x轴的直线时，直线的方程可以表示为x=c的形式，其中c为一个常数。
四、例题分析1.已知直线过点A(1,2)和点B(3,4)，求直线的倾斜角和斜率。
根据公式，直线的倾斜角可以通过以下公式计算：θ = arctan((4-2)/(3-1)) = arctan(2/2) = arctan(1) ≈ 45°直线的斜率可以通过以下公式计算：k=(4-2)/(3-1)=2/2=1所以，直线的倾斜角为45°，斜率为12.已知直线的倾斜角为60°，过点P(2,3)，求直线的斜率和方程。
直线的倾斜角和斜率西安高级中学高一数学李秋侠普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）数学2（必修）第二章解析几何初步§1.1直线的倾斜角和斜率（教学设计）西安高级中学李秋侠,x y的对应，这正是解析几何的研究方法，一、设计思想：学生在初中阶段学习过函数的图像，了解在坐标系中点与实数对()而直线是解析几何中最基本最简单的研究对象，它既能为进一步的学习做好知识上的准备，又能为后面灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。
所以本节课在设计时特别重视知识的形成，过程的感悟，概念的辨析，引导学生注重倾斜角、斜率的相互关系，掌握过两已知点的直线的斜率公式，并能根据直线的斜率求倾斜角，利用斜率判定三点共线；充分利用多媒体形象展示，使学生全面地、多角度、多层次地认知新概念，特别是利用几何画板的动态演示，透彻理解倾斜角、斜率的概念、取值范围、及变化规律，强化“数”与“形”的结合与转化；另外斜率公式的推导采取逐步递进，发展到用直线上的两点的坐标表示斜率，体现新课标的递进、螺旋式认知理念；通过图片展示使学生了解解析几何及其在生活科学等方面的应用，激发学生的学习热情，引导学生树立远大理想，崇尚科学。
在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时，由于学生毫无三角函数基础，只要求给出会用即可，不能用知识的联系性、思维的连贯性的传统理念，去增加补充三角函数知识，否则就与新课程理念相背离了。
二．三维目标1.通过具体图形理解确定直线的几何要素，理解直线倾斜角、斜率的概念，感受直线的方向与倾斜角及斜率之间的对应关系。
掌握过两点的直线斜率的计算公式，初步感受解析几何的本质，用代数的方法解决几何的问题，在教学中培养学生数形结合的数学思想。
2.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力，形成严谨的学习态度。
3.营造轻松、和谐的学习氛围，培养学生的探究能力、合作意识及语言表述能力。
三、内容和内容分析本课是北师大版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何第一节课,主要知识点是直线倾斜角和斜率，它是解析几何的最基本的、也是重要的概念之一，也是刻画直线倾斜程度的几何要素，是用坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现。
通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质，步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
因而本节课的数学思想和方法尤显重要四．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式；教学难点：斜率概念的理解和斜率公式的推导。
教学方法：通过实例创设教学环境，让学生感悟到知识的生成。
五．学情分析初中学生已在平面坐标系中对一次函数借助几何图形研究了性质，图形非常熟悉。
学生对三角函数的认识相对浅得多，对斜率用倾斜角的正切值表示困难较大，但也要求学生掌握特殊角度正切值。
六．现代信息技术使用为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。
1.利用图片介绍解析几何。
2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；3. 幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。
4.新知识学习过程中的探究设问：七．导学流程1.利用图片介绍解析几何。
2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；3. 利用课件演示，引出直线斜率公式4.新知应用5.知识延伸6.幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。
八.新知识学习过程中的探究设问：①确定一条直线的位置需要什么条件？ ②用什么量描述直线的倾斜程度呢？ ③倾斜角概念中的要点有哪些？④倾斜角的取值范围？能为00?90?180?180?大于⑤任何直线都有倾斜角吗？唯一吗？⑥除了倾斜角还有什么能表示直线的“倾斜程度”？ ⑦任何直线都有斜率吗？⑧不与x 轴垂直的直线的斜率除了用tan α外，用直线上的两点的坐标怎样表示呢？ ⑨用斜率公式求直线的斜率2121y y k x x -=-应注意什么？⑩三点共线的实质是什么?九．教学过程设计 技术支持利powerpoint放图片利powerpoint 演示，教师解，引导学发现生活中美妙曲线。
导入本节内容直线的倾斜若b为已知常数，a为变化值，则直线可视为过定点()0,b的一系列直线，直线的方向是变化的；由上述情形可看出：确定一条直线的位置还有一个方法：一个点和一个方向；二．倾斜角由（课件二）可看出：直线的方向与直线的倾斜程度有关，直线的倾斜程度和直线与x轴所成的角度有关，对于任意一条与x轴相交的直线，把这个角的顶点放在交点处，规定角的方向为逆时针，即可产生一个能够描述直线倾斜程度的角叫倾斜角。
1.倾斜角的定义：对于任意一条与．x轴相交．．．的直线l，把x轴（正方向．．．．．）按逆时针．．．方向绕着交点．．．．旋转到和直线．．l重合．．时所成的角，叫作直线l的倾斜角．．．。
记为α，则000180α<<；特殊地：当直线l与x轴平行或重合．．．．．时，规定．．直线l的倾斜角为00；2. 倾斜角的取值范围：000180α≤<；三．直线的斜率：问：直线的倾斜角可以刻画直线的倾斜程度，除此之外生活中，还可以用什么来刻画直线的“倾斜程度”呢？教师通过图例引导：还可以用“坡度”来刻画道路、楼梯的“倾斜程度”引导学生在直角坐标系中研究直线。
探究确定直线位置的几个要素。
学生观察得出：直线的倾斜程度与斜线和x轴所成的角度有关读教材，明确倾斜角的定义。
准确理解概念，发现数学量。
培养学生分类讨论的能力学生互相议论，探讨。
利用几何板，演示平直角坐标系的不同位置直线。
培养学生研Oxydd1单位1单位公式一斜率与倾斜角的关系当00090α<<时，直线的斜率是正的; 倾斜角越大，直线的斜率就越大；当090α=时，直线的斜率不存在；当0090180α<<时，直线的斜率是负的; 倾斜角越大，直线的斜率就越大；问：用倾斜角的正切值可以表示直线的斜率，用直线上点的坐标能表示斜率吗？观察：过原点的直线上的点（1，k）的纵坐标k就是直线的斜率，任取异于原点的点(),P x y，则其斜率可以用其纵坐标与横坐标之比yx表示。
问：看下图，直线的斜率是多少呢？答：直线的斜率是32；问：直线不过原点时，斜率是否还能用直线上点的坐标表示呢？四．斜率公式在直线l上任取两点()()111222,,,P x y P x y，设122121,,x x x x x y y y≠∆=-∆=-，则：()211221y yyk x xx x x-∆==≠∆-问：这个公式是不是任何时候都成立呢？问：任何直线都有斜率吗？问：公式的特点有哪些1.12≠x x时公式才成立，12x x=时不能用此公式，此时直线的斜率不存在。
引导学生得出：斜率的正负及大小与倾斜角的关系，培养学生分类讨论能力。
学生讨论得出结论：过原点的直线的斜率可以用其上一点的纵坐标与横坐标之比表示。
培养数形结思想讨论得出任意直线的斜率可以用其上两点的坐标表示。
2121y ykx x-=-思考这个公式成立的条件，分析不成立的直线位置。
培养严谨的数学思维。
几何画板示，观察斜的正负及大与倾斜角的系P(2,3)OXy斜率公式二2. 当12x x=时，直线与x轴垂直，斜率不存在。
3.12,P P是直线上的任意两点；3. 公式中的分子分母的下标应是一致的；4．斜率与12,P P的顺序无关；5.当直线与x平行时，公式依然成立，此时12,0y y k==；五．应用示例：例1：已知直线的倾斜角，求斜率。
00000(1)0;(2)30;(3)45;(4)60;(5)90ααααα=====解：（1）003tan00;(2)tan30;3==0003tan451;4tan603;5tan90==（）（）（）不存在；例2．下图中能表示直线倾斜角α的是（1）（3） ;例3：求过已知两点的直线斜率(1)(2,3),(6,5).(2)(3,5),(4,2)P Q A B--解：（1）直线PQ的斜率为：53216242k-===-；（2）直线AB的斜率为()2571437k---===---；口答。
熟记特殊角的正切值。
考察学生新知识掌握能力及公式的正确性。
板演：推到率公式，分成立条件，示不成立的的位置特征学生作笔记新知应用例4.在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率为11233--，，，，的直线。
解：只须找出点()()()()()1111121313--，，，，，，，，，，然后分别与原点连成直线即可。
例5.直线1l的倾斜角为0130α=，直线1l与2l垂直，求12,l l的斜率。
解：如图：2l的倾斜角为0009030120,+=12,l l的斜率分别为：3,33-考察学生应用知识的灵活性。
指导学生积极研究，互相合作，培养积极的学习热情好探究能力。
老师板演，生口述。
学生板演yxo十.课后反思：本节课设计的教学目标在同学们的配合下完成的很好。
这节课在以下几个方面比较成功：1）利用多媒体形象展示，使学生真切感受到生活中的数学模型，达到了全面地、多角度、多层次地认知新概念的目的；激发了学生的学习兴趣、探知欲望，培养了学生热爱生活、热爱科学的情感，很好地体现了新课标的三维目标，注重知识的形成，过程的感悟，情感价值观的培养；2)新知导学设问很好，问题设置合理有层次，使整个教学既有层次感，又流畅自然，学生清楚自己每个阶段的学习目标，对所要学习的新知识关注点相对集中，目的性强；3）直线倾斜角、斜率的相互关系及变化规律，一直以来都是学生的难点和易错点，又是本节课的难点，即便是学习了三角x=与直线l交点(1,)k的纵坐标k的函数知识，这个难点总是很难突破，何况新教材中的三角函数现在还没有学，我利用直线1值的变化使其得到很好的化解和突破，并且非常有利于学生理解和记忆；特别是对水平与竖直两种特殊位置的直线的斜率给出了很好的合情合理的解释，同时还培养了学生分类讨论的思想，这应该是本节课的亮点所在。
4）斜率公式的推导由过原点的直线到不过原点的直线，由直线上的一点到直线上的两点，逐步递进，升级自然，学生理解起来容易，难度分散，符合学生的认知规律，证实了新课标的递进、螺旋式认知理念是正确的；5）通过直线的倾斜角和斜率的学习，培养了学生的数形结合、分类讨论思想；本节课不足之处是：本节课的容量略大，留给学生活动的时间还不够充分，这一点我还是不太满意，课后探究问题的内容还不够丰富，增加一个趣味性强的探究题，对激发学生的研究热情更有利。
