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直线的倾斜角与斜率PPT

直线的倾斜角与斜率PPT


y2 y1 x2 x1
（其中x1≠x2）
归纳总结：
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
练习、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，
求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直
线的倾斜角是什么角？
k >0
k不存在 k<0
k=0
探究三、两点确定直线的斜率
问题：已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2）， 求直线P1P2的斜率?
y
如图，α为锐角
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
o x1
x2 x
P2P1Q,
在RtP2P1Q中
k
tan
线的倾斜程度？
如果我们建
立平面直角坐标系，我们发
现如果使用倾斜角的概念，
即坡度就是倾斜角的正切值，
升
也就是说我们可以用倾斜角
高
0 前进
的正切值来刻画直线的倾斜 程度.
x
直线的斜率定义:
直线倾斜角的正切值叫直线的斜率.用小写
字母 k 表示，即： k＝tan.
理解定义
x1 x2 x2 x1
思考1、2：当直线与坐标轴平行或重 合时,上述公式还适用吗？为什么？
P1 (x1, y1 ) y o
P2 (x2 , y2 )
l
x
k y2 y1 0 x2 x1
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt

直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt

通过斜率可以判断直线的倾斜方向，进而确定直线的位置和 走势。
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和 斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存 在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情 况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率 的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形 式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的 方程，特别是当已知直线上的一 点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式， 它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的 直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否 在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时， 直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下 倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情 况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时， 另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中 的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。
直线的倾斜角与斜率.ppt

直线的倾斜角与斜率.ppt

2.1直线的倾斜角与斜率
The inclination Angle and slope of line
一.问题提出
在平面直角坐标系中，经过一点P可 以作无数条直线，这些直线的区别在哪 里？ y
P
o
x
angle of Inclination (倾斜角)
1.定义: 当直线l与x轴相交时，取x轴 作为基准，x轴正向与直线l向上方向之 间所成的角α 叫做直线l的倾斜角
1
O
2
x
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小 l ２ l
1
l３
小结
1、倾斜角的定义及其范围
0 180
0
0
0
2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化
判断：
1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或
不存在 90 k 0 tan 90
0
0
思考： 确定平面直角坐标系中一 条直线位置的几何要素是什么？
（1）直线上的一个定点； （2）直线的倾斜角.
练习：
下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违 背了定义中的哪一条？
y y y y
o

x
o

x

o
x

o
（D ）
x
（A）
（B）
（C）
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
P2
P1 P1
P2
经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ) 的直线的斜率公式： 重要数学思想：
分类讨论的思想
y2 y1 y1 y2 k ( x1 x2 ) x2 x1 x1 x2
直线的斜率与倾斜角ppt

直线的斜率与倾斜角ppt


斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
直线的倾斜角与斜率课件PPT

直线的倾斜角与斜率课件PPT


解析： ①k＝－53－－－0 2＝－1，即 tan α＝－1， 所以 α＝135°. ②斜率不存在，α＝90°. ③k＝－52－－－－22 ＝0，α＝0°.
直线倾斜角与斜率的综合应用 多维探究型 已知直线 l 过 P(－2，－1)，且与以 A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段 相交，求直线 l 的斜率的取值范围．
答案： B
2．直线 l 的倾斜角是斜率为 33的直线的倾斜角的 2 倍，则 l 的斜率为( )
A．1
B. 3
C.2 3 3
D．－ 3
解析： ∵tan α＝ 33，0°≤α<180°， ∴α＝30°，∴2α＝60°， ∴k＝tan 2α＝ 3.故选 B. 答案： B
3．已知点 M(5,3)和点 N(－3,2)，若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和－74，
自主探究 探究 1：若两条直线平行，斜率一定相等吗？
【答案】不一定，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率 不存在．
探究 2：若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1 吗？
【答案】不一定，如果两条直线 l1，l2 中的一条与 x 轴平行(或 重合)，另一条与 x 轴垂直(也即与 y 轴平行或重合)，即两条直线中 一条的倾斜角为 0°，另一条的倾斜角为 90°，从而一条直线的斜率 为 0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．
A.－52，3
B.－∞，－52∪[3，＋∞)
C.－32，1
D.－∞，－32∪[1，＋∞)
解析： kPA＝3，kPB＝－52，如图， 当 l 与线段 AB 有公共点时， k≥3 或 k≤－52. 故选 B. 答案： B
谢谢观看！
自学导引
1．两直线平行的判定
(1)对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有 __k_1＝__k_2__⇔l1∥l2.
11.2直线的倾斜角和斜率 课件 (共22张PPT)

11.2直线的倾斜角和斜率 课件 (共22张PPT)


问题 5 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角 一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？
答 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角； 不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角 是相同的；因此，只有倾斜角不能确定直线的位置；确定 一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的 倾斜角，两者缺一不可．
(4)k＝－26－－－ 3 2＝0，所以倾斜角为 0°.
例 2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为 1， －1，2 及－3 的直线 l1，l2，l3 及 l4.
解 设直线 l1 上的另一个点 A1 的坐标 为(x，y)，根据斜率公式有 1＝xy－－00， 所以 x＝y,令 x＝1，y=1，于是点 A1 的坐标为(1,1)．此时过原点和点 A1(1,1)，可作直线 l1,如图所示.同理, l2 是过原点及 A2(1，－1)的直线，l3 是 过原点及 A3(1,2)的直线，l4 是过原点及 A4(1，－3)的直线．可作直线 l2，l3，及 l4.
倾斜角 (范围)
斜率 (范围)
α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<
180°
斜率不存
0
大于 0
小于 0
在
问题探究点一 直线的倾斜角及斜率的概念 导引 对于平面直角坐标系内的一条直线 l，它的位置由哪
些条件确定呢？ 问题 1 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，
经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗？ 答 不能确定． 问题 2 过一点 P 可以作无数条直线，它们都经过点 P，这 些直线区别在哪里呢？ 答 它们的倾斜程度不同．
2.1直线的倾斜角与斜率共26页PPT资料

2.1直线的倾斜角与斜率共26页PPT资料


升 高
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
前进
直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
一条直线的倾斜角的正切值叫做这
条直线的斜率（slope）.
通常用小写字母k表示，即
ktan(90)
倾斜角是90 的直线有斜率吗？ 倾斜角是90 的直线的斜率不存在．
直线的斜率
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0。90。
k(0,)

O
x
(1)
y
90。
k值不存在
O
x
(3)
kta n
y 90。18。 0
k(,0)

O
x
(2)
y
0。
k0
O
x
(4)
斜率公式
如何用两点的坐标表示直线的斜率?(α为锐角)
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直 l上 线的两个不同
o px
o p x
y
p
l
o
x

l
30。
l与y轴平行 30。 l与x轴平行
规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角0°.
直线的倾斜角
• 倾斜角的取值范围是
y
l
x o
0。18。 0
• 坐标平面上的任何一条直线都有唯一
的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定
一条直线的方向.
• 倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向 的倾斜程度.
确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者 缺一不可．
y
l
直线的倾斜角和斜率(课件)(共19张PPT)

直线的倾斜角和斜率(课件)(共19张PPT)

如果 是锐角，如图6-13(2）所示，此时 =180°-∠P1P2M ,
|P1M|= y1-y2, |P2M|=x1-x2, 因此直线P1P2的斜率为
在数学中，我们常用倾斜角和斜率来衡量直线相对 于 x 轴的倾斜程度．
一般地，在平面直角坐标系中，直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 称为这条直线的倾斜角.特 别地，当直线与 y 轴垂直时，规定这条直线的倾斜角为 0°．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
探索研究 我们知道，在平面直角坐标系中，给定两个不同的
点 P1( x1 ,y1）和 P2(x2 ,y2 )，通过这两点的直线 P1P2 是 确定的.这样一来，这条直线的倾斜角是确定的，如果倾 斜角不是90°的话，它的斜率也是确定的.
试着研究 P1,P2的坐标与直线 P1P2的斜率以及倾斜 角之间的关系.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
不难看出，当 x1=x2时，直线 P1P2 垂直于 x 轴， 此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，如图6-12(1）所 示．
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的直观想象、数据分析、数学建模的 核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
直线的倾斜角与斜率优质课PPT课件

直线的倾斜角与斜率优质课PPT课件

17世纪，法国数学家笛卡尔，有一天躺在床上观察虫子在天花板上爬行位 置，激发了灵感，产生了坐标的概念，创立了解析几何。
简单来说，解析几何是用代数方程研究几何问题的一门科学。
数形结合
第1页/共15页
教学目标展示：
• 1、理解倾斜角，斜率的概念 • 2、熟练掌握斜率的计算公式
第2页/共15页
问题展示：
5 已知直线 l经过三点 p1(3,5), p2 (x,7), p3 (1, y),若直线 l
、
的斜率为 k 2,求.x, y.的值.
第12页/共15页
1.直线的倾斜角的定义 2.直线的斜率的定义 3.两点间斜率公式
第13页/共15页
P.89习题3.1 A组 1，2， 3，4，5
第14页/共15页
• 1、如何确定一条直线？过一个点有多少条直线？这些直线的区别是什么？ • 2、倾斜角是如何定义的？倾斜角范围是什么？ • 3、斜率和倾斜角之间有什么关系？它有什么特殊要求？通过正切函数图象回答：
斜率的范围是什么？斜率值何时为正，何时为负，何时为0，何时不存在？是否 倾斜角越大，斜率越大？
第3页/共15页
感谢您的观看！
第15页/共15页
k 0
k 0
第8页/共15页
斜率单调递增 斜率单调递增
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②直线的斜率的范围是(,)
（）
√
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有
斜率.
（ ）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
()
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π
[0o ,180o ) 第6页/共15页
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)

2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)


④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
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（其中x1≠x2）
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x2 x1 x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
当直线与坐标轴平行或重合时,上述公 式还适用吗？
P1 (x1, y1 ) y o
P2 (x2 , y2 )
求直线P1P2的斜率?
y
如图，α为锐角
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P2P1Q,
P1(x1, y1)
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
如图α为钝角，
180 ,
y tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（1）＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k ＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？
探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），
l
x
k y2 y1 0 x2 x1
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：斜率不存在， 因为分母为0。
3.斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
公式的特点:
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
因为入射角等于反射角
y
K MP K PN
23 2x 8x
解得 x 2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
1．直线的倾斜角 2．直线的斜率：
定义 范围
k＝tan （≠90）
k
y2 y1 x2 x1
o
0
O
X
O
X
（3）
（4）
例1：已知点 A（3，2），B（-4，1），C（0，1），
(1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角
(2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点， 求 l的斜率k的取值范围
y
解：（1）k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
B
A
kBC
1 1 0 (4)
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+)U(-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
y
直线向上的方向
A
B
1
O 1x
与 x 轴正方向 最小正角
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正向所成的最小正角 叫做这
条直线的倾斜角．
y A
规定：当直线和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°
B
1
倾斜角的范围：0≤<180
O 1x
Y
.p
Y
00 900
.p 900 1800
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
O
X
O
X
（1）
（2）
. Y p 90 o
O
X
. Y p 0o
O
X
（3）
（4）
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升 高 量
前进量
坡度
铅直高度 水平长度
结论：坡度越大，楼梯越陡．
直线的斜率定义 倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正
切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表示，即
练习一
k＝tan ．
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．