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3.4.2简单的线性规划一、教学目标：1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2.能根据条件建立线性目标函数；3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.二、教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.三、教学过程：（一）复习练习：1．画出下列不等式表示的平面区域：（1）()(233)0x y x y -+-<； （2）|341|5x y +-<．（二）新课讲解：1．引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值.问题：能否用不等式的知识来解决以上问题？（否）那么，能不能用二元一次不等式表示的平面区域来求解呢？怎样求解？由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。
由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。
由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大，当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．2．有关概念在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。
2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。
又由于2z x y =+是,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
北师大版高中必修54.3简单线性规划的应用课程设计1. 课程目的本课程旨在通过学习简单线性规划的应用，让学生掌握线性规划的基本概念和解题方法，了解线性规划在现实生活中的应用，培养学生的逻辑思维和对问题的分析能力。
2. 教学内容2.1 线性规划的基本概念•定义线性规划问题•表示线性规划问题的标准形式及其意义•线性规划问题的约束条件和目标函数的概念和意义2.2 简单线性规划问题的求解•图像法求解线性规划问题•单纯性法求解线性规划问题2.3 线性规划在现实生活中的应用•运输问题的线性规划模型•生产计划问题的线性规划模型•投资问题的线性规划模型3. 教学方法通过讲解概念原理和实例分析相结合的方式，引导学生从线性规划的基本概念出发，逐渐深入理解线性规划的应用，并通过练习题帮助学生掌握解题方法。
4. 教学流程4.1 导入环节（5分钟）•导入课程主题，简单介绍线性规划的基本概念和目标4.2 理论部分（60分钟）•讲解线性规划问题的定义和标准形式•介绍线性规划问题的约束条件和目标函数的概念和意义•介绍图像法和单纯性法两种解法4.3 实践部分（80分钟）•通过练习题讲解和指导，帮助学生掌握线性规划问题的解法4.4 结束环节（5分钟）•简要回顾本节课内容•引导学生思考线性规划在现实生活中的应用5. 课程效果评估通过课堂练习、作业和考试等途径对学生进行综合评估。
课堂练习和作业主要测试学生对概念和解题方法的掌握情况；考试主要测试学生对实际应用问题的解决能力。
6. 参考教材•《高中数学必修3》（人教版）•《线性规划及其应用》（高等教育出版社）7. 教学反思本课程将理论知识和实践应用有机地结合起来，能够很好地激发学生学习的积极性和兴趣。
在实践部分的教学过程中，我发现一些学生对一些概念和解法还存在疑惑，需要在这方面再加强针对性的指导和练习。
同时，考试题目的难度要适当，避免给学生造成压力和挫败感。
简单线性规划 教学目标一、知识与技能 1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、.过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感,态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学重点、难点重点: 简单线性规划问题的求解，线性目标函数的几何意义难点:简单线性规划问题的求解教学过程导入新课师 前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.（生回答）推进新课问题提出 设x , y 满足条件求z=2x+y 的最大值和最小值.师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生 （板演）师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组时，z 的最大值是多少？ 师 把z=2x+y 变形为2y x z =-+,这是斜率为-2，在y 轴上的截距为z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线2y x z =-+，这说明，截距z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线2y x z =-+与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距z 最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线2y x z =-+与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距z 最大.［合作探究］师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.设计意图:这个问题是前两个问题的综合,这样设计,过渡自然,层层递进,学生分组合作探究,讨论做法,重点体现数与形的结合。
3.4.3简单的线性规划的应用本节教材分析教材设计了两个实际问题，代表了线性规划研究的两大类问题：一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力、物力安排任务；另一类是在一定量的人力、物力条件下，如何安排和使用，以获得最大效益.这两类问题的两个方面，即寻求整个问题的某种指标的最优解.三维目标1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；教学难点:把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
教学建议：教学中应注意：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键.可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数.另外若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，则应作适当调整，其方法应以与线性目标函数的直线的的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法.教学上课适当采用多媒体和投影仪等辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率.新课导入设计导入一[直接导入]上节课我们探究了用线性规划解决求函数最值问题，这节课我们进一步探究有关线性规划的有关问题，看看用线性规划能解决哪些实际问题.教师出示多媒体课件，提出问题，由此引入新课.导入二[复习导入]生产实际中有许多问题都可归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题：一是一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力、物力安排任务；另一类是在一定量的人力、物力条件下，如何安排和使用，以获得最大效益.。
《线性规划三种常见题型》教学设计一、内容与内容解析本节课是高三复习课，主要内容是线性规划的相关概念和三种简单的线性规划问题的常规解法。
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成。
本课内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.本课教学重点：三种常见线性规划问题的解法二、目标和目标解析（一）教学目标1. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2. 会画可行域2. 理解目标函数的几何意义3. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.4. 培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.（二）教学目标解析1. 熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．2. 使学生理解目标函数的几何表征．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为画、移、求、答.三、教学问题诊断分析本课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：（1）目标函数的几何意义的正确理解（2）可行域的画法（3）数形结合思想的深入理解.为此教学中教师要借助于讨论、动手画图等形式进行深入探究.教师的引导是至关重要的，要做到既能给学生启示又能发展学生思维，让学生通过自己的探究获取直接经验.教学难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.教学关键：指导学生紧紧抓住目标函数的几何意，从而利用化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与可行域的关系四、教法分析新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.五、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数的几何意义形象的展现出来，从而求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．六、教学过程1）截距型：Z=ax+by几何意义：例题1：若x 、y 满足约束条件,则Z=2x-y 的取值范围是小结：2）斜率型：Z=y-b x-a几何意义：例题2：若x 、y 满足约束条件，则Z=y-1x+1的取值范围是小结：3）距离型：Z=(x-a)2+(y-b)2几何意义：例题3：,则Z=(x+1)2+y 2的取值范围是若x 、y 满足约束条件小结：4）。
线性规划中的两个结论及其应用
结论
1、若点P ),(11y x ，Q ),(22y x 在直线l ：Ax ＋By ＋c ＝0的同侧，则（)11c By Ax ++· （0)22>++c By Ax ；若在异侧，则（)11c By Ax ++（.0)22<++c By Ax
2、直线l ：Ax ＋By ＋c ＝0（B>0），当P ),(11y x 在l 的上方时，011>++c By Ax ；在下方时，.011<++c By Ax 同理可知B<0的结论，可用口诀表示为“同号在上，异号在下”。
应用
表示平面区域
例1、画出不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧-><+<242y y x x y 表示的平面区域
解：原不等式组可化为⎪⎩
⎪⎨⎧>+<-+>-)3(02)2(042)1(0 y y x y x
根据口诀“异号在下方”，得不等式(1)表示的平面区域在直线x －y ＝0的下方，不等式(2)表示的平面区域在直线x ＋2y －4＝0的下方。
根据“同号在上方”，得不等式(3)表示的平面区域在直线y ＋2＝0的上方。
故原不等式组所表示的平面区域如图1中三角形的阴影部分（不包括边界）。
求斜率范围
例2、已知有向线段PQ 的起点P （－1，1），终点Q （2，2），过点A （0，－1）的直
线l 与PQ 的延长线相交于点M ，求直线l 的斜率k 的取值范围。
解：如图2，因为l 与有向线段PQ 的延长线相交，所以，P 、Q 应在l 的上方。
设l ：y ＋1＝kx （斜率显然存在且k>0），即kx －y
－1＝0.由结论（2）知，由题意，应满足
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=><--<---310122011PQ k k k k ， 所以，.2331<<k 求取值范围
例3、设βα,是实系数方程022
=++b ax x 的两根，且)2,1(),1,0(∈∈βα，则 1
2--a b 的取值范围是（ ） A 、)1,41( B 、)1,21( C 、)41,21(- D 、)2
1,21(- 解：依题意得βα+＝－a ，即a ＝－（βα+），且αβ＝2b.因为，)2,1(),1,0(∈∈βα， 所以，.20,1)(3<<-<+-<-αββα 所以，.10,13<<-<<-b a 令
12--a b ＝k ，则
k （a －1）－不＋2＝0. 记f （a ，b ）＝k （a －1）－b ＋2，A （1，
2），B （－1，0），C （－3，1），D （a ，b ），则f （a ，b ）＝0
表示过定点A （1，2）的直线，由a ，b 的变化范围知点B 、C 位于
直线
f （a ，b ）＝0异侧，如图3.
所以，f （－1，0）f （－3，1）<0，即（－2k ＋2）（－4k ＋1）<0
所以，
.14
1<<k 故选A.。
