2018秋新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.4.1.2 含解析

3.4．2 换底公式1. 能推导出对数的换底公式．(重点)2. 会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 换底公式阅读教材P 83～P 86有关内容，完成下列问题．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( )(2)log 52＝log －3 2log －3 5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 2. (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 【解析】 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.【答案】 D[小组合作型]1681(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.【精彩点拨】 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．【尝试解答】 (1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.1. 换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．2. 换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m＝m nlog a b .[再练一题]1. 化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) 【解】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎪⎫lg32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝56log 23·32log 32＝54.1836【精彩点拨】 运用换底公式，统一化为以18为底的对数． 【尝试解答】法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a， 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9) ＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18 18×2＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a.法二：∵18b＝5， ∴lo g 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18 5×9log 18 4×9＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.法三：∵log 189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 9×5 lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： 1 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； 2 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； 3 注意一些派生公式的使用.[再练一题]2. 若本例条件不变，求log 92545(用a ，b 表示)．【解】 由18b＝5，得log 185＝b ，∴log 92545＝log 1845log 18925＝log 185＋log 189log 189－log 1825＝b ＋aa －2b.[探究共研型]探究 1 设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板以后的强度值为y .试写出y 关于x 的函数关系式．【提示】 依题意得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ，其中x ≥1，x ∈N .探究 2 探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)【提示】 依题意得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x≤a ×12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ≤12⇒x (2lg 3－1)≤－lg 2⇒x ≥0.301 01－2×0.477 1≈6.572，∴x min ＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下．某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题． (1)写出该城市x 年后的人口总数y (万人)与年数x (年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2)【精彩点拨】 先利用指数函数知识列出y 与x 的函数关系式，再利用对数求值． 【尝试解答】 (1)由题意y ＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x ∈N ＋)． (2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2， ∴x＝log 1.0121.2＝lg 1.2lg 1.012≈0.079 20.005 2≈15，故大约15年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤[再练一题]3. 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e－λ＝0.90，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90)t，两边取常用对数，得lg 12＝ t2lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.【答案】 131. 若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b aB.a bC ．a bD ．b a【解析】 log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .【答案】 B2. log 2125·log 3 18·log 5 19＝________.。

第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=-的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:要使f(x)=-有意义,需2x-1≥0,故x∈[0,+∞).答案:B2若a>1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:y=a x+b(a>1,b<-1)的图像如图.故选B.答案:B3设集合M=∈,N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N等于()A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1)答案:C4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+e x解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=,y=2x+为偶函数,y=x+为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D.答案:D5函数y=log2(1-x)的图像是()解析:∵1-x>0,∴x<1.这样可排除选项A,D.∵y=log2(1-x)在定义域上是减函数,∴B选项正确.答案:B6的值为()A. B. C.2 D.3解析:.答案:A7设函数f(x)=--则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12解析:∵f(-2)=1+log24=3,f(log212)=-=6,∴f(-2)+f(log212)=9.答案:C8已知函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1)-f(x2)=1,则f()-f()等于()A.2B.1C. D.log a2解析:f()-f()=log a-log a=2log a x1-2log a x2=2[f(x1)-f(x2)]=2.答案:A9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a答案:B10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()A.f(x)=3xB.f(x)=log2xC.f(x)=xα(α≠1)D.f(x)=kx(k≠0)解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.答案:C11函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为() A. B. C.2 D.4解析:函数f(x)=a x+log a(x+1),令y1=a x,y2=log a(x+1),显然在[0,1]上,y1=a x与y2=log a(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+log a2+1+0=a,解得a=.答案:B12设偶函数f(x)=log a|x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系为()A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>f(a+1)C.f(b-2)<f(a+1)D.不能确定解析:∵函数f(x)是偶函数,∴b=0,此时f(x)=log a|x|.当a>1时,函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上是增加的,∴f(a+1)>f(2)=f(b-2);当0<a<1时,函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上是减少的,∴f(a+1)>f(2)=f(b-2).综上可知,f(b-2)<f(a+1).答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)13lg+2lg 2--=.解析:根据对数的运算法则知,lg+2lg 2--=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1.答案:-114若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a=.解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+)=ln,f(1)=ln(1+),因此ln(+1)-ln a=ln(+1),于是ln a=0,∴a=1.答案:115若a=log43,则2a+2-a=.解析:由a=log43,知2a+2-a=-.答案:16设函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1x2…x2 018)=8,则f()+f()+…+f()的值等于.答案:16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)化简求值:(1)2()6+(-4-×80.25+(-2 016)0;(2)-.解(1)原式=2()6+(-4×+1=2×22×33+2-7-2+1=210.(2)∵lg 5·lg 8 000+(lg)2=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3,lg 600-lg 0.36=(lg 6+2)-lg=lg 6+2-lg=3,∴原式==1.18(12分)已知函数f(x)=--a.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)为奇函数,求a的值.解(1)∵4x-1≠0,∴4x≠1.∴x≠0.∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴---a=--+a.∴2a=----=-1.∴a=-.19(12分)(1)已知x+x-1=3(x>0),求-的值; (2)已知log4(3x-1)=log4(x-1)+log4(3+x),求实数x的值.解(1)∵(-)2=x+x-1+2=5,∴-.∴-=(-)(x+x-1-1)=(3-1)=2.(2)∵log4(3x-1)=log4(x-1)+log4(3+x),∴log4(3x-1)=log4[(x-1)(3+x)].∴3x-1=(x-1)(3+x),且x>1.∴x=2.-20(12分)已知函数f(x)=(1)画出函数f(x)的图像,并根据图像写出该函数的递减区间;(2)求不等式f(x)>的解集.解(1)作函数f(x)的图像如下,函数的递减区间为(-∞,0],[1,+∞).(2)令f(x)=,解得x=±或x=3,结合图像可知,f(x)>的解集为-或.21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f(x)(万元)与投资额x(万元)的函数关系为f(x)=k1x(k1≠0,x≥0),投资股票等风险型产品的收益g(x)(万元)与投资额x(万元)的函数关系为g(x)=k2(k2≠0,x≥0),则f(1)=0.125=k1,g(1)=0.5=k2,则k1=0.125=,k2=0.5=,故f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资债券类产品x万元,则投资股票类产品(20-x)万元,依题意得,获得的总收益y=f(x)+g(20-x)=-(0≤x≤20).令t=-(0≤t≤2),则y=-t=-(t-2)2+3,当t=2时,y max=3,故当x=16万元时,y max=3万元.所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.22(12分)已知函数f(x)=-(a>1).(1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数的值域;(3)证明:f(x)是R上的增函数.(1)解函数的定义域为R,-f(-x)+f(x)=---=--=0,∴函数f(x)为奇函数.(2)解∵f(x)=-=1-(a>1),设t=a x,则t>0,y=1-的值域为(-1,1),∴该函数的值域为(-1,1).(3)证明任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=--=-.∵a>1,x1,x2∈R,且x1<x2,∴<0,+1>0,+1>0.∴-<0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).∴f(x)是R上的增函数.。

一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C ．21y x =-与1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（ ）. A ． B ．C ．D ．3．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（ ）A ．21a b a++B ．21a b a+C ．21a b aD ．21a b a-4．形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（ ）位数(参考数据：lg2≈0.3010). A ．8B ．9C ．10D ．115．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)11()t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（ ）(参考数据： 1.13e ≈) A ．38B ．40C ．45D ．476．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,67．已知函数3()22x f x =+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．212B ．214C ．7D ．1528．若13log 2a =，131()2b =，2log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<9．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ） A ．134217728B ．268435356C ．536870912D ．51376580210．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（ ）A ．34a >B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >12．设()lg (21)f xx a =-+是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0, 1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③若1log 12a >，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<. 14．已知0a >，函数()y f x =，其中21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()y f x =在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，则a 的取值范围为_______．15．定义{},,max ,,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，设{}()max ,log xa f x a a x=--(),1x R a +∈>.则不等式()2f x ≥的解集是_____________.16．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________. 17．方程()()22log 972log 31xx+=++的解为______. 18．有以下结论：①将函数xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象； ②函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.19．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.20．如果()231log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠.（1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.22．计算11213321(4()40.1()ab a b ----⋅（其中0a >，0b >）23．已知函数()12,012,0m x x x f x x n x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩是奇函数.（1）求实数m ，n 的值；（2）若对任意实数x ，都有()()420xxf f λ+≥成立.求实数λ的取值范围.24．设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠. （1）解不等式(26)(5)f a f a +； （2）已知对任意的实数()23,14m f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭恒成立，是否存在实数k ，使得对任意的[1,0]x ∈-，不等式()()142240x x xf f k ++--⋅>恒成立，若存在，求出k 的范围；若不存在，请说明理由.25．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________. 26．已知函数11()ln 12f x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. （1）先求1(2)2f f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再求[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值； （2）求()f x 的定义域，并证明()f x 在定义域上恒正.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项.【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数； C．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．A解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤， 由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．C解析：C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】根据对数的换底公式得，5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.4．C解析：C 【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数． 【详解】 根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10． 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=.5．B解析：B 【分析】 根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】 解：因为()0.1f t =，0.22(50)11()t f t e --=+，所以0.22(50)()0.111t f t e--==+，即0.22(50)011t e --=+，所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈，所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈，进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.6．D解析：D【分析】转化条件为函数()f x 是周期为2的周期函数，且函数()g x 、()f x 的图象均关于1x =-对称，由函数的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解. 【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x=+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得， 所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为1x =-，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于1x =-对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在1x =-右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点， 则由函数图象的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.7．B解析：B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22xf x =+，所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=，再配对求和即解决问题. 8．C解析：C 【分析】由题容易看出，0a <， 01b <<，2log 31c =>，便得出,,a b c 的大小关系. 【详解】1133log 2log 10a =<=，310110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 3log 21c =>=，因此a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值0-1,1，来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.9．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.10．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<. 因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】 先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，原不等式等价于3log 14a <，分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <， 由1log a a =，知3log log 4a a a <,当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<； 当1a >时，log ay x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．12．A解析：A 【解析】 试题分析：由()lg (21)fxx a =-+为奇函数，则()()f xf x -=-，可得1a =-，即()lg11f xxx =+-，又()0f x <，即lg110xx+-<，可变为0111x x <+-<，解得10x -<<．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④ 【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由它的单调性判断．【详解】①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；③1log 1log 2a a a ，∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，∴112a <<．③正确； ④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--，又1()ln 2ln 2xx g x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数， ∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确． 故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)；（2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)，解题时注意整体思想的应用．14．【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上 解析：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】由函数单调性可得()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值()f t ，最小值(1)f t +，则可得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的性质即可求出. 【详解】因为()f x 在区间[1]t t ，+内单调递减， 所以函数()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +， 则2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 得1121a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭，整理得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立． 令2()(1)1h t at a t =++-，则()h t 的图象是开口向上，对称轴为11022t a=--<的抛物线，所以()h t 在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，2(1)10at a t ++-≥等价于102h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 即211(1)1022a a ⎛⎫⨯++⨯-≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥， 所以a 的取值范围为23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 故答案为：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，根据二次函数性质求解. 15．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力 解析：21(0,][log (2),)a a a++∞ 【分析】利用分段函数列出不等式求解即可.【详解】解：()log log x xa a a a x a a x ---=-+， 1a >，()log x a g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数， 又1(1)log 10a g a a =-+=，当()0,1x ∈时，log 0x a a a x -+<， 当()1,x ∈+∞时，log 0xa a a x -+>， ,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩不等式()2f x ≥，21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩， 解得log (2)a x a ≥+或210x a <≤， 故答案为：21(0,][log (2),)a a a++∞. 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力. 16．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈ 【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果.()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >， 所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈， 故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】 本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．或【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程求得的值进一步求得值得答案【详解】由得即化为解得：或或故答案为：或【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解将对数方程转化为指数方程是解决本题的关 解析：0x =或1x =.【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于3x 的一元二次方程，求得3x 的值，进一步求得x 值得答案.【详解】由()()22log 972log 31x x +=++，得 ()()22log 97log 431x x +=+， 即()97431x x +=+，化为()234330x x -⋅+=， 解得：31x =或33x =，0x ∴=或1x =.故答案为：0x =或1x =.【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解，将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是基础题.18．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：②③④【分析】①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小.①根据平移规律可知x y e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确.故答案为：②③④【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 19．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期 解析：31e e --【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可.【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-，故()f x 关于1x =对称；又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-，故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，故函数()f x 是周期为4的函数.则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1x f x e =-，故()()201911f f e =-=-， 则()()()()()320191131e f f f e f e f e e -=-=--=--=-.故答案为：31e e --.【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期. 20．【分析】可结合对数化简式将化简为再解对数不等式即可【详解】由由得即当时故；当时无解综上所述故答案为：【点睛】本题考查对数化简公式的应用分类讨论求解对数型不等式属于中档题 解析：81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】可结合对数化简式将()f x 化简为()1log 2log 3log 4x x x f x =-+-，再解对数不等式即可【详解】由()2323231log 2log 9log 641log 2log 3log 4x x x x x x f x =-+-=-+- 31log 2log 3log 41log 8x x x x =-+-=+，由()0f x <得81log 03x -<， 即8log log 3x x x >， 当1x >时，83x <，故81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当()0,1x ∈时，83x >，无解 综上所述，81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 故答案为：81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数化简公式的应用，分类讨论求解对数型不等式，属于中档题 三、解答题21．（1）当0,0a b >>时，函数()f x 在R 上是增函数,当0,0a b <<时，函数()f x 在R 上是减函数；（2）当0,0a b <>时，则 1.5log ()2a x b>-；当0,0a b ><时，则1.5log ()2a x b<-. 【详解】 （1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+- ∵121222,0(22)0x x x x a a ⇒-<，121233,0(33)0x x x xb b ⇒-<，∴12())0(f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数,当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数；（2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅> 当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2a x b >-； 当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2a x b<-. 22．85【分析】将小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，利用指数幂的运算性质化简求值.【详解】1113132211133133221(4)1(4)()=()4410.1()()()10ab ab a b a b --------⋅⋅ 原式131********()()(4)()410ab a b ----= 原式33333002222211848555a b a b a b --=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查指数幂的运算，要熟练掌握基本的运算法则和运算性质，小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，更有利于运算.23．（1）22m n =⎧⎨=⎩；（2）1λ≥-. 【分析】（1）根据()f x 是奇函数，即()()f x f x -=-即可求解实数m ，n 的值；（2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数λ的取值范围.【详解】（1）当0x >时，()()()12f x x n x ⎡⎤-=-++⎢⎥-⎣⎦， 因为()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()()1122f x x n m x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∴-=-++=-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 即()()1220m x n x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭总成立. 2020m n -=⎧∴⎨-=⎩，22m n =⎧∴⎨=⎩， 又当0x <时，同理可得22m n =⎧⎨=⎩， 综上：22m n =⎧∴⎨=⎩. （2）40x >，20x >， 原不等式化为11242222042x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令122x xt =+，则2t ≥， 原不等式进一步化为230t t λλ+--≥在2t ≥上恒成立. 记()23g t t t λλ=+--，[)2,t ∈+∞ ①当22λ-≤时，即4λ≥-时，()()min 210g t g λ==+≥， 1λ∴≥-合理；②当22λ->时，即4<-λ时，()n 2mi 3024g t g λλλ⎛⎫-=---≥ ⎪⎝⎭=，显然不成立. 综上实数λ的取值范围为：1λ≥-.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，奇函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档.24．（1）(0,1)[2,)a ∈⋃+∞（2）实数k 不存在，详见解析【分析】（1）分类讨论，利用对数函数的单调性，将不等式具体化，解不等式即可；（2）判断函数()f x 为增函数，将不等式具体化，再分离参数求最值，即可得出结论.【详解】解：（1）当01a <<时，有2650a a +>，解得02a <≤，即(0,1)∈a ；当1a >时，有0265a a <+，解得2a ，即[2,)a ∈+∞.综上可知，(0,1)[2,)a ∈⋃+∞.（2）由于221331244m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭， 且()2314f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，可知()f x 为增函数. ()()142240x x x f f k ++--⋅>，即()()14224x x x f f k ++>-⋅，则有14224x x x k ++>-⋅在[1,0]-上恒成立， 即1342x x k +<⋅+在[1,0]-上恒成立，令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，设2()32,()g t t t g t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则min 17()24g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即74k <. 又由于[1,0]x ∈-时，240x k -⋅>恒成立，解得2k >，故符合题意的实数k 不存在.【点睛】本题考查对数函数的单调性、恒成立问题的转化分析、指数函数与二次函数的复合函数的最值问题.25．[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围.【详解】222log ()log log x y x y +=+，x y xy ∴+=，0,0x y >>，2()2x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。

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第5讲对数与对数函数一、选择题1。

（2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a〉b>1"是“log2a〉log2b〉0”的( ）A.充分必要条件B.充分不必要条件C。

必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在（0，＋∞)上单调递增，所以当a〉b〉1时，有log2a>log2b〉log21＝0；当log2a>log2b〉0＝log21时，有a〉b〉1.答案A2.(2017·上饶模拟)已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!,c＝log32，则a，b，c 的大小关系是( ）A.a＝b<cB.a＝b>c C。

a〈b〈c D.a〉b>c解析因为a＝log23＋log2错误!＝log23错误!＝错误!log23〉1，b＝log29－log2错误!＝log23 3＝a，c＝log32<log33＝1。

答案B3。

若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( ）解析由题意y＝log a x(a>0，且a≠1）的图像过(3，1）点，可解得a＝3。

3.4.1 对数及其运算
学情分析
对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1（必修）》第三章第四单元第一节，是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的，既是指数有关知识的承接和延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时，本课是第一课时，重点研究对数的概念及其性质,教材以2000年国民经济生产总值增幅为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识，“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔。

常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后，旨在引领学生经历“特殊——一般——特殊”的过程，进一步发展学生的理性思维。

因此，本节内容无论是只是传承，还是数学思想方法的强化渗透，都具有非常重要的奠基作用。

经历了义务教育阶段学习的高一学生，思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期，思维的发散性与聚敛性基本成型，已具有研究函数和从事简单数学活动的能力，加之指数及指数函数等知识铺垫，对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。

第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。

一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（ ）. A ． B ．C ．D ．3．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（ ）A ．21a b a++B ．21a b a+C ．21a b aD ．21a b a-4．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．45．已知()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）. A ．()0,1B ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<7．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 10．若1a b >>，lg lg P a b =⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a bR +=，则（ ） A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<11．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知a b c 、、是不为1的正数，且0lga lgb lgc ++=，则 111111lgb lgclgc lgalgalgbabc+++⨯⨯的值为_____14．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 16．已知函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，则m 的取值范围是__.17．已知0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为11x x y y =⎧⎨=⎩或22x x y y =⎧⎨=⎩，则()1212lg x x y y =________. 18．已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_______．19．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________. 20．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____.三、解答题21．如图，过函数()log c f x x =(1)c >的图像上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (,0)a ，(,0)N b (1)b a >>，线段BN 与函数()log m g x x =，(1)m c >>的图像交于点C ，且AC 与x 轴平行.（1）当2,4,3a b c ===时，求实数m 的值；（2）当2b a =时，求2m cb a-的最小值； （3）已知()x h x a =，()xx b ϕ=，若1x ，2x 为区间(),a b 内任意两个变量，且12x x <，求证：[][]21()()h f x f x ϕ<.22．已知函数()2log f x x =，()241g x ax x =-+.（1）若函数()()y f g x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）函数22()()()h x f x f x =-，若对于任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都存在[]1,1t ∈-使得不等式()22t h x k >⋅-成立，求实数k 的取值范围. 23．已知函数()11x af x e =++为奇函数. （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数； （2）求不等式()()2230f tf t +-≤的解集.24．已知函数()3lg3xf x x+=-． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．25．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值. 26．设函数()log (1)a f x ax =-，其中01a << (1)证明()f x 是1(,)a-∞上的增函数； (2)解不等式()1f x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c=， 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+． 故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．A解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤，由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．C解析：C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】根据对数的换底公式得，5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---， 故选：C ．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.4．C解析：C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3xy -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.5．C解析：C 【分析】由51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩解得结果即可得解. 【详解】因为()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，所以51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1195a ≤<.故选：C 【点睛】易错点点睛：容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.6．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.7．A解析：A 【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=，a b c ∴<<. 故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,化简1333(log 5)(log 5)(log 5)f f f =-=，利用中间量比较大小得解. 【详解】∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增1333(log 5)(log 5)(log 5)c f f f ∴==-=，∵1333170()1log log 542<<<<，133317(()(log )(log 5)42)f f f << ∴a b c <<. 故选：C 【分析】本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．10．B解析：B 【分析】利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11(lg lg )lg()lg 222a bP a b ab R +=<+==<=因此，P Q R <<故选：B 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小11．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．A解析：A 【分析】由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数的图象是否相符．方法是排除法． 【详解】由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，上单调递减， 又由函数()21y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()121x a =-在y 轴左侧，排除C ，D.若1a >，则log a y x =在()0+∞，上是增函数， 函数()21y a x x =--图象开口向上，且对称轴()121x a =-在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 故选：A ．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．二、填空题13．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析：11000【分析】根据对数运算公式，可以将0lga lgb lgc ++=转化，得到a ，b ，c 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决． 【详解】由0lga lgb lgc ++=， 可得1bc a =，1ab c=，1ac b =，111111111()()()lgb lgclgc lgalga lgblgb lgalgcabcac bc ab +++∴⨯⨯=．11110101011111010101000bac log log log bac ==⨯⨯=故答案为：11000【点睛】本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．14．【解析】画出函数的图象如图所示：观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛：函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横解析：a b c << 【解析】画出函数3xy =，3log y x =，y x =-，2y =-的图象，如图所示：观察图象可知，函数()3xf x x =+，3()log 2g x x =+，3()logh x x x =+的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图像可知a b c <<. 故答案为a b c <<点睛：函数的零点与方程根的分布问题，解题时常用数形结合思想，对于方程()()0f x g x -=的根，可分别画出()f x 与()g x 的图象，则两个函数图象的交点的横坐标即为方程()()0f x g x -=的根.15．【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下：由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根 解析：21-【分析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根， 此时()21log 12x +=，解得21x =. 21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.16．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因 解析：[5,4]--【分析】根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围.【详解】函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2()23f x x mx =---为增函数,则14m -≥ 即2614(1)log (6)m mf m ≥-⎧⎪⎪-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]-- 【点睛】本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.17．【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为：【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运 解析：6【分析】利用换底公式得出5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，分别消去5log x 和8log y ，可得出二次方程，利用韦达定理可求出12x x 和12y y 的值，进而可计算出()1212lg x x y y 的值. 【详解】由换底公式得5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②， 由①得58log 4log x y =-，代入②并整理得()288log 2log 40y y --=，由韦达定理得8182log log 2y y +=，即()812log 2y y =，则261282y y ==，()51528182log log 8log log 6x x y y ∴+=-+=，6125x x ∴=，因此，()61212lg lg106x x y y ==.故答案为：6. 【点睛】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．18．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增 则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21221a a --⨯+≤，即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于中档题.19．4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：4【点睛】解析：4 【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<，再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<，所以201a a <<<．结合函数图象，易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f aa ==又01a <<，所以12a =， 再结合()()f a f b =，可得2b =，所以2241b a+=+=. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：解题关键在于，作出对数函数2()log x f x =的图象，得到01a b <<<，进而求解，属于中档题20．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析：[)6,+∞【分析】由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围．【详解】 解：正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+，所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++，设x y a +=即2412a a +，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞． 故答案为：[)6,+∞． 【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．三、解答题21．（1）9；（2）1-；（3）证明见解析. 【分析】（1）将2a =，4b =，3c =代入，然后分别得出点A ，C 的坐标，使点A 与点C 的纵坐标相等求解m 的值；（2）用含a ，b 的式子表示出点A ，B ，C 的坐标，再利用AC 与x 轴平行得到m 与a ，b ，c 的关系式，代入2m cb a-中，运用函数知识处理最值即可； （3）当12a x x b <<<，且1c >时可推出12log log log log c c c c a x x b <<<，则有2log log c c x b a a <，1log logcc a x b b <成立，又log log log log c c c c b a a b =即log log log log c c b a c c a b =，则可证明出log log c c b a a b =，则可证明出21log log c c x x a b <，即[][]21()()h f x f x ϕ<成立.【详解】解：（1）由题意得A 3(2,log 2)，B 3(4,log 4) ，C (4,log 4)m ， 因为AC 与x 轴平行，所以3log 4log 2m = 所以9m =.（2）由题意得A (,log )c a a ，B (,log )c b b ，C (,log )m b b 因为AC 与x 轴平行，所以log log m c b a =， 因为2b a =，所以2m c =.所以22222(1)1m c c c cb a a a a-=-=--,所以1c a =时，达到最小值1-，（3）证明：因为12a x x b <<<，且1c >， 所以12log log log log c c c c a x x b <<<， 又因为1a >，1b >， 所以2log log c c x b a a <，1log logcc a x b b <，又因为log log log log c c c c b a a b =， 所以log log log log c c ba c c ab =，所以log logc c b a a b =，所以21log log c c x x a b <，即21[()][()]h f x f x ϕ<. 22．（1）[]0,4a ∈；（2）2k <. 【分析】（1）由()2log f x x =，()()y f g x =的值域为R ，知()g x 值域应为小于等于0的数直至正无穷，分类讨论参数a 的正负，再结合二次函数值域与判别式的关系即可求解； （2）对恒成立问题与存在性问题转化得()22tmin k h x ⋅<+在[]1,1t ∈-有解，求得()min h x ，再结合函数单调性即可求解【详解】（1）0a <时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意； 当0a =时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意； 当0a >时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0， 故只需0≥，解得(]0,4a ∈.综上得[]0,4a ∈；2（）由题意可得2222()222t k h x log x log x ⋅<+=-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 则()221tmin k h x ⋅<+=在[]1,1t ∈-有解，即1<2tk 在[]1,1t ∈-有解， 122t maxk ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，综上，实数k 的取值范围2k <.【点睛】关键点睛：本题考查由对数型复合函数的值域求解参数取值范围，由恒成立与存在性问题建立的不等式求解参数取值范围，解题关在在于： （1）()()()log a f x g x =值域为R ，()g x 值域范围的判断； （2）全称命题与存在性命题逻辑关系的理解与正确转化. 23．（1）2a =-；证明见解析；（2）[]3,1-. 【分析】（1）根据()f x 为奇函数求得a 的值.利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上是增函数； （2）利用()f x 的奇偶性和单调性化简不等式()()222320f t t f t-+-≤，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】（1）由已知()()f x f x -=-， ∴1111x x a a e e -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭， ∴22011x x x ae a a e e ++=+=++， 解得2a =-. ∴2()11xf x e -=++. 证明：12,x x R ∀∈，且12x x <，则()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++，∵12x x <，∴12x x e e <，∴210x x e e ->，又110x e +>，210x e +>， ∴()()()()()2112122011x x x x e e f x f x ee ---=<++，∴()()12f x f x <， 故函数()f x 在R 上是增函数. （2）∵()2(23)0f t f t +-≤，∴()2(23)f tf t ≤--，而()f x 为奇函数， ∴()2(32)f tf t ≤-，∵()f x 为R 上单调递增函数， ∴223t t ≤-+， ∴2230t t +-≤， ∴31t -≤≤，∴原不等式的解集为[]3,1-. 【点睛】关键点点睛：根据奇函数的定义求出a ，利用定义证明函数为增函数，可将()2(23)0f t f t +-≤转化，脱去“f ”，建立不等式求解，考查了转化思想，属于中档题.24．（1）()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明见解析. 【分析】（1）利用对数式的真数大于零求解出不等式的解集即为定义域；（2）先判断定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，分析()(),f x f x -之间的关系，由此判断出()f x 的奇偶性. 【详解】 （1）因为303xx+>-，所以()()330x x -+<， 所以{}33x x -<<，所以()f x 的定义域为()3,3-； （2）()f x 为奇函数，证明：因为()f x 的定义域为()3,3-关于原点对称，且()()1333lg lg lg 333x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭， 所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数.【点睛】思路点睛：判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下：（1）先分析()f x 的定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则()f x 为非奇非偶函数，若()f x 的定义域关于原点对称，则转至（2）；（2）若()()f x f x =-，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数. 25．（1）2a =；(1,3)-；（2）2. 【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值． 【详解】 解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠，由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）26．（1）见解析；（2）11{|}a x x a a-<< 【分析】(1)根据函数单调性的定义及对数函数的性质，即可证出结果；(2)根据函数()f x 的单调性，可将不等式()1f x >转化为一元一次不等式，即可得到原不等式的解集． 【详解】(1)由10ax ->，01a <<得1x a<，所以()f x 的定义域为1(,)a -∞，设1x ，2x 为区间1(,)a -∞的任意两个值，且211x x a<<，则 211ax ax ->->-，所以21110ax ax ->->，又01a <<，所以21log (1)log (1)a a ax ax -<-，即21()()f x f x <， 所以()f x 是1(,)a-∞上的增函数．(2)由()1f x >得log (1)1log a a ax a ->=，又01a <<， 所以01ax a <-<，所以11ax a -<-<-，所以11a x a a-<<， 所以不等式()1f x >的解集为11{|}a x x a a-<<． 【点睛】本题主要考查对数型复合函数单调性的证明及对数不等式的解法，属于中档题．。

§3指数函数第1课时指数函数的图像和性质课时过关·能力提升1若函数y=(2a2-5a+4)a x是指数函数,则a的值为()A.1或B.1C. D.以上均不正确解析:由2a2-5a+4=1,解得a=(a=1舍去).答案:C2若函数y=a x-(b+1)(a>0,a≠1)的图像在第一、三、四象限,则有()A.a>1且b<0B.a>1且b>0C.0<a<1且b>0D.0<a<1且b<0答案:B3已知集合M={-1,1},N=∈,则M∩N=()A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}解析:N={x|2-1<2x+1<22,x∈Z},又y=2x在R上为增函数,所以N={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0},所以M∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}.故选B.答案:B4函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有()A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)解析:由同底数指数幂的运算性质可知选C.答案:C5设<1,那么()A.a a<b b<b aB.a a<b b<aC.a b<b a<a aD.a b<a a<b a解析:∵函数f(x)=为减函数,且<1,∴0<a<b<1.∴函数g(x)=a x为减函数,即a b<a a,函数h(x)=x a为增函数,即a a<b a,故a b<a a<b a,故选D.答案:D6三个数a=(-0.3)0,b=0.32,c=20.3的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a解析:因为a=(-0.3)0=1,而c=20.3>20=1,b=0.32<0.30=1,所以c>a>b.答案:C7已知指数函数y=f(x)的图像过点(1,3),则f(f(1))=.答案:278已知函数f(x)=-则f(-3)的值为.解析:f(-3)=f(-1)=f(1)=f(3)=2-3=.答案:9当x∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域为.解析:∵x∈[-2,0]时,y=3x+1-2是增加的,∴3-2+1-2≤y≤30+1-2,即-≤y≤1.答案:-10若函数f(x)=a x-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.分析:解答本题的关键是根据函数f(x)的定义域[0,2],确定f(x)的最大值与最小值,要注意底数a的取值(a>1还是0<a<1)对f(x)最值的影响,然后根据f(x)的最值列出关于a的方程求解.解当a>1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是增加的,由题意可知,--解得a=(a=-舍去).当0<a<1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是减少的,由题意可知,--此时a无解.综上所述,a=.★11已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,试判断f(b x)与f(c x)的大小关系.解由f(1+x)=f(1-x),可得函数f(x)的对称轴是直线x=1,所以b=2.所以函数f(x)在(-∞,1]上是减少的,在[1,+∞)上是增加的.又f(0)=3,所以c=3.若x≥0,则3x≥2x≥1,所以f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,所以f(3x)>f(2x).综上所述,f(3x)≥f(2x),即f(c x)≥f(b x).★12已知函数f(x)=-(a>0,a≠1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求a的取值范围,使xf(x)>0在定义域上恒成立.解(1)由a x-1≠0,解得x≠0.∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.(2)f(-x)=---=--=--=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)∵f(x)为奇函数,∴xf(x)为偶函数.∴xf(x)>0在定义域上恒成立等价于f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即->0恒成立,即->0.∴a x-1>0即a x>1在(0,+∞)上恒成立, ∴a>1.故实数a的取值范围是(1,+∞).。

一、选择题1．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3]2．函数()f x =的定义域是（ ） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞3．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）.A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)4．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.35．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12-B ．-1C ．-5D ．126．已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，4log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<7．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤D ．222a c +<8．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．[]1,2D ．(]0,2 9．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数()()213log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都满足不等式()()21210f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭12．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()1122,121,1x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则关于x 的不等式()()10f x f x -+≤的解集为___________________．14．函数21x x +)是_________（奇、偶）函数. 15．72log 2338log272lg 5lg 47-+++=______.16．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______．17．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+； ③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 当()2xf x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）18．有以下结论：①将函数xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象； ②函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.19．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.20．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.三、解答题21．已知函数1()log 1a mxf x x -=-（0a >且1a ≠）是奇函数． （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的方程2()6(1)50f x kx x a -+--=对(1,)x ∈+∞恒有解，求k 的取值范围．22．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，()232f x ax ax =-+，（a R ∈）.（1）求()f x 的函数解析式：（2）当1a =时，求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围. 23．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.24．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数． （3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．25．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________.26．已知函数1()log a f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 其中实数0a >且1a ≠. （1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 在区间[1,3]上单调递增，求a 的取值范围；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈，所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.2．A解析：A 【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域. 【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x <<所以函数的定义域是()0,2. 故选：A . 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.3．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-， 故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.4．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=， 所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.5．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f ⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.6．D解析：D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出c a >，即可得出结果.【详解】 因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，所以b c >，因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，44log 7log 41c ， 所以c a >， 综上所述，a c b <<， 故选：D. 【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.7．D解析：D 【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x =-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．8．A解析：A 【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.9．C解析：C【分析】偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,化简1333(log 5)(log 5)(log 5)f f f =-=，利用中间量比较大小得解. 【详解】∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增1333(log 5)(log 5)(log 5)c f f f ∴==-=，∵1333170()1log log 542<<<<，133317(()(log )(log 5)42)f f f << ∴a b c <<. 故选：C 【分析】本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础题.10．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<. 因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】由题意可知，函数()()213log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，利用复合函数的单调性可知，内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，且0>u 对任意的1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭恒成立，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】 因为()()21210f x f x x x ->-，所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，令2u x ax a =--，而13log y u =是减函数，所以2u x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立，所以212211022aa a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪----≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得112a -≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】对自变量分情况讨论即然后对各种情况分别解不等式最后取并集；【详解】当时所以由此时不等式恒成立；当时则由则此时不等式恒成立；当时符合题意；当时解得∴综上可得不等式的解集为故答案为：【点睛】关键解析：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】对自变量分情况讨论，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，然后对各种情况分别解不等式，最后取并集； 【详解】当1x ≤时，10x -≤，121x -≤，121x -≥，所以()11220x x f x --=-≤由2122x -≤，222x -≥，()221220x xf x ---=-<， 此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当12x <≤时，()212110f x x x x =--=--=-<，011x <-≤，则()22122x xf x ---=-，由221x -≤，221x -≥，则()10f x -≤此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当23x <<时，()()12131f x f x x x +-=--+--213110x x =--+--=-<， 符合题意；当3x ≥时，()()12131270f x f x x x x +-=--+--=-≤，解得72x ≤， ∴732x ≤<． 综上可得，不等式()()10f x f x +-<的解集为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】关键点睛：本题考查分别函数解不等式的问题，涉及分类讨论思想的应用，解答本题的关键是对自变量x 的范围进行分类，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，从而得出()f x 和()1f x -的表达式，从而求解不等式，属于中档题.14．奇【解析】又所以函数f(x)是奇函数点睛:判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等解析：奇 【解析】210x x x x x x R +->=-≥∴∈又()()))lglglg10f x f x x x -+=+==所以函数f(x) 是奇函数.点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．15．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++34222=-+++32= 故答案为：32【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.16．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.17．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对解析：①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】对于①：因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；对于③：因为()2xf x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③错误；对于④：因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭，且121212*********22222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故④正确， 所以正确的有：①④，故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.18．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：②③④ 【分析】①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小. 【详解】①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 19．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x =+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021222422242222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.20．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应 解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x -=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.三、解答题21．（1）1m =-；（2）(0,7)． 【分析】（1）由函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，可得()2210m x -=，从而求出m 的值.(2)由（1）即将原问题化为2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解，即216k x x=+，令1t x =，则26k t t =+，(0,1)t ∈有解，从而得出答案. 【详解】 解：（1）因为函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即11log log 11a a mx mxx x +-=---- 化简得()2210m x-=，所以1m =±，当1m =时1101mx x +=-<--不成立，当1m =-时1111mx x x x +-=--+，经验证成立 所以1m =-．（2）由（1）知函数1()log 1ax f x x +=-，则方程可化为： 216(1)501x kx x x +-+--=-，即2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解 所以分离参数得216k x x=+，令1t x =，则26k t t =+，(0,1)t ∈有解 而2067t t <+<，故k 的取值范围为(0,7)． 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数为奇函数求参数和不等式有解求参数的范围，解答本题的关键是将问题转化为2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解，分离参数即216k x x=+在(1,)x ∈+∞恒有解，属于中档题.22．（1）()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩；（2）()()()()3,21,00,12,3---.【分析】（1）根据已知和函数的奇偶性可得0x <的解析式从而求得()f x ； （2）当1a =时，分别解每一段小于1的不等式，最后求两段的并集可得答案. 【详解】（1）设0x <，0x ->，()232f x ax ax -=++，又∵()f x 为偶函数，()()f x f x -=，∴()232f x ax ax =++. 综上：()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩. （2）当1a =时，可知：0x >，()2232log 1x x -<+，原不等式等价于22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得()()0,12,3x ∈，同理可知：0x <，()2232log 1x x +<+，原不等式等价于22320322x x x x ⎧++>⎨++<⎩，解得()()1,03,2x ∈---，综上：实数x 的取值范围为()()()()3,21,00,12,3---.【点睛】求分段函数的解析式，要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解，要注意定义域.23．（1）2a =；(1,3)-；（2）2. 【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值． 【详解】 解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠， 由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x < 【分析】（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）原不等式可化为()()422x xf f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出422x x -<，解不等式即可. 【详解】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-， ∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数． 在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112xxf f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422xx-<，即()()12022xx+<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <， 故原不等式的解集为{}|1x x <. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.25．[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】222log ()log log x y x y +=+，x y xy ∴+=，0,0x y >>，2()2x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。