高中数学 第3章 不等式 2 一元二次不等式的解法教学案苏教版必修5

盐城市文峰中学高中数学教学案
第二章 不等式
第2课时 一元二次不等式(1)
教学目标：
1.了解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的联系；
2.会解一元二次不等式.
教学重点：
一元二次不等式的解法
教学难点：
一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的联系 教学过程：
Ⅰ.问题情境
一元二次不等式和相应的二次函数是否有内在的联系? Ⅱ.建构数学
Ⅲ.数学应用
例1：解下列不等式:
(1)0322>-+x x (2)01272
≥-+-x x
(3)0442<+-x x (4)0122>+-x x
练习：(1) 解下列不等式:10)2(222+-≥-x x x x
(2)记A={}02322≤+-x x x , B={}
0452>+-x x x ,求B A ⋂.
例2. 解不等式:04524≤+-x x .
练习：解不等式:03log 5log 2222>--x x .
Ⅳ. 课时小结
Ⅴ. 课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P 71 1,2,3。

第 3 课时：§3.2 一元二次不等式（2）【三维目标】：一、知识与技能1.使学生掌握高次不等式的解法及分式不等式的解法；2.掌握利用图象求解一元二次不等式的方法；二、过程与方法三、情感、态度与价值观掌握数形结合的思想方法【教学重点与难点】：重点：高次不等式的解法及分式不等式的解法；难点：高次不等式的解法及分式不等式的解法；【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题问题：对于高次不等式及分式不等式如何求解二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 解下列不等式：（1）0)3)(2)(1)(19>---+x x x x ； （2）0)1)(2(2>+++x x x ；（3）0)1()2(2<++x x ； （4）0)1()2(2≥++x x ；（5）0)65)(1(22<--+x x x ；小结：高次不等式的求解步骤：①分解因式并化各因式系数为正； ②在数轴上标根（注意空心还是实心）；③穿线（从右上方开始，奇穿偶回）； ④写出解集（注意不等式方向及有无等号）例2 解下列不等式：0322322≤--+-x x x x 说明：解分式不等式的解题思路：向整式转化，注意同解变形．四、巩固深化，反馈矫正1.解下列不等式：（1）0)2)(1)(1(22<----x x x x ； （2）0)1()2()1(22≥--+x x x ； （3）0)2()1(22≤---x x x2.解下列不等式：（1）10171012-+>-++x x x ； （2）123282≥+--x x x ；（3）22)4()2)(22()4()2)(23(--+<---x x x x x x ； （4）0)5()4()3()2()1)(1(65432≤-----+x x x x x x 五、归纳整理，整体认识1．高次不等式的求解方法：2．分式不等式的求解方法：六、承上启下，留下悬念1．解下列不等式：（1）0)4)(1()1(2>--+x x x ；（2）0)3()1()1)(2(32>--++x x x x ； （3）0)3()1()1)(2(32≥--++x x x x ；（4）0)2)(1)(1(22≤----x x x x ； （5）141+≤+x x ；（6）1861414322≥+-+-x x x x （7）2312312-+>-+x x x x ；（8）0)4)(3()2()1(2≤--+-x x x x 七、板书设计（略）八、课后记：。

第3 课时：§一元二次不等式（2）【三维目标】：一、知识与技术使学生掌握高次不等式的解法及分式不等式的解法；掌握利用图象求解一元二次不等式的方法；二、过程与方法三、感情、态度与价值观掌握数形联合的思想方法【教课要点与难点】：要点：高次不等式的解法及分式不等式的解法；难点：高次不等式的解法及分式不等式的解法；【学法与教课器具】：学法：教课器具：多媒体、实物投影仪.【讲课种类】：新讲课【课时安排】：1课时【教课思路】：一、创建情形，揭露课题问题：对于高次不等式及分式不等式怎样求解二、研探新知，怀疑辩论，排难解惑，发展思想例1解以下不等式：（1）9x1)(x1)(x2)(x3)0；（2）（3）(x2)2(x1)0；（4）（5）(x21)(x25x6)0；(x2)(x2x1)0；(x2)2(x1)；小结：高次不等式的求解步骤：①分解因式并化各因式系数为正；②在数轴上标根（注意空心仍是实心）；③穿线（从右上方开始，奇穿偶回）；④写出解集（注意不等式方向及有无等号）例解以下不x3202等式：2xx 22x3说明：解分式不等式的解题思路：向整式转变，注意同解变形．四、稳固深入，反应改正解以下不等式：（1）(x21)(x1)(x22)0；（2）(x1)2(x2)2(x1)0；（3）(x1)2(x2x 2) 02.解以下不等式：（1）x2171（2）82x；；21x1013x2（3）(3x2)(x2)(2x2)(x2)；（4）(x1)(x1)2(x2)30 (x4)2(x4)2(x3)4(x4)5(x5)6五、概括整理，整体认识1．高次不等式的求解方法：2．分式不等式的求解方法：六、承前启后，留下悬念1．解以下不等式：（1）(x1)2(x1)(x4)0；（2）(x2)(x1)2(x1)3(3x)0；（3）(x2)(x1)2(x1)3(3x)0；（4）(x21)(x1)(x2x2)0；（5）x14；3x214x14（6）6x1 x1x28（7）2x12x1；（8）(x1)2(x2)0 x33x2(x3)(x4)七、板书设计（略）八、课后记：学习不是一时半刻的事情，需要平常累积，需要平常的好学苦练。

第 4课时：§ 一元二次不等式（3）【三维目标】：一、知识与技术1.经历从实质情形抽象出一元二次不等式模型的过程，从中领会由实质问题成立数学模型的方法；2.让学生充足领会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进一步提升学习数学的兴趣．3.培育学生经过平时生活中的例子，找到数学知识规率，进而在实质生活问题中数形联合的应用以及计算机在数学中的应用。

二、过程与方法经历从实质情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，从中领会由实质问题成立数学模型的方法；三、感情、态度与价值观1.激发学习数学的热忱，培育勇于探究的精神，培育学生的合作意识和创新精神，同时领会事物之间广泛联系的辩证思想；经过等与不等的对峙一致关系的认识，对学生进行辨证唯心主义教育.2.创建问题情形，激发学生察看、剖析、探究的学习激情、加强学生参加意识及主体作用。

【教课要点与难点】：要点：从实质情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

难点：从实质情境中抽象出一元二次不等式模型；【学法与教课器具】：1.学法：2.教课方法：诱思引探教课法3.教课器具：多媒体、实物投影仪 .【讲课种类】：新讲课【课时安排】： 1 课时【教课思路】：一、创建情形，揭露课题1. 复习:一元二次不等式 ax 2bx c0(a0) 与相应的函数 y ax2bx c( a0)、相应的方程ax2bx c0(a0) 之间有什么关系？2. 解不等式 :(1)x23x 4 ；(2)x22x 3 0；(3) ( x 1)( x2x 30)0 ；(4)132x2．x1 1 x2 3．概括解一元二次不等式的步骤：（ 1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（ 3）依据一元二次方程的根，联合不等号的方向绘图；（4）写出不等式的解集．二、研探新知，怀疑辩论，排难解惑，发展思想例 1 （教材P69例 2）用一根长为100m的绳索能围成一个面积大于600m2的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解：设矩形一边的长为 x(m) ，则另一边的长为 50x( m) ，0x 50 ．由题意，得x(50 x) 600，即x250x 600 0 ．解得20x30 ．因此，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于 600m2的矩形．( x 25)2用 S 表示矩形的面积，则S x(50x)625(0 x50) ．当 x25 时， S 获得最大值，此时50 x25 ．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例 2 （教材P70例 3 ）某小型服饰厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p元／件之间的关系为p 160 2x ，生产 x 件所需成本为C500 30x 元，问：该厂日产量多大时，日赢利许多于1300 元？解：由题意，得 (1600 2x) x (50030 x)1300 ，化简得x265 x 900 0，解之得20x45 ．因此，该厂日产量在 20 件至 45 件时，日赢利许多于1300 元．例 3（教材P70例 4）汽车内行驶中，因为惯性的作用，刹车后还要持续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是剖析事故的一个重要要素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现状况不对，同时刹车，但仍是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超出12m，乙车的刹车距离略超出10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m) 与车速 x(km / h) 之间分别有以下关系：s甲0.1x 0.01 x2 , s乙0.05x 0.005 x2．问：甲、乙两车有无超速现象？剖析：依据汽车的刹车距离能够预计汽车的车速．解：由题意知，关于甲车，有212 ，即 x210 x1200 0 ，解得x 30或x40（不合实质意义，舍去），这表示甲车的车速超出30km/h．但依据题意刹车距离略超出12m，由此预计甲车车速不会超出限速 40km/h．关于乙车，有210 ，即 x210 x 20000 ，解得x 40或x50 （不合实质意义，舍去），这表示乙车的车速超出40km/h，超出规定限速．三、稳固深入，反应改正教材 P71练习四、概括整理，整体认识相关一元二次不等式的实质问题，在于理清各个量之间的关系，成立数学模型；五、承前启后，留下悬念六、板书设计（略）七、课后记：。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(92)必修5_03一元二次不等式的解法班级 姓名目标要求1、通过函数图象了解一元二次不等式与对应函数、方程的关系2、会解一元二次不等式重点难点重点： 一元二次不等式的解法难点：准确把握分类讨论的标准典例剖析例1．解不等式（1）22211x x -<--+≤； （2）1302xx -≤+例2．解关于x 的不等式：22540()x mx m m R -+>∈例3．解关于x 的不等式：20()x x a a R -+≤∈例4．已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

学习反思1、求解一元二次不等式时应根据结构特征灵活选择方法，例如配方、因式分解等2、对于简单的含参数的一元二次不等式要特别注意二次项为负数的情形，此时应将二次项系数变为正数，原不等式的方向要改变3、对于分式不等式0x a x b-≥-要特别注意0x b -≠ 课堂练习1、不等式241290x x ++≤的解集为______________.2、不等式(2)(3)0x x +->的解集为 .3、已知函数y =R ，则实数k 的取值范围是 .4、关于x 的不等式(1)(2)0(1)x a x a a ---><的解集为_________________.5、不等式11x x x x >++的解集为_________________ . 6、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为___________________.7、解下列不等式（组）：（1）225121x x x +≤++ （2）0,()1t x t R x ->∈- （3）230201x x x x ⎧-≤⎪⎨->⎪+⎩江苏省泰兴中学高一数学作业(92)班级 姓名 得分1、不等式223434x x x x -->-+的解集为__________________.2、已知集合2{|320},{|}A x x x B x x m =-+≥=≥，若A B R ⋃=，则实数m 的取值范围是3、若关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集为{|51}x x -≤≤，则m n -的值为4、若10<<a ,则不等式0)1)((<--a x a x 的解集为__________________. 5、已知集合22{|10},{|30}E x x F x x x =-<=-<，则E F ⋂等于6、已知0,0a b ><，则关于x 的不等式1b a x<<的解集为_________________________ 7、若实数a 、b 满足0a b +<，则关于x 的不等式0b x x a -<+的解集为_____________________ 8、解下列不等式：（1）425140x x --> （2）(3)(1)0(0)x mx m -->≥9、若对任何实数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒成立，求实数k 的取值范围。

高中数学可视化实验教学：一元二次不等式的解法【实验内容】1、在具体案例的求解中，认识降次化归法在求解二次不等式中的应用，即应用积的符号法那么二次不等式化归为一次不等式组，认识二次不等式的两种根本模式〔两根之外、两根之间〕；2、从函数图像的角度解释二次不等式的根本模式，构建根本解题模式，并熟练应用求解二次不等式；3、综合应用两种方法，初步解决分式不等式、高次不等式的求解问题。

【活动指南】从初中阶段的一次不等式〔组〕的解法，到求解二次不等式，及至分式不等式和高次不等式的求解，是一个思维水平层级要求明显提升的过程。

有两个根本的求解策略：一是降次化归，即将高次降为二次，二次降为一次，当然其中的关键在于积商符号法那么的应用和根确实定；二是另起炉灶，应用图像直观法居，高临下思考构建不等式的求解模型。

当然其中的重点在于二次不等式的求解，活动一立足于降次化归，活动二那么是图像直观法。

活动三那么是从二次不等式延伸出去，应用两种求解策略，解决更高难度的分式不等式和高次不等式的求解。

【预备知识】1、不等式的根本性质：；；。

2、一次不等式组的解法：时，，，，3、函数零点的概念：函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，f(x)的零点就是方程f(x)=0的解。

【活动过程】活动一、降次化归法求解二次不等式步骤1、点击进入CAS 运算系统，点击翻开工具箱菜单，选择“CAS 〞→“求解〞→“求解〞〔如图8-1〕，输入假设干不等式，得到结果如图8-2，可以发现不等式的解为“〞，而不等式不等式的解那么为“〞；步骤2、翻开工具箱菜单，选择“CAS 〞→“代数〞→“因子〞，将前面不等式所涉及二次三项式因式分解，可以发现，你能否从中找到求解二次不等式的一般规律呢？ 【实验结论】1、2、依据积的符号法那么，可将一元二次不等式转化为一元一次不等式组来解。

图8-1图8-2图8-33、设为方程的两根，那么的解为〔两根之外〕， 的解为〔两根之间〕 〖设计意图〗本活动设计实那么上是一种“翻转课堂〞：在步骤1中，让学生先得到一组不等式的解，从而构建根本模式〔暂不涉及的情形，所以不等式的解无外乎“两根之外〞或“两根之间〞两种模型〕；然后再追问“为什么〞，而计算机自带的因式分解功能那么能有效降低学生的思维难度，从而可将二次不等式等价降次为一元一次不等式组，再通过具体案例的剖析完善解不等式模型的构建。

执笔人：祁正权 审核人：杨绍国 2009年10月 日 §3.2一元二次不等式（二） 第 23 课时一、学习目标（1）经历从实际情景抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法；（2）利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式；（3）让学生充分体会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进一步提高学习数学的兴趣．二、学法指导解一元二次不等式的一般步骤：当0a ＞时，解形如20(0)ax bx c ++≥＞或20(0)ax bx c ++≤＜的一元二次不等式，一般可分为三步：（1）确定对应方程20ax bx c ++=的解；（2）画出对应函数2y ax bx c =++图象的简图；（3）由图象得出不等式的解集。

三、课前预习1.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？2.解不等式: (1) 234x x ->； (2)0322>-+-x x ；(3) 2(1)(30)0x x x --->； (4)2212311x x x -≥+-． 3．归纳解一元二次不等式的步骤：四、课堂探究例1．用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解：设矩形一边的长为()x m ，则另一边的长为50()x m -，050x <<．由题意，得(50)600x x ->，即2506000x x -+<．解得2030x <<．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形．用S 表示矩形的面积，则2(50)(25)625(050)S x x x x =-=--+<<．当25x =时，S 取得最大值，此时5025x -=．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x=+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解：由题意，得(16002)(50030)1300x x x --+≥，化简得2659000x x -+≤，解之得2045x ≤≤．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．解：由题意知，对于甲车，有20.10.0112x x +>，即21012000x x +->，解得3040x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h ．但根据题意刹车距离略超过12m ，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h ．对于乙车，有20.050.00510x x +>，即21020000x x +->，解得4050x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h ，超过规定限速．例4．解关于x 的不等式2(2)20x a x a -++<.例5．已知：{}{}22|320,|(1)0A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤， (1)若A B ⊂≠，求a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求a 的取值范围；(3)若A B 为一元集，求a 的取值范围；(4)若A B B =，求a 的取值范围；解：由题意 {|12}A x x =≤≤，{|(1)()0}B x x x a =--≤（1）A B ⊂≠，2a ∴>； （2）B A ⊆，12a ∴≤≤；（3）A B 只有一个元素，1a ∴≤五、巩固训练求下列不等式的解集:（1）22120x ax a --<； （2）2106511x x -≤+-≤．六、回顾小结：1．有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型；2．利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式．七、课外作业：课本第71页 练习 第1题；习题3.2 第4题； 第94页 复习题 第1（3）、（4），2题．补充：1．求不等式24318x x ≤-<的整数解； 2．解不等式：（1）2223513134x x x x --≥-+； （2）223()0x a a x a -++>． 3．求不等式220x x a -+≤的解集．。

高中数学第3章不等式2-1一元二次不等式的解法学案苏教版必修52020-12-12【关键字】方案、建议、条件、问题、难点、自主、合作、提升、掌握、位置、基础、重点、体系、能力、关系、满足、解决1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．掌握分式不等式的解法．(重点)3．能借助“三个二次”的关系解决与一元二次不等式有关的解集问题．(难点)[基础·初探]教材整理一元二次不等式阅读教材P75～P77练习以上的有关内容，完成下列问题．1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系①(m＋1)x2－3x＋1<0；②2x2－x>2；③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)<0【解析】③④符合一元二次不等式的定义；对于①，当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；②是指数不等式．【答案】③④2．不等式x2＋x－2<0的解集为________．【解析】令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，画出函数图象可知，当－2<x<1时，f(x)<0，从而不等式x2＋x－2<0的解集为{x|－2<x<1}．【答案】 {x |－2<x <1}[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]一元二次不等式的基本解法解下列不等式．(1)2x 2＋5x －3<0；(2)－3x 2＋6x ≤2； (3)－x 2＋6x －10>0.【精彩点拨】 移项，化一边为0―→二次项系数化为正数―→ 验根是否存在―→求根―→求不等式的解集【自主解答】 (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12，作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．用阴影描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0，Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， 又∵二次项系数大于0，∴x 2－6x ＋10>0恒成立． ∴原不等式的解集为∅. 解一元二次不等式的步骤：(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． [再练一题]1．求下列一元二次不等式的解集．(1)x 2－5x >6；(2)4x 2－4x ＋1≤0；(3)(5－x )(x ＋1)≥0. 【解】 (1)由x 2－5x >6，得x 2－5x －6>0， ∴(x －6)(x ＋1)>0， ∴x >6或x <－1.∴不等式的解集为{x |x >6或x <－1}． (2)∵4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2≥0，∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝12.(3)由(5－x )(x ＋1)≥0， 得(x －5)(x ＋1)≤0， ∴－1≤x ≤5，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}.“三个二次”间对应关系的应用若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎭⎪⎬⎪x ⎪⎪⎪12<x <2，求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集.【导学号：】【精彩点拨】 利用不等式解集的端点值为对应方程的根，求出a 的值，再解不等式即可．【自主解答】 由已知条件可知a <0，且12，2是相应方程ax 2＋5x －2＝0的两个根，由根与系数关系得，⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝52，－2a ＝1，解得a ＝－2.∴ax 2－5x ＋a 2－1>0化为2x 2＋5x －3<0， 化为(2x －1)(x ＋3)<0， 解得－3<x <12.所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.“三个二次”之间的内在联系[再练一题]2．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解】 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2知a <0， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a <0，则c >0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，∴b a ＝－53. 又c a ＝－23， ∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0. 又∵a <0， ∴2x 2＋5x －3<0，所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12. [探究共研型]分式不等式的解法探究1 “2x －3x ＋1≥0”与“(2x －1)(3x ＋1)≥0”是同解不等式吗？为什么？【提示】 不是．因为前者3x ＋1≠0，而后者3x ＋1可以为0. 探究2 不等式“x ＋1x －5>1”与不等式“x ＋1>x －5”是同解不等式吗？为什么？ 【提示】 不是．因为“x －5”的符号不定，故x ＋1x －5>1不等价于x ＋1>x －5. 解下列不等式．(1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1；(3)2x ＋11－x<0. 【精彩点拨】 移项→通分→等价变形→解一元二次不等式 【自主解答】 (1)∵x －3x ＋2<0， ∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3， ∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0， 解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，或x ≥4. (3)由2x ＋11－x <0，得x ＋12x －1>0，此不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >1. 分式不等式的解题策略解分式不等式要先通过移项、通分转化为以下类型再进行求解： (1)f x g x >0型，f xg x >0⇔f (x )g (x )>0；(2)f xg x <0型，f xg x<0⇔f (x )g (x )<0；(3)f x g x ≥0型，f x g x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≥0，g x ≠0；(4)f x g x ≤0型，f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≤0，g x ≠0.[再练一题] 3．解下列不等式．(1)x ＋21－x <0；(2)2x －1x ＋3≥1. 【解】 (1)由x ＋21－x <0，得x ＋2x －1>0，此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．(2)移项得2x －1x ＋3－1≥0，整理得x －4x ＋3≥0， 它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧x －4x ＋3≥0，x ＋3≠0，∴x ≥4或x <－3.∴原不等式的解集为{x |x <－3或x ≥4}．[构建·体系]1．不等式2x 2－x －1>0的解集是__________． 【解析】 ∵(2x ＋1)(x －1)>0，∴x <－12或x >1.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集为__________．【解析】 －6x 2－x ＋2≤0⇔6x 2＋x －2≥0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≥0⇔x ≤－23或x ≥12.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞3．不等式x ＋1x －1≥0的解集是__________． 【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －1≥0，x －1≠0，∴x >1或x ≤－1.【答案】 (－∞，－1]∪(1，＋∞)4．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________.【导学号：】【解析】 由题意可知，－7，－1是方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴(－7)×(－1)＝21a，∴a ＝3.【答案】 35．求函数f (x )＝2x 2＋x －3＋lg(3＋2x －x 2)的定义域． 【解】 要使函数f (x )有意义，则x 满足不等式组 由①得x ≥1或x ≤－32，由②得－1<x <3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，或x ≤－32，－1<x <3，∴1≤x <3，∴函数f (x )的定义域为[1,3)． 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十五) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为________．【解析】 由方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点为2，－1，又∵a <0，∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线， ∴不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－1≤x ≤2}． 【答案】 {x |－1≤x ≤2}2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x 2－3x <0的解集为________．【解析】 ∵x 2－1<0的解集为{x |－1<x <1}，x 2－3x <0的解集为{x |0<x <3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x 2－3x <0的解集为{x |0<x <1}．【答案】 {x |0<x <1}3．不等式3x －1x －2≤0的解集为________．【解析】 不等式3x －1x －2≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x －2≤0，x －2≠0，解得13≤x <2.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <24．下列不等式中解集为实数集R 的是__________．(填序号) ①x 2＋4x ＋4>0；②x 2>0；③x 2－x ＋1≥0； ④1x －1<1x.【解析】 ①不等式可化为(x ＋2)2>0，∴解集为{x |x ≠－2}；②不等式解集为{x |x ≠0}；③由Δ＝1－4<0，∴不等式解集为R ；④由定义域要求x ≠0，∴解集为{x |x ≠0}．【答案】 ③5．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．【解析】 由题意知，－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，∴x 2－bx －a <0⇔x 2－5x ＋6<0⇔2<x <3. 【答案】 (2,3) 6．不等式axx －1<1的解集为{x |x <1或x >2}，那么a 的值为________. 【导学号：】【解析】ax x －1<1化为axx －1－1<0，即a －1x ＋1x －1<0，等价于[(a －1)x ＋1](x －1)<0， ∴(a －1)x 2－(a －2)x －1<0，∴1,2是方程(a －1)x 2－(a －2)x －1＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝a －2a －1，1×2＝－1a －1，解得a ＝12.【答案】 127．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于__________．【解析】 由题意知x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，则(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2，又x 2－x 1＝15，可得36a 2＝152，又a >0，则a ＝52.【答案】 528．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是__________．【解析】 f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f (x )>3.①当x ≥0时，不等式即为解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x ≥0，即x >3或0≤x <1；②当x <0时， 不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6>3，x <0，解得－3<x <0.综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 【答案】 (－3,1)∪(3，＋∞) 二、解答题9．解不等式x 2－3|x |＋2≤0.【解】 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0⇔(|x |－1)·(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2. 当x ≥0时，1≤x ≤2； 当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1，或1≤x ≤2}．10．已知函数f (x ) ＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，求实数c 的值．【解】 由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，可知对于x 2＋ax ＋b＝0，有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，所以f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22，由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c －a 2<x <c －a2.又不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，所以⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a2＝2c ＝6，解得c ＝9.[能力提升]1．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－1，或x >12，则f (10x)>0的解集为________．【解析】 由题知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，即－1<10x <12⇒x <－lg2.【答案】 {x |x <－lg 2}2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________.【导学号：】【解析】 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－4(－x )]＝－x 2－4x ，又f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0，当x ≥0时，由x 2－4x >x ，解得x >5；当x <0时，由－x 2－4x >x ，解得－5<x <0，故f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞).【答案】 (－5,0)∪(5，＋∞)3．若不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则ax ＋b x ≥0的解集为__________．【解析】 由题知－13，12是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根．∴－13×12＝1a ，－13＋12＝－ba，∴a ＝－6，b ＝1.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.把a ＝－6，b ＝1代入ax ＋b x≥0得 －6x ＋1x ≥0，∴解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16 4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．【解】 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，m ≥1，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，∴m >5或m <－3.故m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．。

一般高中课程标准实验教科书— 数学必修五 [苏教版 ]§3.2 一元二次不等式 (3)教课目的（ 1）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法； （ 2）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；（ 3）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不等式的综合题．教课要点，难点从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒建立的解题思路． 教课过程一．问题情境复习 : 一元二次不等式 ax 2 bx c 0( a0) 与相应的函数 yax 2 bx c(a 0) 、相应的方程 ax 2 bx c 0( a 0) 之间有什么关系？（由学生上黑板画出相应表格）二．数学运用1．例题：例 1. 已知对于 x 的不等式 x 2 mx n 0 的解集是 { x |5 x 1} ，务实数 m, n 之值．解： Q 不等式 x 2mx n0的解集是 { x | 5 x1}x 1 5, x 2 1 是 x 2mx n 0的两个实数根，5 1m m4由韦达定理知：5 1nn．5例 2．已知不等式 ax 2bx c0 的解集为 { x | 2x 3} 求不等式 cx 2 bx a 0 的解集．2 3bab5ac解：由题意2 3 ， 即 c6a ．a aa 0代入不等式 cx 2 bxa 0 得： 6ax 2 5ax a0( a 0) ．即6x 25x 10 ，所求不等式的解集为1 x 1{ x | } ．2) x 23 2例 3．已知一元二次不等式(m2(m 2) x4 0 的解集为 R ，求 m 的取值范围．解： Q y( m 2) x 2 2(m 2) x 4 为二次函数，m 2Q 二次函数的值恒大于零，即 (m 2) x 2 2( m 2) x4 0的解集为 R ．m2m 2，解得：m 2， 即2)2 16(m 2) 2 m64(m 0m 的取值范围为 { m | 2 m 6} （ m 2 合适）．拓展： 1．已知二次函数y(m 2) x 2 2(m 2) x 4 的值恒大于零，求 m 的取值范围． 2(m 2) x 22( m 2) x 4 0的解集为,求 m 的取值范围．．已知一元二次不等式2(m4 03(m2) x2 2) x的解集为 ,求 m 的取值范围．．若不等式概括： 一元二次不等式恒建立状况小结：ax 2 bx c0 （ a 0 ）恒建立a 0 ．0 ax2bx c0 （ a 0 ）恒建立a 0．例 4．若函数 yx 2 2kx k 中自变量 x 的取值范围是一确实数，求k 的取值范围．解： Q yx 22kx k 中自变量 x 的取值范围是 R ，x 2 2kx k0 恒建立．4k 2 4k 0 0 k 1故 k 的取值范围是 { k | 0 k 1} ．拓展：若将函数改为y1 ，怎样求 k 的取值范围？x 2 2kxk例 5．若不等式 mx 22x 1 m0 对知足 2 m2 的全部 m 都建立，务实数 x 的取值范围．解：已知不等式可化为 (x 2 1)m (1 2 x) 0 ．设 f (m)( x 2 1)m(1 2x) ，这是一个对于 m 的一次函数（或常数函数） ，从图象上看，要使 f (m) 0 在 2 m 2 时恒建立，其等价条件是：f (2) 2( x 2 1) (1 2 x) 0,2x 22x 3 0, 解得1 71 3 f ( 2)2( x 21) (1 2x)0, 即2x10.2 x．2x 22因此，实数 x 的取值范围是1 7 , 1 3 ．222．练习：对于 x 的不等式x 2x kk 对一确实数 x 恒不建立，求 k 的取值范围．x 2x 3三．回首小结：1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题； 2．一元二次不等式恒建立的问题．四．课外作业： 课本第 73 页第 5、6题； 第 96 页 复习题 第 4、11 题．增补：1．设 x 1, x 2 是对于 x 的方程 x 2 2kx 1 k 2 0( k R) 的两个实根，求 x 12x 22 的最小值；2．不等式xa0的解集为 { x | 2 x 2} ，求不等式 x 2x a 0 的解集；2 x3．已知不等式 x22ax (1 a 2)对一确实数 x 都建立，求 a 的取值范围．x 2x a 0。