§1.函数极限概念

第三章函数极限§1函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势．此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即．但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、时函数的极限1．引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如无限增大时，无限地接近于０；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势．我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2.时函数极限的定义定义１设为定义在上的函数，Ａ为实数．若对任给的，存在正数Ｍ，使得当时有, 则称函数当时以Ａ为极限．记作或.3．几点注记（1）定义１中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n．（2）的邻域描述：当时，（3）的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域．“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内．如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内．（4）现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，或，或．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：当时，，当时，．（５）推论：设为定义在上的函数，则．４．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例１证明.例２证明１）；２）.二、时函数的极限１．引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数Ａ．本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，．现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列．先看下面几个例子：例１.（是定义在上的函数，当时，）例２.（是定义在上的函数，当时，）例３.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当时，的变化趋势．我们称上述的第一类函数为当时以Ａ为极限，记作．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数Ａ”只要充分接近，函数值和Ａ的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了．即对，当时，都有．此即．２．时函数极限的定义定义２设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当趋于时以Ａ为极限（或称Ａ为时的极限），记作或（.3．说明如何用定义来验证这种类型的函数极限4．函数极限的定义的几点说明：（１）是结论，是条件，即由推出．（２）是表示函数与Ａ的接近程度的．为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于Ａ，必须是任意的．这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了．以便通过寻找，使得当时成立．这即的第二特性——暂时固定性．即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色．也即的第三个特性——多值性；（）(3 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小．但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的．这即的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”．（５）定义中的不等式；．从而定义２，当时，都有，使得．（６）定义的几何意义．例1．设，证明.例2．证明１）；２）.例3．证明.例4．证明.练习：１）证明; ２）证明.三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论在时的极限．要在的左右两侧分别讨论．即当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念．２．单侧极限的定义定义３设函数在内有定义，Ａ为定数．若对任给的，使得当时有, 则称数Ａ为函数当趋于时的右极限，记作或或．类似可给出左极限定义（，，或或）.注：右极限与左极限统称为单侧极限．３．例子例5讨论在的左、右极限．例6讨论函数在处的单侧极限．４．函数极限与的关系．定理３.１.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知不存在．２），，可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3，7。

函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是数学分析中重要的概念，它涉及到数列的趋势和函数的连续性。

下面针对这两个概念进行详细的论述。

1. 函数的极限概念函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋势。

具体来说，设函数为f(x)，若对于任意小的正数ε，存在正数δ，使得只要0 < |x - a| < δ，就有|f(x) - L| < ε成立，那么就说当x趋近于a时，f(x)的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。

函数的极限有以下性质：- 若lim(x→a) f(x) = L，那么函数f(x)在x=a处存在极限为L。

- 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，那么lim(x→a) [f(x)+ g(x)] = L + M。

- 若lim(x→a) f(x) = L，且c是常数，那么lim(x→a) cf(x) = cL。

2. 函数的连续性概念函数的连续性是指函数在某个点上的极限等于函数在该点处的取值。

具体来说，设函数为f(x)，若对于任意的a，lim(x→a) f(x) = f(a)，那么函数f(x)在点x=a处连续。

函数的连续性有以下性质：- 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么在该区间上f(x)有界，即存在正数M，使得|f(x)| ≤ M。

- 若函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，那么函数f(x) ±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)（其中g(a) ≠ 0）也在点x=a处连续。

- 若函数f(x)在[a, b]上连续且在(c, d)上可导，那么在[a, b]上f'(x)也连续。

函数的极限与连续性的关系：- 若函数f(x)在点x=a处存在有限的极限lim(x→a) f(x) = L，那么函数f(x)在点x=a处连续。

- 若函数f(x)在点x=a处连续，但极限lim(x→a) f(x)不存在或为无穷大，那么函数f(x)在点x=a处不可导。

函数的极限概念函数的极限是微积分中的一个重要概念。

在数学中，函数的极限表示自变量趋向于某个特定值时，函数在该值附近的表现。

它是描述自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势的一种工具。

函数的极限可以从自变量的两个方向进行讨论：自变量逼近特定值的左侧和右侧。

对于自变量逼近特定值的左侧，我们称该极限为左极限，用符号“lim(a, x→c-) f(x)”表示。

对于自变量逼近特定值的右侧，我们称该极限为右极限，用符号“lim(a, x→c+) f(x)”表示。

如果左极限和右极限相等，我们称两个极限的值为函数的极限，用符号“lim(a, x→c) f(x)”表示。

函数的极限可以分为有限极限和无限极限。

如果函数在自变量逼近特定值时，函数值无限接近于某个常数，则称该常数为函数的有限极限。

例如，考虑函数f(x) = x^2，当x趋近于2时，f(x)也趋近于4。

因此，我们可以写成lim(a, x→2) x^2 = 4。

如果函数在自变量逼近特定值时，函数值无穷大或无穷小，则称该函数的极限为无限极限。

例如，在函数f(x) = 1/x中，当x趋近于0时，f(x)的值无穷大。

我们可以写成lim(a, x→0) 1/x = ∞。

函数的极限充分利用了自变量无限接近特定值时函数的局部性质。

例如，对于函数f(x) = x^2, 当x=2时，函数的值为4。

但是当x趋近于2时，函数的值逐渐变得非常接近4。

通过使用极限的概念，我们可以描述函数在自变量无限接近2时，函数值的变化趋势，而不仅仅关注特定点上的函数值。

函数的极限概念是解决微积分中很多问题的基础。

首先，函数的极限可以用来定义导数。

导数表示函数曲线在某一点的斜率，而函数的斜率可以通过求出函数在该点的极限来计算。

其次，函数的极限还可以用来求解函数的一些性质。

例如，通过求函数在无穷远处的极限，我们可以判断函数的增减性，凸凹性等等。

此外，函数的极限还可以用来定义不定积分，即反函数的导数。

函数的极限函数的极限定义和计算方法函数的极限：定义和计算方法函数的极限是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

它帮助我们理解函数在自变量逼近某一特定值时的表现，并可以用于求解各种问题。

本文将介绍函数的极限的定义和常见的计算方法。

一、函数的极限的定义对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，那么我们说函数f(x)在点x=a处的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L这里，lim表示极限的意思，(x→a)表示x无限接近a，f(x)表示函数f在x处的函数值。

需要注意的是，函数的极限可能存在或者不存在。

如果一个函数的某个点存在极限，那么它的极限值是唯一的。

此外，函数的极限和函数在该点的取值无关，只与函数的定义域和自变量逼近的点有关。

二、函数的极限的计算方法对于常见的函数，可以使用下列计算方法求出函数的极限：1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，计算函数值。

这种方法适用于简单的函数，在函数式中出现除零或者无法计算函数值的情况下，不能直接使用。

2. 因子分解法：将函数式进行因子分解，化简为可能更易计算的形式。

通过因子的性质，可以将极限计算为各个因子的极限之积。

3. 主要部分法：将函数式中的主要部分提取出来，然后计算主要部分的极限。

主要部分是指影响极限值的部分，对于复杂函数，可以通过忽略高次项、无穷小量等方式找到主要部分。

4. 夹逼定理：对于难以计算的函数，可以通过夹逼定理来求解。

夹逼定理指出，如果函数g(x)无限接近L，函数h(x)无限接近L，且函数f(x)总是位于g(x)和h(x)之间，那么函数f(x)的极限也是L。

5. 分部求和法：对于一些敛散性序列或级数，可以通过分部求和将其转化为已知的序列或级数，从而求得极限。

三、示例：下面我们通过几个例子来说明函数的极限的计算方法。

例1：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在x→2 时的极限。

函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。

它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。

下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。

一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。

极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。

函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。

常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。

2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。

常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。

3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。

常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。

高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中，函数极限是一个重要的概念。

它不仅在高中数学中占有重要地位，而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。

理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。

本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解，帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。

一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。

具体来说，对于函数f(x)，当x趋于无穷大或者某个特定值a时，如果存在一个常数L，使得当x趋于无穷大或者a时，f(x)趋于L，那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。

二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是唯一的。

2. 函数极限的有界性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是有界的。

3. 函数极限的保号性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于（或小于）0，那么它的函数值在某个邻域内都大于（或小于）0。

三、函数极限的计算方法在计算函数极限时，我们常常会遇到一些特殊的极限形式，如0/0、无穷大/无穷大等。

下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。

例题1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。

解析：当x趋于0时，sinx/x的极限形式为0/0，这是一个不定型。

我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。

首先，我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...，那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。

当x趋于0时，高次项的幂都趋于0，因此我们只需要保留x的一次幂的项，即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。

例题2：计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。

解析：当x趋于无穷大时，x/(x+1)的极限形式为∞/∞，这也是一个不定型。

函数的极限●知识梳理1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0lim x x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim x x → f （x ）=a , 0lim x x →g （x ）=b ,那么lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0lim x x →)()(x g x f =ba（b ≠0）. 特别提示（1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0lim x x →[Cf （x ）]=C 0lim x x →f （x ）（C 为常数）;（3）0lim x x →[f （x ）]n =[0lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）.●点击双基1.+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ）B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ）答案:D3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A4.（2005年西城区抽样测试） 1lim →x x x x x --+222=________________.解析: 1lim →x xx x x --+222=1lim →x )1()2)(1(-+-x x x x =1lim →x x x 2+=3. 答案:35.若1lim →x 3322+++x ax x =2,则a =__________.解析: 1lim →x 3322+++x ax x =2, ∴44+a =2.∴a =4. 答案:4●典例剖析【例1】求下列各极限： （1） 2lim →x （)21442---x x ； （2）∞→x lim （))((b x a x ++－x ）； （3） 0lim→x ||x x； （4） 2πlim→x .2sin2cos cos x x x-剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0lim x x → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）在连续点x 0处的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.解:（1）原式＝2lim→x 4)2(42-+-x x ＝2lim→x 21+-x =－41.（2）原式=∞→x lim xab x b a x ab x b a ++++++)()(2=a +b .（3）因为+→0lim x ||x x =1,而=-→0lim x ||x x =－1，+→0lim x ||x x ≠-→0lim x ||x x , 所以0lim →x ||x x不存在．（4）原式=2πlim→x 2sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x --＝2πlim →x （cos 2x +sin 2x ）＝2.思考讨论数列极限与函数极限的区别与联系是什么？【例2】 （1）设f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>+→,021;)(lim ,,00,020x x f b x x bx xx 存在使的值试确定;（2）f （x ）为多项式,且∞→x lim x x x f 34)(-=1,0lim →x xx f )(=5,求f （x ）的表达式.解:（1）+→0lim x f （x ）= +→0lim x （2x +b ）=b ,-→0lim x f （x ）= -→0lim x （1+2x ）=2,当且仅当b =2时, +→0lim x f （x ）= -→0lim x f （x ）,故b =2时,原极限存在.（2）由于f （x ）是多项式,且∞→x lim xx x f 34)(-=1,∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）. 又∵0lim→x xx f )(=5, 即0lim →x （4x 2+x +a +xb ）=5,∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.【例3】 讨论函数f （x ）= ∞→n limnn xx 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续性，并作出函数图象.部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性.解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-nnx x 2211x =x ;当x ＞1时，f （x ）= ∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-n n xx ·x =－x ; 当x =1时，f （x ）=0.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x x i ∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1,-→1lim x f （x ）= -→1lim x x =1,∴1lim →x f （x ）不存在.∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性. ●闯关训练 夯实基础1.已知函数f （x ）是偶函数,且-∞→x lim f （x ）=a ,则下列结论一定正确的是A. +∞→x lim f (x )=－a B. +∞→x lim f （x ）=aC. +∞→x lim f (x )=|a | D. -∞→x lim f （x ）=|a |解析：∵f （x ）是偶函数,∴f （－x ）=f （x ）. 又-∞→x lim f （x ）=a ,+∞→x lim f （－x ）=a ,f （x ）=f （－x ）,∴+∞→x lim f （－x ）= +∞→x lim f （x ）=a .答案：B2.（2004年全国Ⅱ，理2）1lim →x 54222-+-+x x x x 等于A.21B.1C.52D.41解析:∵122lim ,52)5)(1()2)(1(542→∴++=+-+-=-+-+x x x x x x x x x x x 54222-+-+x x x x =21.答案:A3.已知函数y =f （x ）在点x =x 0处存在极限,且+→0lim x x f （x ）=a 2－2,-→0lim x x f （x ）=2a +1,则函数y =f （x ）在点x =x 0处的极限是____________.解析:∵y =f （x ）在x =x 0处存在极限,∴+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）,即a 2－2=2a +1.∴a =－1或a =3.∴0lim x x → f （x ）=2a +1=－1或7.答案:－1或7 4.若f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.解析:∵f （x ）在点x =0处连续， ∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x= 0lim→x 1111)1(332++++++x x x =23.答案:235.已知函数f （x ）=∞→n limnn n n x x +-22，试求:（1）f （x ）的定义域，并画出图象；（2）求--→2lim x f （x ）、+-→2lim x f （x ）,并指出2lim -→x f （x ）是否存在.解:（1）当|x |＞2时，∞→n limn n nnx x +-22=∞→n lim 1)2(1)2(+-nnxx =－1; 当|x |＜2时，∞→n lim n n n n x x +-22=∞→n lim nn x x )2(1)2(1+-=1; 当x =2时，∞→n lim nn nn x x +-22=0;当x =－2时，∞→n lim nn nn x x +-22不存在.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-<>-).22(1),2(0),22(1x x x x 或∴f （x ）的定义域为{x |x ＜－2或x =2或x ＞2}. 如下图:（2）∵--→2lim x f （x ）=－1,+-→2lim x f （x ）=1.∴2lim -→x f （x ）不存在.6.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求出这一函数最大值.解:∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）, 即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1. 培养能力7.在一个以AB 为弦的弓形中,C 为的中点,自A 、B 分别作弧AB 的切线,交于D 点,设x 为弦AB 所对的圆心角,求ABDABCx S S ∆∆→0lim.解：设所在圆圆心为O ,则C 、D 、O 都在AB 的中垂线上,∴∠AOD =∠BOD =2x .设OA =r .S △ABC =S 四边形AOBC －S △AOB =r 2sin 2x －21r 2sin x =r 2sin 2x （1－cos 2x）,S △ABD =S 四边形AOBD －S △AOB =r 2tan 2x －21r 2sin x =r 22cos2sin 3x x.∴0lim→x ABD ABCS S ∆∆=0lim →x 2cos2sin )2cos 1(2sin322x xr xx r -=0lim→x 2cos 12cos x x +=21.8.当a ＞0时,求0lim→x bb x a a x -+-+2222.解:原式=0lim→x ))()(())()((222222222222a a x b b x b b x b b x a a x a a x ++++-+++++-+=0lim→x ))(())((2222222222a a x b b x b b x a a x ++-+++-+=0lim→x aa xb b x ++++2222=aa bb ++|||| =⎪⎩⎪⎨⎧>≤).0(),0(0时当时当b a b b探究创新9.设f （x ）是x 的三次多项式，已知a x 2lim →=a x x f 2)(-=a x 4lim →ax x f 4)(-=1.试求a x 3lim →ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解:由于a x 2lim →ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0. ①同理f （4a ）=0. ② 由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）.这里A 、C 均为待定的常数.由ax 2lim→ax x f 2)(-=1,即 =a x 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1, 即4a 2A －2aCA =－ 1.③同理，由于ax 4lim→ax x f 4)(-=1, 得A （4a －2a ）（4a －C ）=1, 即8a 2A －2aCA =1.④由③④得C =3a ,A =221a,因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）. ∴a x 3lim →a x x f 3)(-=a x 3lim →221a （x －2a ）（x －4a ） =221a·a ·（－a ）=－21.●思悟小结1. ∞→x lim f （x ）=A ⇔+∞→x lim f （x ）= -∞→x lim f （x ）=A ,lim x x →f （x ）=A ⇔+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=A .2.函数f （x ）在x 0处连续当且仅当满足三个条件：（1）函数f （x ）在x =x 0处及其附近有定义； （2）0lim x x →f （x ）存在；（3） 0lim x x →f （x ）=f （x 0）.3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限. ●教师下载中心 教学点睛1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于+∞→x limxx 12+与-∞→x lim xx 12+的区别. 拓展题例【例1】 设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+),0(e ),0(25x k x k x x 为常数问k 为何值时，有0lim →x f （x ）存在？解: -→0lim x f （x ）=2k , +→0lim x f （x ）=1,∴要使0lim →x f （x ）存在，应有2k =1.∴k =21.【例2】 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,求a 的值.解:∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x limaxx x a x +---112222=+∞→x limaxx x a +---11)1(222=0,∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.。

知识点5函数极限的概念与性质函数极限是微积分中的重要概念，它描述了当自变量趋近于其中一特定值时，函数所对应的因变量的变化趋势。

本文将介绍函数极限的概念、性质以及一些常用的计算方法。

一、函数极限的概念函数极限是指当自变量趋近于其中一特定值时，函数所对应的因变量的变化情况。

常用的表示方法为：lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=L其中，lim表示函数极限的意思，x→a表示自变量x趋近于特定值a，f(x)表示函数的因变量，L表示极限的值。

这个极限值L可以是一个实数，也可以是正无穷或负无穷。

二、函数极限的性质1.函数极限与函数值的关系如果函数f(x)的极限存在且等于L，那么函数f(x)在极限点a处的函数值也等于L，即：lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=f(a)2.函数极限的唯一性如果函数f(x)在其中一点a的其中一邻域内有定义，并且存在极限lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗，那么这个极限值是唯一的。

3.函数极限的四则运算法则(1)两个函数的和的极限等于两个函数极限的和：lim┬(x→a)⁡〖[f(x)+g(x)]〗=lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗+lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗(2)两个函数的差的极限等于两个函数极限的差：lim┬(x→a)⁡〖[f(x)-g(x)]〗=lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗-lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗(3)两个函数的积的极限等于两个函数极限的积：lim┬(x→a)⁡〖[f(x)g(x)]〗=lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗×lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗(4)两个函数的商的极限等于两个函数极限的商，前提是分母函数的极限不等于0：lim┬(x→a)⁡〖[f(x)/g(x)]〗=lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗/lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗，其中lim┬(x→a)⁡〖g(x)〗≠04.函数极限的乘方与开方法则(1)对于正整数n，函数的n次方的极限等于这个函数的极限的n次方：lim┬(x→a)⁡〖[f(x)]^n 〗=[lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗]^n(2)对于正整数n，函数的开方的极限等于这个函数的极限的开方：lim┬(x→a)⁡〖√[f(x)] 〗=√[lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗]三、函数极限的计算方法1.直接代入法当函数在其中一点a的邻域内有定义，并且该点是函数的连续点，可以通过直接代入a的值计算函数的极限。