【解析】【2014朝阳一模】北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习 数学理试题 Word版含答案

（2）已知i 为虚数单位，复数2i1i-的值是（ ）． A ．1i -- B ．1i + C ．1i -+ D ．1i -（3）若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．6（4）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没 有站稳”可表示为（ ）．A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝（5）执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）．A ．10B ．17C ．26D ．28（6）函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．（7）已知AB uu u r和AC uuu r 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60o ，则2AB AC -uu u r uu u r 与CA uu r 的夹角是 （ ）．A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o（8）如图，梯形ABCD 中，ADBC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=o ，将ABD ∆沿对角线BD折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-； ③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '． 其中正确命题的序号是（ ）．A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）抛物线28y x =的准线方程是 ．（10）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分．那么最高分比最低分高 分．（11）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =，2c =，60A ∠=o ，则a = ；C ∠= ．（12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 ．（13）已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，若||AB ≥BA则实数m 的取值范围是 ．（14）将1，2，3，…………，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数()2sin cos 2f x x x x =． （Ⅰ）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（Ⅰ）求a， 的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．（17）（本题满分14分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11A C 与11B D 交点， 已知11AA AB ==，60BAD ∠=o ． （Ⅰ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ； （Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ；（Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界），且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最A1D C（18）（本小题满分13分）设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(1,2，一个焦点为0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．（20）（本小题满分13分）已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>．（Ⅰ）若33a b =，比较2a 与2b 的大小关系； （Ⅱ）若2244,a b a b ==．（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）一、选择题15． 解：（Ⅰ）因为π()sin 22sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f = 由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤，k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． ………………………………………8分 （Ⅱ）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤．所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值 当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2． ……………………………………………13分16． 解：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生， 则21()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ，2324,,M M M M 2526,M M M M ，343536,,M M M M M M ，454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生． 事件B 包括1516,M M M M ，2526,M M M M ，3536,M M M M ，454656,,M M M M M M ，共9种可能． 所以93()155P B ==． 所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． ………………………………………………13分17． 解：（Ⅰ）依题意， 因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ， 所以1BB ⊥底面1111A B C D ．又11AC ⊂底面1111A B C D ， 所以1BB ⊥11A C ． 因为1111A B C D 为菱形，所以1111AC B D ⊥．而1111BB B D B =I ，所以11AC ⊥平面11B BDD ．分 （Ⅱ）连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ．依题意，1AA ∥1CC ， 且11AA CC =，1AA AC ⊥， 所以11A ACC 为矩形． 所以1OC ∥AE ．D 1 C 1D COMA 1B 1又11112OC AC =，12AE AC =，11AC AC =， 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形， 则AO ∥1C E ．又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ，所以AO ∥平面1BC D ． ………………………………………………………9分 （Ⅲ）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点．分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥．由于BD ∥11B D ，故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥． 又在1BC D ∆中，11C D C B =，又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E ． 故M 点一定在线段1C E 上． 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值． 在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC =1C E =，所以1min 1OC OE OM C E ⋅== ……………………………………………………………14分 18．解：（I ）1()f x x'=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =．又(e)1f =，所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-，即1ey x = …………………………………4分（Ⅱ）()ln 1F x x ax =--， 11()ax F x a x x-'=-=，（0x >）． ①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a<<． 综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a，减区间是1(,)a +∞． …………………………………………9分（Ⅲ）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解．由（Ⅱ）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a上为增函数，区间1(,)a +∞上为减函数，由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<， 解得2e a ->．所以实数a 的取值范围为21(,)e+∞． …………………………………………………………………13分19． 解：（Ⅰ）由题意得2222=3,131,4a b ab ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． ………………………………………………………4分（Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+， 121222(2)14ky y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14kk+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +===++ 因为0k ≠，所以221331k <-<+．所以||||AB PQ 的取值范围为(4,． ……………………………………………………14分20． 解：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（Ⅰ）2310b b q =>，1313222a ab b a ++==，2213b b b =，2b =，当2b =22a b >；当2b =132b b +13b b =时取等号， 而13b b ≠，所以132b b +>22a b >． 综上所述，22a b >． ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=- 所以213,1q q q ++==或2q =-．因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-．令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =， 所以10b 是{}n a 中的一项．（ⅱ）假设m k b a =，则111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=- 当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N ．正整数m 的集合是{}12m m=m=n,n *∈N 或． ……………………………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：因为|03}{1,2}A x x =∈<<=N ｛，1|21}{|1}x B x x x -=>=>｛ 所以{2}A B =I 故选C2． 【答案】C【解析】解：222i 2i(1i)2i+2i 2i 21i 1i (1i)(1i)1i 2+-====-+--+- 故选C3． 【答案】D【解析】画出,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥表示的区域，如图所示：由2z x y =-，得2y x z =-，画出2y x =并平移，当过(3,0)时， 截距z -最小，即z 最大为6． 故选D4． 【答案】D【解析】解：因为p 是“甲落地站稳”，则p ⌝表示“甲落地没有站稳”；q 是“乙落地站稳”，则q ⌝表示“乙落地没有站稳”所以“至少有一位队员落地没有站稳”可以表示为()()p q ⌝∨⌝．5． 【答案】B【解析】解：列表法：6． 【答案】A【解析】解：因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称；故排除C ．D ；又2π1()0π214f =>+，排除B ． 故选A ．7． 【答案】C【解析】解：设2AB AC -uu u r uu u r 与CA uu r 的夹角是θ，则(2)cos 2AB AC CA AB AC CAθ-⋅=-uu u r uuu r uu r uu u r uuu r uu r 又AB uu u r和AC uuu r 是平面内两个单位向量，则1AB =uu u r ，1AC =uuu r ；则22(2)(2)22cos600AB AC CA AB AC AC AB AC AC AB AC AC -⋅=--⋅=-⋅+=-⋅︒+=uu u r uuu r uu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r所以cos 0θ= ，则=90θ︒． 故选C8． 【答案】B【解析】解：依题意，标出平面图形上的信息如图所示， 画出折起后的几何体，设BD 中点为E ，并连接'A E如图所示， 对于①，因为''A B A D =，所以'A E BD ⊥；又平面A BD '⊥平面BCD ，则'A E ⊥面BCD ，'A E BC ⊥；若A D BC '⊥，'''A D A E A =I ，则BC ⊥面A BD '，则BC BD ⊥矛盾，故①错；对于②，'111'332A BCD BCD V S A E -==⨯△ 对于③，因为'A E ⊥面BCD ，则'A E C D ⊥，又C D B D ⊥，'A E BD E =I ，所以CD ⊥平面A BD '；故③正确；对于④，由③知，CD ⊥平面A BD '，所以'CD A B ⊥；又''A B A D ⊥，'A D CD D =I ，所以'A B ⊥面'A DC ；又'A B ⊂平面A BC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '．故④正确； 故答案选B 二、填空题9． 【答案】2x =-【解析】解：因为抛物线28y x =，则28p =，即4p =，所以准线方程为22px =-=-． 故答案为2x =- ． 10．【答案】16【解析】解：因为去掉一个最低分后平均分为90分，则这4人的总分为904360⨯=． 因为去掉一个最高分后平均分为86分，则这4人的总分为864344⨯=； 所以最高分比最低分高36034416-=． 故答案为16． 11．【答案】30︒【解析】解：由余弦定理，得2222cos 164812a b c bc A =+-=+-=，解得a =由正弦定理，得2sin 1sin 2c A C a ===，所以30C =︒或150︒（舍）故答案为，30︒． 12．【答案】13，【解析】解：由三视图画出几何体的直观图如图所示， 则几何体是底面是直角三角形的直三棱柱横着放． 所以1111133V =⨯⨯⨯=，11121111132S =⨯⨯⨯+⨯+⨯=+故答案为13，13．【答案】[【解析】解：如图，圆心O 到直线AB 距离为d =，则AB ==，解得m ．故答案为[m ∈． 14．【答案】二，{3,4,9}【解析】解：因为每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上， 所以6只能在第二张卡片上（否则，若6在第一张上，651-=矛盾；若6在第三张卡片上633-=矛盾）同理，4只能在第三张卡片上（否则，4若在第一张上，514-=矛盾；若4在第二张上，422-=矛盾）；同理，8只能在第一张卡片上，7只能在第二张卡片上，9只能在第三张卡片上．如图所示． 故答案为：二，{3,4,9}．。

（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则AB =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π （C ） 32π （D ） 65π （4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ）14（B ）13（C ）25 （D ） 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC =是“π3B =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（A ） ①③ （B ）②③ （C ） ①④ （D ）②④ （8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且3M N O M O N ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是 （A ）(2,22⎡-⎣ （B ）(22,4⎡--⎣（C ） [2,2]- （D ） [-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为 ．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内 （如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数 为 ．（用数字作答）正视图俯视图（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．BCDESA（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(1,2，离心率为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．A E BCDPF北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2014.3三、解答题15. （本小题满分13分） 解： ()f x =sin 2cos2x x -)4x π=-.（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==. 显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． …………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且12FG CD =． 又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD . 所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，AE BCDPFG所以EF平面PAD ． ……………4分（Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直.以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）． 由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =，，(022)PD =-，，，(200)CD =-，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥． 又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF⊥平面PCD ． …………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-，，，(0,22)PD =-,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，， 所以cos ,32EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n .由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C -- ……………14分 18. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x'=-21ax x -=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240e a =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211e a <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210e a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减，所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24e a =，舍去．综上所述，2a =． ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22=21314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． …………… 4分 （Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =-，2022(,)2y QN x x =-， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k-=+， 所以2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =．故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.所以(5,3)4f =. …………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N .1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11．对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d -时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11；2,3,4,,12；；91,92,93,,100，其它同理）.所以当d 取1,2,,11时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=．…………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，北京市朝阳区高三年级第一次综合练习试题理11 / 11 记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d --时，可得递增等差数列(1)n m d --个.所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+-- 易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅ (1)()(1)11(1)122(1)n m n m n m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………… 13分。

（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合1{|(1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则AB =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π（C ）32π （D ） 65π（4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ）14（B ）13（C ） 25 （D ） 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC ”是“π3B =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（A ） ①③ （B ）②③ （C ） ①④ （D ）②④（8）直线y x m =+与圆2216xy +=交于不同的两点M ，N ，且3MN O M O N ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是 （A ）(2,22⎡-⎣ （B ）(22,4⎡--⎣（C） [2,2]- （D ） [-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为 ．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内 （如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为 ．（用数字作答）正视图俯视图（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．BCDESA（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．A E BCDPF北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2014.3三、解答题15. （本小题满分13分） 解： ()f x =sin 2cos 2x x -)4x π=-.（Ⅰ）())12242f πππ=⋅-==.显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． …………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且12FG CD =． 又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD . 所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，AE BCDPFG所以EF平面PAD ． ……………4分（Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直.以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）． 由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =，，(022)PD =-，，，(200)CD =-，，， 且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ． …………… 9分 （Ⅲ）易得(102)EP =-，，，(0,22)PD =-,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，， 所以cos ,2EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n .由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C --的余弦值为3． ……………14分 18. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x '=-21ax x-=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去． （2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，①1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211e a <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．③e ，即210e a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减，所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去． 综上所述，2a =． ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22=21314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． …………… 4分 （Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =-，2022(,)2y QN x x =-， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k-=+， 所以222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =．故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.所以(5,3)4f =. …………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N .1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11．对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d -时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11；2,3,4,,12；；91,92,93,,100，其它同理）.所以当d 取1,2,,11时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=．…………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d --时，可得递增等差数列(1)n m d --个.所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+-- 易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅ (1)()(1)11(1)122(1)n m n m n m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………… 13分。

北京市朝阳区2013—2014学年度高三年级第一学期期中统一考试理科数学 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．若AB B =，则实数m 的值是（）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或22。

命题p ：对任意x ∈R ，210x+>的否定是( ）A ．p ⌝:对任意x ∈R ，210x+≤ B ．p ⌝：不存在0x ∈R ，0210x +≤C ．p ⌝：存在0x ∈R ,0210x +≤D ．p ⌝：存在0x∈R ,0210x +>3。

执行如图所示的程序框图,则输出的T 值为( )A ．91B ． 55C ．54D ．304。

若01m <<， 则( ） A ．log(1)log (1)mm m m +>-B ．log(1)0mm +>C ．2)1(1m m +>- D ．1132(1)(1)m m ->-考点：1.对数函数的单调性；2。

对数函数的图像与性质；3.指数函数的单调性5.由直线0x =,3x 2π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于( ）A ．3B ．32 C ．1 D ．12【答案】A试题分析：考点：定积分6。

已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列结论中错误．．的是（ )A ．向量c 与向量b 共线B ．若12λλ=+c a b （1λ,2λ∈R ),则10λ=，22λ=-C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数1k ，2k ,使得12k k =d b +c D ．向量a 在向量b 方向上的投影为07.若函数2()f x x k=-的图象与函数()3g x x =-的图象至多有一个公共点，则实数k 的取值范围是（ ) . 。

A. (,3]-∞B 。

北京市朝阳区2014届高三上学期期中考试数学理试题 2013.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．若AB B =，则实数m 的值是A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或22.命题p ：对任意x ∈R ，210x+>的否定是A ．p ⌝：对任意x ∈R ，210x+≤ B ．p ⌝：不存在0x ∈R , 0210x+≤ C ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+≤ D ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+> 3.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为 A ．91 B ． 55 C ．54 D ．304.若01m <<， 则 A ．log (1)log (1)m m m m +>- B ．log (1)0m m +>C ．2)1(1m m +>- D ．1132(1)(1)m m ->-5.由直线0x =，3x 2π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于 A ．3 B ．32 C ．1 D ．12(1,2)=-a (2,1)=b (4,2)--c =A ．向量c 与向量b 共线B ．若12λλ=+c a b （1λ，2λ∈R ），则10λ=，22λ=-C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数1k ，2k ，使得12k k =d b +cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为07. 若函数2()f x x k =-的图象与函数()3g x x =-的图象至多有一个公共点，则实数k 的取值范围是 . .A. (,3]-∞B. [9,)+∞C. (0,9]D. (,9]-∞8.同时满足以下4个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()k *∈N 的等差 数列．那么6133A A 中元素的个数是 A ．96B ．94C ．92D ．90第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．在公比小于零的等比数列{}n a 中，12a =，532a =，则数列{}n a 的前三项和3S = ． 10．函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 11．曲线()e x f x =在点0(x ，0())f x 处的切线经过点(1P ，0)，则0x = ．12．已知平面向量a 与b 的夹角为6π，=a ，1=b ，则-=a b ；若平行四边形ABCD 满足AB =+a b ，AD =a -b ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．13．已知函数222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩ 若2(3)(2)f a f a -<，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数xa x f =)(（10<<a ），数列}{n a 满足)1(1f a =，)(1n n a f a =+，n *∈N .则2a 与3a 中，较大的是 ；20a ，25a ，30a 的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2π())4cos 4f x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最小值； （Ⅱ）若π[0,]2α∈，且()3f α=，求α的值．16. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 25A =． （Ⅰ）若5=bc ，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若1a =，求b c +的最大值.17.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，且364a a +=，55S =-. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若123n n T a a a a =++++，求5T 的值和n T 的表达式.18. （本小题满分14分）已知函数2()43f x x x a =-++,a ∈R .（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求 a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()52g x bx b =+-，b ∈R .当0a =时，若对任意的[1,4]x ∈，总存在[1,4]x ∈，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知函数21()(3)3ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x 为函数()f x 的图象上任意不同两点，若过A ，B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，求m 的取值范围.20. （本小题满分13分）如果项数均为n ()2,n n *≥∈N的两个数列{}na ，{}nb 满足),,,2,1(n k k b ak k==-且集合}2,,3,2,1{},,,,,,,{2121n b b b a a a n n =，则称数列}{},{n n b a 是一对 “n 项相关数列”.（Ⅰ）设}{},{n n b a 是一对“4项相关数列”，求1234a a a a +++和1234b b b b +++的值，并写出一对“4项相关数列” }{},{n n b a ；（Ⅱ）是否存在 “15项相关数列” }{},{n n b a ？若存在，试写出一对}{},{n n b a ；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）对于确定的n ，若存在“n 项相关数列”，试证明符合条件的“n 项相关数列”有偶数对．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷答案（理工类） 2013.11一、选择题：二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解： 2π())4cos 4f x x x =-+ππ1cos 2sin 2cos cos 2sin 4442xx x +=⋅⋅+⋅sin 2cos22cos22x x x =-++ sin 2cos22x x =++π)24x =++．（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，函数()f x 的最小值为2 ………6分（Ⅱ）由()3f α=π)234α++=．所以πsin(2)4α+= 又因为π[0,]2α∈，所以ππ5π2444α≤+≤，所以ππ2α+=或π3π2α+=．所以0α=或π4α=． ………13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos2A =，0A <<π，所以sin2A =. 所以4sin 2sin cos 225A A A ==. 因为5=bc ， 所以2sin 21==∆A bc S ABC . ………6分 （Ⅱ）因为,552sin=A 所以532sin21cos 2=-=A A . 因为A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=1=.()2255()16164b c bc b c +=+-≤，所以b c +≤当且仅当2b c ==时等号成立.所以b c +………13分 17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，则1112545(51)552a d a d a d +++=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩ 解得，15a =-，2d =，则27n a n =-，n *∈N . ………5分（Ⅱ）当4n ≥时， 270n a n =->，当3n ≤时，270n a n =-<. 则5T =12345()13a a a a a -++++=3n ≤时，n T =26n n -；4n ≥时，232618n n T S S n n =-=-+.即226,3,618,4,n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩n *∈N . ………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，则方程()0f x = 的判别式0∆<，即164(3)0a -+<，解得1a >. ………3分（Ⅱ）2()43f x x x a =-++的对称轴是2x =，所以()y f x =在[1,1]-上是减函数，()y f x =在[1,1]-上存在零点，则必有：(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≥⎩，即080a a ≤⎧⎨+≥⎩， 解得：80a -≤≤，故实数的取值范围为80a -≤≤； ………8分（Ⅲ）若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使12()()f x g x =，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =值域的子集.当0a =时，2()43f x x x =-+的对称轴是2x =，所以()y f x =的值域为[1,3]-， 下面求()52g x bx b =+-，[1,4]x ∈的值域， ①当0b =时，()5g x =，不合题意，舍②当0b >时，()52g x bx b =+-的值域为[5,52]b b -+，只需要51523b b -≤-⎧⎨+≥⎩，解得6b ≥ ③当0b <时，()52g x bx b =+-的值域为[52,5]b b +-，只需要52153b b +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3b ≤- 综上：实数b 的取值范围6b ≥或3b ≤- ………14分 19. （本小题满分14分）解:（Ⅰ） 依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，3()(3)m f x x m '=-++2(3)3x m x m -++=(3)()x x m --=.（ⅰ）若0m ≤，当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅱ)若3m =,2(3)()0x f x x-'=≥恒成立，故当0x >时，()f x 为增函数.（ⅲ）若03m <<,当0x m <<时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅳ)若3m >,当03x <<时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x m >时，()0f x '>，()f x 为增函数.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞；当03m <<时，函数()f x 的单调递增区间是()0,m ,()3,+∞；当3m =时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当3m >时，函数()f x 的单调递增区间是()0,3,(),m +∞. ………6分 （Ⅱ）依题意，若过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，则有1212()()3f x f x x x ->--，当120x x >>时，1212()()3()f x f x x x ->--，即1122()3()3f x x f x x +>+； 当120x x <<时，1212()()3()f x f x x x -<--，即1122()3()3f x x f x x +<+. 设函数()()3g x f x x =+，若对于两个不相等的正数12,x x ，1212()()3f x f x x x ->--恒成立，则函数21()3ln 2g x x mx m x =-+在()0,+∞恒为增函数， 即在()0,+∞上，3()0mg x x m x'=-+≥恒成立.(1)当0m <时，当0x →，()g x '→-∞，说明此时()0g x '≥不恒成立； 或3()111m m mg m m m m m '=-+=---12322011m m m m m +-=+-<--，说明此时()0g x '≥不恒成立；(2)当0m =时，()0g x x '=>在()0,+∞上恒成立； (3)当0m >时，若3()0m g x x m x '=-+≥恒成立，而当0x >时，3m x x+≥ （ 当且仅当x =时取等号）即0m ≥成立，即0≥，解得0<，即012m <≤，显然12m =符合题意.综上所述，012m ≤≤时，过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-. 解法二：在()0,+∞上，3()0m g x x m x '=-+≥恒成立，等价于3(1)m x x-≥-，在()0,x ∈+∞成立，即3(1)m x x-≤在()0,x ∈+∞成立. （ⅰ）当3x =时，上式显然满足；（ⅱ）当03x <<时，上式等价于23x m x ≥-，设2()3x h x x =-，此时()h x 为减函数，()(),0h x ∈-∞，只需0m ≥；（ⅲ）当3x >时，上式等价于23x m x ≤-，设2()3x h x x =-，则()h x = 2(3)6(3)93x x x -+-+-9363x x =-++-，当3x >时，()12h x ≥（当且仅当6x =时等号成立）. 则此时12m ≤.在()0,+∞上，当012m ≤≤时，3()0mg x x m x'=-+≥成立. 过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-.解法三：在()0,+∞上，3()0mg x x m x'=-+≥恒成立，等价于2()30h x x mx m =-+≥在),0(+∞∈x 恒成（1）0≤∆时，即0122≤-m m ，所以 120≤≤m 或（2）0∆>时，需02m<且()3h x m >，即30m ≥显然不成立. 综上所述，120≤≤m . ………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，相加得，12341234()10a a a a b b b b +++-+++=，又1234a a a a +++123436b b b b ++++=，则123423a a a a +++=，123413b b b b +++=.“4项相关数列”}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1（不唯一）………3分 参考：（“4项相关数列”共6对：}{n a ：8，5，4，6；}{n b ：7，3，1，2 或}{n a ：7，3，5，8；}{n b ：6，1，2，4 或}{n a ：3，8，7，5；}{n b ：2，6，4，1 或}{n a ：2，7，6，8；}{n b ：1，5，3，4或}{n a ：2，6，8，7；}{n b ：1，4，5，3 或}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在． 理由如下：假设存在 “15项相关数列”}{},{n n b a ，则15,,2,115152211=-=-=-b a b a b a ，相加，得120)()(15211521=+++-+++b b b a a a又由已知465302115211521=+++=+++++++ b b b a a a ，由此585)(21521=+++a a a ，显然不可能，所以假设不成立。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）15． 解：（Ⅰ）因为π()sin 22sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f =由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤，k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． ………………………………………8分 （Ⅱ）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤．所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2． ……………………………………………13分16． 解：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则21()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ，2324,,M M M M 2526,M M M M ，343536,,M M M M M M ，454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生． 事件B 包括1516,M M M M ，2526,M M M M ，3536,M M M M ，454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==．所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． ………………………………………………13分17． 解：（Ⅰ）依题意， 因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ， 所以1BB ⊥底面1111A B C D ．又11AC ⊂底面1111A B C D ， 所以1BB ⊥11AC ． 因为1111A B C D 为菱形，所以1111AC B D ⊥．而1111BB B D B =I ，所以11AC ⊥平面11B BDD ．（Ⅱ）连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ．依题意，1AA ∥1CC ，且11AA CC =，1AA AC ⊥， 所以11A ACC 为矩形．所以1OC ∥AE ． 又11112OC AC =，12AE AC =，11AC AC =， 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形， 则AO ∥1C E ．又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ，所以AO ∥平面1BC D ． ………………………………………………………9分 （Ⅲ）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点．分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥．由于BD ∥11B D ，故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥． 又在1BC D ∆中，11C D C B =，又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E ． 故M 点一定在线段1C E 上． 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值． 在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC =1C E = 所以1min 1OC OE OM C E ⋅== ……………………………………………………………14分 18．解：（I ）1()f x x'=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =．又(e)1f =，所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-，即1e y x = …………………………………4分（Ⅱ）()ln 1F x x ax =--， 11()axF x a x x-'=-=，（0x >）．①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a>；令()0F x '>，解得10x a <<．综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a，减区间是1(,)a +∞． …………………………………………9分（Ⅲ）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解．由（Ⅱ）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数，区间1(,)a +∞上为减函数，由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<， 解得2e a ->．所以实数a 的取值范围为21(,)e+∞． …………………………………………………………………13分19． 解：（Ⅰ）由题意得2222=3,131,4a b ab ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． ………………………………………………………4分（Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，121222(2)14ky y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14k k+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB=．于是，22||141||14AB k k PQ k +==++ 因为0k ≠，所以221331k <-<+． 所以||||AB PQ的取值范围为． ……………………………………………………14分20． 解：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（Ⅰ）2310b b q =>，1313222a ab b a ++==，2213b b b =，2b = 当2b =22a b >；当2b =132b b +13b b =时取等号， 而13b b ≠，所以132b b+>22a b >．综上所述，22a b >． ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=- 所以213,1q q q ++==或2q =-．因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-．令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =，所以10b 是{}n a 中的一项．（ⅱ）假设m k b a =，则111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=-当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N ．正整数m 的集合是{}12m m=m=n,n *∈N 或． ……………………………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：因为|03}{1,2}A x x =∈<<=N ｛，1|21}{|1}x B x x x -=>=>｛ 所以{2}A B =I 故选C2． 【答案】C【解析】解：222i 2i(1i)2i+2i 2i 21i 1i (1i)(1i)1i 2+-====-+--+- 故选C3． 【答案】D【解析】画出,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥表示的区域，如图所示：由2z x y =-，得2y x z =-，画出2y x =并平移，当过(3,0)时，截距z -最小，即z 最大为6． 故选D4． 【答案】D【解析】解：因为p 是“甲落地站稳”，则p ⌝表示“甲落地没有站稳”；q 是“乙落地站稳”，则q ⌝表示“乙落地没有站稳”所以“至少有一位队员落地没有站稳”可以表示为()()p q ⌝∨⌝．5． 【答案】B6． 【答案】A【解析】解：因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称；故排除C ．D ；又2π1()0π214f =>+，排除B ． 故选A ．7． 【答案】C【解析】解：设2AB AC -u u u r u u u r 与CA uu r 的夹角是θ，则(2)cos 2AB AC CA AB AC CAθ-⋅=-uu u r uuu r uu r uu u r uuu r uu r 又AB uu u r和AC uuu r 是平面内两个单位向量，则1AB =uu u r ，1AC =uuu r ；则22(2)(2)22cos600AB AC CA AB AC AC AB AC AC AB AC AC -⋅=--⋅=-⋅+=-⋅︒+=uu u r uuu r uu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r所以cos 0θ= ，则=90θ︒． 故选C8． 【答案】B【解析】解：依题意，标出平面图形上的信息如图所示， 画出折起后的几何体，设BD 中点为E ，并连接'A E 如图所示， 对于①，因为''A B A D =，所以'A E BD ⊥；又平面A BD '⊥平面BCD ，则'A E ⊥面BCD ，'A E BC ⊥；若A D BC '⊥，'''A D A E A =I ，则BC ⊥面A BD '，则BC BD ⊥矛盾，故①错；对于②，'111'332A BCD BCD V S A E -==⨯⨯△对于③，因为'A E ⊥面BCD ，则'A E C D ⊥，又C D B D ⊥，'A E BD E =I ，所以CD ⊥平面A BD '；故③正确；对于④，由③知，CD ⊥平面A BD '，所以'CD A B ⊥；又''A B A D ⊥，'A D CD D =I ，所以'A B ⊥面'A DC ；又'A B ⊂平面A BC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '．故④正确； 故答案选B 二、填空题9． 【答案】2x =-【解析】解：因为抛物线28y x =，则28p =，即4p =，所以准线方程为22px =-=-．故答案为2x =- ． 10．【答案】16【解析】解：因为去掉一个最低分后平均分为90分，则这4人的总分为904360⨯=． 因为去掉一个最高分后平均分为86分，则这4人的总分为864344⨯=；所以最高分比最低分高36034416-=． 故答案为16． 11．【答案】，30︒【解析】解：由余弦定理，得2222cos 164812a b c bc A =+-=+-=，解得a =由正弦定理，得2sin 1sin 2c A C a ===，所以30C =︒或150︒（舍）故答案为，30︒． 12．【答案】13，【解析】解：由三视图画出几何体的直观图如图所示，则几何体是底面是直角三角形的直三棱柱横着放．所以1111133V =⨯⨯⨯=，11121111132S =⨯⨯⨯+⨯+⨯=+故答案为13，13．【答案】[【解析】解：如图，圆心O 到直线AB距离为d =，则AB ==解得m故答案为[m ∈． 14．【答案】二，{3,4,9}【解析】解：因为每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上， 所以6只能在第二张卡片上（否则，若6在第一张上，651-=矛盾；若6在第三张卡片上633-=矛盾）同理，4只能在第三张卡片上（否则，4若在第一张上，514-=矛盾；若4在第二张上，422-=矛盾）；同理，8只能在第一张卡片上，7只能在第二张卡片上，9只能在第三张卡片上．如图所示． 故答案为：二，{3,4,9}．内容由重庆家教网上传。

北京市朝阳区重点中学2014年春学期高三年级一模数学试卷（理科，有答案）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合{}11≤≤-∈=x R x A ，{}0)3(≤-∈=x x R x B ，则B A 等于A. {}31≤≤-∈x R xB. {}30≤≤∈x R xC. {}01≤≤-∈x R xD. {}10≤≤∈x R x2. 在极坐标系中，点A ()π，1到直线2cos =θρ的距离是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为A. 58B. 1229C.35 D. 813 4. 已知函数f （x ）是定义在[]6,6-上的偶函数，且f （3）＞f （1），则下列各式一定成立的是A. f （0）＜f （6）B. f （－3）＞f （－2）C. f （－1）＜f （3）D. f （－2）＞f （1） 5. “1>>n m ”是“2log 2log n m <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛。

经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示。

若甲乙两人的平均成绩分别是甲x ，乙x ，则下列说法正确的是A. 甲x ＞乙x ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B. 甲x ＞乙x ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C. 甲x ＜乙x ，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D. 甲x ＜乙x ，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛7. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是A.314 B. 4 C.310 D. 38. 如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”。

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2013.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =．若AB B =，则实数m 的值是A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或22.命题p ：对任意x ∈R ，210x+>的否定是A ．p ⌝：对任意x ∈R ，210x+≤ B ．p ⌝：不存在0x ∈R , 0210x+≤ C ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+≤ D ．p ⌝：存在0x ∈R , 0210x+> 3.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为 A ．91 B ． 55 C ．54 D ．304.若01m <<， 则 A ．log (1)log (1)m m m m +>- B ．log (1)0m m +>C ．2)1(1m m +>- D ．1132(1)(1)m m ->-5.由直线0x =，3x 2π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于A ．3B ．32C ．1D ．126.已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列结论中错误．．的是 A ．向量c 与向量b 共线B ．若12λλ=+c a b （1λ，2λ∈R ），则10λ=，22λ=-C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数1k ，2k ，使得12k k =d b +cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为07. 若函数2()f x x k =-的图象与函数()3g x x =-的图象至多有一个公共点，则实数k 的取值范围是 . .A. (,3]-∞B. [9,)+∞C. (0,9]D. (,9]-∞8.同时满足以下4个条件的集合记作k A ：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为k ()k *∈N 的等差 数列．那么6133A A 中元素的个数是 A ．96B ．94C ．92D ．90第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．在公比小于零的等比数列{}n a 中，12a =，532a =，则数列{}n a 的前三项和3S = ． 10．函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 11．曲线()e x f x =在点0(x ，0())f x 处的切线经过点(1P ，0)，则0x = ．12．已知平面向量a 与b 的夹角为6π，=a ，1=b ，则-=a b ；若平行四边形ABCD 满足AB =+a b ，AD =a -b ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．13．已知函数222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩ 若2(3)(2)f a f a -<，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数xa x f =)(（10<<a ），数列}{n a 满足)1(1f a =，)(1n n a f a =+，n *∈N .则2a 与3a中，较大的是 ；20a ，25a ，30a 的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2π())4cos 4f x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最小值； （Ⅱ）若π[0,]2α∈，且()3f α=，求α的值．16. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 25A =． （Ⅰ）若5=bc ，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若1a =，求b c +的最大值.17.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，且364a a +=，55S =-. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若123n n T a a a a =++++，求5T 的值和n T 的表达式.18. （本小题满分14分）已知函数2()43f x x x a =-++,a ∈R .（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求 a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()52g x bx b =+-，b ∈R .当0a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知函数21()(3)3ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x 为函数()f x 的图象上任意不同两点，若过A ，B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，求m 的取值范围.20. （本小题满分13分）如果项数均为n ()2,n n *≥∈N的两个数列{}na ，{}nb 满足),,,2,1(n k k b ak k==-且集合}2,,3,2,1{},,,,,,,{2121n b b b a a a n n =，则称数列}{},{n n b a 是一对 “n 项相关数列”.（Ⅰ）设}{},{n n b a 是一对“4项相关数列”，求1234a a a a +++和1234b b b b +++的值，并写出一对“4项相关数列” }{},{n n b a ；（Ⅱ）是否存在 “15项相关数列” }{},{n n b a ？若存在，试写出一对}{},{n n b a ；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）对于确定的n ，若存在“n 项相关数列”，试证明符合条件的“n 项相关数列”有偶数对．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷答案（理工类） 2013.11一、选择题：二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解： 2π())4cos 4f x x x =-+ππ1cos 2sin 2cos cos 2sin 4442xx x +=⋅⋅+⋅sin 2cos22cos22x x x =-++sin 2cos22x x =++π)24x =++．（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，函数()f x 的最小值为2 ………6分（Ⅱ）由()3f α=π)234α++=．所以πsin(2)42α+=． 又因为π[0,]α∈，所以ππ5π2α≤+≤，所以ππ244α+=或π3π244α+=． 所以0α=或π4α=． ………13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos2A =，0A <<π，所以sin2A =. 所以4sin 2sin cos 225A A A ==. 因为5=bc ， 所以2sin 21==∆A bc S ABC . ………6分 （Ⅱ）因为,552sin=A 所以532sin21cos 2=-=A A . 因为A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=1=.()2255()16164b c bc b c +=+-≤，所以b c +≤当且仅当2b c ==时等号成立.所以b c +………13分 17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，则1112545(51)552a d a d a d +++=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩ 解得，15a =-，2d =，则27n a n =-，n *∈N . ………5分（Ⅱ）当4n ≥时， 270n a n =->，当3n ≤时，270n a n =-<. 则5T =12345()13a a a a a -++++=3n ≤T =26n n -4n ≥22618T S S n n =-=-+即226,3,618,4,n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩n *∈N . ………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，则方程()0f x = 的判别式0∆<，即164(3)0a -+<，解得1a >. ………3分（Ⅱ）2()43f x x x a =-++的对称轴是2x =，所以()y f x =在[1,1]-上是减函数，()y f x =在[1,1]-上存在零点，则必有：(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≥⎩，即080a a ≤⎧⎨+≥⎩， 解得：80a -≤≤，故实数的取值范围为80a -≤≤； ………8分（Ⅲ）若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使12()()f x g x =，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =值域的子集.当0a =时，2()43f x x x =-+的对称轴是2x =，所以()y f x =的值域为[1,3]-， 下面求()52g x bx b =+-，[1,4]x ∈的值域， ①当0b =时，()5g x =，不合题意，舍②当0b >时，()52g x bx b =+-的值域为[5,52]b b -+，只需要51523b b -≤-⎧⎨+≥⎩，解得6b ≥ ③当0b <时，()52g x bx b =+-的值域为[52,5]b b +-，只需要52153b b +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3b ≤- 综上：实数b 的取值范围6b ≥或3b ≤- ………14分 19. （本小题满分14分）解:（Ⅰ） 依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，3()(3)m f x x m '=-++2(3)3x m x m -++=(3)()x x m --=.（ⅰ）若0m ≤，当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅱ)若3m =,2(3)()0x f x x-'=≥恒成立，故当0x >时，()f x 为增函数.（ⅲ）若03m <<,当0x m <<时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当3x >时，()0f x '>，()f x 为增函数. (ⅳ)若3m >,当03x <<时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x m >时，()0f x '>，()f x 为增函数.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞；当03m <<时，函数()f x 的单调递增区间是()0,m ,()3,+∞；当3m =时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当3m >时，函数()f x 的单调递增区间是()0,3,(),m +∞. ………6分 （Ⅱ）依题意，若过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，则有1212()()3f x f x x x ->--，当120x x >>时，1212()()3()f x f x x x ->--，即1122()3()3f x x f x x +>+； 当120x x <<时，1212()()3()f x f x x x -<--，即1122()3()3f x x f x x +<+. 设函数()()3g x f x x =+，若对于两个不相等的正数12,x x ，1212()()3f x f x x x ->--恒成立，则函数21()3ln 2g x x mx m x =-+在()0,+∞恒为增函数， 即在()0,+∞上，3()0mg x x m x'=-+≥恒成立.(1)当0m <时，当0x →，()g x '→-∞，说明此时()0g x '≥不恒成立； 或3()111m m mg m m m m m '=-+=---12322011m m m m m +-=+-<--，说明此时()0g x '≥不恒成立；(2)当0m =时，()0g x x '=>在()0,+∞上恒成立； (3)当0m >时，若3()0m g x x m x '=-+≥恒成立，而当0x >时，3m x x+≥ （ 当且仅当x =时取等号）即0m ≥成立，即0≥，解得0<，即012m <≤，显然12m =符合题意.综上所述，012m ≤≤时，过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-. 解法二：在()0,+∞上，3()0m g x x m x '=-+≥恒成立，等价于3(1)m x x-≥-，在()0,x ∈+∞成立，即3(1)m x x-≤在()0,x ∈+∞成立. （ⅰ）当3x =时，上式显然满足；（ⅱ）当03x <<时，上式等价于23x m x ≥-，设2()3x h x x =-，此时()h x 为减函数，()(),0h x ∈-∞，只需0m ≥；（ⅲ）当3x >时，上式等价于23x m x ≤-，设2()3x h x x =-，则()h x = 2(3)6(3)93x x x -+-+-9363x x =-++-，当3x >时，()12h x ≥（当且仅当6x =时等号成立）. 则此时12m ≤.在()0,+∞上，当012m ≤≤时，3()0mg x x m x'=-+≥成立. 过,A B 两点的直线l 的斜率恒大于3-.解法三：在()0,+∞上，3()0mg x x m x'=-+≥恒成立，等价于2()30h x x mx m =-+≥在),0(+∞∈x 恒成（1）0≤∆时，即0122≤-m m ，所以 120≤≤m 或（2）0∆>时，需02m<且()3h x m >，即30m ≥显然不成立. 综上所述，120≤≤m . ………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，112233441,2,3,4a b a b a b a b -=-=-=-=，相加得，12341234()10a a a a b b b b +++-+++=，又1234a a a a +++123436b b b b ++++=，则123423a a a a +++=，123413b b b b +++=.“4项相关数列”}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1（不唯一）………3分 参考：（“4项相关数列”共6对：}{n a ：8，5，4，6；}{n b ：7，3，1，2 或}{n a ：7，3，5，8；}{n b ：6，1，2，4 或}{n a ：3，8，7，5；}{n b ：2，6，4，1 或}{n a ：2，7，6，8；}{n b ：1，5，3，4或}{n a ：2，6，8，7；}{n b ：1，4，5，3 或}{n a ：8，4，6，5；}{n b ：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在． 理由如下：假设存在 “15项相关数列”}{},{n n b a ，则15,,2,115152211=-=-=-b a b a b a ，相加，得120)()(15211521=+++-+++b b b a a a又由已知465302115211521=+++=+++++++ b b b a a a ，由此585)(21521=+++a a a ，显然不可能，所以假设不成立。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三（上）期末数学试卷（理工类）2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位，则复数1i iz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ． 4+．8C ． 4+D ．5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin AC ⋅的最大值是A B ．34C D7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ． 72B ． 3C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ． 11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xx f x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点；④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ；（Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =，二面角E AF B --F 在边BC 上的位置，并说明理由.D P C B F A E0.02若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分） 设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,2，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<． （Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值；（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2014.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．A 2．C 3．A4．D5．B 6．D 7．B8．C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．答案不唯一，如y =x +110. 3 11.12.(2,1)；1n n-.（每空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式3142=--+?………………………………………… 4分 =-4.………………………………………………………………… 5分14.解：220211.3x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由不等式①，得x ≥1. ……………………………………………………… 2分由不等式②，得x <4. ………………………………………………………4分所以不等式组的解为1≤x < 4. ……………………………………………5分15.解：原式2224263x x x x =-+-++ ………………………………………………2分=x 2+2x +5. …………………………………………………………………3分∵ x 2+2x -4=0，∴ x 2+2x = 4. ……………………………………………………………………4分 ∴ 原式=4+5=9. …………………………………………………………………5分16. 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∠ABC=90°． ……………………………………………………1分 即∠ABE +∠CBF =90°． ∵AE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠BFC =90°，且∠ABE+∠BAE =90°． ……………………… 2分 ∴∠BAE =∠CBF ． ………………………………………………………… 3分 ∴△ABE ≌△BCF ． ………………………………………………………… 4分 ∴BE =CF ． ………………………………………………………………… 5分17. 解:（1）∵A （1，0），B （9，0），AD =6．∴D (1，6)． ………………………………………………………………… 1分 将B ，D 两点坐标代入y =kx +b 中，得6,90k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得 34,274k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 32744y x =-+． …………………………………………………… 3分（2）34b <或514b >. ……………………………………………………………… 5分18. 解：设走路线一的平均车速是每小时x 千米，则走路线二平均车速是每小时1.8x 千米． …………………………………… 1分 由题意，得3036201.860x x =+ ……………………………………………………… 2分 解方程，得 x =30. …………………………………………………………3分 经检验，x =30是原方程的解，且符合题意. …………………………………4分 所以 1.8x =54． …………………………………………………………………5分 答：走路线二的平均车速是每小时54千米.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证明：∵CA =CD ，CF 平分∠ACB ，∴ CF 是AD 边的中线． …………………………………………………1分 ∵ E 是AB 的中点，∴ EF 是△ABD 的中位线．∴ EF ∥BD ； ………………………………………………………………2分（2）解：∵ ∠ACB =60°，CA =CD ，∴ △CAD 是等边三角形．∴ ∠ADC =60°，AD =DC =AC =8．∴ BD =BC -CD =4．过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ．∴ sin AM AD ADC =⋅∠=12ABD S BD AM ∆=⋅= …………………………………………………… 3分∵ EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，且12EF BD =．∴14AEF ABD S S ∆∆=．∴AEF S ∆= …………………………………………… 4分 四边形BDFE 的面积=ABD AEF S S ∆∆-= ………………………………… 5分20.解：（1）31.1； ……………………………………………………………………… 1分 （2）45134113584474513++++++ ……………………………………………… 2分≈0.16 ．…………………………………………………………………… 3分该年度重度污染和严重污染出现的频率共是0.16．（3）4052000000.035100⨯⨯…………………………………………………… 4分 =7 280 0. ……………………………………………………………………5分 估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放 72 800千克污染物．21. 解：（1）证明：∵CA 、CB 为⊙O 的切线， ∴ CA =CB ，∠BCO =12∠ACB ，∴∠CBO =90°．……………………………… 1分 ∴ CO ⊥AB ．∴ ∠ABO +∠CBM =∠BCO +∠CBM =90°． ∴ ∠ABO =∠BCO ． ∴ ∠ABO =12∠ACB ． ……………………………………………………………2分 （2） ∵ OA ＝OB ，∴∠EAB =∠ABO ．∴ ∠BCO ＝∠EAB ． ∵ sin ∠BCO =sin ∠EAB ．…………………3分 ∴OB CB ＝13． ∵ CB ＝12，∴ OB ＝4． ……………………………………………4分 即⊙O 的半径为4．∴∠OBE ＝∠CAE ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴△OBE ∽△CAE ． ∴BE AE ＝OBCA． ∵CA ＝CB ＝12， ∴BE AE ＝13． ………………………………………………………………………5分22.解：（1； ……………………………………………………………………… 1分 （2）如图（画出其中一种情况即可）A…………………………………… 3分（2）如图（画出其中一种情况即可）……………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）由题意 m ≠ 0，………………………………………………………… 1分 ∵方程有两个不相等的实数根，∴ △>0． ………………………………………………………………2分即22[3(1)]4(23)(3)0m m m m -+-+=+>．得m ≠﹣3．…………………………………………………………………3分 ∴ m 的取值范围为m ≠0和m ≠﹣3；（2）设y =0，则23(1)230mx m x m -+++=．∵2(3)m ∆=+， ∴33(3)2m m x m+±+=．∴ 123m x m+=，21x =．………………………………………………5分 当 123m x m+=是整数时， 可得m =1或m =-1或m =3．………………………………………………………… 6分 ∵4x <，∴ m 的值为﹣1或3 ． ……………………………………………………………7分24.解：（1）BE ； ……………………………………………………………… 1分（2）BE ； ………………………………………………………………… 3分 （3）BE =2CD ·sin α． ……………………………………………………………… 4分证明：如图，分别过点C 、D 作CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AE 于点N ， ∵ CA ＝CB ，DA ＝DE ，∠ACB ＝∠ADE =2α， ∴ ∠CAB ＝∠DAE ，∠ACM ＝∠ADN=α，AM=12AB ，AN=12AE ． ∴∠CAD ＝∠BAE ． ……………………………………………………………… 5分Rt △ACM 和Rt △ADN 中,sin ∠ACM =AM AC ，sin ∠ADN =ANAD． ∴ sin AM AN AC AD α==．∴ 2sin AB AE AC ADα==．……………………… 6分又 ∵∠CAD ＝∠BAE ，∴ △BAE ∽△CAD ．∴ 2sin BE AB CD ACα==∴ BE =2DC ·sin α． ……………………………………………………………… 7分25.解：（1）①如图1． ………………………………………………………………… 1分 ②如图2，作DF ⊥OA 于点F ，根据题意，得 AC =COBAO =30°，CE =DE ， ∴ CDCFDF =32． ∴ D（，32）．………………………2分 求得直线AB的表达式为2y =+， 直线OD的表达式为y =， ∴P（1）．……………………… 3分在△DFO 中，可求得 DO =3．∴PC +PO 的最小值为3． (4)（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O 、C ，∴2y ax =． ……………………………………………………………… 5分由题意，得 22ax x +=+　． ……………………………………………6分 整理，得 22=0ax x +--． ∵ 242=0a ∆-⨯-=（）． 图2∴a=………………………………………………………………7分当a=当a=……………………………………………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分．。