2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练12 Word版含解析

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷专题综合测试1 Word 版含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·重庆卷)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析 由已知得A ∪B ＝{1,2,3}，又集合U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}．答案 D2．(2013·辽宁卷)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]解析 经计算A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案 D3．(2013·福建卷)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 a ＝3⇒A ⊆B ，但A ⊆B 可得a ＝2或a ＝3，故选A. 答案 A4．下列结论错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真C ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析 根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；当m ＝0时，a <b ⇒am 2＝bm 2，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确，故选C. 答案 C5．函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A 、B.当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且1－1a <0，D 满足． 答案 D6．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c解析 a ＝log 233，b ＝log 233，∴a ＝b >1.又c ＝log 32<1， ∴a ＝b >c . 答案 B7．(2013·重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析 (3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 当a ＝－32∈[－6,3]时，(3－a )(a ＋6)取得最大值92. 答案 B 8．2013年下半年某省市拟联合公选年轻干部，其中省管干部x 名，市管干部y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4≥0，x －y ＋4≥0，x ≤4，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝7x ＋9y 的最大值是( )A ．64B ．72C ．90D ．100解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(取阴影部分中的整点)，由目标函数z ＝7x ＋9y 的意义可知当直线z ＝7x ＋9y 过A 点时，z 取得最大值，此时z ＝7×4＋9×8＝100.选D. 答案 D9. 设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析 在区间(0,2)上，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,2)上单调递减，符合题意的只有C. 答案 C10．(理)(2013·江西卷)如图所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析 正三角形的高为1，则边长为233，当x ＝时，y＝233(0<x <π)，排除B ；由平行线分线段成比例知BE AB ＝1－cos x 21，即BE ＝233⎝⎛⎭⎫1－cos x 2，而BE ＝CD ，故y ＝2EB ＋BC ＝23－433cos x 2(0<x <π)，排除A ，C ，故选D. 答案 D10．(文)(2013·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 解析 由题意可知f ′⎝⎛⎭⎫14＝12x －12| x ＝14＝1，g ′⎝⎛⎭⎫14＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案 A 11．(理)(2013·辽宁卷)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析 由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，得[x 2f (x )]′＝e x x ，令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e x x ，又f (x )＝g (x )x 2，所以f ′(x )＝xg ′(x )－2g (x )x 3＝e x －2g (x )x 3，令h (x )＝e x －2g (x )，h ′(x )＝e x －2g ′(x )＝e x －2e x x ＝e x (x －2)x ，当0<x <2时，h ′(x )<0，当x >2时，h ′(x )>0，所以h (x )≥h (2)＝0，即f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )单调递增，f (x )既无极大值也无极小值． 答案 D11．(文)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 解析 依题意得，函数f ′(x )、g ′(x )分别是偶函数、奇函数，当x <0时，－x >0，f ′(x )＝f ′(－x )>0，g ′(x )＝－g ′(－x )<0，选B. 答案 B12．(理)(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]解析 解法一：|f (x )|的图象如图，x >0时，ln(x ＋1)>0，x >0时|f (x )|≥ax ，即ln(x ＋1)>ax ，由图可得a ≤0；而x ≤0时|f (x )|≥ax ，即x 2－2x ≥ax ，得a ≥x －2恒成立得a ≥－2.综上得－2≤a ≤0，故选D.解法二：由图得a >0不成立，故a ≤0，结合图象可得，|f (x )|≥ax恒成立，只需a 大于等于x 2－2x 在x ＝0处的切线的斜率，即a ≥(2x－2)|x ＝0，所以a ≥－2，得－2≤a ≤0. 答案 D12．(文)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b ，选C. 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1. ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3.因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案 －114．某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0， 即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)．当x >40时，y ′>0. 当0<x <40时，y ′<0， 所以当x ＝40时，y 最小． 答案 4015．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析 设P ⎝⎛⎭⎫t ，1t ，其中t >0， PA 2＝(t －a )2＋⎝⎛⎭⎫1t －a 2 ＝t 2＋1t 2－2a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2a 2， 即PA 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2a 2－2， 令m ＝t ＋1t≥2， 所以PA 2＝m 2－2am ＋2a 2－2＝(m －a )2＋a 2－2， 当PA 取得最小值时⎩⎨⎧ a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝(22)2，或⎩⎨⎧ a >2，a 2－2＝(22)2.解得a ＝－1或a ＝10.答案－1，10 16．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题： ①f (3)＝0； ②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为____ (把所有正确命题的序号都填上)． 解析 取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确． 答案 ①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )>0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值．解 (1)由条件得⎩⎨⎧ －1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1，∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增．∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1， 解得m ＝1±3.∵m <1，∴m ＝1－ 3.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)． 当x <2－3，或x >2＋3时，得f ′(x )>0； 当2－3<x <2＋3时，得f ′(x )<0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)，(2＋3，＋∞)； f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3， Δ＝36a 2－36，由Δ>0得，a >1或a <－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)<0，且f ′(3)>0， 解得54<a <53，因此a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫54，53. 19．(本小题12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a . 又f (1)＝a ＋1＝c ， ∴f (x )在点(1，c )处的切线方程为y －c ＝2a (x －1)， 即y －2ax ＋a －1＝0. 又∵g ′(x )＝3x 2＋b ，则g ′(1)＝3＋b . 又g (1)＝1＋b ＝c ，∴g (x )在点(1，c )处的切线方程为 y －(1＋b )＝(3＋b )(x －1)，即y －(3＋b )x ＋2＝0.依题意知3＋b ＝2a ，且a －1＝2，即a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1.h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的变化情况如下：当－3<k <2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．20．(本小题12分)(2013·北京卷)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解 (1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2. 所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．21．(本小题12分)(理)(2013·湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ＝0.997 4) (2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y .依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是原问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y . 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z 2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．21．(本小题12分)(文)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2. 从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．故当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 22．(本小题12分)(理)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝(1＋x )e－2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x .当x ∈[0,1]时， (1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )·e －x ≥(1－x )e x . 记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )，当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0.所以f (x )≥1－x ，x ∈[0, 1]． 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≤11＋x，只需证明e x ≥x ＋1. 记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0. 所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]． (2)f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫a ＋1＋x 22＋2cos x . 设G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x .记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x )<0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )<G ′(0)＝0，故G (x )在[0,1]上是减函数． 于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3. 所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立， 下面证明，当a >－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x －1－ax －x 32－2x cos x ＝－x 1＋x－ax －x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ， 记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x ＋a ＋G (x )，则I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )，当x ∈(0,1)时，I ′(x )<0.故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos1，a ＋3]．因为当a >－3时，a ＋3>0， 所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)>0，此时f (x 0)<g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．22．(本小题12分)(文)(2013·浙江十校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R)． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－4x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)． ①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a . 在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)由题意得f (x )max <g (x )max ，而g (x )max ＝2，由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.。

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练3一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－12 C.12 D ．2解析 由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.故选B. 答案 B2．已知a 是函数f (x )＝2x－log 12 x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定解析 分别作出y ＝2x 与y ＝log 12 x 的图象如图所示，当0<x 0<a 时，y ＝2x的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以f (x 0)<0.故选B.答案 B3．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析 由f (0)＝20－0－2<0，f (1)＝2－1－2<0，f (2)＝22－2－2>0，根据函数零点性质知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.答案 B4．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析 如图所示，过A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于N ；AM ＝40. 由相似三角形得：DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AN AM ＝AN40.解得AN ＝x ，MN ＝40－x ，则阴影部分的面积为S ＝x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C答案 C5．(2012·湖北卷)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析 令f (x )＝x cos x 2＝0可得，x ＝0或cos x 2＝0，故x ＝0或x 2＝k π＋π2，k ∈Z .又x ∈[0,4]，则x 2∈[0,16]，则k ＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间[0,4]上的零点个数为6.答案 C6．(2013·安徽卷)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示．由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解， 因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3. 答案 A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·哈尔滨一模)现有含盐7%的食盐水200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________．解析 根据已知条件设y ＝200×7%＋x ·4%200＋x×100%，令5%<y <6%，即(200＋x )·5%<200×7%＋x ·4%<(200＋x )·6%，解得100<x <400.答案 (100,400)8．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1的零点是抛物线x ＝ay 2的焦点的横坐标，则a ＝________.解析 令f (x )＝log 2(x ＋1)－1＝0，得函数f (x )的零点为x ＝1，于是抛物线x ＝ay 2的焦点的坐标是(1,0)，因为x ＝ay 2可化为y 2＝1a x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a >0，14a ＝1，解得a ＝14.答案 149．已知f (x )＝|x |＋|x －1|，若g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．解析 g (x )的零点个数不为零，即f (x )图象与直线y ＝a 的交点个数不为零，画出f (x )的图象可知，a 的最小值为1.答案 1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根． ∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1. 因此实数a 的取值范围是(0,1)．11．(本小题10分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值． (精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋200－x 22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．12．(本小题10分)(2013·河南驻马店一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋ax 2＋bx ，x <1，c e x －1－1，x ≥1在x ＝0和x ＝23处存在极值．(1)求实数a ，b 的值；(2)当c ＝e 时，讨论关于x 的方程f (x )＝kx (k ∈R )的实根个数． 解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b . 因为函数f (x )在x ＝0和x ＝23处存在极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，解得a ＝1，b ＝0.(2)由方程f (x )＝kx ，知kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，e x－e ，x ≥1，0一定是方程的根，所以仅就x ≠0时进行研究：方程等价于k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x <1且x ≠0，e x－ex，x ≥1.构造函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x <1且x ≠0，e x－ex，x ≥1，对于x <1且x ≠0部分，函数g (x )＝－x 2＋x 的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x ＝12时取得最大值14，其值域是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14； 对于x ≥1部分，函数g (x )＝e x－e x，由g ′(x )＝e xx －1＋ex 2>0，知函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上所述：①当k >14或k <0时，方程f (x )＝kx 有一个实根；②当k ＝14，0时，方程f (x )＝kx 有两个实根；③当0<k <14时，方程f (x )＝kx 有三个实根．。

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练12一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·安徽卷)在下列命题中，不是．．公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析立体几何中的公理有四个，B，C，D都是，第四个为空间平行线的传递性，而A 是面面平行的性质定理，由公理推证出来的，故选A.答案 A2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，所以选B.答案 B3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是( )A．若b⊂β，a∥b，则a∥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥αD．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α思路分析根据空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理逐个进行判断．解析对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理，可得a∥β.故选项A正确．对于选项B，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线、面的位置关系，可知a⊂α或a∥α，而由已知可知a⊄α，所以a∥α.故选项B正确．对于选项C，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α.而由已知a⊄α，所以a∥α.故选项C正确．对于选项D，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β.又α⊥β，所以b⊂α或b∥α.故不能得到b∥α.所以选项D错误．故选D.答案 D4．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析m，n为异面直线，m⊥面α，n⊥面β，则α，β一定相交，不一定垂直，但交线一定垂直于直线m，n，又l⊥m，且l⊥n，则l平行于α和β的交线，故选D.答案 D5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.答案 D6．(2013·江西卷)如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m ＋n＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析 取CD 中点G ，连接EG ，FG ，得CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，所以CD ⊥面EFG ，又AB ∥CD ，所以AB ⊥面EFG ，所以AB ⊥EF ，则EF 与正方体的左右面平行，与上下前后四个面均相交，n ＝4，而CE 在底面内与上底面平行，与四个侧面都相交，所以m ＝4，m ＋n ＝8，故选A.答案 A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·贵州贵阳一模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析 如图所示，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E ，取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，则直线FN 与CN 所夹的锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角．设AB ＝1，连接CF ，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174. 由余弦定理得cos ∠CNF ＝CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.答案 258.(2013·北京卷)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析 点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上，设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255 答案 2559.如图所示，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC . 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .答案 ②④三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10.(本小题10分)(2013·西安五校联考)如图所示，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC ＝AB ＝1，A 1C ＝A 1B ，B 1C 1∥BC ， B 1C 1＝12BC .(1)求证：平面A 1AC ⊥平面ABC ； (2)求证：AB 1∥平面A 1C 1C .证明 (1)∵四边形ABB 1A 1为正方形，∴A 1A ＝AB ＝AC ＝1，A 1A ⊥AB .∴A 1B ＝ 2.∵A 1C ＝A 1B ，∴A 1C ＝ 2. ∴∠A 1AC ＝90°，∴A 1A ⊥AC . ∵AB ∩AC ＝A ，∴A 1A ⊥平面ABC .又∵A 1A ⊂平面A 1AC ，∴平面A 1AC ⊥平面ABC ， (2)取BC 的中点E ，连接AE ，C 1E ，B 1E . ∵B 1C 1∥BC .B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥EC ，B 1C 1＝EC .∴四边形CEB 1C 1为平行四边形．∴B 1E ∥C 1C . ∵C 1C ⊂平面A 1C 1C ，B 1E ⊄平面A 1C 1C ，∴B 1E ∥平面A 1C 1C . ∵B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥BE ，B 1C 1＝BE .∴四边形BB 1C 1E 为平行四边形． ∴B 1B ∥C 1E ，且B 1B ＝C 1E . 又∵四边形ABB 1A 1是正方形， ∴A 1A ∥C 1E ，且A 1A ＝C 1E .∴四边形AEC 1A 1为平行四边形，∴AE ∥A 1C 1. ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1C ，AE ⊄平面A 1C 1C ， ∴AE ∥平面A 1C 1C .∵AE ∩B 1E ＝E ，∴平面B 1AE ∥平面A 1C 1C . ∵AB 1⊂平面B 1AE ，∴AB 1∥平面A 1C 1C . 11.(本小题10分)(2013·江苏卷)如图所示，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .解 (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.12．(本小题10分)(理)(2013·广东卷)如下图(左)所示，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE 沿DE折起，得到如下图(右)所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．解(1)由题意，得OC＝3，AC＝32，AD＝2 2.连接OD，OE.在△OCD中，由余弦定理可得OD＝OC2＋CD2－2OC·CD cos45°＝ 5.由翻折不变性可知A′D＝22，所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.图1(2)(传统法)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，如图1. 因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ， 所以∠A ′HO 为二面角A ′－CD －B 的平面角． 结合OC ＝3，∠BCD ＝45°，得OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，所以二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155.图2(向量法)以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图2所示， 则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)， 所以CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA ′→＝0，n ·DA ′→＝0，即⎩⎨⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－x ，z ＝3x ，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)，即n ＝(1，－1，3)为平面A ′CD 的一个法向量． 由(1)知，OA ′→＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ·OA ′→|n ||OA ′→|＝33×5＝155，即二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155. 12．(本小题10分)(文)(2013·北京卷)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.。

专题四综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．如图是一正方体被过点A、M、N的平面和点N、D、C1的平面截去两个角后所得的几何体，其中M、N分别为棱A1B1、A1D1的中点，则该几何体的正视图为()解析正视图是正方形，点M的射影是中点，对角线DC1在正视图中是虚线，故选B.答案 B2．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为()A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π解析 由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C.答案 C3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ， b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 解析 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α，a ∥β，故排除A. 若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C. 答案 D4．将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的( )A.12B.13C.23D.14解析 设正方体的棱长为1，依题意知，截去的角为一个三棱锥，其体积为：V 1＝13×12×1×1×1＝16，则V 正四面体＝1－4×16＝13.∴V 正四面体V 正方体＝131＝13.答案 B5．已知空间中有三条线段AB 、BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交解析 若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB 与CD 平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线，故选D.答案 D6．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A.32B.12C.33D.36解析 由于是正三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是23×32＝33，故侧棱与底面所成角的余弦值为332＝36.答案 D7．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 由棱柱ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱底面边长为3，设高为h ，得32×32×12×h ＝94，解得h ＝3，设△ABC 中心为O ，则PO ＝3，AO ＝23×32×3＝1，由PO ⊥面ABC 知∠P AO 即AP 与面ABC 所成的角，tan ∠P AO ＝3，所以∠P AO ＝π3.答案 B8．(2013·长沙模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点， 若截面三角形BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为( )A ．16 3B ．8 3C ．4 3D.833解析 设正三棱柱的底面边长为a ，高为2h ，则BD ＝C 1D ＝a 2＋h 2，BC 1＝a 2＋4h 2，由△BC 1D 是面积为6的直角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧2×(a 2＋h 2)＝a 2＋4h 2，12(a 2＋h 2)＝6，解得⎩⎨⎧a 2＝8，h ＝2，故此三棱柱的体积为V ＝12×8×sin60°×4＝8 3.答案 B9.如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC ⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC 与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案 D10．(2013·湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4解析由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V 1＝13π×(12＋22＋1×2)×1＝73π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V 2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V 3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V 4＝13×(22＋22×42＋42)×1＝283，比较大小可知答案选C.答案 C11．(理)如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13解析 取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误，∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误，故选B.答案 B11．(文)(2013·江西九校联考)如图所示，三棱锥V －ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33C.34D.36解析 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33.答案 B12.如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，则该几何体的外接球的表面积等于( )A ．3πB ．6π C.3π2D ．2π解析在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝2；在Rt△ABD中，AD＝AB2＋BD2＝ 3.如图所示，折起的几何体为一个三棱锥A－BCD，因为AB⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AB⊥平面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC.取AD的中点O，连接OB，OC.在Rt△ABD中，OA＝OB＝OD＝12AD＝32；在Rt△ACD中，OA＝OC＝OD＝12AD＝32，所以三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，半径为32，故其表面积为S＝4πr2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案 A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析该几何体是一圆柱挖去一正四棱柱后剩下的部分，所以体积是π×22×4－22×4＝16π－16.答案16π－1614．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析该球为一棱长为2的正方体的外接球，体对角线为球的直径，2R＝22＋22＋22＝23，得R＝3，所以该球的表面积为4πR2＝12π.答案12π15．三棱锥P－ABC的两侧面P AB，PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝3a，则二面角A－PB－C的大小为________．解析取PB的中点M，连接AM，CM.则AM⊥PB，CM⊥PB.故∠AMC为二面角A－PB－C的平面角．在△P AB和△PBC中可得AM＝CM＝3a，而AC＝3a，则△AMC为正三角形，∴∠AMC＝60°.则二面角A－PB－C的大小为60°.答案60°16．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M 分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.解析 N 在线段EG 上时，MN ⊥AC ，又AC ∥A 1C 1，∴MN ⊥A 1C 1.∵平面HEM ∥平面B 1D 1C ，∴当MN ⊂平面HEM 时，MN ∥平面B 1D 1C .∴N ∈线段EH 时，MN ∥平面B 1D 1C .答案 N 在线段EG 上 点N 在线段EH 上三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题10分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是棱BB 1的中点，N 是CC 1的中点，AC 1与A 1N 相交于点E .(1)求三棱锥A －MNA 1的体积；(2)求证：AC 1⊥A 1M .解 (1)∵三棱锥A －MNA 1的体积等于三棱锥M －ANA 1的体积，∴V ＝13×12×6×3×1＝22.(2)证明：∵BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，∴BC ⊥面ACC 1.连接MN ，由M ，N 分别是BB 1和CC 1的中点可知MN ∥BC ， ∴MN ⊥面ACC 1，又∵AC 1⊂面ACC 1.∴MN ⊥AC 1.在Rt △A 1C 1N 中，A 1N2＝NC 21＋A 1C 21＝3＋64＝92，∴A 1N ＝322.在Rt △AC 1C 中，AC 21＝CC 21＋AC 2＝3＋6＝9，∴AC 1＝3. 由CC 1∥AA 1可得，NE ＝12NA 1＝22，EC 1＝13AC 1＝1，∴NE 2＋EC 21＝NC 21.∴AC 1⊥A 1N .∴AC 1⊥面A 1MN ，又∵A 1M ⊂面A 1MN ，∴AC 1⊥A 1M .18．(本小题12分)(理)如图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(即底面为正方形的直四棱柱)中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .(1)证明：A 1C ⊥平面BED ；(2)求直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值．解 如图建立空间直角坐标系，则A 1(2,0,4)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，E (0,2,1)．(1)证明：A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2,1)．∵A 1C →·DB →＝－2×2＋2×2－4×0＝0，A 1C →·DE →＝－2×0＋2×2－4×1＝0.∴A 1C →⊥DB →，A 1C →⊥DE →.∴A 1C ⊥平面BED .(2)A 1E →＝(－2,2，－3)，A 1D →＝(－2,0，－4)，设平面A 1DE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·A 1E →＝0及n ·A 1D →＝0，得－2x ＋2y －3z ＝0，－2x －4z ＝0，取n ＝(－4，－1,2)，A 1C →＝(－2,2，－4)．设直线A 1C 与平面A 1DE 所成角为θ.则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－2－821·24＝1442. 则直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值为1442.18．(本小题12分)(文)如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积．解 (1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC .∵AD ⊂平面ADB ，∴平面ADB ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ，∵DB ＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32，∴表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.19.(本小题12分)(理)(2013·广东佛山一模)如图所示，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A －SC －B 的余弦值．解 (1)证明：由题设知AB ＝AC ＝SB ＝SA ，连接OA ，易知△ABC为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC .又△SBC为等腰三角形，SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2.所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2)解法一：取SC 的中点M ，连接AM ，OM ，由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC .∴∠OMA 为二面角A －SC －B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O 得AO ⊥平面SBC .所以AO ⊥OM .又AM ＝32SA ，故sin ∠OMA ＝AO AM ＝22SA 32SA＝63. 所以二面角A －SC －B 的余弦值为33.解法二：以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)．取SC 的中点M ，连接OM ，AM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，MO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12，MA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，－12，SC →＝(－1,0，－1)．∴MO →·SC →＝0，MA →·SC →＝0.由MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，〈MO →，MA →〉即为二面角A －SC －B 的平面角．cos 〈MO →，MA →〉＝MO →·MA →|MO →||MA →|＝33，∴二面角A －SC －B 的余弦值为33.19.(本小题12分)(文)(2013·课标全国Ⅰ)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20．(本小题12分)(理)在如图所示的几何体中，四边形ACC 1A 1为矩形，FC 1∥BC ，EF ∥A 1C 1，∠BCC 1＝90°，点A ，B ，E ，A 1在一个平面内，AB ＝BC ＝2，AC ＝2 2.(1)证明：A 1E ∥AB ；(2)若A 1E ＝C 1F ＝12CC 1＝1，求平面ABC 与平面BEF 所成角的正切值．解 (1)证明：四边形ACC 1A 1为矩形，∴A 1C 1∥AC .又∵AC ⊂平面ABC ，A 1C 1⊄平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC .∵FC 1∥BC ，BC ⊂平面ABC ，FC 1⊄平面ABC ，∴FC 1∥平面ABC .又∵A 1C 1⊂平面A 1EFC 1，FC 1⊂平面A 1EFC 1，且A 1C 1∩FC 1＝C 1，∴平面A 1EFC 1∥平面ABC .又∵平面ABEA 1∩平面A 1EFC 1＝A 1E ，平面ABEA 1∩平面ABC ＝AB ，∴A 1E ∥AB .(2)∵四边形ACC 1A 1是矩形，∴AA 1⊥AC ，AA 1∥CC 1.又∵∠BCC 1＝90°，即CC 1⊥BC ，∴AA 1⊥BC .又AC ∩BC ＝C ，∴AA 1⊥平面ABC .∵AB ＝BC ＝2，AC ＝22，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°，即BC ⊥AB .根据以上结论，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (0,1,2)，F (1,0,2)，∴BE →＝(0,1,2)，BF →＝(1,0,2)．设平面ABC 与平面BEF 的法向量分别是n 1和n 2，平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角为θ，取n 1＝(0,0,1)，设n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 2·BE →＝0，n 2·BF →＝0，即⎩⎨⎧ y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，取n 2＝(2,2，－1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－13. 由图易知θ为锐角，∴cos θ＝13，sin θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝2 2.20.(本小题12分)(文)(2013·重庆卷)如图所示，四棱锥P －ABCD中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积． 解 (1)证明：因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD.从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC.(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC·CD·sin ∠BCD＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13·3·23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13·3·18·23＝14， 所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.21．(本小题12分)(理)(2013·安徽卷)如图所示，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；(2)求cos ∠COD.解 (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l.因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD.又AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l. 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．(2)设CD 的中点为F.连接OF ，PF.由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD.因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD ，又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF.又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ，从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP·tan ∠OPF ＝h·tan 60°＝3h.根据题设有∠OCP ＝22.5°，得OC ＝OP tan ∠OCP ＝h tan 22.5°. 由1＝tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°和tan 22.5°>0，可得tan22.5°＝2－1，因此OC＝h2－1＝(2＋1)h.在Rt△OCF中，cos∠COF＝OFOC＝3h(2＋1)h＝6－3，故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos2∠COF－1＝2(6－3)2－1＝17－12 2.21．(本小题12分)(文)如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.(1)求证：平面BCD⊥平面ABC；(2)求证：AF∥平面BDE；(3)求四面体B－CDE的体积．解(1)证明：∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE ＝AC，CD⊥AC，∴DC⊥平面ABC.∵DC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC.(2)证明：取BD 的中点P ，连接EP 、FP ，则PF 綊12DC.∵EA 綊12DC ，∴EA 綊PF.∴四边形AFPE 是平行四边形．∴AF ∥EP ，∵EP ⊂平面BDE ，∴AF ∥平面BDE.(3)∵BA ⊥AC ，平面ABC ∩平面ACDE ＝AC ，∴BA ⊥平面ACDE ，∴BA 就是四面体B －CDE 的高，且BA ＝2.∵DC ＝AC ＝2AE ＝2，AE ∥CD ，∴S 梯形ACDE ＝12×(1＋2)×2＝3，S △ACE ＝12×1×2＝1，∴S △CDE ＝3－1＝2.∴V B －CDE ＝13×2×2＝43.22．(本小题12分)(理)(2013·浙江卷)如图所示，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝2 2.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC.(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．解 解法一：(1)取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OP ，OF ，FQ.因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝14AD.因为O ，P 分别为BD ，BM 的中点，所以OP 是△BDM 的中位线，所以OP ∥DM ，且OP ＝12DM.又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝14AD.从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF ，又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD.(2)作CG ⊥BD 于点G ，作GH ⊥BM 于点H ，连接CH. 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ，所以AD ⊥CG ，又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ，所以CG ⊥BM.又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ，所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ.在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝22cos θ，CG ＝CD sin θ＝22cos θsin θ，BG ＝BC sin θ＝22sin 2θ.在Rt △BDM 中，HG ＝BG·DM BM ＝22sin 2θ3. 在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝CG HG ＝3cos θsin θ＝ 3.所以tan θ＝ 3.从而θ＝60°，即∠BDC ＝60°.解法二：(1)如图所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意知A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M(0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12.所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，故PQ →·u ＝0.又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .(2)设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的法向量．由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)知⎩⎨⎧ －x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0.取y ＝－1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 0，－1，22. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 02＝12， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 02＝3.(1) 又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.(2)联立(1)(2)，解得⎩⎨⎧ x 0＝0，y 0＝－2，(舍去)或⎩⎨⎧ x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－y 0＝ 3. 又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.22．(本小题12分)(文)(2013·北京海淀一模)在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC中点，又∠CAD ＝30°，P A ＝AB ＝4，点N 在线段PB 上，且PN NB ＝13.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求证：MN ∥平面PDC ；(3)设平面P AB ∩平面PCD ＝l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由．解 (1)证明：因为△ABC 是正三角形，M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC .又因为P A ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥面P AC ，又PC ⊂面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)证明：在正三角形ABC 中，BM ＝23，在△ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ，所以AD ＝CD .因为∠CAD ＝30°，所以DM ＝233.所以BM MD ＝所以BN NP＝BM MD.所以MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(3)假设直线l∥CD，因为l⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，所以CD∥平面P AB，又CD⊂平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以CD∥AB，这与CD与AB不平行矛盾，所以直线l与直线CD不平行．。

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练2一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·某某卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A . 答案 A2．(2013·某某卷)已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg (x ＋y)＝2lg x ·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg (xy)＝2lg x ·2lg y解析 由指数与对数的运算性质得2lg (xy)＝2(lg x ＋lg y)＝2lg x ·2lg y.答案 D3．(2013·全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c>b>aB ．b>c>aC ．a>c>bD ．a>b>c解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72.由y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 在同一坐标系中的相对位置知log 32>log 52>log 72，进而得a>b>c ，选D .答案 D4．(2013·某某卷)设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( )A ．[－x]＝－[x]B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]解析 令x ＝1.5，而[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A 错．[2x]＝3,2[x]＝2，则B 错，令x ＝1.8，y ＝1.9，则[x ＋y]＝[3.7]＝3，而[x]＝1，[y]＝1，[x ＋y]>[x]＋[y]，故C 错，从而选D .答案 D5．(2013·某某东营模拟)已知函数y ＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y ＝f(x)的解析式应为( )A ．f(x)＝e x ln xB ．f(x)＝e －x ln (|x|)C ．f(x)＝e x ln (|x|)D ．f(x)＝e |x|ln (|x|)解析 由定义域是{x|x ∈R ，且x ≠0}，排除A ；由函数图象知不是偶函数，排除D ；当x →＋∞时，f (x )＝ln|x |ex →0，排除B ，选C. 答案 C6．(2013·东城模拟)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f (x )＝3x－2x －3，则方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①在区间(0，＋∞)上，只有y ＝x 12 ，y ＝x 3是增函数，所以①错误；②由log m 3<log n 3<0，可得1log 3m <1log 3n <0，即log 3n <log 3m <0，所以0<n <m <1，所以②正确；③显然正确；④由f (x )＝3x－2x －3＝0得3x＝2x ＋3，令y 1＝3x，y 2＝2x ＋3，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．所以正确命题的个数为 3.故选C.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，f x －1，x >0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝－12. 答案 －128．(2013·某某卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析 x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，故f (x )＝－x 2－4x .x ＝0时，f (x )＝0，所以f (x )>x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0，解得－5<x <0或x >5.答案 (－5,0)∪(5，＋∞)9．(2013·石景山模拟)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；②点(k,0)是y ＝f (x )的图象的对称中心，其中k ∈Z ；③函数y ＝f (x )的最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，32上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是________．解析 令x ＝m ＋a ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以f (x )＝x －{x }＝a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以①正确；因为f (2k －x )＝2k －x －{2k －x }＝(－x )－{－x }＝f (－x )≠－f (－x )，所以点(k,0)不是函数f (x )的图象的对称中心，所以②错误；f (x ＋1)＝x ＋1－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，所以最小正周期为1，所以③正确；显然④错误；所以正确的为①③.答案 ①③三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2mx 在[2,4]上单调，求m 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f3＝5f 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝54a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2f2＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝24a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0， 即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m2≤2或2m＋22≥4，∴2m≤2或2m≥6，即m ≤1或m ≥log 26. 故m 的取值X 围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．11．(本小题10分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解 函数的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x ＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，令f ′(x )>0，得2－x2x x －2<0，又0<x <2，则2－x 2>0，解得0<x < 2. 令f ′(x )<0，则2－x 2<0，解得2<x <2. ∴函数f (x )的单调增区间为(0，2)， 单调减区间为(2，2)． (2)∵a >0，当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝1x －12－x ＋a ＝21－xx 2－x ＋a >0.则f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.12．(本小题10分)(2013·某某某某一模)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b . (1)求方程f (x )＝1的解； (2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1；(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.解 (1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1， 所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1. 又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1<b 1<b 2，∵φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1b 1b 2<0，∴φ(b 1)<φ(b 2)，∴φ(b )在(1，＋∞)上为增函数． ∴φ(b )>φ(1)＝2. ∴a ＋b2>1.(3)证明：由已知可得b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0，g (b )＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.。

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练141．(2013·江西卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析 由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，则z ＝4i ＝－4i ，故选C.答案 C2．(2013·陕西卷)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 f (x )＝1－x 2的定义域M ，即1－x 2≥0的解集，故M ＝{x |－1≤x ≤1}．由补集的运算，知∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案 D3．(2013·湖南卷)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 在同一平面直角坐标中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，g (x )＝x 2－4x ＋5的顶点(2,1)，2ln2>2lne 12＝1，所以(2,1)位于y ＝f (x )图象下方，故交点个数为2.答案 B4．(2013·全国卷Ⅱ)执行右面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋ (110)C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋ (111)解析 由程序框图的循环结构可知：T ＝1，S ＝0＋1＝1，K ＝2； T ＝12，S ＝1＋12，K ＝3；T ＝123＝12×3，S ＝1＋12＋12×3，K ＝4； T ＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋ (110)，K ＝11>10； 停止循环，输出S ，故选B. 答案 B5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52等于( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 答案 A6．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12 B.33C.32D. 3解析 y x可以看作圆(x －2)2＋y 2＝3和原点连线的斜率．利用图形易知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝ 3.答案 D7．已知对于任意的k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1内部即可．从而m ≥1，又因为椭圆x 25＋y 2m＝1中m ≠5，所以m 的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．答案 C8．如图所示，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3:1B ．2:1C ．4:1D.3:1解析 将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ ＝0，且易有VC －AA 1B ＝V3，故选B.答案 B9．(2013·安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增，只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a<0，整理得a ≤0，而当a ≤0时，结合图象可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案 C10．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin x ，tan x 与x 的大小关系是( ) A ．tan x ≥sin x ≥x B ．tan x ≥x ≥sin x C ．大小关系不确定D ．|tan x |≥|x |≥|sin x |解析 结合y 1＝sin x ，y 2＝tan x ，y 3＝x 的图象可知D 正确．答案 D11．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于( )A ．3 B.13 C ．11D.111解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1得a n >0，∴2a n ＋1>a n ，即a n2a n ＋1<1，故排除A 项，C 项．又a 2＝a 12a 1＋1＝13，又由已知可以看出a n ＋1<a n ， 故a 6应小于13.答案 D12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1D ．ω≤－1解析 ∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π，∴y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D. 答案 B13．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝S MB ．P >S MC ．P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S MnD ．P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S Mn解析 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >SM和P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n，M ＝n2，这时有P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n，而P ≠SM ，所以A 选项不正确．答案 C14．(2013·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ；x 3的系数为正数，故f (x )或者在(－∞，＋∞)上为增函数，或者存在极值点x 1，x 2，(x 1<x 2)，f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上为增函数在 (x 1，x 2)上为减函数，此时x 2为极小值点，故在(－∞，x 2)上先增后减，故选C.答案 C15．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤K ，K ，fx >K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析 函数f (x )＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．答案 C16．(2013·安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3解析 |OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，求得∠AOB ＝π3，不妨设A (2,0)，B (1，3)，P (x ，y )．由题中所给OP →＝λOA →＋μOB →，知⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x 2－y 23，μ＝y3，又|λ|＋|μ|≤1代入得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－y 23＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 3≤1，当y ≥0且x 2－y 23≥0时，得：3x ＋y ≤23，画出可行域可得S 0＝12×2×3＝ 3.由图象的对称性得S ＝4S 0＝43，故选D. 答案 D17．(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16解析 令f (x )＝g (x )得x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2，因为f (x )的对称轴是x ＝a ＋2，g (x )的对称轴是x ＝a －2，在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，B ＝f (a －2)＝－4a ＋12，所以A －B ＝－16.答案 B18．(2013·全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 解析 ∵a n ＋1＝a n ，∴令a n ＝a ，a 为常数，b 2＝c 1＋a 2，c 2＝b 1＋a2.∴b 2＋c 2＝c 1＋a ＋b 1＋a2＝2a .归纳可知b n ＋c n ＝2a .∴点A 在以2a 为长轴的椭圆上．c 2－b 2＝b 1－c 12，归纳知|c n －b n |＝b 1－c 12n －1，∴c n 与b n 越来越接近时，A 点越接近D 点，S n 逐渐递增． ∴{S n }是递增数列． 答案 B。

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练25一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·湖南卷)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法解析因为被抽取的个体有明显差异，所以宜采用分层抽样．答案 D2．(2013·陕西卷)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A．11 B．12C．13 D．14解析由系统抽样的等距抽样特点知，840人要分成42组，每组20人，[481,720]包含的是第25组到第36组，每组抽1人，则共抽到12人，故选B.答案 B3．(2013·辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A．45 B．50C．55 D．60解析 低于60分的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以总人数为150.3＝50(人)．答案 B4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 0 1 2 3 y1357则y 与x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过( ) A ．(1,3) B ．(2,5) C ．(1.5,4)D ．(3,7)解析 由题意知，样本中心点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4一定在回归直线上． 答案 C5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析 由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．答案 D6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050 110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．解析利用样本中各层人数的比例与总体中各层人数的比例相等的特点进行求解．抽取男运动员的人数为4848＋36×21＝12.答案128．(2013·湖北卷)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析(1)由直方图得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x＋0.006 0)×50＝1，解得x ＝0.004 4.(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.答案 (1)0.004 4 (2)709．(2013·辽宁卷)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析 设5个班级的数据分别为0≤a ≤b ≤c ≤d ≤e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e5＝7，a －72＋b －72＋c －72＋d －72＋e －725＝4.设a －7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，则⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )>0，则判别式Δ<0，解得－4<t <4，所以－3≤t ≤3，所以e 的最大值为10.答案 10三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下 甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的高考备考成绩；(2)分别求两学生的高考备考成绩的中位数和平均分． 解 (1)两学生的高考备考成绩的茎叶图如图所示：(2)将甲、乙两学生的高考备考成绩从小到大排列为： 甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知甲学生的高考备考成绩的中位数为536＋5382＝537.乙学生的高考备考成绩的中位数为532＋5362＝534.甲学生的高考备考成绩的平均分为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537；乙学生的高考备考成绩的平均分为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537.11．(本小题10分)(理)(2013·福建泉州一模)甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为t (cm)，相关行业质检部门规定：若t ∈(2.9,3.1]，则该零件为优等品；若t ∈(2.8,2.9]∪(3.1,3.2]，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据： 尺寸 [2.7,2.8](2.8,2.9](2.9,3.0] (3.0,3.1] (3.1,3.2] (3.2,3.3]甲机床零件频数 23202041乙机床零件频数3 5 17 13 8 4为概率，试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望；(2)对于这两台机床生产的零件，在排除其他因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由．参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.参考数据：P (K 2≥k 0)0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 01.3232.0722.7063.8415.0246.635解X 3 1 －1 P0.80.140.06则有E (X ) 所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元．(2)由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个．制作2×2列联表如下：甲机床 乙机床 合计 优等品 40 30 70 非优等品 10 20 30 合计5050 100计算K 2的观测值k ＝250×50×70×30＝21≈4.762. 考察参考数据并注意到3.841<4.762<5.024，可知：对于这两台机床生产的零件，在排除其他因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．11．(本小题10分)(文)(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解 (1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑i ＝1nx i ＝8010＝8，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x －2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n ×x －×y －＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3， a ＝y －－b x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 12．(本小题10分)(理)(2013·辽宁大连一模)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的频率分布直方图如下：已知样本中身高在[150,155) cm 的女生有1人． (1)求出样本中该校男生的人数和女生的人数； (2)估计该校学生身高在170～190 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在185～190 cm 之间的男生和样本中身高在170～180 cm 之间的女生中随机抽取3人，记被抽取的3人中的女生人数为X .求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)设女生的人数n ，∴1n ＝1150×5，∴n ＝30.∵抽取的样本人数700×10%＝70， ∴样本中该校有男生40人和女生30人．(2)由频率分布直方图可得出样本中身高在170～190 cm 之间的学生人数有37人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～190 cm 之间的频率等于3770，所以估计该校学生身高在170～190 cm 之间的概率等于3770.(3)由频率分布直方图可得出样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人和样本中身高在170～180 cm 之间的女生有4人，∴X 的可能取值为1,2,3，∵P (X ＝1)＝15，P (X ＝2)＝35，P (X ＝3)＝15，∴X 的分布列为X 1 2 3 P153515∴数学期望E (X )＝1×5＋2×5＋3×5＝2.12．(本小题10分)(文)(2013·石家庄高三模拟)为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80] 人数525302515上网时间(分钟) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80] 人数1020402010(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生周日上网时间与性别有关”？表3：上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟合计 男生女生 合计附：K 2＝2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋dP (K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83依题意有x 750＝20＋10100，解得x ＝225，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225. (2)根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生6040100 女生7030100 合计13070200其中K2＝2100×100×130×70＝91≈2.198<2.706，因此，没有90%的把握认为“大学生周日上网时间与性别有关”．。

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练13一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．定义运算：(a b )x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a b )x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b a )x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 解析 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，所以(－31)x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0， 解得x <－23或x >1.答案 D2．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,1] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞)D ．[－1,1]解析 令f (x )＝sin 2x ＋2sin x ，则f (x )的值域是[－1,3]，因为方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，所以－1≤－a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3,1]．答案 A3．若函数f (x )，g (x )分别为R 上的奇函数，偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)解析 由题意得f (x )－g (x )＝e x，f (－x )－g (－x )＝e －x，即－f (x )－g (x )＝e －x，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x2在R 上是增函数，且f (3)>f (2)＝e 2－e－22>0，因此g (0)<f (2)<f (3)． 答案 D4．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析 分别画出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x ，y ＝2的图象，转化为交点横坐标的比较问题．容易得出A 正确．答案 A5.e 416，e 525，e636(其中e 为自然常数)的大小关系是( ) A.e 416<e 525<e 636 B.e 636<e 525<e 416 C.e 525<e 416<e 636D.e 636<e 416<e 525解析 由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e xx 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e525，f (6)＝e636.而f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2′＝e x·x 2－e x ·2x x 4＝e xx 2－2xx 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636. 答案 A6．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x 1∈(－1, 1)，x 2∈(2,4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－16，－8)D ．(－11,3)解析 依题意得，f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝－12＋a ·－1＋b ＝1－a ＋b >0，f ′1＝12＋a ·1＋b ＝1＋a ＋b <0，f ′2＝22＋a ·2＋b ＝4＋2a ＋b <0，f ′4＝42＋a ·4＋b ＝16＋4a ＋b >0.在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，验证得：当a＝－5，b＝4时，a ＋2b取得最大值3；当a＝－3，b＝－4时，a＋2b取得最小值－11.于是a＋2b的取值范围是(－11,3)．答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．若函数f(x)＝log a(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝________.解析∵f(x)＝log a(x＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x≤1，则1≤x＋1≤2.当a>1时，0＝log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2；当0<a<1时，log a2≤log a(x＋1)≤log a1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a＝2.答案 28．若方程x2＋ax＋2＝0的两根可以作为一椭圆和一双曲线的离心率，则a的取值范围是________．解析方程有两个根，且一个大于1，另一个大于0小于1，设f(x)＝x2＋ax＋2，只需f(0)>0且f(1)<0，得a<－3.答案a<－39．设函数f(x)＝|x＋a|， g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案 [－1，＋∞)三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间； (2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝0，f 2＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )<0，得－13<x <2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝3－2a ＋b ≤2，f ′1＝3＋2a ＋b ≤2得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)． 设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z <－2， 即ba －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．11．(本小题10分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x的大小关系．解 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－ln x ＋x ， 设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x； 当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x； 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x. 12.(本小题10分)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A 、B 、C 、D 四点，点A 1、A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．。

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练20一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．以双曲线x 23－y 2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x解析 由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为y 2＝－8x .答案 D2．(2013²广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析 双曲线中c ＝3，e ＝32，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝5，故双曲线方程为x 24－y 25＝1.答案 B3．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，∴1<k <2.答案 C4．(2013²广东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B|sin A －sin C |为( )A.32B.23C.54D.45解析 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， 由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝b|a －c |，由双曲线的标准方程和定义可知，A ，C 是双曲线的焦点，且b ＝10，|c －a |＝8. 所以sin B |sin A －sin C |＝b |a －c |＝54.故选C.答案 C5．(2013²山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233D.433解析 设M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p ，由题意得，对y ＝x 22p ，求导得y ′＝x p ，所以M 点处的切线斜率为x 0p ，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，所以x 0p ＝33，x 0＝33p ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6，又知M 与双曲线右焦点F 2(2,0)与抛物线焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2共线，所以p 633p －2＝p 6－p233p .整理得32p ＝2，所以p ＝43＝433，故选D. 答案 D6．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋ca的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2]解析 由b ＋c a ＝a 2－c 2＋c a＝1－e 2＋e ，又0<e <1，设f (x )＝1－x 2＋x,0<x <1，则f ′(x )＝1－x1－x 2＝1－x 2－x 1－x2.令y ′＝0，得x ＝22，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1上单调递减，∴f (x )max ＝1－12＋22＝2，f (0)＝1，f (1)＝1.∴1<f (x )≤2，故1<b ＋ca≤ 2.答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.解得|PF 1||PF 2|＝18，∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|²|PF 2|＝12³18＝9.答案 98．(2013²北京大兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点间的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x ＝－p2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp2a ，x ＝－p2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－bp2a＝－1，－p2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4，又已知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝ 5.所以双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 59．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．解析 设双曲线的右焦点为F ′，由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2³a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 答案102三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)如图所示，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)解法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3²⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |²sin∠F 1AB＝12a ²165c ²32＝235a 2＝403， 解得a ＝10，b ＝5 3. 解法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a ，由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.11．(本小题10分)(2011²江西卷)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)； 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0，或λ＝2.12．(本小题10分)(2013²浙江卷)如图所示，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则 S ＝12|AB |²|PD |＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3²134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.。

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2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M={0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=（ )A. ｛1｝ B 。

｛2}C 。

{0，1}D 。

{1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0,1,2}中的数，代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。

所以选D 。

2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,12z i =+，则12z z =( )A 。

- 5B 。

5C 。

— 4+ iD 。

— 4 - i【答案】B 【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足｜a+ba-ba ⋅b = （ ）A 。

1B 。

2C 。

3D 。

5【答案】A 【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4。

钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )【答案】B 【解】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。